Многозначные формальные группы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Введение.

Глава I. Формальные коалгебры. Кольца инвариантных операторов формальных коалгебр.

§ I. Элементы теории формальных коалгебр. Инвариантные операторы формальных коалгебр.

§ 2. Генераторы формальных коалгебр.

§ 3. Отмеченные коалгебры.

Глава П. Алгебраическая теория многозначных формальных групп.

§ 4. Определение *и примеры многозначных формальных групп.

Циклические П -значные формальные группы.

§ 5. Кольцо инвариантных операторов п -значной формальной группы.

§ 6. Элементарные И -значные формальные группы. Классификация трехзначных элементарных формальных групп.

§ 7. Классификация ti -значных элементарных формальных групп дая/^ ft & «&.

§ 8. Классификация трехзначных формальных групп относительно сильного изоморфизма.

Глава Ш. Топологические приложения теории /2. -значных формальных групп.

§ 9. Топологическая интерпретация /г -значной циклической формальной группы.

§ 10. К- -значная формальная группа в кобордизмах.

§ II. Кольцо коэффициентов трехзначной формальной группы в кобордизмах.

Пусть п. - коммутативное кольцо с единицей, тг ш^и

- кольца формальных рядов от независимых переменных. Одномерной формальной группой над кольцом Я называется формальный ряд f(*./) 6 £[[такой ( что

Если, кроме того, f(x>$) = f((f> х) , то формальная группа называется коммутативной. Аналогично определяется tn -мерная формальная группа.

Для любой алгебры Хопфа ktMU) (умножение в которой есть обычное умножение формальных рядов), , формальный ряд является формальной группой. Обратно, любая формальная группа может быть так получена.

По любой Пи -мерной локальной группе Ли /г можно построить т -мерную формальную группу F^ следующим образом. Пусть ^ £ Vc Qr , е - единица группы (г , а V - координатная окрестность, причем е имеет координаты f, о). Пусть в У имеют координаты Х^ ), соответственно. Если достаточно близки к единице е , то произведение ху принадлежит V . Пусть имеет координаты > г») . Так как (г - локальная группа Ли, то координаты (Z^t, 2т) можно в окрестности V разложить в ряды fa >>■>> --> У"! » l^d. 2/я , jfi .

Легко проверяется, что эти ряды задают т. -мерную формальную группу.

Примером одномерной коммутативной формальной группы над произвольным кольцом И является формальный ряд где CL - любой элемент кольца Я .

Другой, важный для алгебраической топологии, пример одномерной коммутативной формальной группы принадлежит А.С. Мищенко и С.П. Новикову [15] . Пусть ft (') - произвольная мультипликативная экстраординарная теория когомологий, в которой существуют характеристические классы Чженя GсЛ>0 комплексных векторных расслоений. Формальная группа в теории ¥) (•) возникает из ряда выражающего первый класс Чженя тензорного произведения одномерных универсальных комплексных расслоений над пространством СР(^о) через первые классы Чженя сомножителей.

Формальные группы впервые ввел Бохнер [Z3] . Он перенес теорию Ли о связи групп и алгебр Ли на формальные группы над произвольными полями характеристики нуль. В начале 50-х годов началось интенсивное изучение формальных групп над полями характеристики р>о . Оказалось, что формальные группы над полями ненулевой характеристики не определяются своими алгебрами Ли. Дьедон-не Г 9 3 определил ^ипералгебры Ли и показал, что формальная группа однозначно восстанавливается по своей гипералгебре Ли.

Большой вклад в изучение формальных групп внес Лазар Г 2&J . Он доказал, что над Q -алгебрами ( Q - поле рациональных чисел) любая одномерная формальная группа f^x>!/) имеет вид где оо

Это означает, что любая одномерная формальная группа над О,--алгеброй коммутативна и заменой переменных приводится к аддитивной формальной группе х+у . Ряд $(х) называется логарифмом формальной группы . Для формальной группы логарифмом является ряд

Е1((М*"а IbU+Q*).

K=i

У формальной группы в теории комплексных кобордизмов (J (•/ логарифй вычислен А.С. Мищенко (см. приложение ! к f 151 ), он выражается формулой ^ где ССР(К) 1 - класс кобордизмов комплексного проективного пространства, К>/1 .

Лазар также доказал, что существует универсальная одномерная коммутативная формальная группа над кольцом и целочисленных полиномов от счетного числа образующих , Эта формальная группа обладает тем свойством, что для любой одномерной коммутативной формальной группы над произвольным кольцом И существует единственный гомоморфизм колец T:B-*R, при котором формальная группа переходит в формальную группу (см. [ 2'S~\ ). Квиллен доказал замечательную теорему, что формальная группа в комплексных кобордизмах ^ над кольцом SL^j = U (точка) изоморфна универсальной формальной группе Лазара С 261 . Таким образом, появилась возможность для решения топологических задач привлечь методы теории формальных групп. Для этого необходимо перевести утверждения с языка алгебраической топологии на язык теории формальных групп. Оказалось, что все основные понятия и факты теории комплексных кобордизмов выражаются через универсальную формальную группу Лазара. Это позволило с единой точки зрения объяснить ряд важных результатов алгебраической топологии (см. обзоры [ 5 ] , [ 6 ] ).

Другие многочисленные применения теории формальных групп в алгебраической топологии, а также в алгебраической геометрии и в теории чисел имеются в [13] , [ 24] .

Основным объектом этой диссертации являются /г -значные одномерные коммутативные формальные группы, введенные В.М. Бух-штабером Г 3] . В дальнейшем вместо,,п -значная одномерная коммутативная формальная группа" мы сокращенно будем писать П -ф.г. (если ясно, какое п. имеется ввилу, то будем писать ф.г.). Закон умножения П -ф.г. в Е 31 задается при помощи алгебраических функций над кольцом формальных рядов. Как и в случае классических (однозначных) формальных групп каждой П -ф.г. естественным образом сопоставляется коалгебра (R[[*!], л) . Для п > i эта коалгебра, вообще говоря, не является алгеброй Хопфа, т.е. Л не кольцевой гомоморфизм. Дадим определение И -ф.г. в терминах свойств соответствующей ей коалгебры. В С 3 И доказано, что для ti-Z над кольцом Rt^l оба определения описывают один объект (доказанная ниже теорема 4.9 утверждает, что над кольцами вида Rl~jfil оба определения описывают один объект и при П > Z ).

Рассмотрим уравнение , над кольцом f1- +(-if0n(*,<j>-o, «>

Уравнению (1) сопоставим ряды рк(по формулам в, <T,jf)~ =

Рк - 4 (x^jp^ . '(-^fajfrfJW'O,

Заметим, что если , ^л - корни уравнения (1), то п к

Рк (х^у) =} у. - полиномы Ньютона для уравнения (1). Уравне

L~± L ние (I) называется П -ф.г. над кольцом R- , если оператор

А •• R [[X]] к i определенный формулой = ^ задает на кольце RlLxll структуру коммутативной коалгебры. Ф.г. назовем элементарной, если - однородный полином степени it

Ф.г. можно определить и как коалгебру

RHx]]^) , коумножение которой можно представить в виде

A^itZZA;, где А/ - мультипликативные операторы ' ft[[^ll * ^ f a - какое-то расширение кольца Б этом случае уравнение (I) имеет вид yj (<jr - д.х) =0.

Приведем примеры П -ф.г. Тривиальный пример П. -ф.г. дает уравнение * . л

2)

Здесь - обычная (однозначная) ф.г. Коалгебра, соответствующая tl -ф.г. (2); совпадает с коалгеброй, соответствующей ф.г. в действительности, если является Л -ф.г., то (REM], А) является К/1 -ф.г. для любого натурального чисп. к ла Кi . В этом случае л Т~" у А .

П КП L '

L-l J-i

Приведем пример элементарной /г -ф.г., не имеющей вида (2). Этот пример принадлежит В.М. Бухштаберу и С.П. Новикову £7]. Пусть

••• > £n - полный набор корней степени П из единицы. Определим мультипликативные операторы &L , 1=1,., И формулой

3) j П- ' и положим А - 2U А • • Тогда

L « п en р £ рс<л*уг (4) с- О

Из последней формулы следует, что оператор Д задает в кольце № 77 структуру коммутативной коалгебры. Таким образом, ко-алгебра, определенная формулой (4), является П - ф.г., которую мы будем называть циклической П - ф.г.

Пусть ¥(ос)7 формальный ряд над кольцом R. . Определим мультипликативное отображение

Ф :№*]]-* Ш*1] формулой f (Wxj) « f(. Здесь ^М) - обычная подстановка рядов. Две коалгебры ( ), (Я 11*11 0 Аг) назовем сильно изоморфными, если существует формальный ряд ILcllXl*1, aieU такой, что следующая диаграмма коммутативна

77 Щх] 1 I

1 /\ л

Нг

---ft [[I,уп, т.е. Д, . Две /2. - ф.г. назовем сильно изоморфными, если соответствующие им коалгебры сильно изоморфны. Ниже сильный изоморфизм иногда будем называть заменой переменных. Введем ряды Вп (з?) с помощью формул ( [ 7 ] , [ 8 J ): г.™

Ясно, что коэффициенты ряда Вп fx) принадлежат кольцу ® Q.' Рассмотрим /г - ф.г., которая получается из циклической Л - ф.г. при помощи замены переменных, задаваемой рядом Вл(х):

П (7 - (К1(( VX&+ £L fojjif)) =

2. (5)

Определение (Г 8 j) • определяемая уравнением (5)? называется п - ф.г. в кобордизмах.

Уравнение двузначной ф.г, в кобордизмах впервые возникло в работе В.М.Бухштабера и С.П. Новикова L 73 , в связи с изучением образа кольца симплектических коборцизмов в кольце комплексных кобордизмов. В этой работе был поставлен вопрос: какой класс многообразий связан с /1 -значной ф.г. в кобордизмах: для ti > Z ?

Пусть - минимальное подкольцо в кольце ® Q , порожденное коэффициентами рядов (%,}/)> > ^ Л- ~ ф.г. в кобордизмах. Тогда кольцо

Лео. является кольцом полиномов [83 . Следуя Дольду С Ю 3 » зададим мультипликативный проектор формулой , п

- ю

Оказывается, Г 8 ] , что проектор 9Сп совпадает с известным проектором Адамса [ 22 ] в теории кобордизмов. Опишем этот проектор. Пусть ^ ^L - операция Адамса-Новикова [ 15 ] , задаваемая своим значением на элементе "U- CTiffjcL/^fCPCo*)) формулой

Здесь ^ —> CP foo) каноническое линейное расслоение Хопфа,

- первый класс Чженя в теории кобордизмов U*(') [ II ] »

- поле комплексных чисел. Положим а^ (v) - nf fj j

У t-i

Ряд 26h(ii) задает мультипликативную, когомологическую операцию которая является проектором. Этот проектор и называется проектором Адамса в кобордизмах.

Определение^ 8]^ . Простое число р назовем /г -допустимым, если уравнение X О имеет ровно tl решений в кольце целых р -адических чисел.

Пусть п И - кольцо рациональных чисел, знаменатели которых взаимно просты со всеми п -допустимыми простыми числами. Например , , ,

Оказывается, что проектор Адамса отображает подкольцо [к U*(-) кольца Q® If(') в себя [ 81 . Пусть

U*Xn (■j-ImX^irileU'i-)) ~ теория когомологий, выделяемая проектором Адамса на этом под-кольце. В § II диссертации доказана

Теорема II.6. Имеет место равенство колец £> 1 — U&з (точка).

- II

Б работе [д] В.М. Бухштабер доказал, что кольцо nJ= J2 ипи* (точка) состоит из всех классов кобордизмов комплексных многообразий Н2"^ , у которых все когомологические числа Чженя вида С^ . С^ [Мгп<^ J равны нулю, если ti ф 0 mod П для некоторого i, S . Этот результат, вместе с теоремой II.6 дает ответ на вопрос В.М. Вух-штабера и С.П. Новикова для /1-3 •

При изучении двузначной ф.г. в кобордизмах, В.М. Бухштабер построил алгебраическую теорию двузначных формальных групп Г 3 В качестве приложения этой теории он получил целый ряд новых результатов в теории симплектических кобордизмов и в теории характеристических классов векторных расслоений [4 J , Г 5 ] . Им доказано, что с точностью до замены переменных над Q. -алгебрами без делителей нуля любая двузначная ф.г. является либо однозначной ф.г. , либо двузначной циклической ф.г.

Определение. И -ф.г. Т над кольцом /? называется универсальной для совокупности !Ь -ф.г. над кольцами Ru 9 если для любой /I -ф.г. ^ существует гомоморфизм колец 7Г:ft-* при котором П. -ф.г. Т переходит в 7ы,.

По аналогии с далеко продвинутыми теориями однозначных и двузначных ф.г. [51 основными задачами теории /г -ф.г. являются:

1) классификация /г -ф.г. относительно сильного изоморфизма над различными кольцами;

2) вычисление колец над которыми определены универсальные /г-ф.г.

Для решения этих задач необходимо, прежде всего, классифицировать элементарные !Ъ -ф.г., так как различные элементарные /Ъ -ф.г. не могут быть сильно изоморфными.

В настоящей диссертации построен алгебраический аппарат для исследования п -ф.г. над Q -алгебрами, для любого натурального числа И . Показано, что каждой Л -ф.г. соотвествует дифференциальный оператор щ причем т < П .По дифференциальному оператору о!^ , п -ф.г. однозначно восстанавливается'. Поэтому называется генератором fl -ф.г. На коэффициенты Qjz) генератора о/^ выводятся дифференциальные уравнения. С помощью этих уравнений получена классификация элементарных П -ф.г. при 4^8 , а также получена классификация трехзначных ф.г. относительно сильного изоморфизма. Именно доказаны:

Теорема 7.19. Над полем характеристики нуль число элементарных п -ф.г, равно числу делителей числа /2 , включая единицу и само число ft f 8.

Теорема 8.9. Над ^ -алгеброй без делителей нуля любая трехзначная ф.г. сильно изоморфна либо однозначной ф.г. либо трехзначной циклической ф.г.

Следствие. Трехзначная ф.г. в кобордизмах над кольцом А. является универсальной для трехзначных ф.г. (элементарная часть которых является трехзначной циклической ф.г.) над кольцами без кручений и без делителей нуля.

Таким образом, теоремы 8.9, II.6 дают для /7=3 ответ на задачу 2 над кольцами, для которых канонический гомоморфизм L ' % * ft ) является вложением. Важность циклических /2 -ф.г. подчеркивает Теорема 6.4. Пусть J^ - J"1 ~ генератор элеменc/xiтарной п -ф.г. над Q -алгеброй без делителей нуля, причем i . Тогда П=т и п -ф.г. является циклической К -ф.г.

Приведем топологическую интерпретацию циклической п -ф.г. Пусть есть Л -мерное комплексное векторное расслоение над клеточным пространством о . Обозначим через идеал кольца целочисленных когомологий Н (В) , порожденный характеристическими классами Чженя Ci (£) , d. £ L /1-1.

Теорема 9.3. Пусть -два П -мерных комплексных векторных расслоения над & . Тогда l°CKn (I, 9lg) = 9K(Cn(Cj,Cn(rJn,ocJI, иклп, г' Cf, (Ь « la) э о moc/17 f * кп.

Здесь X - произведение идеалов коэффициенты циклической Ц -ф.г. , Я.

Следовательно, циклическая /^-ф.г. может быть определена в терминах закона, выражающего характеристические классы Чженя тензорного произведения /г. -мерных комплексных расслоений через характеристические классы сомножителей. Аналогичное утверждение справедливо для /г -ф.г. в кобордизмах [8J . Изложим содержаниедиссертации по параграфам. В § I излагается теория колец инвариантных операторов непрерывных формальных коалгебр. Здесь мы следуем работам £ 3] , С 121 • Эта теория является главным инструментом исследования -ф.г.

В §'2 доказаны основные технические теоремы о первом каноническом инвариантном операторе cl± непрерывной формальной коал-гебрь^и выведены дифференциальные уравнения на коэффициенты

- 14

В § 3 введены важные формальные коалгебры - отмеченные коалгебры, которые полностью определяются своим первым каноническим инвариантным оператором .

В § 4 дано определение и приведены примеры 1г -ф.г. и вычислен генератор с^ циклической it -ф.г. для любого натурального числа а .

В § 5 показано, что коалгебра, соотвеетвующая п. -ф.г., является отмеченной.

В §§ 6,7 получена классификация элементарных h. -ф.г. для

В § 8 получена классификация трехзначных ф.г. относительно сильного изоморфизма.

В § 9 дана топологическая интерпретация циклической ц -ф.г.

В § 10 введена 1г -ф.г. в кобордизмах и теория когомологий U эеп (') у с ней ассоциированная [81 . В § 10 приведен также краткий обзор необходимых нам фактов теории комплексных кобордиз-мов. Здесь мы следуем методам работ [II] , [15] , [ 17 J .

В § II доказано, что (J ^ (точка) = $ к/

В заключение, мне хотелось бы выразить глубокую благодарность моему научному руководителю М.М. Постникову за руководство работой, а также В.М. Бухштаберу за многочисленные советы и помощь в работе.

1. Боревич З.И., Шафаревич И.Р. Теория чисел. М.: Наука, 1972.

2. Бухштабер В.М. Характер Чженя-Дольда в кобордизмах I. Матем. сб., 1970, т.83, JS 4, с. 575-595.

3. Бухштабер В.М. Двузначные формальные группы. Алгебраическая теория и приложения к кобордизмам. I. Изв. АН СССР. Сер. матем. 1975, т.39, Ш 5, с. 1044-1064; П. 1976, т.40, J& 2, с.289-325.

4. Бухштабер В.М. Топологические приложения теории двузначных формальных групп. Изв. АН СССР. Сер. матем., 1978, т.42, J6 I, с. 130-184.

5. Бухштабер В.М. Характеристические классы в кобордизмах и топологические приложения теорий однозначных и двузначных формальных групп. Современные проблемы математики, т. 10, с.5-178, М.: ВИНИТИ АН СССР, 1978.

6. Бухштабер В.М., Мищенко А.С., Новиков С.П. Формальные группы и их роль в аппарате алгебраической топологии. Успехи матем. наук, 1971, т.26, & 2, с.131-154.

7. Бухштабер В.М., Новиков С.П. Формальные группы, степенные системы и операторы Адамса. Матем. сб., 1971, т.84, J& I, с.81-118.

8. Бухштабер В.М., Холодов А.Н. Топологические конструкции, связанные с многозначными формальными группами. Изв. АН СССР. Сер. матем. 1982, т.46, J& I, с.3-27.

9. Дьедонне S. Дифференциальное исчисление в полях характеристики р > 0 . Мездународный математический конгресс в Амстердаме. 1954, с.134-150, М.: Физматгиз 1961.

10. Дольд А. Соотношения мевду ординарными и экстраординарными теориями гомологий. Математика, 1965, J£ 2, с.8-14.

11. Коннер П., Флойд Э., О соотношении теории кобордизмов и- 80 К- теории. Дополнение к книге "Гладкие периодические отображения" М.: Мир 1969.

12. Левитан Б.М. Теория операторов обобщенного сдвига. М.: Наука 1973.

13. Манин Ю.И. Теория коммутативных формальных групп над полями конечной характеристики. Успехи матем. наук, 1963, т.18, 6, с. 3-90.

14. Милнор Дж., Сташеф Дж. Характеристические классы. М.: Мир 1979.

15. Новиков С.П. Методы алгебраической топологии с точки зрения теории кобордизмов. Изв. АН СССР. Сер. матем, 1967, т.31,с.855-951.

16. Прахар К. Расцределение простых чисел. М.: Мир, 1967.

17. Стонг Р. Заметки по теории кобордизмов. М.: Мир, 1973.

18. Холодов А.Н. Алгебраическая теория многозначных формальных групп. Матем. сб., 1981, т.П4(156), Л 2, с.299-321.

19. Холодов А.Н. Алгебраическая теория многозначных формальных групп. Препринт, 1981, Новосибирск, 2 с.

20. Холодов А.Н. Циклические многозначные формальные группы. Ленинградская международная топологическая конференция. Тезисы 1982. Л.: Наука, с. 64.

21. Bod nezS. FoxmaP Lie groups.Ntz, />. т-г/г.