Резонансное и нерезонансное рассеяние звука вихрем Ранкина тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

Беляев Иван Валентинович

РЕЗОНАНСНОЕ И НЕРЕЗОНАНСНОЕ РАССЕЯНИЕ ЗВУКА ВИХРЕМ РАНКИНА

01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы

□□3479229

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва-2009

003479229

Работа выполнена на кафедре гидродинамики и аэроакустики Московского физико-технического института

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор В.Ф. Копьев

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

A.A. Осипов (ЦИАМ им. ГШ.Баранова)

кандидат физико-математических наук С.А. Карабасов (Институт проблем безопасного развития атомной энергетики РАН)

Ведущая организация: Акустический институт

им. академика Н.Н.Андреева

Защита состоится «21 » октября 2009 г. в 15 ч. 00 мин. на заседании Диссертационного Совета Д 212.156.08 при Московском физико-техническом институте по адресу: 117393, г.Москва, ул. Профсоюзная, д. 84/32, корпус В-2.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МФТИ.

Отзывы направлять по адресу: 141700, г. Долгопрудный Московской обл.,

Институтский пер., д. 9, МФТИ.

Автореферат разослан « 18 .» CZMOtbtи 2009

Ученый секретарь Диссертационного совета к.ф.-м.н.

В.П. Коновалов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Рассеяние звука изолированным вихрем является предметом интенсивных исследований на протяжении более 50 лет. Причины такого высокого интереса к данной проблеме заключаются в том, что эта задача является базовой для понимания взаимодействия звуковых волн с завихренными течениями, включая турбулентные. Когда турбулентность может быть представлена в виде распределения локализованных вихрей с определенными статистическими свойствами (подход Крейчнана - Татарского), звуковое поле, рассеянное таким течением, представляет собой суперпозицию рассеянных звуковых полей от каждого вихря. Поэтому описание элементарного события -рассеяния звука отдельным вихрем, в рамках данного подхода является необходимым для предсказания взаимодействия звука с турбулентным течением в целом. Кроме того, имеются убедительные экспериментальные свидетельства того, что турбулентные течения содержат структуры с интенсивной, концентрированной завихренностью, которые при облучении звуковой волной ведут себя как линейные рассеиватели. Корректное моделирование взаимодействия звука с таким течением требует описания взаимодействия звука с локализованными концентрированными вихрями. Кроме того, исследование взаимодействия звука с отдельным локализованным вихрем представляет самостоятельный интерес для целого ряда проблем, например, таких как рассеяние фононов вихрем в квантовой электродинамике или обнаружение и определение размеров вихревых следов за большими транспортными самолетами. Эта задача также может служить одной из эталонных проблем (benchmark problems) в вычислительной аэроакустике.

Простейшей теоретической моделью, описывающей взаимодействие звука с локализованным вихрем, является длинноволновое рассеяние звука на двумерном цилиндрическом вихре - т.н. вихре Ранкина (Рис.1). С другой стороны эта теоретическая модель является достаточно реалистичной, так что

можно ожидать, что рассмотрение данной задачи позволит выявить основные свойства исследуемого явления. Однако, несмотря на длительную историю проблемы, до настоящего момента полного ответа на вопрос о длинноволновом рассеянии звука вихрем Ранкина не было достигнуто. Так, в литературе имеются различные ответы, как при рассмотрении резонансного, так и нерезонансного рассеяния. В задаче о нерезонансном рассеянии многими авторами (Питаевский 1958; Ferziger 1974; O'Shea 1975; Фабрикант АЛ. 1982; Копьев, Леонтьев 1987) было получено решение, имеющее особенность при рассеянии на малые углы. В дальнейшем были получены другие решения (Саков 1993; Ford, Llewellyn Smith 1999), не имеющие особенности в этом направлении. Во всех случаях процедура получения решения использовала не вполне корректные математические процедуры. В случае резонансного рассеяния также имеются различные результаты. Из общих соображений было показано (Копьев, Леонтьев 1987), что амплитуда рассеянного поля достигает величины амплитуды падающего поля, однако имеется другое решение (Sozou, 1990), которое показывает, что амплитуда рассеянного поля, хотя и увеличивается по сравнению с нерезонансным случаем, тем не менее остается значительно меньше амплитуды падающего звукового поля. Ввиду указанной выше важности проблемы взаимодействия звука с вихрями, устранение имеющейся неоднозначности в решениях, анализ причин неоднозначности и установление границ применимости существующих подходов, а также получение нового решения, обобщающего имеющиеся и снимающего существующие противоречия, представляется вполне актуальным.

Цели и задачи исследования.

1) Анализ существующих постановок в приближении плоской звуковой волны и их неполноты. Рассмотрение задачи в новых постановках (плоская волна вокруг вихря на конечном расстоянии от вихря, удаленный точечный источник и др.). Изучение роли рефракции падающего звукового поля на поле средней скорости, индуцированной вихрем.

2) Построение решения в слабосжимаемом приближении задачи о длинноволновом нерезонансном рассеянии вихрем Ранкина звука от точечного источника, расположенного на большом, но конечном расстоянии от вихря. Анализ и сравнение полученного решения с решениями других авторов; указываются пределы их применимости.

3) Вычисление собственной частоты сжимаемого вихря Ранкина для эллиптической моды. Построение и анализ решения в слабосжимаемом приближении задачи о длинноволновом резонансном рассеянии звука. Исследование вопроса, может ли резонансная амплитуда достигать величины амплитуды падающего звукового поля.

Научная новизна. В данной диссертации впервые:

1) Поставлена и решена задача о рассеянии вихрем Ранкина звука от плоской волны, заданной вокруг вихря на большом, но конечном расстоянии от его оси.

2) Предложена адаптация метода Берри к этой задаче, для чего введена в рассмотрение область I на удаленном расстоянии от вихря, в которой удается просуммировать бесконечные ряды, определяющие решение, и дать анализ предыдущих постановок задачи. Дан ответ на вопрос о роли рефракции звука на поле средней скорости, индуцированной вихрем.

3) Используя развитый подход, решена задача о нерезонансном рассеянии вихрем Ранкина звука от точечного источника, расположенном на большом, но конечном расстоянии от вихря. Полученное решение позволяет классифицировать все имеющиеся решения и установить границы их применимости.

4) Продемонстрирована эквивалентность формулировки с плоской волной и формулировки с точечным источником для решения задачи о резонансном рассеянии. Показано, что амплитуда резонансного рассеянии действительно может достигать амплитуды падающего поля.

5) Получено правильное значение резонансной частоты вихря Ранкина для наиболее излучающей (эллиптической, п = 2) моды.

На защиту выносятся следующие научные результаты:

- Основные проблемы в задаче о нерезонансном рассеянии звука связаны с правильным учетом рефракции падающего звукового поля на поле средней скорости. Проведенный анализ влияния рефракции позволил получить корректное решение задачи о нерезонансном рассеянии вихрем Ранкина звука от точечного источника, расположенного на большом, но конечном расстоянии от вихря. Проведено сравнение полученного решения с решениями предыдущих авторов.

- Получено правильное значение резонансной частоты вихря Ранкина для наиболее излучающей (эллиптической) моды. Показана эквивалентность для исследования резонансного рассеяния традиционной постановки с плоской волной и постановки с точечным источником на большом, но конечном расстоянии от вихря. Получено решение задачи о резонансном рассеянии звука вихрем Ранкина и устранено противоречие в имеющихся результатах.

Личный вклад автора заключался в проведении основных расчетов по задаче с плоской волной на конечном расстоянии и по задаче об удаленном точечном источнике, установлении связи существующих постановок с задачей о точечном источнике в области I, вычислении собственных частот сжимаемого вихря Ранкина и исправлении имеющегося в литературе ошибочного выражения для собственной частоты, участии в анализе предыдущих постановок задачи, включая резонансное рассеяние. Научному руководителю В.Ф. Копьеву принадлежат постановки задач о точечном источнике и о плоской волне, заданной на конечном расстоянии от центра вихря, введение в рассмотрение области 1, в которой удается просуммировать ряд и адаптация метода Берри к этой области, анализ предыдущих постановок задачи.

Апробация работы. Результаты работы были представлены на следующих конференциях: 47, 48, 49, 50-ая Научные Конференции МФТИ (Москва, 2004, 2005, 2006, 2007 гг); Международная конференция

«Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости и турбулентность» (Москва, 2006); 13th AIAA/CEAS Aeroacoustics Conference (Рим, Италия, 2007); Научная Конференция «Авиационная акустика» (Звенигород, 2007); 14th AIAA/CEAS Aeroacoustics Conference (Ванкувер, Канада, 2008); International conference "Acoustics'08 Paris" (Париж, Франция, 2008); 7th ONERA - TsAGI seminar (Жуковский, 2008); XX сессия Российского Акустического Общества (Москва, 2008). Результаты работы обсуждались на семинаре проф. С.А. Рыбака, АКИН (2007).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[6], включая 1 статью в реферируемом журнале из списка ВАК. Ссылки на работы приведены в конце автореферата.

Объём и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 108 страниц. Библиография содержит 93 наименования работ.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении описана актуальность данной работы и дается характеристика современного состояния задачи.

В первой главе дается вывод основных уравнений в трех областях: области внутри вихря (г<а, где а ~ радиус вихря Ранкина), внешней ближней области (г>а, г~а) и внешней дальней области а также

указываются сделанные допущения и предположения, в частности, идеальность (невязкость и нетеплопроводность), изоэнтропичность и эффективная двумерность течения, а также малость числа Маха М (М <С 1) и большая длина звуковой волны Л (1<СA/a<SLl/M). Эта глава имеет вспомогательное значение и не претендует на новизну или оригинальность.

Во второй главе проводится анализ различных постановок задачи. Основная цель данной главы состоит в выяснении роли рефракции падающего звукового поля на поле средней скорости, индуцированном вихрем Ранкина.

В п. 2.1 анализируется традиционная постановка с плоской волной, использовавшаяся предыдущими исследователями. В п. 2.1.1 указаны ошибки и проблемы решений тех авторов, кто пользовался подходом с разложением по парциальным модам вида

.0)

п=-оа

В частности, указано на некорректность замены в ряде вида (1) функций Бесселя их дальними асимптотиками.

В п. 2.1.2 анализируется подход предыдущих авторов к решению задачи в постановке с плоской волной, который можно назвать «подходом Лайтхилла», суть которого заключается в том, что вместо решения линеаризованной системы уравнений Эйлера для парциальных мод вида (1) решается уравнение Лайтхилла. Решение ищется обычно в виде свертки правой части уравнения Лайтхилла с функцией Грина волнового уравнения, что для данной задачи приводит к использованию математически некорректной процедуры, так как возникающий многомерный интеграл не является сходящимся в общем смысле и зависит от способа взятия. Попытка решить уравнение Лайтхилла не через свертку с функцией Грина, а через последовательное выполнение преобразований Фурье, позволяет избежать появления несходящихся интегралов, но в свою очередь требует наложения на искомое поле рассеяния дополнительных априорных предположений, справедливость которых не может быть независимо показана. Перечисленные проблемы свидетельствует о трудностях с корректным учетом роли рефракции в задаче, что приводит к идее исследовать рефракцию с помощью рассмотрения других постановок задачи.

Так, в п. 2.2 проводится анализ постановки, где падающее звуковое поле в точности совпадает с плоской волной на большом, но конечном расстоянии К от вихря. Вдали от вихря парциальные моды потенциала удовлетворяют уравнению

d>„ | 1 | dr2 r dr

/ I .2 Л

k r2

\

где P = const ~0(m2), & = const~0(M), |v| = |ij| + /8sgn(/}), так что в области a<i^r<R падающее звуковое поле имеет вид:

Ф МЬЛ^+Х

Jmp{kR) J^{kR)

inj„m (?)

Ряд (3) удается просуммировать в области а<^.г<£.Я (Область I, см. Рис. 2) с помощью применения интегрального представления Шлеффли для функции Бесселя, так что

(4)

2 л- J

sin Л cos А е2«*У*

sin Л. 1 + е2^1 со 5Л H + e2i(i+') +

-р 1-ге

sin Л ie'^V'^ cos Л

(5)

sin Л, l + e2l(i"fl) cosAp l + e2i(('e)

где /1, /^д - константы, а интегрирование осуществляется по контуру,

изображенному на Рис. 3. Значение интеграла (4) вычисляется с помощью метода перевала. В результате получено, что падающее звуковое поле в области I под воздействием рефракции трансформируется в суперпозицию плоской волны с амплитудой единица и приходящих и уходящих плоских волн и приходящих и уходящих цилиндрических волн с амплитудой порядка О^Л/2) (Рис. 2). Полученное решение в главном приближении по числу Маха совпадает с постановкой, исследовавшейся в п. 2.1, но в следующем приближении (0(м2)) эти решения значительно отличаются друг от друга. Это означает, что корректная постановка задачи требует задания падающего поля с точностью до членов порядка О^М2), т.е. падающее звуковое поле

следует задавать как решение уравнения (2) или суперпозицию таких решений для разных п.

В п. 2.3 рассматривается одна из таких математически корректных постановок - постановка Берри, где падающее поле представлено в виде

Изначально эта постановка использовалась для рассмотрения эффекта Ааронова-Бома при рассеянии заряженных частиц непроницаемым цилиндром, содержащим магнитный поток (Рис. 4), но уравнения, описывающие эту квантовомеханическую задачу, математически эквивалентны уравнениям данной акустической задачи. Показано, что падающее поле (6) имеет достаточно простой вид, а именно, суперпозицию падающей квази-плоской волны с амплитудой порядка единицы и уходящей цилиндрической волны с амплитудой порядка 0(М2) (см. Рис.5). Однако,

исходная физическая ситуация, которой данная постановка соответствует, является неясной. Кроме того, решение задачи в постановке Берри о рассеянии на вихре (а не на непроницаемом цилиндре) до настоящего момента отсутствовало.

В п. 2.4 рассмотрена постановка, которая исходно соответствует определенной физической ситуации, как в п. 2.2, и при этом является математически корректной, как в п. 2.3: рассмотрено звуковое поле от источника, находящегося на большом, но конечном расстоянии Я от вихря. Падающее звуковое поле в области между вихрем и источником в данной постановке имеет вид

(7)

Вычисление этого ряда проводится аналогично тому, как это было сделано в п. 2.2, и показывается, что поле (7) в области I представляет собой суперпозицию падающей квазиплоской волны с амплитудой порядка единицы и уходящей цилиндрической волны с амплитудой порядка 0(М2). Сделан вывод о предпочтительности данной постановки перед остальными.

В третьей главе ищется решение задачи о нерезонансном длинноволновом рассеянии звука вихрем Ранкина в постановке с точечным источником. Рассеянное поле состоит из двух компонент: (¡) звука, рефрагированного на медленно убывающем поле средней скорости, (и) звука, рассеянного собственно вихрем. Первая компонента уже была определена (ряд (7), вычисленный в п. 2.4), поэтому для определения рассеянного поля осталось определить вторую компоненту.

В п. 3.1 ищется решение для «-ой парциальной моды вблизи вихря. В п. 3.1.1 с помощью метода последовательных приближений с точностью до 0(М2} вычисляются амплитуды гармоник давления и радиальной скорости

во внешней ближней области, а в п. 3.1.2 - внутри вихря. На границе вихря давление и радиальная скорость должны быть непрерывны, поэтому в н. 3.1.3 проводится сшивка решений, полученных в п. 3.1.1 и п. 3.1.2, на границе вихря, так что в результате у решения во внешней ближней области остается неизвестной лишь одна константа, которая будет определена из сращивания решения во внешней ближней области с решением во внешней дальней области.

Это сращивание проводится в п. 3.2. Решение во внешней дальней области, с которым проводится сращивание, имеет вид:

- <8>

где |йо| = |у| + 0(Л/4), ап - известная константа, найденная в п. 2.4, а ^ -

неизвестная константа, подлежащая определению. При сращивании асимптотических разложений используется принцип Ван Дайка.

В п. 3.2.1 проводится сращивание для нулевой моды п = 0 и получено, что ^ =0. В п. 3.2.2 для первой моды |и| = ±1 получено, что

= (9)

В п. 3.2.3 проведено сращивание для высших мод !«! > 2 и показано, что

(|и|!)2 l-(«-fl»)sgn(«)

24. *

(Ю)

так что их вкладом в рассеянное поле можно пренебречь.

Таким образом, основной вклад в поле, рассеянное собственно вихрем, дадут только первая и минус первая гармоники, так что данное поле имеет вид

Итак, первая компонента рассеянного поля определяется выражением (7), вычисленным в п. 2.4, вторая - выражением (11), а итоговое поле рассеяния -их суммой, приведенной в п. 3.2.4.

В п. 3.3 полученное решение для рассеянного поля сравнивается с решениями предыдущих авторов. Отмечено качественное сходство их решений с решением, полученным в данной работе: в частности, дипольная направленность звука, рассеянного собственно вихрем (см. выражение (11)), и отсутствие сингулярности, первоначально присутствовавшей в ранних работах.

Четвертая глава посвящена резонансному рассеянию звука вихрем Ранкина. Легко видеть, что если обезразмеренная частота падающего звукового поля равна

то амплитуда рассеянного поля (10) обращается в бесконечность, что свидетельствует о некорректности используемого разложения вблизи этих частот, соответствующих собственным частотам несжимаемого вихря Ранкина.

Корректное рассмотрение случая резонанса показывает конечность резонансной амплитуды рассеяния, однако, как отмечено в п. 4.1, в литературе имеется следующее противоречие относительно величины резонансной амплитуды: из общих соображений, основанных на предположении об установившемся характере решения (Копьев, Леонтьев 1987) следует, что резонансная амплитуда рассеянного поля

Ф, =-—ЮМ2Н11) (kR)Hf] (кг) e~"*sm 9.

(И)

<Ю = (|И|-1)«йи(И),

(12)

может достигать единицы, т.е. амплитуды падающего звукового поля, когда частота падающего звукового поля равна реальной части собственной частоты

вихря соп =í\n\-\)sgn{n) + o[мг} (дп - мнимая часть собственной

частоты). С другой стороны, сращивание асимптотических разложений, проведенное Эогои (1990) до членов (?(М2) показывает, что на резонансной

частоте (12) амплитуда рассеянного поля равна <э(а/2'"'~2|,|л|>2 и таким

образом не превышает 0(Л/2). Данная глава посвящена анализу причин и

устранению этого противоречия, для чего достаточно рассмотреть лишь одну моду п- 2.

В п. 4.2 рассматривается излучение звука вихрем для второй моды с целью определения собственной частоты вихря Ранкина. Вычисления аналогичны тем, что проводились в Главе 3, с той только разницей, что рассматривается лишь п = 2 и падающее звуковое поле отсутствует {ап =0). В результате определяется собственная (резонансная) частота вихря Ранкина

, м2

со, = 1---М

2 12

67 С in у I . М 1 г ' ' - +—In—

(14)

1152 16 32 192 16 2 г

где Су = 0.5772... - константа Эйлера, у - отношений удельных теплоемкостей.

Полученное значение (14) исправляет имеющееся в литературе (Broadbent, Moore 1979) выражение для собственной частоты.

В п. 4.3 рассматривается рассеяние вихрем Ранкина звука, частота которого отличается от точной резонансной частоты вихря (14) на величину порядка О (Мл) (очевидно, что частота рассеиваемого звука не может совпадать с точной собственной частотой вихря, поскольку последняя содержит мнимое слагаемое порядка 0(М4)). Вычисления проводятся аналогично тому, как это было сделано в Главе 3 для нерезонансного

рассеяния. В результате демонстрируется, что значение резонансной амплитуды рассеянного звукового поля зависит только от главного приближения по числу Маха падающего звукового поля, так что рассмотрение резонансного рассеяния в приближении падающей плоской волны является корректным. Получено, что амплитуда рассеянного поля действительно имеет вид (13) и если частота падающего звукового поля отличается от точной собственной частоты вихря на величину порядка то амплитуда

рассеянного поля достигает величины порядка единицы, т.е. амплитуды падающего поля. С другой стороны, этот точный резонанс достигается не на частоте (12) (собственной частоте несжимаемого вихря), а на резонансной частоте, соответствующей реальной части выражения (14) (собственной частоте сжимаемого вихря), что, естественно, не противоречит результату Эогои (1990): на частоте (12) резонансная амплитуда достигает лишь величины о{мг) . Таким образом, полученный результат снимает имеющееся в литературе противоречие.

В заключении сформулированы основные результаты и выводы работы:

1) Рассмотрена традиционная постановка задачи о рассеянии на вихре Ранкина плоской звуковой волны и показана математическая неопределенность данной постановки; это свидетельствует о необходимости рассмотреть другие постановки этой задачи.

2) Были проанализированы постановка с точной плоской волной на конечном расстоянии, постановка Берри и постановка с точечным источником. Для новых постановок задачи были предварительно получены аналитические выражения, описывающие взаимодействие звуковой волны с полем средней скорости. На основе проведенного анализа сделан вывод о предпочтительности постановки с точной волной.

3) Получена амплитуда составляющей рассеянного поля, связанной с переизлучением звука вихрем Ранкина, для постановки с точечным

источником и случая нерезонансного рассеяния. Эта часть рассеянного поля имеет дипольную направленность и описывается выражением (11). Этот вывод находится в согласии с выводом ряда других авторов (Howe 1975; Копьев, Леонтьев 1983).

4) Проведен анализ всех имеющихся решений. Показано, что большинство работ правильно описывает поле вне малых углов рассеяния. Сглаживание сингулярности в области малых углов также в ряде работ описано правильно, однако сравнение всех решений может быть проведено только в области I, вне которой решение описывается бесконечным рядом (8).

7) Определена собственная частота вихря Ранкина для п — 2 с учетом сжимаемости (14) с точностью до членов порядка 0(М4). Исправлена ошибка

в выражении для этой частоты в работе Broadbent, Moore (1979).

8) Показано, что в отличие от нерезонансного рассеяния звука вихрем Ранкина вычисление амплитуды рассеянного поля при резонансном рассеянии требует знания падающего поля только в главном по числу Маха приближении. Таким образом, продемонстрирована математическая корректность постановки о рассеянии вихрем Ранкина плоской звуковой волны.

9) Показано, что амплитуда рассеянного звукового поля при резонансном рассеянии действительно может достигать величины порядка единицы (т.е. порядка амплитуды падающего поля), тогда как при совпадении частоты падающего поля с собственной частотой вихря Ранкина (12) амплитуда рассеянного поля для и = 2 имеет порядок о(мг) . Таким образом,

устранено существовавшее противоречие имеющихся в литературе результатов.

Список опубликованных работ по теме диссертации:

[1] Беляев И.В., Копьев В.Ф. К постановке задачи о рассеянии звука цилиндрическим вихрем. // Акуст. ж. 2008. Т.54. №5. С.1-13.

[2] Belyaev I.V., Kopiev V.F. New approach to the problem of long-wave sound scattering by Rankine vortex. // J. Acoust. Soc. Am. 2008. V.123. №5. Pt.2 of 2. P.3845

[3] Belyaev, I.V., Kopiev, V.F. 2007. On sound scattering by a Rankine vortex. // AIAA Paper 2007-3421

[4] Беляев И.В., Копьев В.Ф. Рассеяние звука от точечного источника цилиндрическим вихрем. // Ежегодник РАО. 2007. №8. Акустика неоднородных сред. С.72-79

[5] Беляев И.В., Копьев В.Ф. Рассеяние звука вихрем Ранкина 2006. // Труды международной конференции «Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости и турбулентность», с. 137.

[6] Беляев И.В., Копьев В.Ф. 2008. Нерезонансное и резонансное рассеяние звука цилиндрическим вихрем. // Труды XX сессии Российского Акустического Общества. Т.З. С.309-310.

Рис. 1 Двумерный вихрь Ранкина с завихренностью П0

■Падающая и уходящж плоские волны

Падающая и уходящая цилиндрические волны

Ква\н-плоская волна

Область I

Рис. 2 Плоская волна, заданная вокруг вихря на большом, но конечном расстоянии. Решение в Области I представляет собой сумму квази-плоской волны, падающих и уходящих плоских волн и падающих и уходящих цилиндрических волн.

!г«е

Щ

Рис. 3 Контур интегрирования для преобразования Шлеффли

Рис.4 Рассеяние заряженных частиц цилиндром, содержащим ненулевой магнитный поток

/1 _ е^щрт/!?) ' \ тс ЖхгЬ-т%(8П)

Рис. 5 Решение задачи в постановке Берри 18

Область I

Ь<к)«М

Рис. 6 Постановка задачи с точечным источником на большом, но конечном расстоянии от вихря.

Отпечатано в типографии ЦАГИ Заказ № 5335 от 14.09.2009 г. Тираж 100 экз.

ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ.

1.1 Формулировка задачи. Допущения и предположения.

1.2 Уравнения для области завихренности.

1.3 Уравнения для внешней ближней области.

1.4 Уравнения для внешней дальней области.

ГЛАВА 2 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.

2.1 Плоская волна.

2.1.1 Подход с разложением по парциальным модам.

2.1.2 Подход Лайтхилла.

2.2 Плоская волна на конечном расстоянии от вихря.

2.3 Постановка Берри.

2.4 Точечный источник вдали от вихря.

Выводы к главе 2.

ГЛАВА 3 НЕРЕЗОНАНСНОЕ РАССЕЯНИЕ ЗВУКА ОТ ТОЧЕЧНОГО

ИСТОЧНИКА.

3.1. Решение вблизи вихря.

3.1.1 Решение во внешней ближней области.

3.1.2 Решение внутри вихря.

3.1.3 Сшивание решений на границе вихря.

3.2 Сращивание решений.

3.3 Анализ полученного решения и сравнение с результатами предыдущих авторов.

Выводы к главы 3.

ГЛАВА 4 РЕЗОНАНСНОЕ РАССЕЯНИЕ.

4.1 Состояние задачи.

4.2 Излучение звука вихрем для второй моды («=2).

4.3 Резонансное рассеяние звука вихрем.

Выводы к главе 4.

Рассеяние звука изолированным вихрем является предметом интенсивных исследований на протяжении более 50 лет. Причины такого высокого интереса к данной проблеме заключаются в том, что эта задача является базовой для понимания взаимодействия звуковых волн с завихренными течениями, включая турбулентные. Когда турбулентность может быть представлена в виде распределения локализованных вихрей с определенными статистическими свойствами (подход Крейчнана-Татарского [1,2]), звуковое поле, рассеянное таким течением, будет являться суперпозицией рассеянных звуковых полей от каждого вихря. Поэтому описание элементарного события - рассеяния звука отдельным вихрем - в рамках данного подхода является необходимым для предсказания взаимодействия звука с турбулентным течением в целом. Кроме того, имеются убедительные экспериментальные свидетельства (см., например, [3-6]) того, что турбулентные течения» содержат структуры с интенсивной, концентрированной завихренностью, которые при облучении звуковой волной ведут себя как линейные рассеиватели [7]. Корректное моделирование взаимодействия звука с таким течением требует описания взаимодействия-звука с локализованными концентрированными вихрями. Кроме того, исследование взаимодействия звука с отдельным локализованным вихрем представляет самостоятельный интерес для целого ряда проблем, например, таких как рассеяние фононов вихрем в квантовой электродинамике [8, 9] или обнаружение и определение размеров вихревых следов за большими транспортными самолетами [10]. Эта задача также может служить одной из эталонных проблем (benchmark problems) в вычислительной аэроакустике [11].

С экспериментальной точки зрения, рассеяние звуковых волн представляет собой бесконтактный (невозмущающий) способ исследования структуры потока. Разумеется, методы, позволяющие проводить пространственные измерения характеристик течения без возмущения потока крайне важны для решения* задач аэро- и гидродинамики. Такой оптический метод как LDV (лазер-допплеровская анемометрия, Laser Doppler Velocimetry) дает только локальные характеристики потока, a PIV (Particle Image Velocimetry) неудобен для крупномасштабных экспериментов. Кроме того, такие оптические методы измерений требуют введения в поток отражающих частиц и не дают информации о фазе волн. С другой стороны, фазовый, сдвиг звуковой волны, вызванный течением, в котором эта волна распространялась, может быть измерен и проанализирован.

Этот метод анализа структуры течения по сдвигу фазы звуковой волны был впервые предложен в работах [12, 13], и теперь широко используется в акустике океана [14, 15]. Развитие экспериментальной техники [16-20] привело к появлению возможности измерять пространственные и динамические характеристики» изолированных вихрей. Когда размер вихря много больше, длины звуковой волны, фазовый сдвиг интерпретируется в рамках геометрической, акустики и дает прямое измерение циркуляции вихря, его размера и положения. Теоретический-анализ рассеяния звука вихрем в данном коротковолновом приближении был предложен в работах [21-25].

Однако в реальных турбулентных потоках присутствуют вихревые^ структуры самых разных масштабов, так что- коротковолновое приближение в общем случае не справедливо; это необходимо учитывать при проведении акустической диагностики турбулентных течений. Был осуществлен ряд подобных экспериментальных попыток исследовать турбулентные потоки с помощью акустики [26-28]; авторы этих работ сделали вывод о перспективности метода акустической диагностики для исследования турбулентных течений и отметили необходимость уточнения существующих моделей взаимодействия звуковой волны с неоднородным полем скоростей и давлений.

С этой целью в работе [29] было проведено экспериментальное исследование, посвященное верификации полученных численных и теоретических результатов по рассеянию звука отдельным вихрем; между теоретическими расчетами и экспериментальными данными работы [29] наблюдалось заметное расхождение. Возможная причина этого расхождения будет предложена ниже, в Главе 3.

Помимо непосредственной экспериментальной проверки результатов для амплитуды рассеянного звукового поля вихрем, как это было сделано в работе [29], ряд исследователей [30-32] воспользовались математической эквивалентностью уравнений, решаемых в данной акустической задаче, и уравнений для поверхностных волн в мелкой воде, для экспериментальной проверки теории. Таким образом, эксперименты по рассеянию* поверхностных волн на вихре дают возможность сделать выводы об искомом решении в рассматриваемой акустической задаче. Интересно также отметить математическую аналогию с квантовомеханической задачей об эффекте Ааронова - Бома [33-34], где. рассматривается рассеяние электронов непроницаемым цилиндром, содержащим внутри магнитное поле.

Простейшей теоретической моделью, описывающей взаимодействие звука с локализованным вихрем, является длинноволновое рассеяние звука на двумерном цилиндрическом вихре - т.н. вихре Ранкина (Рис.1). С другой: стороны, эта теоретическая модель является достаточно реалистичной, так что можно ожидать, что рассмотрение данной- задачи позволит выявить основные свойства исследуемого явления. Однако, несмотря на длительную историю проблемы, полученные решения дают неоднозначный ответ на вопрос о длинноволновом рассеянии звука вихрем Ранкина, так что до настоящего момента полное понимание этой базовой проблемы отсутствовало.

Ввиду указанной выше важности проблемы взаимодействия звука с вихрями, устранение имеющейся неоднозначности в решениях данной задачи, анализ причин неоднозначности и установление границ применимости существующих подходов, а также получение нового решения, обобщающего имеющиеся и снимающего существующие противоречия, представляется вполне актуальным.

Действительно, на настоящий момент в литературе имеются различные ответы, как для резонансного, так и нерезонансного рассеяния. В задаче о нерезонансном рассеянии большинство- авторов [8, 10, 35-44] рассматривали рассеяние на вихре Ранкина плоской звуковой волны. Выбор данной постановки определялся, в основном, аналогией с другими акустическими и квантово-механическими задачами рассеяния; однако, как будет показано ниже, использование постановки с плоской волной для двумерной задачи о рассеянии звука вихрем Ранкина приводит к математической неопределенности задачи и ряду других проблем. Обширную литературу, где авторы пытаются разрешить эти трудности, можно условно разделить на два типа:

1) работы, где используется разложение на парциальные моды и) работы, где используется уравнение Лайтхилла Несколько в стороне от остальных подходов к решению задачи стоят работы [40,43], где используется уравнение Блохинцева - Хоу [45-46], представляющего собой обобщение уравнения Блохинцева [47] на случай, когда звуковые возмущения распространяются в среде, где присутствуют' завихренность и градиенты энтропии. Однако, так как математические трудности в работах [40,43], аналогичны- тем, что возникают при использовании уравнения Лайтхилла, эти работы будут условно отне^Б к типу (и).

Многими авторами ([8, 10,35-37]), исследовавшими нерезонансное рассеяние звука вихрем, было получено решение, неограниченно возраставшее на малых углах рассеяния (т.е. в направлении падения плоской волны); в дальнейшем были получены другие решения [38-40], не имеющие особенности в этом направлении. На основании анализа полученных решений, ряд авторов [35, 48-55] выразили сомнение относительно математической и физической корректности формулировки задачи с плоской волной в качестве падающего поля. Для разрешения этих сомнений представляет интерес рассмотрение задачи о рассеянии звука вихрем Ранкина в физически и математически корректной постановке - например, рассеяние звука от точечного источника, расположенного на большом, но конечном расстоянии от вихря, - и сравнение полученных результатов для обеих постановок (это будет выполнено ниже в Главе 3).

С точки зрения исследования пространственной структуры потока особенный интерес представляет собой резонансное рассеяние звука вихрем [37, 56]. Вихрь Ранкина является колебательной системой с квазидискретными уровнями энергии [57], и усиление рассеянного звука вихрем, когда частота падающего звукового поля совпадает с одной из собственных частот вихря Ранкина, может дать информацию о завихренности и положении содержащихся в жидкости вихрях. Естественно, что чем более эффективен механизм» резонансного рассеяния, тем легче получить эту информацию и тем более она надежна. Однако при рассмотрении резонансного рассеяния также были получены различные результаты. Из общих соображений в работе [37] было показано, что акустический резонанс является очень эффективным механизмом: в частности, амплитуда рассеянного поля» достигает величины амплитуды падающего поля. Однако имеется и другое решение, полученное в работе [56] на основе метода сращивания асимптотических разложений, которое свидетельствует о сравнительной неэффективности резонансного рассеяния: амплитуда рассеянного поля, хотя и увеличивается по сравнению с нерезонансным случаем, тем не менее остается значительно меньше амплитуды падающего звукового поля. До настоящего момента расхождение в выводах этих работ не было устранено; устранение этого противоречия является одной из целей данной работы.

Цели и задачи исследования.

1) Анализ существующих постановок в приближении плоской звуковой волны и их неполноты. Рассмотрение задачи в новых постановках (плоская волна вокруг вихря на конечном расстоянии от вихря, удаленный точечный источник и др.). Изучение роли рефракции падающего звукового поля на поле средней скорости, индуцированной вихрем.

2) Построение решения в слабосжимаемом приближении задачи о длинноволновом нерезонансном рассеянии вихрем Ранкина звука от точечного источника, расположенного на большом, но конечном расстоянии от вихря. Анализ и сравнение полученного решения с решениями других авторов.

3) Вычисление собственной частоты сжимаемого вихря Ранкина для эллиптической моды. Построение и анализ решения в слабосжимаемом приближении задачи* о длинноволновом резонансном рассеянии звука. Исследование вопроса, может ли резонансная амплитуда достигать величины амплитуды падающего звукового поля:

Научная новизна. В данной диссертации впервые:

1) Поставлена и решена1 задача о рассеянии вихрем Ранкина звука от плоской волны, заданной вокруг вихря на большом, но^конечном расстоянии от его оси.

2) Предложена адаптация метода Берри к этой задаче, для чего введена в рассмотрение область I на удаленном расстоянии'от вихря, в которой-удается" просуммировать бесконечные ряды, определяющие решение, и дать анализ предыдущих постановок задачи. Дан ответ на вопрос о роли рефракции звука на поле средней скорости, индуцированной вихрем.

3) Используя развитый подход, решена задача о нерезонансном рассеянии вихрем Ранкина звука от точечного источника, расположенном на большом, но конечном расстоянии от вихря. Полученное решение позволяет классифицировать все имеющиеся решения и установить границы их применимости.

4) Продемонстрирована эквивалентность формулировки с плоской волной и формулировки с точечным источником для решения задачи о резонансном рассеянии. Показано, что амплитуда резонансного рассеянии действительно может достигать амплитуды падающего поля.

5) Получено правильное значение резонансной частоты вихря Ранкина для наиболее излучающей (эллиптической, п = 2 ) моды.

На защиту выносятся следующие научные результаты:

- Основные проблемы в задаче о нерезонансном рассеянии звука связаны с правильным учетом рефракции падающего звукового поля на поле средней скорости. Проведенный анализ влияния рефракции позволил получить корректное решение задачи о нерезонансном рассеянии вихрем Ранкина звука от точечного источника, расположенного на большом, но конечном расстоянии от вихря. Проведено сравнение полученного решения с решениями предыдущих авторов.

- Получено правильное значение резонансной частоты вихря Ранкина для наиболее излучающей (эллиптической) моды. Показана эквивалентность для исследования^резонансного рассеяния традиционной постановки с плоской волной и постановки с точечным, источником на большом, но конечном расстоянии от вихря. Получено решение задачи о резонансном рассеянии звука вихрем Ранкина и устранено противоречие в имеющихся результатах.

Личный вклад автора заключался в проведении основных расчетов по задаче с плоской волной на конечном расстоянии* и по задаче об удаленном точечном источнике, установлении связи существующих постановок с задачей о точечном источнике в области I, вычислении собственных частот сжимаемого вихря Ранкина и исправлении имеющегося в литературе ошибочного выражения для собственной частоты, участии в анализе предыдущих постановок задачи, включая резонансное рассеяние. Научному руководителю д.ф.-м.н., профессору В.Ф. Копьеву принадлежат постановки задач о точечном источнике и о плоской волне, заданной на конечном расстоянии от центра вихря, введение в рассмотрение области I, в которой удается просуммировать ряд и адаптация метода Берри к этой области, анализ предыдущих постановок задачи.

Апробация работы. Основные результаты, содержащиеся в диссертации, опубликованы в работах [50-55] и были представлены на следующих конференциях: 47, 48, 49, 50-ая Научные Конференции МФТИ (Москва, 2004, 2005, 2006, 2007 гг); Международная конференция «Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости и турбулентность» (Москва, 2006); 13 AIAA/CEAS Aeroacoustics Conference (Рим, Италия, 2007); Научная Конференция «Авиационная акустика»

Звенигород, 2007); 14th AIAA/CEAS Aeroacoustics Conference (Ванкувер, Канада, 2008); International conference "Acoustics'08 Paris" (Париж, Франция, 2008); 7th ONERA - TsAGI seminar (Жуковский, 2008); XX сессия Российского Акустического Общества (Москва, 2008). Результаты работы обсуждались на семинаре проф. С.А. Рыбака, АКИН (2007).

Объём и структура диссертации. Общий объем диссертации составляет 108 страниц. Библиография) содержит 93 наименования работ. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.

Выводы к Главе 4

1) Определена собственная частота вихря Ранкина для п- 2 с учетом сжимаемости (98) с точностью до членов порядка О^М4). Исправлена ошибка в выражении для этой частоты в работе [57].

2) Впервые показано, что в отличие от нерезонансного рассеяния, рассмотренного в Главе 3, вычисление амплитуды рассеянного поля при резонансном рассеянии звука вихрем Ранкина требует знания падающего поля только в главном по числу Маха приближении. Таким образом продемонстрирована математическая корректность постановки, которая использовалась предыдущими авторами и заключалась в рассмотрении рассеяния вихрем плоской звуковой волны.

3) Впервые продемонстрировано, что расхождение в ответах, полученных в работах [37] и [56], является кажущимся. Показано, что в согласии с выводами работы [37] амплитуда рассеянного звукового поля при резонансном рассеянии действительно может достигать порядка единицы (т.е. порядка амплитуды падающего поля). Также показано, что в соответствии с выводами работы [56] при совпадении частоты падающего поля с собственной частотой вихря Ранкина (90) амплитуда рассеянного поля для п- 2 имеет порядок

0[Мг У Таким образом устранено существовавшее противоречие результатов работ [37] и [56].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1) Указаны математически некорректные процедуры, использованные предыдущими авторами при решении задачи в традиционной постановке с плоской волной. Показана математическая неопределенность задачи в данной постановке; эта неопределенность приводит к необходимости делать дополнительные предположения о структуре падающего поля. Так как рефракция звукового падающего поля на медленно спадающем поле средней скорости существенно модифицирует структуру звукового падающего поля, то дополнительные априорные предположения о виде падающего поля являются неоднозначными. Сделан вывод о необходимости использовать другую постановку задачи, где отсутствует необходимость делать дополнительные предположения о структуре падающего звукового поля.

2) Впервые рассмотрена постановка с плоской волной на большом, но конечном расстоянии от вихря. Получено аналитическое выражение в области I (см. Рис. 5) для амплитуды падающего поля с учетом рефракции на медленно спадающем поле средней скорости. Решение не содержит разрывов или сингулярностей ни при каких углах наблюдения. Показано, что рефракция может приводить к появлению в падающем поле уходящих (квази-)плоских и цилиндрических волн, имеющих тот же порядок, что и рассеянное поле. Сделан вывод, что данная постановка, хотя и является математически корректной и физически определенной, приводит к очень сложному выражению для амплитуды падающего поля. Показано, что любое представление падающего поля в виде решения уравнения (15) или суперпозиции таких решений для разных п является математически корректной постановкой задачи.

3) Рассмотрена одна из таких математически корректных постановок: постановка Берри. Сделан вывод о неочевидности исходной физической ситуации, которой соответствует данная постановка. Указано на различие в граничных условиях для квантово-механической задачи, рассмотренной в [34], и задачи о рассеянии звука вихрем. В существующей на настоящий момент литературе аналитического выражения для амплитуды падающего (и рассеянного) поля для задачи о рассеянии звука вихрем (или эквивалентной ей задачи о рассеянии вихрем поверхностных гидродинамических волн для мелкой воды) в математически корректной формулировке получено не было. Сделан вывод о предпочтительности решения задачи в формулировке, которая является не только математически корректной, но и соответствует хорошо определенной физической ситуации.

4) Впервые рассмотрена задача о рассеянии вихрем звукового поля от точечного источника, расположенного на большом, но конечном расстоянии от вихря. Предложенная постановка является математически корректной и соответствует хорошо определенной физической ситуации. Получено аналитическое выражение для амплитуды падающего поля в области I (см. Рис. 9). Решение не содержит разрывов или сингулярностей ни при каких углах наблюдения; оно значительно проще решения для постановки с плоской волной на большом, но конечном расстоянии от вихря. Сделан вывод о предпочтительности решения задачи с использованием постановки с точечным источником.

5) Получена амплитуда собственно рассеянного поля при нерезонансном рассеянии вихрем Ранкина звука от точечного источника, расположенного на большом, но конечном расстоянии от вихря. Рассеяние звука вихрем имеет дипольную направленность и описывается выражением (79). Этот вывод находится в согласии с выводом ряда других авторов, в частности [40].

6) Впервые показано, что для проведения корректной процедуры сращивания решений во внешней дальней и внешней ближней области знание только главного члена разложения решения по числу Маха является недостаточным. Таким образом, постановка с плоской волной, использовавшаяся рядом других авторов, не позволяет однозначно определить рассеянное поле, поскольку существует бесконечно много выражений, задающих падающее поле, которые в главном приближении совпадают с падающей плоской волной.

7) Проведено сравнение результатов предыдущих авторов. Указано на качественное сходство решения (86) и результатов предыдущих авторов. Приведено объяснение возникновения в ответах ряда предыдущих авторов сингулярности. Предложена причина расхождения результатов эксперимента и вычислительного расчета по рассеянию вихрем цилиндрической волны в работе [29] с аналитическим выражением (88).

8) Определена собственная частота вихря Ранкина для п = 2 с учетом сжимаемости (98) с точностью до членов порядка Исправлена ошибка в выражении для этой частоты, полученном в работе [57].

9) Впервые показано, что в отличие от нерезонансного рассеяния, рассмотренного в Главе 3, вычисление амплитуды рассеянного поля при резонансном рассеянии звука вихрем Ранкина требует знания падающего поля только в главном по числу Маха приближении. Таким образом продемонстрирована математическая корректность постановки, которая использовалась предыдущими авторами и заключалась в рассмотрении рассеяния вихрем плоской звуковой волны.

10) Впервые продемонстрировано, что расхождение в ответах, полученных в работах [37] и [56], является кажущимся. Показано, что в согласии с выводами работы [37] амплитуда рассеянного звукового поля при резонансном рассеянии действительно может достигать порядка единицы (т.е. порядка амплитуды падающего поля). Показано, что в соответствии с выводами работы [56] при совпадении частоты падающего поля с собственной частотой вихря Ранкина

90) амплитуда рассеянного поля для п = 2 имеет порядок Таким образом устранено существовавшее противоречие результатов работ [37] и [56].

1. Kraichnan R.H. The Scattering of Sound in a Turbulent Medium. // J. Acoust. Soc. Am. 1953. V.25. №6 P.1096-1104.

2. Lund F., Rojas C. Ultrasound as a probe of turbulence // Physica D. 1989. V.37. P.508-514.

3. Crow S.C., Champagne F.H. Orderly structures in jet turbulence. // J.Fluid Mech. 1971. V.48. P.547-591.

4. Ahuja K.K., Wiffen M.C. Tone Excited Jets. Part I: Flow Visualization. // J. Sound Vib., 1972. V.102. №1. P.63-70.

5. Hussain A.K.M.F. Coherent structures Reality and Myth. // Phys. Fluids. 1983. V.26. №10. P.2816-2850.

6. Kopiev V.F., Zaitsev M.Yu., Inshakov S.I., Guriashkin L.P. Visualization of the Large-scale Vortex Structures in Excited Turbulent Jets. // Journal of Visualization. 2003. V.6. №3. P.303-311

7. Douady S., Couder Y., Brachet M.-E. Direct observation of the intermittency of intense vorticity filaments in turbulence // Phys. Rev. Lett. 1991. V.67. P.983

8. Питаевский Л.П. Вычисление фононной части силы взаимного трения в сверхтекучем гелии. //ЖЭТФ. 1958. Т.35. №5. С.1271-1275

9. Fischer U.R., Visser М. Riemannian Geometry of Irrotational Vortex Acoustics. //Phys. Rev. Lett. 2002. V.88. №11 P.l 10201

10. Ferziger J.H. Low frequency acoustic scattering from a trailing vortex. // J. Acoust. Soc. Am. 1974. V.56. P.1705-1707

11. Crighton D.G. Goals for computational acoustics. // Computational Acoustics: Algorithms and Applications, (ed. D.Lee, R.L.Sternberg & M.H.Shultz). Elsevier. 1988

12. Schmidt D.W., Tilmann P.M. Experimental study of sound-wave phase fluctuations caused by turbulent wakes // J. Acoust. Soc. Am. 1970. V.47. P.1310.

13. Engler R.H., Schmidt D.W., Wagner W.J., Weitemeier B. Ultrasonic method for flow field measurement in wind tunnel tests // J. Acoust. Soc. Am. 1982. V.71.P.42

14. Munk W. Acoustic monitoring of ocean gyres // J.Fluid Mech. 1986. V. 173. P.43-53

15. Munk W., Worcester P, Wunsch C. Ocean Acoustic Tomography. 1995. Cambridge University Press, Cambridge.

16. Engler R.H., Schmidt D.W., Wagner W.J. Nondisturbing acoustical measurement of flow fields—New developments and applications // J. Acoust. Soc. Am. 1989. V.85. P.72-82

17. Hauck A. Ultrasonic time-of-flight tomography for the non-intrusive measurement of flow velocity fields // Acoust. Imaging. 1991. V.18. P.317

18. Labbe R., Pinton J.-F. Propagation of sound through a turbulent vortex// Phys. Rev. Lett. 1999. V.81. P.1413.

19. Manneville S., Maurel A., Roux P., Fink M. Characterization of a large vortex using acoustic time-reversal mirrors // Eur. Phys. J. B. 1999. V.9. P.545-549

20. Georges T.M. Acoustic ray paths through a model vortex with a viscous core. //J. Acoust. Soc. Am. 1971. V.51. P.206-209.

21. Broadbent E.G. Acoustic ray theory applied to vortex refraction. // J. Inst. Math. Appl. 1977. V.19. P.l-27.

22. Butler G.W., Holbeche T.A., Fethney P. 1973. Some experimental observations of the refraction of sound by a rotating flow. // AGARD Conf. Proc. №131, p.91.

23. Dowdling A.P. 1975 The refraction of sound by a shear layer made up of discrete vortices // Aero. Res. Counc. R. & M. №3770

24. Vivanco F., Melo F., Coste C., Lund F. Surface wave scattering by a vertical vortex and the symmetry of the Aharonov-Bohm wave function. // Phys. Rev. Lett. 1999. V.83. №10. P.1966-1969.

25. Roux P., de Rosny J., Tanter M., Fink M. The Aharonov-Bohm Effect Revisited by an Acoustic Time-Reversal Mirror. // Phys. Rev. Lett. 1997. V.79. P.3170-3173

26. O'Shea S. Sound scattering by a potential vortex. // J. Sound Vib. 1975. V.43. P.109-116

27. Фабрикант A.JI. К вопросу о рассеянии звука вихрем. // Акуст. ж. 1982. Т.28. №5. С.694-695.

28. Копьев В.Ф., Леонтьев Е.А. Излучение и рассеяние звука вихревым кольцом. // Изв. АН СССР. МЖГ. 1987. №3. 83-95.

29. Саков П.В. К задаче о рассеянии звука вихревой нитью. // Акуст. ж. 1993. Т.39. №3. С.537-541.

30. Ford R., Smith S.G.L. Scattering of acoustic waves by a vortex. // J. Fluid Mech. 1999 V.386. P.305-328

31. Howe M.S. On the scattering of sound by a rectilinear vortex. // J. Sound Vib. 1999 V.227. №5. P.1003-1017.

32. Candel S.M. Numerical simulation of wave scattering problems in the parabolic approximation. // J. Fluid Mech. 1979. V.90. №3. P.465-507.

33. Големшток Г.М., Фабрикант A.JI. Рассеяние и усиление звуковых волн цилиндрическим вихрем. //Акуст. ж. 1980. Т.26. №3. С.383-390.

34. Howe M.S. Contribution to the theory of aerodynamic sound, with application to excess jet noise and the theory of the flute. // J. Fluid Mech. 1975. V.71.P.625-673

35. Yates J.E. 1978. Application of the Bernoulli enthalpy concept to the study of vortex noise and jet impingement noise. // NASA Contractor Rep. 2987.

36. Мунин А.Г., Кузнецов B.M., Леонтьев Е.А. Аэродинамические источники шума. М.: Машиностроение. 1981

37. Кузнецов В.М. Основы теории шума турбулентных струй. М.: Физматлит. 2008

38. Блохинцев Д.И. Акустика неоднородной движущейся среды. М.: Наука. 1981.

39. Colnius Т., Lele S.K., Moin P. The scattering of sound waves by a compressible vortex numerical simulations and analytical solutions. // J. Fluid Mech. 1994. V.260. P.271-298.

40. Berthet R., Lund F. The forward scattering of sound by vorticity. // Phys. Fluids. 1995. V.7. P.2522-2524.

41. Беляев И.В., Копьев В.Ф. К постановке задачи о рассеянии звука цилиндрическим вихрем. // Акуст. ж. 2008. Т.54. №5. С. 1-13. Belyaev, I.V., Kopiev, V.F. 2007. On sound scattering by a Rankine vortex. // AIAA Paper 2007-3421

42. Belyaev I.V., Kopiev V.F. New approach to the problem of long-wave sound scattering by Rankine vortex. // J. Acoust. Soc. Am. 2008. V.123. №5. Pt.2 of 2. P.3845

43. Беляев И.В., Копьев В.Ф. Рассеяние звука от точечного источника цилиндрическим вихрем. // Ежегодник РАО. 2007. №8. Акустика неоднородных сред. С.72-79

44. Sozou С. Resonant interaction of a sound wave with a cylindrical vortex. // J: Acoust. Soc. Am. 1990. V.86. №6. P.2342-2348.

45. Broadbent E.G., Moore D.W. Acoustic déstabilisation of vortices. // Phil.

46. Trans. Roy. Soc. 1979. V.A290. P.353-371

47. Сэффман Ф.Дж. Динамика вихрей. M.: Научный мир. 2000

48. Милн-Томсон JI.M. Теоретическая гидродинамика. М.: Мир. 1964.

49. Найфе А. Введение в методы возмущений. М.: Мир. 1984.

50. Копьев В.Ф., Леонтьев Е.А. Об акустической неустойчивостиаксиального вихря. 1983. Т.28. №2. С.192-198.

51. Абрамович М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. М.: Наука. 1979.1.ghthill M .J. On sound generated aerodynamically. // Proc. R. Soc. Lond. A. 1952. V.211. P.564-587

52. Howe M.S. Theory of Vortex Sound. Cambridge University Press. 2003.

53. Архипов, Садовничий, Чубариков. Лекции по математическому анализу. М.: МГУ, «Дрофа». 2004

54. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматлит. 1962.

55. Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций. 4.1. М.: ИЛ. 1949

56. Федорюк М.В. Асимптотики: интегралы и ряды. М.: Наука. 1987

57. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. М.: Наука. 1973

58. Фелсен Л., Маркувиц Н. Излучение и рассеяние волн. Т.1. М.: Мир. 1978

59. Olariu S., Iovitzu Popescu I. The quantum effects of electromagnetic fluxes. //Rev. Mod. Phys. 1985. V.57. P.339-436.

60. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М.: Наука, 1973.

61. М.В. Lesser and D.G. Crighton. Physical acoustics and the method of matched asymptotic expansions. In W.P. Mason and R.N. Thurston, editors, Physical Acoustics Volume XI. Academic Press, New York, 1975.

62. Müller E.A., Matschat K.R. The scattering of sound by a single vortex and by turbulence. 1959. // Tech. Rep. Mach-Planck-Inst. für Strömungsforschung. Göttingen.

63. Obermeier F. Die Wechselwirkung zwischen Stromungsfeldern und Schallfeldern als Singulares Stronungsproblem. 1968. // Dissertation zur Erlangung des Doktorgrades der Georg-August-Universität zu Göttingen.

64. Fetter A.L. Scattering of sound by a classical vortex. // Phys. Rev. 1964. V.136. P.1488-1493.

65. Kambe Т., Mya Oo U. Scattering of sound by a vortex ring. // J. Phys. Soc. Jap. 1981. V.51. P.3507-3516.

66. Kambe T. Scattering of sound by vortex systems (in Japanese). // J. Jap. Soc. FluidMech. 1982. V.l. P.149-165.

67. Tanaka К., Ishii S. Scattering of a plane sound wave by a vortex pair. // J. Phys. Soc. Jap. 1981. V.50. P. 1992-1999.

68. Dosanjh D.S., Weeks T.M. Interaction of a starting vortex as well as a vortex street with a traveling shock wave. // AIAA Journal. 1965. V.3 P.216-223. Home W.C. 1983. Measurements of the scattering of sound by a line vortex. // AIAA Paper 83-0676.

69. Громов П.Р., Езерский А.Б., Фабрикант A.JI. 1981. Рассеяние звука вихревыми течениями. // Институт прикладной физики АН СССР. Препринт №28.

70. Reinschke J., Mohring W., Obermeier F. Scattering of sound waves by a cylindrical vortex: a semi-analytical theory. // J. Fluid Mech. 1997. V.333. P.273-300.

71. Manneville S. 2000. "Sound-vorticity interaction and time-reversal,,new tools for the acoustical characterization of rotational flows" // Ph.D. thesis. University Paris 7.

72. Manneville S., Maurel A., Bottausci F., Petitjeans P. Structure and Dynamics of Vortices. P.231. Springer-Verlag, Berlin. 2000.

73. Roux P., Song H.C., Porter M.B., Kuperman W.A. Application of the Parabolic Equation Method to Medical Ultrasonics. // Wave Motion. 2000. V.31. P.181-196.

74. W. Thomson, On the vibrations of a Columnar Vortex Phil Mag (5), X, 155 (1880) Papers, IV, 152.

75. Лэмб Г. Гидродинамика. M.: Гостехиздат. 1947

76. Sozou С., Swithenbank J. Adiabatic transverse waves in a rotating fluid // J. Fluid Mech. 1969. V.38. P.657-671

77. Sozou C. Adiabatic waves in a Rankine vortex. // Proc. Roy. Soc. Lond. A. 1986. V.405. P.289-301.

78. Зельдович Я.Б. Усиление цилиндрических электромагнитных волн при отражении от вращающегося тела. // ЖЭТФ. 1972. Т.62. №6. С.2076-2081.

79. Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). М.: Физматлит, 2004.

80. Karabasov S.A., Goloviznin V.M. A New Efficient High-Resolution Method for Non-Linear problems in Aeroacoustics // AIAA Journal. 2007. V.45. №12. P.2861 -2871.

81. Рис. 2. Интегрирование по набору эллипсов1. Рис. 3.1. Рис. 4.

82. Рис. 5. Плоская волна, заданная вокруг вихря на большом, но конечном расстоянии. Решение в Области I представляет собой сумму квази-плоской волны, падающих и уходящих плоских волн и падающих и уходящихцилиндрических волн.

83. Рис. 6. Исходный контур (зеленый), контур ПНС (черный) и полюсы подынтгрального выражения

84. Рис. 7. Рассеяние заряженных частиц цилиндром, содержащим ненулевоймагнитный потокуе* 5ш(л-/?)

85. Рис. 8. Решение задачи в постановке Берри. Рассеянное поле представляет собой сумму падающей квази-плоской волны и уходящей цилиндрическойволны.1. Область IКпне 4глЪ

86. Рис.9 Постановка задачи с точечным источником на большом, но конечном расстоянии от вихря. Решение в области I представляет собой сумму падающей квази-плоской волны и уходящей цилиндрической волны