Семейство элементов четвертого порядка в кольце симплектических кобордизмов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

чоптиол

На правах рукописи Анисимов Александр Леонидович

СЕМЕЙСТВО ЭЛЕМЕНТОВ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА В КОЛЬЦЕ СИМПЛЕКТИЧЕСКИХ К0Б0РДИЗМ0В

01.01.04 - геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МАГНИТОГОРСК — 1998

Работа выполнена в Магнитогорской горно-металлургической академии

Научный руководитель—д.ф.-м.н., Вершинин В.В

Официальные оппоненты — д.ф.-м.н. проф. Голубятников В.И.

к.ф.-м.н. доцент Шефель Г.С.

Ведущая организация — Челябинский государственный университет

Защита состоится ■ сеи/илфл 1998 года в // часов на заседании диссертационного совета К 002.23.02 в Институте математики им. С.Л. Соболева СО РАН по адресу: 630090, г.Новосибирск просп. Академика Коптюга, д.4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики СО РАН

Автореферат разослан "¡6 " 1998 года.

Ученый секретарь диссертационного совета, к.ф.-м.н. . /УУ2^

Романов А.С.

Общая характеристика работы.

Актуальность темы. При изучении произвольного класса многообразий одним из первых вопросов, требующих решения, является вопрос об их классификации с точностью до какого-нибудь отношения эквивалентности. Выбор подходящего отношения эквивалентности задает не только направление, но и методы изучения возникающих классов многообразий. Естественное, как кажется на первый взгляд, отношение гомеоморфизма (гладких) многобразий не годится для подобной классификации. Известная теорема Маркова утверждает, что проблема изоморфизма груш, заданых образующими и определяющими соотношениями, в общем виде неразрешима. Этот факт, вместе с известным топологическим утверждением о том, что любая груша заданная образующими и соотношениями, может быть реализована как фундаментальная группа (четырехмерного) многообразия, приводит к утверждению о невозможности классификации многообразий с точностью до изоморфизма. Поэтому в топологии многообразий для классификации используются более слабые, чем гомеоморфность, эквивалентности, например кобордантность.

Впервые понятие подобное кобордизму использовалось еще в работах А.Пуанкаре. Напомним, что два многообразия одинаковой размерности, принадлежащих одному классу ( гладкие, квазикомплексные, ориентированные и т.д.) называются кобордантными, если существует в том же классе многообразие на единицу большей размерности, край которого изоморфен несвязному объединению данных многообразий.

В конце 30-х годов Л.С.Понтрягин использовал понятие ко-бордизма для описания гомотопических классов отображений сферы Бп+к в сферу £п. А именно, существует изоморфизм между этими классами и группами кобордизмов оснащенных (т.е. с фиксированным классом тривиализации стабильного нормального пучка) многообразий. В конце 50-х годов Р.Том дал гомотопическую интерпретацию кобордизмов при помощи построенных им комплексов в общем случае. Используя эту технику, он полностью вычислил кольцо не-ориетированных кобордизмов. В начале 60-х годов Дж.Милнор и С.П.Новиков исследовали кольца унитарных, ориентированных, специальных унитарных и симплектических кобордизмов (т.е. кобордизмов многообразий со структурой векторного пространства в стабильном нормальном пучке этого многообразия с функциями склейки принадлежащими соответствующей классической груше). При этом они широко использовали построенную в конце 50-х годов Дж.Ф. Адамсом спектральную последовательность (с.п.). В дальнейшем П.С.Новиков построил аналог с.п. Адамса для обобщенных теорий когоыологий. Так называются теории когомологий, для которых выполнены все аксиомы Эйленберга-Стинрода, за исключением аксиомы размерности. Наиболее важными из них являются К-теория и теории кобордизмов, когда когомологиями точки являются соответствующие кольца. В настоящей работе с.п. Дцамса-Новикова применяется для вычислений в кольце симплектических кобордизмов МБр#, т.е. кольце кобордизмов многообразий, на стабильном нормальном пучке которых действует симплектическая груша.

Начало изучению втого кольца положил в 60-х годах П.С. Новиков, который использовал классическую с.п. Адамса и вычислил

MSp,® z[ | ] e Z[ | ] [x1,... ,rn,... ], dim Tn = 4П

В дальнейшем многие авторы занимались изучением этого кольца. Можно укомянуть, например А.Люлевичуса, Р.Стонга, Д.Сигала, В.М.Бухштабера, Дж.Александера и др.

Н.Реем была построена серия элементов порядка 2 в кольце MSpj,. Они мультипликативно неразложимы, независимы и замкнуты относительно действия операций Ландвебера-Новикова.

В.В.Вершинин, Б.К.Ботвинник и В.Г.Горбунов получили много новой информации о симплектических кобордизмах используя различные методы в т.ч., с.п. Адамса-Новикова, теорию многообразий о. особенностями и т.д. В частности, В.В.Вершинин в 80-е годы вычислил кольцо ОДЗр# до размерности 32 и доказал факт о нетривиальности большинства тройных произведений элементов Н.Рея.

Так как, вычисление начального члена с.п. Адамса-Новикова сопряжено со значительными трудностями, то для их преодоления была построена С.П.Новиковым, так называемая алгебраическая спектральная последовательность, вариант которой затем под названием (модифицированной) алгебраической спектральной последовательности (МАСП), был приспособлен В.В.Вершининым для вычисления кольца MSp*.

В данной работе основной целью является исследование элементов конечного порядка в кольце MSp*. В других классических теориях кобордизмов (как-то, неориентированных, ориентированных, унитарных, квазикомплексных и т.д.), либо кручение отсутствовало вовсе, либо все элементы кручения имели порядок два. Поэтому интересно было бы выяснить, нет ли в кольце. MSp^ элементов более высокого, чем два, порядка.

Е.И.Ботвинник и С.О.Кохман доказали существование в кольце

1с

М8р# элементов произвольного порядка 2 , к = 1,2,____

Они используют технику симплектических кобордизмов с особеннос-г у

тяж МБр/ и МБр^ , где 2П = (Р1,...,РП) иХ = (Рг...,РП,...) последовательность замкнутых Бр-многообразий, представляющих элементы Н.Рея [Р^] = и [Р^] = Р. 1 2, при 1 г 2. Однако, их

методы доказывают существование таких элементов в достаточно больших размерностях (например, элементов порядка 4 - в размерности равной 5065). Вышеизложенное характеризует то направление исследований, которому посвящена диссертация.

Цель работы состоит, во-первых, в вычислении кольца • еимплектических кобордизыов до размерности 52, а, во-вторых, в построении серии элементов порядка 4 в данном кольце, первый из которых имеет (топологическую) размерность 103.

Методика исследований. В работе используются методы гомотопической топологии, теории кобордизмов, гомологической алгебры и алгебраические методы теории спектральных последовательностей.

Научная новизна. В работе получены следующие основные результаты:

- Вычислено действие некоторых операций Ландаебера-Новико-ва на элементах Н.Рея.

- Вычислена аддитивная структура (и, частично, мультипликативная) кольца МБр* до размерности 52.

- Построена серия элементов порядка 4 в кольце МБр^, начинающаяся в размерности 103.

Все результаты диссертации яиляются новыми.

6

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация имеет теоретический характер. Ее результаты могут найти применение в теории кобордизмов.

Аппробация работы. Основные результаты, изложенные в диссертации, докладывались и обсуждались на семинаре отдела геометрии и топологии Института математики СО РАН ( Новосибирск, 1997г.) под руководством академика Ю.Г.Решетника.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в трех работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, разбитых на одиннадцать параграфов, десяти таблиц и списка литературы, включающего 11 наименований. Общий объем работы - 173 машинописных страницы.

Содержание диссертации.

Во введении дается краткий исторический обзор развития того направления алгебраической топологии, к которому принадлежит диссертация, а также основных методов и результатов, на которые опирается работа. Кроме того, дан обзор диссертации.

В первом параграфе главы 1 описывается действие некоторых операций Ландвебера-Новикова на элементах Н.Рея. Эти вычисления основаны на применении следующей формулы С.Кохмана.

Пусть Ьги^МЭр) - МБр^МЭр) обозначает обобщенный гомоморфизм Гуревича; {1,Ь0>...,Ь ,...} -канонический я^ДМЗр)-базис для МБр^(М2р); (1е£ Ьп=4п. Тогда равенство Е ХдЪ-ц .экви-

валентно утверждению : действие операции Ландвебера-Новикова

е* е 1 п

Б^,. на х равно БЕ(х)=хЕ . Здесь БИе^,.. .,ед), ЬЕ=Ъ., •♦•Ьп

и х.х-ц е п^МБр). Справедлива формула (для п=2ш) : га-1-1

Р г 2Ь+21 7

т-1 2к+1

+ "¿Ь2^(В)2т-2к-1 ф0 '

к 1с

Здесь В=1+Ъ1-1-.. обозначает компоненту В сте-

пени 4п-4к ; х-сопряжение в алгебре Хопфа МБр^МЙр) :

х(в) ^ Л I (-1)г+1вЧг вЧг~1 .-в41 В* +

Используя данную формулу доказываются следующие леммы. ЛЕММА 1.1.1. а) Пусть тк -четно и тк<2п-1. Тогда коэффициент при Ь^ в равен выражению :

«п - 7 "У / р1!-"1!-!

ш> 1Г>7. .>1;>0 2п-(т-1г)к С2п-(т-1г_1 )к — 12-11 I.,

*" °2п-(т-:Ц)к с2п-тк'

т

( Здесь через 0П обозначено число сочетаний из п по т. Если

т > п , то С®=0 ).

Ъ) Пусть тк=2п-1. Тогда коэффициент при Ъ™ в Х(В)2]С_1

равен выражению :

п V V г+1 и-Ц 1т~:1'г-1 12~1

ЛЕММА 1.1.2. Значение операции Н.Рея к ( к взято га

раз) на элементе Н.Рея Фд равно :

a) Фп_т1{у2 .если к -нечетно, ш -четно и тк<2п-1;

b) °^-1;к)фп-тк/2 -если к "четно и гак<2п-1; о) ос^.^ 61 .если шк=2п-1.

В качестве следствия получаются конкретные значения результатов применения некоторых операций. Например: СЛЕДСТВИЕ 2. Имеет место формула :

(п-1с)Фп_3з той2 ,если к=2в, Зв<п; (п-к)в1 шоб2 .если 2п+1=3к ; О ,в остальных случаях;

Ф„ а

Во втором параграфе данной главы проводятся вспомогательные вычисления, результаты которых используются в последующих главах для реализации дальнейших вычислений.

В частности, уточняется вид проекции элементов Н.Рея , . ...Ф^ в первый член МАСП. Например,

*14= U1C27+ U3°8Ö16+ U4C4°16+ U5°4C8+ "г02Ь* U3(c24+ °10°14+

+ °6+ °6°18+ ö2°4+ °22)+ Ь°22+ и4(с20+с10+о5°10+о2с6с10)+ + ?>5( c18+ 02c10)+ o§+ c6o10)+ 1^0,2+ p9c10+ f1()oJ

Вычисляется действие некоторых операций Ландвебера-Нош-кова и на образующих члена Е1 МАСП.

Вторая глава содержит вычисления члена Е^ МАСП до размерности 108. Вычисления используют матричные произведения Масси, в том виде, в котором они описаны Меем .

Нулевой параграф содержит предварительные сведения о структуре члена Е^ МАСП.

Первый параграф описывает образующие члена Е2 МАСП на языке матричных произведений Масси.

Во втором, третьем и четвертом параграфах вычисляется вид соответственно, клеток Е°*1 ■1 1 МАСП при t < 108.

В пятом параграфе вычисляется действие высших дифференци-

9

алов МАСП в размерностях, меньших 108. Доказана следующая

Теорема. До размерности 108 имеет место изоморфизм членов Е*'*'* и Е*'* * ^ МАСП.

с со

"1 1 *inf\

В частности, в клетке Е^' ' МАСП находится элемент х е oprj.hQ.a^,

где произведение Масси определяется в МАСП. Этот элемент "доживает" до бесконечности и определяет в члене Е0 спектральной последовательности Адамса-Новикова элемент, который является проекцией элемента Г^ из MSp10^, имеющего порядок 4. Разложение элемента х в первом члене МАСП такое:

* = <а1,2°11 + °Ч,3С9 + а1,4°5)с13 + (ct2,3°2c8 + а2,4°2с4)о11+

+ (а2,зс4с8 + аЗ,4С2°4)09 + (а2,4С4°8 + аЗ,4С2°8)(У (Здесь, «х1>3 = u-h^ + а^).

Используя полученные результаты, в третьей главе вычислены образующие кольца МАСП до размерности 52 и, частично, соотношения между ними. В частности, в размерности 49 появляется элемент второго порядка íl^ .Он не представляется в виде комбинации элементов Н.Рея. Для этого элемента доказывается соотношение = 0 в MSp^. Здесь, - образующая MSp^ Затем {Ц используется для получения элемента Г^ порядка 4 и, далее, всей строящейся серии. В вычислениях используется, определенные в главе 1, проекции элементов Н.Рея в МАСП и, вытекающий из этого выбор образующих о^, а также действие на последних операций Ландвебера-Новикова, которое тоже описано в главе 1.

В четвертой главе вычисляется действие дифференциала d^ в нулевой строке спектральной последовательности Адамса-Новикова на образующих, имеющих фильтрацию, соответствующую МАСП, равной

нулю, до размерности 106. Для этого используются результаты главы 1, описывающие действие операций Ландвебера-Новикова на элементах с^. В том числе, получаются значения.

¿3(У26)=и3ФI й3(у*6).=и2о2

Через у2б и У26 обозначен образующие клетки Е^'спектральной последовательности Адамса-Новикова проекция я которых в первый член МАСП равна, соответственно '

Л(У26) = С26 к(у*6) = с^з + с|011 + с^с|

В главе пять показано, что Э^Фу * 0 в М£р103, причем этот результат опирается на вычисленное действие дифференциала <13 на образующих нулевой строки спектральной последовательности Адамса-Новикова, и доказана следующая теорема.

Теорема 5.1.1. Пусть т1,ш2€ ТогвМБр*- элементы порядка два. Тогда справедливо соотношение:

^пцп^ е 2<га1,2,т2>

где <т^,2,т2> обозначает тройное произведение Масси в теории кобордизмов МБр^, а д^е М3р2 - образующая.

Используя данные факты, строится серия элементов Г^, 1 = 1,

3,4,5,6.....таких, что с <Ф;)_+6,2,Й1> и 21^ = ^ * 0.

Элементы Г^, 1 = 1,2,3,4,..., имеют порядок 4.

Использование результатов совместной работы. Все результаты работы [3]. написанной в соавторстве с В.В.Вершининым, принадлежат лично автору.

Работы автора по теме диссертации.

* * t

1. Анисимов А.Л. О вычислении члена Е^' ' (t<108) модифициро-рованной алгебраической спектральной последовательности (МАСП) кольца MSp - Деп. в ВИНИТИ - Ред.Сиб.мат.жур.-1992 -¡V 259 - В 92, 19 о.

2. Анисимов А.Л. О виде проекций элементов Н.Рея Фп>-- Деп. в ВИНИТИ, 1991 - Ред.Сиб.шт.кур.-1992 -

N 690 - И 92, 46 с.

3. Vershinin V.V. «Anisimov A.L. A series of elements oí order 4 in the simpleotio oobordiem ring. - Carnd. Math. Bull. Vol. 38 (3), 1995 PP- 373-381.

Подписано в печать 24.04.98 Формат 60x841/16 Бумага тип. № 1 Плоская печать Усл.печ.л.1,00 Тираж 100'экз.

Заказ 195 Бесплатно

455000, Магнитогорск, лр.Ленина, 38 Полиграфический участок МГМА/