Роль микроструктуры в формировании эффективных электромагнитных свойств неупорядоченных сред

Виноградов, Алексей Петрович

Автореферат диссертации на тему "Роль микроструктуры в формировании эффективных электромагнитных свойств неупорядоченных сред"

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ И ПРИКЛАДНОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ ОБЪЕДИНЕННОГО ИНСТИТУТА ВЫСОКИХ ТЕМПЕРАТУР

РОЛЬ МИКРОСТРУКТУРЫ В ФОРМИРОВАНИИ ЭФФЕКТИВНЫХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ СВОЙСТВ НЕУПОРЯДОЧЕННЫХ СРЕД

Специальность 01.04.13 - Электрофизика

Диссертация в виде научного доклада на соискание ученой

степени

доктора физико-математических наук

На правах рукописи УДК 537.826

ВИНОГРАДОВ АЛЕКСЕЙ ПЕТРОВИЧ

Москва - 2003

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Третьяков С. А.

доктор физико-математических наук, профессор Шевченко В. В.

доктор физико-математических наук Мейлихов Е. 3. Ведущая организация: Институт кристаллографии им. А. В. Шубникова РАН

Защита состоится "_"_2003 г. в_часов на заседании

Диссертационного совета Д 002.110.01 при Объединенном институте высоких температур РАН (125412, Москва, Ижорская ул., 13/19, ОИЗТ РАН)

С диссертацией в виде научного доклада можно ознакомиться в библиотеке ОИВТ РАН.

Диссертация в виде научного доклада разослана _2003 г.

Ученый секретарь Диссертационного совета '

I

к.ф.-м.н. А.Т. Кунавин

Введение

Актуальность темы. Наука о композитных материалах (или в более широком смысле наука о гетерогенных средах) является бурно развивающейся отраслью знания во всех ее аспектах, будь то исследования механических свойств, изучение процессов переноса и теплообмена или течение химических реакций. В настоящей диссертации поведение гетерогенных сред рассмотрено с позиции электродинамики.

Данная проблема имеет более чем вековую историю. На протяжении этого времени ученые неоднократно обращались к ней, каждый раз освещая все новые ее стороны. Первые работы Лорентца, Максвелла, Моссотти представляли собой попытки совместить уравнения Максвелла, в которые входят непрерывные параметры е и ц, с представлением об атомном, т. е. разрывном строении вещества. Следующий всплеск интереса к данной проблеме был порожден развитием квантово-механической теории конденсированных сред. Фактически, с тех пор интерес к исследованиям в данной области никогда не ослабевал, подогреваясь появлением все новых объектов исследования: полупроводников, сверхпроводников, активных сред (лазеров), аморфных материалов и т.д. Другая ветвь исследований, имеющая дело с неквантовыми явлениями, была порождена потребностями радиотехники. Развитие радиолокации потребовало с одной стороны исследовать свойства неоднородных сред, в частности атмосферы, по которым распространяются волны, а с другой стороны создавать новые материалы со свойствами, необходимыми для конструирования радиотехнических установок и приборов. В последнее время интерес к проблемам электродинамики гетерогенных систем в классической постановке возрос в связи с развитием "стелс-технологии".

Тема исследований данной диссертации принадлежит к последнему, неквантовому направлению. Казалось бы, что, имея столь конкретные приложения, эта область электродинамики должна погрязнуть в обилии расчетов конкретных конструкций. Однако реальность в очередной раз подтверждает, что серьезные приложения требуют глубокого понимания. Поэтому целью данной работы явились не конкретные расчеты свойств той или иной системы и даже не вывод формул для таких, расчетов,_а -

нис. национальная \ БИБЛИОТЕКА I

исследование эффектов, сопровождающих электромагнитный транспорт через неупорядоченные системы, и разработка методов описания этих эффектов.

Многообразие различных эффектов, наблюдаемых в конденсированных средах в зависимости от энергии и пространственного масштаба, на котором разыгрываются события, не позволяет решить все проблемы в рамках одного подхода. Поэтому в диссертации рассмотрены лишь среды, описываемые материальными уравнениями с параметрами, зависящими от пространственных координат. Это предполагает, что, во-первых, масштаб неоднородностей настолько велик, что локально можно провести первичное усреднение по атомным масштабам, получив материальные уравнения Максвелла. Эти уравнения ниже называются микроскопическими. Во-вторых, предполагается, что распределение материальных параметров статистически однородно, и, в-третьих, предполагается, что масштаб неоднородностей настолько мёл по сравнению с длиной волны, что имеет смысл проводить вторичное усреднение по масштабу изменения материальных параметров. Именно этой задаче уделено основное внимание в работе.

В литературе эту задачу принято называть задачей гомогенизации. Она состоит в нахождении макроскопических уравнений, описывающих поведение полей, изначально подчиняющихся микроскопическим уравнениям, после их усреднения по масштабу неоднородности распределения диэлектрической и магнитной проницаемостей. Иными словами, речь идет о вторичном усреднении полей и о нахождении эффективных материальных параметров.

Несмотря на столь жесткие ограничения области исследования, развиваемые идеи имеют широкое применение, как на практике, так и в фундаментальной науке.

Цель работы - исследование электромагнитных свойств гетерогенных материалов в широком диапазоне значений отношения длины волны к масштабу неоднородностей. Основное внимание уделяется роли структуры неоднородности в формировании макроскопических свойств вещества. Для достижения этой цели в работе были поставлены и решены следующие задачи:

1) исследование зависимости локальных статических полей от микроструктуры неоднородностей;

2) исследование структуры бесконечного проводящего кластера, образующегося в смеси металла и диэлектрика, и влияние этой структуры на критическое поведение системы;

3) исследование роли микроструктуры при непотенциальном взаимодействии электромагнитного поля с отдельными включениями, ведущей к проявлению искусственного парамагнетизма, киральности и т.п. явлениям;

4) исследование взаимодействия электромагнитных волн с гетерогенными системами, обладающими развитой (многомасштабной) неоднородностью;

5) исследование явлений, связанных с наличием границы;

6) исследование интерференционных эффектов при распространении и локализации электромагнитных волн.

Научная новизна. Основные научные результаты, полученные в диссертации, расположены в порядке возрастания сложности рассматриваемой проблемы, и состоят в следующем:

1. (Статика, "одно-частичное" приближение) Исследовано влияние структуры неоднородностей на величину локального поля. Предложена современная трактовка формулы Лоренц-Лорентца, избегающая традиционного суммирования условно сходящихся рядов. Предложена модификация теории эффективной среды, учитывающая влияние микрокорреляций на величину порога протекания.

2. (Статика, многочастичная задача протекания) В рамках численного эксперимента исследовано критическое поведение перколяционных систем. Впервые для многих критических индексов получены значения, принятые в современной литературе. Продемонстрирована справедливость гипотезы масштабной инвариантности для перколяционной системы на пороге протекания. Учитывая то, что масштабная инвариантность перколяционной системы проявляется как явление самопохожести перколяционных кластеров, построена иерархическая капельная модель бесконечного кластера. Показано принципиальное различие в строении бесконечного кластера двумерной и трехмерной систем.

5

3. (Задача протекания. Квазистатика) Исследована частотная дисперсия диэлектрической проницаемости перколяционной системы в критической области концентраций. Впервые получены значения критических индексов, описывающие частотную дисперсию диэлектрической проницаемости.

4. (Эффекты, связанные с непотенциальностью взаимодействия электромагнитного поля с отдельными включениями, одночастичная задача). Исследованы киральные свойства спиралевидных включений. Показано, что наблюдаемое явление киральности существенно только при резонансном взаимодействием электромагнитного излучения с отдельным включением. Исследовано многомодовое возмущение включения.

Исследовано явление искусственного магнетизма, вызванного как эффектом скинирования, так и возбуждением магнитных мод. Предложены искусственные магнетики на основе противоположно закрученных спиралей. Исследованы частотные характеристики отклика таких включений в зависимости от угла захода. Дано качественное объяснение сильной зависимости резонансной частоты конечных отрезков противоположно закрученных спиралей от начального угла между спиралями.

Исследован вклад квадрупольного момента в материальные уравнения. Предсказана квадрупольная поляризационная катастрофа, проявляющаяся в увеличении эффективной диэлектрической проницаемости. Объяснено наблюдавшееся в эксперименте (В. Н. Семененко и В. А. Чистяев, 1997) аномальное поведение диэлектрической проницаемости (наличие пика в значениях диэлектрической проницаемости в области магнитного резонанса). Предсказано существование продольных квадрупольных мод. Предложен ряд сред, в которых квадрупольное взаимодействие может превалировать над дипольным.

5. (Вихревые поля, многочастичная задача) Построена скейлинговая теория гомогенизации уравнений Максвелла для сред с многомасштабной неоднородностью при условии непотенциального взаимодействия электромагнитного излучения с неоднородностями среды.

6. (Явления, связанные с наличием границы, квазистатика) Исследованы размерные эффекты в островковых пленках при

переходе от пленарных систем к трехмерным. Показано нарушение универсальности пленарных перколяционных систем, проявляющееся в зависимости эффективных параметров пленки от свойств окружающего пространства.

Исследована структура электродинамического переходного слоя в неоднородных материалах. Показано, что структура полей в области границы раздела сред существенно отличается от структуры, предсказанной теорией Френеля. В области резонансного взаимодействия это отличие может достигать сотен процентов, проявляясь в смещении частоты линии поглощения образца.

Рассмотрена проблема граничных условий в условиях резонансного взаимодействия электромагнитных волн с включениями, когда данное взаимодействие нельзя рассматривать как малое возмущение, вызванное запаздыванием волны на масштабе включения. Исследована роль эффективного переходного слоя в этих условиях. Получено обобщение теории Друде переходного слоя.

7. (Явления, связанные с наличием границы, динамика, одномерный случай.) Исследована возможность гомогенизации одномерных систем конечной толщины. Показано, что введение локальных эффективных параметров невозможно даже в длинноволновом приближении. Попытка учесть запаздывание на масштабе неоднородности приводит к зависимости эффективных параметров от толщины образца. Отклонения от значений, предсказанных теорией Рытова (Рытов, 1943) для бесконечной системы, могут достигать сотен процентов даже в длинноволновом пределе. Это связано с тем, что существенную роль играет эффективный переходный слой вблизи границы, где решение перестраивается, стремясь к блоховскому виду (решение Рытова для бесконечной системы).

8. (Явления, связанные с наличием границы, среды с пространственной дисперсией) Построена феноменологическая теория, учитывающая наличие флуктуирующих полей не только в гетерогенной среде (среде с пространственной дисперсией), но и в однородной среде, непосредственно прилегающей к гетерогенной.

9. (Явления, обусловленные интерференцией рассеянных волн) Исследована зависимость длины локализации света от частоты в

одномерной, случайно неупорядоченной системе. Построена зонная теория локализации света в одномерных системах.

Автор выносит на защиту:

1. Современную трактовку формулы Лоренц-Лорентца, избегающую традиционного суммирования условно сходящихся рядов. На основании развитого подхода показано, что величина порога протекания определяется высшими (начиная с четвертого порядка) корреляторами диэлектрической проницаемости. Модификация теории эффективной среды, учитывающая влияние микрокорреляций, возникающих из-за существования канала протекания, и позволяющая описывать проводимость (диэлектрическую проницаемость) различных неоднородных сред с а priori известным значением порога протекания.

2. Расчет критических индексов перколяционной системы, описывающих критическое поведение проводимости, степени анизотропии проводимости, а также частотную зависимость материальных параметров перколяционных систем, включая внутреннюю индуктивность перколяционной системы. В рамках численного эксперимента подтверждена гипотеза скейлинга и впервые найдены современные значения критических индексов.

3. Результаты исследования структуры бесконечного кластера, включая определение структуры одножильных каналов и роли дублированных участков (капель) канала протекания в пространствах различной размерности. Самопохожую (фрактальную) капельную модель бесконечного кластера.

4. Результаты исследования планарных перколяционных систем, являющихся моделью островковых пленок и тонких гранулированных покрытий. Тот факт, что планарные системы отличаются от двумерных и трехмерных перколяционных систем. Доказательство того, что планарные системы не универсальны, а именно, то, что критические индексы планарной системы зависят от проводимости (диэлектрической проницаемости) окружающего пространства. При этом исследован переход от планарной системы к трехмерной системе и показано, что в не зависимости от величины длины корреляции в планарной системе переход к свойствам трехмерной системы наблюдается на 4-5 слоях.

5. Исследование резонансных и поверхностных „ свойств киральных систем. Показано, что заметный эффект киральности наблюдается только в области резонансного взаимодействия падающей волны с отдельным включением. Найдены условия резонанса при возбуждении различных мод, распространяющихся по включениям спиралевидной формы. Исследован переходный слой между киральной средой и обыкновенной. Показано, что наличие в задаче аксиального вектора (градиента фактора киральности) не приводит к нарушению взаимности среды, что опровергает существовавшее в литературе мнение об ответственности переходного слоя за появление невзаимного эффекта - вращении поляризации при отражении.

6. Новый тип искусственных магнетиков на основе встречно-намотанных спиралей. Впервые в рамках численного эксперимента показана перспективность использования таких включений для создания искусственных магнетиков. Исследована зависимость резонансной частоты от геометрических параметров таких включений, в частности выявлена сильная зависимость от начального угла захода второй спирали относительно первой.

7. Новый тип искусственных сред - квадрупольные среды. Получено дисперсионное уравнение. Предсказание возможности квадрупольной поляризационной катастрофы и распространение продольных волн. На основании развитой теории дано качественное объяснение аномалии диэлектрической проницаемости, наблюдавшейся ранее в эксперименте (В. Н. Семененко и В. А. Чистяева) по искусственным магнетикам на основе встречно-намотанных спиралей. Предложен ряд реализаций сред, в которых взаимодействие электромагнитной волны с включением носит преимущественно квадрупольный характер.

8. Скейлинговую теорию гомогенизации уравнений Максвелла для неоднородных сред с многомасштабными флукгуациями материальных параметров. Впервые удалось корректно определить понятие высокочастотного эффективного магнитного момента для неоднородной системы. Предложенный алгоритм гомогенизации основан на доказанной математической лемме о том, что любое векторное поле представимо как сумма его "электрического дипольного", "электрического квадрупольного" и "магнитного дипольного" моментов. Показано, что при усреднении моменты

необходимо рассчитывать относительно геометрического центра токонесущей ячейки. В рамках развитой теории получены уравнения теории эффективной среды, учитывающие скинирование полей на отдельных включениях. Показано, что скинирование поля на флуктуациях плотности может приводить к значительному повышению мнимой части диэлектрической проницаемости композита.

9. Доказательство отсутствия эффективной диэлектрической проницаемости у одномерной (слоистой) среды при учете эффектов запаздывания (эффектов пространственной дисперсии). Расхождение между рытовскими точными значениями, полученными для бесконечной среды и значениями, полученными для конечных образцов, может достигать сотен процентов.

10. Феноменологическую теорию дополнительных граничных условий для неоднородных сред в области СВЧ частот, где наблюдается существенное влияние пространственной дисперсии.

11. Предсказание возникновения эффективного электродинамического слоя в пространственно статистически однородных гетерогенных средах.

Хотя основной акцент сделан на теоретических аспектах, полученные результаты критически оценены с точки зрения практики и эксперимента.

Результаты диссертации могут быть использованы прй создании новых радиоматериалов.

Апробация работы. Основные результаты, представленные в диссертации, докладывались и обсуждались на многочисленных международных и всесоюзных конференциях, а также на семинарах в ИТПЭ ОИВТ РАН, Теор. отдела Физического института им. Лебедева, Теор. отдела Института общей физики РАН, Теор. отдела ОИВТ РАН, физфака Гомельского Университета, инженерного факультета по электричеству и связи Хельсинского технического университета, факультета материаловедения Пенсильванского университета, на Общемосковском радиофизическом семинаре (ИРЭ-1ЕЕЕ), на семинаре Теоретического отдела физико-технического института им. Иоффе, в Киевском государственном университете, в Сингапурском

ю

Национальном Университете, на школе по гомогенизации в Институте Теоретической Физики (Триест, Италия)

Публикации. Результаты диссертации изложены в четырех монографиях, где диссертант выступал как автор, соавтор и научный редактор, либо как соавтор, в 33 статьях, опубликованных в центральных отечественных и зарубежных журналах, и многократно докладывались на международных и всесоюзных конференциях

Первая глава. Статика, формулы смешения в одночастичном приближение

Исторически первые формулы смешения (формулы для расчета эффективной диэлектрической проницаемости смеси) были получены в рамках одночастичного приближения. Неполный список таких формул теория возмущений не учитывающая взаимное влияние частиц1; приближение ДКМ. Гарнетта2, основанное на формуле Лорентц-Лоренца и учитывающее взаимное влияние частиц в дипольном приближении, теория возмущений Херринга3, обобщение Коэна формулы Гарнетта на случай анизотропных частиц4, формула Оделевского5, несимметричная формула фон Бруггемана6, самосогласованные теории типа теории когерентного потенциала в физике твердого тела - прежде всего формула фон Бруггемана для симметричной смеси, так называемая Теория эффективной среды (ТЭС)7; модификация ТЭС, учитывающая образование кластеров8, формула ТЭС для композита, наполненного сильно вытянутыми включениями9; формула Лихтенэкера10, формула Релея-Вагнера",

1 Ландау Л Д и Лифшиц Е М. Электродинамика сплошных сред третье издание Наука Главная редакция физико-математической литературы Москва 1992

2 Garnett J CM //Phil Trans R Soc Lon 1904 V 203 №1 P 385

3 Herring С //J Appl Phys 1960 V 31. P 1939

4 Landauer R , A\P Conference Proc No 40 Ed J С Garland. D В Tanner AIP. New York, 1978

5 Оделевский В И //ЖТФ1951 T 21. С 667. С 678. С 1379

6 Браун В Диэлектрики И/1, М 1961

7 Bruggeman D A G //Ann Phys (Leipzig) 1935 V 24 № 2 Р 636

8 Hui Р М Stroud D //Phys Rev 1986 B33. №4. P 2163

9 Lagarkov A N.SarychevAK //Phys Rev В 1996 v 53. №10. P 6318

10 Lichtenecker К. Kotherll 1931 Z Phys V 32. P 255

11 Wagner К W //1914 Arch Electrochem V 2 P 371

приближение Онзагера12 для частиц с собственным дипольным моментом и его модификация Беттхера13.

Отличие всех этих формул от теории возмущений заключается в предположении о том, что отдельное включение находится не во внешнем и даже не в среднем поле, а в некотором однородном же локальном поле. Отличие локального поля от внешнего и среднего полей связывается с наличием включений. Различные методы оценки локального поля и разнят выше приведенные формулы.

Наиболее распространенным приближением для расчета Е1х является формула Клаузиуса-Моссотти-Лорентц-Лоренца (КМЛЛ):

4я

Е1ос=<Е>+—Р

3

Применение этой формулы оказалось довольно успешным при объяснении целого ряда явлений в оптике материальных сред и в электродинамике композитов. Однако традиционный вывод, связанный с суммированием условно сходящихся рядов, не выдерживает никакой критики. Вопрос о выводе формулы становится актуальным в связи с попытками использовать традиционный подход для уточнения теории или при применении формулы к плазменно-подобным объектам.

Покажем [1,2], что отличие локального поля от среднего связано с полем внутри включения, а не с дискретностью вещества, как считалось ранее (см. например14).

Для доказательства разобьем весь объем, на ячейки, каждая из которых содержит лишь один диполь15 (ячейки Вигнера-Зейтца в регулярной системе или ячейки Вороного в случайной системе). Определим локальное поле Е1ос(г) в ячейке как сумму внешнего поля

и полей всех диполей, не находящихся в данной ячейке. Тогда поле, действующее на диполь, находящийся в данной ячейке, в точке гсМ,

12 фонХиппвль А. Р. Диэлектрики и волны. М.: ИЛ, 1960

13 Браун В. Диэлектрики. ИЛ, М. 1961

м LandauerR.ll Proc. AIP Conference, 1978, № 40. Р.2, фон Хиппель А. Р. Диэлектрики и волны. М.: ИЛ, 1960, Collin R. Е. Field Theory of Guided Waves. NY.: IEEE PRESS, 1991 Джексон Дж. Классическая электродинамика М.: Мир, 1965, Браун В. Диэлектрики. М.: ИЛ, 1961

Так как в данном подходе учитывая лишь дипольный отклик включения, то, следуя традиции, будем называть включения диполями.

m

Рис. 1 Поле диполя, усредненное по сфере, содержащей диполь, (а) равно ( -4пр/3), где р - дипольный момент, а по сфере радиуса Rue центром в г, но не содержащей диполь (б) равно 4nR3E(rc)/3 (см. Джексон Дж. Классическая электродинамика)

равно:

Е1сс (гс,П ) = Ее« + „ Ed,p (Гсе11 ~ Г) •

Полное же поле включает также и поле самого диполя. Величина полного поля, усредненного по ячейке, содержащей выделенный диполь, равна

+7-11 (*+- OK* +К),. „_,.,

У cell Усец '*"

здесь Vcell - объем ячейки, Vmcl - объем включения, Emd - поле внутри включения. Отсюда следует, что

(Е) ~ Е1ос = (Етс, - Е1ос (гг„))^+(ЕЛр) +

1ЫПdx> I 4ге*Агсч.~г)

¡{x,xJ)Y\dxJ X —r-E+fa-r)

2 dxßxj

Первый член в правой части соответствует формуле Клаузиуса-Моссотти-Лорентц-Лоренца, как будет показано ниже, он равен 4лЛ/3 (см Рис 1). Последующие члены отвечают полю Гайнера, введенному в работе16, чтобы охарактеризовать отличие полей, индуцированных дискретными источниками, от полей, индуцированных непрерывным распределением диполей. Для симметричного (кубическая решетка) так же как и для изотропного распределения диполей суммы равны нулю и формула Клаузиуса-Моссотти-Лорентц-Лоренца становится точной. Ниже последнее утверждение доказано [3] в рамках подхода Татарского-Финкельберга. Резюмируя, можно сказать, что поле Моссотти не связано с дискретным характером среды, окружающей данный диполь, и его нельзя найти, суммируя поля оставшихся диполей. Отличие действующего поля от среднего связано с тем, что диполи рассматриваются как точечные. Если минимальное расстояние между разноименными зарядами (размер диполя) сравнимо со средним расстоянием между диполями, то имеет смысл говорить лишь о поле, действующем на заряд, а не на диполь. В этом случае, например в плазме, среднее поле равно действующему.

Так как отличие локального поля от среднего не связано с дискретностью среды, то это явление можно исследовать в рамках приближения сплошной среды [3]. Следуя Финкельбергу, запишем уравнение для локального поля в виде:

а также введем функцию F = [(2e„ + б)/Зе0]£. Тогда получим

F = £0+JJJ(¡iF)C¿V

Если это уравнение решать последовательными итерациями, то

(s-е,,)

мы получим ряды по степеням Ç = 3-^-LL-

(2е0+Е)

(F) = (l + (CÇ) + (G^) + ...)£0 (ÇF) = ((4) + (ÇGÇ) + (ÇGÇGÇ) + ...)£,

16 GhinerA.V. and Surdutovich G.I. II Phys. Rev. A. 1994. V. 50. Ns 1. P. 714

В отличие от флуктуаций е флуктуации £ ограничены, что улучшает сходимость вышеприведенных рядов в сравнении с аналогичными рядами по возмущению е. Исключая из этих рядов £0, получим

(^Н^)17, где

- коммулянты, например,

Можно показать, что §е11. =3(ее|Г-е0)/(2е0+ ее„). Данное уравнение позволяет найти эффективную проводимость при известном разложении по коммулянтам. Если в этом разложении

ограничиться первым членом, то для в0 = гта, получается формула Гарнетта, а для е0 = ге(Г уравнение ТЭС: 4с1Т = 0.

Так как - х2)К2(х],х2)ск1ск2 =0, то следующая поправка

связана с коммулянтом четвертого порядка К4(х„...,хА)~(£,2}2.

Уравнение ТЭС + 0 дает возможность проследить

зависимость порога протекания от микрокорреляций (Рис. 2).

Рис. 2 Зависимость порога протекания от фактора корреляции

81 г

а = т77ттг[1, я|и*|-ьмь -*4)аг4(*„...,х4))л1 .....&4]

17 Финкельберг В.М. II. ЖТФ 34 509 (1964)

15

Наиболее сильно микрокорреляции проявляются вблизи порога протекания. Действительно, токонесущая часть проводящей компоненты принадлежит скелету бесконечного кластера (СБК) и заведомо имеет рядом проводящее включение. Так что фактически имеется некоторое превышение проводящих включений вблизи СБК. Учитывая их влияние в рамках теории локального поля, можно получить модифицированную (МТЭС) формулу ТЭС [4], в которую порог протекания входит как свободный параметр. Вместо

стандартного уравнения (в™г) = ((е,^, - е^ )/(е,„с, + 2ее#)) = О предлагается решать уравнение (в /(\ -сВшт)) = 0, где

дополнительная концентрация металла вокруг элемента, принадлежащего бесконечному кластеру. Эффективность данного подхода продемонстрирована на различных гетерогенных системах.

Рис. 3 Зависимость удельного сопротивления р от объемной концентрации вольфрама хш. Результаты эксперимента (кривая I) и МТЭС (кривая 2), и ТЭС (кривая 3).

Так в работе18 исследовалась проводимость композитной смеси, где в качестве металла использовали вольфрам, а диэлектриком служил А1203. Значение порога протекания в этих экспериментах

" Abeles, H.L. Pinch P. Gittlemann II Phys. Rev. Lett. 35,247 (1975)

}

2

M ft* И M

близко к двумерному случаю />, » 0.47, однако, критическое поведение проводимости (сг~(р-рс)'9) указывает на трехмерный характер явления. Высокий порог протекания, по-видимому, связан с сильными корреляциями в процессе изготовления (распыление вольфрама и А1203 на холодную подложку). Как и следовало ожидать, МТЭС дает существенно лучшее согласие с экспериментом, чем ТЭС, хотя вблизи порога протекания наблюдается некоторое расхождение (Рис. 3).

Рис. 4 Зависимость эффективной проводимости о(х)/о(0) от вероятности х связи быть проводящей. Кривая 1 - МТЭС, кривая 2 -численный эксперимент, кривая 3 - ТЭС

На рис. 4 представлено сравнение МТЭС и ТЭС применительно к численному моделированию протекания на решеточной задаче связей. При генерации системы вероятность связи быть проводящей определялась не только концентрацией проводящих связей, но и окружением данной связи19. В результате порог протекания смещался до уровня рс = 0.145.

В20 исследовался композитный материал ZrC-C (см. Рис. 5). Карбид циркония в этом случае выступает в качестве высокопроводящей фазы, а аморфный углерод представляет высокоомную фазу. Для согласования теории с экспериментом в этих

19 Webman, J. Jortner, М.Н. Cohen II Phys. Rev. B11. 2885 (1974); J. Webman, J. Jortner, М.Н. Cohen II Phys. Rev. B14, 4737 (1976)

20 A.V. Gaisanyuk, K.l. Kugel, V.A. Petnov, et al. II phys. stat. sol. (a) 48, K131 (1978); A.V. Gaisanyuk, K.l. Kugel, V.A. Peftw//phys. stat. sol. (a) 52, K81 (1979)

17

работах было сделано предположение о существовании в системе двух порогов протекания.

Рис. 5 Зависимость удельного сопротивления от концентрации карбида циркония.

В подпороговой фазе, где проводимость определяется в основном токами, текущими по высокоомной фазе предлагалось описывать проводимость по закону

с~{р-РыУ> А, »0.34

В проводящей фазе закон изменения проводимости с концентрацией полагался

<Г~(Р-Рсш)'> Ры*0Л5

Применение МТЭС позволяет избежать столь сильных предположений. Действительно эксперимент (см. Рис. 5) довольно хорошо описывается в рамках одного порога протекания, равного 0.28.

Рис. 6 Проводимость островковой пленки от удельной площади хв,, занимаемой висмутом.

Аналогичная картина наблюдается в эксперименте по проводимости островковых пленок21. В этом эксперименте исследовалась проводимость ультратонких пленок висмута. Напыленного металла было столь мало, что полностью пленка не образовывается, получаются лишь отдельные острова, концентрация которых контролировалась при помощи электронного микроскопа. Как и следовало ожидать, система проявляет существенно двумерные свойства: а~{р-, однако, порог протекания здесь также велик рс ~ 0.67. Результаты для проводимости приведены на Рис. 6. Характерно, что экспериментальные точки ложатся на /У-образную кривую, такой же характер, но существенно менее выраженный имеет кривая, построенная по МТЭС. Традиционная ТЭС дает прямую линию. Л/-образность кривой связана с тем, что в эксперименте наблюдается более резкое падение дополнительной концентрации с при отклонении от порога протекания, чем это предсказывалось в МТЭС.

Помимо композитных материалов в рамках модели бинарной смеси можно рассмотреть более широкий класс материалов. Так в растворах Л/а и и в аммиаке проводимость меняется более чем на три порядка при изменении концентрации металла от 1 до 10% моль-содержания. Более того, это изменение носит столь резкий характер, что можно говорить о переходе металл-диэлектрик при изменении

21 N. Т. Liang, J. Shang Shou-yih Wang II Phys. Rev. Lett. 37, 526 (1976)

19

концентрации металла. В работах22 предложено описывать такую систему в рамках модели, в которой предполагается наличие микрообластей с различным содержанием металла. Так как при концентрациях меньших 2.3 МРМ система ведет себя как диэлектрик, а при концентрациях больших 9 МРМ как металл, то была принята наиболее простая модель бинарной смеси: при любой концентрации раствор состоял из областей с концентрациями либо 2.3 МРМ либо 9 МРМ. Отношение объемов этих областей определяется полной концентрацией металла. Доля проводящих областей равна нулю при концентрации металла равной 2.3 МРМ и равна единице при концентрации равной 9 МРМ. На рис. 7, 8 приведена зависимость проводимости раствора от концентрации проводящих областей, при этом «0.2. Как видно, МТЭС прекрасно описывает эксперимент, некоторые расхождения наблюдаются лишь вблизи « 0.2.

Рис. 7 Растворах N в аммиаке Рис. 8 Растворах Ь' в аммиаке

Далее исследовано локальное поле в магнитных материалах [5]. Известно23, что в отличие от случая электрического поля магнитная проницаемость описывает отклик не на напряженность среднего микроскопического поля, которое принято называть магнитной индукцией В, а на поле сторонних источников, которое носит название магнитного поля Я. Таким образом, если в электрическом случае при получении восприимчивости вещества достаточно учесть отличие локального поля от среднего, то в магнитном случае необходимо учесть, что отклик одной частицы

11 М.Н. Cohen, J. Jortnerll Phys. Rev. B13, 1548 (1976); M.H. Cohen, J. Jortnerll

J. Chem. Phys. M, 5170 (1976)

23 Таим И.Е. Основы теории электричества. 1956

происходит на локальное значение магнитной индукции В, а восприимчивость ищется как отклик на магнитное поле Н. Показано, что суммарный эффект от двух этих факторов приводит к формуле Гарнетта для разбавленной магнитной смеси [5].

Вторая глава. Статика, многочастичная задача — теория протекания

В данной главе исследуется поведение проводимости перколяционной системы, представляющей собой предельный случай системы с флуктуациями проводимости. В рамках численного эксперимента рассчитаны критические индексы плотности бесконечного кластера (БК), плотности скелета бесконечного кластера (СБК), проводимости [6-8]. Впервые получены современные значения критических индексов проводимости трехмерной системы и анизотропной системы [9].

I

Исследована структура СБК, а именно распределение одножильных каналов по длинам и степень их дублирования [10].

Рис. 9 Модель СБК Скал-Шкловского-де Жена

До проведенных исследований в литературе существовало представление о БК, точнее о СБК, как об одножильной сверхрешетке с шагом, равным корреляционной длине (см. Рис. 9).

Шкловским было показано, что длина связи ведет себя как

Данная модель довольно хорошо описывает трехмерный случай, но совсем не годится для двумерного, так как в этом случае

Показано [10], что одножильный канал представляет собой совокупность сравнительно коротких одножильных участков, разделенных дублированными участками - каплями (Рис. 10).

Показано, что принципиальное различие в строении БК двумерных и трехмерных систем связано с различным соотношением вклада капель и одножильных путей в формирование физических свойств. Если в двумерной системе основную роль играют капли, то в трехмерном случае их роль существенно ослаблена.

Рис. 10 Типичный вид фрагмента СБК [11].

24 B.J. Last, D.J. Thoutess II Phys. Rv. Lett. 27, 1719 (1977); A.C. Скал, Б.И. Шкловский II ФТП Т. 8, 1586, (1974); P. J. de Gennes II J. de Phys. (Paris) Lett. 37. L1, (1976)

Это различие наиболее наглядно проявляется при исследовании анизотропно-проводящей металлической компоненты. В этом случае для */>3 индекс X, описывающий анизотропию системы растет с ростом й, но для <1 = 2 наблюдается аномально большое значение этого индекса Х2 = 0.7 » Х3 = 0.2. Этот факт был объяснен в рамках капельной иерархической модели БК и СБК [1213], дающей хорошее согласие с результатами численного эксперимента по'всем известным характеристикам.

Получена оценка для критического индекса проводимости. Так

как с = 1 /(1 +1 /вш,) = аШк, —^-< а,,,„, то. / > /,„„.

ст,™ +ан/„

В качестве модели СБК предложен математический объект -случайный самопохожий фрактал конечной связанности. Показано, что все ранее предлагавшиеся модели могут быть описаны на этом языке [11].

Самопохожесть фрактала означает, что в таком фрактале можно выделить уровни (масштабы) иерархии. На каждом уровне иерархии фрактал можно представить как каплю с внешними концами, состоящую из капель предыдущего уровня иерархии, соединенных между собой по своим внешним концам. Число внешних связей назовем валентностью капли.

Назовем множество капель одинаковой валентности и структуры классом. Структура капли определяется не только способом объединения капель предыдущего уровня иерархии, но и классами этих капель.

Пусть В'"'" - число нуль-капель в капле /-ого класса уровня (и -1) иерархии, тогда

= = р»вт (1)

где Р - число (и-1)-капель класса / в л-капле класса /'. В предположении о самопохожести не зависит от п.

При больших п В^'-Х^с,, где Хтах и с, - максимальное собственное число и соответствующий ему собственный вектор матрицы Р. По смыслу (1) все с, >0. Если все с, >0, то "масса" (число нуль-капель) любой капли не зависимо от класса, к которому она принадлежит, нарастает одинаково с ростом п.

23

Рассмотрим далее множество л-капель, описываемое вектором N{"', где N]"' - число л-капель класса /. Для любого т<п

N(m) = (РТ )"'"* Nim)

в частности

Ni0) = (РТ у * Nln)

Известно, что собственные значения матрицы и транспонированной матрицы совпадают.

Поэтому, если в качестве N'"' взять собственный вектор с, транспонированной матрицы, соответствующий собственному числу

то

(2)

т.е. относительное число капель разных классов одинаково как на нулевом так и на п-ом уровне. Более того, относительная концентрация капель будет сохраняться для любого m < п. Соотношение (2) означает, что если мы возьмем множество нуль-капель, концентрации классов в котором задаются нормированным вектором с,, то после сборки их по закону, определяемому матрицей Ри, лишних капель не останется — все уйдут в дело. Важно, что это верно для любого л.

Если все сь > 0, то в системе на любом уровне присутствуют все классы. Если же и все с, >0, то "масса" капли любого класса одна и та же. В этом смысле любая из капель является репрезентативным представителем множества капель, задаваемого вектором ст. Именно это множество мы и будем называть капельным самопохожим фракталом.

Обобщение на случайные фракталы элементарно. Для этого будем считать, что в один класс входят капли разной внутренней структуры, но одной валентности. При этом необходимо указать плотность вероятности, с которой появляется та или иная капля. Алгоритм построения капель любого уровня иерархии остается тем же, что и в случае регулярных фракталов, с небольшим дополнением. При построении л-капли из (л-1)-капель представитель

/-го класса (л -1)-капли выбирается случайно в соответствии с существующей в этом классе плотностью вероятностей.

Так как в рассматриваемом случае существует априорная информация о принадлежности фрагмента к БК, то все полученные для регулярных фракталов соотношения верны и для случайных фракталов с заменой матрицы Р на ее среднее значение.

Критический бесконечный кластер задачи проотекания характеризуется следующими свойствами:

1. Задача "вторичного" протекания на БК и СБК имеет порог протекания р1 = 1. Под "вторичным" протеканием имеется в виду постановка задачи о протекании на графе БК и СБК.

2. Фрагмент БК линейного размера /. имеет в среднем одножильную часть суммарной длины ¿~Ь"У, где V - критический индекс корреляционной длины.

3. Существует конечная вероятность рк, того, что фрагмент БК не имеет одножильного канала25.

4. В СБК имеются одножильные участки сколь угодно большой длины, но средняя длина одножильного участка конечна и зависит от размерности пространства с/. Для 6=3 распределение не дублированных участков по длинам имеем вид /(/)~/м ехр(-/т/о), где ц* 1.1, у* 1.1 и в = 9.5 [10].

5. БК и СБК являются случайными самопохожими фракталами, описываемыми следующими критическими индексами:

6.

(1 р/у плотность БК Р'/у ПЛОТНОСТЬ СБК кратчай -ший путь v корреляционная длина //v проводимость анизотропия проводимости

2 0.1 0.4 1.3 1.34 1 0.75

3 0.44 1.1 1.1 0.88 2 0.1

я У. КаШогШ. РЬуэ. V. 19, рр. 1497-1503 (1986)

25

Простейшей моделью, удовлетворяющей данным требованиям является двухпараметрическая модель КБК, описываемая двумя классами: 1-валентной и 3-валентной каплями (Рис. 11).

Рис. 12

Заметим, что 3-валентная капля имеет выделенную внешнюю связь а-связь, отличающуюся от Ь -связей, тем, что в ней нет одножильного пути. В результате этого третья структура 3-валентной капли не имеет одножильного пути и рм = 1- р,-р2- Прикрепление мертвых концов к СКБК через а- связь позволяет описывать СКБК в терминах одного класса, т.к. возникающие за счет обрубания мертвых концов 2-валентные капли (Рис. 12) из-за отсутствия в а-связях одножильной компоненты полностью идентичны 3-валентным.

В результате имеет уравнение для мощности СБК

В„ = [2 р, +(2+т)р2+4(\-р,-р2 )К,

для одножильного пути

¿1 = 0.5[2 д + (2 + т)р2+р,+ р2 ]С +[р,+р, ]/£' для кратчайшего пути

Ц* =[2л +(2 + «)Л]г^ + 2[1-д -Й]С

= 0.5[2 р, + (\ + т)р,+р1+р!]и^+[2-р1-р2

Оптимальный набор параметров /?2 и т для различных и значения соответствующих индексов приведены в таблице

d m p'lv ИР KM P'lv ИР KM ИР KM Pi Pi Pt

2 2 0.42 0.42 0.74 0.74 1.1 1.1 0.34 0.33 0.33

3 3 1.15 1.29 1.14 1.02 1.25 1.4 0.36 0.32 0.32

6 3 4 4 2 2 2 2 0 1 0

где ЙР - известные результаты из численного моделирования26 и [7] КМ - результаты, даваемые капельной моделью.

26 D. Staufferll Phys. Rep. 54, 71 (1979); R. Fodelholm II J. Phys. C13, p. 571 (1980); C.J. Lobb, L.N. Smith // Phys. Rev. B20, 3656(1979); C.J. Lobb, D.J. Frank II J. Phys. C17, (1979); C.J. Lobb, K.K. Karaser, II J. Phys. C18, L245 (1980); Sarychev, A.P. Vinogradov, A.M. KarimovllJ. Phys. C18, L105 (1985); S. Kirkpatrick, II In Lectures at Les Houes Summer Shool on Physics. North-Holland p. 72 (1978); D. W. Heekman D. Stauffer/IZ. Phys. B44, 399, (1981); P. Grassberger II J. Phys. A19,1681, (1986)

Глава 3. Задача протекания. Квазистатика

Исследованы квазистатические свойства перколяционных систем [14-16]. В рамках численного эксперимента впервые найдены критические индексы, описывающие частотное поведение диэлектрической проницаемости. Обработка массива данных в соответствии с теорией "уравнения состояния", развитой А. К. Сарычевым, с одной стороны подтвердило справедливость этой теории и гипотезы скейлинга, а с другой стороны позволило впервые получить величины критических индексов, принятые на сегодняшний день в литературе [17].

Гипотеза скейлинга в применении к задаче проводимости перколяционной системы означает, что эффективная проводимость связана с концентрациями и проводимостями ингредиентов в виде27.

+ ^ 1 СГ)

h К

ч*

-12

. • ' ' '

* а 4 * л

_■

А О « ♦ д

о 0

J_

ЧФГ")

-1

Рис. 13 Результаты численного эксперимента, полученные при различных значениях ruh.

27 Б. И. Шкловский, А. Л. Эфрос // Электронные свойства легированных полулроволников М. Наука 1979; A.L. Efros, B.I. Shkbvskii II "Critical Behaviour of Conductivity and Dielectric Constant near the Metal-Non-Metal Transition Threshold" phys. Stat. sol. (b), V. 76, pp. 475-485 (1976)

Данная гипотеза была подтверждена в рамках численного эксперимента [12-17] (Рис. 13-14)

Рис. 14 Результаты численного эксперимента, полученные при различных значениях тиЬ.

Четвертая глава, (эффекты, связанные с непотенциальностью полей на масштабе включения, одночастичная задача)

Для киральных сред, представляющих собой диэлектрическую матрицу, наполненную металлическими спиралями, в рамках численного эксперимента найден параметр киральности отдельной частицы [21-22]. Показано, что эффект значителен только в области резонансного взаимодействия излучения с включением. Показано, что величина фактора киральности вдали от резонанса может быть найдена из решения статической задачи [11].

Рассмотрена проблема граничных условий при резонансном возбуждении киральных частиц. Получено обобщение теории Друде [23].

Развита скейлинговая теория гомогенизации уравнений Максвелла [24-25, 41, 46, 48-50]. Впервые удалось построить алгоритм однозначного определения магнитной проницаемости на высоких частотах. Данный алгоритм основывается на точном математическом факте, а именно, на доказанной лемме о том, что любое векторное поле может быть представлено как сумма ее среднего значения, ее «электрического» дипольного, «электрического» квадрупольного и «магнитного» дипольного моментов. При этом моменты рассчитываются относительно геометрического центра ячейки усреднения по общепринятым формулам, где рассматриваемое векторное поле играет роль плотности тока

д д д д . . д 1

Показано, что при гомогенизации уравнений Максвелла наряду с электрическим и магнитным дипольными моментами необходимо учитывать электрический квадрупольный и анапольный моменты.

Используя лемму, макроскопические поля можно представить в

виде

(££)""""' = его! Л/1"""" + ка)А\\0"юл +(/£}

= его! ¿т"ш" + /cй^divZ<™cro, +{цН)

где А/'—', магнитопольные

квадрупольные и средние значения полей еЕ и цН соответственно. Можно показать, что новые поля, отличные как от средних так и от макроскопических полей

#„ = +4яМ, £0 =£,т,сго,-4я£,

подчиняются макроскопическим уравнениям Максвелла

= ;-/уЯ0, го1/?0 = в £„ с с

где эффективные параметры определяются из уравнений

«■„£„ = («Е) + Я//Я„ = + /fflcdivZ,""ro,

Использование этих уравнений позволяет учесть скин эффект на отдельном включении, не используя дополнительных феноменологических расуждений [11].

Впервые удалось корректно определить высокочастотную магнитную проницаемость. Рассмотрены перспективные кандидаты для создания искусственных магнетиков, в том числе композиты на основе включения в виде двух спиралей, намотанных в противоположном направлении вокруг общей оси [26] (Рис. 15).

В рамках численного эксперимента показано, что существует резонансная частота, при которой токи в различных спиралях текут в различных направлениях, обеспечивая максимальный магнитный момент и минимальный электрический момент включения (Рис. 16).

Показано, что резонансная частота чувствительна к разности углов захода спиралей (Рис. 17), что объясняет технологические трудности, возникшие при изготовлении композита [27,45].

Рис. 15 Включения в виде двух спиралей, намотанных в противоположном направлении вокруг общей оси.

4006*9 4.2СЕ+9 4 40Е+В 4.НЕ4« 4ЯК*в 5.006*0

'.Ну

Рис. 16 Удельная намагниченность (действительная часть — кривая с максимумом) включения, состоящего из двух спиралей противоположной намотки. Мнимая часть имеет отрицательные значения из-за выбора зависимости от времени в виде ехр(Ш)

I-' I ■ I---I—

О 9} И) НО

Рис. 17 Зависимость резонансной частоты от разности радиусов спиралей (кривая 1), и от разности углов захода (кривая

2).

Исследовано влияние квадрупольного момента отдельного включения на эффективные параметры композита. Показано, что в дисперсионное уравнение дает вклад лишь та часть квадрупольного момента, которая индуцируется благодаря неоднородности поля.

Приведены примеры сред, в которых квадрупольное взаимодействие играет превалирующую роль [11, 28]. Получено дисперсионное уравнение для таких квадрупольных сред [11, 29]:

, ц(са)е(ш)

1 ~ / 2 / \ V

Iе 2

здесь </(со) - удельный квадрупольный момент среды.

Структура знаменателя указывает на возможность квадрупольной поляризационной катастрофы. Предполагается, что наблюдавшийся в эксперименте (Чистяев В.А., Семененко В. Н., Розанов К. Н.) низкочастотный пик диэлектрической проницаемости искусственных магнетиков на основе включений компенсированных спиралей (Рис. 18) связан с уменьшением знаменателя в области больших значений д(ы) и ц(ю).

• 1 "(.. Л-,и,ь.»НЛЛЬНАЯ

I БИБЛИОТЕКА

33 ! С. Петербург

< ОЭ 300 акт {

а) Ь)

Рис. 18 Эффективные параметры искусственных магнетиках на основе включений компенсированных спиралей

Ранее ожидалось, что на частоте «магнитного» резонанса токи в различных спиралях текут в разные стороны, и дипольный момент близок к нулю т.е. диэлектрическая проницаемость композита равна единице.

Предсказано возбуждение продольных квадрупольных волн.

На основании развитого алгоритма гомогенизации уравнений Максвелла построена теория эффективной среды, учитывающая скинирование электромагнитного поля в отдельном включении [!1, 30].

Рис. 19 Зависимость е"ж(^(о))). Черная кривая - система без дополнительных флуктуаций, серая кривая - система с искусственно введенными флуктуациями.

Исследовано влияние флуктуаций в распределении включений на эффективные параметры композита. Показано, что вблизи порога протекания скинирование поля на флуктуациях может привести к заметному росту потерь (Рис. 19) в то время как визуально эти

Рис. 20а Система с корреляциями концентрации

Рис. 206 Система без корреляций концентрации

р = 0.22 Рм= 0-14 Рш- 0.35 />«,=0.2 = Зц*

ам=20^ = 10а1пс1 30 цк

Рис. 20в То же, что 20а, кругами обозначены области повышенной концентрации

Значения параметров, описывающие системы 20а, б

флуктуации не идентифицируются (Рис. 20). Заметим, что дополнительные потери связаны с соленодоидальностью полей на масштабе флуктуации. Следовательно этот эффект не может быть

получен в рамках спектральной теории Мильтона-Бергмана28, учитывающей реальное распределение включений, но рассматривающей только потенциальные поля

Рассмотрены планарные перколяционные системы, представляющие собой модель тонких металлических островковых и гранулированных пленок [18-20]. Ключевым моментом, отличающим данную систему от двумерной, является наличие индуцированных зарядов на верхней и нижней поверхности включений (Рис. 21), как это происходит в трехмерной системе.

Показано, что планарная перколяционная система не принадлежит ни к классу универсальности двумерных, ни к классу универсальности трехмерных перколяционных систем (Рис. 22), более того, она не является универсальной [19, 44]. Критические индексы этой системы зависят от проводимости окружающего пространства. Результаты получены в рамках численного эксперимента. Построена решеточная модель, в рамках которой записаны уравнения ренорм-группы для проводимости (диэлектрической проницаемости). Найдены критические индексы, согласующиеся со значениями, найденными в ходе численного моделирования. Показано, что наблюдающиеся превышение проводимости пленарной системы над двумерной связано с наличием конфигураций, изображенных на Рис. 23.

Исследован переход от планарной системы к объемной. Показано, что в независимости от близости к порогу протекания

3 Bergman D. J. // Phys. Rep. 1978 V. 43, №9, P. 377; Bergman D. J., Stroud D. II Solid State Phys 1992. V. 46, P. 147; Milton G. W. II J. Appl Phys. 1981. V. 52, P. 5294

Глава 6. Явления, связанные с наличием границы, квазистатика

Рис. 21

(величины корреляционной длины) объемные свойства наблюдаются уже в системе, состоящей из 4-5 слоев [20] (Рис. 24).

Рис. 22 Зависимость отношения Рис. 23

проводимости ППС к двумерной от размера системы

е/е„

цоо-

0,95-0£0-0050,800,750,70-

-1=4 (10000) 1=8(10000) 1=12 (10000) 1=16(1000) 1=20 (1000) 1=24 (1000)

N

-Г"

ю

Рис. 24 Зависимость нормированной эффективной диэлектрической проницаемости от числа слоев ППС при разных размерах ППС /.. В скобках указано число реализаций.

Глава 7 Явления, связанные с границей, динамика, одномерный случай

Исследована возможность гомогенизации одномерных систем конечной толщины [31-33, 40, 41]. Показано, что введение локальных эффективных параметров невозможно даже в длинноволновом приближении при попытке учесть запаздывание (эффекты пространственной дисперсии) на масштабе неоднородности. Это приводит к зависимости эффективных параметров от толщины образца. Отклонения от значений, предсказанных теорией Рытова29, могут достигать сотен процентов даже в длинноволновом пределе (рис. 25).

О ,0-

-0 ,5-

-1 ,0-

0 П>

оТ5. ГТо

ГТ8

Рис. 25

Это связано с тем, что существенную роль играет эффективный переходный слой вблизи границы, где решение перестраивается, стремясь к блоховскому виду (решение Рытова). Иными словами эти эффекты проявляются только в конечных системах.

Подход Рытова, базирующийся на использовании теоремы Флоке-Блоха, для конечного образца применить не удается, так как в этом случае нарушена трансляционная инвариантность. Кроме того, не годится определение, данное Рытовым, для характеристического импеданса как отношение <Е>/<Н>, так как при падении на образец плоской волны внутри образца возбуждаются две волны, распространяющиеся в противоположных направлениях и имеющие различные знаки отношения < Е > / < Я >. Следовательно, отношение

29 С. М. Рытое // ЖЭТФ 29, 605 (1955); Акуст. Журнал 2, 71 (1956) Л. М. Бреховских, Волны в слоистых средах, Издательство АН, Москва (1957)

38

средних значений полных полей зависит не только от локальных свойств материала, но и от соотношения между амплитудами этих волн.

Рассмотрено несколько альтернативных определений эффективных параметров. Прежде всего, мы исходили из экспериментальных методик, принятых для измерения этих величин. Назовем их, следуя СВЧ-терминологии, волноводным и резонаторным методами. Был также рассмотрен подход, базирующийся на самосогласованном методе эффективной среды.

Показано, что для системы, содержащей целое число периодов, симметрия задачи не позволяет ввести эффективные параметры: для таких образцов в отличие от случая однородного образца коэффициенты отражения при падении волны справа и слева в общем случае различны. Для образцов с полуцелым числом периодов симметрия бинарной системы позволяет ввести эффективные параметры. Однако эти параметры сильно зависят от толщины системы. Вблизи толщины, равной полуцелому числу эффективных (определенных по значению эффективной диэлектрической проницаемости в статическом приближении), наблюдается сингулярное поведение эффективного характеристического адмитанса, на фоне стремления эффективного волнового числа к рытовскому значению.

е<# _ Б! + е2 [ б[ -е2 +ег)/2

2 2 *0/л/(е,+е2)/2-я/

При стремлении к0с/->0 М-матрица неравномерно стремится к /^-матрице однородного слоя толщины /. и параметрами £эфф = {е\ и = 1. Неравномерность стремления М- матрицы

связана с тем, что в фазу распространяющейся волны входит произведение пр"т(к0с1)1. То есть, для любого бесконечно малого к0с! существует/., начиная с которого пРит(¿„а1)!->/г. Иными

словами, для осуществления перехода к статике необходимо сначала устремить частоту (к0с!) к нулю, а только потом увеличивать размер системы. По всей видимости, такое поведение связано с тем, что в задаче присутствует масштаб много больший длины волны -размер системы в поперечном направлении (см. в связи с этим

задачу о дифракции на бесконечной проволоке30). Последнее обстоятельство никак не учитывается в ряде работ, в которых метод Рытова переносится на более сложные системы, но в отличие от работ Рытова делается попытка расчета коэффициентов отражения и прохождения31.

Проведен анализ существующих подходов к описанию сред с пространственной дисперсией [34]. Доказана эквивалентность формы записи, предложенной Ландау-Лифшицем (ЛЛ), и формы записи Казимира (К) для уравнений Максвелла при учете граничных условий. При этом форма записи, предложенная Ландау и Лифшицем для описания сред с пространственной дисперсией, требует дополнительное материальное уравнение для поверхностного тока, причем это уравнение не является дополнительным граничным условием, а выступает в качестве замены обычных максвелловских условий непрерывности тангенциальных составляющих полей. Показано, что хотя форма записи Казимира и требует больших усилий при обосновании, но она дает более простое описание ряда систем и позволяет избежать ошибок, связанных с неправильной трактовкой разложения поля в ряд Тейлора, как ряда теории возмущений по параметру ка, где а - масштаб неоднородности, а к — волновое число. Вообще говоря, при записи материального соотношения

/

Ди(со ,г) = |б^(г,г»Е, (?>)</Г

необходимо учесть, что б" зависит не только от электрического, но и от магнитного поля (см. например32). Обычно предполагается, что, используя уравнения Максвелла, все можно выразить через электрическое поле. Поэтому е" в (2) - это довольно сложный оператор, отражающий не только свойства среды, но и свойства уравнений Максвелла. Как следствие, ядро е" может зависеть не только от масштаба неоднородности, но и от длины волны. Поэтому разложение поля в ряд Тейлора в /7/7-форме не является

30 Ваганов Р. Б., Каценеленбаум Б. 3., Основы теории дифракции, М.: Наука, 1982 272 с.

31 P. Yeh, A. Yariv, and Chi-Shain Hong И J. Opt. Soc. Am. 67, 423 (1977); В. Djafari Rouhani, J. Sapriel II Phys. Rev. В 34, 7114 (1986); E. Akcakaya, G. W. Famell II J. Appl. Phys. 64, 4469 (1988); E. M. Кикарин, Д. В. Петров И Кристаллография 34, 1072 (1989); И. В. Семченко II Кристаллография 35,1047 (1990)

" Kamenetskii Е. О. // Phys. Rev. E. 54 4359 (1996)

разложением по малому параметру (ка). В частности, из-за зависимости коэффициентов от длины волны порядок малости члена разложения может не совпадать с порядком производных. Формально это происходит из-за появления в формуле для коэффициентов множителя (кЛ) вместо ожидаемого (ка). Качественно правильное разложение должно, по крайней мере, включать члены с производными электрического поля до третьего порядка. Учет старших членов благодаря уравнениям Максвелла не будет менять качественную картину, а будет приводить лишь к изменению величин коэффициентов. После чего обе формы записи становятся эквивалентными.

Член второго порядка дает вклад в магнитную проницаемость: с2 rot rot E~c2k0rot В~с2(l-l/|x)rot М. Член с производной третьего порядка ответствен за киральность: с3 rot rot rot Ё~ c3k0rot rot В.

Показано, что вид граничных условий определяет физический смысл полей, используемых для описания электромагнитных явлений в материальных средах.

Исследовано влияние границы на величину диэлектрической проницаемости композита, состоящего из диэлектрической матрицы, наполненной проводящими волокнами. Показано существование электродинамического переходного слоя, в котором электрофизические свойства среды меняются [35, 47, 51]. Состав слоя (концентрация, распределение ориентаций включений по углам) тождественен наблюдаемому в объемном материале. Показано, что структура полей в области границы раздела сред существенно отличается от структуры, предсказанной теорией Френеля. В области резонансного взаимодействия это отличие может достигать сотен процентов, проявляясь в смещении частоты линии поглощения образца.

Результаты получены в рамках численного эксперимента и подтверждены экспериментально Розановым К. Н [35, 47, 51].

Глава 9. Явления, связанные с наличием границы, пространственная дисперсия

Впервые в СВЧ области исследован случай сильной пространственной дисперсии, проявляющейся в генерации дополнительных преломленных волн [36-39, 45].

Я

Рис. 26 Схема, поясняющая возникновение дополнительного нефренелевского вклада в коэффициент отражения

В качестве объекта исследования рассматривалась запрессованная в диэлектрик решетка. Шаг решетки выбирался меньше длины волны в вакууме, что гарантировало зеркальное отражение, но большим длины волны в диэлектрике, что приводило к генерации боковых лепестков. На Рис. 26 лучами обозначены распространяющиеся гармоники Флоке. Наряду с основной гармоникой, амплитуда которой подчиняется формулам Френеля с рытовскими значениями эффективных параметров, вклад в коэффициент отражения дают высшие гармоники Флоке, образующие вторую (неоднородную) преломленную волну, распространяющуюся со своим собственным волновым числом.

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

<1 ст

Рис. 27 Зависимость коэффициента отражения от толщины диэлектрической прокладки. Крестики - численное моделирование, сплошные кривые - теория.

Построена феноменологическая теория явления. Объяснен ряд аномалий, в частности, появление дополнительного минимума коэффициента отражения, связанного с резонансом дополнительной преломленной волны.

Качественные предположения были подтверждены как в рамках численного эксперимента (Рис. 27), так и на реальных образцах радиопоглощающих покрытий. Эксперимент проведен Калачевым A.A. (Рис. 28-29)

Ftgl Scheme of the experiment. I - the sample of MWSD, 2 - plastic, 3 - metal screen, 4 - horn, 5 wnvrm ¡HP

Рис. 28 Схема эксперимента. 1—образец, 2- диэлектрическая прокладка, переходящая в диэлектрический волновод, способный передавать вторую преломленную волну, 4 - рупорная антенна, 5 -питающий волновод. P¡ - отраженная мощность первой преломленной волны, Р} мощность второй преломленной волны, отводимая в контрольном эксперименте по диэлектрическому

волноводу.

Построена феноменологическая теория явления. Объяснен ряд аномалий, в частности, появление дополнительного минимума коэффициента отражения, связанного с резонансом дополнительной преломленной волны. Построенная теория отличается от теорий, существовавших ранее33, тем, что в согласии с ранее высказанными предположениями34 связь полей носит нелокальный параметр не только внутри вещества с пространственной дисперсией, но и в непосредственной близости от него в обычном материале, и в частности, в вакууме.

Как следствие, ядро, описывающее нелокальную связь, зависит не только от свойств вещества, но и от формы и ближнего окружения образца. Аналогичный эффект (зависимость эффективных параметров от свойств окружающего пространства) наблюдался ранее (см. Главу 3) даже в статическом случае.

" Maradudin A.A., Mills D.L. II Physical Review В, Vol. 7, Nb6, 2787-2810 (1973); Agarwal G.S, Paitanayak D.N., Wolf Ell Physical Review B, 10, №4,1447 (1974)

34 V.M. Agranovich, V.l. Yudson II Opt. Com. Vol. 7, pp. 121-124, (1973)

44

Рис. 29 Эксперимент (Рис. 27), иллюстрирующий перекачку энергии из первой преломленной волны Р{ во вторую Р} при выполнении резонансных условий.

Глава девять. Явления, обусловленные интерференцией рассеянных волн

Недавние успехи в области нанотехнологий возродили интерес к оптике неоднородных сред35. Большую роль в таких исследованиях играет аналогия с физикой твердого тела, и здесь наряду с прикладными аспектами интерес к оптическим системам обусловлен возможностью в рафинированном виде, в условиях отсутствия кулоновского взаимодействия, изучать эффекты, связанные с интерференцией. Наиболее ярким проявлением интерференции является эффект локализации волн. В упорядоченных системах он проявляется как возникновение запрещенных зон, а в неупорядоченных системах его принято связывать с именем Андерсона, впервые предсказавшего его для квантовых систем36.

Для упорядоченных систем физический механизм возникновения локализации (запрещенных зон) хорошо известен -это брэгговское отражение. Сложнее обстоит дело с

35 V. М. Shalaev, Optical Properties of Nanostructured Random Media Springer-Verlag Berlin (2002)

36 P. W. Anderson II Phys. Rev. 109,1492 (1958)

неупорядоченными системами. Построенная скейлинговая теория37 и

эй

точные математические результаты , основанные на теореме Фурстенберга и носящие характер "Чеорем существования", предсказывают полную локализацию волн в одномерных неупорядоченных системах. К сожалению, формальный характер этих рассуждений делает их мало пригодными при разработке прямых экспериментов по наблюдению локализации света. В отрыве от понимания физических условий, при которых выполняются математические теоремы, численное моделирование утопает в потоке противоречивых фактов, так, в работах, основанных на численном моделировании, сообщается не только о нарушении

„ м

скеилинга при локализации , но и о делокализации волн при внесении ближних и дальних корреляций40.

Хотя в настоящее время в литературе41 принято различать уже на качественном уровне поведение упорядоченных и неупорядоченных систем42, мы попытались взглянуть на регулярные и неупорядоченные системы с единой точки зрения и внести некоторую наглядность в описание явления Андерсоновской локализации.

Прежде чем переходить к нашим построениям отметим, что в литературе существуют два определения локализации. Первое, назовем его квантово-механическим (КМ) определением, основано на решении задачи на собственные значения43. Под локализацией понимается существование собственных решений, в среднем экспоненциально убывающих при удалении от некоторого конечного объема, центра локализации. Характерный масштаб спадания волновой функции называется длиной локализации.

37 Е. Abrahams, P. W. Anderson, D. С. Licciardello and Т. V. Ramakrishnan // Phys. Rev. Lett. 42,673 (1979); P. Sheng, Introduction to wave scattering, localization, and mesoscopic phenomena Academic Press London (1995)

38 K. Ishiill Prog. Theor Phys Supp. 53, 77 (1973); H. Furstenberg II Trans. Am. Math. Soc. 108, 377 (1963)

39 P. Luan and 2. Ye II Phys Rev E 63 №066611 (2001)

40 F. M. Izrailev and A. A. Krokhin II Phys. Rev. Lett. 80, 4062 (1998)

41 S. A. Bulgakov, M. Nieto-Vasperinas // Waves in Random Media 7,183 (1997)

42 Одно из видимых отличий упорядоченных и неупорядоченных систем заключается в том, что плотность состояний в запрещенной зоне кристалла равна нулю, в то время как в неупорядоченной системе она отлична от нуля.

43 R. Е. BorlandII Proc. Phys. Soc., 78, 926 (1961)

46

При рассмотрении локализации электромагнитных волн речь обычно идет о задаче рассеяния, и локализация волн связывается с непрозрачностью толстой системы. Это предполагает, что коэффициент прохождения экспоненциально убывает с ростом толщины образца. Длину локализации определяют как

1 £ (3)

Г и*

здесь Т - коэффициент прохождения, - суммарная толщина системы, у1ос = 1/1,^, так называемый, показатель Ляпунова.

С точки зрения математики разница в этих определениях заключается в использовании различных граничных условий. Основанием для перенесения КМ-результатов в оптику служит предположение о том, что вид локализованного решения слабо зависит от граничных условий, если размер системы много больше длины локализации. Данное предположение лежит в основе почти всех имеющихся физических результатов: теории скейлинга, утверждении о самоусредняемости плотности состояний, описании транспортных свойств и т.д. Однако, оставаясь лишь гипотезой, оно не гарантирует наблюдаемость предсказаний, более того, как будет показано ниже, существуют специальные граничные условия, при которых в любой неупорядоченной системе нет локализации.

Ниже предпринята попытка описания явления локализации электромагнитных волн на привычном в физике твердого тела языке зонной теории. Введено понятие ассоциированной зонной структуры неупорядоченной системы. Показано, что при увеличении размера системы происходит тотальный рост запрещенных зон, отождествляемый нами с локализацией. Таким образом, в качестве механизма локализации волн в упорядоченных и неупорядоченных системах выдвигается единый механизм - Брэгговское отражение. Ниже используется формализм 7-матриц. Данный выбор обусловлен тем, что свойства Т-матриц, во-первых, не зависят от граничных условий, а во-вторых, полностью определяют как решения задачи рассеяния, так и зонную структуру.

Ниже мы ограничимся рассмотрением одномерных, бездиссипативных, немагнитных систем, состоящих из слоев одинаковой толщины в. Последние два условия не влияют на

общность задачи, так как с! входит в задачу только через оптическую толщину / = </^Ё(1 (е и ц диэлектрическая и магнитная проницаемости), и фиксация б не приводит к дальним корреляциям. Разброс значений одной лишь диэлектрической проницаемости (ц = 1) обеспечивает случайный характер как адмитанса У = ^/е/ц так и оптической толщины.

Рассмотрим нормальное падение электромагнитной волны, скажем, для определенности, вдоль оси х, на слоистую неупорядоченную систему. Распространение электромагнитных волн в одномерной системе удобно описывать на языке Г-матриц.

Действительно, в каждом слое решением является суммой двух волн, одна из которых распространяется в положительном направлении оси х, а другая в противоположном направлении. Обозначим их амплитуды в /-ом слое через А], В]. На границе соседних слоев должны выполняться условия непрерывности тангенциальных компонент электрического и магнитного поля, что дает связь между амплитудами волн в соседних слоях. В дальнейшем будет удобно ввести фиктивные вакуумные слои нулевой толщины, расположив их мееду соседними слоями. Тогда имеет смысл ввести понятие Г-матрицы отдельного слоя. Эта матрица связывает амплитуды волн в вакуумных слоях, расположенных справа и слева от рассматриваемого слоя. Очевидно, что Г-матрица всей системы есть произведение Г-матриц отдельных слоев г = 7\7;_|...7;г0.

После приведения Т -матрицы одного слоя к жордановой форме ее можно записать в виде

Г = 5У5"1,

Характерной особенностью Г-матрицы однородного слоя является то, что 5 -матрица описывает исключительно граничные эффекты. Не смотря на то, что выбор Э-матрицы неоднозначен44, при любом ее выборе она является функцией только адмитанса слоя. Например, в-матрицу можно представить в хорошо узнаваемом виде,

44 А. И. Кострикин, Введение в Алгебру, Наука Москва (1977) с. 482

1 + У У-1 2У 2 У У-1 1 + Г

2У 2 У

В этом представлении Э-матрица совпадает с матрицей, связывающей амплитуды волн по разные стороны поверхности раздела, и как уже отмечалось, она не зависит от толщины слоя.

^матрица распространения

е:

однородного слоя

;р (¡к0пс1) О II

О ехр(-/¿„ж/) '

является

матрицей

(4)

здесь к0 = а)/с, а

и У - показатель преломления и

характеристический адмитанс материала слоя.

Заметим, что, так как детерминант Т-матрицы любой системы любого числа слоев равен единице, то «/-матрица любой системы (ячейки) представима в виде (4)

3 =

ех|

р(''М) 0 II

О ехр(-/*^)1Г

где с1- общая толщина ячейки. Т -матрица системы, состоящей из N таких одинаковых подсистем (ячеек) отличается от Г-матрицы Та„ отдельной ячейки только заменой суммарной толщины ячейки б на 1 = ЛИ

Т ={Тсец) ■■^сеИ = ^сеЧ^"

Это позволяет рассматривать ке£ как эффективное волновое число. Учитывая, что подобные матрицы имеют одинаковый след Тг(Г) = Тг(у) [11], то, используя (4), естественно записать дисперсионное уравнение как

Тг(У) = 2со8(^/,) = Тг(Г).

(5)

Далее, следуя Крамерсу45, определим запрещенные зоны из условия | Тг(7*) |> 2. В частности, для периодической системы с периодом, состоящим из двух слоев (задача Рытова), уравнение (5) сводится к известному результату

откуда видно, что если ^е,/е2 то поскольку +е1)/(2у]е1£1^>2,

существуют частоты, при которых правая часть (6) больше 2 (или меньше -2) (Рис. 30). Можно показать, что этому условию соответствует чисто мнимое волновое число, и экспоненциальное затухание волны на масштабе

Известно, что Т-матрицы образуют группу, и 7-матрица любой конечной неупорядоченной системы имеет обратную матрицу. Эта матрица является Г-матрицей другой неупорядоченной системы, которая быть может и не принадлежит к рассматриваемому ансамблю. Однако, будучи сложены, обе эти системы образуют абсолютно прозрачный образец. Граничные условия, возникающие между этими системами, являются специальными граничными условиями, при которых в исходной системе не наблюдается локализация.

Для случайных, а тем более, для ограниченных систем трансляционная инвариантность отсутствует, поэтому непосредственное построение зонной структуры затруднено. Но можно ввести понятие ассоциированной зонной структуры, приписав конечному образцу случайной системы зонную структуру кристалла, в котором рассматриваемый образец выступает в качестве периода сверхрешетки. Такой подход эквивалентен наложению периодических граничных условий.

Чтобы перейти от языка задачи рассеяния на язык задачи о собственных значениях удобнее дать иное определение длины локализации.

45 Н. F. Kramers II Physica 2, 483 (1935); В. У. Tong II Phys. Rev. 175, 710 (1968)

Рис. 30 Пунктирная кривая представляет зависимость Тг(Г) от частоты для Т-матрицы, описывающей последовательность слоев с проницаемостями 2; 7; 2; 7; 2; 7, сплошная кривая для последовательности 2; 7; 7; 2; 7; 2.

Как указывалось выше, в периодических системах для частот лежащих в запрещенной области |Тг(Г)|>2 эффективное волновое число является чисто мнимой величиной, описывающей экспоненциальное затухание волн с масштабом 1/у£ = 1/1т[агссо8(Тг(Г)/2)], который мы и будем отождествлять с длиной локализации. Для систем, где нет локализации, например, для однородного слоя конечной толщины, у 5 0- Докажем эквивалентность данного определения длины локализации классическому определению (1).

Если выразить Т -матрицу случайной системы через коэффициенты прохождения / и отражения г при падении волны справа и слева на образец (легко показать, что = ^ = I [16]) то,

и, следовательно, тг(г) = ?+--^-. Учитывая, что

v ' t t

Тг(Г) = 2cos(^L) = 2cos(/>*i) = e'1' +e'*L, (8)

получим

(

\

2

IL

(9)

В случае локализации, хотя | |~| гн 1, но 11 - гьгк |~ I46. Пренебрегая в (9) величиной г2 по сравнению с 1 — гггд, получим, что при 1-юо

Рассмотрим, эволюцию запрещенных зон при усложнении периода. Формальное увеличение периода путем объединения одинаковых ячеек не вносит изменения в зонную картину. Однако, если после объединения соседних ячеек в новую большую ячейку, порядок слоев в ней нарушить, то (см. Рис. 30) возникают дополнительные запрещенные зоны. При увеличении числа запрещенных зон происходит их сужение47, поэтому нельзя просто отождествить локализацию с увеличением числа запрещенных зон. Необходимо рассмотреть меру, занимаемую всеми запрещенными зонами.

В численном эксперименте было удобнее следить за

Величина (1 - г) является мерой запрещенных зон. В ходе численного

46 К. Kim И Phys. Rev. В 58,6153 (1998) Заметим, что из закона сохранения энергии следует, что щ =l-tt', но г,гн не стремится к 1 -tt'

47 М. Ya. Azbel, Р. Soven II Phys. Rev. В 27, 831 (1983)

поведением меры зон прозрачности

эксперимента было обнаружено, что при увеличении толщины случайной реализации, г стремиться к нулю

Рис. 31 Зависимость меры зон прозрачности от толщины системы. Величина е равномерно распределена в интервале [2,11].

Для системы, в которой б непрерывно распределено в конечном интервале, г~ехр(-1/£) (Рис. 31). Ниже будет показано, что и равно высокочастотному пределу длины локализации ¿^(оо)48.

Отметим, что, существуют реализации, для которых мера прозрачных зон не убывает с толщиной, например, это строго периодическая реализация или реализации, которые соответствуют системам с ближним порядком. Чтобы выяснить, как много существует таких реализаций в случайном ансамбле, рассмотрим вероятность Р(Ь) того, что реализация длинной Ь имеет на данной частоте разрешенную зону. Численное моделирование показывает, что Р(Ь) убывает экспоненциально с характерным масштабом равным длине локализации. Следовательно, можно утверждать, что случайная бесконечная одномерная система с вероятностью 1 непрозрачна на любой частоте. Заметим, что введенные запрещенные зоны являются полным аналогом запрещенных зон

48 Для систем, где е может принимать лишь конечное число значений ьы (да) отсутствует [20], и убывание т носит более сложный характер, в частности для бинарной смеси убывание стеленное.

фотонного кристалла - внутри них нет разрешенных состояний. Все разрешенные состояния принадлежат зонам прозрачности.

Отметим, что наряду с числом запрещенных зон растет и число разрешенных зон, где у]^{к0) = 0. На конечном частотном интервале их число пропорционально /.. Положение зон прозрачности зависит от реализации и толщины /_, но для любой частоты существует неограниченная последовательность значений I, при которых система имеет уЦ =о. Счетность этой последовательности приводит к тому, что при увеличении величины периода /. не только среднее по ансамблю, но и сама величина для данной реализации

стремится к у1х(к0), правда, лишь с вероятностью 1.

Как уже было отмечено, число разрешенных зон в заданном частотном интервале растет как I, а расстояние между ними стремится к нулю как МЬ. Это означает, что интервал между точками, где Тг(7") принимает значения 2 и (-2), стремится к нулю, в то время как высота пиков следа в соответствии с (8) достигает величины порядка е'г)'. Очевидно, что в центре зоны прозрачности след Тг(г) меняется линейно с частотой Тг(7-)~а(ю-®0), где со0 середина зоны пропускания (Тг(Т)м и =0). В связи со сказанным о высоте и расстоянии между пиками, а ~ 1е,]', следовательно

1±Т1{Т) = —= -^-Ьып^ь) ~ Ье^

2 ¿а) йа> > йа> К'я '

или

(10)

Свое максимальное значение, равное ~ е'1, групповая скорость

достигает в середине разрешенной зоны, где При

увеличении размера системы групповая скорость состояний внутри зон прозрачности стремится к нулю. Иными словами, никакое разрешенное состояние не может переносить энергию и в этом смысле он является локализованными. Мы видим, что такой подход стирает разницу между регулярными и нерегулярными системами. В обоих случаях плотность состояний внутри запрещенных зон равна нулю. Локализованные состояния соответствуют бесконечно тонким

зонам прозрачности, состоящим из одних границ. Отметим, что и в регулярных системах состояния на границе разрешенной зоны имеют нулевую групповую скорость, и их можно рассматривать как локализованные.

Докажем теперь то, что убывание меры разрешенных зон идет с показателем в экспоненте равным индексу Ляпунова при а> = х>. Используя предыдущие рассуждения, можно оценить меру разрешенных состояний. Поскольку Тг(Г)~а(<у-®0), то ширина разрешенной зоны Дгу- 2/а = 2е~н")1 //.. Так как в любой конечной области частот число разрешенных зон пропорционально /,,

то

Для бесконечно компонентной смеси длина локализации может быть приближена простым выражением у(са) = у1/со2+ у(а) = <х>)*9. Подставляя это выражение в (11), получим

Как известно, появление запрещенных зон в регулярной системе обусловлено брэгговским отражением. Так как мы отождествляем локализацию с глобальным ростом запрещенных зон, то естественно предположить, что именно брэгговское отражение является механизмом, обеспечивающим локализацию света. Остается вопрос: от чего происходит это брэгговское отражение, если в системе нет периода?

При детальном рассмотрении распределения поля в неупорядоченной системе можно заметить, что есть участки, где поле спадает очень резко, в оставшихся областях амплитуда поля почти не меняется. В среднем наблюдается экспоненциальное убывание. Численный эксперимент показывает, что участки убывания поля, которые мы будем называть брегговскими отражателями, имеют Т-матрицы со следом по модулю превосходящим 2, то есть в

(11)

~ ехр(-уД) Jexp [-yxL / со2 У со ~ exp(-^L) / 41

49 P. Sheng, Scattering and Localization of Classical Waves in Random Media World Scientific Singapore (1990)

ассоциированной зонной структуре на данной частоте они имеют запрещенную зону. Области же, в которых амплитуда поля почти постоянна, обладают действительным к (соответственно |Тг(Г)|<2).

Как правило, в каждой случайной реализации неупорядоченной системы имеется множество различных брэгговских отражателей. Очевидно, что основную роль играют отражатели с большим значением индекса Ляпунова. В рамках численного моделирования мы нашли среди отражателей одинаковой длины (находящихся внутри одной случайной реализации), отражатели, имеющие максимальную ут.м.

Рис. 32 На рисунке представлена зависимость /ти брэгговских отражателей от их толщины для первичной реализации и для

модифицированной. Диэлектрическая проницаемость равновероятно распределена в интервале [2,13]. Длина волны к0с/ = 0.5, толщина всей реализации /.=2000 слоев.

Зависимость утах от толщины отражателя представлена на Рис. 32 (непрерывная кривая). Оказывается, что основной вклад дают Брэгговские отражатели толщиной порядка 112^1 (-[е^, где х0 -длина волны в вакууме, () - усреднение по ансамблю.

Как показал численный эксперимент, если среди возможных реализаций случайной системы, в которой импеданс принимает случайные значениями, отобрать реализацию, не содержащую ни

одного брэгговского отражателя, то волна в такой системе не локализована, т.е. у = 0. К сожалению, алгоритм выбора такой системы из полного ансамбля довольно трудоемок, и мы ограничились лишь малой толщиной Ь = 60.

Для получения репрезентативных результатов был применен алгоритм удаления брэгговских отражателей из произвольной системы. Все слои в данной случайной реализации последовательно перебирались, рассчитывался след 7-матрицы участка, состоящего из данного слоя и предыдущих /-1 слоев. Если данный участок оказывается брэгговским отражателем (|Тг(Г)|>2), то данный слой случайным образом заменяется на другой слой до тех пор, пока след Г-матрицы любого из участков, имеющих рассматриваемый слой в виде правой границы, и имеющих длину меньше /, не станет по модулю меньшим двух. После просмотра всей системы мы приходим к неупорядоченной системе, в которой остались лишь брэгговские отражатели длины больше /. На рис. 33 представлена зависимость (у) от /. Для получения этой зависимости было проведено усреднение по ансамблю изначальных реализаций, а алгоритм вырезания Брэгговских отражателей был последовательно применен для длин

равных 2...../. Очевидно, что удаление брэгговских отражателей из

системы приводит к резкому росту длины локализации

Рис. 33 Зависимости (у) (сплошная кривая) и \аг(у)2Ь (пунктир) в модифицированной системе от толщины I минимального брэгговского отражателя. Усреднение проведено по 400 реализациям.

Все вышесказанное указывает на то, что в отсутствии брэгговских отражателей локализации нет, то есть наличие брэгговских отражателей необходимо для возникновения локализации. Примечательно, что известные системы с ближними корреляциями, демонстрирующие делокализацию волн, не содержат брэгговских отражателей на частотах прозрачности.

Проиллюстрируем сказанное, рассмотрев часто встречающийся в литературе пример делокализации. Во всех этих случаях речь идет о системе, состоящей из слоев, имеющих коммутирующие Т-матрицы. Можно показать, что две Г-матрицы коммутируют тогда и только тогда, когда среди Э-матриц, приводящих их Жордановой форме, есть одинаковые. В этом случае, так как Б-матрицы равны, а ^матрицы диагональные, то 7-матрица любой части системы имеет вид

II ш л II

I ,ар 1 И |Тг(Г)| = |со5(а)|<1

где а - полная оптическая толщина куска. Таким образом, никакая часть образца не является брэгговским отражателем.

В системе, содержащей брэгговские отражатели, между двумя соседними брэгговскими отражателями может возникнуть условие резонанса, что может привести к резкому росту амплитуды поля между этими отражателями. Фактически мы получаем резонатор Фабри-Перо, где в качестве диэлектрических зеркал выступают рассматриваемые брэгговские отражатели. Конечно же, оставшаяся часть системы тоже дает вклад в коэффициент отражения этих зеркал, что приводит к тому, что, чем глубже находится такой резонатор, тем выше в нем амплитуда поля (амплитуда поля обратно пропорциональна коэффициенту прохождения волны из резонатора в окружающее систему пространство). Наличие таких резонаторов в системе обеспечивает зону прозрачности на данной частоте. Для пояснения этого утверждения обратимся к более простой системе50, а именно, к фотонному кристаллу с дефектом. В этой работе было показано, что в бесконечной системе на этом дефекте локализуется дефектная мода. Причем локализация понимается в квантово-механическом определении: поле данной моды экспоненциально

50 А. Р/дойп апс/ V. вогеЫБуе/д И РИуэ Кеу. В 58,180 (1998)

тх

спадает при удалении от дефекта. Частота этой дефектной моды лежит в запрещенной зоне фотонного кристалла и соответствует условию резонанса. Фактически конечный образец такой системы представляет собой фильтр Фабри-Перо, где участки фотонного кристалла по бокам от дефекта выступают в качестве зеркал. Очевидно, что данный фильтр Фабри-Перо прозрачен именно на частоте дефектной моды. Таким образом, мы видим, что локализованные состояния рождаются из остатков зон прозрачности и представляющих собой моды резонаторов, образованных брэгговскими отражателями.

Глава 10. Нелинейные свойства гетерогенных систем

Данная глава посвящена исследована эволюции гетерогенных систем при протекании по ним тока.

Проведено исследование изменения структуры и свойств перколяционной системы при пропускании по системе импульса тока большой амплитуды.

При этом, при коротких импульсах выделение тепла в плохих контактах приводит к их проплавлению и спеканию. Результатом процесса является повышение проводимости и механической прочности образца [59-61]. Процесс может быть рекомендован для спекания слитков титана, применяемых для дальнейшей дуговой плавки. В рамках численного эксперимента исследована возможность упрочнения образцов из спрессованной титановой крошки при помощи пропускания импульса тока. Предсказанные параметры подтверждены экспериментально Пахомовым А.Б.

Конкурирующим процессом является испарение контактов при большем энерговкладе, что ведет к изменению структуры образца. Процесс может быть рекомендован для получения образцов с концентрацией вблизи порога протекания, т.е. образцов обладающих аномальными свойствами [55-57, 62-66]. Данный метод получения материалов с высоким значением диэлектрической проницаемости проверен экспериментально группой A.M. Вирника - С. М. Матыцина.

Исследована электропроводность замагниченной

низкотемпературной плазмы [52-54, 58]. Такая плазма является рабочим телом МГД-генераторов, и ее свойства определяют

эффективность работы МГД-устройств. Известно51, что в диапазоне рабочих параметров в такой плазме, при протекании по ней тока, развивается ионная неустойчивость. Суть данного явления заключается в том, что области с пониженной концентрацией электронов являются более замагниченными, в частности, там выше параметр Холла. Ток же предпочитает течь вдоль линий постоянства локальных параметров. Иными словами, наткнувшись на область пониженной концентрации, ток обтекает ее, что приводит к снижению джоулевых потерь в этой области. Последнее обстоятельство способствует дальнейшему снижению концентрации электронов и увеличению параметра Холла.

Используя модель ионизационной турбулентности (состояние плазмы с развитой ионизационной неустойчивостью), предложенную в работах Велихова и Дыхне (см. сноску 51), проанализировано влияние изменения направления среднего тока на структуру страт и эффективные электрофизические параметры плазмы (проводимость и параметр Холла). Показано, что при изменении направления среднего тока наблюдается перестройка системы страт. При достаточно быстром изменении направления среднего тока происходит разрушение страт, и плазма переходит в квазиоднородное состояние с повышенными, по сравнению с турбулентными, значениями электрофизических параметров.

В качестве практической реализации предложена схема периодического переключения МГД-устройства с Холловского режима включения на Фарадеевский и обратно. Проанализирована эффективность данной схемы с точки зрения кпд и выходной мощности, найдены условия, когда подавление ионизационной неустойчивости оказывается энергетически выгодным. Исследования проведены в рамках численного эксперимента. Искомые параметры находились путем совместного решения уравнений состояния плазмы и уравнений электростатики (уравнения Лапласа для электрического поля и закона Ома для токов).

5' Велихов Е. П., Дегтярев Л. М., Самарский А. А.,. Фаворский А. П. II1969 ДАН СССР, 184, 578 Велихов Е. П., Дегтярев Л. М., Фаворский А. П. II Численное исследование ионизационной неустойчивости в низкотемпературной плазме. ИПМ АН СССР, М., 1969. Роза Р. II Магнитогидродинамическое преобразование энергии. М.: Мир, 1970, с. 131

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

[1] Vinogradov A.P. II On the Clausius-Mossotti-Lorenz-Lorentz 1997

Physica A 241, 216-222

[2] Виноградов АЛ. II "О формуле Клаузиуса-Моссотти-Лоренц-

Лорентца" (обзор) 2000 Радиотехника и Электроника т. 45, №. 8, pp. 901-909

[3] Vinogradov А.Р., Starostenko S.N. II On the static limit of strong

fluctuation theory 1999 JEWA v. 19, pp. 993-1003

[4] Sarychev A.K., Vinogradov A.P. И "Effective Medium Theory for the

Magneto conductivity of Disordered Materials", phys.stat.sol. 1983 117 p.K113

[5] Виноградов А.П. II О формуле Кпаузиуса-Моссотти-Лоренц-

Лорентца для магнитных сред 1999 Радиотехника и Электроника т. 44, № 9, с. 1131-1132

[6] Sarychev А.К., Vinogradov А.Р. II Percolation in Anisotropic Systems

and Structure of the Infinite Cluster. 1979 J.Phys.C: Solid State Phys. 12 p. L681

[7] Sarychev A.K., Vinogradov A.P. II Droplet Model of Infinite Cluster for

2D Percolation 1981J.Phys.C: Solid State Phys. 14 p. L487

[8] Sarychev A.K., Karimov A.M. Vinogradov A.P. II Calculation of

percolation conductivity in 3d 1985 J.Phys.C: Solid State Phys. 18, p. L105

[9] Sarychev A.K., Vinogradov A.P. II Percolation Conductivity in

Anisotropic System. 1983 J.Phys.C: Solid State Phys 16 p. L1073

[10] Sarychev A.K., Vinogradov A.P., Goldenstein A.V. II Are there Long

Links in Percolation Backbone in 3D, 1987 J.Phys.C: Solid State Phys. 20 p.L113

[11] Виноградов А. П. II Электродинамика композитных материалов

M. УРСС, 2001

[12] Сарычев А.К, Виноградов А. П. II Структура каналов протекания

и переход металл-диэлектрик в композитах 1983 ЖЭТФ 85 р.1144

[13] Антонов А.С., Батениин В.М., Виноградов А. П., и др. II Электрофизические свойства перколяционных систем монография под ред. Лагарькова А.Н. ИВТ АН СССР, Москва 1990

[14] Lagarkov A.N., Sarychev А.К., Smychkovich Y.R., Vinogradov А. P.

II Effective Medium Theory For Microwave Dielectric Constant and Magnetic Permeability of Conducting Stick Composites 1992 JEWA, vol. 6, No.9, 1159-1176

[15] Виноградов А. П., Каримов A. M., Кунавин А. Т., Лагарьков A. H.,

Сарычев А. К., Стембер H .A. II Исследование критического поведения диэлектрической проницаемости гетерогенных смесей 1984 ДАН СССР, 275, 590

[16] Виноградов А. П., Лагарьков А. Н., Сарычев А. К. IIО возможной

аномалии индуктивности композитных материалов 1984 Письма в ЖЭТФ, 40, р.296

[17] Виноградов А .П., Каримов А .М., Сарычев А. К. II Диэлектрическая проницаемость перколяционных композитных материалов: закон подобия и уравнения состояния 1988 ЖЭТФ, 94, р.301

[18] Vinogradov А. P., Dmitriev Yu. N., Romanenko V .E. II «Mutual influence of several fractal films in multi-layer system» pp. 11-13 in Proc of the 1995 International Symposium on electromagnetic theory, U.R.S.I. St. Petersburg, Russia, May 23-26,1995

[19] Vinogradov A. P., Busarov I.G., Posudnevsky O. P., Romanenco V.E. II The permittivity of a planar percolation system 1994 J. Phys. Condence. Matter. 6, 4351

[20] Vinogradov A. P., Dmitriev Yu. N., Romanenko A.N.II Transition from

planar to bulk properties in multi-layer system 1997 Electromagnetics vol. 17, pp. 563-571

[21] Vinogradov A. P. II Microscopic properties of a chiral object. Proc. of

"Bianisotropics 93" Seminar on electrodynamics of chiral and bianisotropic media. Gomel, Belarus, Ed. by A. Sihvola, S. Tretyakov, I. Semchenco Helsinki University of Technology, Finland, 1993 pp. 22-26

[22] Vinogradov A. P., Antonov A. S., Lagarkov A .N. И Excitation of a single wire helix in multi-mode regime» pp. 35-40 in Proc. Of 3rd International Workshop on Chiral, Bi-isotropic, and Bi-anisotropic Media, Perigueux, France May 18-20,1994

[23] Виноградов А. П. Скиданов И. A. II "Обобщение формул Друде

для переходного слоя на случай кирапьных систем" РиЭ Т. 47, №4 С. (2002)

[24] Vinogradov А. P. Aivazyan А. V. // Scaling theory for homogenization

of the Maxwell equations 1999 PRE v. 60 p. 987-993

[25] Виноградов А. П., Айвазян А. В. II "Скейлинговая теория гомогенизации уравнений Максвелла" Труды. Международная конференция Физика атмосферного аэрозоля 12-17 апреля 1999 Институт физики атмосферы им. А. М. Обухова РАН с. 64-67

[26] Vinogradov А.Р., Romanenko V.E. II Artificial magnetics based on racemic helix inclusion» pp. 143-148 in Proc. of 3rd International Conference on Chiral, Bi-isotropic, and Bi-anisotropic Media, The Pennsylvania State University, State College, USA, October 1-14, 1995

[27] Vinogradov A. P., A.N. Lagarkov, A.N. Romanenko, A.A. Kalachev II

Some peculiarities in the resonant behavior of the bi-helix microstructure 1997 Electromagnetics v. 17, No. 3 pp. 213-238

[28] Виноградов А. П. Айвазян А. В. И "Об ошибочности учета квадрупольного момента при расчете фактора киральности" // РиЭ, Т. 47, № 2, С. 192-195 (2002)

[29] Vinogradov А. P. II The Contribution of the Quadrupole moment to Constitutive Equations, Proc. Of PIERS 2001, July 18-22, 2001, Osaka, Japan

[30] Виноградов А. П., Панина Л. В., Сарычев А.К. II Метод расчета

диэлектрической и магнитной проницаемостей перколяционных систем", ДАН СССР, 1989, 306, р.847

[31] Vinogradov А. P., Merzlikin А. V. II Electromagnetic Properties of Superlattice in the Long Wavelength Regime Proc. Of PIERS 2001. July 18-22, 2001, Osaka, Japan

[32] Виноградов А. П., Мерзликин А. М. II Электродинамические свойства мелкослоистой среды" 2001 ДАН, Т. 381, № 4, с. 1-3

[33] Виноградов А. П., Мерзликин А. МII К вопросу о гомогенизации

одномерных систем 2001 ЖЭТФ

[34] Виноградов А. П. // К вопросу о форме материальных уравнений

в электродинамике УФН Т. 172, №3, 363-370 (2002)

[35] Виноградов А. П., Розанов К. Н., Махновский Д. П. II Эффективный приграничный спой в композитных материалах 1999 Радиотехника и Электроника т. 44, № 3, с. 341-346

[36] Busarov I.G., Lagarkov A.N., Sterlina I.G., Vinogradov A.P. II Proc.

of the International Conference STATPHYS 18, Berlin August 1992, Th.P.192, p. 269-270

[37] Lagarkov A.N., Vinogradov A.P. II Non-local response of composite

Materials in Microwave range» p. 117-130 in «Advances in complex electromagnetic materials» Ed. by A. Priou, A. Sihvola, S. Tretyakov, and A. Vinogradov, NATO ASI Series, 3. High Technology vol. 28, Kluwer Academic Publishers Dordrecht 396 p. 1997

[38] Виноградов А.П., Калачев A.A., Лагарьков A.H., Романенко В.Е.,

Казанцева Г. В. И Эффекты пространственной дисперсии в композитных материалах в СВЧ-диапазоне 1996 ДАН 349, 182184

[39] Sterlina I.G., Vinogradov А.Р. II "Generation of Internal Harmonics

and Existance of Effective Dielectric Constant in Inhomogeneous Materials", in: Proc. of PIERS 1991 Cambridge 2-7 July 1991 p.444

[40] A. P. Vinogradov, A.M. Merziikin II "Electromagnetic properties of

supper-lattice in the long wavelength regime" Proc. of SPIE v. 4806 Complex Mediums III: Beyond Linear Isotropic Dielectrics, ed. By Graeme Dewar and Martin W. McCall, p. 307-316, Seattle USA, 2002

[41] Vinogradov A. P., Merziikin A. M. // On electrodynamics of one-dimensional heterogeneous system beyond homogenization approximation" in NATO BOOK 2003

[42] Lagarkov AN., Panina L.V., Sarychev A.K.,.Smychkovich Yu. R, and

Vinogradov A.P II in «Physical Phenomena in Granular Materials»

ed. By G.D.Gody, T.H.Greballe, and P.Sheng, MRS Symposium Proceedings 195, Material Research Society, Pittsburg 1990, 275

[43] A.P. Vinogradov, A.A Kalachev, V.E .Romanenko, G.V. Kazantseva

II «Spatial Dispersion Effects in Composite Materials for microwaves» 1995 in Proc of the International Symposium on electromagnetic theory, U.R.S.I. St. Petersburg, Russia, May 23-26,

1995 pp. 11-13

[44] Vinogradov A.P., V.E. Romanenko II «Transition from planar to bulk

properties in multi-layer system» 1996 in Proc. Of Trans Black Sea Region Symposium on Applied Electromagnetism 17-19 April Metsovo, Epirus-Hellas, N.T.U.A. Press Athens

[45] Vinogradov A.P., Romanenko V.E. II «The dependence of electromagnetic properties of bi-helix inclusions upon their structure»

1996 in Book of Abstracts of NATO ARW CHIRAL'96, July 23-30 Moscow-St. Petersburg, Russia p. 46

[46] Vinogradov A.P. II «Progress in the Homogenization Theories of the

Maxltell Equations for Inhomogeneous Media (Review of Russian Works» (invited talk) 1997 in Proc of BIANISOTROPICS'97 International Conference and Workshop on Electromagnetics of Composite Media ed. By W.Weiglhofer, University of Glasgo Great Britain, 5-7 June,181-186

[47] Vinogradov A.P., Rozanov K.N., and Makhnovskiy D.P. II «Size Effect for Effective Permittivity of Composites» 1997 in Proc of BIANISOTROPICS'97 International Conference and Workshop on Electromagnetics of Composite Media ed. By W. Weiglhofer, University of Glasgow Great Britain, pp. 309-312

[48] Vinogradov A.P., Aivazian A. V. II "Scaling theory for homogenization

of the Maxwell equations" 1998 Proc. Of the 7th International Conference on Complex Media Bianisotropics'98, Techniscne Universität Braunschweig ed. By A. F. Jacob and J. Reinert, 237-240

[49] Vinogradov A.P., II "Scaling theory for homogenization of the Maxwell equations" Proc. PIERS'98 13-17 July 1998, Nantes, France v. 1 p. 97

[50] Vinogradov A.P. II "Scaling theory of the Maxwell equations" Proceedings of SPIE v. 3241 Smart Materials, Structures, and

Integrated Systems ed. A. Hariz, V.K. Varadan, O. Reinhold 11-13 December 1997 Adelaide, Australia

[51] Виноградов А. П., Махновский Д. П., Розанов И "Зависимость эффективной диэлектрической проницаемости неоднородных листовых материалов от толщины листа" К. Н. Труды 7-й Международной крымской микроволновой конференции КрыМиКо 97 15-18 сентября 1997 СГУ Севастополь Украина

[52] Биберман Л.М., Виноградов А.П., Воробьев B.C., Филинов B.C. II

"Исследование развития ионизационной неустойчивости в плазме с меняющимся направлением среднего тока" 1977 ДАН СССР 236 С. 834

[53] Виноградов А.П. Филинов B.C. II "О динамическом подавление

ионизационной неустойчивости" 1979 ТВТ17 С. 236

[54] Виноградов А.П. Филинов B.C. II "О повышение мощности и коэффициента полезного действия при динамическом подавлении ионизационной неустойчивости в плазме" 1981 ТВТ 19 С.399

[55] Виноградов А.П., Гольденштейн A.B., Сарычев А.К., II "Перколяционный переход, индуцированный внешним электрическим полем" 1989ЖТФ 59, С. 208

[56] Garanov V.A., Kalachev A.A., Karimov AM., Lagarkov A.N., Matitsin

SM, Pakhomov A.B., Peregud B.P., Sarychev A.K., Vinogradov A.P. and Virnik AM. II "Dielectric Constant of Quasi-Critical Percolation Systems" 1991 J. Phys. Condens. Matter. 3, p.3367.

[57] Виноградов А.П., Вирник A.M., Гаранов B.A., Калачев A.A., Лагарьков A.H., Матыцин СМ., Облакова И.И., Пахомов А.Б., Сарычев A.K. II "Размерные эффекты в квазикритических перколяционных системах" 1992 ЖТФ 62, С. 44.

[58] Vinogradov А.Р., Filinov V.S. II "Improving Efficiency of MHD Generator with Ionization Instability." 1979 in 5th Sov. Conf. Low Temperat. Plasma Kiev.

[59] Vinogradov A.P., Goldenstain A.V., Pakhomov A.B., Sarychev A.K., II "Electric Discharge Sintering of Compacted Metallic Bars", Academy of Sciences of the USSR, A.F. loffe Physical Technical Institute, 1989, Preprint No 1378.

[60] Garanov V.A., Kalachev A.A., Lagarkov A.N., Matitsin S.M., Pakhomov A.B., Peregud B.P., Sarychev A.K., Vinogradov A.P. and Vimik A.M. II "Quasi-Critical Percolation Systems", Academy of Sciences of the USSR, A.F. loffe Physical Technical Institute, 1990, Preprint No 1424

[61] Goldenstain A.V., Pakhomov A.B., Pergood B.P., Sarychev A.K., Vinogradov A.P., II "Experimental Study and Percolation Model of Compacted Metallic Mixture Sintering by Electrical Discharge" in: Physical Phenomena in Granular Materials, MRS v. 195. Pittsburgh, 1990, p. 217-222.

[62] Garanov V.A., Kalachev A.A., Karimov A.M., Lagarkov A.N., Matitsin

S.M., Pakhomov A.B., Peregud B.P., Sarychev A.K., Vinogradov A.P. and Vimik A.M. II "The Formation of New Critical System by Electric Breakdown in Percolation System" in: Physical Phenomena in Granular Materials, MRS v. 195. Pittsburgh, 1990, p. 239-244.

[63] Lagarkov A.N., LV.Panina, A.K.Sarychev, Yu. R.Smychkovich, and

Vinogradov A.P. II in «Physical Phenomena in Granular Materials» ed. By G.D.Gody, T.H.Greballe, and P.Sheng, MRS Symposium Proceedings vol 195 p. 275, Material Research Society, Pittsburg 1990.

[64] Garanov V.A., Kalachev A.A., Karimov A.M., Lagarkov A.N., Matitsin

S.M., Pakhomov A.B., Peregud B.P., Sarychev A.K., Vinogradov A.P. and Vimik A.M. II "Metal-Insulator Transition Induced by High Density Electric Current in binary Composite and Critical Behavior of Dielectric Constant" 20 Int. Conf. Phys. Semiconductors, Greece 1990

[65] Garanov V.A., Kalachev A.A., Lagar'kov A.N., Matitsin S.M., Pakhomov A.B., Sarychev A.K., Vinogradov A.P., Vimik A.M. II 'The Break- down of metal insulator granular system for obtaining of dielectric with anomalous high value of dielectric constant". Proc. of The 3rd International Conference on Properties and Applications of Dielectric Materials, vol.2, p. 1185-1188, Tokyo, Japan, 1991

[66] Garanov V.A., Kalachev A.A., Lagar'kov A.N., Matitsin S.M., Pakhomov A.B., Sarychev A.K., Vinogradov A.P., Vimik A.M. II Proc. of The 3rd International Conference on Properties and Applications of Dielectric Materials, vol.2, p. 1101-1108, Tokyo, Japan, 1991

Р 12 2 9 8

Виноградов Алексей Петрович

РОЛЬ МИКРОСТРУКТУРЫ В ФОРМИРОВАНИИ ЭФФЕКТИВНЫХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ СВОЙСТВ НЕУПОРЯДОЧЕННЫХ СРЕД

Диссертация в виде научного доклада

Подписано в печать 13.05.03 Формат 60x84/16

Печать офсетная Уч.-изд.л. 4.25 Усл. печ. л. 3.95

Тираж 100 экз._Заказ № 42_Бесплатно

ОИВТ РАН, 125412, Москва, Ижорская ул., 13/19

Введение диссертация по физике, на тему "Роль микроструктуры в формировании эффективных электромагнитных свойств неупорядоченных сред"

Актуальность темы. Наука о композитных материалах (или в более широком смысле наука о гетерогенных средах) является бурно развивающейся отраслью знания во всех ее аспектах, будь то исследования механических свойств, изучение процессов переноса и теплообмена или течение химических реакций. В настоящей диссертации поведение гетерогенных сред рассмотрено с позиции электродинамики.

Данная проблема имеет более чем вековую историю. На протяжении этого времени ученые неоднократно обращались к ней, каждый раз освещая все новые ее стороны. Первые работы Лорентца, Максвелла, Моссотти представляли собой попытки совместить уравнения Максвелла, в которые входят непрерывные параметры s и ц, с представлением об атомном, т. е. разрывном строении вещества. Следующий всплеск интереса к данной проблеме был порожден развитием квантово-механической теории конденсированных сред. Фактически, с тех пор интерес к исследованиям в данной области никогда не ослабевал, подогреваясь появлением все новых объектов исследования: полупроводников, сверхпроводников, активных сред (лазеров), аморфных материалов и т.д. Другая ветвь исследований, имеющая дело с неквантовыми явлениями, была порождена потребностями радиотехники. Развитие радиолокации потребовало с одной стороны исследовать свойства неоднородных сред, в частности атмосферы, по которым распространяются волны, а с другой стороны создавать новые материалы со свойствами, необходимыми для конструирования радиотехнических установок и приборов. В последнее время интерес к проблемам электродинамики гетерогенных систем в классической постановке возрос в связи с развитием "стелс-технологии".

Тема исследований данной диссертации принадлежит к последнему, неквантовому направлению. Казалось бы, что, имея столь конкретные приложения, эта область электродинамики должна погрязнуть в обилии расчетов конкретных конструкций. Однако реальность в очередной раз подтверждает, что серьезные приложения требуют глубокого понимания. Поэтому целью данной работы явились не конкретные расчеты свойств той или иной системы и даже не вывод формул для таких расчетов, а исследование эффектов, сопровождающих электромагнитный транспорт через неупорядоченные системы, и разработка методов описания этих эффектов.

Многообразие различных эффектов, наблюдаемых в конденсированных средах в зависимости от энергии и пространственного масштаба, на котором разыгрываются события, не позволяет решить все проблемы в рамках одного подхода. Поэтому в диссертации рассмотрены лишь среды, описываемые материальными уравнениями с параметрами, зависящими от пространственных координат. Это предполагает, что, во-первых, масштаб неоднородностей настолько велик, что локально можно провести первичное усреднение по атомным масштабам, получив материальные уравнения Максвелла. Эти уравнения ниже называются микроскопическими. Во-вторых, предполагается, что распределение материальных параметров статистически однородно, и, в-третьих, предполагается, что масштаб неоднородностей настолько мал по сравнению с длиной волны, что имеет смысл проводить вторичное усреднение по масштабу изменения материальных параметров. Именно этой задаче уделено основное внимание в работе.

В литературе эту задачу принято называть задачей гомогенизации. Она состоит в нахождении макроскопических уравнений, описывающих поведение полей, изначально подчиняющихся микроскопическим уравнениям, после их усреднения по масштабу неоднородности распределения диэлектрической и магнитной проницаемостей. Иными словами, речь идет о вторичном усреднении полей и о нахождении эффективных материальных параметров.

Несмотря на столь жесткие ограничения области исследования, развиваемые идеи имеют широкое применение, как на практике, так и в фундаментальной науке.

Цель работы - исследование электромагнитных свойств гетерогенных материалов в широком диапазоне значений отношения длины волны к масштабу неоднородностей. Основное внимание уделяется роли структуры неоднородности в формировании макроскопических свойств вещества. Для достижения этой цели в работе были поставлены и решены следующие задачи:

1) исследование зависимости локальных статических полей от микроструктуры неоднородностей;

2) исследование структуры бесконечного проводящего кластера, образующегося в смеси металла и диэлектрика, и влияние этой структуры на критическое поведение системы;

3) исследование роли микроструктуры при непотенциальном взаимодействии электромагнитного поля с отдельными включениями, ведущей к проявлению искусственного парамагнетизма, киральности и т.п. явлениям;

4) исследование взаимодействия электромагнитных волн с гетерогенными системами, обладающими развитой (многомасштабной) неоднородностью;

5) исследование явлений, связанных с наличием границы;

6) исследование интерференционных эффектов при распространении и локализации электромагнитных волн.

Научная новизна. Основные научные результаты, полученные в диссертации, расположены в порядке возрастания сложности рассматриваемой проблемы, и состоят в следующем:

1. (Статика, "одно-частичное" приближение) Исследовано влияние структуры неоднородностей на величину локального поля. Предложена современная трактовка формулы Лоренц-Лорентца, избегающая традиционного суммирования условно сходящихся рядов. Предложена модификация теории эффективной среды, учитывающая влияние микрокорреляций на величину порога протекания.

2. (Статика, многочастичная задача протекания) В рамках численного эксперимента исследовано критическое поведение перколяционных систем. Впервые для многих критических индексов получены значения, принятые в современной литературе. Продемонстрирована справедливость гипотезы масштабной инвариантности для перколяционной системы на пороге протекания. Учитывая то, что масштабная инвариантность перколяционной системы проявляется как явление самопохожести перколяционных кластеров, построена иерархическая капельная модель бесконечного кластера. Показано принципиальное различие в строении бесконечного кластера двумерной и трехмерной систем.

3. (Задача протекания. Квазистатика) Исследована частотная дисперсия диэлектрической проницаемости перколяционной системы в критической области концентраций. Впервые получены значения критических индексов, описывающие частотную дисперсию диэлектрической проницаемости.

4. (Эффекты, связанные с непотенциальностью взаимодействия электромагнитного поля с отдельными включениями, одночастичная задача). Исследованы киральные свойства спиралевидных включений. Показано, что наблюдаемое явление киральности существенно только при резонансном взаимодействии электромагнитного излучения с отдельным включением. Исследовано многомодовое возмущение включения.

Исследовано явление искусственного магнетизма, вызванного как эффектом скинирования, так и возбуждением магнитных мод. Предложены искусственные магнетики на основе противоположно закрученных спиралей. Исследованы частотные характеристики отклика таких включений в зависимости от угла захода. Дано качественное объяснение сильной зависимости резонансной частоты конечных отрезков противоположно закрученных спиралей от начального угла между спиралями.

Исследован вклад квадрупольного момента в материальные уравнения. Предсказана квадрупольная поляризационная катастрофа, проявляющаяся в увеличении эффективной диэлектрической проницаемости. Объяснено наблюдавшееся в эксперименте (В. Н. Семененко и В. А. Чистяев, 1997) аномальное поведение диэлектрической проницаемости (наличие пика в значениях диэлектрической проницаемости в области магнитного резонанса). Предсказано существование продольных квадрупольных мод. Предложен ряд сред, в которых квадрупольное взаимодействие может превалировать над дипольным.

5. (Вихревые поля, многочастичная задача) Построена скейлинговая теория гомогенизации уравнений Максвелла для сред с многомасштабной неоднородностью при условии непотенциального взаимодействия электромагнитного излучения с неоднородностями среды.

6. (Явления, связанные с наличием границы, квазистатика) Исследованы размерные эффекты в островковых пленках при переходе от планарных систем к трехмерным. Показано нарушение универсальности планарных перколяционных систем, проявляющееся в зависимости эффективных параметров пленки от свойств окружающего пространства.

Исследована структура электродинамического переходного слоя в неоднородных материалах. Показано, что структура полей в области границы раздела сред существенно отличается от структуры, предсказанной теорией Френеля. В области резонансного взаимодействия это отличие может достигать сотен процентов, проявляясь в смещении частоты линии поглощения образца.

Рассмотрена проблема граничных условий в условиях резонансного взаимодействия электромагнитных волн с включениями, когда данное взаимодействие нельзя рассматривать как малое возмущение, вызванное запаздыванием волны на масштабе включения. Исследована роль эффективного переходного слоя в этих условиях. Получено обобщение теории Друде переходного слоя.

7. (Явления, связанные с наличием границы, динамика, одномерный случай.) Исследована возможность гомогенизации одномерных систем конечной толщины. Показано, что введение локальных эффективных параметров невозможно даже в длинноволновом приближении. Попытка учесть запаздывание на масштабе неоднородности приводит к зависимости эффективных параметров от толщины образца. Отклонения от значений, предсказанных теорией Рытова (Рытов, 1943) для бесконечной системы, могут достигать сотен процентов даже в длинноволновом пределе. Это связано с тем, что существенную роль играет эффективный переходный слой вблизи границы, где решение перестраивается, стремясь к блоховскому виду (решение Рытова для бесконечной системы).

8. (Явления, связанные с наличием границы, среды с пространственной дисперсией) Построена феноменологическая теория, учитывающая наличие флуктуирующих полей не только в гетерогенной среде (среде с пространственной дисперсией), но и в однородной среде, непосредственно прилегающей к гетерогенной.

9. (Явления, обусловленные интерференцией рассеянных волн) Исследована зависимость длины локализации света от частоты в одномерной, случайно неупорядоченной системе. Построена зонная теория локализации света в одномерных системах.

Автор выносит на защиту:

1. Современную трактовку формулы Лоренц-Лорентца, избегающую традиционного суммирования условно сходящихся рядов. На основании развитого подхода показано, что величина порога протекания определяется высшими (начиная с четвертого порядка) корреляторами диэлектрической проницаемости. Модификация теории эффективной среды, учитывающая влияние микрокорреляций, возникающих из-за существования канала протекания, и позволяющая описывать проводимость (диэлектрическую проницаемость) различных неоднородных сред с а priori известным значением порога протекания.

2. Расчет критических индексов перколяционной системы, описывающих критическое поведение проводимости, степени анизотропии проводимости, а также частотную зависимость материальных параметров перколяционных систем, включая внутреннюю индуктивность перколяционной системы. В рамках численного эксперимента подтверждена гипотеза скейлинга и впервые найдены современные значения критических индексов.

3. Результаты исследования структуры бесконечного кластера, включая определение структуры одножильных каналов и роли дублированных участков (капель) канала протекания в пространствах различной размерности. Самопохожую (фрактальную) капельную модель бесконечного кластера.

4. Результаты исследования планарных перколяционных систем, являющихся моделью островковых пленок и тонких гранулированных покрытий. Тот факт, что планарные системы отличаются от двумерных и трехмерных перколяционных систем. Доказательство того, что планарные системы не универсальны, а именно, то, что критические индексы планарной системы зависят от проводимости (диэлектрической проницаемости) окружающего пространства. При этом исследован переход от планарной системы к трехмерной системе и показано, что в не зависимости от величины длины корреляции в планарной системе переход к свойствам трехмерной системы наблюдается на 4-5 слоях.

5. Исследование резонансных и поверхностных свойств киральных систем. Показано, что заметный эффект киральности наблюдается только в области резонансного взаимодействия падающей волны с отдельным включением. Найдены условия резонанса при возбуждении различных мод, распространяющихся по включениям спиралевидной формы. Исследован переходный слой между киральной средой и обыкновенной. Показано, что наличие в задаче аксиального вектора (градиента фактора киральности) не приводит к нарушению взаимности среды, что опровергает существовавшее в литературе мнение об ответственности переходного слоя за появление невзаимного эффекта - вращении поляризации при отражении.

6. Новый тип искусственных магнетиков на основе встречно-намотанных спиралей. Впервые в рамках численного эксперимента показана перспективность использования таких включений для создания искусственных магнетиков. Исследована зависимость резонансной частоты от геометрических параметров таких включений, в частности выявлена сильная зависимость от начального угла захода второй спирали относительно первой.

7. Новый тип искусственных сред - квадрупольные среды. Получено дисперсионное уравнение. Предсказание возможности квадрупольной поляризационной катастрофы и распространение продольных волн. На основании развитой теории дано качественное объяснение аномалии диэлектрической проницаемости, наблюдавшейся ранее в эксперименте (В. Н. Семененко и В. А. Чистяева) по искусственным магнетикам на основе встречно-намотанных спиралей. Предложен ряд реализаций сред, в которых взаимодействие электромагнитной волны с включением носит преимущественно квадрупольный характер.

8. Скейлинговую теорию гомогенизации уравнений Максвелла для неоднородных сред с многомасштабными флуктуациями материальных параметров. Впервые удалось корректно определить понятие эффективного высокочастотного магнитного момента для неоднородной системы. Предложенный алгоритм гомогенизации основан на доказанной математической лемме о том, что любое векторное поле представимо как сумма его "электрического дипольного", "электрического квадрупольного" и "магнитного дипольного" моментов. Показано, что при усреднении моменты необходимо рассчитывать относительно геометрического центра токонесущей ячейки. В рамках развитой теории получены уравнения теории эффективной среды, учитывающие скинирование полей на отдельных включениях. Показано, что скинирование поля на флуктуациях плотности может приводить к значительному повышению мнимой части диэлектрической проницаемости композита.

9. Доказательство отсутствия эффективной диэлектрической проницаемости у одномерной (слоистой) среды при учете эффектов запаздывания (эффектов пространственной дисперсии). Расхождение между рытовскими точными значениями, полученными для бесконечной среды и значениями, полученными для конечных образцов, может достигать сотен процентов.

10. Феноменологическую теорию дополнительных граничных условий для неоднородных сред в области СВЧ частот, где наблюдается существенное влияние пространственной дисперсии.

11. Предсказание возникновения эффективного электродинамического слоя в пространственно статистически однородных гетерогенных средах.

Хотя основной акцент сделан на теоретических аспектах, полученные результаты критически оценены с точки зрения практики и эксперимента.

Результаты диссертации могут быть использованы при создании новых радиоматериалов.

Апробация работы. Основные результаты, представленные в диссертации, докладывались и обсуждались на многочисленных международных и всесоюзных конференциях, а также на семинарах в ИТПЭ ОИВТ РАН, Теор. отдела Физического института им. Лебедева, Теор. отдела Института общей физики РАН, Теор. отдела ОИВТ РАН, физфака Гомельского Университета, инженерного факультета по электричеству и связи Хельсинского технического университета, факультета материаловедения Пенсильванского университета, на Общемосковском радиофизическом семинаре (ИРЭ-IEEE), на семинаре Теоретического отдела физико-технического института им. Иоффе, в Киевском государственном университете, в Сингапурском

Национальном Университете, на школе по гомогенизации в Институте Теоретической Физики (Триест, Италия).

Публикации. Результаты диссертации изложены в четырех монографиях, где диссертант выступал как автор, соавтор и научный редактор, либо как соавтор, в 33 статьях, опубликованных в центральных отечественных и зарубежных журналах, и многократно докладывались на международных и всесоюзных конференциях.

Заключение диссертации по теме "Электрофизика, электрофизические установки"

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1] Vinogradov А.Р. II On the Clausius-Mossotti-Lorenz-Lorentz 1997

Physica A 241, 216-222

2] Виноградов А. П. II "О формуле Клаузиуса-Моссотти-Лоренц

Лорентца" (обзор) 2000 Радиотехника и Электроника т. 45, №. 8, pp. 901-909

3] Vinogradov А.Р., Starostenko S.N. II On the static limit of strong fluctuation theory 1999 JEWA v. 19, pp. 993-1003

4] Sarychev A.K., Vinogradov А.Р. II "Effective Medium Theory for the

Magneto conductivity of Disordered Materials", phys.stat.sol. 1983 117 p.K113

5] Виноградов АЛ. II О формуле Клаузиуса-Моссотти-Лоренц

Лорентца для магнитных сред 1999 Радиотехника и Электроника т. 44, № 9, с. 1131-1132

6] Sarychev А.К., Vinogradov А.Р. И Percolation in Anisotropic Systems and Structure of the Infinite Cluster. 1979 J.Phys.C: Solid State Phys. 12 p. L681

7] Sarychev A.K., Vinogradov А.Р. II Droplet Model of Infinite Cluster for

2D Percolation 1981 J.Phys.C: Solid State Phys. 14 p. L487

8] Sarychev A.K., Karimov AM, Vinogradov A. P. I I Calculation of percolation conductivity in 3d 1985 J.Phys.C: Solid State Phys. 18, p. L105

9] Sarychev A.K., Vinogradov А.Р. II Percolation Conductivity in

Anisotropic System. 1983 J.Phys.C: Solid State Phys 16 p. L1073

10] Sarychev A.K., Vinogradov A.P., Goldenstein A. V. II Are there Long

Links in Percolation Backbone in 3D, 1987 J.Phys.C: Solid State Phys. 20 p.L113

11] Виноградов А. П. II Электродинамика композитных материалов

M. УРСС, 2001

12] Сарычев А.К, Виноградов А. П. II Структура каналов протекания и переход металл-диэлектрик в композитах 1983 ЖЭТФ 85 р.1144

13] Антонов А.С., Батениин В.М., Виноградов А. П., и др. II Электрофизические свойства перколяционных систем монография под ред. Лагарькова А.Н. ИВТ АН СССР, Москва 1990

14] Lagarkov A.N., Sarychev А.К., Smychkovich Y.R., Vinogradov А. P.

И Effective Medium Theory For Microwave Dielectric Constant and Magnetic Permeability of Conducting Stick Composites 1992 JEWA, vol. 6, No.9, 1159-1176

15] Виноградов А. П., Каримов A. M., Кунавин А. Т., Лагарьков A. H.,

Сарычев А. К, Стембер H .А. I/ Исследование критического поведения диэлектрической проницаемости гетерогенных смесей 1984 ДАН СССР, 275, 590

16] Виноградов А. П., Лагарьков А. И., Сарычев А. К. И О возможной аномалии индуктивности композитных материалов 1984 Письма вЖЭТФ, 40, р.296

17] Виноградов А .П., Каримов А М., Сарычев А. К. II Диэлектрическая проницаемость перколяционных композитных материалов: закон подобия и уравнения состояния 1988 ЖЭТФ, 94, р.301

18] Vinogradov А. P., Dmitriev Yu. N., Romanenko V .E. I I «Mutual influence of several fractal films in multi-layer system» pp. 11-13 in Proc of the 1995 International Symposium on electromagnetic theory, U.R.S.I. St. Petersburg, Russia, May 23-26, 1995

19] Vinogradov A. P., Busarov I.G., Posudnevsky O. P., Romanenco V.E. // The permittivity of a planar percolation system 1994 J. Phys. Condence. Matter. 6, 4351

20] Vinogradov A. P., Dmitriev Yu. N., Romanenko A.N.I I Transition from planar to bulk properties in multi-layer system 1997 Electromagnetics vol. 17, pp. 563-571

21] Vinogradov A. P. II Microscopic properties of a chiral object. Proc. of

Bianisotropics 93" Seminar on electrodynamics of chiral and bianisotropic media. Gomel, Belarus, Ed. by A. Sihvola, S. Tretyakov, I. Semchenco Helsinki University of Technology, Finland, 1993 pp. 22-26

22] Vinogradov A. P., Antonov A. S., Lagarkov A .N. II Excitation of a single wire helix in multi-mode regime» pp. 35-40 in Proc. Of 3rd International Workshop on Chiral, Bi-isotropic, and Bi-anisotropic Media, Perigueux, France May 18-20, 1994

23] Виноградов А. П. Скиданов И. A. II "Обобщение формул Друде для переходного слоя на случай киральных систем" РиЭ Т. 47, №4 С. (2002)

24] Vinogradov А. P. Aivazyan А. V. II Scaling theory for homogenization of the Maxwell equations 1999 PRE v. 60 p. 987-993

25] Виноградов А. П., Айвазян А. В. II "Скейлинговая теория гомогенизации уравнений Максвелла" Труды. Международная конференция Физика атмосферного аэрозоля 12-17 апреля 1999 Институт физики атмосферы им. А. М. Обухова РАН с. 64-67

26] Vinogradov А.Р., Romanenko V.E. II Artificial magnetics based on racemic helix inclusion» pp. 143-148 in Proc. of 3rd International Conference on Chiral, Bi-isotropic, and Bi-anisotropic Media, The Pennsylvania State University, State College, USA, October 1-14, 1995

27] Vinogradov A. P., A.N. Lagarkov, A.N. Romanenko, A.A. Kalachev II

Some peculiarities in the resonant behavior of the bi-helix microstructure 1997 Electromagnetics v. 17, No. 3 pp. 213-238

28] Виноградов А. П. Айвазян А. В. II "Об ошибочности учета квадрупольного момента при расчете фактора киральности" // РиЭ, Т. 47, № 2, С. 192-195 (2002)

29] Vinogradov А. Р. И The Contribution of the Quadrupole moment to

Constitutive Equations, Proc. Of PIERS 2001, July 18-22, 2001, Osaka, Japan

30] Виноградов А. П., Панина Л. В., Сарычев А.К. // Метод расчета диэлектрической и магнитной проницаемостей перколяционных систем", ДАН СССР, 1989, 306, р.847

31] Vinogradov А. P., Merzlikin А. V. II Electromagnetic Properties of Superlattice in the Long Wavelength Regime Proc. Of PIERS 2001, July 18-22, 2001, Osaka, Japan

32] Виноградов А. П., Мерзликин А. М. И Электродинамические свойства мелкослоистой среды" 2001 ДАН, Т. 381, № 4, с. 1-3

33] Виноградов А. П., Мерзликин А. МII К вопросу о гомогенизации одномерных систем 2001 ЖЭТФ

34] Виноградов А. П. II К вопросу о форме материальных уравнений в электродинамике УФН Т. 172, №3, 363-370 (2002)

35] Виноградов А. П., Розанов К. Н., Махновский Д. П. II Эффективный приграничный слой в композитных материалах 1999 Радиотехника и Электроника т. 44, № 3, с. 341-346

36] Busarov I.G., Lagarkov A.N., Sterlina I.G., Vinogradov A.P. II Proc. of the International Conference STATPHYS 18, Berlin August 1992, Th.P.192, p. 269-270

37] Lagarkov A.N., Vinogradov A.P. II Non-local response of composite

Materials in Microwave range» p. 117-130 in «Advances in complex electromagnetic materials» Ed. by A. Priou, A. Sihvola, S. Tretyakov, and A. Vinogradov, NATO ASI Series, 3. High Technology vol. 28, Kluwer Academic Publishers Dordrecht 396 p. 1997

38] Виноградов А.П., Калачев A.A., Лагарьков A.H., Романенко В.Е.,

Казанцева Г.В. II Эффекты пространственной дисперсии в композитных материалах в СВЧ-диапазоне 1996 ДАН 349, 182184

39] Sterlina I.G., Vinogradov A.P. II "Generation of Internal Harmonics and Existance of Effective Dielectric Constant in Inhomogeneous Materials", in: Proc. of PIERS 1991 Cambridge 2-7 July 1991 p.444

40] A. P. Vinogradov, A.M. Merzlikin И "Electromagnetic properties of supper-lattice in the long wavelength regime" Proc. of SPIE v. 4806 Complex Mediums III: Beyond Linear Isotropic Dielectrics, ed. By Graeme Dewar and Martin W. McCall, p. 307-316, Seattle USA, 2002

41] Vinogradov A. P., Merzlikin A. M. II On electrodynamics of one-dimensional heterogeneous system beyond homogenization approximation" in NATO BOOK 2003

42] Lagarkov A.N., Panina L.V., Sarychev A.K.,.Smychkovich Yu. R, and

Vinogradov A.P II in «Physical Phenomena in Granular Materials» ed. By G.D.Gody, T.H.Greballe, and P.Sheng, MRS Symposium Proceedings 195, Material Research Society, Pittsburg 1990, 275

43] A.P. Vinogradov, A. A Kalachev, V.E .Romanenko, G.V. Kazantseva

II «Spatial Dispersion Effects in Composite Materials for microwaves» 1995 in Proc of the International Symposium on electromagnetic theory, U.R.S.I. St. Petersburg, Russia, May 23-26,

1995 pp. 11-13

44] Vinogradov A.P., V.E. Romanenko /I «Transition from planar to bulk properties in multi-layer system» 1996 in Proc. Of Trans Black Sea Region Symposium on Applied Electromagnetism 17-19 April Metsovo, Epirus-Hellas, N.T.U.A. Press Athens

45] Vinogradov A.P., Romanenko V.E. II «The dependence of electromagnetic properties of bi-helix inclusions upon their structure»

1996 in Book of Abstracts of NATO ARW CHIRAL'96, July 23-30 Moscow-St. Petersburg, Russia p. 46

46] Vinogradov A.P. II «Progress in the Homogenization Theories of the

Maxwell Equations for Inhomogeneous Media (Review of Russian Works» (invited talk) 1997 in Proc of BIANISOTROPICS'97 International Conference and Workshop on Electromagnetics of Composite Media ed. By W.Weiglhofer, University of Glasgo Great Britain, 5-7 June,181-186

47] Vinogradov A.P., Rozanov K.N., and Makhnovskiy D.P. II «Size Effect for Effective Permittivity of Composites» 1997 in Proc of BIANISOTROPICS'97 International Conference and Workshop on Electromagnetics of Composite Media ed. By W. Weiglhofer, University of Glasgow Great Britain, pp. 309-312

48] Vinogradov A.P., Aivazian A. V. И "Scaling theory for homogenization of the Maxwell equations" 1998 Proc. Of the 7th International Conference on Complex Media Bianisotropics'98, Technische Universitat Braunschweig ed. By A. F. Jacob and J. Reinert, 237-240

49] Vinogradov A.P., II "Scaling theory for homogenization of the Maxwell equations" Proc. PIERS'98 13-17 July 1998, Nantes, France v.1 p. 97

50] Vinogradov A.P. II "Scaling theory of the Maxwell equations" Proceedings of SPIE v. 3241 Smart Materials, Structures, and

Integrated Systems ed. A. Hariz, V.K. Varadan, O. Reinhold 11-13 December 1997 Adelaide, Australia

51] Виноградов А. П., Махновский Д. П., Розанов II "Зависимость эффективной диэлектрической проницаемости неоднородных листовых материалов от толщины листа" К. Н. Труды 7-й Международной крымской микроволновой конференции КрыМиКо 97 15-18 сентября 1997 СГУ Севастополь Украина

52] Биберман Л.М., Виноградов А.П., Воробьев B.C., Филинов B.C. II

Исследование развития ионизационной неустойчивости в плазме с меняющимся направлением среднего тока" 1977 ДАН СССР 236 С. 834

53] Виноградов А.П. Филинов B.C. II "О динамическом подавление ионизационной неустойчивости" 1979 ТВТ 17 С. 236

54] Виноградов А.П. Филинов B.C. // "О повышение мощности и коэффициента полезного действия при динамическом подавлении ионизационной неустойчивости в плазме" 1981 ТВТ 19С.399

55] Виноградов А.П., Гольденштейн А.В., Сарычев А.К., Н "Перколяционный переход, индуцированный внешним электрическим полем" 1989 ЖТФ 59, С. 208

56] Garanov V.A., Kalachev А.А., Karimov A.M., Lagarkov A.N., Matitsin

S.M., Pakhomov A.B., Peregud B.P., Sarychev A.K., Vinogradov A.P. and Virnik A.M. // "Dielectric Constant of Quasi-Critical Percolation Systems" 1991 J. Phys. Condens. Matter. 3, p.3367.

57] Виноградов А.П., Вирник A.M., Гвранов B.A., Калачев А.А., Лагарьков А.Н., Матыцин С.М., Облакова И.И., Пахомов А.Б., Сарычев А.К. И "Размерные эффекты в квазикритических перколяционных системах" 1992 ЖТФ 62, С. 44.

58] Vinogradov А.Р., Filinov V.S. II "Improving Efficiency of MHD Generator with Ionization Instability." 1979 in 5th Sov. Conf. Low Temperat. Plasma Kiev.

59] Vinogradov A.P., Goldenstain A.V., Pakhomov A.B., Sarychev A.K., II "Electric Discharge Sintering of Compacted Metallic Bars", Academy of Sciences of the USSR, A.F. loffe Physical Technical Institute, 1989, Preprint No 1378.

60] Garanov V.A., Kalachev A.A., Lagarkov A.N., Matitsin S.M., Pakhomov A.B., Peregud B.P., Sarychev A.K., Vinogradov A.P. and Virnik A.M. II "Quasi-Critical Percolation Systems", Academy of

Sciences of the USSR, A.F. loffe Physical Technical Institute, 1990,

Preprint No 1424

61] Goldenstain A.V., Pakhomov A.B., Pergood B.P., Sarychev A.K., Vinogradov A.P., II "Experimental Study and Percolation Model of Compacted Metallic Mixture Sintering by Electrical Discharge" in: Physical Phenomena in Granular Materials, MRS v. 195. Pittsburgh, 1990, p. 217-222.

62] Garanov V.A., Kalachev A.A., Karimov A.M., Lagarkov A.N., Matitsin

S.M., Pakhomov A.B., Peregud B.P., Sarychev A.K., Vinogradov A.P. and Virnik A.M. II "The Formation of New Critical System by Electric Breakdown in Percolation System" in: Physical Phenomena т in Granular Materials, MRS v. 195. Pittsburgh, 1990, p. 239-244.

63] Lagarkov A.N., L.V.Panina, A.K.Sarychev, Yu. R.Smychkovich, and

Vinogradov A.P. II in «Physical Phenomena in Granular Materials» ed. By G.D.Gody, T.H.Greballe, and P.Sheng, MRS Symposium Proceedings vol 195 p. 275, Material Research Society, Pittsburg 1990.

64] Garanov V.A., Kalachev A.A., Karimov A.M., Lagarkov A.N., Matitsin

S.M., Pakhomov A.B., Peregud B.P., Sarychev A.K., Vinogradov A.P. and Virnik A.M. II "Metal-Insulator Transition Induced by High Density Electric Current in binary Composite and Critical Behavior of Dielectric Constant" 20 Int. Conf. Phys. % Semiconductors, Greece 1990

65] Garanov V.A., Kalachev A.A., Lagarkov A.N., Matitsin S.M., Pakhomov A.B., Sarychev A.K., Vinogradov A.P., Virnik A.M. // "The Break- down of metal insulator granular system for obtaining of dielectric with anomalous high value of dielectric constant". Proc. of The 3rd International Conference on Properties and Applications of Dielectric Materials, vol.2, p. 1185-1188, Tokyo, Japan, 1991

66] Garanov V.A., Kalachev A.A., Lagarkov A.N., Matitsin S.M., Pakhomov А.В., Sarychev A.K., Vinogradov A.P., Virnik A.M. II Proc. of The 3rd International Conference on Properties and

Applications of Dielectric Materials, vol.2, p. 1101-1108, Tokyo,

Japan, 1991

Роль микроструктуры в формировании эффективных электромагнитных свойств неупорядоченных сред тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.13 ВАК РФ