Робастное обращение линейных динамических систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Л ,/ Л А ->/ / /» Г - //

л / ; Ч Ч - 7 / Ч О V/ 7

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

им. М.В. ЛОМОНОСОВА ФАКУЛЬТЕТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИ

На правах рукописи

ФОМИЧЕВ Василий Владимирович

УДК 517.925.54

РОБАСТНОЕ ОБРАЩЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

»

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук специальность 01.01.02 - дифференциальные уравнения

Москва - 1999

СОДЕРЖАНИЕ

Введение 4

Глава 1. Системы с первым относительным порядком

§ 1.1 Постановка задачи. Простейший алгоритм

с использованием глубокой обратной связи 15

§ 1.2 Алгоритм с разрывной обратной связью 18

§ 1.3 Неидеальности в релейном элементе 24

§ 1.4 Ошибки измерения выхода 28

§ 1.5 Вариация параметров системы 31

Глава 2. Обращение систем с произвольным относительным порядком

§ 2.1 Системы с максимальным относительным порядком 34

§ 2.2 Системы с произвольным относительным порядком 40

Глава 3. Асимптотические алгоритмы обращения

§ 3.1 Обращение систем с первым относительным порядком 44

§ 3.2 Влияние неидеальностей в релейном элементе 49

§ 3.3 Ошибки измерения выхода 54

§ 3.4 Вариация параметров системы 56

§ 3.5 Асимптотический алгоритм понижения порядка задачи 58

Глава 4 Обращение систем с неустойчивой нулевой динамикой

§ 4.1 Скалярные системы 65

§ 4.2 Системы с одним входом и несколькими выходами 71

Глава 5. Обращение систем при известной

волновой модели 74

Глава 6 Обращение управляемых систем

§ 6.1 Постановка задачи 80

§ 6.2 Обращение по состоянию 82

§ 6.3 Обращение по выходу 85

Глава 7. Обращение векторных систем

§ 7.1 Постановка задачи 94

§ 7.2 Вспомогательные уравнения и утверждения 95

§ 7.3 Обращение по состоянию 103

§ 7.4 Обращение по выходу 106

Литература 114

Введение.

Проблемы решения обратных задач динамики становятся в настоящее время все более актуальными. Одной из таких задач является задача обращения динамических систем, т.е. задача восстановления неизвестного входа системы по измерениям ее выхода.

Решению этой проблемы были посвящены многочисленные работы зарубежных и отечественных авторов. Так, например, в работах [70], [68], [72], [74] и [47] решалась задача обращения линейных систем, работы [52], [65-67], [53], посвященны проблеме обращения конечномерных нелинейных динамических систем. Из отечественных авторов отметим циклы работ A.C. Галиуллина [5-9], П.Д. Крутько [27-31], Ю.С. Осипова и A.B. Кряжимского [32-33].

Несомненная значимость решения задачи обращения динамических систем обусловлена тем фактом, что она находит применение при решении целого ряда практических задач таких, как задача управления летательным аппаратом по заданной траектории, задача идентификации динамических параметритов системы и помех, а так же многих других.

При этом можно выделить два класса задач обращения: расчетные задачи, т.е. задача восстановления неизвестного входа в случае, когда известны измерения выхода на всем интервале времени, и задачи обращения в реальном времени (on-line задачи), когда задача обращения решается по текущим измерениям выхода.

Кроме того, важным аспектом при решении проблемы обращения является то, что при практической реализации алгоритмов обращения особенно важна их робастность, т.е. грубость этих алгоритмов к различным факторам неопределенности, как то к погрешности измерения выхода системы, различным классам параметрических возмущений, неидеальностям в работе некоторых динамических элементов (например, релейных элементов) и т.д.

Именно о таких, робастных алгоритмах, решающих задачу обращения линейных конечномерных систем в режиме реального времени и идет речь в данной работе.

Следует отметить, что алгоритмы обращения, предложенные в первых работах (например [70], [71], [74]) не были пригодны для работы в on-line режиме. Позднее появились более практичные алго-

ритмы (например в работах [32-33]) которые могут использоваться для on-line расчетов. Однако эти алгоритмы применимы лишь к системам с полностью определенной динамикой (допускается только погрешность измерений выхода) и требуют информацию о полном фазовом векторе системы. Ситуация качественно меняется, если рассматривается задача обращения по выходу с неточно известной динамикой объекта. При этом многие известные алгоритмы не применимы либо требуют серьезных изменений. Решение проблемы обращения в такой наиболее общей и сложной постановке задачи и составляет главное содержание диссертации.

Принцип решения задачи обращения основан на идее сведения исходной проблемы к задаче стабилизации неопределенной системы по выходу, что позволяет использовать хорошо разработанный в последние годы аппарат стабилизации сложных систем в условиях существенной неопределенности [11-18], [39-45], [54-64], [75-77]. Именно этот факт и позволяет получить ряд новых алгоритмов, эффективно решающих поставленную задачу.

В диссертации рассматривается следующая неформальная постановка задачи обращения линейной динамической системы. Пусть задан линейный причинно-следственный оператор Р, отображающий входные функции £(t) в выходные w(t), то есть

w(t) = Р№.

Требуется по измерениям выхода сформировать текущую оценку £(t) входного сигнала. Алгоритм формирования оценки и будем называть алгоритмом обращения. Основная проблема заключается в том, что обратный оператор Р-1 физически неосуществим. Поэтому для решения задачи надлежит исследовать его физически реализуемую аппроксимацию Р такую, что функцию

i(t) = Pw(t) = PPt(t) можно принять за оценку неизвестной функции входа, то есть £ ~

т-

Один из способов построения такой аппроксимации основан на использовании управляемой модели

w(t) = Pu{t),

в которой управление u(t) выбирается из условия обнуления разницы между выходными функциями рассматриваемой системы и ее модели y(t) = w(t) — w(t). Если ошибка y(t) = 0, то

р(«-0 = о

и, значит, с точностью до функции £о из ядра оператора Р имеет место равенство u(t) = £(t) + £о(0- ^ этом случае в качестве оценки входа может быть взята функция u(t), то есть = u(t) ~ При этом свойства алгоритма обращения определяются свойствами оператора Р и методом синтеза стабилизирующего управления u(t).

Разумеется, это соображение дает лишь самое общее представление о схеме решения задачи обращение линейной динамической системы. На самом деле все сложнее, в частности, стабилизирующее управление u(t) и функция £(£) могут принадлежать к разным классам функций, и требуется дополнительное преобразование D этого управления u(t) с тем, чтобы результат этого преобразования можно было принять за приемлемое приближение функции то есть № = Du(t) ~ Z(t).

Подобный подход уже описывался в литературе [70], [32-33], причем особенность применяемого метода определялась выбором модели системы и типом стабилизирующего управления. Так, в [70] использовалась точная непрерывная модель, а закон управления состоял из двух компонент: обратной связи по состоянию и прямой связи по многократным производным выхода. Ясно, что такой алгоритм обращения нереализуем точно и не является робастным.

В [32-33] используется дискретная модель системы и кусочно-постоянная стабилизирующая обратная связь, которая при определенных условиях и при устремлении шага дискретизации к нулю аппроксимирует неизвестный вход. Однако, в силу специфики этого метода заранее отвергаются скользящий режим и соответственно разрывные законы управления, которые, как известно, наделяют систему повышенной устойчивостью по отношению к вариациям параметров задачи и различным факторам неопределенности [11]. Именно поэтому в данной работе на ряду с линейными исследуются возможности разрывных управлений в задачах устойчивого обращения.

В диссертации рассматривается следующая основная постановка задачи обращения линейной конечномерной динамической системы с постоянными параметрами. Для системы

г = +

(0.1)

и> = сг,

где г(г) е кп, Ф) 6 к'5, 6 1г (I > к), £ 6 [0, +оо), А, 6, с - известные матрицы с постоянными коэффициентами соответствующих размерностей, требуется по измерениям выхода ио^Ь) системы (0.1) сформировать оценку £(£) неизвестного входа системы £(£). Введем основные понятия.

Определение 1. Система (0.1) является обратимой тогда и только тогда, когда

гапк[сЪ; сАЬ;... ; сАп~1Ь] = к .

Определение 2. Система (0.1) управляема (пара {А, Ь] управляема) тогда и только тогда, когда

гапк[Ь; АЬ;... ; Ап~1Ь] = п .

Определение 3. Система (0.1) наблюдаема (пара {А, с} наблюдаема) тогда и только тогда, когда

(

rank

с \

сА

\ cAn_1

п.

Будем говорить, что система (0.1) находится общем положении если она управляема и наблюдаема. Нетрудно показать [11], что если система (0.1) находится в общем положении, то она обратима.

Передаточной функцией системы (0.1) будем называть ИЧа) = с(*Е (Цз) = ... , (0.2)

где «п(5) = ¿е1(зЕ — А), qij{s) - полиномы от 5, порядок полинома ап(з) равен п, порядок полиномов qij{s) не превосходит (п — 1).

Более подробно рассматривается случай скалярной системы, т.е. системы со скалярными входом и выходом (/ = к = 1). При этом, очевидно, условие обратимости системы (0.1) сводится к существованию целого г такого, что сАгЪ ^0,0<г<п — 1.

Определение 4. Относительным порядком системы (0.1) называется целое число г такое, что

сА1Ь = 0 , г = 0,... , г - 2 , сАг~1Ь ф 0.

Передаточная функция скалярной системы будет иметь вид

1¥(з) =

где /Зта(в) - полином от в порядка т. При этом [11] относительный порядок системы (0.1) г = п — т.

Определение 5. Скалярная система (0.1) называется минимально-фазовой, если числитель передаточной функции этой системы полином (Згп(з) ~ гурвицев.

Как отмечалось выше, обращение линейной динамической системы возможно с точностью до функции из ядра оператора Р. В случае линейной системы (0.1) [1] ядро оператора Р состоит из функций £о(0> являющихся решениями обыкновенного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами

А»фе<>(«) = о.

Таким образом в случае минимально-фазовой системы (0.1) ядро оператора Р состоит только из экспоненциально убывающих функций.

Для обращения системы (0.1) в соответствии с предложенным выше подходом используется управляемая модель

* = М + (0.3)

W — CZ ,

где управление u(t) выбирается из условия стабилизации в нуле системы в отклонениях

х = Ах + Ь(и - £), ■ ,

v У (0.4)

у = сх,

где х = z — z^ у — w — w. Если эта задача решена асимптотически (при t —> оо) или финитно, то lim \и—= 0, и за оценку входа прини-

t—► оо

мается £(t) = u(t). Это позволяет использовать при решении задачи известные методы стабилизации в условиях неопределенности, в том числе получившие развитие в последние годы [11-18], [39-45], [54-64], [75-77].

В Главе 1 рассматриваются скалярные системы с первым относительным порядком. Простейший алгоритм обращения основан на использовании для стабилизации системы (0.4) глубокой обратной связи Пц = —цу при fi —> оо. В этом случае в качестве оценки неизвестного входа £(t) используется

£ = Uoo = lim . (0.5)

Доказана

Теорема I. Пусть система (0.1) находится в общем положении и является минимально-фаз о в ой. Пусть, кроме того, £ G О0 = {ОД : i £ С[0, оо), |£(i)| < £0}. Тогда для £ из (0.5) справедлива оценка: — < Ke~'yi) где К, 7 = const > 0.

Предложенный алгоритм предъявляет минимальные требования к условиям задачи, однако, использование глубокой обратной связи не отвечает требованиям робастности.

В случае минимально-фазовой системы общего положения для построения робастного алгоритма обращения невырожденным преобразованием координат система (0.4) приводится к виду

х[ = А'х' + Ь'у , у = А"х' + Ъ"у + (и - О

где х' Е Rn_1, характеристический полином матрицы А' совпадает с числителем передаточной функции ^(s) полиномом /3n_i(s), т.е. матрица А' - гурвицева. Для восстановления вектора х' используется наблюдатель

£' = А'х' + Ь'у .

Стабилизирующее систему (0.4) управление выбирается в виде

и = Ui + и2 , щ = —А"х — Ъ"у , U2 = —осу — Fsgn(y),

при конечных константах а ж F.

В качестве оценки входного сигнала £(t) используется скользящее среднее управления, т.е.

t

£(f) = uT = I J u(r)dr (0.7)

t-т

Для входного сигнала f Е П1 = {£(*) : £ Е С[0,оо), \ф)\ < <

доказана

Теорема II. Пусть системы (0.1) находится в общем положении и является минимально-фазовой, ее относительный порядок равен 1, £ Е П1. Тогда для любого е > 0 существует Т > 0 такое, что для £ из (0.7), начиная с некоторого момента времени, выполнена оценка |£(i) — £(i)| < е.

Кроме того, показана робастность предложенного алгоритма по отношению к неидеальностям в переключениях релейного элемента и ошибкам измерения выхода системы w(t).

(0.6)

В Главе 2 рассмотрены системы с произвольным относительным порядком. Для обращения систем с максимальным относительным порядком п используется модель

2 = А2 + Ы> (0.8)

W = CZ ,

где вектор / Е Еп подлежит выбору.

При управлении и = —у = w — w для х = z — z, имеем следующее уравнение движения

х = Aix — ,

где Ai = А — lc. В силу наблюдаемости пары {А, с} спектр матрицы Ai, т.е. Spec{Ai} = {Ai, ..., Ап}, может быть назначен по произволу. При А; = — Xiß, Xi+i > Äi, Äi = 1, /i > 0 устанавливается иерархия коэффициентов /г- = /¿/¿п+1-г и доказана

Теорема III. Пусть система (0.1) находится в общем положении, £(t) £ П1, относительный порядок системы равен п. Тогда для любого е > 0 существует такой вектор I, что для £ — у_г

cAt Ь

справедлива оценка — £(t)\ < cie~^tjt£, где с\ и ¡л > 0 некоторые константы.

Предложенный подход распространяется на системы с произвольным относительным порядком.

В Главе 3 описан алгоритм, решающий задачу обращения системы (0.1) асимптотически точно. Для этого используется управляемая модель

z = Az + du, ,

- ~ (0-9)

W = CZ .

Пусть относительный порядок системы (0.1) равен 1. Выберем d из условия cd = 0, с Ad = 1. В этом случае неособым преобразованием координат система в отклонениях приводится к виду

х' = А'х' + Ь'у + d'u ,

Для оценки х' построим наблюдатель х' = А'х' + Ъ'у + d'u. Стабилизирующее управление и выбирается следующем образом:

„ = -кгх' - к2у + щ , ki = {А"А' + Ъ"А"} , к2 = {А"Ъ' + (б")2} , Щ = -h(b"y + А"х') - hy - Fsgny , luh,F > 0.

(0.10)

Доказана

Теорема IV. Пусть система (0.1) находится в общем положении и является минимально-фазо в ой, относительный порядок системы равен 1, £ Е Q1. Тогда при >0 и достаточно большом F > 0 £ = А"х' асимптотически сходится к £(t).

Показано, что предложенный алгоритм устойчив к неидеально-стям в переключениях релейного элемента временного типа, а в случае неидеальностей пространственного типа возникает статическая ошибка, которая, однако, выбором параметров 1\, 12 может быть сделана сколь угодно малой. Кроме того, при наличии ошибки в измерениях выхода w(t) порядка G, предложенный алгоритм решает задачу с погрешностью 0(G).

Описанный алгоритм решает задачу для систем с первым относительным порядком. В случае систем с поизвольным относительным порядком предложена итерационная процедура понижения относительного порядка задачи.

В Главе 4 предложены алгоритмы, решающие задачу обращения для неминимально-фазовых систем.

В Главе 5 рассматривается задача обращения в случае, когда известна волновая модель неизвестного входа

В Главе 6 предложенные выше методы обращения применены к управляемой системе

£ = Az + + du, w = cz,

показано, что в этом случае алгоритмы обращения обладают дополнительной прочностью к вариации параметров системы.

Пусть параметры системы известны с погрешностью АА, т.е.

z = (А + A A)z + b£ + du. (0.12)

0.11

Пусть так же

Ъ = <1, А А = Ъа, \а\<а° (0.13)

Для решения задачи обращения используем поверхность переключений а = кг = 0 и стабилизирующее управление вида

и = -1г + иь , и& = -(М + а°\г\)8дпа ,

где г - некоторая оценка фазового вектора г. В качестве оценки £ используется функция

£=-г4. (0.14)

Особенности алгоритмов обращения определяются теперь способом построения оценки г.

Для системы (0.11) с относительным порядком т существует неособое преобразование координат Рс, приводящее систему к виду

¿' = А'сг' + д'^ш + (1'си ,

т = с" г"

где г' е г" £ ¿еЬ^Е - А'с) = /Зт(з), матрицы А'с и д"8

имеют форму Фробениуса, Ь" — (0, ..,0,1), с" = (1,0,..., 0). Для оценивания г используется динамическая система

= А'сг' + д'спз + в!си , ¿" = А"2' + дУ + <Х'си - 1"{с"г" - яо). '

В случае минимально-фазовой системы е' —» 0, е' — г' — г'. Асимптотику е" — г" — г" определяет

Лемма. Пусть I" = (/ь...,/п_т)т; и = г = 1, ...,п-

т. Тогда существуют такие, что

|е"№1 < Кге-»* + К2е~^ + , КI, К2, К3 > 0, К3 не зависит от ¡л.

Таким образом при использовании глубокой обратной связи в наблюдателе (0.15) (т.е. при ¡i —> оо) ¡z — z\ —> 0 и верна

Теорема V. Пусть система (0.11) находится в общем положении и является минимально-фаз о в ой, £ £ О1. Тогда для любого е > 0 существует Т > 0 такое, что для £ из (0.14) с некоторого момента времени верна оценка |£(í) — £(í)| < c\e~l1 + е, Ci,J— const > 0.

В Главе 7 алгоритмы обращения управляемых систем, предложенные в Главе 6, обобщены на случай векторных систем, т.е. систем с векторным входами и выходами w(t), £(t) Е R^.

Основные результаты работы:

1. Предложен подход к робастному обращению линейных систем, основанный на современных методах стабилизации неопределенных систем.

2. Предложены алгоритмы робастного обращения линейных конечномерных динамических SISO и MIMO систем по выходу.

3. Исследована сходимость предложенных алгоритмов, а так же их устойчивость по отношению к различным классам параметрических возмущений и ошиб�