Робастное обращение динамических систем

Ильин, Александр Владимирович

Робастное обращение динамических систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Ильин, Александр Владимирович АВТОР

доктора физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2009 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Робастное обращение динамических систем»

Автореферат диссертации на тему "Робастное обращение динамических систем"

Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова факультет Вычислительной математики и кибернетики

На правах рукописи

003478063

ИЛЬИН Александр Владимирович

Робастное обращение динамических систем

01.01.02 - Дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ -10 КТ 2099

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 2009

003478063

Работа выполнена в на кафедре нелинейных динамических систем и процессов управления Факультета ВМК МГУ имени М.В. Ломоносова.

Научный консультант:

доктор технических наук,

академик РАН, профессор Коровин Сергей Константинович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

Арутюнов Арам Владимирович

Васильев Фёдор Павлович

Елкин Владимир Иванович

Ведущая организация:

Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша

Защита состоится « » _2009 г. в -45_~часов на заседании дис-

сертационного совета Д.501.001.43 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова, расположенном по адресу: 119991, Российская Федерация, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, Факультет ВМК МГУ имени М.В. Ломоносова, аудитория 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Факультета ВМК МГУ имени М.В. Ломоносова.

Автореферат разослан «_»_ 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук,

профессор З-ъЖ"f/j Захаров Евгений Владимирович

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Предлагаемая диссертация посвящена одной из классических задач теории управления, а именно задаче обращения (инвертирования) динамических систем, т.е. задаче восстановления (оценивания) неизвестного входа динамической системы по ее измеряемому выходу.

Важность задачи обращения динамических систем обусловлена тем фактом, что она находит применение при решении практических задач, таких, например, как идентификация сигналов и параметров систем, управления в условиях неопределенности, построения измерительных систем для сложных динамических процессов, при планировании траекторий в робототехнике и т.д.

Задача обращения динамических систем (под тем или иным названием, в частности, как задача оценивании сигналов или обратная задача динамики) имеет значительную предысторию. Еще в 60-ые годы прошлого века появились работы (Silverman), где рассматривалась принципиальная разрешимость задачи обращения динамических систем. Позднее основное внимание исследователей сосредоточилось на поиске практически реализуемых алгоритмов обращения. При этом можно выделить два класса задач обращения. Первый класс - это расчетные задачи, т.е. задачи восстановления неизвестного входа в случае, когда известны измерения выхода на всем интервале времени (как правило, в этом случае речь идет о конечном временном интервале). Такие задачи возникают в геологии, томографии и т.д.

деленности, как то к погрешности измерения выхода системы, различным классам параметрических возмущений, неидеальностям в работе элементов системы обращения (например, релейных элементов) и т.д.

Именно о таких, робастных алгоритмах обращения, решающих задачу для линейных и нелинейных конечномерных систем в режиме реального времени, и идет речь в данной диссертации.

Существуют различные подходы к решению. Алгоритмы обращения, предложенные в первых работах Silverman (1969), Singh и Massey (1969), Willsky (1974), не были пригодны для решения задачи в режиме реального времени. Позднее появились более практичные алгоритмы (например, в работах Ю.С. Осипова и A.B. Кряжимского (1983), D. Chen (1993)), которые могут быть использованы для работы в режиме on-line.

Алгоритмы Ю.С. Осипова и A.B. Кряжимского основаны на дискретизации системы и построении кусочно-постоянной аппроксимации неизвестного входного сигнала. Описанные в литературе алгоритмы этого типа применимы лишь для систем с полностью определенной динамикой (допускается только погрешность измерений выхода) и требуют информацию о полном фазовом векторе системы.

Ситуация качественно меняется, если рассматривается задача обращения по выходу с неточно известной динамикой объекта. В этом случае многие известные алгоритмы не применимы, либо требуют серьезных изменений.

В предлагаемой диссертации рассматриваются алгоритмы обращения систем, основная идея которых заключается в сведении задачи обращения к задаче стабилизации неопределенных систем по выходу, что позволяет использовать при решении весь арсенал алгоритмов стабилизации. Такой подход позволил получить робастные алгоритмы обращения.

Для прояснения основной идеи рассмотрим следующую неформальную постановку задачи обращения линейной динамической системы. Пусть задан

линейный дифференциальный оператор Р, отображающий входные функции £(i) в выходные w(t), т.е.

w(t) = Р№-

Требуется по измерениям выхода сформировать текущую оценку £(i) входного сигнала. Алгоритм формирования оценки назовем алгоритмом обращения (инвертирования), а динамическую систему, формирующую такую оценку -инвертором.

Основная проблема заключается в том, что обратный оператор Р~г физически нереализуем, поэтому для решения задачи надлежит построить его физически реализуемую аппроксимацию Р такую, что функцию

f = pw(t) = PP£(t)

можно принять за оценку неизвестного входного сигнала.

Один из способов построения такой аппроксимации основан на использовании управляемой модели исходной системы:

w(t) = Pu{t),

в которой управление u(t) выбирается из условия обнуления разницы между выходом системы и модели y(t) = w(t) - w(t). Если ошибка y(t) = 0, то

Р(и- 0 = 0,

и, значит, с точностью до функции £o(i) из ядра оператора Р имеет место равенство

Из этих простых соображений следует, в частности, необходимое условие обратимости системы: ядро оператора должно содержать только функции £о(t) —> 0 при t —> оо (эти условия получены еще в первых работах (Silverman)).

В частности, для линейных динамических систем это условие эквивалентно минимальной фазовости системы. В этом случае в качестве оценки входа ^(i) может быть взята функция u(t), т.е.

При этом свойства алгоритма обращения определяются свойствами операт< pa Р и видом стабилизирующего управления u(t).

Разумеется, это лишь самое общее представление о схеме решения зад; чи. На самом деле проблема сложнее, в частности, стабилизирующее управл( ние u(t) и функция £(i) могут принадлежать к различным классам (например u(t) кусочно постоянная, разрывная функция, a £(i) непрерывная или непр< рывно дифференцируемая). В этом случае требуется дополнительное npeof разование (фильтр) F этого управления u(t) с тем, чтобы результат этого преобразования можно было принять за приемлемое приближение функции т.е.

i(t) = F(u(t)).

Подобный подход уже описывался в литературе (см. работы R.M. Hirschc (1979), W. Respondek (1988), L.R. Hunt и G. Meyr (1997)), причем особенность применяемого метода определялась выбором модели системы и типом ст. билизирующего управления: так, в работе Silverman (1969) использовалась точная непрерывная модель, а закон управления состоял из двух компонент: обратной связи по состоянию и прямой связи по многократным пpoизвo^ ным выхода. Ясно, что такой алгоритм обращения нереализуем точно и не является робастным. В работах Ю.С. Осипова и А.В. Кряжимского использ( валась дискретная модель системы и кусочно-постоянная стабилизирующая обратная связь, которая при определенных условиях и при устремлении ш; га дискретизации к нулю аппроксимирует неизвестный вход. Однако, в силу специфики этого метода отвергаются разрывные законы управления, которые

часто наделяют систему повышенной устойчивостью по отношению к вариациям параметров задачи и различным факторам неопределенности. Именно поэтому в данной работе широко используются разрывные управления в задачах робастного обращения.

Цель диссертационной работы. Целью работы является разработка теории алгоритмов робастного обращения для различных классов динамических систем.

Вначале рассматривается класс SISO1 систем. В этом базовом случае детально исследована обратимость систем, предложены различные варианты алгоритмов обращения, изучена зависимость свойств алгоритмов обращения от типов обращаемых систем, установлена устойчивость алгоритмов по отношению к некоторым классам факторов неопределенности.

Развитая теория обращения распространяется на многосвязные MIMO2 системы. Для многосвязных систем ряд характеристик, играющих важную роль при решении обратных задач, (в частности, нулевая динамика, относительный порядок и т.д.) неоднозначны и нуждаются в дополнительном уточнении. Поэтому в работе приведены уточнения этих понятий для многосвязных систем и получены удобные канонические представления таких систем.

В работе решается также задача о выборе минимального инвертора, т.е. динамической системы минимальной размерности, формирующей оценку £ неизвестного входа.

Результаты для линейных систем распространяются на некоторые классы нелинейных динамических систем, получены достаточные условия, налагаемые на нелинейную систему, при которых возможно робастное инвертирование.

1 SISO - Single Input Single Output (системы с одним входом и одним выходом).

2 MIMO - Multi Input Multi Output (системы с векторным неизвестным входом и векторным измеряемым выходом).

Методы исследования. В работе использованы методы математической теории управления, теории обыкновенных дифференциальных уравнений, теории устойчивости движения, матричный анализ.

Научная новизна. В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Теория робастных инверторов для линейных скалярных и для векторных систем. Предложены алгоритмы инвертирования с использованием глубокой обратной связи, разрывных законов управления, а также стабилизацией по полному фазовому вектору или по выходу с использованием асимптотических наблюдателей.

2. Для векторных систем даны корректные определения определения нулевой динамики и относительного порядка.

3. Указаны способы преобразования векторных систем к различным каноническим формам, в том числе с явным выделением нулевой динамики и удобных для решения задач обращения. Разработаны методы вычисления размерности нулевой динамики. Предложены алгоритмы вычисления спектра матрицы, определяющей нулевую динамику.

4. Теория минимального инвертора для динамических систем. Теория основана на приведении систем к специальным каноническим видам (с выделением нулевой динамики) и теории функциональных наблюдателей.

5. Для некоторых классов нелинейных систем разработаны робастные алгоритмы обращения, с оценками качества работы алгоритмов, характерными для линейных систем.

Практическая значимость. Предложенные в работе алгоритмы ро-бастного обращения, в том числе минимального порядка, имеют не только теоретическую, но и практическую значимость и, в частности, могут использоваться для решения задач планирования траекторий, идентификации и измерения в условиях неопределенности и др.

Апробация работы. Основные результаты работы и отдельные её части докладывались: на научных семинарах кафедры нелинейных динамических систем и процессов управления факультета Вычислительной математики и кибернетики МГУ имени М.В. Ломоносова; на научном семинаре "Нелинейная динамика: качественный анализ и управление" под руководством академиков РАН C.B. Емельянова и С.К. Коровина; на Международной конференции по управлению «Автоматика 2001», Одесса, 2001 г.; на научной школе-конференции "Мобильные роботы и мехатронные системы" (Москва, МГУ, Институт механики имени Е.А. Девянина) 2004 г.; на Симпозиуме IFAC по Обобщенным решениям в задачах управления (GSCP-2004); на Первой Международной конференции "Системный анализ и информационные технологии" САИТ-2005 (12-16 сентября 2005 г., г. Переславль); на Второй Международной конференции "Системный анализ и информационные технологии" САИТ-2007 (10-14 сентября 2007 г. Обнинск, Россия); на семинаре в Международном Институте прикладного системного анализа (IIASA, Austria Laxenburg) 2007 г.; на семинарах в университете Лафборо (Великобритания) 2007 г.; на Ломоносовских чтениях в Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова, Москва, 2004-2008 г.г.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 25 работах, из них 22 работы - в ведущих математических журналах (Доклады РАН, Дифференциальные уравнения) и рецензируемых сборниках. Список основных публикаций помещен в конце автореферата.

Лично автором получены следующие результаты:

1. Методы робастного обращения линейных стационарных систем.

2. Для векторных систем корректно введены понятия нулевой динамики и относительного порядка, играющие важную роль при решении задач обращения.

3. Методы обращения векторных динамических систем.

4. Методы обращения динамических систем при известной волновой модели оцениваемого сигнала.

5. Методы синтеза инвертора минимального порядка.

6. Методы обращения управляемых динамических систем.

7. Методы обращения некоторых классов нелинейных систем.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и четырех глав. Главы разбиты на параграфы, параграфы на пункты. Нумерация утверждений, теорем, лемм, замечаний, примеров и формул - двойная, сквозная по каждой главе. В конце приведена библиография из 111 наименований, вначале в алфавитном порядке перечислены работы на кириллице, затем в алфавитном порядке - работы на латинице.

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, приведены основные понятия, общие постановки задач, дан краткий обзор состояния области исследований в настоящее время.

В первой главе рассматриваются системы со скалярным неизвестным входным сигналом и скалярным известным выходным (так называемая SISO система). Для таких систем приводятся алгоритмы инвертирования с использованием глубокой обратной связи и разрывного управления. Рассматриваются различные возмущения, действующие на систему, приводятся характерные оценки погрешности инвертирования для каждого типа возмущения.

Рассматривается скалярная стационарная линейная динамическая система вида

w = cz,

где z(t) G R", £(t), w(t) 6 К, t £ [0, оо), А, Ь, с - матрица и векторы с постоянными вещественными коэффициентами соответствующих размерностей. Необходимо по известному выходу w(t) построить оценку неизвестного входного сигнала £(i). Считается, что для системы (1.1) выполнены следующие предположения:

Предположение 1. (П.1.) Пара {Л, 6} - управляема, пара {с, А} -наблюдаема.

Предположение 2. (П.2.) Передаточная функция системы (1.1) имеет вид:

W(s) = c(sE - A)~*b = Ц4.

OLn (S)

где /3m(s), an(s) - взаимнопростые полиномы от s степеней тип соответственно, п> т. Для Aj таких что, /Зт(А¡) = 0, выполнено условие:

Re(Xi) < -7 < 0, г = 1,...,т.

Предположение 3. (П.З.) Относительный порядок системы (1.1) равен 1, т.е. г ~ п — тп — 1.

Потребуем так же, чтобы неизвестный входной сигнал £(£) удовлетворял условию: £ 6 П1 = {£(4): £ € С[0,оо), < Ш < е1}, т.е. £(4) -непрерывная ограниченная вместе о своей производной функция с известными мажорантами и

3 Относительным порядком системы (1.1) называют число г, такое что выполнены условия: сЬ = О,

сАЬ = 0.....сАг~Ч = 0, сАг_1Ь ф 0. При этом все производные выхода и: = сг в силу системы до порядка

(г - 1) не зависят от £ явно, а г-ая производная зависит от $ явно, т.е. м<г> = сАГг + сАг_1Ь£. Легко показать, что г — п — тп.

Алгоритм инвертирования с разрывной обратной связью. Для решения задачи обращения используем управляемую модель

г — Аг + Ъи,

(1.2)

гй = сг,

где управление и(£) направим на стабилизацию в нуле системы в отклонениях:

х = Ах + Ыи - £),

(1.3)

У = сх,

где у = й — ги - известный выход системы (1.3).

В соответствии с П.З. система (1.3) приводится к виду

х' = А!х' + Ъ'у,

1.4)

у = А"х' + Ъ"у + (и-£). Спектр матрицы А совпадает с корнями полинома числителя передаточной функции /Зп_х(5), и, следовательно, в силу сделанных выше предположений, целиком лежит в С_. Наблюдатель для системы можно взять в виде

5> = Ах' + Ъ'у, 5'(0) = 0. (1.5)

Для стабилизации системы (1.4) в нуле используем разрывную обратную связь по оценкам состояния

и = -А'х' - (Ъ" + а)у - ^п(г/) (1.6)

с некоторыми константами а, .Р > 0.

Так как управление и{£) разрывно, в качестве непрерывной оценки неизвестного сигнала £(£) используется скользящее среднее4

т = ит® = ^ |(т)йг, (1.7)

«-Г

4 Впредь любая функция / с нижним индексом Т обозначает операцию фильтрации как в (1.7).

где Т - интервал усреднения. Имеет место основная теорема:

Теорема 1.1. Пустъ для инвертируемой системы (1.1) выполнены П.1 -П.З, £ е П1. Тогда для любого числа е > 0 существует такое Т > 0, что для начиная с некоторого момента времени > Т, справедлива оценка

т-№\<е-

Неидеальности в релейном элементе. В реальных системах релейные элементы реализуются с неидеальностями в переключениях пространственного или временного типа. Реальный скользящий режим характеризуется неравенством \у\ < А, где величина Д зависит от неидеальностей релейного элемента, таких, например, как гистерезис, мертвая зона или запаздывание.

При наличии запаздывания в переключениях, вместо (1.6) используется управление

и = щ + и2; щ = -А":г - Ь"у\ и2 = -ау - Fsga.т{y), (1.8)

здесь, как и ранее, а > О, Р = + Л, а sgnт(í/) = sgn(^/(í — т)). Имеет место

Следствие 1.1. Пусть выполнены все предположения Теоремы 1.1 и управление задано в виде (1.8). Тогда для любого числа е > 0 существуют такие числа Т, а > 0, что для функции скользящего среднего £(£) = {ь,2{Ь))т, начиная с некоторого момента времени, справедливо неравенство

I? ■- < " + + К*«. (1.9)

Выбирая Т достаточно малым, а а - достаточно большим можно, начиная с некоторого момента времени, сделать последнее выражение в (1.9) сколь угодно малым.

Аналогичные результаты установлены и для случаев, когда релейный элемент содержит неидеальности типа гистерезиса или мертвой зоны. Для этих случаев верно

Следствие 1.2. Пусть выполнены условия Теоремы 1.1. Тогда для любого е > 0 существуют такие Т, а > 0, что для £ = (и2)т при щ, реализуемом с неидеалъностями типа гистерезиса или мертвой зоны, будет справедлива оценка

II-el < е.

О влиянии ошибок измерения выхода на точность инвертирования.

Исследуется вопрос о работоспособности алгоритма обращения при измерении выходного сигнала системы (1.1) с погрешностью. Пусть вместо идеального выхода w(t) известен сигнал

w(t) = w(t)-g{t),

где g(t) - ошибка измерения, удовлетворяющая оценке

\g{t)\ < G, t 6 [0, оо)

с известной мажорантой G > 0. Теперь вместо идеального выхода y(t) известен выход y(t) = y(t) + g(t).

Наблюдатель (1.5) теперь работает по реальным измерениям и описывается уравнением

i = Ах' + Ь'у.

Используем, как и ранее, управление вида (1.6) с естественными изменениями: у —* у.

U = Ul+U2,

< щ = -А"х - Ь"у, (1.10)

и2 = -ay - Fsgn(y). Для рассматриваемого алгоритма инвертирования справедлива

Теорема 1,2. Пусть для системы (1.1) выполнены П.1-П.З. Пусть кроме того, £ е П1, а выходной сигнал измеряется с ошибкой д(£) : [<7(^)| < С, т.е. й = и) + д. Тогда для функции £ = (и2)т, начиная с некоторого момента времени, справедлива оценка

■ |к<) - т < к*-*+^+к2с+Щ., (1.П)

где К\, К2>0- константы, К2 зависит только от параметров системы (1.1). При Т ~ \/<5 погрешность — ~ у/а.

Зависимость процедуры инвертирования от вариации параметров системы. Вместо системы (1.1) рассматривается система с возмущением параметров:

г - (А + АА)х + , , ч

У (1.12) из — сг,

где А А 6 Кпхп - неизвестная матрица с постоянными коэффициентами. Считаем, что для системы (1.12) выполнены П.1-П.З. Кроме того, пусть норма матрицы АА удовлетворяет ограничению

\АА\ < 6 (1.13)

с известной константой 5 > 0. Если, кроме того,

Де(А0 < -г] < 0, Аг е Брес(А + ДА), г = 1,...,п, (1.14)

тогда данную задачу обращения решает описанный выше алгоритм, формирующий оценку £(<) = ит(Ь). Доказана

Теорема 1.3. Пусть для системы (1.12) выполнены П.1 - П.З, £ е П1. Пусть так же матрица А А удовлетворяет условиям (1.13), (1-Ц)- Тогда для любого £ > 0 существуют константы Т > 0 и Р > 0 такие, что для

£ = ит(£) при управлении (1.6), начиная с некоторого момента времени, справедлива оценка

где К\, Кч, К3 = const > О, K¡ - зависят только от параметров системы

Таким образом, наличие в исходной системе параметрической неопределенности приводит к статической ошибке, которая не может быть уменьшена, причем порядок этой погрешности определяется порядком параметрической неопределенности ДА

В первой главе также рассмотрены алгоритмы обращения для систем с известной волновой моделью, систем с неустойчивой нулевой динамикой и алгоритмы обращения управляемых систем.

Вторая глава посвящена обращению многосвязных (MIMO) систем, особенность данного рассмотрения связана с необходимостью использования подходящего определения некоторых характеристик системы, в частности, нулевой динамики, относительного порядка. Опишем предлагаемые определения.

Рассматривается стандартная управляемая и наблюдаемая стационарная линейная динамическая система общего положения

где х £ Ж" — фазовый вектор системы, и € Кт и у е Ж' - известные управление и выход системы, А, В и С - постоянные вещественные матрицы соответствующих размерностей.

Традиционно под нулевой динамикой а системы (2.1) понимается дви-

|f(í) - É(i) I < Kxe-V + Иге'* + K3S + £,

(1.15)

(1.12).

(2.1)

жение в системе (2.1), целиком принадлежащее многообразию

у = Сх = 0.

При исследовании нулевой динамики выделяются следующие взаимосвязанные задачи.

Задача 1: Найти уравнения нулевой динамики, т.е. систему дифференциальных уравнений, описывающую движение системы по многообразию у = Сх = 0.

Для линейной стационарной системы (2.1) нулевая динамика также описывается системой линейных стационарных уравнений. Устойчивость нулевой динамики играет принципиальную роль при решении многих задач, поэтому возникает

Задача 2. Вычислить спектр нулевой динамики, т.е. спектр матрицы, определяющей нулевую динамику, а также изучить возможности назначения этого спектра по произволу.

В приложениях часто возникает

Задача 3. Определить размерность нулевой динамики, т.е. порядок системы уравнений, описывающих нулевую динамику.

Для скалярных системы известен полный ответ на все поставленные выше вопросы. В работе эти задачи решены для векторных систем общего положения при условии, что I > т. При решении задачи 2 важная роль отводится инвариантным нулям матрицы Розенброка

- значениям комплексной переменной в, при которых понижается ранг Л(в). При I > т число й* инвариантный нуль системы (2.1), если

5/ - А -В

, Я(з) £ (2.2)

Д(*) =

С о

гапкД(з*) < (п + т). 17

(2.3)

Для квадратной системы (т.е. при I = т) характеристический полином нулевой динамики совпадает с определителем матрицы Розенброка

а инвариантные нули определяют спектр нулевой динамики (здесь -числитель передаточной функции от г-го входа к выходу).

Для гипервыходной системы (2.1) (т.е. при I > т) характеристический полином нулевой динамики вычисляется по следующей схеме. Рассматриваются всевозможные квадратные подсистемы размера то х то:

{х = Ах + Ви,

где С{1)...1{т - матрицы, образованные из то различных строк исходной матрицы С (с номерами ¿1,..., гт). Всего существует С™ таких систем. Для каждой из них определен характеристический полином /?гь...,гт нулевой динамики по выходу ук.....¿т:

Аъ-Л» = ¿^Ъи-М = <*<Л

где Щ1.....¡„(в) всевозможные миноры максимальной размерности тхт матрицы Розенброка Я(в) исходной системы. Характеристический полином нулевой динамики /3(я) исходной системы (2.1) по полному выходу у является наибольшим общим делителем полиномов ¡3^.....¿„(я), т.е.

/3(5) = НОД(Д1.....1т(5)). (2.5)

Как правило, у нескольких полиномов нет общих корней, а, следовательно, в общем случае при I > то нулевая динамика системы отсутствует (т.е. deg/3(s) = 0 и Зрес(сг) = 0). В случае квадратной системы (/ = т), однако доказано

й1-А -В

Утверждение 2.1. Для квадратных систем общего положения старший коэффициент характеристического полинома нулевой динамики равен det(CB).

Следовательно, нулевая динамика квадратной системы имеет максимальную размерность (п — т) тогда и только тогда, когда det(CB) ф 0.

В общем случае задачу о нахождении размерности нулевой динамики векторной системы решает следующая процедура. Введем следующие обозначения: а £ К1хп -г-ая строка матрицы С (г = 1,... ,п); £ Е"*1 - _?'-ый столбец матрицы В (] — I,... ,т), т.е.

,В = (Ьи--.,Ьт).

( \

С =

К0™

С учетом этих обозначений определим их т матрицу

(

Н(ги...,гт) =

с2АГ*-1Ъ1 с2АГ>-1Ь2

С^-Чт \

с2А^~Чт

(2.6)

стЛГ'»-1Ь1 стАГт~1Ь2 ... СгпА^-Х

Так как Уi = с^х -г-ая компонента выхода системы, то г-ая строка матрицы Я равна с^АГ{~1В и является строкой коэффициентов при управлениях (щ,... ,ит), с которыми они входят в выражение для 7уой производной по времени от ¡/¡.

Заметим, что в скалярном случае Н(г) = САТ~ХВ, и если г* ~ относительный порядок системы, то Н(г) = 0 для всех г < г*, Н(г*) ф 0. Таким образом, в скалярном случае относительным порядком системы является наименьшее число г*, при котором Н(г) не вырождена, т.е. не равна нулю.

В векторном случае ситуация сложнее. Относительный порядок системы в этом случае не определен однозначно. Так, известно следующее

Определение 2.1. (Исидори). Вектор г = ... ,гт) определяет относительный порядок векторной системы, если выполнены следующие условия:

1) (HB = 0, ciAB = 0, ..., CiAri~2B = О, CiATi~xB ф 0, для каждого i = l,...,m.

f ciAri~lB ^

2) det ; = det H(r) ф 0.

^ CmA^B f

Приведены примеры, устанавливающие несовместность условий 1) и 2). Следовательно, для векторной системы общего положения относительный порядок в смысле Исидори определен не всегда.

Менее ограничительное определение относительного порядка дано в работе и оно основано на отказе от одного из условий в определении Исидори, именно от условия 1).

Определим функцию f(r) = /(ri,..., гт) для г, > 0 следующими соотношениями:

f(n, ...,rm) = det H{rh ...,гт), г; > 0, г = 1,..., т. (2.7)

/0"1,..., rm) = 0, если 3 п = 0.

По аналогии со скалярным случаем, потребуем, чтобы вектор г = (п, ..., гт) - относительный порядок системы (2.1), удовлетворял условию

/(r) = /(r1,...,rm)^0, (2.8)

а кроме того, уменьшение любой из координат тч ведет к обнулению функции /(г). Это означает, что для любого набора г' = (ri,..., г'т) такого, что г- < следует, что

f(r') = f(r'v...,r'm) = Q, г' < г. (2.9)

Под длиной вектора г — (ri,..., тт) понимается |г| — ri + ... -f тт. Это позволяет дать

Определение 2.2. Вектор г наименьший длины среди всех векторов, удовлетворяющих условиям (2.8)-(2.9), называется относительным порядком векторной системы.

Следует отметить, что относительный порядок в смысле Определения 2.2 находится не однозначно, т.е. для системы общего положения могут существовать два различных вектора г' и г" одинаковой минимальной длины, удовлетворяющие условиям (2.8)-(2.9). Это, однако, не влияет на решение рассматриваемой задачи обращения.

Данное определение относительного порядка позволяет перейти к вычислению порядка нулевой динамики, хотя связь между этими характеристиками очень сложная, тем не менее доказано

Утверждение 2.2. Обозначим Д- = ¡(г), г = 0, 1,.... Тогда размер-

\г\=т+1

ностъ нулевой динамики системы общего положения (2.1) равна {п—т—г*), где г*- номер первого отличного от нуля коэффициента При этом первый отличный от нуля коэффициент характеристического полинома имеет вид

/2п-т+1-г* — А*-

В работе приведены несколько канонических представлений для систем общего положения, в частности, каноническое представление с выделением нулевой динамики системы. Доказана

Теорема 2.1. Пусть линейная стационарная квадратная система (2.1) находится в общем положении, для нее определен вектор г — (гх,... ,г;) относительного порядка по Исидори. Тогда невырожденным преобразованием

система приводится к виду

х' = Апх' + Аиу; у1 = У1+1> * = 1....Г1-1; у1 = у2г+ъ ¿ = 1,...г2-1;

у1 = У\+ъ г = 1,... п — 1;

= А21Х' + ^А22Ш + Н(г)и,

(2.10)

г=г

\У\)

который является каноническим представлением системы с выделением нулевой динамики.

Далее во второй главе рассмотрена в качестве начальной задача обращения системы с векторным входом по полному фазовому вектору. Описаны подходы к решению задачи обращения, указаны методы формирования оценок входных сигналов, базирующиеся на разработанных алгоритмах обращения БКО-систем.

В заключительной части Главы 2 излагаются методы обращения векторных систем по выходу. Главное отличие этих методов обращения от методов обращения по фазовому вектору состоит в использовании наблюдателей состояния.

В Главах 1 и 2 основное внимание уделено принципиальной возможности инвертирования в тех или иных условиях. При этом для решения задачи в качестве инвертора рассматривалась модель динамической системы с каким-либо стабилизирующим управлением; более того, при таком управлении, как правило, используется дополнительная динамическая система -наблюдатель состояния. Таким образом размерность инвертора совпадает с размерностью исходной системы, либо превышает ее.

При решении практических задач могут возникать ограничения на сложность инверторов, поэтому в третьей главе рассмотрена задача о возможном понижении порядка инвертора, а также задача о синтезе инвертора минимального порядка.

Рассмотрена линейная стационарная система общего положения

(31)

ю — Сг,

по измерениям выхода и]({) которой требуется построить оценку £(£). Наиболее прост случай, когда известен фазовый вектор системы (3.1), т.е. ги = г (при этом I = п, С — 1п) и £(£) 6 Ж, т.е. т = 1.

В Главе 1 для решения задачи обращения использовалась управляемую модель системы, при этом порядок инвертора совпадал с порядком исходной системы и равнялся п. Однако при указанных выше условиях существует инвертор первого порядка, для синтеза которого выбирается скалярный функционал от фазового вектора а = где Р1 €Е Е1хп - постоянная матрица, выбираемая из условия РВ — 1. Тогда система приводится к канонической форме с выделением нулевой динамики:

¿' = Лпг' + Л12а, (з2)

а = А2^ + А22а + £(£).

Для решения задачи обращения использована управляемая модель только для последнего уравнения системы (3.2), т.е.

а = А2Хг' + А22а 4- и(*), (3.3)

где управление и(£) выбирается из условия стабилизации в нуле системы в отклонениях относительно ошибки е(£) = а(Ь) — <т(£), а именно

ё = и(г)-№- (3-4)

Стабилизирующее управление выбирается в виде

и(4) = -ае(г) -

(3.5)

Если, как и ранее, £(£) € П1, то при

а > О, К>£

(3.6)

ошибка наблюдения е(£) за конечное время стабилизируется в нуле. При этом, как и в Главе 1, в качестве непрерывной оценки для £(£) можно использовать скользящее среднее управления и(4) из (3.5):

Имеет место

Теорема 3.1. Пусть скалярная система (3.1) управляема, известен полный фазовый вектор системы г^), неизвестный вход системы £(£) е П1. Тогда для построения оценки £ можно использовать инвертор первого порядка (3.3), (3.5), (3.7), который дает оценку для £(£) с любой наперед заданной точностью при соответствующем выборе параметров управления (3.5) и фильтра (3.7).

Для инвертора (3.3), (3.5), (3.7) справедливы все замечания относительно влияния различных неидеальностей на его работу.

Аналогичный результат имеет место и в случае векторного входа £(£) е Ет. При известном фазовом векторе задача обращения решается с помощью инвертора порядка т < п, т.е. того же порядка, что и неизвестный сигнал £(£).

Ситуация усложняется, если известен только измеряемый выход системы (3.1) и>(£) £ Е'. Если система (3.1) находится в общем положении, 1>т и для нее выполнено условие полноты ранга С В, то возможно приведение системы

г-т

(3.7)

(3.1) к каноническому виду с выделением нулевой динамики относительно заданного выхода w(t). Сложность заключается в том, что в уравнение для w(t), т.е. в уравнение

w(t) = A2iz' + A22w + СВф)

входит неизвестный функционал а = A21Z' G R', а, следовательно, стабилизирующее управление вида (3.5) использоваться не может.

Для модификации управлений вида (3.5) необходимо сформировать оценку, например асимптотическую, функционала а = A2\z'. Наблюдатели, которые формируют оценку заданного функционала от фазового вектора системы называются функциональными наблюдателями. Для понижения порядка инвертора следует понизить порядок функционального наблюдателя. В Главе 3 приведены результаты по теории построения функциональных наблюдателей пониженного (либо минимального) порядка. При этом различаются два основных случая: квадратные системы (когда размерность выхода w(t) и входа £(i) совпадают, т.е. I = т) и гипервыходные системы (когда I > т).

Доказано, что для квадратных систем невозможно понизить порядок инвертора.

Для гипервыходных систем ситуация иная. Существует нетривиальная теория, изложенная в [6]-[8]. При этом рассмотрены две задачи:

а) о построении функционального наблюдателя с каким-либо заданным спектром, и в этом случае получены необходимые и достаточные условия существования наблюдателя заданного порядка;

б) о построении минимального функционального наблюдателя с наперед заданными динамическими свойствами. При решении задачи обращения более важны методы решения второй постановки задачи.

Опираясь на изложенную теорию функциональных наблюдателей минимального порядка, предложена схема синтеза минимального инвертора.

Итак, пусть задана система

i = Az + Si- (3.8)

w-Cz,

где z(t) е R", £(i) еГ.ше Rl, I > т.

Пусть rank С В = rank В = т, а выход разбивается на две части w1 = C\z G Rm и w2 = C2z £ Ri_m, det(CiB) ф 0. Тогда система приводится к виду:

z1 = Auz1 + A12w1, w = Czl, w^A^ + AW + iCB)^ где само преобразование подробно описано.

Для первой подсистемы (3.9), т.е. для системы

w = Cz1,

пара {С, Лц} наблюдаема, если у исходной системы (3.8) нет инвариантных нулей (что верно почти для всех систем при I > т). Для этой системы может быть построен наблюдатель для функционала

а = А21гг е Rm. (3.11)

При этом размерность выхода w системы (3.11) равна 1—т, размерность самой системы п — тп.

Известно, что если задана наблюдаемая система с ¿-мерным выходом, то р-мерный функционал может быть восстановлен наблюдателем порядка

min (p,i)

Ф)= Е fa-1). ¿=1

где Pi - упорядоченные по невозрастанию индексы Кронекера системы.

В работе методом скалярных наблюдателей показано, что эта оценка почти всегда может быть улучшена. Доказаны основные утверждения:

Лемма 3.1. Пусть динамическая система общего положения порядка п с I выходами приведена к каноническому виду Люенбергера; щ > щ > . ■ ■ > VI - упорядоченные по невозрастанию индексы Кронекера. Пусть

**(р) = £ай

¿=1

где к{ определены следующим образом:

h = vl- 1,

"¿-1 " у

{ч-1)- 3=1 ; 0

где [•] - целая часть числа. Тогда при любом р имеет место оценка

min{p,i}

k*(p) < k(p) = £ <Mi - !)• ¿=i

Теорема 3.2. Пусть динамическая система общего положения порядка п с I выходами приведена к канонической форме Люенбергера, щ > > ... > щ - упорядоченные по невозрастанию индексы Кронекера.

Тогда для почти всех матриц F £ Rpxn для функционала а = Fx Е IF для любого устойчивого вещественного и различного спектра А = {Aj., .. А*;«} найдется сколь угодно близкий к нему устойчивый, вещественный и различный спектр А' такой, что для функционала а можно построить наблюдатель порядка к*(р) со спектром А' .

Для функционала (3.11) может быть построен наблюдатель размерности к*(т) (либо к(т)).

Если l — rn = 1, то к* = к = п—т — 1, т.е. размерность функционального наблюдателя (с заданным спектром) совпадает с порядком наблюдателя Лю-

енбергера (понижение порядка возможно только за счет специального выбора спектра и не всегда).

Если (I - m) > 1, a m > (I - m) (т.е. I < 2т), то к = (п-т) - (1-т) = п — 1- также совпадает с размерностью наблюдателя Люенбергера исходной системы. При этом К* может оказаться меньше К.

Если же / - m > 1, m < / - тп, то и к и к* строго меньше п — 1, т.е. восстановление a(t) возможно наблюдателем (с произвольно заданным спектром), порядок которого строго меньше порядка наблюдателя Люенбергера.

После построения асимптотической оценки â(t) для а = Ацг1 используем управляемую модель порядка m:

èl = â(t) + A22W1 + {CiB)u. (3.12)

Выбор управления и G Mm и методы сглаживания u{t) для получения окончательной оценки £(£) аналогичны описанным в Главах 1-2.

Таким образом, суммарная размерность инвертора равна р — (т + к), где к - порядок наблюдателя для a(t) из (3.11).

При l — m = 1

р — m + (п - m) - 1 = п - 1.

При l-m > 1,1-т<т (т.е. т + 1 <1 < 2т) справедливо неравенство

р <т + п — 1 = п — (I — т),

переходящее в равенство при использовании наблюдателя порядка к, а при использовании наблюдателя порядка к* неравенство может быть строгим.

Если же I > 2т, то р < п - (I - т), точный порядок инвертора определяется индексами Кронекера для системы (3.10).

В четвертой главе рассмотрены алгоритмы обращения некоторых классов конечномерных нелинейных динамических систем в том числе со ска-

лярным 5

х = Цх)+£(Щх),

(4.1)

или т-мерным векторным входом £

х = /(х) + В(хШ В = (Ъ\...,Ьт),

(4.2)

имеющих скалярный

У = Кх),

(4.3)

или ¿-мерный выход

у = Н(х), Н =

(4.4)

Предполагается, что все векторные поля - полные аналитические, /(0) = 0, Л(0) = 0, #(0) = 0, {¿¿(я), г = 1... т} и {М{х), з = 1... /} - наборы неза-

функций времени.

Как и ранее, задача обращения состоит в оценке входных сигналов по измерениям выходных.

Ограничимся изложением принципиальных идей, используемых при синтезе алгоритмов обращения нелинейных динамических систем, опуская детали, которые во многом схожи со случаем линейных систем.

При обращении нелинейных динамических систем важную роль играют различные канонические формы, так, при обращении по состоянию (т.е. при у = х) система (4.1) или система (4.2), соответственно, преобразуется к следующему виду

висимых векторных полей, а сигналы £ и £ принадлежат классу липшецевых

¿1 = г = 1,2,...,п- 1, ¿„ = а{г) + /3(г)(, хТ = (гъ..., г^

(4.5)

или

¿1 = ^+1,1 = 1,2 ,...,п-т,

- - _

%п = а(г) + /?(*)!, С = (гт+1,..., гп), где аТ = (аь а2,..., ат); ^ = (/3\ /З2,..., Г).

Если функция /3(г) не обращается в нуль или матрица Р(г) невырождены, то задачу обращения решает использование управляемой модели (например, для (4.6)) в виде

чЬт = а(г)+ ¡3{г)й, йТ = (щ,..., ит)

и обратная связь й(г, ш) стабилизирует в нуле ошибку £т = й'т — гт, которая удовлетворяет уравнению

Примером такой обратной связи, наделяющий алгоритм обращения робаст-ностью, является разрывная обратная связь

й = -р-\г)М(г) ¡¡ёпёт,

где М(г) - мажоранта нормы вектор-функции ¡3(г)£. Если векторное поле системы /(ж) согласованно возмущено, т.е.

/ = / + Д/, Д/ = В(р(х),

то указанный алгоритм также решает задачу, однако функция М(г) должна быть увеличена на мажоранту нормы вектор-функции ¡3<р.

Этот результат обобщен на нижнетреугольные возмущения векторного поля /(г). Отмечается, что влияние различного рода неидеалыюстей и помех на работу алгоритма аналогичны линейному случаю, а порядок инвертора равен т и не может быть уменьшен. При обращении систем по выходу

выделены системы с управлением, при скалярном входе: они описываются уравнениями

'¿ = /(®) +&(*)(£(*) +«(*)), , .

и \ (4'7)

у = Н{х).

При равномерном относительном порядке г е [1, п] эта система преобразуется к виду с явным выделением нулевой динамики.

ч = 9(ч,у), 77 еЕ"-1-,

¿г = г = 1,..., п — 1, ( Г] \ _

г = \ , 2 = (г1,...,ггу, ¿п = а(г)+0(г)(и + 8, \ я )

У =21.

Здесь 7] = д(г1, у) - уравнение скрытой динамики, которое при у = 0 переходит в уравнение г) = д(г), 0), описывающее нулевую динамику. Если последнее уравнение экспоненциально устойчиво, то исходная система - экспоненциально минимально фазовая, наличие данного свойства далее необходимо. При г = п нулевая динамика отсутствует и обращению подлежит система

¿¿ = 2»+1) г — 1, •.. ,п - 1, *, = а(г)+ /?(*)(« +О, (4-8)

У =

Напротив, при г = 1 нулевая динамика является определяющей

(4.9)

у = а(г),у) + Р(т],у)(и + £).

Отсутствие информации о векторе 77 не позволяет применить предыдущие законы стабилизации, поэтому используются два подхода:

1. локальная стабилизация, без наблюдателя;

2. глобальная стабилизация с наблюдателем.

Например, динамическая система (4.8), когда г = п локально стабилизируется в начале обратной связью вида

и- -Msga(ßy), М = const > 0, (4.10)

ибо она локально стабилизирует у в нуле, а устойчивость нулевой динамики гарантирует, что и переменная 77 —» 0 а, следовательно, задача обращения решается и скользящее среднее (и)т дает искомую оценку сигнала £(t).

Если же 1 < г < п, этот метод в сочетании с иерархией коэффициентов обратной связи также решает задачу обращения.

Второй подход основан на использовании наблюдателей вида

которые при определенном ограничении на класс нелинейных динамических систем, экспоненциально оценивают переменные скрытой динамики rj, что и позволяет использовать для стабилизации системы обратные связи по оценкам фазового вектора.

Основные публикации по теме диссертации:

1. A.B. Ильин, С.К. Коровин, В.В. Фомичев. Алгоритмы обращения линейных скалярных динамических систем: метод управляемой модели // Дифферент уравнения. 1997. Т. 33. № 3. С. 329-339.

2. С.К. Коровин, A.B. Ильин, В.В. Фомичев. Метод управляемой модели в задачах обращения динамических систем // Докл. РАН. 1997. Т. 354. № 2. С. 171-173.

3. A.B. Ильин, С.К. Коровин, В.В. Фомичев. Алгоритмы обращения линейных управляемых систем // Дифференц. уравнения. 1997. Т. 34. № 6. С. 744-750.

4. A.B. Ильин, С.К. Коровин, В.В. Фомичев. Робастное обращение векторных систем // Дифференц. уравнения. 1998. Т. 34. № И. С. 1478-1486.

5. C.K. Коровин, A.B. Ильин, B.B. Фомичев. Робастное обращение управляемых линейных систем // Докл. РАН. 1998. Т. 356. № 2. С. 121-123.

6. A.B. Ильин, В.В. Фомичев. Алгоритмы обращения управляемых систем со структурированной нелинейностью // Вестник МГУ. Сер. 15. Вычислительная математика и кибернетика. 1999. № 1. С. 44-48.

7. A.B. Ильин, А.П. Носов, В.В. Фомичев. Обращение систем с неустойчивой нулевой динамикой // Нелинейная динамика и управление. Вып.2. Сборник статей под редакцией C.B. Емельянова и С.К. Коровина. Москва. Физ-матлит. 2002. С. 33-40.

8. A.B. Ильин, С.К. Коровин, В.В. Фомичев. Позиционное робастное обращение нелинейных динамических систем // Нелинейная динамика и управление. Вып.З. Сборник статей под редакцией C.B. Емельянова и С.К. Коровина. Москва. Физматлит. 2003. С. 5-18.

9. С.К. Коровин, A.B. Ильин, В.В. Фомичев, А. Хлавенка. Асимптотические наблюдатели состояния неопределенных векторных линейных систем // Докл. РАН. 2004. Т. 396, № 4. С. 469-473.

10. A.B. Ильин, С.К. Коровин, В.В. Фомичев. Алгоритмы робастного обращения векторных линейных систем // Нелинейная динамика и управление. Вып.4. Сборник статей под редакцией C.B. Емельянова и С.К. Коровина. Москва. Физматлит. 2004. С. 17-22.

11. A.B. Ильин, С.К. Коровин, В.В. Фомичев, А. Хлавенка. Синтез асимптотических наблюдателей для линейных векторных неопределенных систем // Дифференц. уравнения. 2005. Т. 41. № 1. С. 73-81.

12. A.B. Ильин, С.К. Коровин, В.В. Фомичев, А. Хлавенка. Наблюдатели для линейных динамических систем с неопределенностью // Дифференц. уравнения. 2005. Т. 41. № И. С. 1443-1457.

13. A.B. Ильин, С.К. Коровин, В.В. Фомичев. Асимптотические наблюдатели с разрывным управлением для скалярных линейных неопределенных

систем // Дифференц. уравнения. 2005. T. 41. № 10. С. 1310-1317.

14. C.K. Коровин, A.B. Ильин, И.С. Медведев, В.В. Фомичев. К теории функциональных наблюдателей и стабилизаторов заданного порядка // Докл. РАН. 2006. Т. 409. № 5. С. 601-605.

15. A.B. Ильин, С.К. Коровин, В.В. Фомичев. Обращение управляемых динамических систем // Вестник МГУ. Сер. 15. Вычислительная математика и кибернетика. 2006. № 3. С. 49-58.

16. A.B. Ильин, С.К. Коровин, В.В. Фомичев. Об уравнениях и свойствах нулевой динамики линейных управляемых статических систем // Дифференц. уравнения. 2006. Т. 42. № 12. С. 1626-1636.

17. С.К. Коровин, A.B. Ильин, В.В. Фомичев, Об одной канонической форме векторных управляемых систем // Докл. РАН. 2007. Т. 414. № 3. С. 320-324.

18. С.К. Коровин, A.B. Ильин, В.В. Фомичев. Нулевая динамика линейных векторных стационарных систем // Докл. РАН. 2007. Т. 414. № 5. С. 598-604.

19. A.B. Ильин, С.К. Коровин, В.В. Фомичев. Асимптотические наблюдатели для билинейных систем с векторным выходом // Дифференц. уравнения. 2008. Т. 44. № 5. С. 613-618.

20. A.B. Ильин, С.К. Коровин, В.В. Фомичев. Методы построения наблюдателей для линейных динамических систем при неопределенности // Труды МИАН. 2008. Т. 262. С. 80-95.

21. A.B. Ильин, C.B. Емельянов, В.В. Фомичев. Синтез робастных инверторов минимального порядка // Дифференц. уравнения. 2009. Т. 45. № 4. С. 575-585.

22. A.B. Ильин, С.К. Коровин, В.В. Фомичев. Синтез минимальных линейных стабилизаторов // Дифференц. уравнения. 2009. Т. 45. № 5. С. 675-685.

Напечатано с готового оригинал-макета

Издательство ООО "МАКС Пресс" Лицензия ИД N 00510 от 01.12.99 г. Подписано к печати 10.09.2009 г. Формат 60x90 1/16. Усл.печл. 2,0. Тираж 150 экз. Заказ 474. Тел. 939-3890. Тел./факс 939-3891 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ им. М.В. Ломоносова, 2-й учебный корпус, 627 к.

Содержание диссертации автор исследовательской работы: доктора физико-математических наук, Ильин, Александр Владимирович

Введение

Глава 1. Скалярные линейные стационарные системы.

1.1. Система с первым относительным порядком.

1.2. Обращение систем произвольного порядка

1.3. Обращение систем с неустойчивой нулевой динамикой

1.4. Обращение при известной волновой модели

1.5. Обращение управляемых систем.

Глава 2. Обращение линейных многомерных стационарных систем

2.1. Вспомогательные утверждения

2.2. Обращение векторных систем по фазовому вектору

2.3. Наблюдатели для векторных систем в условиях неопределенности

Глава 3. Минимальные инверторы

3.1. Постановка задачи.

3.2. Функциональные наблюдатели.

3.3. Минимальные функциональные наблюдатели

Глава 4. Обращение нелинейных систем.

4.1. Обращение нелинейных систем по состоянию

4.2. Обращение нелинейных систем по выходу

Введение диссертация по математике, на тему "Робастное обращение динамических систем"

Важность задачи обращения динамических систем обусловлена тем фактом, что она находит применение при решении практических задач, таких, например, как идентификация сигналов и параметров систем, управления в условиях неопределенности, построения измерительных систем для сложных динамических процессов, при планировании-траекторий в робототехнике и т.д.

Второй класс задач - задачи обращения в реальном времени (в режиме on-line). При этом, как правило, рассматривается решение задачи в асимптотике. К таким задачам сводится построение различных измерительных комплексов для сложных процессов. Кроме того, особенно важна робастность алгоритмов обращения, т.е. их устойчивость к различным факторам неопределенности, как то к погрешности измерения выхода системы, различным классам параметрических возмущений, неидеальностям в работе элементов системы обращения (например, релейных элементов) и т.д.

Существуют различные подходы к решению. Алгоритмы обращения, предложенные в первых работах Silverman (1969), Singh и Massey (1969), Willsky (1974), не были-пригодны для решения задачи в режиме реального времени. Позднее появились более практичные алгоритмы (например, в работах Ю.С. Осипова и А.В. Кряжимского (1983), D. Chen (1993)), которые могут быть использованы для работы в режиме on-line.

Алгоритмы Ю.С. Осипова и А.В. Кряжимского основаны на дискретизации системы и построении кусочно-постоянной аппроксимации неизвестного входного сигнала. Описанные в литературе алгоритмы этого типа применимы лишь для систем с полностью определенной динамикой (допускается только погрешность измерений выхода) и требуют информацию о полном фазовом векторе системы.

Для прояснения основной идеи рассмотрим следующую неформальную постановку задачи обращения линейной динамической системы. Пусть задан линейный дифференциальный оператор Р. отображающий входные функции в выходные u)(t), т.е. w(t) = P£(t).

Требуется по измерениям выхода сформировать текущую оценку £ (t) входного сигнала. Алгоритм формирования оценки назовем алгоритмом обращения (инвертирования), а динамическую систему, формирующую такую оценку -инвертором.

Основная проблема заключается в том, что обратный оператор Р~1 физически нереализуем, поэтому для решения задачи надлежит построить его физически реализуемую аппроксимацию Р такую, что функцию l=pw{t) = ppat) можно принять за оценку неизвестного входного сигнала.

Один из способов построения такой аппроксимации основан на использовании управляемой модели исходной системы: w{t) = Pu(t), в которой управление u(t) выбирается из условия обнуления разницы между выходом системы и модели y(t) = w(t) — w(t). Если ошибка y(t) = 0, то

Р(и -о=о, и, значит, с точностью до функции из ядра оператора Р имеет место равенство

Из этих простых соображений следует, в частности, необходимое условие обратимости системы: ядро оператора должно содержать только функции £о(t) —> 0 при t оо (эти условия получены еще в первых работах (Silverman)).

В частности, для линейных динамических систем это условие эквивалентно минимальной фазовости системы. В этом случае в качестве оценки входа £(t) может быть взята функция u(t), т.е.

При этом свойства алгоритма обращения определяются свойствами оператора Р и видом стабилизирующего управления u{t).

Разумеется, это лишь самое общее представление о схеме решения задачи. На самом деле проблема сложнее, в частности, стабилизирующее управление u{t) и функция £(£) могут принадлежать к различным классам (например u(t) кусочно постоянная, разрывная функция, а £(£-) непрерывная или непрерывно дифференцируемая). В этом случае требуется дополнительное преобразование (фильтр) F этого управления u(t) с тем, чтобы результат этого преобразования можно было принять за приемлемое приближение функции <£00, т.е.

I(t) = F(u(t)).

Подобный подход уже описывался в литературе (см. работы R.M. Hirschon (1979), W. Respondek (1988), L.R. Hunt и G. Meyr (1997)), причем особенность применяемого метода определялась выбором модели системы и типом стабилизирующего управления: так, в работе Silverman (1969) использовалась точная непрерывная модель, а закон управления состоял из двух компонент: обратной связи по состоянию и прямой связи по многократным производным выхода. Ясно, что такой алгоритм обращения нереализуем точно и не является робастным. В работах Ю.С. Осипова и А.В. Кряжимского использовалась дискретная модель системы и кусочно-постоянная стабилизирующая обратная связь, которая при определенных условиях и при устремлении шага дискретизации к нулю аппроксимирует неизвестный вход. Однако, в силу специфики этого метода отвергаются разрывные законы управления, которые часто наделяют систему повышенной устойчивостью по отношению к вариациям параметров задачи и различным факторам неопределенности. Именно поэтому в данной работе широко используются разрывные управления в задачах робастного обращения.

Вначале рассматриваегся класс SIS01 систем. В этом базовом случае детально исследована обратимость систем, предложены различные варианты алгоритмов обращения, изучена зависимость свойств алгоритмов обращения от типов обращаемых систем, установлена устойчивость алгоритмов по отношению к некоторым классам факторов неопределенности.

Развитая теория обращения распространяется на многосвязные MIM02 системы. Для многосвязных систем ряд характеристик, играющих важную роль при решении обратных задач, (в частности, нулевая динамика, относительный порядок и т.д.) неоднозначны и нуждаются в дополнительном уточнении. Поэтому в работе приведены уточнения этих понятий для многосвязных систем и получены удобные канонические представления таких систем.

1 SISO - Single Input Single Output (системы с одним входом и одним выходом).

2 MIMO - Multi Input Multi Output (системы с векторным неизвестным входом и векторным измеряемым выходом).

Научная новизна. В диссертации получены следующие основные результаты:

2. Для векторных систем даны корректные определения определения нулевой динамики и относительного порядка.

Апробация работы. Основные результаты работы и отдельные её части докладывались: на научных семинарах кафедры нелинейных динамических систем и процессов управления факультета Вычислительной математики и кибернетики МГУ имени М.В. Ломоносова; на научном семинаре "Нелинейная динамика: качественный анализ и управление" под руководством академиков РАН С.В. Емельянова и С.К. Коровина; на Международной конференции по управлению «Автоматика 2001», Одесса, 2001 г.; на научной школе-конференции "Мобильные роботы и мехатронные системы" (Москва, МГУ, Институт механики имени Е.А. Девянина) 2004 г.; на Симпозиуме IFAC по Обобщенным решениям в задачах управления (GSCP-2004); на Первой Международной конференции "Системный анализ и информационные технологии" САИТ-2005 (12-16 сентября 2005 г., г. Переславль); на Второй Международной конференции "Системный анализ и информационные технологии" САИТ-2007 (10-14 сентября 2007 г. Обнинск, Россия); на семинаре в Международном Институте прикладного системного анализа (IIASA, Austria Laxenburg) 2007 г.; на семинарах в университете Лафборо (Великобритания) 2007 г.; на Ломоносовских чтениях в Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова, Москва, 2004-2008 г.г.

Лично автором получены следующие результаты:

1. Методы робастного обращения линейных стационарных систем.

2. Для векторных систем корректно введены понятия* нулевой динамики и относительного порядка, играющие важную роль при решении задач обращения.

3. Методы обращения векторных динамическихсистем.

4. Методы обращения динамических систем при известной волновой модели оцениваемого сигнала.

5. Методы синтеза инвертора минимального порядка.

6. Методы обращения управляемых динамических систем.

7. Методы обращения некоторых классов нелинейных систем.

Список источников диссертации и автореферата по математике, доктора физико-математических наук, Ильин, Александр Владимирович, Москва

1. Андреев Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами. Москва. Наука. 1976. С. 424.

2. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. Москва. Наука. 1970. С. 536.

3. Емельянов С.В., Коровин С.К. Новые типы обратной связи. Управление при неопределенности // Москва. Наука. Физмат-лит. 1997. С. 352.

4. Емельянов С.В., Коровин С.К. // Сборник Мат. моделирование: Проблемы и результаты. Москва. Наука. Физматлит. 2003. С. 12-35.

5. Ильин А.В., Емельянов С.В., Фомичев В.В. Синтез робастных инверторов минимального порядка // Дифференц. уравнения. 2009. Т. 45. № 4. С. 575-585.

6. Ильин А.В., Коровин С.К., Фомичев В.В. Позиционное ро-бастное обращение нелинейных динамических систем // Нелинейная динамика и управление. Вып. 3. Сборник статей под редакцией С.В. Емельянова и С.К. Коровина. Москва. Физматлит. 2003. С. 5-18.

7. Ильин А.В., Коровин С.К., Фомичев В.В. Алгоритмы робаст-ного обращения векторных линейных систем / / Нелинейная динамика и управление. Вып. 4. Сборник статей под редакциейС.В. Емельянова и С.К. Коровина. Москва. Физматлит. 2004. С. 17-22.

8. Ильин А.В., Носов А.П., Фомичев В.В. Обращение систем с неустойчивой нулевой динамикой // Нелинейная динамика и управление. Вып. 2. Сборник статей под редакцией С.В. Емельянова и С.К. Коровина. Москва. Физматлит. 2002. С. 33-40.

9. Ильин А.В., Коровин С.К., Фомичев В.В. Алгоритмы обращения линейных скалярных динамических систем: метод управляемой модели // Дифференц. уравнения. 1997. Т. 33. N2 3. С. 329-339.

10. Ильин А.В., Коровин С.К., Фомичев В.В. Алгоритмы обращения линейных управляемых систем // Дифференц. уравнения. 1997. Т. 34. № 6. С. 744-750.

11. Ильин А.В., Коровин С.К., Фомичев В.В. Робастное обращение управляемых линейных систем // .Докл. РАН. Теория управления. 1998. Т. 356. № 2. С. 121-123.

12. Ильин А.В., Коровин С.К., Фомичев В.В. Робастное обращение векторных систем // Дифференц. уравнения. 1998. Т. 34.11. С. 1478-1486.

13. Ильин А.В., Коровин С.К., Фомичев В.В. Асимптотические наблюдатели с разрывным управлением для скалярных линейных неопределенных систем // Дифференц. уравнения. 2005. Т. 41. № 10. С. 1310-1317.

14. Ильин А.В., Коровин С.К., Фомичев В.В. Обращение управляемых динамических систем // Вестник МГУ. Сер. 15. Вычислительная математика и кибернетика. 2006. № 3. С. 49-58.

15. Ильин А.В., Коровин С.К., Фомичев В.В. Об уравнениях и свойствах нулевой динамики линейных управляемых статических систем // Дифференц. уравнения. 2006. Т. 42. № 12. С. 1626-1636.

16. Ильин А.В., Коровин С.К., Фомичев В.В. Асимптотические наблюдатели для билинейных систем с векторным выходом // Дифференц. уравнения. 2008. Т. 44, № 5. С. 613-618.

17. Ильин А.В., Коровин С.К., Фомичев В.В. Методы построения наблюдателей для линейных динамических систем при неопределенности //Труды МИАН. 2008. Т. 262. С. 80-95.

18. Ильин А.В., Коровин С.К., Фомичев В.В. Синтез минимальных линейных стабилизаторов // Дифференц. уравнения. 2009. Т. 45. № 5. С. 675-685.

19. Ильин А.В., Коровин С.К., Фомичев В.В., Хлавенка А. Синтез асимптотических наблюдателей для линейных векторных неопределенных систем // Дифференц. уравнения. 2005. Т. 41. № 1. С. 73-81.

20. Ильин А.В., Коровин С.К., Фомичев В.В., Хлавенка А. Наблюдатели для линейных динамических систем с неопределенностью // Дифференц. уравнения. 2005. Т. 41. № 11. С. 1443-1457.

21. Ильин А.В., Фомичев В.В. Алгоритмы обращения управляемых систем со структурированной нелинейностью // Вестник МГУ. Сер. 15. Вычислительная математика и кибернетика. 1999. № 1. С. 44-48.

22. Коровин С.К., Ильин А.В., Медведев И. С., Фомичев В.В. К теории функциональных наблюдателей и стабилизаторов заданного порядка // Докл. РАН. Теория управления. 2006. Т. 409. № 5. С. 601-605.

23. Коровин С.К., Ильин А.В., Фомичев В.В., Хлавенка А. Асимптотические наблюдатели состояния неопределенных векторных линейных систем // Докл. РАН. Теория управления. 2004. Т. 396. № 4. С. 469-473.

24. Коровин С.К., Ильин А.В., Фомичев В.В. Метод управляемой модели в задачах обращения динамических систем // Докл. РАН. Теория управления. 1997. Т. 354. № 2. С. 171-173.

25. Коровин С.К., Ильин А.В., Фомичев В.В. Об одной канонической форме векторных управляемых систем // Докл. РАН. Теория управления. 2007. Т. 414. № 3. С. 320-324.

26. Коровин С.К., Ильин А.В., Фомичев В.В. Нулевая динамика линейных векторных стационарных систем // Докл. РАН. Теория управления. 2007. Т. 414. № 5. С. 598-604.

27. Коровин С.К., Фомичев В.В. Наблюдатели состояния для линейных систем с неопределенностью. Москва. Физматлит. 2007. С. 224.

28. Коровин С.К., Фомичев В.В., Медведев И.О. Синтез минимальных функциональных наблюдателей // Докл. РАН. Теория управления. 2005. Т. 404. № 3. С. 316-320.

29. Коровин С.К., Фомичев В.В., Медведев И.С. Функциональные наблюдатели минимального порядка // Нелинейная динамика и управление. Вып.5. Сборник статей под редакцией С.В. Емельянова и С.К. Коровина. Москва. Физматлит. 2006. С. 51-70.

30. Коровин С.К., Медведев И. С., Фомичев В.В. Функциональные наблюдатели для линейных неопределенных стационарных динамических систем. // Докл. РАН. Теория управления. 2006. Т. 411. № 1. С. 316-320.

31. Краенощеченко В.И., Крищенко А.П. Нелинейные системы. Геометрические методы анализа и синтеза. Издательство МГ-ТУ им. Н.Э. Баумана. 2005. С. 520.

32. Крутъко П.Д. Обратные задачи динамики управляемых систем. Линейные модели // Москва. Наука. Физматлит. 1988. С. 304.

33. Осипов Ю.С., Кряжимский А.В. Известия АН СССР, Техническая Кибернетика. 1983. Т. 269. № 2. С. 51-60.

34. Осипов Ю.С., Кряжимский А.В. Известия АН СССР. Техническая Кибернетика. 1983. Т. 269. № 3. С. 552-556.

35. Смагина Е.М. Вопросы анализа линейных многомерных объектов, с использованием понятия нуля системы // Издательство томского университета. Томск. 1990. С. 160.

36. Тихонов А.Н., Ареенин В. Я. Методы решения некорректных задач. Москва. Наука. 1979. С. 142.

37. Уткин В.Н. Скользящие режимы в задачах стабилизации и управления. Москва. Наука. Физматлит. 1981. С. 368.

38. Фомичев В.В., Медведев И.С. Построение функциональных наблюдателей для неопределенных систем // Дифференц. уравнения. 2004. Т. 40. № 8. С. 1146-1147." "

39. Aboutalib А. О., Murphy M.S., Silverman L.M. Digital restoration of images degraded by general motion blurs // IEEE Trans. Automat. Contr. Vol. 22. PP. 294-302. June 1977.

40. Antsaklis P.J. Stable proper n-th order inverses // IEEE Trans. Automat. Contr. Vol. 23. PP. 1104-1106. December 1978.

41. Birta L.G., Mufti I.H. Some results on an inverse problem in multivariable systems // IEEE Trans. Automat. Contr., Vol. 12. PP. 99-101. February 1967.

42. Broussard J.R. The generalized state space representation of the inverse of linear systems // IEEE Trans. Automat. Contr. Vol. 24. PP. 784-785. October 1979.

43. Chizeck H.J. Inverses of finite group systems // IEEE Trans. Automat. Contr. Vol. 23. PP. 66-70. February 1978.

44. Davison E.J. The steady-state invertibility and feedforward control of linear time-invariant systems // IEEE Trans. Automat. Contr. Vol. 21. PP. 529-534. August 1976.

45. Emre Erol, Hiiseyin Ozay. Invertibility criteria for linear multivariable systems // IEEE Trans. Automat. Contr. Vol. 19. PP. 609-610. October 1974.

46. E'jnre Erol, Silverman L.M. Minimal dynamic inverses for linear systems with arbitrary initial states // IEEE Trans. Automat. Contr. Vol. 21. PP. 766-769. October 1976.

47. Emre Erol, Silverman L.M., Glover K. Generalized dynamic covers for linear systems with applications to deterministic identification and realization problems // IEEE Trans. Automat. Contr. Vol. 22. PP. 26-35. February 1977.

48. Freund E. Design of time-variable multivariable systems by decoupling and by the inverse // IEEE Trans. Automat. Contr. Vol. 16. PP. 183-185. April 1971.

49. Godbole S.S., Smith C.F. A new control approach using the inverse system // IEEE Trans. Automat. Contr. Vol. 17. PP. 698-702. October 1972.

50. Isidori A. Nonlinear control systems. London. Springer-Verlag. 1995.

51. Luenberger D.G. Determining the state of linear system with observers of low dynamic order. // Ph.D. dissertation. Stanford University. 1963.

52. Luenberger D.G. Observers for multivariable systems. // IEEE Trans. Automat. Contr. Vol. 11. 1966. PP. 190-197.

53. Luenberger D. G. Canonical forms for linear multivariable systems // IEEE Trans. Automat. Contr. Vol. 12. 1967. PP. 290-293.

54. Mayne D.Q. On the calculation of pseudoinverses j j IEEE Trans. Automat. Contr. Vol. 14. PP. 204-205. April 1969.

55. Moylan P.J. Stable inversion of linear systems // IEEE Trans. Automat. Contr. Vol. 22. PP. 74-78. February 1977.

56. Nazaroff G.J. Inverse differential-delay systems // IEEE Trans. Automat. Contr. Vol. 19. PP. 87-88. February 1974.

57. Nijmeijer H., Vander Schaft A. Nonlinear Dynamical Control Systems. Springr-Verlag. 1990. Berlin.

58. O'Reilly J. Observers for Linear Systems // Academic Press. London. 1983.

59. Orner P.A. Construction of inverse systems // IEEE Trans. Automat. Contr. Vol. 17. PP. 151-153. February 1972.

60. Owens D.H. Large-scale systems analysis using approximate inverse models // IEEE Trans. Automat. Contr. Vol. 25. PP. 328-330. April 1980.

61. Porter W.A. Decoupling of and inverses for time-varying linear systems // IEEE Trans. Automat. Contr. Vol. 14. PP. 378-380. August 1969.

62. Porter W.A. An algorithm for inverting linear dynamic systems // IEEE Trans. Automat. Contr. Vol. 14. PP. 702-704. December 1969.

63. Rebhuhn D. Invertibility of multivariable input-output systems // IEEE Trans. Automat. Contr. Vol. 25. PP. 207-212. April 1980.

64. Resondek W., Nijmeijer H. On Local Right-Invcrtiobility of Nonlinear Control Systems // Control Theory and Advanced Technology. 1988. Vol. 4. № 3. PP. 325-348. MITA-PRESS.

65. Ronald M. Hirschorn invertibility of multivariable nonlinear control systems // IEEE Trans. Automat. Contr. Vol. 24. PP. 855-865. December 1979.

66. Rosenbrock H.H. State-Space and Multivariable Theory // Nelson. London. 1970.

67. Rosenbrock H.H. The zeros of a system // International Journal of Control. Vol. 18. 1973. № 2. PP. 297-299.

68. Sain Michael K., Massey James L. Invertibility of linear time-invariant dynamical systems // IEEE Trans. Automat. Contr. Vol. 14. PP. 141-149. April 1969.

69. Silverman L.M. Properties and application of inverse systems j j IEEE Trans. Automat. Contr. Vol. 13. PP. 436-437. August 1968.

70. Silverman L.M. Inversion of multivariable linear systems j j IEEE Trans. Automat. Contr. Vol. 14. PP. 270-276. June 1969.

71. Silverman L.M. Decoupling with State Feedback and Precompensation // IEEE Trans. Automat. Contr. Vol. 15. PP. 487-489. August 1970.

72. Singh S.N. Decoupling of invertible nonlinear systems with state feedback and precompensation // IEEE Trans. Automat. Contr. AC-25. № 6. PP. 1237-1239. December 1980.

73. Singh S.N. A modified algorithm for inevitability in nonlinear systems // IEEE Trans. Automat. Contr. 1981. AC-26. № 2. PP. 595-598.

74. Singh S.P. A note on inversion of linear systems j j IEEE Trans. Automat. Contr. Vol. 15. PP. 492-493. August 1970.

75. Sogo Takuya, Adachi Norihiko. A limiting property of the inverse of sampled-data systems on a finite-time interval // IEEE Trans. Automat. Contr. Vol. 46. PP. 761-765. May 2001.

76. Tsui С. C. A new design approach to unknown input observers // IEEE Trans. Automat. Contr. Vol. 41. Г996. № 3. PP. 464-467.

77. Vidyasagar M. Casual systems and feedforward loops // IEEE Trans. Automat. Contr. Vol. 16. P. 209. April 1971.

78. Wang Shih-Ho, Davison E.J. A minimization algorithm for the design of linear multivariable systems // IEEE Trans. Automat. Contr. Vol. 18. PP. 220-225. June 1973.

79. Wang S. H., Davison E.J. A new invertibility criterion for linear multivariable systems // IEEE Trans. Automat. Contr. Vol. 18. PP. 538-539. October 1973.

80. Wei Lin. Global robust stabilization of minimum-phase nonlinear systems with uncertainty // Automatica. 1997. Vol. 33. № 3. PP. 453-462. Elsevier.

81. Willsky A.S. On the invertibility of linear systems // IEEE Trans. Automat. Contr. Vol. 19. PP. 272-274. June 1974.

82. Fu-Min Yuan. Minimal dimension inverses of linear sequential circuits // IEEE Trans. Automat. Contr. Vol. 20. PP. 42-52. February 1975.

83. Zak S.H. On the stabilization and observation of nonlinear uncertain dynamic control // IEEE Trans. Automat. Contr. 1990. Vol. 35. № 5. PP. 604-607.

84. Zhao Y.D.; Huang L. Local stabilization of nonlinear systems // Control Theory and Advanced Technology. 1990. Vol. 6. № 4. PP. 543-557. MITA PRESS.

85. Zhihua Qu, John Dorsey. Comments on the stabilization and observation of nonlinear uncertain dynamic control // IEEE Trans. Automat. Contr. 1991. Vol. 36. № 6. PP. 1342-1343.