Резонансное взаимодействие модулированного излучения с двухуровневыми средами тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Р Г Б ОД

. РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ДАЛЬНЕВОСТОЧНОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ТИХООКЕАНСКИЙ ОКЕАНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

На правах рукописи

Сушилов Николай Викторович

РЕЗОНАНСНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МОДУЛИРОВАННОГО ИЗЛУЧЕНИЯ С ДВУХУРОВНЕВЫМИ СРЕДАМИ

01.04.02 - теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание учёной степени доктора физико-математических наук

Владивосток - 1995

Работа выполнена в Тихоокеанском океанологическом институте ДВО РАН

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Кульчин Ю.Н.

доктор физико-математических наук, профессор Фрадкин Э.Е.

доктор физико-математических наук, профессор Каневский И.Н.

Ведущая организация: Научно-производственное объединение "Всероссийский научно-исследовательский институт метрологии им. Д. И. Менделеева" (г. Санкт-Петербург).

Защита состоится " -¿4 " 1995 г. в " И " часов на заседании

диссертационного совета Д 064.58.03 в Дальневосточном государственном университете по адресу: 690600, Владивосток, ул. Суханова, 8.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ДВГУ. Автореферат разослан " ^ " ^ ' " г7- "4995 г.

Учёный секретарь

диссертационного совета,

кандидат физ.-мат. наук

Сопла И.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы исследования. В последние годы высокими темпами развиваются исследования, связанные с изучением резонансного взаимодействия квантовых частиц с излучением (как электромагнитным, так и акустическим), параметры которого (амплитуда или фаза) являются переменными функциями пространства или времени. Необходимость таких исследований (как экспериментальных, так и теоретических) обусловлена, во-первых, тем, что никакой реальный источник излучения не может генерировать идеальную монохроматическую волну, даже если иметь в виду лазерные источники излучения, и, во-вторых, постоянным совершенствованием экспериментальной техники, позволяющей уже сейчас генерировать излучение практически с любыми наперёд заданными модуляциями параметров. В то же время к настоящему моменту теоретически исследовано взаимодействие модулированного излучения с квантовыми средами лишь для самых простых случаев модуляции параметров - для гармонической модуляции амплитуды или фазы излучения. Поэтому учёт влияния более общих случаев модуляции амплитуды и фазы излучения на резонансное взаимодействие его с квантовыми средами как с учётом, так и без учёта распространения в резонансной среде остаётся весьма актуальной проблемой, тем более, что решение в той или иной степени этой проблемы позволит, вообще говоря, получить существенно более общие закономерности поведения квантовой системы, возбуждаемой внешним излучением с модулированными параметрами.

Кроме того, в большинстве исследованных случаев гармонической модуляции параметров решения уравнений Блоха, описывающие резонансное взаимодействие модулированного излучения с двухуровневыми атомами без учёта распространения в резонансной среде, получены не в аналитическом виде, а в виде бесконечных наборов гармоник частоты модуляции параметра излучения. Амплитуды же этих гармоник выражаются либо через простые, либо через матричные цепные дроби, требующие численного суммирования. Поэтому поиск аналитических решений, дающих значительно больше возможностей для анализа состояния квантовой системы, находящейся под воздействием внешнего модулированного излучения, также является актуальной проблемой теории.

Проблема учёта модуляции параметров излучения остаётся актуальной и при исследовании эффектов, связанных с распространением короткого интенсивного импульса в резонансной среде. Различная модуляция параметров импульса (в

частности, его фазы) могут вносить существенные особенности в эти эффекты по сравнению с хорошо изученным распространением немодулированного импульса. Как известно, экспериментально измеряемыми величинами являются, например, спектры коэффициентов поглощения или дисперсии излучения в резонансной среде, или форма и скорость распространения короткого импульса. Эти величины являются определяются через решения уравнений Блоха или Максвелла-Блоха, поэтому поиск аналитического вида этих решений остаётся актуальной задачей как с точки зрения интерпретации существующих экспериментальных результатов, так и с точки зрения предсказания новых закономерностей в теории резонансного взаимодействия излучения с веществом.

Итак, цель работы можно сформулировать таким образом:

а) с помощью аналитических решений уравнений Блоха теоретически исследовать поведение двухуровневых квантовых систем (атомов или ионов), возбуждаемых резонансным полем с модулированными параметрами;

б) рассчитать спектральную зависимость коэффициента поглощения и дисперсии слабого пробного поля в двухуровневой среде, находящейся под действием сильного резонансного модулированного излучения;

в) исследовать влияние модуляции параметров излучения на эффекты, связанные с распространением излучения в резонансной среде;

г)использовать полученные решения для описания существующих экспериментальных результатов.

Основные положения, выносимые на защиту:

1.Получены решения уравнений Блоха (в интегральном виде), описывающие взаимодействие двухуровневых атомов с резонансным излучением, подверженным произвольной амплитудной и фазовой модуляции и при произвольных временах релаксации. Выяснены физические условия справедливости этих решений.

2. Получены аналитические решения уравнений Блоха для двух частных случаев амплитудной модуляции возбуждающего поля:

а) для так называемого полихроматического поля, представляющего собой набор монохроматических компонент с одинаковыми амплитудами и одинаковым частотным интервалом между любыми соседними компонентами (для поля из двух компонент - бихроматическое поле и для поля из трёх компонент - трихроматическое поле);

б) для полихроматического поля, амплитуды компонент которого не равны друг другу, а определяются функциями Бесселя 1-го рода.

Эти решения справедливы для любого момента времени при условии равенства друг другу времён релаксации и для установившегося состояния в случае произвольных времён релаксации.

Показано, что решения, полученные с помощью метода матричной экспоненты, имеют существенные преимущества перед решениями, полученными ранее с помощью теоремы Флоке.

3. Получены аналитические решения уравнений Блоха для двух частных случаев амплитудно-фазовой модуляции резонансного возбуждающего поля:

а) при неравных друг другу временах релаксации для поля, переменные амплитуда и фаза которого связаны между собой определённым соотношением. Эти решения, по сути, представляют бесконечный набор возможных решений, в которых амплитуда и фаза удовлетворяют этому соотношению. В качестве примера получены аналитические решения для частного случая гармонической модуляции фазы поля;

б) при равных между собой временах релаксации получены аналитические решения для переменных амплитуды и фазы, связанных между собой таким соотношением, когда производная от гармонически модулированной фазы по времени пропорциональна переменной амплитуде поля (огибающей).

4. С помощью метода матричной экспоненты получены в интегральном виде решения уравнений Блоха, описывающие взаимодействие слабого пробного поля с двухуровневыми атомами, возбуждаемых сильным резонансным полем с произвольно модулированными амплитудой и фазой. В этом случае, даже при периодической модуляции параметров поля накачки, метод теоремы Флоке, вообще говоря, неприменим.

5. Получены аналитические решения уравнений Блоха для слабого пробного поля в присутствии сильного резонансного поля накачки, параметры которого модулированы по законам, описанным в пл. 2а, 26, и 36. В последнем случае рассмотрен, кроме того, случай гармонической амплитудной модуляции пробного поля.

6. С помощью полученных в п. 5 решений получены аналитические выражения для поляризации среды пробным полем при одновременном насыщении её сильным резонансным полем накачки с модулированными параметрами. Поляризация представляет собой бесконечный набор гармоник на частотах, являющихся комбинационными частотами отстройки пробного поля, гармоник частоты модуляции и частоты поля накачки. Часть гармоник на частотах, не содержащихся в исходном поле, обусловлена так называемой поляризацией источника.

Полученные выражения позволяют получить спектры поляризуемости (а, следовательно, - и спектры поглощения и дисперсии) слабого пробного поля в присутствии сильной модулированной накачки на любой из частот поляризации.

7. Рассчитаны спектры поглощения и дисперсии слабого пробного поля в двухуровневой среде, насыщаемой сильным резонансным полем накачки с модулированными параметрами. Показано существование в этих спектрах, помимо хорошо известных Раби-резонансов, параметрических резонансов иного

типа, положение которых не зависит явно от амплитуды поля накачки (параметрические не-Раби-резонансы). Определены частотные интервалы и форма линии параметрических резонансов. Определены частотные интервалы отрицательных значений коэффициента поглощения пробного поля (усиления без инверсии населённостей) в зависимости от величины амплитуды поля накачки, частоты модуляции параметров поля, времени релаксации в системе и других параметров задачи.

8. С помощью полученных решений уравнений Блоха для амплитудно-модулированного возбуждающего поля получены аналитические выражения, описывающие спектральный состав излучения лазера, резонантор которого заполнен резонансно гоглощающей средой двухуровневых атомов. Предсказана периодическая зависимость | интенсивности излучения от дайны резонатора и концентрации поглощающих атомов. Частота по порядку величины совпадает с экспериментально наблюдаемой "кооперативной частотой". Предложена теоретическая модель явления спектральной конденсации, описывающая основные наблюдаемые свойства этого явления.

9. Получены аналитические решения уравнений Блоха для слабого пробного поля, подверженного случайной фазовой модуляции, при накачке системы сильным резонаным монохроматическим полем. Показано, что такая модуляция приводит к уширению линии поглощения.

10. Получены аналитические решения системы уравнений Максвелла-Блоха, описывающие распространение короткого интенсивного импульса в резонансной среде двухуровневых атомов. Получено обобщение теоремы площадей МакКола и Хана для различных случаев фазовой модуляции. Показано, что например, случайная фазовая модуляция в приближении малой дисперсии, также как и чисто пространственная фазовая модуляция импульса не препятствует формированию солитона в такой среде, а при определённых условиях может ускорить это

формирование по сравнению с хорошо известным солитоном МакКола и Хана для смодулированного импульса.

11. Показана возможность формирования в кристалле, содержащем случайно распределённые неоднородности, под действием интенсивного ультразвукового импульса, длительностью превышающего времена релаксации, зоны просветления в условиях насыщения. Коэффициент резонансного поглощения в этой зоне близок к нулю, а скорость распространения её меньше скорости звука в кристалле.

12. Показано, что двухимпульсное возбуждение лазерной искры на поверхности жидкости приводит к параметрическому резонансному увеличению интенсивности линий элементного состава жидкости.

13. Экспериментально получен и теоретически объяснён эффект изменения формы линии флуоресценции атомарного алюминия, возникающий при облучении алюминиевой мишени мощным лазерным излучением. Теоретическое объяснение основано на описанном в Главе 3 изменении формы линии поглощении слабого пробного поля в двухуровневой среде при насыщении её сильным модулированным полем накачки.

Научная новизна полученных результатов состоит в следующем:

впервые получены аналитические решения уравнений Блоха, описывающие резонансное взаимодействие двухуровневых частиц с излучением, амплитуда и фаза которого промодулирована во времени по описанным выше законам;

впервые получены выражения для спектров поглощения и дисперсии слабого пробного поля в двухуровневой среде, возбуждаемой сильным резонансным полем накачки с модулированными параметрами;

предсказано существование нового типа параметрических резонансов в спектрах поглощения и дисперсии пробного поля в присутствии модулированной накачки -параметрических не-Раби-резонансов, положение которых не зависит от амплитуды поля накачки;

предложенная теоретическая модель явления спектральной конденсации объясняет основные наблюдаемые особенности этого явления;

впервые получено обобщение теоремы площадей МакКола и Хана, описывающей распространение короткого интенсивного импульса в резонансной двухуровневой среде, учитывающее как пространственную, так и временную фазовую модуляцию такого импульса;

впервые получены изменения формы линии флуоресценции атомов алюминия в лазерной плазме, обусловленные изменением формы линии поглощения пробного поля в двухуровневой среде в присутствии сильного поля накачки. Научная и практическая ценность полученных результатов:

полученные аналитические решения уравнений Блоха подтверждают преимущества применяемого в диссертации метода матричной экспоненты перед методом Флоке в тех случаях, когда последний применим, и показывают, что метод позволяет получать решения и в тех случаях, когда применение других методов (в частности, метода Флоке) невозможно;

рассчитанные спектры поглощения слабого пробного поля в двухуровневой среде, возбуждаемой сильным модулированным полем накачки, позволяют предсказывать области усиления пробного поля, что имеет большое практическое значение при расчётах усилителей слабой волны с перестраиваемой частотой;

проведённый теоретический расчёт спектрального состава лазерного излучения при заполнении резонатора двухуровневой поглощающей средой позволяет получать лазерное излучение с заранее заданными спектральными характеристиками;

полученный и объяснённый в диссертации эффект изменения формы линий самых интенсивных линий флуоресценции атомарного алюминия позволит надёжно интерпретировать экспериментальные результаты по исследованию спектров лазерной искры на поверхности вещества.

Апробация работы: Основные результаты и положения диссертации докладывались на II Всесоюзном симпозиуме по акустической спектроскопии (Ташкент, 1978), на II Всесоюзном симпозиуме по световому эхо (Казань, 1981), на XI Всесоюзной конференции по квантовой акустике (ВКАЭКА, Душанбе, 1981), на Всесоюзной конференции по прикладной физике (Хабаровск, 1981), на XII Всесоюзной конференции по квантовой акустике (ВКАЭКА, Саратов, 1983), на Всесоюзной конференции по магнитному резонансу (Казань, 1984), на III Всесоюзном симпозиуме по световому эхо (Харьков, 1985), на IV Всесоюзном симпозиуме по световому эхо (Куйбышев, 1989), на X Всесоюзной конференции по теории атомов и атомных спектров (Томск, 1989), на X Всесоюзном симпозиуме по лазерному и акустическому зондированию атмосферы (Томск, 1989), на Международной конференции по морской акустике (Пекин, КНР, 1990), на Втором Всесоюзном совещании по нелинейным и когерентным эффектам в BPJ1C (Ленинград, 1991), на IV Европейской конференции по атомной и молекулярной физике (ЕСАМР-4, Рига, 1992), на Втором Китайско-Российском объединенном океанографической

симпозиуме (Далянь, КНР, 1992), на III Семинаре по атомной спектроскопии (Москва, 1992), на IV Семинаре по атомной спектроскопии (Москва, 1993), на XXXVI Всероссийской межвузовском научно-технической конференции (Владивосток, 1993), на VIII Международной конференции "Оптика лазеров"(Санкт-Петербург, 1995), а также на научных семинарах физического факультета МГУ, Института физики АН Белоруссии, физического факультета Санкт-Петербургского госуниверситета, физического факультета Гродненского госуниверситета, отдела квантовой оптики Института прикладной физики АН Молдавии, ВНИИМ им. Менделеева, физического факультета Дальневосточного государственного университета, отделения физики океана Тихоокеанского океанологического института ДВО РАН.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 16 статьях и 30 тезисах докладов международных и отечественных конференций, симпозиумов и тематических сборниках.

Овьём и структура диссертации. Диссертация объёмом 212 страниц машинописного текста состоит из Введения, шести глав и Заключения, в том числе содержит 33 рисунка.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во Введении обоснована актуальность темы диссертации и кратко изложено содержание каждой главы и Заключения.

Глава 1 посвящена изложению основ теории резонансного взаимодействия классического волнового поля (электромагнитного и акустического) с квантовыми системами и состоит из трёх параграфов. В первом параграфе изложен стандартный подход к описанию средних значений физических величин при помощи матрицы плотности и введены основные приближения, используемые при описании резонансного взаимодействия излучения с веществом. Во втором параграфе выводятся уравнения Блоха, описывающие резонансное взаимодействие классического излучения с двухуровневыми системами и уравнения Максвелла-Блоха, позволяющие учесть эффекты, связанные с распространением излучения в резонансной двухуровневой среде. В третьем параграфе проводится обзор методов решения уравнений Блоха с постоянными и переменными коэффициентами и описаны основные закономерности поведения двухуровневых систем, возбуждаемых излучением с периодически модулированными параметрами.

Глава 2 посвящена исследованию поведения двухуровневой системы во внешнем поле, подверженном амплитудной и амплитудно-фазовой модуляции. Для получения

аналитических решений уравнений Блоха используется метод матричной экспоненты, основанный на вычислении экспоненты от матрицы с помощью теоремы Сильвестра.

В первом параграфе рассматривается наиболее общий случай произвольно модулированных амплитуды и фазы волнового поля, например, напряженности электрического поля в электромагнитной волне, выписываются в интегральном виде решения уравнений Блоха, выясняютсмя условия справедливости этих решений и детально рассматриваются некоторые частные случаи амплитудно-фазовой модуляции. Волновое поле имеет такой вид:

e(t) = E(t)-cos(©t + <p(t)) (1)

где E(t) и <p(t) - амплитуда и фаза, зависящие от времени, ш - частота поля, близкая к частоте перехода между уровнями атома. Уравнения Блоха, описывающие резонансное взаимодействие поля (1) с двухуровневым атомом, имеют такой вид:

du(t) u(t) А dE(t) . и. ...

—^ = A-v(t)--^-smç(t)-n(t);

dt Т2 h

dv(t) v(t) . dE(t) _

—ir- ~ ~ - Д • u(t) + • cos cp(t) • n(t); dt T2 h

(2)

dnjt) = n^nÇt) + d^t) [u(t) ,sin<p(t)_ v(t). cos p(t)];

где u(t) и v(t) - медленноменяющиеся амплитуды недиагональных элементов матрицы плотности двухуровневой системы, n(t) - разность населённостей уровней, Д=ш-о0 -расстройка частоты возбуждающего поля и частоты перехода между уровнями системы, Tj и Т2 - времена релаксации населённости и поляризации, соответственно, d - дипольный момент перехода.

Уравнения (2) для случая произвольной зависимости от времени амплитуды поля E(t) и фазы <p(t) можно записать в более компактном матричном виде: dX(t).

dt

•= A(t)X(t) + L

(3)

Ш -г2 д -a(t)1

где X(t) = v(t) ; A(t) = -д -г2 b(t) ; L = п0Г] 0

UÚ, la(t) -b(t) "ГtJ л>

Гад-Ту: a(t) = £îR(t)-sin<p(t); b(t) = nR(t)-coscp(t); nR(t) = E(t)-(d / Л).

При условии равенства нулю коммутатора [A(t),expB(t)], где B(t) = J A(t')dt',

формальное решение матричного уравнения (3) можно записать в таком виде :

и

X(t) =

Л)

.-"(О

Ldt"+

О О

по^

(4)

Для вычисления экспоненты от матрицы можно воспользоваться хорошо известной формулой Сильвестра:

СХ0 СХ. (В - - X3I) , х. (в - X.IXB - X3I) (в - Х,1)(В - Х21)

(Х,-*2Х*.,-Х.з) (^2-Х,ХХ2-Хз) (х3-Х,ХХ3-Х2) (>

где Xi>2>3 - собственные значения матрицы B(t) = J* A(t')dt", I- единичная матрица. Предполагая расстройку Д = 0 (случай точного резонанса), получим:

X,=-r2t; Х2>з =-vt±Vy2t2-f2(t) , (6)

v = (Г2 + Г,) / 2; у = (Г2 - г,) / 2; f2(t) = lj(t) + lg(t); Ia(t) = jJ a(f)df ; Ib(t) = J* b(f)df.

Подставив (6) в (5), а затем в (4), получим интегральную форму решений уравнений Блоха в случае произвольной амплитудной и фазовой модуляции возбуждающего поля (в приближении строгого резонанса):

X(t) =

поПе

ПО

ii'b -'гЧ'ь Ma'b

О

+п„Г1е"

1,1,2

f2(t) I.I.Ib f2(t)

ccsF(t)--£-sinF{t) F(t)

VA

cœP(t)-^-sinR;t) F(t)

m M.

f2W h

чо

^sinF(t)

W)smm

cos F(t) + sin F(t) F(t)

cosF(t)--^-smF(t)

ccsF(t)--£-sinF(t) F(t)

«sHCO+^rsinFM F(t)

(7)

lift) = К ^sinR:t')4';I2(t) = je*'igànf^';I3(t) = Je"'ccsR;t')dfI4(t) = Je«' ^dt'; (8)

RtO

о о 0 0

Теперь мы можем выяснить условия справедливости решений (7). С помощью (6) нетрудно получить, что |A(t), eB(t)| = 0 по крайней мере, при, t->oo, т.е. в установившемся состоянии.

Решения (7), полученные для произвольных функций E(t) и ч>(0, являются малопригодными для практического использования вследствие сложности интегралов 11 +14 • Однако, можно отыскать такие зависимости E(t) и <p(t), при которых эти

о

>

интегралы существенно упростятся, а решения (7) примут аналитический вид. Предположим, например, что

F(t) = yt (9)

это равенство означает, что амплитудная модуляция E(t) будет жёстко связана ' с фазовой <p(t). Эту связь нетрудно получить в явном виде. Условие (9) будет выполняться, когда

Ia(t) = V2yt costp(t), Ib(t) = V2yt sin tp(t) (10)

Отсюда: I2 += 2y2t2. Продифференцировав обе части этого равенства, получим:

ala + Ыь = 2y2t. Подставив сюда явный ввд функций a(t) и b(t) из (3), получим:

nR(t).sin2<p(t) = (V2/2)Y (11)

Равенство (11) описывает связь амплитудной и фазовой модуляции, вытекающую из предположения (9 ). В результате решения уравнений Блоха (7) примут такой вид:

X(t) = п0Г,е-г-'

Ij • cos ф - I2 -sincp-cosq) Ij • sin ф • COS ф - Ij COS2 ф 0

+ n0e

—Jl ■ COS ф • sin yt ■Jl ■ sin ф • sin yt cos yt + sin yt

+п0Г,е"

CMS29"+l2smçcoS9](coS7t-sinyt)--\/2(l3 -I^cosçsinvt -^,япфсгеф+12ап2ф](аку1-апу0]+72(1з -I4)sii^sinyt

ч ЛЯ, ссбфап^ + л/^апфап^ + Оз-^(oosyt+anyt)] J

(12)

Итак, (12) представляют собой решения уравнений Блоха для поля, подверженного амплитудной и фазовой модуляции, связанных друг с другом условием (11). Чтобы получить аналитический вид этих решений, необходимо задать какую-либо явную зависимость фазы от времени. Пусть, например,

Ф^МвтШ (13)

где М, П - постоянные параметры. Используя известные разложения:

sin ф(0 = sin(M sin nt)=2]T J2k+I (M) sin[(2k + l)ftt]

k=0

cos ç(t) = cos(M sin nt) = 2 2 ckJ2k(M) cos(2kflt)

(14)

k=0

где Jm(M)- функция Бесселя 1-го рода, -го порядка; Со=1/2, с[=с2=...ск=1, нетрудно получить:

X(t) = п0Г,

# t lÎAf-'-sins.t + Bf-'.cosSit)

4 k.l-Oi-l

^ ¿ZlKf-'.smait + LW.cosa.t)

12 ,

l;t + ]

k.UOi-1

1 03 —-r-(y + vcos2yt + y sin 2yt) + ]T Z c!''1-sin S;t + D^1-cossit)

U +ï k.|.0|.4V ')

(15)

где

s, = 2Ш; S23 = 2(y ± k)fi; s4 5 = 2(k ± 1)П; s6 = 2(k + 1 + 1)П;

s7,8 2y±s4; s910=2y±s5; s1u2=2y±s6; .a, =(2к+1)П; a2j3=2r±a,; a4>5 = 2kfi± (21 + ])П; а6=а,-2Ю;

«7,8 = 2T±a4'. a9,io = 2y ±a5; a11)]2 = 2y ±a6; Выражения для независящих от времени амплитуд (A,B,C,D, K.L)^'1 получаются

довольно громоздкими, но вполне обозримыми. Таким образом, установившиеся решения уравнений Блоха для возбуждающего поля с амплитудно-фазовой модуляцией в виде S(t) = E(t)cos(cot + Msinfit), где амплитуда E(t) связана с фазой соотношением (11), в приближении нулевой расстройки и при произвольных, не равных друг другу временах релаксации Tj и Т2 представляют собой бесконечный набор гармоник частоты модуляции фазы П. Амплитуды этих гармоник определяются линейными комбинациями произведений функций Бесселя и Лоренца, которые обусловливают наличие в этих амплитудах параметрических резонансов (например, при у = ±2шП). Эти резонансы уже нельзя назвать строго Раби-резонансами, которые, как известно были предсказаны и экспериментально обнаружены при возбуждении двухуровневой системы резонансным полем с периодически модулированной амплитудой.

Из явного вида решений (15) и выражений для частот сразу следует, что компоненты вектора Блоха u(t) и n(t) содержат только чётные гармоники частоты модуляции фазы А, в то время как компонента v(t) содержит только нечётные гармоники этой частоты. Этот нетривиальный результат, легко вытекающий из решений уравнений Блоха, полученных методом матричной экспоненты, не так легко получить, решая эти уравнения методом Флоке. Кроме того, ещё одним очевидным преимуществом метода матричной экспоненты является то, что с его помощью можно получить аналитическое выражение амплитуды любой гармоники и исследовать её поведение, например, форму и положение параметрических резонансов, а также получить аналитические выражения для поляризации среды возбуждающим полем с модулированными параметрами.

Общие решения уравнений Блоха (7) существенно упрощаются, если рассматривать только амплитудную модуляцию возбуждающего поля. Если в общем виде поля (1) положить Ф(0=0, оставив проивольную амплитудную модуляцию Е(0, то мы

I

получим: а(1)=1а(1)=11(0=0; 1„(0 = ОД =/пл(Г)с1Г = ОД; Р(1)= ^«-у V , и,

о

следовательно, решения (7) примут такой вид:

Х(0 = пое"'

О

Ib(t)snF(t) ccsF(t)+^sinF(t)

+п0Г,е-"

О

-I2(t)[cosF(t)-^dnF(t)]+(l3-I4)-^-anF(t) F(t) F(t)

I2(t)Ik(t)anF(t)+(I3 -IJ[cosF(t)+-£- sinF(t)]

F(t)

(16)

Коммутатор при этом примет следующий вид:

[A(t),e (,)] = 2у(Ь • t - 1ь)е'

sin F(t)

F(t)

'О О О4 О 0 1

1 а

Таким образом, решение (16) справедливы в том случае, если выполняется хотя бы одно из следующих условий: 1) у=0, т. е. Г2=Г!=Г;

В этом случае решения (16) справедливы для любого момента времени имеют такой виц (Щ1)=1Ь(1)=ОД):

X(t) = п0е"'

' 0 1 sinl„(t) ,cosI„(tV

+ п0Ге"п

-cosIb(t)Jе*' sinlb(t')dt' + sinlb(t)jе"' cosI„(t')dt' о о

t I

sialbiOje"' sinlb(t')dt' + cosIb(t)J e*' cosIb(t')dt'

(17)

2) b • t = Ib

. Продифференцировав обе части no t, получим, что это условие выполняется, когда flR = 0, т. е. при постоянной амплитуде поля и также для любого момента времени. •

3) sinF(t)=0, т. е. F(t) = к-я (к = ±1,12,13,...), (18)

Используя явный вид F(t) = -yt2 , получим:

Ib(t) =-y/yVVkV ; Следовательно, nR(t) = у Jt /-JyV + k2rc2. Решения в этом случае будут такими:

о

X(t) = n,

0 0

.H(l-c-)

v

(19)

4) t -> oo (rt »1) (20)

Это условие, позволяющее исследовать установившееся состояние системы, возбуждаемой внешним полем с произвольной амплитудной модуляцией, мы будем в дальнейшем использовать.

Таким образом, матричный метод решения уравнений Блоха позволил получить решения в достаточно общей форме, с помощью которой уже нетрудно исследовать влияние модуляции параметров возбуждающего поля в более частных случаях, например, периодическую модуляцию амплитуды или фазы.

Во втором параграфе рассматривается взаимодействие двухуровневой системы с полем, представляющим собой набор монохроматических полей с равными амплитудами Ео, одинаковой разницей частот П между любыми соседними компонентами и одинаковой фазой (ее для определенности положим равной нулю). Такой набор полей можно представить в виде одного поля, частота которого равна частоте одной из компонент (центральной), а амплитуда является периодической функцией времени:

£(t) = Е0 jcosrat + £[cos(a> - kn)t + cos(a> + kil)t]| = + 2^coskntj cos cot (21)

Число монохроматических составляющих в этом случае равно 2m+1.

Исследование взаимодействия такого поля с двухуровневыми атомами проводилось многими авторами как экспериментально, так и теоретически для различного числа составляющих поля. Решения уравнений Блоха, являющихся в этом случае уравнениями с периодическими коэффициентами, были полученны, в основном методом Флоке и, следовательно, - они не содержат аналитических выражений для амплитуд гармоник частоты модуляции £1, на которые раскладываются решения, а позволяют вычислить явно лишь положения параметрических Раби-резонансов и энергии квазиуровней, на которые расщепляются основные уровни в полихроматическом поле. Мы же имеем возможность с помощью решений, полученных в предыдущем параграфе, выписать аналитические выражения для этих амплитуд, по крайней мере, для простейших примеров полихроматического поля -бихроматического и трихроматического.

Итак, в рассматриваемом нами случае возбуждающего поля переменная амплитуда имеет такой вид:

(22)

В частном случае трихроматического поля (ш=1) Е(1)=Ео(1+2со$т) и, следовательно, = ^яО + 2собП1); (I) = П^ + 2р5шГй , р = йк/П;

Используя разложения (14) для М=2р и подставляя полученные выражения в решения для произвольной амплитуды (16) или (17), нетрудно получить аналитические решения для поля в виде (21). Для того, чтобы более чётко продемонстрировать преимущества метода матричной экспоненты перед методом Флоке, рассмотрим случай равных времён релаксации. В этом случае решения (17) примут такой вид (для ш=1):

СЬ"

^ 5т(Па1 + 2р вш Ш) + ^ со8(Ок1 + 2р бш Ш)

+п„Г х Е

к,п=0 ¡ = 1

Гм*^

рк,п

8т8|с'|Ч +

Гы*--'

1<гГ>п.

где

в^0 = 2(к ± п)П; = (2п +1 ± 2к)П;

= (2к +1 - 2п)П; э^11 = 2(к + п + 1)П

1с,п

(23)

(24)

Выражения для амплитуд А, В, а также (М, N. Р, <3);к,а достаточно громоздки, и мы не будем их здесь выписывать. Заметим только, что они содержат лоренцевские множители вида

(Пк + шСЭ

которые

[гМПк-п^2] р^+^ + пО2] [Г2 + (^-па2] [Г2+(Па + пЯ)2]'

обусловливают присутствие субгармонических Раби-резонансов (при = ±шП). Это условие субгармонического резонанса, являющегося, по сути, примером параметрического резонанса в линейной системе, явно содержится в наших решениях, в то время как в решениях, полученных методом Флоке, это условие содержится неявно и для его подтверждения требуется численное суммирование цепных дробей.

Субгармонические Раби-резонансы в решениях (23) объясняют так называемую субрадиационную структуру, проявляющуюся как в спектрах поглощения, так и в спектрах флуоресценции в двухуровневой среде, возбуждаемой немонохроматическим излучением. Эта структура была впервые обнаружена в радиодиапазоне, а затем и в

оптическом диапазоне частот. Физические причины появления субрадиационных Раби-резонасов состоят в том, что в случае воздействия на двухуровневые атомы сильного синхронизированного излучения с эквидистантным спектром, содержащим две и более монохроматических компонент, каждый из двух основных уровней расщепляется на две системы, квазиэнергетических подуровней. Наличие резонансов обусловлено переходами, начинающимися в точках пересечения подуровней верхнего состояния и оканчивающихся в точках пересечения подуровней нижнего состояния.

Часто встречается также ситуация, когда возбуждающее поле состоит из двух монохроматических компонент (бихроматическое поле), отстройки частот которых от частоты перехода между уровнями одинаковы по величине, но противоположны по знаку, т. е. частота перехода равноотстоит от частоты каждой компоненты. В этом случае поле может быть записано в таком виде:

S(t) = E(t)-cosüt (25)

1(0 i - CDtI

где E(t)=2EocosQt, П =:--—1 - полуразность частот компонент поля или частота

модуляции амплитуды поля. Для такой модуляции решения (17) также допускают аналитические решения, которые будут выглядеть следующим образом:

íV(t)l=2n0r.e-vn(t)J 0

sin(2n + l)nt + p" I eos 2nfit

+2n0 Z

k,n = 0

K,M sin(2k + 2n + l)nt + Kk'n sin(2k +1 - 2n)nt + K3k'n sin(2 n +1 - 2k)Ot I Lj,n sin 2(k + n)f2t + Lk,n sin 2(k - n)íít + Lk,n sin 2(k + n + l)nt

Gf'11 cos(2k + 2n + l)íít + Gk,a cos(2k +1 - 2n)nt + Gk'n cos(2n + 1 -

Hf'n eos 2(k + n)nt + Hk'n eos 2(k - n)fit + H3k'n cos2(k + n +l)nt J

(26)

Сравнивая решения (23) и (26), легко заметить, что спектр незатухающих осцилляций компонент вектора Блоха как в случае трихроматического, так и в случае бихроматического возбуждающего поля содержит бесконечный набор гармоник частоты модуляции П. Однако имеются и существенные различия. Например, разность населенностей n(t) в случае бихроматического возбуждения содержит лишь четные незатухающие гармоники частоты fi, а поперечная компонента вектора Блоха v(t) - только нечетные гармоники. В случае же трихроматического возбуждения как v(t), так и n(t) содержат бесконечный набор как четных, так и нечетных гармоник частоты П. Этот важный результат, видимо, можно получить и из решений, полученных методом Флоке, но для этого необходимо проделать нетривиальные действия с цепными дробями.

Следующее существенное отличие трихроматического возбуждения от бихроматического состоит в том, что в первом случае амплитуды гармоник испытывают резонасное увеличение при = ±тП (условие параметрического Раби-резонанса), в то время как в случае бихроматического возбуждения эти резонансы отсутствуют. Резонансы же, наблюдаемые экспериментально в случае бихроматического возбуждения, например, в спектре резонасной флуоресценции, определяются нулями функций Бесселя, содержащихся в выражениях для амплитуд решения (26). Эти резонансы также являются параметрическими, но уже не являются Раби-резонансами.

Итак, мы получили с помощью матричного метода решения уравнений Блоха для наиболее исследованных вариантов амплитудной модуляции резонансного возбуждающего поля - бихроматического и трихроматического полей. Напомним, что эти решения получены в приближении равенства времен релаксаций и нулевой отстройки частоты поля от частоты перехода между уровнями. Как видно из общего вида решений уравнений Блоха в этом приближении (17) и записи полихроматического поля в виде (21), не существует принципиальных трудностей для получения явного вида решений в случае любого конечного числа составляющих поля, т. е. I случае 4-, 5-, 6-, и т. д. - хроматического возбуждающего поля. Эти решения можно записать в таком виде:

'1Г V

= 2"2ЧГ'

оо N-1 гк

IX

N-1

I РмХо^х

-г шцф -з^ц+э* ««[ф-в^ш . г«я[ф - в^Ц + 5? яп[ф - в^и

(27)

где (2] +1) есть число монохроматичеких составляющих поля, N = 2>;

Рк = СкД(р,) х Ск]1к](р2)х...хСкД(р;); р, = п£> /П;

р2 = П») /2П,...Р; = /ДО); С0 = 1.С, = С2 =...= Ск = 2;

дк = §к = по ,к) +2.(-1)<> .к2+...+з-(-1)'' -

( = ■ 2° +¿1-21 + ¿з -22+...+^ -2'"'; ./»(р,) - функция Бесселя первого рода.

Теперь рассмотрим более общий случай неравных времён релаксации и получим установившиеся решения уравнений Блоха, т. е. используем условие (20)

справедливости решений (16). В этом случае для того, чтобы вычислить интегралы 1г(0> 1з(*)> ^(О. мы будем рассматривать только трихроматическое поле вида (22) при т=1 с достаточно большой амплитудой Ео, такой, чтобы выполнялось условие Пк > у. При этом из (16) мы получим (оставив лишь незатухающие при I —> оо члены):

fV(tr| „ " « ГА*'"'

"ОН s s pi,„

IГ Г. -П V Г;

Sil! S,k'nt +

(вУ

l.Qf'V

(28)

= 2(к ± п)П; б*'," = (2п +1 ± к)П;

Л к А

в*'" = (2к +1 - 2п)П; = 2(к + п + 1)П.;

Выражения для независящих от времени коэффициентов (А,В,Р,(});к'п (амплитуд гармоник ) весьма громоздки и мы не будем их выписывать в явном виде.

Заметим лишь, что они содержат лоренцевские множители вида ---

v2 + (tJR - пП)2 v2 + (Or + 1Ю)2 ± = Пк - пП ± Пк + nfi

" v2 + (fiR - nil)2 v2 + (nR + пП)2 которые в случае равенства времён релаксации совпадают с аналогичными множителями в решениях (23). Таким образом, неравенство времён релаксации проявляется, во-первых, в изменении ширины линии параметрических резонансов по сравнению со случаем Г1= Г2, и, во-вторых, - в изменении амплитуд гармоник. Сами гармоники, также как и положения Раби-резонансов, не изменяются.

Существуют и другие варианты периодической зависимости E(t), позволяющие выписать решения в аналитическом виде. Пусть, например,

E(t) = E0cos(£cosnt) (30)

В этом случае поле будет иметь такой вид: £(t) = Е0 cos(4cosfit)coscot =

Jo(e) + 2ZH)kM$)cos(2knt)

= Е0

k = l

cosrnt + Б о cos(co + 5)t =

= E0I J0(^)coscot + ¿(-l)k J2k(5)[cos(co + 2kfi)t + cos(co -2kfl)t]l (31)

Таким образом, при такой амплитудной модуляции поле накачки тоже можно представить как полихроматическое поле с эквидистантным спектром, однако, амплитуды гармоник этого поля уже не будут равны друг друг}', т. к. они

определяются функциями Бесселя .1 т (!;). Предполагая £ «1 и проделав необходимые математические действия, нетрудно получить аналитические решения уравнений Блоха для возбуждающего поля накачки с модулированной амплитудой вида (31):

со 2

fV(t)

¡)-

n0 -е

sin Ib(t) + Г■ ¿ £(-l)n k • С"2";П2Ы • [Г■ sin Ib(t) +

n=0k=l Г + Skn

cosIb(t) + r. ¿i(-l)n k •С"-'п2Ы Кп -Sinlb(t) +

4 n=0k=l Г + sk,n

+sk,n •cos !b(t) - г • sinisant - Ib(t)} - en • sM • cos{sk nt - Ib(t)}];' +sk>n • Sin{skint - Ib(t)} - Г • cos Ib(t) + en • Г • cos{sknt - Ib(t)}];

(32)

где su = n + 2nfl; s2 n = n - 2níí; ц = Пк • J0(Ç); ц = J2(Ç)-(£ÎR/П).

Таким образом, модуляция амплитуды поля вида (30) приводит к тому, что резонансы в амплитудах гармоник решений (32) не совпадают с Раби-резонансами. Например, s2 n = 0, когда íiRJ0(£) = 2níi, т.е. когда П = J0(^)fiR / п. Напомним, что Раби-резонансам соответствует условие íi = fíR / п . То есть резонансы в решениях (32) не являются Раби-резонансами в строгом смысле.

Итак, применение матричного метода к решению уравнений Блоха с периодическими коэффициентами, описывающих резонансное взаимодействие двухуровневой системы с внешним полем, амплитуда которого промодулирована периодически, позволило получить аналитические решения (при упрощающем предположении нулевой отстройки) как для равных, так и не равных друг другу временах релаксации (в последнем случае - лишь установившиеся решения). Эти решения имеют определенные преимущества перед решениями, полученными методом Флоке.

В третьем параграфе прказано, что, по крайней мере, при Г1=Г2 существует ещё один класс функций, описывающих амплитудную и фазовую модуляцию, допускающий аналитические решения уравнений Блоха.

Итак, при условии Г2 = Г, = Г (у=0) решения (7) примут более простой вид:

ri,p2 + la cosf(t)l - I2IaIb[l - cosf(t)l - Рз + Г"1 II. fit) sin m)

X(t) =

ппГе"

f2(t)

I,IaIb[l-cosf(t)]-I2[I^ +l£cosf(t)] + P3 +r-1|Ibf(t)sinf(t) (I,Iâ +IjIb)f(t)sinf(t) + (Ij +r-')f2(t)cosf(t)

где

Il(t) = Je"'la(t')^^cit';I2(t) = }en'lb(t')^ldt';I3(t) = Je"' cosf(t')df n ' n Ht ) n

Нетрудно показать, что решения (33) будут справедливы, если выполняется хотя бы одно из следующих условий:

1) alb=bla (34) Из явного вида функций a(t), b(t), Ta(t), Ib(t) следует, что условие (34) выполняется только в случае, когда E(t) - произвольная функция, и <p(t)=Const, т. е. это условие соответствует рассмотренному нами в предыдущем параграфе случае только амплитудной модуляции.

2) f=Const= к ■ л (к = 0,±1,±2,...) (35)

Значение к=0 соответствует случаю нулевой амплитуды возбуждающего поля, поэтому мы не будем его принимать во внимание. При к * 0 нетрудно получить, что условие (35) означает жёсткую связь амплитуды E(t) и фазы (p(t):

nR(t) = клг ■ ф(1) (36)

При этом решения уравнений Блоха становятся следующими:

ГО!

X(t) = n0

(37)

что является частным случаем решения (19). 3) t -> да (Гс»1)

При выполнении этого условия мы можем находить, как уже отмечалось, только установившиеся решения.

Заметим, что если не конкретизировать значения константы С в (35), то решения (7) также можно записать в аналитическом виде, хотя они будут справедливы лишь при выполнении условия 3). Итак, при f(t)=C мы получаем следующую связь между амплитудной и фазовой модуляцией:

nR(t) = Ccp(t) (3S)

При этом интегралы Ia(t) и Ib(t) принимают вид:

Ia(t) = -С • cos(j>(t); Ib(t) = С ■ sm ц>(1);

и, следовательно

i t I,(t) = - sineje"' cos(p(t')dt'; I2(t) = sin Cjen' sin cp(t')dt'; o o

Предположив, аналогично (2.14), что q>(t) = M sin fît, мы получим, что возбуждающее

поле имеет такой вид:

£(t) = (h / d)CMn cos fit • cos(cot + M sin fit) =

fe

= -CMn{cos[(o+íí)t + M sin íltl + cos[(cD-£í)t + M sinílt]} (39)

То есть поле накачки в этом случае можно представить как бихроматическе поле с симметрично расположенными относительно резонансной частоты компонентами и. с одинаковой фазовой модуляцией обеих компонент. С другой стороны, это поле можно представить в таком виде:

8(t) = ^ CMí2{cos[(co + íl)t + М sin fit] + cos[(o - Í2)t + M sin fit]} =

Л 00

=—Ша^с^зкСЦ«*^ - n++ссб(со+П+ 2kfy +сЦш - fi-2k£^t+ссб((о + fi- 2k£^t] + ^ k=o

+12Ы(ЦаЦо>+n+(2k+I)^t+coe^co-fi+(2k+lX^t-осЦсо+П- (2k+l)C^t - сое(ш - fi- (2k+l)!^t]j =

= ~ CMH{[J0 (M) + J2 (M)Jcos(ta + ß)t + схк(ш-fi)t]+[J,(M)+ J3 (M)Jcos(co + 2Q)t- cos(co - 2D)t] + +[J2(M) + J4(M)Jcos(co + 3fi)t + cos(o) - 3i2)t] + [J3(M) + J5(M)Jcos(o> + 4fi)t - cos(co - 4£i)t] + +p4 (M) + J6(M)|cos(co + 5íl)t + cos(ta - 5Q)t]+[J5(M) + J6(M)Jcos(m + 6í2)t - cos(co - 6fi)t]+...}

(40)

Таким образом, это поле можно представить также в виде бесконенчного набора монохроматических компонент с постоянным межмодовым расстоянием П. Амплитуды компонент, симметричных относительно резонансной частоты ш, будут равны друг другу по абсолютной величине, но амплитуды чётных компонент ю±2пП (п=1,2,3,...) будут иметь взаимно противоположные знаки. Заметим, что центральной компоненты с частотой со в этом поле нет, т. е. оно содержит чётное число компонент. Так как относительные значения амплитуд компонент и их знаки определяются суммой двух соседних функций Бесселя чётных порядков (для нечётных компонент) и суммой двух соседних функций Бесселя нечётных порядков (для чётных компонент), то, варьируя параметр М, мы можем варьировать знаки компонент поля (40) и их относительные амплитуды. Например, для М=0,1 существенно отличными от нуля будут только компоненты с частотами в ± Í1, то есть в этом случае поле накачки будет близко к рассмотренному нами выше бихроматическому полю. Для М=3,8 напротив, в поле будут присутствовать компоненты со всеми возможными частотами кроме частот со±П, т. к. J0(3,8) + J!(3,8) « 0. Для М=5,14 будут отсутствовать компоненты с частотами ш ± 2С1. Таким образом, появляется возможность конструировать поле накачки с любым числом компонент как с положительными, так и с отрицательными амплитудами.

Итак, для поля вида (39) или (40) решения (7) примут следующий аналитический

вид:

U(t)' V(t) W(t).

= ПпГ

«. 4

X ¿(Af-'-sinsf-'t + Bf-'-cossf-'t) k,l=0 ¡=1

£ ¿(Kf'1.sinaf'1t + L^.coS(xf'1t)

k,U0i = l

00 3

Г"1 cos2 f(t) + sin2 f(t) ■ £ 2(Cf'' sinsf-'t + Df-1 cossf-'t) k,l=0 i = l

(41)

где sf'2' = 2(k ± 1)П; s*'1 = 2(k + 1 + 1)П; s*'1 = 2Ш;

af'1 = (2k + 21 + 1)П; ct£'1 = (2k - 21 - 1)П; a3M = (2k - 21 + l)fi; a J'1 = (2k + 1)П;

Выражения для амплитуд имеют очень громоздкий вид и представляют собой произведения функций Бесселя Jra(M) и лоренцевсих функций шП/[Г2 + т20:] и Г/| г2 + т2П2].

В отличие от решений для бихроматического поля без фазовой модуляции, в данном случае все 3 компоненты вектора Блоха ненулевые, хотя по-прежнему, компонента V(t) содержит лишь нечетные гармоники частоты модуляции , а компонента W(t) -лишь четные. Раби-резонансы в амплитудах гармоник также отсутствуют, немонотонность их зависимости от параметров задачи будет обусловливаться только функциями Бесселя Jm (М).

Итак, в этой главе мы получили аналитические решения уравнений Блоха, описывающих резонансное взаимодействие двухуровневой системы с электромагнитным полем, амплитуда и фаза которого являются переменными функциями времени. Для этого мы использовали метод матричной экспоненты, условия применимости которого к уравнениям Блоха привели к тому, что в наиболее общем виде полученные нами решения справедливы лишь в установившемся состоянии, т. е. только по прошествии достаточно большого времени после начала взаимодействия. И, кроме того, поле должно находиться в строгом резонансе с двухуровневой системой. В более частных случаях, например, при условии равенства друг другу времён релаксации в системе, решения оказываются справедливыми для любого момента времени. Упомянутый недостаток, на наш взгляд, компенсируется очевидными преимуществами полученных решений - аналитические выражения для амплитуд гармоник, позволяющих анализировать состояние системы, возбуждаемой модулированным полем, в частности, определять форму линии и положение параметрических Раби и не-Раби резонансов в зависимости от значений амплитуды

поля и других параметров задачи. Имеются и другие преимущества полученных нами решений; о них мы уже упоминали по мере получения решений.

Кроме т^го, именно установившиеся решения имеют большое практическое значение для экспериментального исследования взаимодействия двухуровневых атомов с резонансным полем, так как именно они позволяют рассчитать поляризацию среды, наводимую полем, и, следовательно, - экспериментально наблюдаемые величины - коэффициент поглощения и дисперсию. В Главе 3 мы используем полученные в предыдущей главе аналитические решения уравнений Блоха для расчёта спектров поглощения и дисперсии пробного поля в двухуровневой среде, возбуждаемой сильным резонасным полем (накачкой) с периодически модулированными параметрами. Такой метод изучения поведения квантовой системы во внешнем поле называется методом пробного поля. Физическая суть этого метода и краткий обзор полученных с его помощью результатов в случае немонохроматической накачки приведены в первом параграфе. Во втором параграфе рассматриваются аналитические выражения для спектров поглощения и дисперсии слабого пробного поля при накачке двухуровневой среды сильным резонансным полем с периодически модулированной амплитудой и приводятся графики этих спектров, рассчитанные численно для различных соотношений между параметрами задачи, позволяющие определять частотные области, форму линии параметрических резонансов, а также области отрицательного поглощения (усиления) пробного поля. Итак, поле к жачки и пробное поле запишем в таком виде:

£(t) = E(t) coscot + Е cos(<o + 5)t (42)

где E(t), и - амплитуда и частота поля накачки, е- амплитуда пробного поля, 6=(оПр-о) -отстройка частоты пробного поля от частоты поля накачки. Уравнения Блоха такого поля будут иметь вид (в предположении строго резонанса):

^^ = -a(t) • Г2 - - 8 sin 6t • n(t); dt h

= -p(t) • Г2 + |[E(t) + 8(t) cosSt] • n(t); (43)

= j £ sin 6t • a)t) - j [E(t) + Б eos 6t] • p(t) + (n0 - n) • Г,;

Предполагая пробное поле слабым по сравнению с полем накачки, т. е. предполагая выполнение неравенства |Б / Е0| « 1, где Ео - амплитуда поля накачки, решение системы уравнений (43) можно искать в виде суммы двух решений - решения в

отсутствие пробного поля и малой поправки к нему, обусловленной включением пробного поля:

а(1) = и(1) + и(1); р(Г) = У(1) + у(0; п(1) = У/(1) + (44)

где |и, v, w| « |и, V, W| .

После подстановки (44) в (43) и отбрасывания членов порядка малости выше, чем ¡8 / Е0|, мы получаем две системы уравнений вместо одной:

<И(0

dt

■= A(t)X(t) + L;

£ = A(t)x(t) + l(t); dt

(45)

(46)

fu(0] r«(0)

где X(t) = V(t) ; x(t) = v(t)

lw(t); lw(t)J

; L = n „r.

0 0

UJ

nR(t) = (d/»)E(t);

A(t) =

'-Г2 0

0 -r2 l 0 -nR(t)

0 ^ Or(1) r, .

1(0 =

de h

-W(t) • sin St W(t) - cos5t ^U(t) • sin St - V(t) • cos St.

Решение матричного уравнения (45) получены нами в предыдущей главе для нескольких вариантов периодической модуляции амплитуды.

Чтобы рассчитать поляризацию в двухуровневой среде под действием внешнего поля, необходимо знать зависимость от времени поперечных компонент вектора Блоха u(t) и v(t) под действием этого поля. В нашем случае мы хотим рассчитать поляризацию среды под действием слабого пробного поля при одновременном возбуждении её сильным полем накачки с модулированной амплитудой. С помощью изложенного выше матричного метода решения уравнений Блоха решения уравнения (46) можно записать в таком виде:

x(t)

: e->jVB(t'>l(t')dt'

.В(') J ¡.-B(t')] о

Откуда с точностью до первого порядка малости по y/Or нетрудно получить:

u(t) = - —е~Г2'jeril'W(t')dt'

(47)

V(t) =

dB

I, +1, +— l5jcos(fiRt + 2psinfit)-

On

e

+[lî -1« "tt-Ij sin(nRt + 2psinnt)

(49)

где

t

I, = J e*1 W(t') co^fÎRt' + 2psin nt')cos5t'dt';

о

t

I2 = JV"W(t')sm(iV' + 2p sin Ht ') cos 5t 'dt ';

о

t

I3 = Je"'V(t')sin(nRt' + 2psmfit')cos6t'dt';

0

t

I4 = | eV(t ') cos(nRt ' + 2p sin Ht ') cos ôt'dt';

о

Заметим, что уравнение (46) является уравнением с переменным неоднородным членом, период которого, вообще говоря, отличен от периода изменения матрицы A(t) и, следовательно, к нему теорема Флоке неприменима. Таким образом, что основное преимущество метода матричной экспоненты перед методом Флоке заключается в том, что с его помощью мы получаем возможность решать аналитически системы неоднородных уравнений с произвольной зависимостью от времени как коэффициентов, так и неоднородных членов этих уравнений, т. е. решать существенно более общие физические задачи.

Используя решение (27) для возбуждающего поля с произвольным числом компонент, можно получить аналитический вид решения уравнения (46). В случае Г2=Г1=Г эти решения будут иметь такой вид:

х

где dff = (-•)'■ Kf2w +(-l)i2Sji +(-1)''б; L = L1-2° + L2-21+...+Lj-2i-1; Dk,M,K = (_i)i,Knw+(-i)i.(SÎ-SÎÎ) + (-l)i'6; i = i1-20 + i2-21+i3-22;

здесь выписывать, чтобы не загромождать текст излишними деталями.

Так как поляризация, наводимая в двухуровневой среде полем, состоящим из нескольких составляющих с различными частотами, содержит отклики не только на частотах возбуждающего поля, но и на их комбинационных гармониках, мы можем записать ее в таком виде:

P(t) = d[pI2(t) + p21(t)] = d[u(t)coseit- v(t)sin cot] =

= S0eX[Rexq(raq)cosoqt + Imxq(aq)sincoqt] (51)

где Rexq(toq) и ImXq(Mq) - реальная и мнимая части поляризуемости среды на

частоте coq, соответственно, Ео - диэлектрическая проницаемость вакуума. Используя полученные аналитические решения(50), нетрудно получить в явном виде выражения для реальной и мнимой частей поляризуемости на частоте отстройки пробного поля б для любого числа составляющих поля накачки:

л2г, г 00 00 N-' N-' Г5м м

2 Fk £рм £Q< ZQL 2 , N"N-

2J йе0 ki)ki>...k|=0 М„М„...М,=0<=0 L=0 Г + IOr + П• N)

О'

25

5 + 2(fi£+n-N,) 5-2(n°+a-N,) '

Г2+52 Г2 + (5 + П° +a-N,)2 Г2+(5-П° -П-N,)2

(52)

Im х(б) ;

j2 r » 00 N-l N-l

EFk Sfm ZQ/ZQL-

22j+2l£o k„k1,...kJ=OM„M„.,.M,=0<=0 L=0 Г2 + (Or + П-N,)2 2Г2 Г2 -(Or + П-N|)(AR +fl-N] +5) +n-N,)(n^ +0-N,-5)'

Г2+62 Г2 +(£1r +nNj +6)2

где N, = (-1)'- -k, +2.(-l)/> •k2+...+M-l/< kj;

N2 = (-l)L'M,+2-(-l)L'M2+...+j(-l)L'Mj; 0, N,*N2;

Г +(Qr +П- N[ -6)

(53)

В частном случае монохроматического поля накачки, получим:

ReX(S)

2

1

.d2n0r

4te0 Г2+(П®)2

25 5 + 2П£

5-2fi°

Г* +5Z rz +(5 + Г^)2 ГЧ(5-П£)

-.0 \2

Imx(5) =

d2n0r (-D 2Г2

4fe0 г2 + Ф2 Г2 +52

Г2+52 Г2+(5 + П°)2 Г2+(5-О£)2

(54)

(55)

Выражения (54) - (55) совпадают с хорошо известными выражениями для спектров поглощения и дисперсии слабого пробного поля в присутствии монохроматического поля накачки.

Для бихроматического поля накачки, получим: *(б) - ^ £ х

8е0Л к=0

25 2Ш + 6

• + -

2Ш-6

Г2+52 Г'!+(5 + Ш)': Г^ + (Ш - 5)^

(57)

8е0й к=0

2Г2 Г2-Ю5-к2П2 Г2 - к2П2 + Ш5

Г2 + 52 Г2 + (6 + Ю)2 Г2 + (6 - Ю)2 где А0 = Т2, А, = А2 = А3=...А1=2.

В случае трихроматического сильного поля возбуждения уравнения примут вид:

(58)

1

Г2 ++ ш)

25 ( 5 + 2(кП + П^) 5 - 2(П& + Ш) Г2+52 Г2+(6 + Ю + П£)2 Г2+(5-кП-П&)2

1 25 5 - 2(п^-кп) 5 + 2(п£-ш)

г2 + (п0к-ш)2 г2 + 52 ' г2+(5-п°а + ка)2 ' г2+(8 + п°а-кп)2

(59)

1п»х(5)

16е0й к=0

Г2 + (П& + кП)2

2Г2 Г2 - + + + кП) + Г2 + (П% + Ш)(5 - - Ш)

Г2 +б2

о \2

Г + (5 + Ш + П^)

Г2 + (5 - Пк -Ш)2

1 2г2

г2+(п0-ш)2 г2 + 62

2р2 г2-(п°-ш)(б + п°-ш) г2 -кп)(8-п° +кп) г2+(в + п° -ш)1 г2+(5-п° +ш)1

(60)

Число компонент, большее трёх, приводит к очень громоздким выражениям, которые можно анализировать лишь численно.

В диссертации приведены спектры поглощения и дисперсии, рассчитанные численно из приведённых формул для moho-, би-, три-, четырёх- и пятихроматического полей накачки при различных значениях отношения Па/Г, из которых следует,, что при монохроматическом поле накачки спектр поглощения имеет хорошо известную 3-х пиковую форму. При бихроматическом поле накачки спектр также становится 3-х пиковым, но при относительно большем значении амплитуды, также как и в случаях 3-х, 4-х, 5-и хроматическом поле накачки. В окрестности Раби-резонанса поглощение имеет дисперсионный характер, а дисперсия - характер поглощения (лоренцеву форму). Такое поведение становится особенно заметным при очень сильном поле накачки. Заметим, что в точке, где поглощение пробного поля равно нулю, дисперсия его максимальна.

Используя ту же методику для получения спектров коэффициента поглощения и дисперсии пробного поля, что и при выводе формул (52),(53), нетрудно получить явный вид спектральной зависимости реальной и мнимой части поляризуемости двухуровневой среды под действием слабого монохроматического пробного поля при накачке среды полем с модулированной амплитудой вида (30). На частоте отстройки пробного поля эти зависимости будут иметь такой вид:

Rex(S) = 4¿!1fFZcnj2n(^

2Е£ойГ пТо

2 • (-1)" ■ 5Г3 Г2+т12+4п2П2 (Г2+52) (Г2 + s2n)(r2 + s2 n) +

-3s2„+52 5Г3 г2-Чп+52

(Г2+52п) |Г2 +(S] п + б)2][Г2 +(Sj n -5)2] (r2+s2„) [Г2+(521П+6)2][Г2+(521П-5)2]

(61)

2 (-l)n+I -Г4 Г2 + г)2 + 4n2fi2

2Б£0ЙГ nf0

(Г2+62) (Г2 + s2n)(r2 + s2n)

Г2(Г2 + s2n + б2) Г2(Г2 - s2n +S2)

(62)

I» + (5,,„ + 6) ][Г + (з,,п - 5) ) |Г + (821„ + + (82,п - б)2]

В диссертации приведены графики, полученные численно из (61), (62) для различных значений параметров П, Пд, Г и для 4=1. Из этих графиков следует, что при достаточно сильной амплитуде поля накачки (Пк=10Г и Пд=50Г) в окрестности резонанса форма линии спектра поглощения становится похожей на форму линии дисперсии и наоборот. Резонансы соответствуют условиям 5 = п, и самый большой пик в спектре дисперсии (нуль в спектре поглощения) соответствует частоте 5=Пг>.1о(1) = 0.76Пк. При увеличении амплитуды накачки Ео (т. е. частоты Раби Пя)

пики в спектрах становятся более контрастными, однако, при уменьшении fi/ÜR до очень маленьких значений резонансы более высоких порядков исчезают и остаются лишь два основных пика на частотах 6 = fiR[Jo(l)±2J2(l)]:F4ß. Область

отрицательных значений 1шх(5), т. е. область параметрического усиления пробного поля, вызванная 3-х фотонным рассеянием, лежит между двумя основными пиками. При выполнении резонасного условия 82,1=0, т. е. при Q=QrJo(1)/2, появляется усиление, вызванное резонансным Рэлеевским рассеянием.

В третьем параграфе рассчитываются аналитические выражения для спектров поглощения и дисперсии слабого пробного поля с периодически модулированной амплитудой при поле накачки, подверженном периодической амплитудно-фазовой модуляции. В общем случае такие поля можно записать в виде:

S(t) = E(t) ■ cos [cot + <p(t)] + e(t) • cos(co + 5)t (63)

где E(t), ш и <p(t) - переменная амплитуда, частота и переменная фаза сильного поля, e(t) и 6 - переменная амплитуда и отстройка пробного поля (5=ш\у-а> <»w - частота пробного поля).

Предполагая пробное поле слабым по сравнению с полем накачки, можно получить из уравнений Блоха для поля (63) две системы уравнений, аналогичных (3.4) и (3.5) - систему, учитывающую только поле накачки E(t)cos[cot+(p(t)], и систему уравнений, предсталяющих собой поправку к первой системе, обусловленную пробным полем:

dX(t) dt

dx(t) dt

где A(t) =

= A(t)-X(t) + L; = A(t)-x(t) + l(t);

(64)

(65)

Г-г2 0

0

-r2

b(t)

U(t) -b(t) -r,J

d-e(t)

L = n0 • Г,

l(t) = -

- W(t) • sin 6t W(t) • cos 5t lU(t) • sin 5t - V(t) • cos 5tJ

b(t) = ^-cos<p(t);

Решение системы (3.29) в интегральной форме, полученное с помощью матричного метода, выписано нами выше при условии равенства времен релаксации Г2"' и Г,"1.

Теперь предположим, что пробное поле будет бихроматическим, т. е. состоящим из двух равных по амплитуде монохроматических компонент с одинаковыми по

величине и противоположными по знаку отстройками от резонансной частоты, равной частоте поля накачки. В этом случае амплитуда пробного поля в (63) будет равна s(t) = 2s-cosfiwt, где е- постоянная амплитуда, П\у- частота модуляции пробного поля, а полное поле будет иметь такой вид:

8(t) = — C,Mfi- cos fit • cos(<ot + М sin fit) + 2e • cosfiwt • cos(co + 5)t =

= — CMf2jca|(co + í^t + Msin fit] + ca|(co - fi)t + Msin fit ]j + е(соб(ш + fi+5)t + с«(ш + 5 - fiwjt] (66)

h

По-прежнему, считая пробное поле слабым е «

2d

-СМП

решение системы

уравнений (65) для нашего поля е(0 нетрудно получить в таком виде:

^ сэс:]Б " '^(О—^ ^ —«зезк С^ - I) - сэсж —^ ^ ^—• "^СЁСО " Еахт. СЗ- - сзсж

?(1)ф-гаС} -Щ -"ОД ■ ссйДО +япС--ЭД- апф);

-япСТ^) • оевф) -апС- ^ • апф) +авС-

(67)

где fiRW = de / h и где для сокращения записи введены слудующие обозначения: Tc(t) = [T2(t) - T,(t)]. sin С -1(1 - cos C)[T3(t) +■ T4 (t)] +1(1 + cos C) • T5(t);

Td(t) = [T8(t) - T7(t)]- sin С +1(1 - cosC)[T9(t) + TI0(t)] +1(1 + cos C)- T6(t);

Te(t) = [T„(t) - T12(t)] • cos С + [T,4 (t) - T13 (t)] ■ sin C;

t t T|(t) = J en'U(t') • cos cp(t') • cos fi wt'- sin 5t' dt'; T2(t) = J en'V(t') • cos cp(t') • cos fiwt'- cos 5f; 0 0 t t T4(t) = J e,rW(t') • cos 2<p(t') ■ cos fiwt'- sin St' dt-; T3(t) = j etvW(t') - sin 2<p(t') ■ cos fiwt'- cos St' dt'; о о

t i T5(t) = Jen'W(t')- cosfiwt'-sin5t'dt';T6(t) = |en'W(t')-cosfiwt'-cos5t'dt'; о о

t t T7(t) = J en U(t') • sin cp(t') • cosnwt'-sin 8t' dt'; Ts(t) = j en V(t') • sin ip(t') ■ cosOwt'- cos5t' dt';

t , t

T9(t) = Je^'WjY) ■ sin 29(1') • cos nwt'- sin 5f dt'; T10(t) = J en'W(f) • cos 2ip(t') • cos Owt'- cos5f dt':

0

t

Tu(t) = Jert'U(t')cosnwt'-sin 6t'dt';TI2(t) = Jen'V(t')-cosnwt'-cos5t' dt'; о 0

t t T13(t) = J en W(t') • cos<p(t') • cosnwt'-sin6t' dt'; T14(t) = J cn'W(t') • sin cp(t') • cosiiwt' dt'; о 0

Выражения для U(t), V(t) и W(t) даны в (41).

Вычисление этих интегралов в явном виде также представляет собой несложную, но трудоемкую процедуру. Подставив решения (67) в выражения для поляризации двухуровневой среды внешним полем (51), получим:

P(t) = d[p12(t) + p21 (t)] = i d[u(t) • cos cot - v(t) • sin cat] =

= ^ de"n + cos C) cos cot - (1 - cos C)(cos 2q>(t) • cos cot + sin 2<p(t) • sin cot)] • Tc (t) + +[(1 + cos C) sin cot +(1 - cos C)(cos 2cp(t) • sin cot - sin 2<|>(t) ■ cos cot)] • Td (t) +

+2 sin C[cos ф(1) • coscot + sin <p(t) • sin cot] • Te(t)J (68)

Из этого выражения и вида интегралов Тс, Td, Т| и Tj +Т14слудует, что поле (66) создает поляризацию в двухуровневой среде на частотах, представляющих собой линейные комбинации гармоник частоты модуляции поля накачки П(частоты S^'h a*'1), гармоник частоты модуляции пробного поля fi\v> отстройки пробного поля 5 и

резонансной частоты двухуровневой системы со. Чтобы вычислить коэффициент поглощения слабого пробного поля на любой из этих частот, надо из явного вида поляризации Q(t) выбрать лишь коэффициенты при синусе этой частоты. В диссертации приведена аналитическая формула для мнимой части поляризуемости среды на частоте правой компоненты пробного поля, описывающая спектральную форму коэффициента поглощения этой компоненты, а также приведены графики, численно рассчитанные из этой формулы для различных значений параметров модуляции М и Í1. Существенной особенностью этих графиков является то, что зависимость от П\у, т. е. от частотного интервала между компонентами пробного поля, сводится лишь к их сдвигу на величину íí\v относительно случая монохроматического пробного поля, когда ííw=0. Эта особенность даёт возможность сдвигать спектр поглощения пробного поля на любую заранее заданную величину, т. е. получать в любой желаемой точке либо максимум поглощения, либо его минимум

(максимум излучения), либо нулевое значение поглощения. Если в поле накачки отсутствуют компоненты на некоторых частотах (это возможно, как было показано в Главе 2, при определённых значениях параметра М), то такая неэквидистантность спектра поля накачки приводит к появлению асимметрии спектра поглощения пробного поля относительно центральной частоты. Кроме того, в окрестности параметрических резонансов на частотах, кратных межмодовой частоте П, спектр поглощения имеет отрицательные значения, т.е. в окрестности этих частот имеет место усиление пробного поля.

Итак, поле вида (66) приводит к существенным изменениям в спектре поглощения слабого пробного поля по сравнению с полихроматическим полем накачки с различным числом составляющих. Во-первых, это асимметрия спектров при определённых значениях параметров. Во-вторых, немонохроматичность пробного поля приводит к сдвигу спектров на величину, определяемую частотой отстройки компонент пробного поля от резонанса, и, следовательно, может быть использована для получения либо усиления либо поглощения пробного поля в заранее заданном частотном интервале.

В четвёртом параграфе получены аналитические решения уравнений Блоха в случае монохроматической накачки и пробного поля со случайной фазовой модуляцией, описываемой случайным процессом Винера, т.е. рассмотрено поведение двухуровневой системы по действием двух полей:

E(t) = е0 exp(icot) + Q0 • exp i[ot + nt + tp(t)] + к. с. (69)

где e0 и С,о - амплитуды соответственно сильной и слабой составляющей поля; частота поля накачки со близка к частоте перехода между уровнями системы шо> а функция распределения случайной фазы имеет такой вид:

= (70)

где у - спектральная ширина. Производная по времени от (70) есть гауссовый 5 -коррелированный процесс (белый шум):

<i>(t) = p(t), < n(t) >= 0, < n(t,)(j(t2) >= 2y5(t, -12) (71) где угловые скобки означают усреднение по реализации случайного процесса.

Предполагая одно из полей слабым по отношению к другому (Q„ /е0 « 1), решения системы уравнений Блоха будем,как обычно, искать в виде суммы двух решений -решений в отсутствие слабого поля (при ¡¡0 = 0) и поправки к нему первого порядка

j4

малости по отношению / е0, обусловленной действием поля C(t). В этом случае система уравнений Блоха распадается на две системы уравнений - систему уравнений для (U,V,W) (нулевое приближение) и систему уравнений для (u,v,w) (первое приближение):

dX(t) dt

dx(t) dt

= А • X(t) + L; = A-x(t) + l(t);

(72)

(73)

'иал Ш) í-r, Л 0 '

где X(t) = V(t) ; x(t) = v(t) ; A = -Д -Г2 2ПЯ ; fiR - atole0;

lw(t)J U(t); , 0 —2flR

L = п0Г,

l(t) = 2П„

- W(t) • sin(ilt + cp(t)) W(t)-cos(fit + q>(t)) l.U(t) • sin(flt + cp(t)) - V(t) • cos(ilt + <p(t)V

^RW _ aintCo>

Для электромагнитного поля, вызывающего переходы между уровнями, аы =ё/й, где ё - величина матричного элемента диполя, а для ультразвукового возбуждения переходов между уровнями квантовой системы, например, примесного парамагнитного иона в кубическом кристалле, а^вН,, /Л, где Э - константа спин-фононного взаимодействия, Но - напряженность постоянного магнитного поля, снижающего вырождение уровней парамагнитного иона.

Так как в уравнениях для малых добавок (73) содержится случайная функция <р(1), решения этих уравнений также будут случайными функциями. Мы будем интересоваться лишь средними значениями этих решений:

< x(t) >= eAtI e_At' < l(t') > dt'

(74)

Так как мы предположили, что случайная фаза cp(t) описывается моделью фазовой диффузии, то < е±1ф'1' >= e~Tt и, следовательно,

< sin(íít + <p(t)) >= e_Tt • sin ílt; < cos(ílt + cp(t)) >= e_Tl • cos fit; (75)

Таким образом,

-W(t) • sin ílt

< l(t) >= ílRwe"14 W(t) ■ cos fit (76)

JJ(t) • sin nt - V(t) • eos fit,

В случае точного резонанса (Д=0) и равенства друг другу времен релаксации (Г2=Г]=Г мы получим:

V« W(t).

п0Г

Г2 +4п| и, следовательно, •

2Г2К -е~п(2Пк -««гп^ + Г $т2Пк1) „ Г + е"п(20к • вт 20я1 - Г • сое 20^)

ч ' ° 1

+ п0е"п (77)

/ ксо$2Пк1,

'< и(0 > о и '0" '0' ГРО

<чо> е~п 0 + а2 совЮ^ + Вг ап20я1 р2 акП + 02 апШ

ГСЛ

с2

сся(2Пк + ПН +

\-D3J

$т(2Па + ПН +

Е,'

Еа

соз(2Пк - П^ +

Р0

(78)

Из этих решений следует, что в приближении нулевой расстройки и равных времен релаксации роль случайных флуктуаций фазы пробного поля сводится к тому, что они лишь увеличивают затухание осцилляций матричных элементов, т. е. приводит к уширению спектров поглощения и флуоресценции. Затухают даже те составляющие решений, которые в отсутствие фазовых флуктуаций (при у=0) являются незатухающими и которые отвечают за известную форму коэффициента поглощения пробного поля. Конечно, если ширина спектра фазовых флуктуаций много меньше однородной ширины линии (т. е. если у«Г). то затухание, обусловленное фазовыми флуктуациями, происходит намного медленнее, чем затухание, обусловленное релаксацией между уровнями, и, следовательно,всегда можно выбрать достаточно большой промежуток времени, на котором затуханием за счет флуктуащш фазы можно пренебречь. Из (78) видно, что такие незатухающие осцилляции матричных элементов будут происходить на частоте отстройки пробного поля П. В Главе 4 полученные аналитические решения уравнений Блоха применяются для расчёта спектрального состава излучения лазера при заполнении его резонатора поглощающей средой двухуровневых атомов, т.е. предлагается теоретическая модель для объяснения известного эффекта спектральной конденсации внутрирезонаторного излучения. Модель основана на представлении внутрирезонаторного излучения набором монохроматических компонент с одинаковым частотным интервалом между любыми соседними компонентами, т. е. монохроматическим полем с периодически модулированной амплитудой, резонансное взаимодействие которого с двухуровневым атомом подробно исследовано нами в Главе 2. Здесь мы учитываем помимо этого взаимодействия распространение такого излучения в ограниченной среде (в резонаторе). В первом параграфе проводится краткий обзор существующих моделей эффекта спектральной конденсации, во втором параграфе рассмотрен этот эффект в

предположении бихроматического внугрирезонаторного поля, во третьем параграфе принята трихроматическая модель внугрирезонаторного поля, а в четвёртом -полихроматическая модель внугрирезонаторного поля с числом компонент, позволяющим исследовать проблему лишь численно. Строгая теория эффекта должна основываться на совместном решении системы уравнений Максвелла, описывающих распространение излучения в резонаторе, и уравнений для элементов матрицы плотности газа реальных многоуровневых атомов, взаимодействующих с сильным резонансным немонохроматическим внутрирезонаторным полем. В общем случае получить это решение невозможно, поэтому необходимо вводить ряд упрощений. Уравнения Максвелла существенно упрощаются при описании пространственной зависимости внугрирезонаторного поля стоячей волной с последующим усреднением решения по координате (приближение среднего поля). Уравнения для матрицы плотности допускают аналитическое решение при замене реальных атомов идеализированной средой двухуровнгевых атомов и при представлении спектра внугрирезонаторного поля набором конечного числа гармоник с постоянным частотным интервалом Î2 = 2яс / 2L ( L - длина резонатора). Итак, представим поле, распространяющееся внутри линейного резонатора и взаимодействующее с газом двухуровневых атомов, в виде произведения пространственной части, представляющей собой стоячую волну, и временной части :

' E(z,t) = £(z)S(t) (79)

где e(z) = 2|A|-sink0z, k0=jm/L - волновое число, п - целое число, для

множителя А из уравнений Максвелла нетрудно получить выражение:

А = -^=--ir-i--(80)

»-¡^(xkoL-e)

где R - коэффициент отражения зеркал резонатора, 0 = 2тя - 2k0L = 2(т - п)п -начальная расстройка резонатора, Ео - амплитуда поля, х(т) ~ поляризуемость среды двухуровневых атомов. Временная часть поля (79) e(t) представляет собой набор монохроматических составляющих с постоянным частотным интервалом Sï=nc/L (его можно представить также как монохроматическое поле с периодически модулированной амплитудой):

sot

(81)

S(t) = Eojcoscot + £[cos(co - kn)t + cos(co + kfi)t]j = E0^l + 2]T cos kiltj cos

Спектральный состав прошедшего через такой резонатор излучения |Е(и определяется множителем А:

|Е(со)| = VURlAj = Е(

■iY^[(Rex(«e) + iImx(e))k0L-e]

(82)

Отсюда:

№ Но

('+ itr :k°lim 2 + (ггр) (k°lre х(ш)" °)2

-1/2

(83)

Черта над 11ех(со) и 1т х(ш) означает, что (82) и (83) справедливы лишь в случае приближения среднего поля, согласно которому явная зависимость от ъ всех

переменных величин заменена их средними значениями _ • причем

Р - в = И • О. Критерий справедливости этого приближения - малость величины (1-Я) по сравнению с 1. Укажем на ряд следствий из формул (82), 83) и аналитических решений уравнений Блоха для полихроматического поля вида (81), полученных в Главе 2. Во-первых, из них следует, что в спектре излучения лазера будут присутствовать не только гармоники поля накачки со±П, но, в принципе, бесконечное число гармоник со + Ш. Однако, амплитуды этих гармоник будут уже неодинаковы. Этот результат уже можно считать принципиальным объяснением эффекта спектральной конденсации. Во-вторых, из (83) видно, что амплитуда излучения лазера должна резонансно увеличиваться при стремлении слагаемого 11коЬ1т х(»)/(1 - Я) к -1, или слагаемого к0ЬЯех(ш) к 9. В диссертации показано,

что такие резонансы могут существовать при реальных экспериментальных значениях параметров задачи - амплитуды Е0, ширины линии поглощения Г, коэффициента резонансного поглощения, длины резонатора, концентрации атомов в резонаторе и др.

В случае бихроматической модели внутрирезонаторного поля (25) из решений уравнений Блоха (26), полученных в Главе 2, нетрудно получить явные выражения для компонент поляризуемости на частотах, содержащихся в поле накачки:

Кех(»+П)-^2.. 10(2рУ1,(2р)

Ьо

к«Оч

2скД2к(2Р)Г2 | Г2 + 4к2П2

/

1а„(2р)(2к11)п Г2 + £7г(2к +1)2

+

(85)

где р= С1в/С1, 1т(р ) - функция Бесселя, а также на любых других частотах, даже не содержащихся в исходном поле. В диссертации выписаны в явном виде выражения также для компонент поляризуемости на частотах со ± 3П; со ± 5П. Подставив полученные выражения в (83) и проделав численно усреднение по г, содержащейся явно в Ео, можно получить зависимость компонент спектра излучения лазера на этих частотах от концентрации поглощающих атомов и от длины резонатора лазера. На приведённых в диссертации графиках этой зависимости для значений параметров, взятых из экспериментальных работ, отчётливо видны резонансы в первой и пятой компонентах излучения (эти резонансы естественно назвать внутрирезонаторными параметрическими резонансами (ВПР)). Эти резонансы исчезают при уменьшении амплитуды внутрирезонаторного поля Ео . Кроме того, в диссертации проведены аналогичные расчёты и построены графики для компонент спектра излучения на частотах са-П и со-5П, которые показывают, что спектры симметричных компонент не тождественны между собой. Этот известный экспериментальный факт до сих пор не имел теоретического объяснения. Таким образом, бихроматическое внутрирезонаторное поле в результате взаимодействия с двухуровневыми атомами в резонаторе приводит к тому, что излучение лазера становится полихроматическим, состоящим из бесконечного числа гармоник, кратных нечётному числу П. Амплитуды этих гармоник, вообще говоря, не равны друг другу и проявляют различную зависимость от параметров задачи. При определённых соотношениях между этими параметрами значения амплитуд резонансно возрастают, что приводит к наблюдаемому экспериментально эффекту спектральной конденсации.

Все указанные особенности спектра излучения лазера сохраняются и при моделировании внутрирезонатороного поля трихроматическим полем в виде (22) при т = 1. Кроме того, в этом случае при достаточно большой амплитуде поля

компоненты излучения проявляют периодическую зависимость от концентрации атомов и от длины резонатора с частотой, которая по порядку величины совпадает с экспериментально наблюдаемой "кооперативной" частотой.

В четвёртом параграфе приведены графики спектра излучения лазера для 11 -хроматического внутрирезонаторного поля, полученные с помощью численного решения уравнений Блоха, для такой амплитуды поля Ео, для которой П^/Г=3, при которой предыдущие модели внутрирезонаторного поля не приводят к эффекту спектральной конденсации. Эти графики показывают, что для 11-хроматического поля накачки даже при такой амплитуде накачки в амплитуде поля излучения будут присутствовать ВП-резонансы. Это свидетельствует о том, что при увеличении числа составляющих поля накачки эффект спектральной конденсации будет проявляться при меньших амплитудах накачки.

В Главе 5 рассматривается влияние модуляции параметров излучения (амплитуды и фазы) на эффекты, связанные с учётом его распространения в резонансной среде. Модуляция параметров, присутствующая в реальных полях, может существенно изменить характер этих эффектов - изменение площади импульса, его формы и амплитуды по сравнению с идеальным импульсом, для которого существует хорошо разработанная теория МакКола и Хана. В первом параграфе сделан краткий обзор известных физических следствий из совместных решений уравнений Максвелла для медленноменяющихся амплитуд и фаз и уравнений Блоха как не учитывающих модуляцию параметров импульса (эффект самоиндуцированной прозрачности МакКола и Хана), так и учитывающих некоторые частные случаи такой модуляции. Во втором парграфе показано , что эффект самоиндуцированной прозрачности может существовать не только для импульса, подверженного амплитудно-фазовой временной модуляции, но также и для чисто пространственной модуляции фазы, когда фаза импульса зависит только от одной пространственной компоненты ъ. В этом случае уравнение, описывающее изменение площади импульса 9 (г) в процессе распространения, будет иметь такой вид:

———- = — ■ соз ф(Х) • 5ш 6(г) (86)

¿г 2

Это уравнение обощает хорошо известную теорему площадей Мак Кола и Хана на случай произвольной пространственной фазовой модуляции. Решение его имеет такой вид:

0 (г) = гагОё^-^-ехр

с

- 1 сск ф(г')<&'

(87)

Когда фазовая модуляция отсутствует (ф=0), решение (87) переходит в хорошо известное решение Мак Кола и Хана, дающее на бесконечности импульс площадью 2л: ■ к и имеющий форму гиперболического секанса. В некоторых частных случаях пространственной модуляции можно получить аналитические решения уравнений (87):

2а. Ф(г) = авЦ[1 - (аг)2]'/2/аг| (88)

где а - произвольный параметр. В этом случае получаем:

е(г) = 2агс18|18^-ехр[-айаг2/4]| (89)

т. е. такая фазовая модуляция не препятствует стабилизации площади импульса. Более того, эта стабилизация происходит быстрее, чем при отсутствии фазовой модуляции, т. к. аргумент в (89) уменьшается как ехр(-г2), а в случае Мак Кола и Хана - как ехр(-г).

26. ф)=атс1воа (90)

В этом случай мы получаем:

6(г) = 2агс%

18^ехр[аг + 71 + (<хг)2|

2а

(91)

Здесь стабилизация площади происходит медленнее, чем в решении Мак Кола и Хана.

2в. ф(г)=2агс1£е°х (92)

В этом случае мы получаем:

е(г) = гагс^.и^сЬах)"^

(93)

Из этого решения следует, что при такой фазовой модуляции площадь импульса при любой (ненулевой) начальной площади (0О * 0) никогда не станет нулевой. То есть при такой фазовой модуляции отсутствует порог амплитуды, при котором наступает эффект, СИП, и если амплитуда импульса будет затухать, то фазовая модуляция вида (92) должна приводить к неограниченному увеличению ширины такого импульса.

Таким образом, пространственная фазовая модуляция импульса может существенно влиять на его распространение в резонансной двухуровневой среде.

В третьем параграфе рассмотрено влияние случайной фазовой модуляции импульса на эффект самоиндуцированной прозрачности - получен аналог теоремы площадей Мак Кола и Хана и форма огибающей для такого акустического импульса, распространяющегося в резонансной среде двухуровневых примесных парамагнитных ионов в кубическом кристалле. В предположении, что дисперсия О распределения случайной фазы импульса мала, уравнение для площади импульса будет иметь такой вид:

сЬ 2 I К> 2 е(г) 2 е2(2) )

где ап = лО^НошЫ/ЛрУд - коэффициент резонансного акустического поглощения (044 - константа спин-фононного взаимодействия, Но - напряжённость постоянного магнитного поля, N - концентрация ионов, р - плотность кристалла, скорость звука. В случае й=0 (отсутствия случайной фазы) уравнение (94) переходит в хорошо известное Мак Кол-Хановское уравнение. В диссертации показано, что при г оо , а также при 90 > л

0(г) = 2тип - -5- (95)

4кп

Отсюда можно сделать вывод о том, что для импульса, подверженного случайной фазовой модуляции, эффект самоиндуцированной прозрачности также может иметь место, причём в таком случае в процессе распространения в среде площадь иакого импульса стремиться к несколько меньшему, чем 2л • п значению.

Четвёртый параграф посвящён исследованию влияния стохастической модуляции параметров на формирование в кристалле, содержащем парамагнитные ионы в качестве примеси, акустических волн насыщения, т.е. таких зон, в которых коэффициент резонансного поглощения мало отличен от нуля. Показано, что при распространении резонансной акустической волны в кристалле, содержащем случайно распределённые неонородности, скорость распространения таких волн насыщения обратно пропорциональна дисперсии распределения слуайных неоднородностей.

Глава 6 посвящена изучению параметрических резонансных эффектов в спектрах лазерной искры. Показано, что резонансное взаимодействие атомов исследуемого вещества, выбитых лазерным импульсом из мишени, и флуоресцентным излучением этих атомов приводит к существенным изменениям спектров лазерной искры, которые необходимо учитывать как при количественных измерениях, так и при

изучении физики лазерной плазмы. В первом параграфе исследовано двухимпульсное возбуждение лазерной искры на поверхности воды. Показано, что применение двухимпульсной методики возбуждения лазерной искры на поверхности воды с контролируемым временем задержки между импульсами повышает чувствительность используемой методики спектрального анализа. Более того, при определённых значениях этого времени задержки возможно резонансное увеличение чувствительности. Можно при этом говорить, что наблюдается некоторый параметрический резонанс. Во втором параграфе показано, что теоретические результаты, полученные выше при расчётах формы линии поглощения пробного поля в двухуровневой системе, возбуждаемой сильным полем накачки, могут быть применены для объяснения особенностей спектров лазерной плазмы, получаемой при фокусировке двухимпульсного лазерного излучения на поверхности металла (алюминиевой пластинки). Эти особенности заключаются в появлении в центре двух самых ярких линиях флуоресценции атомарного алюминия (при одновременном облучении мишени импульсом лазера, работающего в режиме свободной генерации, и лазера, работающего в режиме модуляции добротности) провалов, имеющих форму производной от лоренцевского контура и существенно изменяющих форму линии флуоресценции. В диссертации эти изменения линии объясняются в рамках теории резонансного поглощения пробного поля в присутствии сильной резонансной накачки. Как было показано в Главе 3, форма линии поглощения пробного поля в резонансной двухуровневой среде в присутствии сильной резонансной накачки (как монохроматической, так и немонохроматической) изменяется от лоренцевсой формы к её производной. Применение этой теории к проведённым экспериментам основано на предположении о том, что лазерную плазму атомов алюминия можно считать газом двухуровневых атомов, а напряжённость электрического поля во флуоресценции, вызванной импульсом лазера в режиме модуляции добротности, достаточна для того, чтобы это поле можно было считать сильным (например, для однородной ширины линии порядка Ю10 Гц напряжённость поля должна быть порядка 300 В/см). В этом случае роль накачки выполняет флуоресценция атомов алюминия, возбуждаемая гигантским импульсом, а флуоресценция, вызванная импульсом свободной генерации, является слабым пробным полем.

В Заключении кратко перечислены основные результаты, полученные в диссертации.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ. 1.Сушилов Н.В. Стохастический акустический ЭПР. Материалы II Всес.

симпозиума по акустической спектроскопии. Ташкент, ФАН, 1978, с.212-214.

2.Сушилов Н.В. Теория резонансной регистрации шумовых акустических сигналов. В сб.: Квантовые методы исследования океана. Владивосток, изд. ДВНЦ АН СССР,.1979, с. 30-38.

3. Сушилов Н.В. Стохастическое возбуждение резонансов в многоуровневых системах с эквидистантным спектром. В сб.: Прикладные методы физических измерений. Владивосток, изд. ДВНЦ АН СССР, 1981, с. 33-37.

4. Алексеев A.B., Сушилов Н.В. Акустические стохастические резонансы в многоуровневых системах. В сб.: Динамические процессы в океане и атмосфере. Владивосток, изд. ДВНЦ АН СССР, 1981 с. 152-163.

5. Сушилов Н.В. Уширение спектральных линий вследствие потери когерентности. В сб.: Когерентные методы в акустических и оптических измерениях. Владивосток, изд. ДВНЦ АН СССР, 1981, с. 85-87.

6. Алексеев A.B., Сушилов Н.В. Прохождение стохастических импульсов в резонансной среде. Тезисы докладов II Всес. симпозиума по световому эхо. Казань, 1981, с. 13-14.

7. Алексеев A.B., Сушилов Н.В. Прохождение акустических импульсов со случайной фазовой модуляцией через резонансную среду. Тезисы докладов Всес. конференции по прикладной физике. Хабаровск, 1981, с. 47-48.

8. Алексеев A.B., Долгих Г.И., Сушилов Н.В. Поглощение частично когерентного акустического поля многоуровневыми системами. Материалы XI Всес. конференции по акустоэлектронике и квантовой акустике. Душанбе, 1981, с. 278-279.

9. Алексеев A.B., Сушилов Н.В. Прохождение коротких акустических импульсов со случайной фазовой модуляцией через резонансно поглощающую среду. Украинский физический журнал, 1982, т. 27, №10, с. 1562-1568.

10. Алексеев A.B., Сушилов Н.В. Формирование акустических волн насыщения в среде со случайными неоднородностями. ДАН СССР, 1982, т.266, №3, с. 602-605.

11. Алексеев A.B., Сушилов Н.В. Зондирование атмосферы короткими некогерентными импульсами. Тезисы докладов II Всес. съезд океанологов. 1982, вып. 3, с. 54-55.

12. Алексеев A.B., Сушилов Н.В. Двухуровневая спин-система в сильном шумовом акустическом поле. Материалы XII Всес. конференции по

акустоэлектронике и квантовой акустике. Саратов, 1983, ч. 2, с. 40-41.

13. Алексеев A.B., Сушилов Н.В., Холодкевич Е.Д. Динамический эффект Штарка во флуктуирующем акустическом поле. Тезисы докладов Всес. конференции по магнитному резонансу. Казань, 1984, ч.1, с. 70.

14. Alekseev A.V., Sushilov N.V. Nonlinear acoustic resonance. Proceedings of International Conference "Phonon - 85", Budapest, 1985.

15.Алексеев A.B., Сушилов H.B. Двухуровневая система в сильном шумовом поле.

. Тезисы докладов III Всес. симпозиума по световому эхо. Харьков, 1985, с. 13.

16. Алексеев A.B., Сушилов Н.В. Переходные явления в условиях нелинейного акустического резонанса. Там же, с. 14.

17. Алексеев A.B., Сушилов Н.В. Незатухающая нутация в двухуровневой системе. ЖЭТФ, 1985, т. 89, Ш, с. 1951-1956.

18. Алексеев A.B., Зинин Ю.А., Ильичёв В.И., Сушилов Н.В. Инверсия населённосгей в двухуровневой среде под действием слабого полихроматического поля. Тезисы докладов IV Всес. симпозиума по световому эхо. Куйбышев, 1989, с. 11.

19. Алексеев A.B., Зинин Ю.А., Сушилов Н.В. Полихроматическая спектроскопия двухуровневых сред. Там же, с. 12.

20. Алексеев A.B., Зинин Ю.А., Сушилов Н.В. Незатухающая нутация в двухуровневой среде в сильном полихроматическом поле. Там же, с. 13.

21. Алексеев A.B., Зинин Ю.А., Ильичёв В.И., Сушилов Н.В. Создание длиннопериодной слабозатухающей инверсии населённосгей в среде двухуровневых атомой слабым полихроматическим полем. Тезисы докладов

X Всес. конференции по теории атомов и атомных спектров. Томск, 1989, с.88.

22. Алексеев A.B., Зинин Ю.А., Сушилов Н.В. Спектральный состав нутации в двухуровневых атомах, возбуждаемых сильным трихроматическим и слабым зондирующим полем. Там же, с. 89.

23. Букин O.A., Алексеев A.B., Павлов А.Н., Сушилов Н.В., Чепурной В.А. Исследование спектрального состава лазерной искры в воде. Труды X Всес. симпозиума по лазерному и акустическому зондированию атмосферы. Томск, 1989, 4.1, с. 246-250.

24. Alekseev A.V., Davydov A.V, Sushilov N.V., Zinin Yu.A. Weak-probe absorption and dispersion spectra in a two-level system driven by a strong trichromatic field. Journal de Physique (France), 1990, v. 51,№8, p. 723-734.

25. Букин O.A., Павлов A.H., Сушилов H.B., Эдуардов СЛ. Использование

спектроскопии лазерной искры для анализа элементного состава водных сред. Журнал прикладной спектроскопии, 1990, т. 52, №5, с. 736-738.

26. Алексеев А.В., Зинин Ю.А., Ильичёв В.И., Сушилов Н.В. Длиннопериодная слабозатухающая инверсия населённостей в двухуровневой среде в слабом полихроматическом поле. ДАН СССР, 1990, т. 312, №5, с. 1099-1102.

27. Alekseev A.V., Sushilov N.V., Zinin Yu.A. Reception of Polychromatic Acoustic Field. Proceedings of International Workshop on Marine Acoustics, Beijing, 1990, p. 185-188.

28. Алексеев A.B., Зинин Ю.А., Сушилов Н.В. Эффект отрицательного резонансного поглощения в слабом полихроматическом поле. Оптика и спектроскопия, 1990, т. 69, №6, с. 1245-1250.

29. Алексеев А.В., Зинин Ю.А., Сушилов Н.В. Конденсация спектра в слабом поле с модулированной амплитудой. Тезисы докладов Второго Всес. совещания по нелинейным и когерентным эффектам в ВРЛС. Ленинград, 1991, с. 40-41.

30. Визгунов Д.Г., Сушилов Н.В., Холодкевич Е.Д. Осциллчции средней разности населённостей двухуровневой среды в сильном поле с периодически модулированной амплитудой. Там же, с. 42-43.

31. Alekseev A.V., Sushilov N.V., Zinin Yu.A. Spectrum condensation in a weak field with modulated amplitude. Abstracts of invited talks at the IV- th European Conference on Atom and Molecular Physics (ECAMP - 4). Riga, 1992, p. 113.

32. Alekseev A.V., Sushilov N.V. Analytic solution of Bloch and Maxwell-Bloch equations in the case of arbitrary field amplitude and ohase modulation. Phys. Rev. A, 1992, v. 46, №1, p. 351-355.

33. Alekseev A.V., Bukin O.A., Eduardov S.L., Kholodkevich E.D., Sushilov N.V., Zinin Yu.A. Ocean-atmosphere interaction monitoring by laser spark spectroscopy. Proceedings of the second China-Russia Joint Oceanographic Symposium. Dalian, 1992, p. 35.

34. Алексеев A.B., Сушилов Н.В. Двухуровневые атомы в резонанмном поле с произвольной амплитудой и фазой. Труды III семинара по атомной спектроскопии. Москва, 1992, с. 96.

35. Сушилов Н.В., Холодкевич Е.Д. Взаимодействие полихроматического поля с двухуровневой средой в резонаторе. Там же, с. 97.

36. Букин О.А., Зинин Ю.А., Свириденков Э.А., Сушилов Н.В., Эдуардов СЛ. Определение макросостава морской воды методом лазерной искровой

спектроскопии. Оптика океана и атмосферы, 1992, т. 5, №11, с. 1213-1216.

37. Алексеев AB., Зинин Ю.А, Сушилов Н.В. Матричный метод решения уравнений Блоха для возбуждающего поля с произвольной амплитудной и фазовой модуляцией. Оптика атмосферы и океана, 1993, т. 6, №7, с. 839-843.

38. Алексеев A.B., Ильичёв В.И., Сушилов Н.В., Холодкевич Е.Д. Конденсация и декомпенсация спектра бихроматического поля в резонаторе, заполненном

двухуровневой средой. ДАН, 1993, т. 332, №5, с. 568-570.

39. Алексеев A.B., Сушилов Н.В., Холодкевич Е.Д. Преобразование спектра лазерного излучения резонансно поглощающей средой, заполняющей резонатор. Тезисы докладов XXXVI Всероссийской межвузовской научно-технической конференции. Владивосток, 1994, с. 5-7.

40. Алексеев AB., Зинин Ю.А, Сушилов Н.В., Холодкевич Е.Д. Спектр поглощения и дисперсии пробного поля в двухуровневой среде при насыщении её сильным резонансным полем с модулированной амплитудой. Труды IV семинара по атомной спектроскопии. Москва, 1993, с. 22.

41. Сушилов Н.В., Холодкевич Е.Д. Осцилляции средней разности населённостей и поглощение пробного поля в двухуровневой среде в сильном поле с модулированной амплитудой. Оптика атмосферы и океана, 1994, т. 7, №3, с. 331-337.

42. Алексеев AB., Сушилов Н.В., Холодкевич Е.Д. Преобразование спектра внутрирезогаторного поля резонансно поглощающей средой. Квантовая электроника, 1995, т. 21, №5, с. 439-442.

43. Alekseev A.V., Kholodkevich E.D., Sushilov N.V., Zinin Yu.A Effect of the pumping-field amplitude and phase modulation on the wek-probe absorption and dispersion spectra. Phys. Rev. A, 1994, v. 49, №6, p. 4742-4750.

44. Zinin Yu. A, Sushilov N.V. Absorption and dispersion spectra of a polychromatic field in a two-level medium driven by a strong polychromatic pumping field. Phys. Rev. A, 1995, v. 51, №5, p. 3916-3922.

45. Сушилов H.В., Холодкевич Е.Д. Параметрические резонансы в спектре поглощения амплитудно-модулированного пробного поля двухуровневым атомом в поле резонансной амплитудно-фазово-модулированной накачки. Оптика и спектроскопия, 1995, т. 78, №4, с. 544-550.

46. Букин O.A., Майор А.Ю., Сушилов Н.В. Влияние эффекта поглощения пробного поля на форму интенсивных линий флуоресценции атомарного алюминия в лазерной плазме. Препринт ТОЙ ДВО РАН, 1995, с. 1-8.