Режимы полной хаотической синхронизации и переходные процессы в некоторых сетях со сложной топологией, содержащих нелинейные динамические системы тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

ФИЛАТОВА Анастасия Евгеньевна

РЕЖИМЫ ПОЛНОЙ ХАОТИЧЕСКОЙ СИНХРОНИЗАЦИИ И ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В НЕКОТОРЫХ СЕТЯХ СО СЛОЖНОЙ ТОПОЛОГИЕЙ, СОДЕРЖАЩИХ НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ

01 04 03 - Радиофизика 01 04 04 - Физическая электроника

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

0031В7325

Саратов - 2008

00316743201641

Работа выполнена на кафедре электроники, колебаний и волн факультета нелинейных процессов и в отделении физики нелинейных систем научно-исследовательского института естественных наук Саратовского государственного университета

Научные руководители. чл -корр РАН,

доктор физико-математических наук, профессор Трубецков Дмитрий Иванович, доктор физико-математических наук, доцент Короновский Алексей Александрович

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

профессор Шалфеев Владимир Дмитриевич, кандидат физико-математических наук, доцент, старший научный сотрудник Пономаренко Владимир Иванович

Ведущая организация Саратовский государственный

технический университет

Защита состоится "22" мая 2008 г в 17 часов 30 минут в 34 ауд III корпуса СГУ на заседании диссертационного совета Д 212 243 01 по специальностям 01 04 03 - радиофизика и 01.04.04 - физическая электроника в Саратовском государственном университете (410012, г Саратов, ул Астраханская, 83)

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Саратовского государственного университета (Саратов, ул Университетская, 42)

Автореферат разослан "15" апреля 2008 г Ученый секретарь диссертационного совета

В М Аникин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследуемой проблемы. Одной из обширных областей исследования в нелинейной динамике является изучение коллективного поведения взаимодействующих хаотических нелинейных систем, а также проблем, связанных с исследованиями явления синхронизации в коллективной динамике Интерес к изучению этого явления не ослабевает и в настоящее время, что определяется его важным фундаментальным и практическим значением для естествознания (например, в биологических и физиологических задачах1, при скрытой передаче информации с помощью хаотических сигналов2, при управлении системами сверхвысокочастотной электроники3 и т п ). С развитием теории хаотической синхронизации было выявлено достаточно большое число различных типов хаотического синхронного поведения связанных динамических систем (В С Анищенко, В В Астахов, В С Афраймович, Б П Безручко, Т Е Вадивасова, М. Закс, С П Кузнецов, ПС Ланда, Ю. Майстренко, В И Некоркин, Г В Осипов, АС Пи-ковский, В И Пономаренко, Д Э Постнов, M Д Прохоров, M И Рабинович, M Г Розенблюм, H Ф Рульков, M M Сущик, Д И Трубецков, JI С Цимринг, В Д Шалфеев, H D Abarbanel, Р Ashwin, S Boccaletti, T L Carroll, В R Hunt, H Fujisaka, С Grebogi, L Kocarev, J Kurths, Y С Lai, E Mosekilde, E Ott, P Paoli, U Paditz, L M Pécora, A V Taborov, J A Yorke и др ) Интенсивное развитие данной области нелинейной динамики привело к выходу исследований хаотической синхронизации за рамки рассмотрения двух взаимодействующих систем, и в последние годы акцент наиболее активно ведущихся исследований синхронизации хаоса смещается в сторону изучения больших ансамблей связанных хаотических динамических систем Исследование особенностей коллективной динамики больших ансамблей связанных хаотических осцилляторов началось с изучения динамики цепочек и решеток взаимодействующих элементов и постепенно перешло к изучению сетей нелинейных элементов со сложной топологией связей между элементами В настоящее время именно эти объекты - сети хаотических нелинейных элементов со сложной топологией - привлекают наибольшее внимание исследователей, что во многом определяется большим числом объектов в природе и технике, которые можно описать с по-

'L Glass Synchronization and rhythmic processes In physiology (London) 2001 Vol 410 Pp 277-284, VS Anlshchenko, A G Balanov, N В Janson et al Int J Bifurcation and Chaos 10 (2000) 2339 2 А С Дмитриев, А И Панас Динамический хаос новые носители информации для систем связи M Физматлит, 2002 ~ J

3Д И Трубецков, А А Короновский, А Е Храмов Изв вузов Радиофизика XLVIl(5-6) (2004) 3434¡

мощью сетей Необходимо отметить, что проблема синхронного поведения элементов сложной сети является хотя и далеко не единственной, связанной со сложными сетями, но одной из центральных и активно изучаемых В таких ансамблях нелинейных элементов возможны различные режимы коллективного поведения, демонстрирующего признаки синхронизма - полная синхронизация, кластерная синхронизация, фазовая синхронизация

В то же самое время, несмотря на значительный интерес к проблеме синхронной динамики нелинейных систем и большое число публикаций по данному направлению, утверждать, чтЬ в рассматриваемой области все проблемы уже решены, было бы явно преждевременно Существует большое число вопросов, ответы на которые еще не найдены и решение которых могло бы способствовать значительному продвижению вперед в понимании основных закономерностей и особенностей неавтономного поведения динамических систем, способных демонстрировать сложное поведение

В первую очередь, необходимо отметить направление исследований устойчивости режима полной синхронизации сетей, состоящих из элементов с малым числом степеней свободы. Уже проведенные исследования в данном направлении в большей степени относились к сетям идентичных конечномерных элементов с непрерывным типом времени В ряде работ4 для подобных объектов представлен простой метод определения диапазона устойчивости режима полной синхронизации в пространстве управляющих параметров Однако, идентичность взаимодействующих элементов является весьма сильным ограничением применимости полученных результатов, очевидно, что ни одна реальная сеть не может быть построена состоящей из абсолютно идентичных элементов Одновременно, незаслуженно обойденными вниманием оказываются сети, состоящие из систем с дискретным временем (отображений), также являющиеся важными объектами исследований

Во-вторых, представляет интерес проблема исследования переходных процессов, приводящих сложную сеть к режиму полной синхронизации Как правило, при изучении сложного поведения нелинейных динамических систем с дискретным или непрерывным временем, со сосредоточенными или распределенными параметрами, основной интерес исследователей вызывают установившиеся режимы колебаний и то, каким образом происходит смена этих режимов при изменении управляющих параметров системы При этом переходные процессы в большинстве случаев расемат-

4М Chavez, D -U Hwang, A Amann et al Phys Rev Lett 94 (2005) 218701, D -U Hwang, M Chavez, A Amann et al Phys Rev Lett 94 (2005) 138701

риваются как нечто второстепенное, не вызывающее особого интереса В то же самое время следует отметить, что переходный процесс несет информацию о системе и в ряде случаев оказывается более целесообразным рассматривать поведение системы, находящейся именно в стадии переходного процесса5, а не тогда, когда система вышла на аттрактор

Кроме того, важным и интересным вопросом является возникновение режима полной синхронизации в сети бесконечномерных распределенных систем Очевидным фактом представляется, что именно бесконечномерные распределенные системы являются наиболее полными и адекватными моделями реальных объектов природы и техники6 Однако, хаотическая синхронизация в сетях распределенных элементов практически не изучалась, за исключением предельного случая двух взаимодействующих систем Однако,.поскольку конечномерные системы зачастую являются аппроксимациями бесконечномерных распределенных систем, можно предположить, что и в коллективной динамике сети распределенных элементов можно найти некоторые общие закономерности с сетями потоков и отображений

Исследования сложных сетей, состоящих из сосредоточенных и распределенных систем представляются весьма важными и актуальными как с прикладной, так и фундаментальной точек зрения, что позволяет считать тему диссертации, посвященной исследованию режимов полной хаотической синхронизации и переходных процессов в сетях со сложной топологией, содержащих нелинейные динамические системы актуальной и важной для современной радиофизики и физической электроники

Цель диссертационной работы Целью настоящей диссертационной работы является детальное изучение возникновения синхронизма в коллективной динамике нелинейных автоколебательных систем, демонстрирующих хаотическое поведение, разработка универсального метода диагностики режима полной синхронизации произвольной сети со сложной топологией связей, состоящей из нелинейных хаотических конечно- и бесконечномерных элементов различной природы

Достижение этой цели в диссертационной работе реализуется решением следующих задач

• Исследование режима полной синхронизации в сети произвольной топологии взаимодействующих хаотических отображений, разработка метода главного ляпуновского показателя для рассматриваемой сети

SB Р Bezruchko, T V Dikanev, D A Smirnov Phys Rev Е 64 (2001) 036210

6П С Ланда Автоколебания в распределенных системах М Наука, 1983

• Выявление связи предложенного метода главного ляпуновского показателя системы взаимодействующих элементов и классической теории трансверсальной устойчивости синхронного состояния

• Сопоставление слабосинхронизированных режимов неавтономной динамики в системах двух связанных нелинейных хаотических осцилляторов с дискретным и потоковым временем

• Изучение режимов полной синхронизации в сложной сети произвольной топологии, состоящей из диссипативно связанных слабо неидентичных хаотических элементов с дискретным и непрерывным временем.

• Исследование переходных процессов в эталонных моделях нелинейной динамики, определение времени, необходимого для установления устойчивого синхронного режима в больших ансамблях взаимодействующих систем при фиксированных значениях управляющих параметров и величинах мощности межэлементной связи.

• Изучение режима полной синхронизации в сети произвольной топологии бесконечномерных распределенных систем с различными типами межэлементной связи Создание для сложной сети пространственно распределенных систем метода определения диапазона устойчивости режима полной хаотической синхронизации, аналогичного методу главного ляпуновского показателя сети для сети со сложной топологией, состоящей из сосредоточенных систем.

Решение данных задач позволяет выявить общие закономерности коллективной динамики и синхронных режимов в сложных сетях, а также предложить единый метод анализа произвольных сложных сетей, состоящих из как конечно-, так и бесконечномерных элементов, что, как уже отмечалось выше, и является основной целью настоящей диссертационной работы

В качестве объектов исследований в данной диссертационной работе выбраны динамические системы, являющиеся эталонными в нелинейной динамике (в частности, логистическое отображение, система Ресслера), а также классические системы радиофизики и физической электроники (генератор "Torus", диод Пирса)

Научная новизна. Научная новизна результатов, представленных в диссертационной работе, заключается в установлении основных закономерностей, присущих синхронной динамике больших ансамблей связанных

6

хаотических систем, выработке универсального подхода для диагностики устойчивости режима полной синхронизации произвольных сетей со сложной топологией, состоящих из хаотических бесконечно- и конечномерных элементов, разработке методик по определению длительности переходных процессов систем, находящихся в периодических и хаотических режимах колебаний В диссертации получены следующие новые результаты

• Разработана методика определения границ диапазона устойчивости режима полной синхронизации сети со сложной топологией, состоящих из хаотических отображений Впервые показано, что предложенный метод главного ляпуновского показателя хорошо соотносится с классической теорией трансверсальной устойчивости синхронного состояния (для системы двух взаимодействующих отображений главный ляпу-новский и старший поперечный трансверсальный ляпуновский показатели совпадают)

• Выявлена взаимосвязь между различными типами синхронной динамики хаотических систем с непрерывным (потоки) и дискретным (отображения) временем Впервые показано, что при слабой расстройке управляющих параметров тип поведения связанных отображений, возникающий с уменьшением параметра связи при разрушении полной синхронизации, который считался раньше асинхронным, соответствует фазовой синхронизации потоковых систем и должен рассматриваться как синхронный режим

• Впервые предложена методика, основанная на расчете главного ляпуновского показателя сети, позволяющая диагностировать диапазон устойчивости режима полной хаотической синхронизации в пространстве управляющих параметров сети и величин мощности межэлементной связи

• Для сложных сетей, состоящих из конечномерных хаотических элементов с непрерывным и дискретным типами времени, впервые показано, что слабая неидентичность элементов так же, как и введение шума небольшой интенсивности в систему, приводит к уменьшению границ диапазона устойчивости режима полной синхронизации сети При этом существуют некоторые предельные значения границ области устойчивости режима полной синхронизации, при достижении которых дальнейшее увеличение уровня неидентичности элементов (или

вводимого в систему шума) не приводит к дальнейшему уменьшению диапазона устойчивости полной синхронизации

• Впервые разработаны методики определения длительности переходных процессов в автономных динамических системах (отображениях) и в больших ансамблях хаотических элементов Выявлен ряд скейлинго-вых закономерностей (свойств самоподобия), характерных для зависимости длительности переходных процессов от начальных условий в одномерных и двумерных отображениях.

• Исследованы основные закономерности, присущие переходным процессам больших ансамблей хаотических элементов, находящихся в режиме полной хаотической синхронизации Впервые показано, что в большой сети со сложной топологией, состоящей из одномерных отображений, переходные процессы демонстрируют один глобальный минимум, определяемый топологией сети при варьировании управляющего параметра в рамках одного динамического режима системы

• Впервые исследована полная синхронизация сетей сложной топологии распределенных пучково-плазменных систем сверхвысокочастотного диапазона - диодов Пирса. Разработана аналитическая методика определения диапазона устойчивости полной синхронизации, основанная на расчете старшего пространственного ляпуновского показателя исследуемой сети взаимодействующих через граничные условия элементов Показано, что режим полной синхронизации произвольной сети, состоящей из элементов сосредоточенной или распределенной природы может быть описан с помощью одного и того же подхода, основанного на рассмотрении главного ляпуновского показателя

Научная и практическая значимость работы.

Научная и практическая значимость диссертационной работы состоит в том, что полученные в ней результаты выявляют одну из важных закономерностей коллективной динамики нелинейных хаотических систем Исследование проводилось, прежде всего, на основе моделей, являющихся базовыми для нелинейной теории колебаний и волн, радиофизики и физической электроники. Поэтому полученные в диссертационной работе результаты имеют общий характер и могут быть перенесены на другие радиофизические (и не только радиофизические, но и иные) системы Результаты, полученные в рамках диссертационной работы, позволяют продвинуться в понимании общих закономерностей, присущих режиму пол-

8

ной хаотической синхронизации больших ансамблей нелинейных систем, выявить общие характерные черты синхронизации в конечно- и бесконечномерных динамических системах с непрерывным и дискретным временем Таким образом, результаты проведенных исследований важны для общей теории колебаний и волн, как в сосредоточенных, так и распределенных автоколебательных системах.

Вместе с тем, применение предложенного подхода к описанию синхронного поведения взаимодействующих нелинейных систем на основе методики старшего ляпуновского показателя сети позволяет эффективно и с малыми затратами времени численного счета диагностировать режим полной хаотической синхронизации и осуществлять поиск диапазона устойчивости режима полной синхронизации с единых позиций в сети произвольных элементов, что имеет весьма широкую область потенциального применения в различных областях науки и техники В частности, разработанные методики расчета устойчивости синхронного состояния сети элементов и систем физической электроники могут быть применены для расчета оптимальной конфигурации активных модулей нелинейных антенн

Результаты диссертации были использованы при выполнении ряда НИР и научных грантов, а также внедрены в учебный процесс в Саратовском государственном университете на факультете нелинейных процессов и физическом факультете по специальностям "Физика открытых нелинейных систем", "Радиофизика и электроника" и направлению подготовки бакалавров и магистров "Радиофизика".

Достоверность полученных результатов

Достоверность полученных результатов обеспечивается использованием строго обоснованных математических процедур; твердо установленных физических уравнений, методов и подходов, описанных в научной литературе, апробированных и хорошо себя зарекомендовавших при проведении научных исследований, обоснованным выбором параметров численных методов. Достоверность полученных результатов подтверждается их воспроизводимостью, сопоставлением результатов, полученных аналитическими и численными методами, а также отсутствием противоречий с известными в научной литературе достоверными общепризнанными результатами

Личный вклад. Основные результаты диссертации получены автором лично В совместных работах автором выполнены все численные и аналитические расчеты. Постановка задач, разработка методов их решения, объяснение и интерпретация результатов были осуществлены совместно с

научными руководителями и другими соавторами научных работ, опубли-

9

кованных соискателем

Апробация работы.

Материалы диссертационной работы использовались при выполнении госбюджетных НИР, осуществлявшихся в Научно-образовательном институте "Открытые системы" СГУ, отделении физики нелинейных систем научно-исследовательского института Естественных наук СГУ, при выполнении проектов Российского фонда фундаментальных исследований (гранты 02-02-16351, 05-02-16273, 05-02-16286, 05-02-30062-э_д, 06-02-81013-Бел_а, 06-02-72007-МНТИ_а, 07-02-00044). Исследования также были поддержаны программой "Университеты России - Фундаментальные исследования" (проекты УР 01 01 371 и УР 01 01 052), Федеральной целевой научно-технической программой "Исследования и разработки по приоритетным направлёниям развития науки и техники" на 2002-2006 годы (темы РИ-19.0/002/224, 2006-РИ-19 0/001/053, 2006-РИ-19.0/001/054, 2006-РИ-112 0/001/228), Президентской Программой поддержки ведущих научных школ Российской Федерации (2003-2005 и 2006-2007 гг, руководитель ведущей научной школы - чл.-корр. РАН, профессор Д И Трубецков), Программой Минобразования Российской Федераций "Развитие научного потенциала высшей школы" (2005 г, проекты 332, 333), Саратовским учебно-научным центром "Волновая электроника, микроэлектроника и нелинейная динамика" на базе Саратовского государственного университета, Саратовского филиала Института радиотехники и электроники РАН и Государственного учебно-научного центра "Колледж" (поддерживаемым Федеральной целевой программой "Интеграция" (проекты А0057 и Б0057)), научно-образовательным центром "Нелинейная динамика и биофизика" при Саратовском госуниверситете (грант REC-006 of U S Civilian Research & Development Foundation for the Independent States of the Former Soviet Union (CRDF)), Фондом некоммерческих программ "Династия" и Московским Международным Центром Фундаментальной Физики.

Представленные результаты неоднократно докладывались на различных семинарах и конференциях и отражены в тезисах докладов 6th International School on Chaotic Oscillations and Pattern Formation (CHAOS'2001) (Saratov, October 2001), Всероссийской научной школе-конференции "Нелинейные дни для молодых - 2001", (Саратов, ноябрь 2001), XII Зимней школе-семинаре по СВЧ электронике и радиофизике (Саратов, январь-февраль 2003), Всероссийской научной школе-конференции "Нелинейные дни для молодых - 2003", (Саратов, ноябрь 2003), IX Всероссийской школе-семинаре "Волновые явления в неоднородных средах" (Краснови-

10

дово, 24-29 мая 2004), VII Международной школе "Хаотические автоколебания и образование структур (ХАОС-2004)" (Саратов, 1-6 октября 2004), Первой летней научной школе Фонда Дмитрия Зимина "Династия" (Москва, 24-30 июля 2004), Всероссийской научной школе-конференции "Нелинейные дни для молодых - 2004", (Саратов, ноябрь 2004), Международной школе-семинаре по фундаментальной физике для молодых ученых "Квантовые измерения и физика мезоскопических систем" (Владимир/Суздаль, февраль 2005), Научной конференции молодых ученых Фонда "Династия" (Москва, 16-17 апреля 2005), X Всероссийской школе-семинаре "Физика и применение микроволн" (Звенигород, Московская область, 23-28 мая 2005), VII Всероссийской научной конференции "Нелинейные колебания механических систем" (Нижний Новгород, 19-22 сентября 2005), III Международной конференции "Фундаментальные проблемы физики" (Казань, 13-18 июня 2005), XIII школе "Нелинейные волны-2006" (Нижний Новгород, 1-7 марта 2006), XIII Зимней школе-семинаре по СВЧ электронике и радиофизике (Саратов, январь 2006), 16-ой Международной Крымской конференции "СВЧ-техника и телекоммуникационные технологии" (КрыМиКо'2006) (Севастополь, сентябрь 2006), VIII Международной школе "Хаотические автоколебания и образование структур (ХАОС-2007)" (Саратов, 9-14 октября 2007), XIV школе "Нелинейные волны-2008" (Нижний Новгород, 1-7 марта 2008). Результаты также,неоднократно обсуждались на научном семинаре кафедры электроники, колебаний и волн факультета нелинейных процессов Саратовского госуниверситета

Публикации. Результаты работы опубликованы в реферируемых отечественных и зарубежных научных журналах (всего 12 статей), в том числе 10 статей в журналах, рекомендованных ВАК для опубликования основных результатов диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук)

Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и заключения. Она содержит 179 страниц текста и 40 иллюстраций Библиографический список содержит 303 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ И ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

Во введении обоснована актуальность тематики проведенных исследований, их новизна и практическая значимость, сформулирована цель исследования и приведены основные результаты, выводы и положения диссертационной работы, выносимые на защиту, дано краткое изложение содержания работы

И

В первой главе диссертационной работы приведены результаты аналитических и численных исследований коллективной динамики нелинейных хаотических сосредоточенных систем с непрерывным и дискретным временем

В разделе 11 проводится анализ устойчивости режима полной синхронизации сети сложной топологии, состоящей из хаотических систем с дискретным временем (отображений). Аналитически разработана методика главного ляпуновского показателя сети для определения границ устойчивости диапазона режима полной хаотической синхронизации рассматриваемой сети Формализм главного ляпуновского показателя расширен для случая сети произвольной топологии слабо неидентичных нелинейных хаотических отображений. Показано, что слабая неидентичность элементов сложной сети соответствует введению шума слабой интенсивности в систему и приводит к уменьшению диапазона устойчивости режима полной синхронизации. При этом существуют некоторые предельные значения границ области устойчивости режима полной синхронизации, при достижении которых дальнейшее увеличение уровня неидентичности элементов (или вводимого в систему шума) не приводит к дальнейшему уменьшению диапазона устойчивости полной синхронизации Результаты численного моделирования, проведенного для сложной сети логистических отображений, приведены в разделе 1 2. Сравнение результатов численного и аналитического анализа устойчивости режима полной синхронизации изучаемой сети показывает хорошее соответствие между прямым численным моделированием и предлагаемой методикой главного ляпуновского показателя

В разделе 1 3 исследуется взаимосвязь между методом старшего ляпуновского показателя сети и теорией трансверсальной устойчивости синхронного аттрактора Показано, что для пары взаимодействующих отображений методы определения границ диапазона устойчивости дают идентичные результаты, что может рассматриваться в качестве дополнительной апробации предлагаемой методики

В разделе 1.4 изучается взаимосвязь между различными типами синхронного поведения в динамических системах с непрерывным и дискретным временем Для этого сопоставляется друг с другом поведение связанных отображений, потоковых систем и отображений, полученных из потоковых систем с помощью процедуры сечения Пуанкаре На основании полученных результатов впервые показано, что тип поведения связанных отображений, который до сих пор считался асинхронным, следует рассматривать как синхронное поведение, соответствующее режиму фазовой

12

синхронизации потоковых систем В разделе 1 5 исследуется взаимосвязь спектров исходной системы с непрерывным временем и полученным отображением Проводится сравнение теоретических результатов и результатов численного эксперимента для эталонных моделей нелинейной динамики

С учетом полученных результатов, демонстрирующих близость хаотических синхронных режимов в потоках и отображениях, в разделах 1 б, 1 7 описаны результаты теоретического и численного исследования сети слабо неидентичных нелинейных хаотических конечномерных осцилляторов с непрерывным временем Проведенное аналитическое исследование позволило использовать метод главного ляпуновского показателя для сети слабо неидентичных потоковых систем (система Ресслера).

Вторая глава диссертационной работы посвящена изложению результатов исследования переходных процессов в сетях со сложной топологией, состоящих из нелинейных хаотических элементов Описание полученных результатов начинается с анализа переходных процессов в автономных системах (одномерных и двумерных отображениях с периодической динамикой), затем рассматриваются переходные процессы в сетях со сложной топологией, состоящих из взаимодействующих хаотических элементов (одномерных отображений).

В разделе 2 1 описаны предложенные и апробированные методы определения длительности переходных процессов для отображений, демонстрирующих периодическую динамику В разделе 2.2 на основе проведенных исследований показан ряд универсальных скейлинговых закономерностей (свойств самоподобия), присущих одномерным отображениям, а также объяснено усложнение характера зависимости длительности переходных процессов от начальных условий при варьировании управляющего параметра системы Поскольку в системах с большей размерностью (в самом простейшем случае - в двумерных отображениях) переходные процессы могут подчиняться несколько иным закономерностям, нежели в одномерных отображениях, следующий раздел 2 3 посвящен изложению результатов изучения переходных процессов в более сложной системе - двумерном отображении В качестве численной модели для исследования выбирается отображение Эно - одна из традиционных моделей нелинейной динамики На протяжении раздела 2 3 показано, что переходные процессы минимальной длительности в динамических системах с дискретным временем соответствуют начальным условиям, принадлежащим ведущему устойчивому многообразию устойчивого цикла, которое характеризуется наименьшим по модулю мультипликатором Найден механизм, ответственный за

13

усложнение зависимости длительности переходных процессов от начальных условий при изменении управляющих параметров системы в рамках одного динамического режима

В последующих разделах 2 4 - 25 проводится исследование переходных процессов в сети взаимодействующих отображений Используя основные принципы предложенного в разделе 2 1 метода определения длительности переходных процессов свободного отображения, в разделе 2 4 описан метод определения длительности времени переходного процесса сети, необходимого для выхода сети на синхронный режим В качестве численной модели исследования переходных процессов выбирается сеть со сложной топологией, состоящая из диссипативно связанных логистических отображений Показано, что зависимость длительности переходных процессов сети от параметра межэлементной связи может быть объяснена с использованием результатов, полученных в первой главе диссертационной работы (разделы 1 1 и 1 2)

В третьей главе диссертационной работы приведены результаты аналитического исследования и численного моделирования сетей произвольной сложной топологии, состоящих из нелинейных элементов распределенной природы, демонстрирующих пространственно-временной хаос В качестве модели элемента сети выбран диод Пирса, находящийся в хаотическом режиме, одна из классических моделей физической электроники

В разделе 3 1 третьей главы описана математическая модель сети со сложной топологией, состоящей из распределенных электронных систем сверхвысокочастотного (СВЧ) диапазона, находящихся в хаотическом режиме и взаимодействующих через граничные условия Разделы 3 2-33 посвящены описанию результатов исследования условий существования и устойчивости режима полной хаотической синхронизации предложенной сети, состоящей из диодов Пирса В разделе 3 2 третьей главы описана аналитическая методика, позволяющая найти область устойчивости режима полной хаотической синхронизации при помощи расчета главного ляпу-новского показателя сети Метод оценки устойчивости синхронной динамики сети основан на линейном анализе определенным образом модифицированной свободной пространственно-распределенной системы, определяющей динамику узла сети В разделе 3 3 обсуждаются численные методы, используемые при моделировании диода Пирса и приведены результаты численного моделирования исследуемой сети, показывающие хорошее количественное и качественное совпадение численных расчётов и прогнозов, полученных с помощью разработанной аналитической методики в случае

14

сетей различной топологии и различного числа элементов Численный эксперимент показал хорошее совпадение результатов с оценками, полученными при аналитическом исследовании (раздел 3 2),

Таким образом, в диссертации предложен способ единого описания полной синхронизации хаоса в сетях как сосредоточенных, так и распределенных элементов на основе метода главного ляпуновского показателя

В Заключении сформулированы основные результаты и выводы диссертационной работы

Основные выводы, результаты и положения, выносимые на защиту.

1. Для сети со сложной топологией, состоящей из диссипативно связанных слабо неидентичных нелинейных хаотических конечномерных элементов с непрерывным (потоки) и дискретным (отображения) временем, предложен универсальный метод диагностики устойчивости режима полной синхронизации, основанный на расчете главного ляпу-новского показателя по динамике всего одного узлового элемента сети

2 Слабая неидентичность элементов сети так же, как и наличие шума слабой интенсивности в системе идентичных элементов, приводит к уменьшению диапазона устойчивости режима полной синхронизации сети. Существуют некоторые предельные значения границ области устойчивости режима полной синхронизации, при достижении которых дальнейшее увеличение уровня неидентичности элементов (или вводимого в систему шума) не приводит к дальнейшему уменьшению диапазона устойчивости полной хаотической синхронизации

3 Тип поведения слабо неидентичных связанных систем с дискретным временем, возникающий с уменьшением параметра связи при разрушении режима полной синхронизации, который считался раньше асинхронным, соответствует фазовой синхронизации потоковых систем и должен рассматриваться как синхронный режим

4 Режим полной хаотической синхронизации произвольной сети со сложной топологией, состоящей из взаимодействующих распределенных систем, может быть обнаружен с помощью метода главного пространственного ляпуновского показателя данной сети Поэтому, анализ устойчивости исследуемого режима полной хаотической синхронизации может быть проведен путем рассмотрения динамики одной распределенной системы, играющей роль узлового элемента сети

5 В большой сети со сложной топологией, состоящей из одномерных хаотических отображений, зависимость длительности переходных процессов от параметра связи демонстрирует один глобальный минимум, определяемый топологией сети, и на границах разрушения режима полной хаотической синхронизации сети резко возрастают

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах7:

1 А Е Филатова (А Е Храмова), Р А Филатов, А А Короновский, А Е Храмов, Д И Трубецков, Совместные колебания в связанных электронных системах со сверхкритическим током, Электромагнитные волны и электронные системы 12 (2007), No 10, 26-32

2 А А Короновский, А Е Филатова (А Е Храмова), А В Стародубов, Взаимосвязь спектров, полученных по временным реализациям системы с потоковым временем и ее отображениям возврата, Письма в ЖТФ 32 (2006), No 19, 86-94

3 Стефано Боккалетти, А А Короновский, Д И Трубецков, А Е Храмов, А Е Филатова (А Е Храмова), Устойчивость синхронного состояния произвольной сети связанных элементов, Изв вузов Радиофизика XLIX (2006), No 10, 917-924

4 А А Короновский, А Е Храмов, А Е Филатова (А Е Храмова), К вопросу о синхронном поведении связанных систем с дискретным временем, Письма в ЖЭТФ 82 (2005), No 3, 176-179

5 А А Короновский, А Е Филатова (А Е Храмова), Относительная геометрическая мера синхронизации систем с дискретным временем, Изв РАН, сер физич 69 (2005), No 12, 1732-1735

6 А Е Hramov, А Е Filatova (А Е Khramova), I A Khromova, and A A Koronovskii, Investigation of transient processes in one-dimensional maps. Nonlinear Phenomena m Complex Systems 7 (2004), No 1, 1-16

7 А А Короновский, A E Филатова (A E Храмова), Зависимость длительности переходных процессов от начальных условий в отображении Заславского, ЖТФ 74 (2004), No 5, 136-140

8 N Asgharl, А Е Filatova (А Е Khramova), and et al, Stability of terrestrial planets tn the habitable zone of gi 777 a, hd 72659, gi 614, 47 uma and hd 4208, Astronomy&Ast-rophysics 23 (2004), No 4, 211-225

9 А А Короновский, A E Филатова (A E Храмова), Механизм усложнения зависимости длительности переходных процессов от начальных условий в двумерном отображении, Письма в ЖТФ 29 (2003), No 13,10-18

10 Г Б Астафьев, А А Короновский, А Е Храмов, А Е Филатова (А Е Храмова), О переходных процессах в отображении Эно, Изв вузов Прикладная нелинейная динамика 11 (2003), No 4-5, 124-147

11 А А Короновский, Д И Трубецков, А Е Храмов, А Е Филатова (А Е Храмова), Универсальные закономерности переходных процессов, Изв вузов Радиофизика XLV (2002), No 10, 880-886

12 А А Короновский, Д И Трубецков, А Е Храмов, А Е Филатова (А Е Храмова), Универсальные скейлинговые закономерности переходных процессов, Доклады Академии Наук 383 (2002), No 3, 322-325

7 До 2007 года автор диссертации публиковала свои работы под фамилией Храмова А Е

17

13 А Е Филатова, Устойчивость синхронного состояния сложной сети, состоящей из диодов Пирса, Нелинейные волновые процессы Конференция молодых ученых Нижний Новгород, 1-7 марта 2008 года Тезисы докладов , 2008, 166-168

14 А Е Филатова, Исследование полной хаотической синхронизации в сети распределенных элементов электронной природы, Тезисы докладов восьмой международной школы "Хаотические автоколебания и образование структур" (Саратов, октябрь 2007г), 2007, 91-92

15 А Е Филатова (А Е Храмова), Устойчивость сети связанных элементов модуля нелинейной антенны, Материалы XIII зимней школы-семинара по СВЧ электронике и радиофизике (Саратов, 2006г), 2006, 108

16 А А Короновский, А Е Храмов, А Е Филатова (А Е Храмова), Устойчивость синхронного состояния активного модуля нелинейной антенны на основе диодов Пирса, Материалы 16-ой Международной Крымской конференции "СВЧ-техника и телекоммуникационные технологии" (КрыМиКо'2006) (Севастополь, сентябрь 2006 г), 2006, 701-702

17 А А Короновский, А Е Филатова (А Е Храмова), Связь синхронизации хаоса в отображениях и потоках, Нелинейные волновые процессы Конференция молодых ученых Нижний Новгород, 1-7 марта 2006 года Тезисы докладов , 2006, 161-162

18 А А Короновский, А Е Храмов, А Е Филатова (А Е Храмова), Исследование синхронизации хаоса в потоках и отображениях, Сборник тезисов III Международной конференции "Фундаментальные проблемы физики" (13-18 июня 2005 года, Казань, Россия), 2005, 87

19 А А Короновский, А Е Храмов, А Е Филатова (А Е Храмова), Хаотическая синхронизация в отображениях и потоках, Труды VII Всероссийской научной конференции "Нелинейные колебания механических систем" (19-22 сентября 2005 года, Нижний Новгород), 2005, 118-119

20 А А Короновский, А Е Храмов, А Е Филатова (А Е Храмова), Сравнение различных типов хаотической синхронизации отображений и потоковых систем, Труды десятой всероссийской школы-семинара "Физика и применение микроволн" (Звенигород, Московская область, май 2005г), 2005, 12-14

21 А Е Филатова (А Е Храмова), К вопросу о хаотической синхронизации в системах с дискретным и потоковым временем, Тезисы докладов международной школы-семинара по фундаментальной физике для молодых ученых "Квантовые измерения и физика мезоскопических систем" (Владимир/Суздаль, февраль 2005г), 2005, 55

22 А А Короновский, А Е Филатова (А Е Храмова), Связь различных типов хаотической синхронизации в системах с дискретным и непрерывным временем, Материалы VII Международной школы "Хаотические автоколебания и образование структур (ХАОС-2004)" (1-6 октября 2004 года, Саратов, Россия), 2004, 72-73

23 А Е Филатова (А Е Храмова), Изучение разрушения полной синхронизации в системах с дискретным и потоковым временем. Труды десятой всероссийской школы-семинара "Волны-2004" (Звенигород, Московская область, май 2004г), 2004, 30-33

24 А Е Филатова (А Е Храмова), Хаотическая синхронизация динамических систем со слегка различающимися параметрами, Сборник материалов научной школы-конференции "Нелинейные дни для молодых - 2004" (Саратов, октябрь 2004г), 2004, 131

25 Г Б Астафьев, А Е Филатова (А Е Храмова), Переходные процессы в отображении Эно, Материалы XVII зимней школы-семинара по СВЧ электроники и радиофизике (Саратов, январь-февраль 203 г), 2003, 47-48

26 Г Б Астафьев, А. Е Филатова (А Е Храмова), А Е Храмов, А А Короновский, Анализ мультистабильности и переходных процессов в эталонных моделях нелинейной динамики и некоторых распределенных системах электронно-плазменной природы со сверхкритическим током, Материалы XVII зимней школы-семинара по СВЧ электроники и радиофизике (Саратов, январь-февраль 2003г), 2003, 50-51

27 А Е Филатова (А Е Храмова), Исследование переходных процессов в отображении Заславского, Сборник материалов научной школы-конференции "Нелинейные дни для молодых - 2003" (Саратов, сентябрь 2003г), 2003, 74

28 А А Короновский, А Е Храмов, А Е Филатова (А Е Храмова), Исследование переходных процессов в одномерных отображениях, 6-я Международная школа по хаотическим автоколебаниям и образованию структур (XAOC'OI) Тезисы докладов (2-7 октября 2001, Саратов, Россия), Саратов Изд-во ГосУНЦ "Колледж", 2001, 84-85

29 А Е Филатова (А Е Храмова), Явление скейлинга переходных процессов на примере логистического отображения, Сборник материалов научной школы-конференции "Нелинейные дни для молодых - 2001" (Саратов, октябрь 2001 г), 2001, 51

ФИЛАТОВА Анастасия Евгеньевна

РЕЖИМЫ ПОЛНОЙ ХАОТИЧЕСКОЙ СИНХРОНИЗАЦИИ И ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В НЕКОТОРЫХ СЕТЯХ СО СЛОЖНОЙ ТОПОЛОГИЕЙ, СОДЕРЖАЩИХ НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ

Автореферат

Подписано к печати 03 04 2008 Формат 60 х 84 1/16 Бумага офсетная Гарнитура "Times" Уел печ л 1,39 (1,5) Тираж 120 экз Заказ 64Т.

Отпечатано с готового оригинал-макета Типография СГУ. 410012, Саратов, Большая Казачья, 112а, корпус 8

Введение

1 Режим полной хаотической синхронизации произвольной сети взаимодействующих элементов с малым числом степеней свободы

1.1 Сети со сложной топологией, состоящие из динамических хаотических систем с дискретным временем (аналитический анализ режима полной хаотической синхронизации).

1.2 Сети со сложной топологией, состоящие из динамических хаотических систем с дискретным временем (численное моделирование)

1.3 Взаимосвязь главного ляпуновского показателя синхронного многообразия и старшего поперечного трансверсального ляпуновского показателя синхронного аттрактора.

1.4 Взаимосвязь между различными типами синхронного хаотического поведения в динамических системах с непрерывным и дискретным временем.

1.5 Спектральный анализ хаотической динамики отображения, построенного как сечение Пуанкаре потоковой системы

1.6 Режим полной синхронизации сети, состоящей из слабо неидентичных элементов - нелинейных хаотических систем с непрерывным временем.

1.7 Сеть со сложной топологией, состоящая из слабо неидентичных систем Ресслера (численное моделирование).

1.8 Выводы по первой главе.

2 Переходные процессы в автономных системах и сетях со сложной топологией, состоящих из хаотических систем с дискретным временем.

2.1 Переходные процессы в отображении с периодической динамикой: методика определения длительности переходного процесса.

2.2 Универсальные закономерности переходных процессов в одномерных отображениях.

2.3 Универсальные закономерности переходных процессов в двумерных отображениях.

2.4 Переходные процессы в сети со сложной топологией, состоящей из взаимодействующих отображений: методика определения

2.5 Переходные процессы в сети со сложной топологией, состоящей из взаимодействующих отображений: численный эксперимент

2.6 Выводы по второй главе.

3 Режим полной хаотической синхронизации сети со сложной топологией, состоящей из взаимодействующих пространственно-распределенных систем

3.1 Построение сети со сложной топологией, состоящей из взаимодействующих распределенных пучково-плазменных систем

3.2 Устойчивость режима полной хаотической синхронизации сети, состоящей из взаимодействующих распределенных пучково-плазменных систем.

3.3 Сеть со сложной топологией, состоящая из взаимодействующих диодов Пирса: численное моделирование.

3.4 Выводы по третьей главе.

Актуальность исследуемой проблемы

Изучение поведения нелинейных динамических систем, способных демонстрировать сложное поведение, уже давно находится в центре внимания исследователей [1-16]. Одной из обширных областей исследования нелинейной динамики является изучение коллективного поведения взаимодействующих нелинейных систем и, прежде всего, проблем, берущих свое начало с работ Гюйгенса 1665 - 1667 годов, связанных с исследованиями явления синхронизации в коллективной динамике [17]. Интерес к изучению этого явления не прекращается и в настоящее время, что определяется важным фундаментальным [11,18-22] и практическим значением (например, в биологических и физиологических [23-28], химических [29], экологических [30], астрономических [31], радиофизических [32-35] задачах, при скрытой передаче информации с помощью хаотических сигналов [36-44], при управлении системами сверхвысокочастотной электроники [45] и т. п.). Первоначально рассматривалась синхронизация периодических колебаний, однако интенсивное развитие теории динамического хаоса [46-51] вызвало новый интерес к проблеме синхронизации автоколебательных систем, демонстрирующих хаотическую динамику [11,32,52-55]. С развитием теории динамического хаоса и хаотической синхронизации было выявлено достаточно большое число различных типов хаотического синхронного поведения связанных динамических систем с потоковым временем: полная синхронизация [56-62], синхронизация с запаздыванием (лаг-синхронизация) [63, 64], обобщенная синхронизация [65, 66], частотная синхронизация [67,68], фазовая синхронизация [69-71], частичная синхронизация [72], проекционная синхронизация [73] и синхронизация времен4 них масштабов [74-77]. Активно исследуется также неавтономное поведение динамических систем, находящихся под негармоническим (импульсным, квазипериодическим) воздействием [78-80]. Одновременно, проводились исследования хаотической синхронизации в нелинейных системах с дискретным временем (отображениях) [81]. В коллективной динамике связанных отображений принято выделять следующие типы синхронного поведения: сильная синхронизация (полная синхронизация) [82-84], слабая синхронизация [85-87], слабо асинхронная динамика [88,89], обобщенная синхронизация [90,91] а также явления "ридлинга" и "баблинга", связанные с явлением модуляционной перемежаемости "on-off" типа на границе возникновения сильной синхронизации [92,93]. Столь интенсивное развитие данной области нелинейной динамики привело к выходу исследований хаотической синхронизации за рамки рассмотрения двух взаимодействующих систем, и в последние годы акцент наиболее интенсивно ведущихся исследований синхронизации хаоса смещается в сторону изучения больших ансамблей связанных хаотических динамических систем. Исследование особенностей коллективной динамики больших ансамблей связанных хаотических осцилляторов началось с изучения динамики цепочек [94-96] и решеток [97-99] взаимодействующих элементов и постепенно перешло к изучению сетей нелинейных элементов со сложной топологией связей между элементами [100-106]. В настоящее время именно эти объекты -сети хаотических нелинейных элементов со сложной топологией - привлекают наибольшее внимание исследователей, что во многом определяется большим числом объектов в природе и технике, которые можно описать с помощью сетей. Сюда относятся ряд физических [33,107-109] и физиологических систем [110-113], а также объекты нейродинамики [114-119].

Необходимо отметить, что проблема синхронного поведения элементов сложной сети является хотя и далеко не единственной, связанной со сложными сетями, но одной из центральных и активно изучаемых (см., например, [120]). В таких ансамблях нелинейных элементов возможны различные режимы коллективного поведения, демонстрирующего признаки синхронизма - полная синхронизация [120], кластерная синхронизация [121-124], фазовая синхронизация [125-127]. Под полной хаотической синхронизацией сети понимается такой режим синхронной динамики, когда все элементы демонстрируют идентичное хаотическое поведение. В режиме кластерной синхронизации в сети существуют кластеры из конечного числа элементов, демонстрирующие режим полной синхронизации, в то время как между этими кластерами полная синхронизация отсутствует. В том случае, если число элементов в ансамбле невелико, вместо термина "кластерная синхронизация" обычно используют термин "частичная синхронизация" [88,128-131].

Как правило, в центре внимания исследователей находятся сети, состоящие из идентичных элементов с малым числом степеней свободы. В таких сетях изучены процессы формирования синхронных кластеров [132-134], выявлены условия существования синхронных режимов [135-137], в том числе и в тех случаях, когда структура связей между узловыми элементами сети изменяется с течением времени [103]. Особо следует отметить исследования, посвященные изучению режима полной синхронизации сети: в этой области удалось достигнуть впечатляющих успехов - существует методика определения устойчивости синхронного состояния, позволяющая перейти от анализа сети с большим числом идентичных элементов к рассмотрению, фактически, только одной системы, определяемой узловым элементом сети [101,102].

В то же самое время, несмотря на значительный интерес к проблеме синхронной динамики больших ансамблей элементов со сложной топологией связей и большое число публикаций по данному направлению, утверждать, что в рассматриваемой области все проблемы уже решены, было бы явно преждевременно. Существует большое число вопросов, ответы на которые еще не найдены и решение которых могло бы способствовать значительному продвижению вперед в понимании основных закономерностей и особенностей неавтономного поведения больших ансамблей нелинейных систем, способных демонстрировать сложное поведение.

В первую очередь, необходимо отметить направление исследований устойчивости режима полной синхронизации сетей, состоящих из элементов с малым числом степеней свободы. Уже проведённые исследования данной тематики в большей степени относились к сетям идентичных конечномерных элементов с непрерывным типом времени [101,102,136,137]. В работах [101,102] для подобных объектов представлен простой метод определения диапазона устойчивости режима полной синхронизации в пространстве управляющих параметров. Однако, идентичность взаимодействующих элементов является весьма сильным ограничением применимости полученных результатов: очевидно, что ни одна реальная сеть не может быть построена из абсолютно идентичных элементов. Одновременно, незаслуженно обойдёнными вниманием оказываются сети, состоящие из систем с дискретным временем (отображений), также являющиеся важными объектами исследований [138,139].

Во-вторых, важной и интересной задачей представляется проблема исследования переходных процессов, приводящих сложную сеть к режиму полной синхронизации. Как правило, при изучении сложного поведения нелинейных динамических систем с дискретным или непрерывным временем, с сосредоточенными или распределенными параметрами, основной интерес исследователей вызывают установившиеся режимы колебаний и то, каким образом происходит смена этих режимов при изменении управ-4 ляющих параметров системы [140,141]. При этом переходные процессы в большинстве случаев рассматриваются как нечто второстепенное, не вызывающее особого интереса. В то же самое время следует отметить, что переходный процесс несет информацию о системе и в ряде случаев оказывается более целесообразным рассматривать поведение системы, находящейся именно в стадии переходного процесса [142-145], а не тогда, когда система вышла на аттрактор. Следует также отметить, что круг задач, примыкающих к исследованию переходных процессов, достаточно широк: это исследование строения бассейнов притяжения сосуществующих аттракторов и их границ в случае мультистабильности [146], изучение явления переходного хаоса [147,148], которое возникает при кризисе хаотического аттрактора [149,150] и которое по своей сути также является переходным процессом, определение времени ожидания изображающей точки в малой окрестности фазового пространства системы при управлении хаосом [151-153] и т. п. В качестве объектов исследования переходных процессов выбираются, как правило, динамические системы с дискретным временем, в силу того что, с одной стороны, они относительно просты, а с другой стороны, в них имеют место основные нелинейные явления, свойственные потоковым и распределенным динамическим системам.

Кроме того, важным и интересным вопросом является вопрос о возникновении режима полной синхронизации в сети бесконечномерных распределенных систем. Очевидным фактом представляется, что именно бесконечномерные распределенные системы являются наиболее полными и адекватными моделями реальных объектов природы и техники [154]. К распределенным автоколебательным системам относятся оптические квантовые генераторы (лазеры) [155-157], важнейшие функциональные системы живого организма (системы кровообращения, дыхания, речи) [158-162], переменные звезды (цефеиды) [163-165], автокаталитические химические реакции [166-168], и т. п. Кроме того, автоколебательный характер носят некоторые процессы, связанные с сосуществованием различных биологических видов [169, 170]. Как уже упоминалось выше, хаотическая синхронизация в сетях распределенных элементов практически не изучалась, за исключением предельного случая двух взаимодействующих систем [21,171-178]. Однако, поскольку конечномерные системы зачастую являются аппроксимациями бесконечномерных распределенных систем, можно предположить, что и для сети распределенных элементов можно найти некоторые общие закономерности с уже изученными сетями потоков и отображений. Малая изученность данной проблемы определяется, в основном, сложностью самих элементов, образующих сеть. В настоящее время даже теория пространственно-временного хаоса свободной бесконечномерной распределенной динамической системы весьма далека от своего завершения [179].

Тем не менее, подобные исследования синхронизации хаоса в распределенных системах необходимы и актуальны, так как они позволяют лучше понять закономерности явления хаотической синхронизации ансамбля взаимодействующих систем, выявить общие закономерности и отличия в поведении сетей нелинейных элементов со сосредоточенными и распределенными параметрами, выяснить механизмы перехода от одного типа синхронного поведения к другому в подобных сетях. Эта задача представляет интерес также с точки зрения разработки радиофизических систем сверхвысокочастотного (СВЧ) диапазона, в частности, таких, как нелинейные антенны и системы передачи информации на основе явления хаотической синхронизации [38,180]. Как правило, при анализе устойчивости синхронного состояния модуля антенной решетки используются системы с малым числом степеней свободы - радиотехнические генераторы [181-183], в то время как для сверхвысокочастотных приборов и устройств более адекватно рассматривать пространственно-распределенные системы, такие как лампа обратной волны [184-188], клистронные генераторы [189], гиропри-боры [190,191] и т. п.

Именно на решение упомянутых проблем направлена диссертация, поскольку исследования сложных сетей, состоящих из распределенных или конечномерных систем представляются весьма важными и актуальными как с прикладной [15,38,177,192,193], так и фундаментальной [15,194-196] точек зрения, всё вышеизложенное позволяет считать тему диссертации, посвященной исследованию режимов полной хаотической синхронизации и переходных процессов в системах радиофизики и физической электроники с помощью методов нелинейной динамики, актуальной и важной для современной науки.

Цель диссертационной работы

Целью настоящей диссертационной работы является детальное изучение возникновения синхронизма в коллективной динамике нелинейных автоколебательных систем, демонстрирующих хаотическое поведение, разработка универсального метода диагностики режима полной синхронизации произвольной сети со сложной топологией связей, состоящей из нелинейных хаотических конечно- и бесконечномерных элементов различной природы. Достижение этой цели в диссертационной работе реализуется решением следующих задач.

• Исследование режима полной синхронизации в сети произвольной топологии взаимодействующих хаотических отображений; разработка метода главного ляпуновского показателя для рассматриваемой сети.

• Выявление связи предложенного метода главного ляпуновского показателя системы взаимодействующих элементов и классической теории трансверсальной устойчивости синхронного состояния.

• Сопоставление слабосинхронизированных режимов неавтономной динамики в системах двух связанных нелинейных хаотических осцилляторов с дискретным и потоковым временем.

• Изучение режимов полной синхронизации в сложной сети произвольной топологии, состоящей из диссипативно связанных слабо неидентичных хаотических элементов с дискретным и непрерывным временем.

• Исследование переходных процессов в эталонных моделях нелинейной динамики, определение времени, необходимого для установления устойчивого синхронного режима в больших ансамблях взаимодействующих систем при фиксированных значениях управляющих параметров и величинах мощности межэлементной связи.

• Изучение режима полной синхронизации в сети произвольной топологии бесконечномерных распределенных систем с различными типами межэлементной связи. Создание для сложной сети пространственно распределенных систем метода определения диапазона устойчивости режима полной хаотической синхронизации, аналогичного методу главного ляпуновского показателя для сети со сложной топологией, состоящей из сосредоточенных систем.

Результаты решения данных задач позволяют утверждать, что в диссертационной работе выявлены общие закономерности коллективной динамики и синхронных режимов в сложных сетях (описан единый метод

10 анализа произвольных сложных сетей, состоящих из конечно- или бесконечномерных элементов), что, как уже отмечалось выше, и является основной целью настоящей диссертационной работы.

В качестве объектов исследований в данной диссертационной работе выбраны динамические системы, являющиеся эталонными в нелинейной динамике (в частности, логистическое отображение, система Ресслера [197]), а также классические системы радиофизики и физической электроники (диод Пирса [198], генератор "Torus" [199]).

Научная новизна

В настоящей диссертационной работе впервые решена задача, имеющая существенное значение для радиофизики и физической электроники. Научная новизна результатов, представленных в диссертационной работе, заключается в установлении основных закономерностей, присущих синхронной динамике больших ансамблей связанных хаотических систем, выработке универсального подхода для диагностики устойчивости режима полной синхронизации произвольных сетей со сложной топологией, состоящих из хаотических бесконечно- и конечномерных элементов, разработке методик по определению длительности переходных процессов систем, находящихся в периодических и хаотических режимах колебаний. В диссертации впервые получены следующие основные результаты.

• Разработана методика определения границ диапазона устойчивости режима полной синхронизации сети со сложной топологией, состоящей из хаотических отображений. Показано, что предложенный метод главного ляпуновского показателя хорошо соотносится с классической теорией трансверсальной устойчивости синхронного состояния; для системы двух взаимодействующих отображений главный ляпу-новский и старший поперечный трансверсальный ляпуновский показатели совпадают.

• Выявлена взаимосвязь между различными типами синхронной динамики хаотических систем с непрерывным (потоки) и дискретным

11 отображения) временем. Показано, что при слабой расстройке управляющих параметров тип поведения связанных отображений, возникающий с уменьшением параметра связи при разрушении полной синхронизации, который считался раньше асинхронным, соответствует фазовой синхронизации потоковых систем и должен рассматриваться как синхронный режим [200-209].

Выявлена связь между спектральными представлениями поведения систем с непрерывным и дискретным типами времени. Показано, что сечение Пуанкаре, используемое для получения отображения возврата, может рассматриваться как своеобразный фильтр низких частот [210].

Изучен режим полной синхронизации сетей слабо неидентичных хаотических конечномерных элементов с непрерывным и дискретным типами времени. Предложена методика, основанная на расчете главного ляпуновского показателя сети, позволяющая диагностировать диапазон устойчивости режима полной хаотической синхронизации в пространстве управляющих параметров сети и величин мощности межэлементной связи [211].

Для сложных сетей, состоящих из конечномерных хаотических элементов с непрерывным и дискретным типами времени показано, что слабая неидентичность элементов так же, как и введение шума небольшой интенсивности в систему, приводит к уменьшению границ диапазона устойчивости режима полной синхронизации сети. При этом существуют некоторые предельные значения границ области устойчивости режима полной синхронизации, при достижении которых дальнейшее увеличение уровня неидентичности элементов (или вводимого в систему шума) не приводит к дальнейшему уменьшению диапазона устойчивости полной синхронизации [212,213].

Разработаны методики определения длительности переходных процессов в автономных динамических системах (отображениях) и в больших ансамблях хаотических элементов. Выявлен ряд скейлинго

12 вых закономерностей (свойств самоподобия), характерных для зависимости длительности переходных процессов от начальных условий в одномерных и двумерных отображениях [145,214-218]-.

• Исследованы основные закономерности, присущие переходным процессам больших ансамблей хаотических элементов, находящихся в режиме полной хаотической синхронизации. Показано, что в большой сети со сложной топологией, состоящей из одномерных отображений, переходные процессы демонстрируют один глобальный минимум, определяемый топологией сети при варьировании управляющего параметра в рамках одного динамического режима системы. На границах разрушения режима полной хаотической синхронизации сети длительность переходных процессов резко возрастает.

• Исследована полная синхронизация сетей сложной топологии распределенных пучково-плазменных систем сверхвысокочастотного диапазона радиофизической природы - диодов Пирса. Разработана аналитическая методика определения диапазона устойчивости полной синхронизации, основанная на расчете старшего ляпуновского показателя исследуемой сети взаимодействующих через граничные условия элементов [219,220].Показано, что режим полной синхронизации произвольной сети и конечно-, и бесконечномерных элементов может быть описан с помощью одного и того же подхода, основанного на рассмотрении главного ляпуновского показателя.

Основные результаты диссертации получены автором лично. В большинстве совместных работ автором выполнены все численные и аналитические расчеты. Постановка задач, разработка методов их решения, объяснение и интерпретация результатов были осуществлены совместно с научными руководителями и другими соавторами научных работ, опубликованных соискателем.

Научная и практическая значимость

Научная и практическая значимость диссертационной работы состоит в том, что полученные в ней результаты выявляют одну из важных закономерностей коллективной динамики нелинейных хаотических систем. Исследование проводилось прежде всего на основе моделей, являющихся базовыми для нелинейной теории колебаний и волн, радиофизики и физической электроники. Поэтому полученные в диссертационной работе результаты имеют общий характер и могут быть перенесены на другие радиофизические (и не только радиофизические, но и иные) системы. Результаты, полученные в рамках диссертационной работы, позволяют продвинуться в понимании общих закономерностей, присущих режиму полной хаотической синхронизации больших ансамблей нелинейных систем, выявить общие характерные черты синхронизации в конечно- и бесконечномерных динамических системах с непрерывным и дискретным временем. Можно утверждать, что полученные результаты имеют важное фундаментальное значение и позволяют продвинуться в понимании таких проблем, как возникновение полностью идентичной динамики в связанных системах различной природы. Таким образом, результаты проведенных исследований важны для общей теории колебаний и волн.

Вместе с тем, применение предложенного подхода к описанию синхронного поведения взаимодействующих нелинейных систем на основе метода старшего ляпуновского показателя сети позволяет эффективно и с малыми затратами времени численного счета диагностировать режим полной хаотической синхронизации и осуществлять поиск диапазона устойчивости режима полной синхронизации в сети произвольных элементов с единых позиций, что имеет весьма широкую область потенциального применения в различных областях науки и техники. В частности, разработанные методы расчета устойчивости синхронного состояния сети элементов и систем физической электроники могут быть применены для расчета оптимальной конфигурации активных модулей нелинейных антенн.

Результаты диссертации были использованы при выполнении ряда НИР и научных грантов, а также внедрены в учебный процесс в Саратовском

14 государственном университете на факультете нелинейных процессов и физическом факультете по специальностям "Физика открытых нелинейных систем", "Радиофизика и электроника" и направлению подготовки бакалавров и магистров "Радиофизика". Кроме того результаты, полученные в рамках выполнения настоящей диссертационной работы, частично вошли в монографию "Методы нелинейной динамики и теории хаоса в задачах электроники сверхвысоких частот", в настоящее время издаваемую в издательстве "Физматлит", г. Москва.

Основные результаты, выводы и положения, выносимые на защиту

1. Для сети со сложной топологией, состоящей из диссипативно связанных слабо неидентичных нелинейных хаотических конечномерных элементов с непрерывным (потоки) и дискретным (отображения) временем, предложен универсальный метод диагностики устойчивости режима полной синхронизации, основанный на расчете главного ля-пуновского показателя по динамике всего одного узлового элемента сети.

2. Слабая неидентичность элементов сети так же, как и наличие шума слабой интенсивности в системе идентичных элементов, приводит к уменьшению диапазона устойчивости режима полной синхронизации сети. Существуют некоторые предельные значения границ области устойчивости режима полной синхронизации, при достижении которых дальнейшее увеличение уровня неидентичности элементов (или вводимого в систему шума) не приводит к дальнейшему уменьшению диапазона устойчивости полной хаотической синхронизации.

3. Тип поведения слабо неидентичных связанных систем с дискретным временем, возникающий с уменьшением параметра связи при разрушении режима полной синхронизации, который считался раньше асинхронным, соответствует фазовой синхронизации потоковых систем и должен рассматриваться как синхронный режим.

15

4. Режим полной хаотической синхронизации произвольной сети со сложной топологией, состоящей из взаимодействующих распределённых систем, может быть обнаружен с помощью метода главного пространственного ляпуновского показателя данной сети. Поэтому, анализ устойчивости исследуемого режима полной хаотической синхронизации может быть проведен путем рассмотрения динамики одной распределенной системы, играющей роль узлового элемента сети.

5. В большой сети со сложной топологией, состоящей из одномерных хаотических отображений, зависимость длительности переходных процессов от параметра связи демонстрирует один глобальный минимум, определяемый топологией сети, и на границах разрушения режима полной хаотической синхронизации сети резко возрастают.

Структура и объём работы

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения. Она содержит 179 страниц текста и 40 иллюстраций. Библиографический список содержит 303 наименования.

3.4 Выводы по третьей главе

Итак, в третьей главе диссертационной работы приведены результаты изучения коллективной динамики в больших ансамблях связанных распределенных систем пучково-плазменной природы.

Описана разработанная методика определения устойчивости режима полной хаотической синхронизации в сложной сети, состоящей из диссипативно связанных бесконечномерных систем, демонстрирующих пространственно-временной хаос. Предлагаемый способ основывается на рассмотрении главного пространственного ляпуновского показателя исследуемой сети, расчет которого позволяет определить границы устойчивости режима полной хаотической синхронизации. Концепция главного ляпуновского показателя во многом схожа с формализмом, описанным в первой главе диссертации для сложных сетей, состоящей из сосредоточенных систем, что делает возможным сравнение режима полной синхронизации в ансамблях конечномерных и бесконечномерных систем.

С помощью предложенной методики впервые выполнено исследование устойчивости режима полной хаотической синхронизации сети со сложной топологией связей, состоящей из систем СВЧ-электроники - гидродинамических моделей диода Пирса. Показано, что при физичной связи между элементами (через граничные условия) сеть демонстрирует устойчивый режим полной синхронизации в определенной области диапазона значений параметра связи. Следует отметить, что с ростом количества элементов, составляющих сеть, область устойчивости режима полной хаотической синхронизации уменьшается. Кроме того, границы интервала устойчивого режима полной синхронизации меняются при изменении топологии межэлементных связей сети.

Заключение

В настоящей диссертационной работе описаны результаты исследования синхронизма в коллективной динамике нелинейных автоколебательных систем, демонстрирующих хаотическое поведение, представлен универсальный метод диагностики режима полной синхронизации произвольной сети со сложной топологией связей, состоящей из нелинейных хаотических конечномерных и бесконечномерных элементов различной природы. Также рассмотрены переходные процессы в больших сетях элементов, демонстрирующих синхронный режим хаотических колебаний, описаны методики по определению длительности переходных процессов систем, находящихся в периодических и хаотических режимах колебаний.

В диссертации впервые получены следующие основные результаты.

1. Изучена устойчивость режима полной синхронизации сетей слабо неидентичных хаотических конечномерных элементов с непрерывным и дискретным типами времени. Предложена методика, основанная на расчете главного ляпуновского показателя сети, позволяющая диагностировать диапазон устойчивости режима полной хаотической синхронизации в пространстве управляющих параметров сети и величин мощности межэлементной связи [211]. Описанная методика без проведения прямого численного моделирования динамики сети дает возможность предсказать наличие и протяженность диапазона значений управляющих параметров, в котором наблюдается устойчивость полной хаотической синхронизации. Применение данного метода показало, что увеличение числа элементов сети приводит к сужению диапазона устойчивости режима полной синхронизации, кроме того, границы данного диапазона зависят от топологии межэлементных связей. Показано, что предложенный метод главного ляпуновского показателя хорошо соотносится с классической теорией трансверсаль-ной устойчивости синхронного состояния: для системы двух взаимодействующих отображений главный ляпуновский показатель сети и старший поперечный трансверсальный ляпуновский показатель син-хроного многообразия совпадают.

2. Выявлена взаимосвязь между различными типами синхронной динамики хаотических систем с непрерывным (потоки) и дискретным (отображения) временем. Показано, что при слабой расстройке управляющих параметров тип поведения связанных отображений, возникающий с уменьшением параметра связи при разрушении полной синхронизации, который считался раньше асинхронным, соответствует фазовой синхронизации потоковых систем и должен рассматриваться как синхронный режим [200-209]. Показано, к какому "усечению" информации исходной динамической системы приводит редукция потока в отображение, проводимая с помощью сечения Пуанкаре. Выявленная связь между спектральными представлениями поведения систем с непрерывным и дискретным типами времени позволяет утверждать, что сечение Пуанкаре, используемое для получения отображения возврата, может рассматриваться как своеобразный фильтр низких частот [210].

3. Для сложных сетей, состоящих из конечномерных хаотических элементов с непрерывным и дискретным типами времени показано, что слабая неидентичность элементов так же, как и введение шума небольшой интенсивности в систему, приводит к уменьшению границ диапазона устойчивости режима полной синхронизации сети. При этом существуют некоторые предельные значения границ области устойчивости режима полной синхронизации, при достижении которых дальнейшее увеличение уровня неидентичности элементов (или вводимого в систему шума) не приводит к дальнейшему уменьшению диапазона устойчивости полной синхронизации [212,213].

4. С помощью разработанных методик, исследована зависимость длительности переходных процессов в эталонных моделях нелинейной динамики, как свободных, так и объединяемых в большие сети. Показано, что вид зависимости длительности переходных процессов от начальных условий в свободном одномерном отображении усложнется при увеличении управляющего параметра, что определяется появлением неустойчивых циклов в фазовом пространстве системы. Кроме того, на базе каждого из неустойчивых циклов существует скейлинг зависимости длительности переходных процессов от начальных условий с масштабным коэффициентом, определяемым видом конкретной системы.

Вид зависимости переходных процессов от начальных условий в двумерных динамических системах с дискретным временем определяется поведением многообразий устойчивых и неустойчивых циклов, существующих в фазовом пространстве системы. Переходные, процессы минимальной длительности соответствуют начальным условиям, принадлежащим устойчивому неведущему многообразию устойчивого цикла, которое характеризуется наименьшим по модулю мультипликатором ("быстрому" многообразию). В тот момент, когда при изменении управляющих параметров (в рамках одного динамического режима) наибольший по модулю мультипликатор устойчивого цикла становится отрицательным, происходит перестройка и усложнение структуры поверхности зависимости длительности переходных процессов от начальных условий.

В большой сети со сложной топологией, состоящей из одномерных логистических отображений в хаотическом режиме, переходные процессы демонстрируют один глобальный минимум, определяемый топологией сети при варьировании управляющего параметра в рамках одного динамического режима системы, и резко возрастают на границах диапазона устойчивости режима полной хаотической синхронизации сети.

5. Исследована полная синхронизация сетей сложной топологии распределенных пучково-плазменных систем сверхвысокочастотного диапазона - диодов Пирса. Разработана аналитическая методика определения диапазона устойчивости полной синхронизации, основанная на расчете старшего пространственного ляпуновского показателя исследуемой сети взаимодействующих через граничные условия элементов [219,220]. Показано, что режим полной синхронизации произвольной сети и конечно-, и бесконечномерных элементов может быть описан с помощью одного и того же подхода, основанного на рассмотрении главного ляпуновского показателя.

Решение данных задач позволяет утверждать, что в диссертационной работе выявлены общие закономерности коллективной динамики и синхронных режимов в сложных сетях, показано наличие единого метода анализа произвольных сложных сетей, состоящих из конечномерных и бесконечномерных элементов, что является основной целью настоящей диссертационной работы.

Благодарности

В заключение выражаю глубокую признательность своим научным руководителям член-корресподенту РАН, профессору, д.ф.-м.н. Трубецкову Дмитрию Ивановичу за интенсивную плодотворную многолетнюю работу, а также за всестороннюю помощь, поддержку и терпение при подготовке данной диссертационной работы и доценту, к.ф.-м.н. Короновскому Алексею Александровичу. Особую признательность хочу выразить и профессору Храмову Александру Евгеньевичу, чьё человеческое участие и поддержка помогали мне на протяжении всего этого срока. Благодарю профессора Юрия Ивановича Лёвина и зам. главного редактора журнала "Прикладная нелинейная динамика" к.ф.-м.н. Наталью Николаевну Левину за помощь в подготовке диссертации к изданию, а также всех товарищей и коллег по работе за помощь и поддержку на различных этапах выполнения данной работы.

1. Г. Шустер, Детерминированный хаос, М.: Мир, 1988.

2. В. В. Астахов, Б. П. Безручко, В. И. Пономаренко, Е. П. Селезнев, Мультиста-билъность в колебательных системах с удвоением периода и однонаправленными связями, Доклады Академии Наук СССР 314 (1990), No. 2, 332-336.

3. П. Берже, И. Помо, К. Видаль, Порядок в хаосе, М.: Мир, 1991.

4. В. В. Астахов, Б. П. Безручко, В. И. Пономаренко, Е. П. Селезнев, Мульти-стабилъностпъ в системе радиотехнических осцилляторов с емкостной связью, Радиотехника и электроника 36 (1991), No. 11, 2167-2171.

5. В. И. Пономаренко, Д. И. Трубецков, Сложная динамика автогенератора на вакуумном микротриоде: вычислительный и аналоговый эксперименты на радиотехнической моделе, Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика 2 (1994), No. 6, 56-65.

6. P. S. Landa, Nonlinear oscillations and waves in dynamical systems, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht-Boston-London, 1996.

7. С. П. Кузнецов, Динамический хаос, серия "Современная теория колебаний и волн", М.: Физматлит, 2001.

8. Ю. JI. Климонтович, Введение в физику открытых систем, М.: "Янус-К", 2002.

9. X. В. Брур, Ф. Дюмортье, С. Стрин, Ф. Такенс, Структуры в динамике, М.Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003.

10. В. С. Анищенко, Т. Б. Вадивасова, Синхронизация автоколебаний и колебаний, индуцированных шумом, Радиотехника и электроника 47 (2002), No. 2, 133-162.

11. Д- И. Трубецков, А. Е. Храмов, Лекции по сверхвысокочастотной электронике для физиков, т. 1., М.: Физматлит, 2003.

12. Д. И. Трубецков, А. Е. Храмов, Лекции по сверхвысокочастотной электронике для физиков т. 2., М.: Физматлит, 2004.

13. И. И. Блехман, Синхронизация динамических систем, М.: Наука, 1971.

14. И. И. Блехман, Синхронизация в природе и технике, М.: Наука, 1981.

15. П. С. Ланда, Ю. С. Рендель, В. Ф. Шер, Синхронизация колебаний в системе Лоренца, Изв. вузов. Радиофизика 32 (1989), No. 9, 1172.

16. П. С. Ланда, М. Г. Розенблюм, О синхронизации распределенных автоколебательных систем, Доклады Академии Наук 324 (1992), No. 1, 63-38.

17. P. S. Landa, М. G. Rosenblum, Synchronization and chaotization of oscillations in coupled self-oscillating systems, Appl. Mech. Rev. 46 (1993), No. 7, 414-426.

18. А. А. Короновский, В. И. Пономаренко, М. Д. Прохоров, А. Е. Храмов, Изучение синхронизации автоколебаний по унивариантным данным при изменении частоты внешнего воздействий с использованием вейвлетного анализа, Письма в ЖТФ 32 (2006), No. 11, 81-88.

19. R. Stoop, A. Kern, М.С. Goepfert, D.A. Smirnov, T.V. Dikanev, B.P. Bezruchko, A generalization of the Van-der-Pol oscillator underlies active signal amplification in drosophila hearing, Eur. Biophys. J. (2006), DOI 10.1007/s00249-006-0059-5.

20. М.Д. Прохоров, М.Б. Бодров, В.И. Пономаренко, В.И. Гриднев, А.Б. Беспятов, Исследование синхронизации между ритмами сердечно-сосудистой системы человека по последовательностям R-R-интервалов, Биофизика 50 (2005), No. 5, 914-919.

21. L. Glass, Synchronization and rhythmic processes in -physiology, Nature (London) 410 (2001), 277-284.

22. V. S. Anishchenko, A. G. Balanov, N. B. Janson, N. B. Igosheva, G. V. Bordyugov, Entrainment between heart rate and weak nonlinear forcing, Int. J. Bifurcation and Chaos 10 (2000), No. 10, 2339-2348.

23. Д. Э. Постнов, С. К. Хан, Механизм противофазной синхронизации в моделях нейронов, Письма в ЖТФ 25 (1999), No. 4, 11-18.

24. P. Parmananda, Generalized synchronization of spatiotemporal chemical chaos, Phys. Rev. E 56 (1997), 1595-1598.

25. B. Blasiusc, L. Stone, Chaos and phase synchronisation in ecological systems, Int. J. Bifurcation and Chaos 10 (2000), No. 10, 2361-2380.

26. M. Palus, J. Kurths, U. Schwarz, D. Novotna, I. Charvatova, Is the solar activity cycle synchronized with the solar inertial motion? Int. J. Bifurcation and Chaos 10 (2000), No. 11, 2519-2526.

27. В. В. Матросов, В. Д. Шалфеев, Д. В. Касаткин, Анализ областей генерации хаотических колебаний взаимосвязанных фазовых систем, йзв. вузов. Радиофизика 49 (2006), No. 5, 448-457.

28. В. Д. Шалфеев, Г. В. Осипов, А. К. Козлов, А. Р. Волковский, Хаотические колебания — генерация, синхронизация, управление, Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники (1997), No. 10, 27-49.

29. А. А. Короновский, В. И. Пономаренко, М. Д. Прохоров, А. Е. Храмов, Диагностика синхронизации автоколебательных систем при изменении частоты внешнего воздействия с использованием вейвлетного анализа, Радиотехника и электроника 52 (2007), No. 5.

30. В. П. Пономаренко, В. В. Матросов, Нелинейные явления в системе взаимосвязанных устройств фазовой синхронизации, Радиотехника и электроника 38 (1993), No. 4, 711-720.

31. К. Murali, М. Lakshmanan, Transmission of signals by synchronization in a chaotic Van der Pol-Duffing oscillator, Phys. Rev. E 48 (1994), No. 3, R1624-R1626.

32. T. Yang, C. W. Wu, L. O. Chua, Cryptography based on chaotic systems, IEEE Trans. Circuits and Syst. 44 (1997), No. 5, 469-472.

33. А. С. Дмитриев, А. И. Панас, Динамически хаос: новые носители информации для систем связи, М.: Физматлит, 2002.

34. V. S. Anishchenko, A. N. Pavlov, Global reconstruction in application to multichannel communication, Phys. Rev. E 57 (1998), 2455-2457.

35. K. Pyragas, Synchronisation of coupled time-delay systems: analytical estimations, Phys. Rev. E 58 (1998), No. 3, 3067-3071.

36. K. Murali, M. Lakshmanan, Drive-response scenario of chaos syncronization in identical nonlinear systems, Phys. Rev. Б 49 (1994), No. 6, 4882-4885.

37. K. Cuomo, A. V. Oppenheim, Circuit implementation of synchronized chaos with applications to communications, Phys. Rev. Lett. 71 (1993), No. 1, 65-68.

38. V. I. Ponomarenko, M. D. Prokhorov, Extracting information masked by the chaotic signal of a time-delay system, Phys. Rev. Б 66 (2002), No. 2, 026215.

39. Y.I. Ponomarenko, M.D Prokhorov, Coding and recovery of information masked by the chaotic signal of a time-delay system, J. of Communications Technology & Electronics 49 (2004), No. 9, 1031-1037.

40. Д. И. Трубецков, А. А. Короновский, A. E. Храмов, Синхронизация распределенных автоколебательных систем электронно-волновой природы с обратной волной, Изв. вузов. Радиофизика XLVII (2004), No. 5-6, 343-372.

41. Ю. И. Неймарк, П. С. Ланда, Стохастические и хаотические колебания, М.: Наука, 1987.

42. А. С. Дмитриев, В. Я. Кислов, Стохастические колебания в радиофизике и электронике, М.: Наука, 1989.

43. В. С. Анищенко, Сложные колебания в простых системах, М.: Наука, 1990.

44. В. С. Анищенко, В. В. Астахов, Т. Е. Летчфорд, Многочастотные и стохастические автоколебания в автогенераторе с инерционной нелинейностью, Радиотехника и электроника 27 (1980), No. 10, 1972.

45. В. С. Анищенко, Т. Е. Вадивасова, В. В. Астахов, Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем, фундаментальные основы и избранные проблемы, Саратов: Изд-во Сарат.ун-та. 1999.

46. А. С. Дмитриев, В. Я. Кислов, С. О. Старков, Экспериментальное исследование образования и взаимодействия странных аттракторов в кольцевом автогенераторе, ЖТФ 5 (1985), No. 12, 2417-2419.

47. А. С. Пиковский, М. Г. Розенблюм, Ю. Курте, Синхронизация. Фундаментальное нелинейное явление, М.: Техносфера, 2003.

48. В. С. Анищенко, Т. Е. Вадивасова, В. В. Астахов, Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем, Саратов: Изд—во Сарат. ун-та, 1999.

49. В. С. Анищенко, Д. Э. Постнов, Эффект захвата фазовой частоты хаотических колебаний. Синхронизация странных аттракторов, Письма в ЖТФ 14 (1988), No. 6, 569.

50. В. Д. Шалфеев, В. В. Матросов, Об эффектах захвата и удержания при синхронизации хаотически модулированных колебаний, Изв. вузов. Радиофизика 41 (1998), No. 12, 1033-1036.

51. Н. Fujisaka, Т. Yamada, Stability theory of synchronized motion in coupled-oscillator system, Progress of Theoretical Physics 69 (1983), 32.

52. А. С. Пиковский, О взаимодействии странных аттракторов, Препринт ИПФ АН СССР. Горький, 1983.

53. С. П. Кузнецов, Универсальность и подобие в поведении связанных систем Фей-генбаума, Изв. вузов. Радиофизика 29 (1986), 1050.

54. В. С. Афраймович, Н. Н. Веричев, М. И. Рабинович, Стохастическая синхронизация колебаний в диссипативных системах, Изв. вузов. Радиофизика 29 (1986), 1050.

55. L. М. Pecora, Т. L. Carroll, Synchronization in chaotic systems, Phys. Rev. Lett. 641990), No. 8, 821-824.

56. L. M. Pecora, T. L. Carroll, Driving systems with chaotic signals, Phys. Rev. A 441991), No. 4, 2374-2383.

57. А. В. Шабунин, С. M. Николаев, В. В. Астахов, Двухпараметрический бифуркационный анализ режимов полной синхронизации хаоса в ансамбле из трех осцилляторов с дискретным временем, Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика 13 (2005), No. 5-6, 24-39.

58. М. G. Rosenblum, A. S. Pikovsky, J. Kurths, Prom phase to lag synchronization in coupled chaotic oscillators, Phys. Rev. Lett. 78 (1997), No. 22, 4193-4196.

59. S. Taherion, Y.-C. Lai, Observability of lag synchronization of coupled chaotic oscillators, Phys. Rev. Б 59 (1999), No. 6, R6247-R6250.

60. N. F. Rulkov, M. M. Sushchik, L. S. T^imring, H. D.I. Abarbanel, Generalized synchronization of chaos in directionally coupled chaotic systems, Phys. Rev. E 51 (1995), No. 2, 980-994.

61. Lj. Kocarev, U. Parlitz, Generalized synchronization, predictability, and equivalence of unidirectionally coupled dynamical systems, Phys. Rev. Lett. 76 (1996), No. 11, 1816-1819.

62. В. С. Анищенко, Т. E. Вадивасова, Д. Э. Постнов, М. А. Сафонова, Вынуэ1сденная и взаимная синхронизация хаоса, Радиотехника и электроника 36 (1991), 338.

63. V. S. Anishchenko, Т. Е. Vadivasova, D. Е. Postnov, М. A. Safonova, Synchronization of chaos, Int. J. Bifurcation and Chaos 2 (1992), No. 3, 633-644.

64. A. S. Pikovsky, M. G. Rosenblum, J. Kurths, Synchronization: a universal concept in nonlinear sciences, Cambridge University Press, 2001.

65. V. S. Anishchenko, • V. Astakhov, A. Neiman, Т. E. Vadivasova, L. Schimansky-Geier, Nonlinear dynamics of chaotic and stochastic systems. Tutorial and modern developments, Springer-Verlag, Heidelberg,- 2001.

66. M.V. Ivanchenko, G.V. Osipov, V.D. Shalfeev, J. Kurths, Phase synchronization of chaotic intermittent oscillations, Phys. Rev. Lett. 92 (2004), No. 13, 134101.

67. П. С. Ланда, К вопросу о частичной синхронизации, Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика 12 (2004), No. 4, 48-59.

68. R. Mainieri, J. Rehacek, Projective synchronization in three-dimensional chaotic system, Phys. Rev. Lett. 82 (1999), 3042-3045.

69. А. А. Короновский, A. E. Храмов, Анализ хаотической синхронизации динамических систем с плохо определенной фазой, Радиотехника и электроника 50 (2005), No. 8, 969-977.

70. А. А. Короновский, М. К. Куровская, А. Е. Храмов, О соотношении фазовой синхронизации хаотических осцилляторов и синхронизации временных масштабов, Письма в ЖТФ 31 (2005), No. 19, 76-82.

71. А. А. Короновский, А. Е. Храмов, Анализ фазовой хаотической синхронизации с помощью непрерывного вейвлетного анализа, Письма в ЖТФ 30 (2004), No. 14, 29-36.

72. А. Е. Hramov, A. A. Koronovskii, An approach to chaotic synchronization, Chaos 14 (2004), No. 3, 603-610.

73. А. П. Кузнецов, H. В. Станкевич, JI. В. Тюрюкина, Особенности картины синхронизации импульсами в автоколебательной системе с трехмерным фазовым пространством, Письма ЖТФ 32 (2006), No. 8, 41-47.

74. A. Jalnine, S. P. Kuznetsov, A. H. Osbaldestin, Dynamics of small ■perturbations of orbits on a torus in a quasiperiodically forced 2d dissipative map, Regular and Chaotic Dynamics 11 (2006), No. 1, 19-30.

75. N. Yu. Ivankov, S. P. Kuznetsov, Complex periodic orbits, renormalization and scaling for quasiperiodic golden-mean transition to chaos, Phys. Rev. E 63 (2001), No. 4, 046210.

76. S. Boccaletti, J. Kurths, G. V. Osipov, D. L. Valladares, C. T. Zhou, The synchronization of chaotic systems, Physics Reports 366 (2002), 1.

77. P. Ashwin, P.J. Aston, Blowout bifurcations of codimension two, Phys. Lett. A 244 (1998), No. 4, 261-270.

78. P.J. Aston, M. Dellnitz, Sijmmetry breaking bifurcations of chaotic attractors, Int. J. Bifurc. Chaos 5 (1995), No. 6, 1643-1676.

79. Yu.L. Maistrenko, O. Popovych, Hasler M., On strong and weak chaotic partial synchronization, Int. J. Bifurc. Chaos 10 (2000), No. 1, 179-204.

80. S. C. Venkataramani, B. R. Hunt, E. Ott, Bubbling transition, Phys. Rev. E 54 (1996), No. 2, 1346-1360.

81. S. C. Venkataramani, B. R. Hunt, E. Ott, D. J. Gauthier, J. C. Bienfang, Transitions to bubbling of chaotic systems, Phys.Rev.Lett. 77 (1996), No. 27, 5361.

82. P. Ashwin, J. Buescu, I. Stewart, Bubbling of attractors and synchronization of chaotic oscillators, Phys. Lett. A 193 (1994), 126-139.

83. A. V. Taborov, Yu. Maistrenko, E. Mosekilde, Partial synchronization in a system of coupled logistic maps, Int. J. Bifurcation and Chaos 10 (2000), 1051.

84. Yu.L. Maistrenko, V.L. Maistrenko, O. Popovych, E. Mosekilde, Transverse instability and riddled basins in a system of two coupled logistic maps, Phys. Rev. E 57 (1998), No. 3, 2713-2724.

85. P. Paoli, A. Politi, R. Badii, Long-range order in the scaling behaviour of hyperbolic dynamical systems, Physica D 36 (1989), No. 3, 263-286.

86. B.R. Hunt, E. Ott, J.A. Yorke, Differentiate generalized synchronization of chaos, Phys. Rev. E 55 (1997), No. 4, 4029-4034.

87. J.F. Heagy, T.L. Carroll, L.M. Pecora, Desynchronization by periodic orbits, Phys. Rev. E 52 (1995), No. 2, R1253-R1256.

88. J.F. Heagy, S.M. Hammel, The birth of strange nonchaotic attractors, Physica D 70 (1994), 140-153.

89. V. N. Belykh, E. Mosekilde, One-dimensional map lattices: synchronization, bifurcations and chaotic structures, Phys. Rev. E 54 (1996), 3196.

90. W. Ebeling, P. S. Landa, V. G. Ushakov, Self-oscillations in ring Toda chains with negative friction, Phys. Rev. E 63 (2001), No. 4, 046601.

91. G. V. Osipov, M. V. Ivanchenko, J. Kurths, B. Hu, Synchronized chaotic intermittent and spiking behavior in coupled map chains, Phys. Rev. E 71 (2005), 056209.

92. Y. V. Andreev, A. S. Dmitriev, Conditions for global synchronization in lattices of chaotic elements with local connections, Int. J. Bifurcation and Chaos 9 (1999), 2165.

93. I. V. Belykh, V. N. Belykh, K. Nevidin, M. Hasler, Persistent clusters in lattices of coupled nonidentical chaotic systems, Chaos 13 (2003), 165-178.

94. V. N. Belykh, I. V. Belykh, M. Hasler, K. Nevidin, Cluster synchronization in three-dimensional lattices of diffusively coupled oscillators, Int. J. Bifurcation and Chaos 13 (2003), 755-779.

95. В. С. Афраймович, В. И. Некоркин, Г. В. Осипов, В. Д. Шалфеев, Устойчивость, структуры и хаос в нелинейных сетях синхронизации, Горький: ИПФ АН СССР, 1989.

96. М. Chavez, D.-U. Hwang, A. Amann, H. G.E.' Hentschel, S. Boccaletti, Synchronization is enhanced in weighted complex networks, Phys. Rev. Lett. 94 (2005), 218701.

97. D.-U. Hwang, M. Chavez, A. Amann, S. Boccaletti, Synchronization in complex networks with age ordering, Phys. Rev. Lett. 94 (2005), 138701.

98. I. V. Belykh, V. N. Belykh, M. Hasler, Blinking model and synchronization in small-world networks with a time-varying coupling, Physica D 195 (2004), No. 1—2,188-206.

99. I. V. Belykh, V. N. Belykh, M. Hasler, Synchronization in asymmetrically coupled networks with node balance, Chaos 16 (2006), No. 1, 015102.

100. A. S. Ivanova, S. P. Kuznetsov, A. H. Osbaldestin, Universality and scaling in networks of period-doubling maps with a pacemaker, Discrete Dynamics in Nature and Society 2006 (2006), 74723.

101. К.Г. Мишагин, B.B. Матросов, В.Д. Шалфеев, В.В. Шохнин, Экспериментальное исследование генерации хаотических колебаний в ансамбле двухкаскадно-связанных фазовых систем, Письма в ЖТФ 31 (2005), No. 24, 31-38.

102. U. Parlitz, L. О- Chua, Lj. Kocarev, К. S. Halle, A. Shang, Transmission of digital signal by chaotic synchronization, Int. J. Bifurcation and Chaos 2 (1992), No. 4, 973977.

103. А. С. Дмитриев, Л. В. Кузьмин, А. И. Панас, С. О. Старков, Эксперименты по передаче информации с использованием хаоса через радиоканал, Радиотехника и электроника 43 (1998), 1115-1128.

104. С. Т. Zhou, J. Kurths, Е. Allaria, S. Boccaletti, R. Meucci, F. T. Arecchi, Noise-enhanced synchronization of homoclinic chaos in a CO2 laser, Phys. Rev. E 67 (2003), 015205.

105. M. D. Prokhorov, V. I. Ponomarenko, V. I. Gridnev, M. B. Bodrov, A. B. Bespyatov, Synchronization between main rhytmic processes in the human cardiovascular system, Phys. Rev. E 68 (2003), 041913.

106. N. B. Janson, A. G. Balanov, V. S. Anishchenko, P.V.E. McClintock, Phase relationships between two or more interacting processes from one-dimensional time series. I. Basic theory, Phys. Rev. E 65 (2002), 036211.

107. N. B. Janson, A. G. Balanov, V. S. Anishchenko, P.V.E. McClintock, Phase relationships between two or more interacting processes from one-dimensional time series. II. Application to heart-rate-variability data, Phys. Rev. E 65 (2002), 036212.

108. N. B. Janson, A. G. Balanov, V. S. Anishchenko, P.V.E. McClintock, Phase synchronization between several interacting processes from univariate data, Phys. Rev. Lett. 86 (2001), No. 9, 1749-1752.

109. V. I. Nekorkin, V. B. Kazantsev, M. G. Velarde, Spike-burst and other oscillations in a system composed of two coupled, drastically different elements, Eur. Phys. J. В 16 (2000), 147.

110. V. В. Kazantsev, V. I. Nekorkin, S. Binczak, J. M. Bilbaut, Spiking patterns emerging from wave instabilities in a one-dimensional neural lattice, Phys. Rev. E 68 (2003), 017201.

111. I. V. Belykh, E. Lange, M. Hasler, Synchronization of bursting neurons: what matters in the network topology, Phys. Rev. Lett. 94 (2005), 188101.

112. G. Balazsi L. B. Kish, From stochastic resonance to brain waves, Phys. Lett. A 265 (2000), 304-316.

113. M. Chavez, C. Adam, V. Navarro, S. Boccaletti, J. Martinerie, On the intrinsic time scales involved in synchronization: a data-driven approach, Chaos 15 (2005), No. 02, 023904.

114. R. Q. Quiroga, A. Kraskov, T. Kreuz, P. Grassberger, Perfomance of different synchronization measures in real data: a case study on electroencephalographic signals, Phys. Rev. E 65 (2002), 041903.

115. S. Boccaletti, V. Latora, V. Moreno, M. Chavez, D.-U. Hwang, Complex networks: structure and dynamics, Physics Reports 424 (2006), 175-308.

116. Y. C. Kouomou, P. Woafo, Transitions from spatiotemporal chaos to cluster and complete synchronization states in a shift-invariant set of coupled nonlinear oscillators, Phys. Rev. E 67 (2003), 046205.

117. P. N. McGraw, M. Menzinger, Clustering and the synchronization of oscillator networks, Phys. Rev. E 72 (2005), 015101.

118. A. S. Kuznetsov, V. D. Shalfeev, L. S. Tbimring, Regularization of dynamics гп an ensemble of nondiffusively coupled chaotic elements, Phys. Rev. E 72 (2005), 046209.

119. M. Yoshioka, Cluster synchronization in an ensemble of neurons interacting through chemical synapses, Phys. Rev. E 71 (2005), 061914.

120. Y. Kuramoto, T. Tsuzuki, On the formation of dissipative structures in reaction-diffusion system, Progr. Theor. Phys. 54 (1975), No. 3, 687-699.

121. J. L. Rogers, L. T. Wille, Phase transitions in nonlinear oscillator chains, Phys. Rev. E 54 (1996), No. 3, R2193-R2196.

122. M.V. Ivanchenko, G.V. Osipov, V.D. Shalfeev, J. Kurths, Phase synchronization in ensembles of bursting oscillators, Phys. Rev. Lett. 93 (2004), No. 13, 134101.

123. M. Hasler, Yu. Maistrenko, O. Popovich, Simple example of partial synchronization of chaotic systems, Phys. Rev. E 58 (1998), 6843.

124. V. N. Belykh, I. V. Belykh, M. Hasler, Hierarchy and stability of partial synchronous oscillations of diffusively coupled dynamical systems, Phys. Rev. E 62 (2000), 6332.

125. A. Pogromsky, G. Santoboni, H. Nijmeijer, Partial synchronization: from symmetry towards stability, Physica D 172 (2002), 65.

126. К. Kaneko, Clustering, coding, switching, hierarchical ordering, and control in network of chaotic elements, Physica D 41 (1990), 137172.

127. M.I. Rabinovich, J.J. Torres, P. Varona, R. Huerta, P. Weidman, Origin of coherent structures in a discrete chaotic medium, Phys. Rev. E 60 (1999), R1130.

128. V.N. Belykh, I.V. Belykh, E. Mosekilde, Cluster synchronization modes in an ensembleof coupled chaotic oscillators, Phys. Rev. E 63 (2001), 036216.166

129. С. Т. Zhou, А. Б. Motter, J. Kurths, Universality in the synchronization of weighted random networks, Phys. Rev. Lett. 96 (2006), No. 3, 034101.

130. A. E. Motter, С. T. Zhou, J. Kurths, Enhancing complex-network synchronization, Europhysics Letters 69 (2005), No. 3, 334-340.

131. A. E. Motter, С. T. Zhou, J. Kurths, Network synchronization, diffusion, and the paradox of heterogeneity, Phys. Rev. E 71 (2005), No. 1, 016116.

132. D. Maza, S. Boccaletti, H. Mancini, Phase clustering and collective behaviors in globally coupled map lattices due to mean field effects, Int. J. Bifurc. Chaos 10 (2000), 829.

133. F. S. San Roman de, S. Boccaletti, D. Maza, H. Mansini, Weak synchronization of chaotic coupled map lattices, Phys. Rev. Lett. 81 (1998), 3639-3642.

134. A. Venkatesan, M. Lakshmanan, Different routes to chaos via strange nonchaotic attractors in a quasiperiodically forced system, Phys. Rev. E 58 (1998), No. 3, 30083016.

135. M. C. Depassier, J. Mura, Variational approach to a class of nonlinear oscillators with several limit cycles, Phys. Rev. E 64 (2001), 056217.

136. Б. П. Безручко, Т. В. Диканев, Д. А. Смирнов, Глобальная реконструкция уравнений динамической системы по временной реализации переходного процесса, Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика 9 (2001), No. 3, 3-14.

137. Э. В. Кальянов, Переходные процессы в автостохастическом генераторе с запаздыванием, Письма в ЖТФ 26 (2000), No. 15, 26-31.

138. В. P. Bezruchko, Т. V. Dikanev, D. A. Smirnov, Role of transient processes for reconstruction of model equations from time series, Phys. Rev. E 64 (2001), 036210.

139. А. А. Короновский, Д. И. Трубецков, А. Е. Храмов, А. Е. Храмова, Универсальные скейлинговые закономерности переходных процессов, Доклады Академии Наук 383 (2002), No. 3, 322-325.

140. А. N. Pisarchik, Controlling the multistability of nonlinear systems with coexisting attractors, Phys. Rev. E 64 (2001), 046203.

141. M. Dhamala, Y.-C. Lai, E. J. Kostelich, Analyses of transient chaotic time series, Phys. Rev. E 64 (2001), 056207.

142. L. Zhu, A. Raghu, Y.-C. Lai, Experimental observation of superpersistent chaotic transients, Phys. Rev. Lett. 86 (2001), No. 18, 4017-4020.

143. К. G. Szabo, Y.-C. Lai, T. Tel, C. Grebogi, Topological scaling and gap filling at crisis, Phys. Rev. E 61 (2000), No. 5, 5019-5032.

144. H. B. Stewart, Y. Ueda, Double crisis in two-parameter dynamical system, Phys. Rev. Lett. 75 (1995), No. 13, 2478-2481.

145. R. Meucci, W. Gadomski, M. Ciofini, F. T. Arecchi, Transient statistics in stabilizing periodic orbit, Phys. Rev. E 52 (1995), No. 5, 4676-4680.

146. P. J. Aston, P. K. Marriot, Waiting time paradox applied to transient times, Phys. Rev. E 57 (1998), No. 1, 1181-1182.

147. V. Paar, H. Buljan, Bursts in the chaotic trajectory lifetimes preceding controlled periodic motion, Phys. Rev. E 62 (2000), No. 4, 4869-4872.

148. П. С. Ланда, Автоколебания в распределенных системах, М.: Наука, 1983.

149. А.В. Шавлов, Современные оптические квантовые генераторы, Успехи физических наук 81 (1963), No. 4, 123-141.

150. Н.Г. Басов, Квантовая электроника, Успехи физических наук 85 (1965), No. 4, 427-450.

151. A.M. Прохоров, Квантовая электроника, Успехи физических наук 85 (1965), No. 4, 533-552.

152. Ian Q. Whishaw, Bryan Kolb, Fundamentals of human neuropsychology, Worth Publishers, 2003.

153. Дж. Эделмен, В. Маунткасл, Разумный мозг, М.: Мир, 1981.

154. Дж.Г. Николлс, А.Р. Мартин, Б.Дж. Валлас, П.А. Фукс, От нейрона к мозгу, М.: Едиториал УРСС, 2003.

155. Н.И. Чуприкова, Психика и предмет психологии в свете достижений современной нейронауки, Вопросы психологии (2004), No. 2, 104-118.

156. Дж. Фишбах, Психика и мозг, В мире науки 83 (1992), 10-21.

157. Д.Я. Мартынов, Курс общей астрофизики, М.: Наука, 1979.

158. С.А. Каплан, Физика звезд, М.: Наука, 1977.

159. С.А. Каплан, Пульсирующие звезды, М.: Наука, 1970.

160. Б.В. Романовский, Основы химической кинетики, М.: Экзамен, 2006.

161. Ю. М. Романовский, О взаимной синхронизации многих автоколебательных систем, связанных через общую среду, Изв.вузов. Радиофизика 15 (1972), No. 5, 718.

162. И. Пригожин, Введение в термодинамику необратимых процессов, М.: Наука, 1960.

163. М. И. Рабинович, Д. И. Трубецков, Введение в теорию колебаний и волн, М.Ижевск: РХД, 2000.

164. М. И. Рабинович, Автоколебания распределенных систем, Изв.вузов. Радиофизика 17 (1974), 477.

165. L. Junge, U. Parlitz, Synchronization and control of coupled Qinzburg-Landau equarions using local coupling, Phys. Rev. E 61 (2000), No. 4, 3736.

166. Z. Tasev, Lj. Kocarev, L. Junge, U. Parlitz, Synchronization of Kuramoto-Sivashinsky equations using spatiall local coupling, Int. J. Bifurcation and Chaos 10 (2000), No. 4, 869-873.

167. L. Junge, U. Parlitz, Phase synchronization of coupled Ginzburg-Landau equations, Phys. Rev. E 62 (2000), No. 1, 438-441.

168. R. A. Filatov, A. E. Hramov, A. A. Koronovskii, Chaotic synchronization in coupled spatially extended beam-plasma systems, Phys. Lett. A 358 (2006), 301-308.

169. A. E. Hramov, A. A. Koronovskii, I. S. Rempen, Controlling chaos in spatially extended beam-plasma system by the continuous delayed feedback, Chaos 16 (2006), No. 1, 013123.

170. A. A. Koronovskii, P. V. Popov, A. E. Hramov, Generalized chaotic synchronization in coupled Ginzburg-Landau equations, Journal of Experimental and Theoretical Physics 103 (2006), No. 4, 654-665.

171. A. E. Hramov, A. A. Koronovskii, P. V. Popov, I. S. Rempen, Chaotic synchronization of coupled electron-wave systems with backward waves, Chaos 15 (2005), No. 1, 013705.

172. A. E. Hramov, A. A. Koronovskii, P. V. Popov, Generalized synchronization in coupled Ginzburg-Landau equations and mechanisms of its arising, Phys. Rev. E 72 (2005), No. 3, 037201.

173. H. А. Магницкий, С. В. Сидоров, Новые методы хаотической динамики, М.: Едиториал УРСС, 2004.

174. R. A. York, Z. В. Popovic, Active and quasi-optical arrays for solid state power combining, NY: Wiley, 1997.

175. W. L. Ditto, M. L. Spano, et al., Techniques for the control of chaos, Physica D 86 (1995), No. 1-2, 198-211.

176. В. K. Meadows, Т. H. Heath, J. D. Neff, et al., Nonlinear antenna technology, Proceedings IEEE 90 (2002), No. 5, 882-897.

177. К.Г. Мишагин, В.Д. Шалфеев, В.П. Пономаренко, Нелинейная динамика систем фазирования в антенных решетках, Н.Новгород: Издательство Нижегородского университета, 2007.

178. Б. П. Безручко, Л. В. Булгакова, С. П. Кузнецов, Д. И. Трубецков, Стохастические колебания и неустойчивость в лампе обратной волны, Радиотехника и электроника 28 (1983), No. 6, 1136.

179. Б. П. Безручко, С. П. Кузнецов, Д. И. Трубецков, Экспериментальное наблюдение стохастических автоколебаний в динамической системе электронный пучок — обратная электромагнитная волна, Письма в ЖЭТФ 29 (1979), No. 3, 180-184.

180. В. Levush, Т. М. Antonsen, A. Bromborsky, W. R. Lou, Y. Carmel, Theory of relativistic backward wave oscillator with end reflections, IEEE Trans. Plasma Sci. 20 (1992), No. 3, 263.

181. А. А. Короновский, Д. И. Трубецков, А. Е. Храмов, Переходные процессы в распределенной нелинейной активной среде винтовой электронный пучок — встречная электромагнитная волна, Изв. вузов. Радиофизика XLVII (2004), No. 5-6, 373-382.

182. А. М. Shigaev, В. S. Dmitriev, Yu.D. Zharkov, N. М. Ryskin, Chaotic dynamics of delayed feedback klystron oscillator and its control by external signal, IEEE Transactions on Electron Devices 52 (2005), No. 5, 790-797.

183. G. S. Nusinovich, A. N. Vlasov, Т. M. Antonsen, Nonstationary phenomena in tapered gyro-backward-wave oscillators, Phys.Rev.Lett. 87 (2001), No. 21, 218301.

184. K. L. Felch, B. G. Danly, H. R. Jory, К. E. Kreischer, W. Lawsom, B. Levush, R. J. Temkin, Characteristics and applications of fast-wave gyrodevices, Proceedings IEEE 87 (1999), No. 5, 752.

185. А. С. Дмитриев, С. О. Старков, Передача информации с использованием хаоса и классическая теория информации, Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники (1998), No. 11, 4-32.

186. А. А. Короновский, П. В. Попов, А. Б. Храмов, Хаотическая синхронизация одно-направленно связанных электронных сред со встречной волной, ЖТФ 75 (2005), No. 4, 1-9.

187. В. I. Shraiman, A. Pumir, W. van Saarlos, Р. С. Hohenberg, H. Chatae, M. Holen, Spatiotemporal chaos in the one-dimensional Ginzburg-Landau equation, Physica D 57 (1992), 241-248.

188. M. Cross, P. Hohenberg, Pattern formation outside of equilibrium., Reviews of Modern Physics 65 (1993), 851.

189. T. Bohr, M. H. Jensen, G. Paladin, A. Vulpiani, Dynamical systems approach to turbulence, Cambridge University Press, 1998.

190. О. E. Rossler, An equaion for continuous chaos, Phys. Lett. A 57 (1976), No. 5, 397-398.

191. В. B. Godfrey, Oscillatory nonlinear electron flow in Pierce diode, Phys. Fluids'30 (1987), 1553.

192. T. Matsumoto, L. O. Chua, R. Tokunaga, Ghaos via torus breakdown, IEEE Trans. Circuits and Syst. 34 (1987), No. 3, 240.

193. А. А. Короновский, A. E. Храмов, A. E. Храмова, К вопросу о синхронном поведении связанных систем с дискретным временем, Письма в ЖЭТФ 82 (2005), No. 3, 176-179.

194. А. А. Короновский, А. Е. Храмова, Относительная геометрическая мера синхронизации систем с дискретным временем, Изв. РАН, сер. физич. 69 (2005), No. 12, 1732-1735.

195. А. А. Короновский, А. Е. Храмова, Связь синхронизации хаоса в отображениях и потоках, Нелинейные волновые процессы. Конференция молодых ученых. Нижний Новгород, 1-7 марта 2006 года. Тезисы докладов., 2006, 161-162.

196. А. А. Короновский, А. Е. Храмов, А. Е. Храмова, Исследование синхронизации хаоса в потоках и отображениях, Сборник тезисов III Международной конференции "Фундаментальные проблемы физики" (13-18 июня 2005 года, Казань, Россия), 2005, 87.

197. А. А. Короновский, А. Е. Храмов, А. Е. Храмова, Хаотическая синхронизация в отображениях и потоках, Труды VII Всероссийской научной конференции "Нелинейные колебания механических систем" (19-22 сентября 2005 года, Нижний Новгород), 2005, 118-119.

198. А.Е. Храмова, Изучение разрушения полной синхронизации в системах с дискретным и потоковым временем, Труды десятой всероссийской школы-семинара "Волны-2004" (Звенигород, Московская область, май 2004г.), 2004, 30-33.

199. А.Е. Храмова, Хаотическая синхронизация динамических систем со слегка различающимися параметрами, Сборник материалов научной школы-конференции "Нелинейные дни для молодых 2004" (Саратов, октябрь 2004 г.), 2004, 131.

200. А. А. Короновский, А. Е. Храмова, А. В. Стародубов, Взаимосвязь спектров, полученных по временным реализациям системы с потоковым временем и её отображениям возврата, Письма в ЖТФ 32 (2006), No. 19, 86-94.

201. Стефано Боккалетти, А. А. Короновский, Д. И. Трубецков, А. Е. Храмов, А. Е. Храмова, Устойчивость синхронного состояния произвольной сети связанных элементов, Изв. вузов. Радиофизика XLIX (2006), No. 10, 917-924.

202. А.Е. Hramov, А.Е. Khramova, А.А. Koronovskii, S. Boccaletti, Synchronization in networks of slightly nonidentical elements, International Journal of Bifurcation and Chaos 18 (2008), No. 3.

203. А.Е. Храмова, Устойчивость сети связанных элементов модуля нелинейной антенны, Материалы XIII зимней школы-семинара по СВЧ электронике и радиофизике (Саратов, 2006 г.), 2006, 108.

204. А. А. Короновский, Д. И. Трубецков, А. Е. Храмов, А. Е. Храмова, Универсальные закономерности переходных процессов, Изв. вузов. Радиофизика XLV (2002), No. 10, 880-886.

205. Г. Б. Астафьев, А. А. Короновский, А. Е. Храмов, А. Е. Храмова, О переходных процессах в отображении Эно, Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика 11 (2003), No. 4-5, 124-147.

206. А. А. Короновский, А. Е. Храмова, Зависимость длительности переходных процессов от начальных условий в отображении Заславского, ЖТФ 74 (2004), No. 5, 136-140.

207. А. А. Короновский, А. Е. Храмова, Механизм усложнения зависимости длительности переходных процессов от начальных условий в двумерном отображении, Письма в ЖТФ 29 (2003), No. 13, 10-18.

208. А. Е. Hramov, А. Е. Khramova, I. A. Khromova, A. A. Koronovskii, Investigation of transient processes in one-dimensional maps, Nonlinear Phenomena in Complex Systems 7 (2004), No. 1, 1-16.

209. A.E. Храмова, P.A. Филатов, A.A. Короновский, А.Е. Храмов, Д.И. Трубецков, Совместные колебания в связанных электронных системах со сверхкритическим током, Электромагнитные волны и электронные системы 12 (2007), No. 10, 26-32.

210. М. Henon, On the numerical computation of Poincare maps, Physica D 5 (1982), 412-414.

211. Z. Kaufmann, H. Lustfeld, Comparsion of averages of flows and maps, Phys. Rev. E 64 (2001), 055206.

212. А.Е. Храмова, Явление скейлинга переходных процессов на примере логистического отображения, Сборник материалов научной школы-конференции "Нелинейные дни для молодых 2001" (Саратов, октябрь 2001г.), 2001, 51.173

213. Г.Б. Астафьев, А.Е. Храмова, Переходные процессы в отображении Эно, Материалы XVII зимней школы-семинара по СВЧ электроники и радиофизике (Саратов, январь-февраль 203 г.), 2003, 47-48.

214. А.Е. Храмова, Исследование переходных процессов в отображении Заславского, Сборник материалов научной школы-конференции "Нелинейные дни для молодых 2003" (Саратов, сентябрь 2003 г.), 2003, 74.

215. А.Е. Филатова, Исследование полной хаотической синхронизации в сети распределенных элементов электронной природы, Тезисы докладов восьмой международной школы "Хаотические автоколебания и образование структур" (Саратов, октябрь 2007 г.), 2007, 91-92.

216. А. Е. Филатова, Исследование полной синхронизации хаоса в сети, состоящей из диодов Пирса, Нелинейные волновые процессы. Конференция молодых ученых. Нижний Новгород, 1-7 марта 2008 года. Тезисы докладов. 2008, 166-168 .

217. Д. И. Трубецков, А. А. Короновский, А. Е. Храмов, Синхронизация автоколебаний в распределенной активной среде с высокочастотными потерями, Радиотехника 69 (2005), No. 3, 56-62.

218. N. Asghari, А. Е. Khramova, et al., Stability of terrestrial planets in the habitable zone of GI 777 A, HD 72659, GI 6Ц, 47 UMA and HD 4208, Astronomy&Astrophysics 23 (2004), No. 4, 211-225.

219. S. H. Strogatz, Exploring complex networks, Nature 410 (2001), 268-276.

220. M. E.J. Newman, The structure and function of complex networks, SIAM Review 45 (2003), 167-256.

221. K. Kaneko, Globally coupled circle maps, Physica D 54 (1991), 5-19.

222. K. Kaneko, Mean field fluctuation in network of chaotic elements, Physica D 55 (1992), 368-384.

223. K. Kaneko, Information cascade with marginal stability in a network of chaotic elements, Physica D 77 (1994), 456-472.

224. M.S. Vieira, A.J. Lichtenberg, Nonuniversality of weak synchronization in chaoticsystems, Phys. Rev. E 56 (1997), R3741-R3744.174

225. S.C. Manrubia, A.S. Mikhailov, Mutual synchronization and clustering in randomly coupled chaotic dynamical networks, Phys. Rev. E 60 (1999), No. 2, 1579-1589.

226. A. Crisanti, M. Falcioni, A. Vulpiani, Broken ergodicity and glassy behavior in a deterministic chaotic map, Phys. Rev. Lett. 76 (1996), 612.

227. D.H. Zanette, A.S. Mikhailov, Condensation in globally coupled populations of chaotic dynamical systems, Phys. Rev. E 57 (1998), 276-281.

228. D.H. Zanette, A.S. Mikhailov, Mutual synchronization in ensembles of globally coupled neural networks, Phys. Rev. E 58 (1998), 872-875.

229. E. Mosekilde, Yu. Maistrenko, D. E. Postnov, Chaotic synchronization, applications to living systems. Series A, vol. 42, World Scientific, Singapore, 2002.

230. R. A. York, Z. B. Popovic, Active and quasi-optical arrays for solid state power combining, ser. in microwave and optical engineering, New York: Wiley, 1997.

231. L. M. Pecora, T. L. Carroll, Master stability functions for synchronized coupled systems, Phys. Rev. Lett. 80 (1998), No. 10, 2109-2112.

232. S. N. Dorogovtesev, J. F.F. Mendes, Evolution of networks, Oxford University Press, 2003.

233. A. M. Batista, S.' Pinto, R. L. Viana, S. R. Lopes, Lyapunov spectrum and synchronization of piecewise linear map lattices with power-law coupling, Phys. Rev. E 65 (2002), 056209.

234. A. S. Pikovsky, P. Grassberger, Symmetry breaking bifurcation for coupled chaotic attractors, J. Phys. A: 24 (1991), 4587-4597.

235. P. Ashwin, I. Buescu, I. Stewart, From attractor to chaotic saddle: a tale of transverse instability, Nonlinearity 9 (1996), 703-737.

236. P. Ashwin, J.R. Terry, K.S. Thornburg, R. Roy, Blowout bifurcation in a system of coupled chaotic lasers, Phys. Rev. E 58 (1998), No. 6, 7186-7189.

237. T. Yamada, H. Fujisaka, Stability theory of synchronized motion in coupled-oscillator systems. II. The mapping approach, Prog. Theor. Phys. 70 (1983), No. 5, 1240-1248.

238. Т. Yamada, Н. Fujisaka, Stability theory of synchronized motion in coupled-oscillator systems. III. Mapping model for continuous system, Prog. Theor. Phys. 72 (1984), No. 5, 885-894.

239. T. Yamada, H, Fujisaka, Intermittency caused by chaotic modulation. I. Analysis with a multiplicative noise model, Prog. Theor. Phys. 76 (1986), No. 3, 582-591.

240. T. Yamada, H. Fujisaka, Effect of inhomogenety on intermittent chaos in a coupled system, Phys. Lett. A 124 (1987), No. 8, 421-425.

241. Y. Yamaguchi, H. Shimizu, Theory of self-synchronization in the presence of native frequency distribution and external noises, Physica D 11 (1984), 212-226.

242. Т. E. Вадивасова, В. С. Анищенко, Г. А. Окрокверцхов, А. С. Захарова, Статистические свойства мгновенной фазы зашумленных периодических и хаотических автоколебаний, Радиотехника и электроника (2006), 580-592.

243. В. С. Анищенко, Т. Е. Вадивасова, Г. А. Окрокверцхов, Г. И. Стрелкова, Статистические свойства динамического хаоса, Успехи физических наук 175 (2005), No. 2, 163.

244. М. G. Rosenblum, A. S. Pikovsky, J. Kurths, Phase synchronization of chaotic oscillators, Phys. Rev. Lett. 76 (1996), No. 11, 1804-1807.

245. A. S. Pikovsky, M. G. Rosenblum, G. V. Osipov, J. Kurths, Phase synchronization of chaotic oscillators by external driving, Physica D 104 (1997), No. 4, 219-238.

246. Y.-C. Lai, C. Grebogi, J. A. Yorke, S. C. Venkataramani, Riddling bifurcation in chaotic dynamical systems, Phys. Rev. Lett. 77 (1996), No. 1, 55-58.

247. V. Astakhov, A. Shabunin, T. Kapitaniak, V. S. Anishchenko, Loss of chaos synchronization through the sequence of bifurcations of saddle periodic orbits, Phys. Rev. Lett. 79 (1997), No. 6, 1014-1017.

248. V. Astakhov, M. Hasler, T. Kapitaniak, A. Shabunin, V. S. Anishchenko, Effect of parameter mismatch on the mechanism of chaos synchronisation loss in coupled systems, Phys. Rev. E 58 (1998), No. 5, 5620-5628.

249. О. V. Sosnovtseva, A. G. Balanov, Т. E. Vadivasova, V. Astakhov, E. Mosekilde, Loss of lag synchronization in coupled chaotic systems, Phys. Rev. E 60 (1999), No. 6, 6560-6565.

250. D. Pazo, M. Zaks, J. Kurths, Role of unstable periodic orbits in phase and lag synchronization between coupled chaotic oscillators, Chaos 13 (2002), 309-318.

251. P. W. Hammer, N. Piatt, S. M. Hammel, J. F. Heagy, B. D. Lee, Experimentalobservation of on-off intermittency, Phys. Rev. Lett. 73 (1994), No. 8, 1095-1098.176

252. J. F. Heagy, N. Piatt, S. M. Hammel, Characterization of on-off intermittency, Phys. Rev. E 49 (1994), No. 2, 1140-1150.

253. N. Piatt, E. A. Spiegel, C. Tresser, On-off intermittency: a mechanism for bursting, Phys. Rev. Lett. 70 (1993), No. 3, 279-282.

254. C.-M. Kim, Mechanism of chaos synchronization and on-off intermittency, Phys. Rev. E 56 (1997), No. 3 , 3697-3700.

255. H. Nakao, Asymptotic power law of moments in a random multiplicative process with weak additive noise, Phys. Rev. E 58 (1998), No. 2, 1591-1600.

256. Z. Zheng, G. Hu, Generalized synchronization versus phase synchronization, Phys. Rev. E 62 (2000), No. 6, 7882-7885.

257. W. H. Press, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling, В. T. Flannery, Numerical recipes, Cambridge University Press, Cambridge, 1997.

258. А. В. Андрушкевич, А. А. Кипчатов, Jl. В. Красичков, А. А. Короновский, Экспериментальное двупараметрическое исследование неоднозначных режимов колебаний, Изв. вузов. Радиофизика XXXVIII (1995), No. 11, 1195-1203.

259. J. Garcia-Ojalvo, J. M. Sancho, Noise in spatially extended systems, New York: Springer, 1999.

260. В. В. Астахов, Б. П. Безручко, О. В. Пудовочкин, Е. П. Селезнев, Фазовая муль-тистабилъностъ и установление колебаний в нелинейных системах с удвоением периода, Радиотехника и электроника 38 (1993), No. 2, 291-295.

261. В. С. Анищенко, Аттракторы динамических систем, Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика 5 (1997), No. 1, 109-128.

262. М. J. Feigenbaum, The universal metric properties of nonlinear transformations, J. Stat. Phys. 21 (1979), No. 6, 669-706.

263. M. Henon, A two-dimensional mapping with a strange attractor, Commun. Math. Phys. 50 (1976), 69-77.

264. M. Хенон, Двумерное отображение со странным аттрактором, М.: Мир, 1981.

265. Н. В. Ефимов, Квадратичные формы и матрицы, М.: Физматгиз, 1963.

266. А. Анго, Математика для электро- и радиоинженеров, М.: Наука, 1967.

267. JI. П. Шильннков, A. JI. Шилышков, Д. В. Тураев, J1. Чуа, Методы качественной теории в нелинейной динамике, М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004.

268. А. А. Короновский, А. Е. Храмов, Изменение зависимости длительности переходных процессов от начальных условий в системах с дискретным, временем, Письма в ЖТФ 28 (2002), No. 15, 61-68.

269. Д. И. под ред. Трубецков, А. Е. Храмов, А. А. Короновский, Методы нелинейной динамики и теории хаоса в задачах электроники сверхвысоких частот, М.: Физматлит, 2008.

270. А. А. Короновский, П. В. Попов, А. Е. Храмов, Обобщенная хаотическая синхронизация в связанных уравнениях Гинзбурга-Ландау, ЖЭТФ 130 (2006), No. 4(10), 748-764.

271. J. Bragard, F. Т. Arecchi, S. Boccaletti, Characterization of synchronized spatiotemporal states in coupled поп identical complex Ginzburg-Landau equations, Int. J. Bifurcation and Chaos 10 (2000), 2381.

272. R. Roy, T. W. Murphy, T. D. Maier, Z. Gills, E. R. Hunt, Dynamical control of a chaotic laser: Experimental stabilization of a globally coupled system, Phys. Rev. Lett. 68 (1992), No. 9, 1259-1262.

273. С. T. Zhou, Synchronization in nonidentical complex Ginzburg-Landau equations, Chaos 16 (2006), 013124.

274. T. Klinger, C. Schroder, D. Block, F. Greiner, A. Piel, G. Bonhomme, V. Naulin, Chaos control and taming of turbulence in plasma devices, Phys.Plasmas 8 (2001), No. 5, 1961-1968.

275. S. Kuhn, A. Ender, Oscillatory nonlinear flow and coherent structures in Pierce-type diodes, J.Appl.Phys. 68 (1990), 732.

276. J. R. Pierce, Limiting currents in electron beam in presence ions, J.Appl.Phys. 15 (1944), 721.

277. В. Г. Анфиногентов, Д. И. Трубецков, Хаотические колебания в гидродинамической модели диода Пирса, Радиотехника и электроника 37 (1992), 2251.

278. А. Е. Hramov, I. S. Rempen, Investigation of the complex dynamics and regime control in Pierce diode with the delay feedback, Int. J.Electronics 91 (2004), No. 1, 1-12.

279. П. Роуч, Вычислительная гидродинамика, M.: Мир, 1980.178

280. А. А. Короновский, Р. А. Филатов, А. Е. Храмов, Хаотическая синхронизация в пучково-плазменных системах со сверхкритическим током, Радиотехника и электроника 52 (2007), No. 3.

281. А. А. Короновский, О. И. Москаленко, Р. А. Филатов, А. Е. Храмов, Исследование обобщенной синхронизации хаотических систем, Изв. РАН, сер. физич. 69 (2005), No. 12, 1741-1745.

282. Ю. А. Калинин, А. Д. Есин, Методы и средства физического эксперимента в вакуумной сеч электронике, Саратов: Изд-во СГУ, 1991.

283. А. А. Короновский, И. С. Ремпен, Д. И. Трубецков, А. Е. Храмов, Переходной хаос в распределенной активной среде "винтовой электронный пучок — встречная электромагнитная волна", Изв. РАН, сер. физич. 66 (2002), No. 12, 1754-1760.

284. A. Wolf, J. Swift, Н. L. Swinney, J. Vastano, Determining lyapunov exponents from a time series, Physica D 16 (1989), 285.

285. J. P. Eckmann, S. 0. Kamphorst, Lyapunov exponents from time series, Phys. Rev. A 34 (1986), No. 6, 4971-4979.

286. С. П. Кузнецов, Д. И. Трубецков, Хаос и гиперхаос в лампе обратной волны, Изв. вузов. Радиофизика XLVII (2004), No. 5-6, 383.

287. G. Benettin, L. Galgani, J.-M. Strelcyn, Kolmogorov entropy and numerical experiments, Phys. Rev. A 14 (1976), 2338.