Резонансное туннелирование в магнитных наногетероструктурах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.11 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М. В. ЛОМОНОСОВА

Физический факультет

На правах рукописи

Канджури Фарамарз

РЕЗОНАНСНОЕ ТУННЕЛИРОВАНИЕ В МАГНИТНЫХ НАНОГЕТЕРОСТРУКТУРАХ

Специальность 01.04.11 — физика магнитных явлений

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2004

Работа выполнена на кафедре магнетизма физического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова.

Научные руководители: доктор физико-математических наук,

профессор А. В. Ведяев

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Н. В. Рыжанова

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Ю. Г. Рудой

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник М. Е. Журавлев

Ведущая организация: Физико-технический институт

УрО РАН (г. Ижевск)

Защита состоится 16 декабря 2004 года в 15 час. 30 мин. на заседании диссертационного совета К501.001.02 в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова по адресу: 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ им. М. В. Ломоносова, физический факультет, аудитория ЮФА.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова.

Автореферат разослан 2 декабря 2004 года.

Ученый секретарь совета

кандидат физико-математических наук И. А. Никанорова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы Прорыв в области нанотехнологий, произошедший в последнее время, а также все возрастающие требования к плотности записи информации послужили импульсом для развития новой области физики твердого тела - спинтроники. Особенность этой области обычной электроники заключается в том, что спин электрона наряду с его зарядом представляет собой активный элемент как для хранения, так и для записи информации. Основой для создания новых элементов спинтроники являются два эффекта - эффект гигантского магнитосопро-тивления (ГМС) и туннельного магнитосопротивления (ТМС), наблюдающиеся в слоистых структурах, в которых магнитные слои (Fe, Со, Ni и др.) разделены немагнитными металлическим или диэлектрическими слоями (напр. Си, Сг или A12O3). Как показали многочисленные исследования последних лет, ток, пропускаемый через такие структуры, поляризован по спину, что связано как с обменным расщеплением подзон с различной ориентацией спина, так и со спин-зависящим рассеянием. Однако в понимании физической природы как ГМС, так и ТМС остается еще много невыясненных вопросов. В частности, в настоящее время большое внимание уделяется изучению новых магниторезистивных туннельных контактов в связи с задачей неразрушающейся, не стираемой, стойкой к радиационному воздействию оперативной памяти (MRAM-magnetic random access memory), которая сможет заменить традиционную память на полупроводниках. Основное требование к таким контактам - правильный баланс между достаточно большой величиной тока и туннельным сопротивлением, обеспечивающим хорошую совместимость с другими элементами электронной схемы. Решению этой проблемы и посвящена данная работа. Таким образом, актуальность темы диссертации определяется не только перспективами практического использования исследуемых эффектов, но и немаловажным фундаментальным аспектом этих исследований. Среди проблем, представляющих самостоятельный научный интерес, можно выделить следующие:

1. Поскольку в структурах с ТМС достаточно большая величина тока может быть достигнута только для очень тонких барьеров, которые вследствие технологических трудностей их изготовления не однородны по толщине, что отрицательно влияет на воспроизводимость эффекта, возникает проблема других способов увеличения тока, например, с помощью резонансного туннелирования через промежуточные металлические слои или примеси.

2. В туннельных наноконтактах всегда присутствуют примеси и "поры", при этом возникает так называемые "горячие точки", которые приводят к сильным пространственным неоднородностям туннельного тока и искажают картину поведения ТМС по сравнению с идеальной. Поэтому представляет интерес исследование вольт-амперной характеристики и ТМС в туннельном контакте при различном расположении одиночной примеси внутри контакта и при противоположных направлениях тока.

3. При изготовлении электронных устройств обычно используются элементы с односторонней проводимостью - диоды. Для избежания проблемы совместимости туннельных контактов с проводниками другой природы, весьма интересной представляется идея создания туннельного диода, состоящего из изолирующего барьера, внутри которого находится асимметрично расположенный слой неупорядоченных примесей, которые, с одной стороны, могут при определенных условиях привести к резонансному увеличению тока, а с другой, делают структуру весьма чувствительной к изменению направления тока.

Данная диссертация и посвящена теоретическому исследованию этих проблем.

Целью данной работы является:

1. Исследование туннельного тока и ТМС в гибридной структуре, состоящей из спин-вентильной структуры Ж1/Р/Ж2,где и Ж2 -два

ферромагнитных металла разной коэрцитивности, разделенные слоем парамагнитного металла Р, и находящейся между двумя туннельными барьерами, подсоединенными к ферромагнитным контактам. Определить оптимальные характеристики структуры и диапазоны изменения приложенного электрического поля, позволяющие получить наибольшую величину как туннельного тока, так и ТМС.

2. Выяснение влияния одиночной примеси, находящейся внутри барьера, на пространственное распределение тока и ТМС, в зависимости от расположения примеси относительно границ структуры, ее потенциала, а также направления тока в баллистическом режиме переноса.

3. Исследование возможности создания управляемого внешним магнитным полем диода на базе искусственной структуры, представляющей собой одиночный туннельный барьер, подсоединенный к двум ферромагнитным электродам, внутри которого находится асимметрично расположенный слой немагнитных металлических примесей.

Научная новизна и практическая ценность работы состоит в

следующем:

1. Предложена система, представляющая собой спин-вентильную трехслойную структуру , заключенную между двумя туннельными барьерами и подсоединенную к ферромагнитным электродам. Такая структура сочетает в себе преимущества систем с ГМС и ТМС и является весьма перспективной для практических применений, так как позволяет получить достаточно большие значения магнитосо-противления, характерные для ГМС в СРР геометрии (ток перпендикулярный плоскости слоев) при значительной величине используемых электрических токов

2. С использованием неравновесной техники Келдыша проведен квантово-механический расчет туннельного тока через одиночный

барьер с произвольно расположенной внутри него примесью в баллистическом режиме. Для учета влияния примеси сформулирован модифицированный вариант этой техники, в котором возмущенная неравновесная функция Грина находится из уравнения Дайсона. С помощью численных методов расчета построена вольт-амперная характеристика туннельного тока и ТМС, наглядно показывающая сильное искажение картины этих явлений по сравнению со случаем идеального барьера

3. В рамках предложенной нами модифицированной техники Келдыша и с использованием когерентного потенциала исследована возможность создания туннельного диода на базе описанной выше структуры, в которой вместо одиночной примеси имеется слой неупорядоченных металлических примесей. Рассчитывается вольт-амперная характеристика тока и ТМС при асимметричном расположении примесного слоя относительно границ структуры при двух направлениях тока. Оцениваются пределы изменения параметров структуры и внешнего поля, при которых данная структура действительно может быть использована в качестве диода

Результаты, полученные в диссертации, могут послужить стимулом для создания наногетероструктур с повышенным значением ТМС и туннельного диода, а также к дальнейшему развитию теории резонансного туннелирования через неоднородные изолирующие барьеры.

Основные результаты диссертации, которые выносятся на защиту, можно сформулировать следующим образом:

1. В диссертации в рамках формализма Кубо и метода функций Грина рассчитывается ТМС во впервые предложенной нами гибридной структуре, представляющей собой сопряженные спин-вентильную и туннельную структуры, найдены зависимости ТМС от геометрических размеров и параметров электроного спектра металлических слоев. Показано, что именно в такой структуре благодаря резонансному характеру туннелирования и сочетания преимуществ ТМС и

СРР ГМС можно получить значительное увеличение эффекта ТМС. Это связано с тем, что условия резонанса кардинально меняются при изменении взаимной ориентации намагниченностей внутренних слоев от параллельной к антипараллельной, а значит, сильно меняется и туннельный ток. В этом отличие предложенной нами структуры от рассмотренной ранее структуры с двойным барьером и одним металлическим слоем внутри, в которой большое увеличение туннельного тока в резонансе не приводит к такому же увеличению ТМС. Полученные в диссертации зависимости ТМС от размеров спин-вентильной структуры для двух спиновых каналов имеет ряд довольно резких не совпадающих максимумов, соответствующих ситуации, когда энергия электронов одного из спиновых каналов совпадает с энергией резонансного уровня. Поэтому и величина туннельного тока оказывается сильно зависящей от того, совпадают ли положения резонансных уровней для данного спина в соседних слоях спин-вентильной структуры, то есть от взаимной ориентации намагниченностей в них. Эти результаты позволяют надеяться, что исследованная нами структура окажется весьма перспективной для получения одновременно высоких значений и туннельного тока, и ТМС.

2. С помощью модифицированной неравновесной техники Келдыша и решения уравнения Дайсона для неравновесной функции Грина исследуется пространственное распределение тока и ТМС при тун-нелировании электрона через барьер с одиночной произвольно расположенной примесью внутри него при двух направлениях тока и различных величинах напряжения. Примесь рассматривается в приближении короткодействующего потенциала произвольного знака. Показано, что в такой структуре наблюдается резкое, на порядки величины, локальное увеличение туннельного тока и ТМС, причем их величина сильно зависит от положения примеси в барьере. Кроме того, показано, что асимметричное расположение примеси приводит и к сильной асимметрии вольт-амперной характеристики по отноше-

нию к изменению направления тока. Эти результаты показывают, с одной стороны, сильное влияние наличия примесей на прозрачность барьера и величину ТМС, а с другой стороны, служат стимулом к дальнейшему исследованию возможности квазиодносторонней проводимости подобных систем

3. С помощью модифицированной техники Келдыша рассчитаны волт-амперная характеристика и ТМС структуры с искусственно приготовленными неоднородностями, состоящей из присоединенного к ферромагнитным электродам изолирующего барьера, внутри которого находится слой неупорядоченных примесей. В дополнение к неравновесной функции Грина идеального барьера, к которому приложена разность потенциалов, находится и возмущенная функция Грина для барьера с примесным слоем, для чего используется приближение когерентного потенциала. Поскольку когерентный потенциал в данном случае имеет такую же матричную структуру, как и неравновесная функция Грина, то уравнение Дайсона в данном случае имеет достаточно сложный по сравнению со случаем одиночной примеси вид, поэтому запись и решение этого уравнения являются одним из важных результатов работы. Вполне заметная асимметрия рассчитанной вольт-амперной характеристики по отношению к изменению направления тока доказывает возможность использования такой структуры в качестве туннельного диода

Апробация работы. XVIII International Colloquium on Magnetic Films and Surfaces July 22 to 25 2003, Madrid; XXX Международная зимняя школа по теоретической физике «Коуровка», 22-28 февраля 2004; Школа-Семинар «Новые магнитные материалы микроэлектроники» НМММ XIX, МГУ им. М. В. Ломоносова физический факультет, Москва, 28 июня - 2 июля 2004; Joint European magnetic symposia JEMS'04, Drezden,Germany, September 5-10 , 2004.

Публикации Основное содержание диссертации изложено в 6 печатных работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Общий объем работы составляет 81 страниц, включая 15 рисунков и библиографический список из 73 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность рассматриваемых в диссертации проблем, научная новизна и практическая ценность работы, а также сформулирована постановка задачи и приведены основные результаты работы. Дается краткое описание структуры диссертации.

Первая глава носит обзорный характер. В начале приведен обзор ранних экспериментальных и теоретических работ по ГМС, начиная с открытия этого эффекта в 1988 году [1] и дальнейшего развития этой области с применением искусственно изготовленных спин-вентильных структур. Обсуждаются причины, по которым именно открытие ГМС в спин-вентильных структурах привело к бурному развитию новой области электроники - спинтроники. Проводится краткий анализ основных механизмов ГМС, предложенных в теоретических работах для интерпретации этого эффекта и основанных как на квазиклассическом [2], так и на квантово-механическом [3] подходах. Обсуждаются и основные сложности при практическом применении структур с ГМС при протекании тока параллельно слоям (С1Р геометрия) и перпендикулярно слоям (СРР геометрия). Так как позднее в качестве более перспективных структур с гигантским магнитосопротивленем были предложены структуры с использованием туннельных контактов (ТМС структуры), то далее в первой главе приводится обзор ранних теоретических работ 70-80 гг. Жульера [4] и Слончевского [5] по спин-зависящему туннелированию электронов в структурах, состоящих из двух слоев ферромагнитного металла, разде-

ленных слоем диэлектрика. Обсуждаются возможные причины полученных в этих работах либо завышенных, либо заниженных по сравнению с экспериментом значений ТМС. Далее приводится анализ последующих теоретических работ [6], более адекватно описывающих экспериментальную ситуацию и учитывающие особенности электронной структуры используемых материалов, свойства интерфейсов и т.д., а также различные режимы переноса - баллистический, диффузный и смешанный. Основной акцент делается на анализе работ, которые рассматривают влияние внутрибарьерных примесей на туннельный ток и ТМС. В частности, теоретически было показано, что при введение внутрь барьера 5% примесей немагнитного металла приводит к возрастанию туннельного тока в несколько раз, тогда как ТМС падает. Если же примесь представляет собой дополнительный барьер для туннелирующего электрона, то и ток, и ТМС уменьшаются. Эксперимент показывает, как правило, последнее. Авторы объясняют это тем, что в процессе изготовления туннельной структуры весьма сложно сохранить внутри барьера металлическую примесь в неокисленном виде. В ряде работ исследовалось влияние магнитной примеси внутри барьера, а также рассеяния на интерфейсе на величину ТМС. Далее обсуждаются теоретические работы по туннелирова-нию электронов через более сложные структуры, состоящие из двух слоев диэлектрика, разделенных слоем металла, а также приводятся результаты первых опытов по изготовлению и измерению ТМС в таких структурах. Отмечается, что хотя резонансный характер туннелирования и приводит к многократному возрастанию тока в таких образцах, однако при этом происходит лишь незначительный рост эффекта ТМС. Обсуждаются и работы, рассматривающие другие структуры с резонансным туннелированием, например, структура МЫ/¥1/0/¥2/МЫ, где NN -немагнитный металл, О - окисел металла, - слои магнитного металла, а также структура с тройным барьером. Главным ограничением для применения этих структур являются технологические трудности при их изготовлении. Поэтому более предпочтительней может оказаться спин-вентильная структура, находящаяся между двумя барьерами, так как в данном случае процедура окисления крайних слоев слабо влияет на

свойства промежуточных слоев. Далее в главе обсуждаются основные принципы использования структур с ТМС в устройствах оперативной памяти нового типа - MRAM, и приводится перечень основных трудностей, с которыми приходится сталкиваться при изготовлении таких устройств.

Во второй главе проводится квантово-механический расчет зависимости туннельной проводимости и туннельного магнитосопротивления от геометрических и внутренних параметров в структуре с двойным барьером вида ¥1/О/¥2/ММ/¥3/О/¥4. Намагниченности во внутренних слоях могут менять ориентацию от параллельной к антипараллельной. В первом разделе главы перечисляются недостатки предложенных и исследованных ранее структур с туннельным магнитосопротиавлением, основными из которых являются технологические трудности при изготовлении барьеров с большой степенью однородности по толщине и обеспечивающих достаточно большую величину тока при обычно используемых в устройствах внешних полях. Особенно критичным требование однородности является при использовании одиночных барьеров, где трудно' избежать появления пор, но и при изготовлении более толстых многослойных структур, использующих резонансное туннелирование, шероховатости интерфейсов сильно затрудняют наблюдение резонансов. Далее обосновывается целесообразность использования гибридной структуры спин-вентиль - двойной барьер и формулируется постановка задачи. Во втором разделе главы описывается теоретическая модель, используемая для расчета предложенной структуры. Для простоты электроны проводимости металла рассматриваются в однозонной модели с квадратичным законом дисперсии и в баллистическом режиме переноса. Система считается неограниченной в плоскости х — у и ступенчато-неоднородной в направлении I. Такую систему удобно описывать в к-1 представлении, где к - квазиимпульс электрона, параллельный плоскости слоев,а I -координата, перпендикулярная этой плоскости. Гамильтониан системы

записывается в виде:

Р2

где и^- есть дно зоны 1-ого слоя £^ - обменная энергия, отличная от нуля только в ферромагнитных слоях, с ~ ¿1- спиновый индекс. Нелокальная проводимость находилась по формуле Кубо

где Сц(г, г') И г') - запаздывающая и опережающая функции Гри-

на, соответственно. Функции Грина находились из уравнения:

дополненного условиями непрерывности функции и ее производных на границах, а также скачка производной при

(4)

После нахождения функций Грина по формуле (2) с помощью численных расчетов находятся проводимости различных спиновых каналов при папаллельной и антипараллельной конфигурациях намагниченности: <7ри О АР, в зависимости от ширины внутреннего ферромагнитного слоя, а затем и ТМС при изменении толщины ферромагнитных слоев:

ТМС = ^-/лр

АР

(5)

где ст' = СГ^+и^ - суммарная проводимость структуры. Результаты расчета проводимостей при параллельной ориентации намагниченностей приведены на рис. 1. Видны резкие максимумы проводимости каждого из

Рис. 1: Зависимость проводимости системы в случае антипараллельной конфигурации намагничениостей от ширины внутреннего ферромагнитного слоя в единицах

каналов, сдвинутые относительно друг друга по толщине. Этот сдвиг и является причиной большой величины ТМС.

к\ - 1.1 (Л-1), 4 = 0.6 (А-1)

В третьей главе с целью выяснения влияния внутрибарьерных примесей на туннельный ток и ТМС проводится расчет пространственного распределения туннельного тока и ТМС при произвольном расположении немагнитной примеси относительно границ барьера в приближении короткодействующего потенциала W любого знака. В качестве метода расчета использовалась техника Келдыша для неравновесных функций Грина. В первом разделе главы приводятся основные положения техники Келдыша и соотношения между функциями Грина с различными верхними индексами, используемыми в этой технике: , б , С?+-, а также . Для нашего случая пространственно неоднородной структуры необходимо использовать технику Келдыша в несколько модифицированном виде. Поэтому запишем неравновесную функцию Грина в

координатном представлении в случае, когда структура F1/O/F2 подсоединена к двум резервуарам с химическими потенциалами, отличающимся на величину падения напряжения eV, и в отсутствие примеси:

Vfc О = D [гчШи*')ФФ)еМ<р ~ р,) + nR(em'')M')eiK-[P ~ Р>)] (6)

где ni = /°(£), пц — + eV) - фермиевские функции распределения в правом и левом резервуарах, соответственно, ф[,д(г) - волновые функции для электронов, падающих слева и справа, к и р - компоненты фермиевского волнового вектора и радиуса-вектора, лежащие в плоскости ху слоев, соответственно. Далее для описания системы с примесью записывается и решается уравнение Дайсона для возмущенной функции Грина:

Во втором разделе главы записывается гамильтониан системы с соответствующим потенциальным профилем и описывается процедура нахождения волновых функций, входящих в выражения для функций Грина, после чего могут быть найдены и сами функции Грина. В разделе приведены выражения для всех необходимых функций Грина, здесь же приведем лишь явный вид для

где

высота барьера, - его толщина.

В третьем разделе приводятся результаты численных расчетов пространственного распределения туннельного тока по формуле

д_

дг, ^

(9)

а за тем и ТМС по формуле (5) при асимметричном расположении примеси относительно границ барьера и для двух направлений тока. Результаты расчета приведены на рис. 2, 3. Из рисунков видно, что вблизи примеси можно наблюдать "горячее пятно" радиусом около 6 А, а значение тока в центре этого пятна может на несколько порядков превышать его значение вдали от него. Видно также многократное локальное увеличение ТМС и, кроме того, резкая асимметрия вольт-амперной характеристики по отношению к изменению направления тока. Разумеется, усредненные по сечению системы характеристики не обнаруживают таких сильных аномалий.

pW

Рис. 2: Пространственное распределение тока в области интерфейса. кр

-1-1-.-1-1-1-.-1-1-г-

0 2 4 6 в 10

рео

Рис. 3: Пространственное распределение ТМС для разных Параметры те же, что на рис.2.

V (Волы)

Рис. 4: Вольт-амперная характеристика структуры с одной примесью (го = 12 А) при двух направлениях тока. Параметры те же, что на рис.2.

В четвертой главе исследуется возможность создания системы с квазиодносторонней проводимостью на базе туннельного контакта. Полученная в предыдущем разделе вольт-амперная характеристика туннельной структуры с уединенной примесью позволяет надеяться на перспективность этих исследований. Это особенно важно для дальнейшего усовершенствования систем MRAM для того чтобы избежать сопряжения туннельных элементов с полупроводниковыми. Поэтому в данной главе рассматривается структура, состоящая из туннельного барьера с двумя магнитными электродами и слоем неупорядоченных примесей, расположенным внутри барьера вблизи одного из электродов в точке z0. Неравновесная функция Грина такой системы вычисляется в приближе-

нии когерентного потенциала

СГ+{г, г') = С0-+(г, ¿) + С0"+(*, ,го)£++<?Г(го, *')

(10)

В уравнении появляются когерентные потенциалы с различными верхними индексами, поэтому для решения этого уравнения использовались соотношения между ними:

В результате для неравновесной функции Грина было получено

(И)

Когерентный потенциал 2 может быть найден из уравнения

г-н х) (^-Д) |Ы (^-Д)

1 1 - {£А - 2)Сэфф(го,/'о;го,/'о) >1 - -Е)Сэфф(2о, и)

= 0. (12)

О 0.5 1.0 1.5 2.0

V, Вольт

Рис. 5: Вольт-амперная характеристика структуры с примесным слоем (го = 12 А) при двух направлениях тока. Параметры те же, что на рис.2.

Рассматриваемая структура может быть приготовлена напылением и окислением тонкого слоя алюминия, последующим напылением более толстого слоя и неполным окислением его с противоположной стороны. Таким образом будет получена структура с неупорядоченным сплавом х), расположенным вблизи интерфейса более или менее идеального окисла Л/2О3. Далее вычисляется вольт - амперная характеристика системы для двух направлений туннельного тока по той же схеме, что и в предыдущем разделе. Ее вид приведен на рис. 5. Эта характеристика также имеет весьма заметную асимметрию по отношению к изменению направления тока, хотя и не такую ярко выраженную, как для одиночной примеси. Однако понятно, что в случае одиночной примеси эффект носит локальный характер и мало скажется на усредненных характеристиках, которые имеют определяющее значение в практических применениях. В рассматриваемом же случае с примесным слоем мы сразу получаем усредненную вольт - амперную зависимость для вполне реалистичной структуры. Полученные результаты могут служить стимулом

для создания туннельного диода, управляемого магнитным полем

В заключении приведены основные результаты проведенного теоретического исследования показано, что

1. В структурах, состоящих из спин-вентильного элемента, помещенного между двумя изолирующими слоями, возможна реализация рекордного значения туннельного магнитосопротивления и одновременно относительного малой величины электрического сопротивления. Главным препятствием для практического использования подобных структур является наличия шероховатостей интерфейсов и флуктуации толщин слоев, образующих спин-вентильный элемент.

2. Внедрение примесей в изолирующий слой спин-вентильного туннельного контакта может приводить к существенной неоднородности распределения токов в плоскости спин-вентильный структуры, сопровождаемой возрастанием локального значения туннельного магнетосопротивления. Экспериментально данное явление можно наблюдать методом сканирующей туннельной микроскопии.

3. Введение внутрь барьера слоя неокисленного алюминия, асимметрично расположенного относительно интерфейсов барьер/ферромагнитный металл, приводит к значительной асимметрии вольт-амперной характеристики (квазидиод) при значительном увеличении величины туннельной проводимости.

Основные результаты диссертации изложены в работах:

1. Vedyayev A., Kanjouri F., Strelkov N., Dieny В.; Spatial distribution of current in magnetic tunnel junctions in presence of impurities in the barrier// XVIII International Colloquium on Magnetic Films and Surfaces July 22 to 25 2003, Madrid, Book of abstracts p. 19.

2. Ryzhanova N., Reiss G., Kanjouri F., Vedyayev A.; Resonance magnetoresistance in double barrier stracture with spin-valve // XXX Международная зимняя школа физиков-теоретиков, Коуровка 22-28 февраля 2004, Тезисы докладов, с. 141-С

3. Канджури ф., Рыжанова Н., Котельникова О., Ведяев А.; Ток и туннельное магнитосопротивление в трехслойной структуре ферромагнитный металл | изолятор | ферромагнитный метталл с примесью в изоляторе //Материалы Школы-Семинара новые магнитные материалы микроэлектроники НМММ XIX, МГУ им. М. В. Ломоносова физический факультет, Москва, 28 июня - 2 июля 2004, Сборник' трудов, с. 382-384.

4. Zhuravlev M., Tsymbal E., Vedyayev A.,Ryzhanova N., Kanjouri F. and Dieny В.; Resonance effects in magnetic nanostructures // Joint European magnetic symposia JEMS'04, Drezden,Germany, September 5-10 , 2004, Book of abstracts, p. 40.

5. Ryzhanova N., Reiss G., Kanjouri F., Vedyayev A.; Resonance magnetoresistance in double barrier stracture with spin-valve // Phys. Lett. A, 2004, v. 329, p. 392-395

6. Kanjouri F.,Ryzhanova N., Dieny В.,Strelkov N., Vedyayev A.; Resonance magneto-resistance in double barrier stracture with spin-valve // ArXiv:cond-mat/0411309 v2 17 Nov 2004.

Литература:

[1] Babich M. N. et al, Giant Magnetoresistance of (001)Fe/(001)Cr Magnetic Superlattices. - Phys. Rev. Lett., 1988, v. 61, p. 2472-2475.

[2] Dieny В., Classical theory of giant magnetoresistance in spin-valve multilayers: influence of thicknesses, number of periods, bulk and interfacial spin-dependent scattering - J. Phys. Cond. Matt., 1992, v. 4, p. 8009-8020.

[3] Vedyayev A. V., Dieny В., Ryzhanova N., Quantum theory of giant magnetoresistance in spin-valve sandwiches - Europh. Lett., 1992, v. 19, p. 329-335.

[4] Julliere M., Tunneling between ferromagnetic film - Phys. Lett. A, 1975, v. 54, p. 225-226

[5] Slonczewski J. S., Conductance and exchange coupling of two ferromagnets separated by a tunneling barrier - Phys. Rev. B, 1989, v. 39, p. 6995-7002.

[6] Bratkovsky A. M., Tunneling of electrons in conventional and half-metallic systems: Towards very large magnetoresistance. - Phys. Rev. B, 1997, v. 56, p. 2344-2347.

ООП Физ.ф-та МГУ. Заказ 133- 70-04

12 5 5 9 7

Введение

1 Литературный обзор

2 Резонансное туннелирование через спин-вентильную структуру, заключенную между двумя барьерами

2.1 Теоретическая модель.

2.2 Обсуждение результатов и выводы.

3 Пространственное распределение туннельного тока и ТМС в присутствии внутри барьерной примеси

3.1 Неравновесная техника Келдыша.

3.1.1 Отношение между разными Неравновесными функциям Грина.

3.2 Постановка задачи.

3.2.1 Расчет волновых функций системы и туннельного тока в отсутствие примесей.

3.2.2 Решение уравнения Дайсона для возмущенной функции Грина и вычисление туннельного тока

4 Вольт-амперная характеристика туннельной структуры с внедренным слоем примесей

4.1 Приближение когерентного потенциала.

4.1.1 Вывод уравнений метода когерентного потенциала

4.1.2 уравнение Дайсона для неравновесных функции Грина.

4.2 Постановка задачи.:.

Прорыв в области нанотехнологий, произошедший в последнее десятилетие, а также все возрастающие требования к плотности записи информации послужили импульсом для развития новой области физики твердого тела - спинтроники. Особенность этой области обычной электроники заключается в том, что спин электрона наряду с его зарядом представляет собой активный элемент как для хранения, так и для передачи информации [1]. Устройства, в которых используется спин электрона, могут в значительной степени вытеснить или дополнить различные традиционные электронные устройства.

Более того, спинтроника имеет хорошие перспективы в новых областях, а именно, в квантовых вычислениях и для квантовой передачи информации. Основой для создания новых элементов спинтроники являются два эффекта - эффект Гигантского Магнитосопротивления (ГМС) и Туннельного Магнитосопротивления (ТМС). В обоих случаях используются многослойные структуры с размерами порядка нанометров, через которые пропускается поляризованный по спину и управляемый магнитным полем ток. Естественным источником спин-поляризованного тока могут являться ферромагнитные металлы 3d группы, такие как Fe, Со и Ni , в которых проводимость имеет двухзонный характер, а основным механизмом рассеяния является рассеяние s электронов в d зону. При этом сечение рассеяния пропорционально плотности состояний d электронов, которая вследствие обменного расщепления оказывается су электроны со спином электроны со спином d-зона р\

Р t

Рис. 1: Плотности состояний s- и d- электронов со спинами «вверх» и «вниз» в 3d-металлах. щественно различной для электронов с разным направлением спина1 (в дальнейшем для краткости будем называть их электронами спинами «вверх» и «вниз», имея ввиду их ориентацию по отношению к намагниченности). Вследствие s — d гибридизации в названных металлах обменное расщепление наблюдается в обеих зонах. Это обстоятельство и приводит к тому, что сопротивление и туннельные барьеры в разных спиновых каналах в ГМС и в ТМС структурах оказывается различным, а ток спин-поляризованным.

Оба названных эффекта были открыты сравнительно давно: ТМС в 1975 [2] и ГМС в 1988 [3, 4], и позднее был сделан прорыв как в теории, так и в эксперименте, позволивший значительно продвинуться в их практическом применении [5, 6]. К настоящему времени основные особенности обоих эффектов уже достаточно широко исследованы экспериментально и уже созданы устройства на их основе. Имеется и обширная литература по теоретической интерпретации этих эффектов. Однако остаются и не решенные технологические задачи, которые требуют и дальнейшего развития теории. В частности, в настоящее время большое внимание уделяется изучению новых типов магниторезистивных туннельных контактов в связи с задачей создания неразрушающейся, нестираемой, стойкой к радиационному воздействию оперативной памяти (MRAM - magnetic random access memory), которая сможет заменить традиционную память на полупроводниках. Основное требование к таким контактам - это правильный баланс между достаточно большой величиной тока и туннельным сопротивлением, достаточным для хорошей совместимости с другими элементами электронной схемы. Обычно это не достижимо в простом контакте с единственным барьером и требуется использование более сложных структур с использованием резонансного туннелирования. Кроме того, вследствие особенностей технологии изготовления тонких барьеров путем окисления оказывается неизбежным появление внутри-барьерных примесей, что приводит к существенной пространственной неоднородности туннельного тока. Последствия этих неоднородностей недостаточно изучены. Наконец, в последнее время идет активное обсуждение возможности перемагничивания током в устройствах MRAM, и весьма важным представляется сформулировать необходимые условия, позволяющие эффективное применение этого механизма перемагничивания. Решению этих проблем и посвящается данная диссертационная работа.

В главе 1 дан подробный обзор теоретических и экспериментальных работ, относящихся к теме диссертации. Вторая глава посвящена теоретическому расчету ТМС в гибридной наногетеростуктуре, состоящей из двух туннельных барьеров и находящейся между ними спин-вентильной структурой и подсоединенной к двум ферромагнитным электродам. Поскольку вследствие наличия во внутреннем слое уровней пространственного квантования туннельный ток при определенном соотношении параметров может иметь резонансный характер, то в такой системе можно получить его значительное усиление. В третьей главе рассматривается локальное распределение туннельного тока вблизи внутрибарьерной примеси при различных параметрах структуры и влияние этих факторов на величину ТМС. В четвертой главе рассчитывается пространственное распределение намагниченности в структуре с туннельным барьером в контакте с ферромагнитными электродами при протекании тока и выясняются критерии возможности возникновения неколлинеарной структуры, такие как необходимая величина тока и геометрические размеры элементов структуры при заданных параметрах электронного спектра.

В связи со сказанным выше, все эти проблемы являются актуальными, и их решение может помочь и в совершенствовании современных электронных устройств.

Заключение

В заключение приведем основные результаты диссертации.

1. С использованием формализма Кубо и метода функций Грина, а также с помощью численных методов расчета впервые предложена и теоретически исследована возможность получения большой величины туннельного тока и туннельного магнитосопротивления (ТМС) в гибридной наногетероструктуре спин-вентиль - двойной барьер Fi\0\F2\P\F?\0\F^ где Fi~слои ферромагнитного металла, О -изолирующий барьер, Р- парамагнитная прослойка. Взаимная ориентация намагниченностей соседних магнитных слоев может изменяться от параллельной к антипараллельной внешним магнитным полем порядка нескольких эрстед. В такой структуре сочетаются свойства спин-вентильных структур с гигантским магнитосопротивлением (ГМС), и структур с ТМС, и при выполнении условий резонансного туннелирования достигается значительное (на несколько порядков) увеличение туннельного тока и ТМС. Главным препятствием для практического использования подобных структур является наличие шероховатостей интерфейсов и флуктуации толщин слоев, образующих спин-вентильный элемент.

2. Выполнен численный расчет пространственного распределения туннельного тока и ТМС при наличии внутри барьера произвольно расположенной относительно его границ немагнитной примеси. В качестве метода расчета туннельной проводимости использовалась техника неравновесных функций Грина Келдыша, применение которой для случая пространственно неоднородной структуры достаточно нетривиально и требует значительной модификации. Поэтому разработанная в диссертации методика, заключающаяся в использовании смешанного координатно-импульсного представления с последующим решением уравнения Дайсо-на для нахождения возмущенной неравновесной функции Грина является одним из важных результатов работы. Численные расчеты пространственного распределения туннельного тока и ТМС при асимметричном расположении примеси относительно границ барьера и для двух направлений тока показали, что вблизи примеси можно наблюдать «горячее пятно» радиусом около 6 А, а значение тока в центре этого пятна может на несколько порядков превышать его значение вдали от него. Видны также многократное локальное увеличение ТМС и кроме того, резкая асимметрия вольт-амперной характеристики по отношению к изменению направления тока. Разумеется, усредненные по сечению системы характеристики не обнаруживают таких сильных аномалий.

3. Полученная вольт-амперная характеристика туннельной структуры с уединенной примесью позволяет надеяться на возможность создания туннельной структуры с квазиодносторонней проводимостью. Это особенно важно для дальнейшего усовершенствования систем MRAM (Magnetic Random Access Memory) для того чтобы избежать сопряжения туннельных элементов с полупроводниковыми. Поэтому был выполнен расчет вольт-амперной характеристики искусственно приготовленной туннельной спин-вентильной структуры, с асимметрично распо-ложенноым внутри барьера примесным слоем. Такая структура может быть приготовлена напылением и окислением тонкого слоя алюминия, последующим напылением более толстого слоя и неполным окислением его с противоположной стороны. Таким образом будет получена структура с неупорядоченным сплавом А1хА120щ-х), расположенным вблизи интерфейса более или менее идеального окисла А120%.

В качестве метода расчета также использовалась техника неравновесных функций Грина, с той лишь разницей, что влияние примесного слоя учитывалось в приближении когерентного потенциала, которое также потребовало значительной модификации. Построенная с помощью численных методов расчета I-V характеристика системы действительно имеет весьма значительную асимметрию по отношению к изменению направления тока, хотя и не такую ярко выраженную, как для одиночной примеси. Однако понятно, что в случае одиночной примеси эффект носит локальный характер и мало скажется на усредненных характеристиках, которые имеют определяющее значение в практических применениях. В рассматриваемом же случае с примесным слоем мы сразу получаем усредненную I-V зависимость для вполне реалистичной структуры. Полученные результаты могут служить стимулом для создания туннельного диода, управляемого магнитным полем.

4. Предложенный в диссертации модифицированный вариант техники Келдыша является также готовым инструментом для весьма важной и активно исследуемой в настоящее время проблемы перемагничивания током (spin torque), решение которой послужило бы прорывом в создании магнитной оперативной памяти нового типа.

Результаты диссертации изложены в следующих работах:

1. Vedyayev A., Kanjouri F., Strelkov N., Dieny В.; Spatial distribution of current in magnetic tunnel junctions in presence of impurities in the barrier// XVIII International Colloquium on Magnetic Films and Surfaces July 22 to 25 2003, Madrid, Book of abstracts p. 19

Выражаю благодарность Александру Борисовичу Грановскому за внимание и поддержку.

Благодарю всех сотрудников, аспирантов и студентов кафедры магнетизма за хорошее отношение и теплый прем в стенах университета.

1. Prinz G. A., Magnetoelectronics Science, 1998, v. 282, p. 1660-1663

2. Julliere M., Tunneling between ferromagnetic film Phys. Lett. A, 1975, v. 54, p. 225-226

3. Babich M. N. et al, Giant Magnetoresistance of (001)Fe/(001)Cr Magnetic Superlattices. Phys. Rev. Lett., 1988, v. 61, 2472-2475

4. Binash G.,et al, Enhanced magnetoresistance in layered magnetic structures with antiferromagnetic interlayer exchange Phys. Rev. B, 1989, v. 39, p. 4828-4830

5. Slonczewski J. S., Conductance and exchange coupling of two ferromagnets separated by a tunneling barrier Phys. Rev. B, 1989, v. 39, p. 6995-7002

6. Dieny В., Classical theory of giant magnetoresistance in spin-valve multilayers: influence of thicknesses, number of periods, bulk and interfacial spin-dependent scattering J. Phys. Cond. Matt., 1992, v. 4, p. 8009-8020.

7. Schad R., et al,Giant magnetoresistance in Fe/Cr superlattices with very thin Fe layers Appl. Phys. Lett., 1994, v. 64, p. 3500-3502

8. Camley R. E., Barnas, Theory of giant magnetoresistance effects in magnetic layered structures with antiferromagnetic coupling J. Phys. Rev. Lett., v. 63, p. 664-667

9. Barthelemya, Fert A., Theory of the magnetoresistance in magnetic multilayers: Analytical expressions from a semiclassical approach Phys. Rev. B, 1991, v. 43, p. 13124-13129

10. Hood R. Q., Falicov L. M., Boltzmann-equation approach to the negative magnetoresistance of ferromagneticljnormal-metal multilayers Phys. Rev. B, 1992, v. 46, p. 8287-8296

11. Levy P. M., Zang S., Fert A., Electrical conductivity of magnetic multilayered structures Phys. Rev. Lett., 1990, v. 65, p. 1643-1646

12. Levy P. M., Zang S., Fert A., Conductivity and magnetoresistance of magnetic multilayered structures Phys. Rev. B, 1992, v. 45, p. 86898702

13. Vedyayev A. V., Dieny В., Ryzhanova N., Quantum theory of giant magnetoresistance in spin-valve sandwiches Europh. Lett., 1992, v. 19, p. 329-335

14. Vedyayev A. V. et al, Quantum effects in the giant magnetoresistance of magnetic multilayered structures J. Phys.Cond.Matt., 1993, v. 5, p. 8289-8304

15. Comblong H. E., Levy P. M., Novel results for quasiclassical linear transport in metallic multilayers Phys. Rev. Lett., 1992, v. 69, p. 2835Ц2838

16. Miyazaki Т., Tezuka N., Giant magnetic tunneling effect in Fe/AhOs/Fe junction. J. Magn. Magn. Mater., 1995, v. 139, p. L231-L234

17. Moodera J.S., Large Magnetoresistance at Room Temperature in Ferromagnetic Thin Film Tunnel Junctions Phys. Rev. Lett., 1995, v. 74, p. 3273-3276

18. Parkin S. S. P. et al, Exchange-biased magnetic tunnel junctions and application to nonvolatile magnetic random access memory. J. Appl. Phys., 1999, v. 85, p. 5828-5833

19. Tedrow P. M. and Meservey R., Spin Polarization of Electrons Tunneling from Films of Fe, Co, Ni, and Gd Phys. Rev. B, 1973, v. 7, p. 318-326

20. Meservey R. and Tedrow P. M., Spin-polarized electron tunneling Phys. Rep., 1994, v. 238, p. 173-243

21. LeClair P, Swagten H J M, Kohlhepp J T, van de Veerdonk R J M and de Jonge W J M, Apparent Spin Polarization Decay in Cu-Dusted Со/А12Ог/Со Tunnel Junctions Phys. Rev. Lett., 2000, v. 84, p. 29332936.

22. LeClair P, Kohlhepp J T, Swagten H J M and de Jonge W J M, Interfacial Density of States in Magnetic Tunnel Junctions Phys. Rev. Lett., 2001, v. 86, p. 1066-1069

23. LeClair P, Hoex B, Wieldraaijer H, Kohlhepp J T, Swagten H J M and de Jonge W J M, Sign reversal of spin polarization in Co/Ru/A1203/Co magnetic tunnel junctions Phys. Rev. B, 2001, v. 64, p. 100406:(l-4)

24. Cardosa S, Freitas P P, de Jesus C, Wei P and Soares J C, Spin-tunnel-junction thermal stability and interface interdiffusion above 300 °C. -Appl. Phys. Lett., 2000, v. 76, p. 610-612

25. Schmalhorst J., Bruckl H., Justus M., Thomas A., Reiss G., Vieth M., Gieres G. and Wecker J., Evolution of the dielectric breakdown in Co/AhOz/Co junctions by annealing J. Appl. Phys., 2001, v. 89, p. 586-589

26. Da Costa V., Tiusan C., Dimopoulos T. and Ounadjela K., Tunneling Phenomena as a Probe to Investigate Atomic Scale Fluctuations in Metal/Oxide/Metal Magnetic Tunnel Junctions Phys. Rev. Lett., 2000, v. 85, p. 876-879

27. Da Costa V., Henry Y., Bardou F., Romeo M. and Ounadjela K., Experimental evidence and consequences of rare events in quantum tunneling Eur. Phys. J. B, 2000, v. 13, p. 297-303

28. Jansen R., Moodera J. S., Influence of barrier impurities on the magnetoresistance in ferromagnetic tunnel junctions J. Appl. Phys., 1998, v. 83, p. 6682-6684

29. Jansen R. and Moodera J. S., Magnetoresistance in doped magnetic tunnel junctions: Effect of spin scattering and impurity-assisted transport Phys. Rev. B, 2000, v. 61, p. 9047-9050

30. Vedyayev A. V. et al, Resonant spin-dependent tunneling in spin-valve junctions in the presence of paramagnetic impurities Phys. Rev. B, 2001, v. 63, p. 064429: (1-13)

31. Bratkovsky A. M., Tunneling of electrons in conventional and half-metallic systems: Towards very large magnetoresistance. Phys. Rev. B, 1997, v. 56, p. 2344-2347

32. Bratkovsky A. M., Assisted tunneling in ferromagnetic junctions and half-metallic oxides Appl. Phys. Lett., 1998, v. 72, p. 2334-2336

33. Itoh H., Inoue J., Maekawa S. and Bruno P., Theory of tunnel conductance through a strongly disordered spacer J. Magn. Magn. Mater.,1999, v. 199, p. 545-547

34. Tsymbal E. Y. and Pettifor D. G., Spin-polarized electron tunneling across a disordered insulator Phys. Rev. B, 1998, v. 58, p. 432-437

35. Tsymbal E. Y. and Pettifor D. G., Importance of resonant effects in spin-polarized electron tunneling J. Magn. Magn. Mater., 1999, v. 198-199, p. 146-148

36. Tsymbal E. Y., Pettifor D.G., The influence of impurities within the barrier on tunneling magnetoresistance J. Appl. Phys., 1999, v. 85, p. 5801-5803

37. Jansen R., Lodder J. C., Resonant tunneling via spin-polarized barrier states in a magnetic tunnel junction J. Phys. Rev. B, 2000, v. 61, 5860-5863

38. Inoue J., Nishimura N. and Itoh H., Influence on tunnel magnetoresistance of spin configurations localized within insulators -Phys. Rev. B, 2002, v. 65, p. 104433: (1-6)

39. Levy P. M., Wang K. S., Dederichs P. H., Heide C., Zhang S. F. and Szunyogh L., Phil. Mag. B, 2002, v. 82, p. 763-769

40. Uiberacker C. and Levy P. M., Role of symmetry on interface states in magnetic tunnel junctions Phys. Rev. B, 2001, v.65, p. 169904: (1-4)

41. Bagrets D. et al, Influence of s-d interfacial scattering on the magnetoresistance of magnetic tunnel junctions Phys. Rev. B, 2002, v. 65, p. 064430: (1-19)

42. MacLaren J. M et al, Validity of the Julliere model of spin-dependent tunneling Phys. Rev. ВД997, v. 56, p. 11827-11832

43. Vedyayev A. V., Interpretation of the magnetoresistance in doped magnetic tunnel junctions Eur.Phys. J. B, 2002, v. 25, p. 5-10

44. Zhang X. Et al, Magnetoresistance and exchange coupling in a ferromagnetic tunnel junction with ferromagnetic layers of finite thickness Phys. Rev. B, 1998, v. 57, p. 1090-1096

45. Moodera J.S., Ferromagnetic-insulator-ferromagnetic tunneling: Spin-dependent tunneling and large magnetoresistance in trilayer junctions J. Appl. Phys., 1996, v. 79, p.4724-4729

46. Sun J. J., P. P. Freitas, Dependence of tunneling magnetoresistance on ferromagnetic electrode thickness and on the thickness of a Cu layer inserted at the A1203/CoFe interface J.Appl. Phys., 1999, v. 85, p.5264- 5266

47. Vedyayev A. V. et al, Resonance in tunneling through magnetic valve tunnel junctions Europh. Lett., 1997, v. 39, p. 219-224

48. Vedyayev A. V., Magnetoresistance of magnetic tunnel junctions in the presence of a nonmagnetic layer Phys. Rev. B, 2000, v. 61, p. 1366-1370

49. Zhang X., Spin-polarized tunneling and magnetoresistance in ferromagnet/insulator (semiconductor) single and double tunnel junctions subjected to an electric field Phys. Rev. B, 1997, v. 56, p. 5484-5488

50. Vedyayev A. V. et al, Giant tunnel magnetoresistance in multilayered metal/oxide structures comprising multiple quantum wells J. Phys.: Cond. Matt., 1998, v. 10, p. 5799-5805

51. Vedyayev A. V. et al, Voltage dependence of giant tunnel magnetoresistance in triple barrier magnetic systems J. Phys.: Gond. Matt., 2000, v. 12, p.1797-1804

52. Slonczewski J. S., Current-driven excitation of magnetic multilayers -J.M.M.M., 1996, v. 159, p. L1-L7

53. Berger L., Emission of spin waves by a magnetic multilayer traversed by a current Phys.Rev. B, 1996, v. 54, p. 9353-9358

54. Berger L., New origin for spin current and current-induced spin precession in magnetic multilayers J. Appl. Phys., 2001, v. 89, p. 55215525

55. Zhang X. et al, Mechanisms of Spin-Polarized Current-Driven Magnetization Switching Phys. Rev. Lett., 2002, v. 88, p. 236601: (1-4)

56. Shpiro A., Self-consistent treatment of nonequilibrium spin torques in magnetic multilayers Phys. Rev. B, 2003, v. 67, p. 104430: (1-17)

57. Katine J.A. et al, Current-Driven Magnetization Reversal and Spin-Wave Excitations in Со/Си/Со Pillars Phys. Rev. Lett., 2000, v. 84, p. 3149-3152

58. Myers E.B. et al, Point-contact studies of current-controlled domain switching in magnetic multilayers J. Appl. Phys., 2000, v. 87, p. 55025504

59. Schumacher H.W. et al, Quasiballistic Magnetization Reversal Phys. Rev. Lett., 2003, v. 90, p. 017204: (1-4)

60. Schumacher H.W. et al, Precessional switching of the magnetization in microscopic magnetic tunnel junctions J. Appl. Phys., 2003, v. 93, p. 7290-7294

61. Yaowen Liu J., Current-induced switching in low resistance magnetic tunnel junctions J. Appl. Phys., 2003, v. 93, p. 8385-8387

62. F. Montaigne et al, Enhanced tunnel magnetoresistance at high bias voltage in double-barrier planar junctions Appl. Phys. Lett., 1998, v. 73, p. 2829-2831

63. Келдыш JI. В.,Диаграммная техника для неравновесных процессов ЖЕТФ, 1964, т. 47, с. 1515-1527

64. Лифшиц Е.Н., Питаевский Л. П., Физическая кинетика (Серия: "Теоретическая физика", том X), издательство "наука", 1979 г. 528 с.

65. Zagoskin Alexander М., Quantum Theory of Many-Body System, Spinger (1998), 229p.

66. Rammer J., Smit H., Quantum field-theoretical methods in transport theory of metals Review of Modern Physics, 1986, v. 58, p. 323-359

67. Soven P., Coherent potential approximation of disordered substitutionalli alloys Phys. Rev., 1967, v. 156, p. 809-813

68. Ehrenrich H., Schwartz L. M., The electronic structure of alloys in book Solid State Physics, London, England: Academic Press, 1976, v. 31, p. 150-285

69. Вевяев А. В., Метод кргерентного потенциала в теории неупорядоченных сплавов Теор. и Мат. Физика, 31 392-404 (1977)

70. Nickel В. G., Krumhansl J. A., Self-Consistent average Green's function in random lattices: a generalized coherent-potential approximation and its diagramatic equivalents Phys. Rev. B, v. 4, p. 4354-4363

71. Тейлор Дж., Теория рассеяния. М.: Мир, 1975, 565 с.

72. Сунакова С., Квантовая Теория рассеяния. М.: Мир, 1975, 268 с.