Многозначные эволюционные уравнения в теории синтеза управлений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК / УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ

На правах рукописи УДК 517.977

НИКОНОВ Олег Игоревич

МНОГОЗНАЧНЫЕ ЭВОЛЮЦИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ В ТЕОРИИ СИНТЕЗА УПРАВЛЕНИЙ

специальность 01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат

диссертации на соискание ученой стшеш доктора фшшко-математичссЕшс наук

Екатеринбург 1992

Работа выполнена в отделе оптимального управления Института математики и механики Уральского отделения Российской Академии наук

Официальные оппоненты:

доктор фиоико-математических наук,профессор Ф.М.КИРИЛЛОВА;

академик Н.Н.КРАСОВСКИЙ;

член-корреспондент Академии наук Украины Б.Н.ПШЕНИЧНЫЙ.

Ведущая организация - Институт проблем механики Российской Академии наук.

Защита диссертации состоится чЬ -ктф&щ г. гуУчас.ЕШин. на заседании специализированного совета Д 002.07.01 по оащите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Институте математики и механики Уральского отделения РАН по адресу: €20066, г.Екатеринбург, ул. С.Ковалевской, 16.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики и механики Уральского отделения РАН.

Ученый секретарь

специализированного совета кандидат физ.-мат.наук,ст.н.с.

М.И.ГУСЕВ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В диссертационной работе рассматривается круг вопросов, относящихся к исследованию нового класса эволюционных уравнении, воэкпыиощпх а теории упр дяенпя. Данные уравнения можно трактовать как многозначный аналог обыкновенных дифференциальных уравнен"«, и которых роль фазового вектора играют подмножества соответствующего пространства Потребность введения п исследования подобных уравнений обусловлена прежде всего необходимостью поучения эволюшт недоопределенных динамических систем, содержащих варьируемые или неизвестные точно параметры, где цс несообразно рассматривать пе отдельные, иоолнрошиоше траектории системы, а пучки или трубки тагах траекторий. К постановкам указанного типа приводят многое ради га теории управленца п цекиьа-пия, связанные с исследованием и моделированием сложных механических и иных систем, для которых характерно присутствие неопределенности в их описании, наличие неконтролируемых воэмущеичи, иеиолнота текущей и априорной информации о состоянии системы.

В идейном и методологически плане работа основана на подходах,, раязтых в свердловской школе по теории управления и сосанных с пме: ама Н.Н.Красовского, А.Б.Куржанского, А.И.Субботина, Ю.С.Осипова и их сотрудешфэ« Сжаоагшое отност%я, о частности, к постановкам и методам решегая задач управления и услювпях конфликта и неопределенности, к теории опешшжюш параметров и состсь яния системы по результатам иабзюденга и кщу«г*аз« к реигшт обратных задач, возшкающшс э теэрпа ртрюяетя. Во ®с©к перачнелея-ных областях а той пли пиоя форме оюш>.гот швг«ш%нс отобра-женпя, описание и конструктивное иостроедае которых обеотгчнвзет возможность решения задача. Поэтому тема* юса, евюаш&я с тушением названных многозначига огображгшй в рамках единого подхода как решений некоторые эишоцяодатх уравнений, с разработкой методов интегрирования тгажих у равкезгхв, допросами аппроксимации решений, предстгвляется актуальной. • :'..-

Говоря об исследованиях иных научных школ, отмстим прежде всего, что развитие теород управления во мятом слредлш^ос^» класс*

3

скимн результатами, полученными в середине 50-х годов 1.С.Е >нт-рягпным, В.Г.Болтянскии, Р.В.Гамкрелидзе, Б.Ф.Мищенко. С тех пор круг задач, рассматриваемых в рамках названной теории, существенно расширился. Потребности практики и внутренняя логика развития привели к становлению таких дисциплин как теория дифференциальных игр, теория наблюдения а оценивания, управление в условия*' неопределенности, управление с векторным показателем качества и др.

Ь работе испольауется ряд базовых понятий теории дифференциальных игр: правило экстремально! »> прицеливания Н.Н.Красовского, ^льтернлровашша интеграл Л.С.Понтрягшш, результаты Б.Н.Пшеничного, относящиеся к ксспейоа&вию линейных дифференциальных игр, методы решения дифференциально - игровых задач, развитые Н. Н. Красовскгм н А. И. Субботиным. Прямое дли косвенное отношение к тематике работы имеют принципиальный результаты в области теории управления и дифференциальных игр, полуенные в работах отечественных в зарубежных математиков: Р.Айзекса, Р.Беллмана, В.И.Благодатских, Р.Габасова, Н.Л.Г^игореню, В. И. Гурмана, В .Ф. Демьянова, А.Я.Дубовицкого, В.И.Зубова, Р.Калмана, Ф.М.Кприпловой, В.Ф.Кротова, А.В.Кряжнмского, Дж.Лейтмана, А.М.Летова, А.А.Ме-лихяна, М.С.Никольского, Н.Н.Петрова, Л.А.Петросяна, В.Н.Ушакова, Ф.Л.Червоусько.

Обрашаясь к теории наблюдения и оценивания параметров и состояния динамических систем, выделим монографию А.Б.Куржанского1', содержащую результаты, связанные с описанием информационных.областей в баэпруюиашея на ием решением задач синтеза управлений по неполным данным. Указанные результаты лежат в основе настоящей работы. Круг исследователей, работающих в данной области, чрезвычайно широк. Мы оставляем в стороне публикации по теории фильтрации для систем с неопределенностью, имеющей статистическое опса-иие и восходящее к исследованиям Н.Винера, А.Н:Колмогорова, К.Шеннона. Р работе при.мт детерминистский подход, предполагающий, что описание неопределенных факторов, воздействующих на систему, дано

1 А.Б.Куржанскнй.Унравление п наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука. 1977.- 391 с.

в виде включений, ограиячйваюадя* возможные значения неизвестных величин. Ряц принципиальных ревультатов теории наблюдения, оценивание и управленм в условиях неполной информация получен В работах Б.И.Ананьева, Д.Бертсекаса, Х.Витсенхауоена, М.И.Гусева, И.Я.Каца, В. А .Комарова, Г.Н.Констшп лнопа А.В.Кряжимского, Д.А.Озсянникова, В.Г.Покотяло, Б.Н.Пшеничного, Т.Ф.Фплшшовой Ф. Л.Черноусько, «Г Швепае.

Наконец, в настоящей работе затрагиваются вопросы многоцелевой оптимизации. Круг даже основных публикации по данной тематике едва ли обозрим в рашеах настоящего введения. В работе рассмотрена специальная обратная задача многоцелевой оптимизации, решение ко торой представляется актуальной проблемой и может быть использовано при исследовании ирикладикх задач.

Наряду с названными разделами собственно теории управления в последние десятилетия активно .развивались те направления, которые формируют современный математический аппарат указанной теории. Это теория многозначных отображений (многозначный анализ), дифференциальные включения, негладкий анализ, абстрактная теория экстремальных задач. Многое из подученных по тематике указанных направлений результатов вышлн далеко оа рамка вспомогательных по отношению к теории управления а имеют самостоятельное згачение. Сказанное относится, э частности, к исследованиям В.Ф.Демьянова, Дж.Варги, АЛ.Дубовицкого, Ф.Ктарха, А.А.Мндютнна, Ж.-П.Обена, Б.С.Половинкина, Б.Н.Пшеничаого, Р.Рокафвпя&ра, А. А ЛЬвстояогоз а, В.М.Тихомироаа, А.Ф.Филишсва, Х.ФпанковскоЗ, И.Зы8ЯД&.

' Исследованию уравнений, отюшиощвх шютоовташефуявинп, (Жёванные с дифференциальной системой, вюсшюдао сравкнягеяъвв ще-большое количество работ. Среда шх укажем статьи АЖПвн&скжа и В.И.Паяасюга, работы АЛ.ТЬвсгокогат, а ьотср&сх вит юедеаы и рассмотрены эволюционные сотдошееяя, шят&шш урвЩЩЩНЯ интегральной вороика дяфферевцва&ьюто чхтичеящ.

Блпким вопросам, относсщдасс* к рэучещо гщяртщЯВЦ* функция, отвечающие о бжаетам ¡умщфщщрщ щфффгзддаедвдых включений, посвящред ВРсяьсв», П.Волентасго,

5

В.А.Комарова, А.В.Лотова, М.С.Никольского, А.Н.Овсеевича, Ф.Л.Черноусько.

Ряд принципиальных трудностей, связанных с получением эиолюцп-овных уравнений для трубок выживающих, т.е. удовлетворяющих заданным фазовым ограничениям траекторий дифференциального включения, был преодолен в работах А.Б.Куржанского и Т. Ф. Филипповой, где были установлены указанные соотношения и предложен новый подход к проблемам теории выживаемости, систематическое развитие которой связанс с именем Ж.-П.Обена. Серьезные результаты, относящиеся к названной теории, получены М.Нагумо, Дж.Хпддгм''. !. В.В.Гончаровым, И.Кастеном, Д.Коломбо, Ю.С.Ледяевьш, А.И.Субботиным, П.Таллошем, В.Н.Ушаковым, Х.Франковской.

Указанные выше подходы не позволяют, однако, получить эволюционные уравнения для отображений, отвечающих, в частности, задачам конфликтного управления и тем задачам, где искомые решения могут быть разрывными многозначными функциями. Кроме того, применение известных схем ограничено рядом предположений о свойствах Дифференциальной системы и фазовых orí аянчений. Поэтому предпринятая в диссертационной работе попытка развить теорию эволюционных уравнений с достаточно широкой областью приложений представляется актуальной задачей как для собственно теории управления, так и для формирования математического аппарата исследования иных, не затронутых в работе проблем.

Цель работ .л. Целью диссертационной работы являются развитие теории обобщенных эволюпгонных уравнений, описывающих многозначные отображения, связанные с дифференциальной системой, разработка методов интегрирования названных уравнений и их приложении к решению задач управления при наличии фазовых ограничений и противодействия, а также задач оценивания состояния системы по результатам наблюдения.

Методы исследования. Диссертационная работа основана на понятиях п результатах теории управления и наблюдения в условиях неопределенности, теории дифференциальных включений, нелинейного и выпуклого анализа, теории многозначных функций, функционального анализа и теория экстремальных задач.

6

Научная новиава. Полученные в диссертации результаты являются новыми. В ген введен и исследован класс эволюционных уравнений (И -уравнений), решениями которых являются многозначные отображения, связанные с дифференциальной системой, предложены методы интегрирования названных уравнений, рассмотрены приложения к задачам управления и оценивания, иссяедозана специальная обратная задача многокритериальной оптимизации,

Теоретическая И практическая денность. Разработанные ч диссертации методы могут применяться в теории управление, паблюден"яя и оценивания состояний динамических систем в условиях яе<>пр( делен-ности."

В целом работа носит теоретический характер, однако предлагаемый в ней подход к описанию многозначных функции, связанных с дифференциальной системой, создает предпосылка для построения новых вычислительных алгоритмов решения серьезных прикладных оадач. Алгоритмы, основанные па решении эволюционных уравнений, подобных предлагаемым в работе, уже есть. Достаточно назвать серию работ А.Б .Куржанского и И.Вали3, в которых решение аналогичных уравнений ищется в классе эллЕПсоидалмгазначных функций. Данный подход позволяет получать эллипсоидальные ашрекегтацрч нужных многозначных отображений, что, а свою очередь, открывает возможность распараллеливания процесса еычислг чш.

Апробация работы. Результаты диссертации были представлены в докладах иа Чехословацкой конференции по дифферетгалальнаш уравнениям и их приложениям (Бр&тшэшг, 1581), 1Х-Х Всесокхшизс совещаниях по проблемам управления (Еревда, 108$ и Аша-Ата» 1Э86), IX Всемирном конгрессе ПРАС (Будапешт, 1934), кеавумродвай коя-ференции * Многокритериальное задачи м&тшатячеевдго программирования" (Ялта, 1988), на VII семинаре ¡РАС по приложениям нелинейного программирования - задачам укрвзотгая (Тбжгкси, 1988), совстсвэ-польсгом семгнаре "Математические методы ентам&вшега управления и их приложения* (Минск, 1939), международном сеча* А.В.КиггЬашки, 1.Уа1у1 (УУогк.рар./ИАЗА.ЬихепЬагд.ЦШ)

Т

наре "Перспективы теории управления" (Сельппа, 1988), VIÍ Всесоюзной конференции "Управление в механических системах" (Свердловск, 1990), международном семинаре IFAC "Негладкие и разрывные задачи управления и оптимизации (Владивосток, 1991), а также докладывались на семинарах в Международной институте прикладного системного анализа (Лаксенбург, Австрия), Московском государственном университете, Институте математики и механики Уральского отделения Академии наук.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 22 работы. Основные результаты отражены в 18 работах, список которых приводит, s в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, разбитых на параграфы, заключения, и списка литературы, включающего 279 наименований. Объем диссертации составляет 272 страницы машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дана общая характеристика работы, обоснована актуальность выбранной темы исследования, дан краткий обзор литературы, относящейся к рассматриваемым в работе вопросам и изложены основные результаты диссертации.

Первая глава состоят из трех параграфов л содержат постановки основных садач. рассматриваемых в работе. В первом параграфе описывается исследуемый класс динамических систем. Последние определяются дифференциальными включениями *V

¿e¿(t)r + tf(í,x) + /(t) (1.1.1)

и различными его вариантами (ía < t < в).

Вводится класс U многозначных отображений U — U{t, х) : [to.©] х R" -» cortvR*, трактуемых как допустимые управления, который состоит на отображений, полунепрерывных сверху по х для каждого t,

*>Формупы,определения и утверждения нумеруются в соответствии с текстом диссертации

8

измеримых (относительно меры Лебега) по < при фиксированном х и стесненных геометрическими ограничениями

{/(£,*) С (1.1.2)

Здесь я далее черео сопи Я" обозначено простр .нство непустых выпуклых компактных подмножеств Я*.

Относительно функции /(<) предполагаете», что она может в зависимости от постановки -адачл быть задание й, либо неизвестной заранее и рассматриваться как неопределенное возмущение в системе В обоих случаях значения функции /(() удовлетворяют ограничению

/(«)€■«(<) (1.1.3)

Отображения Т>{-) и й(-) : [г0,9| -» сопиЯ" предполагаются непрерывными.

Для а_стемы (1.1.1)-(1.1.3) приводятся различные варианты краевых условий, в том числе

х(«0)еХ°, (1.1.5)

г(т) е Хт, (1-5)

где Х°, Хт е сопи/г™, г е (<о,6|.

Заметим, что рассмотрение укапанного -пасся мвогоовачаык функций и = 17(<,®) в правой часта (1.1.1) депаег систему кешшеввая. Вместе с тем использование таккх управлений обеспечивает с одной стороны существование и продолжимость решети! даффереиивапа-ного включения, а с другой - раорешшость широтег© класса оадач управления.

Второй параграф главы посвящен определениям мвоуоатачных функций, связанных с системой (1.1.1)-(1Л.о). Первая группа - эта обда-стп достижимости дкффереядлаямшх систем. Вводятся многошинные отображения Х(& = значениям« которых даются множества тех в только тех точек х е Я", дад существует траектория г(-) системы (1.1.1)-(1.1.5), удодиетЮрЮПЗДгИ! усда-вию х(й) = £

б

Аналогично," для краевого условия

х(0)б М (1.2.1)

определяется многозначная функция Х(1) —Х(1,и,],В,М), отвечающая областям достижимости "в обратном времени". Отметим, что исследование и численное построение введенных многозначных функции является в общем случае далеко не тривиальной задачей, и ей посвящено значительное число публикаций. Укажем, в частности, работы В.И.Благодатскпх, А.И.Овсеевпча, П.Воленского, А.В.Лотова, М.С.Никольского, А.М.Формальского, Ф.Л.Черноусько,. -

В обсуждаемом параграфе приводятся некоторые свойства укааи.!-ных отображений и определяется семейство в, (б) состоящее из тех отображений Х(-), (Х(-)), отвечающих возможном и € и, значения которых выпуклы.

Второй класс многозначных функций, определяемых во втором параграфе главы, составляют отображения, представляющие собой трубки выживающих траекторий дифференциального включения. Предполагается, что на траектории системы наложено дополнительное ограничение

а(0бУ(0, (1-2.4)

где У( ) : [<0,9] ->сопий" (или [(а,01 с! Кп)- заданное отображение.

Траекторию х(-) системы (1.1.1) называют выживающей на промежутке , ¿з] С [<с,9] , если для всех < из указанного промежутка выполнено условие (1.2.4). Для сечений семейства выживающих на промежутке траекторнл в работе принято обозначение Ху(Ь) — .\У(<,(/,/, ^А'0) Как было обмечено выше, систематическому изучению вопросов, связанных с существованием выживающих траекторий, посвящены исследования, относящиеся к теории выживаемости 3. Отметим. однако, что как по постановкам задач, так и по методам их исследования принятый в работе подход сушзственно отличается от развитого в только что указанной монографии и соответствующих журнальных публикациях. Тематика рассмагрьдаемых в диссертации вопросов ближе к исследованиям по конструктивному описанию трубки

1 .1.-Р. АиЬтЛЪЬИНу 1Ьеогу.-Р,язе1: ВикЬаи5ег,19Э1.

10

выживающих траекторий 4 и постановкам дифференциально-игровых задач об управлении при наличии ограничений на координаты 5. В частности, в работе исследуются вопросы, сваоанные с варьированием многошинного управления в правой части (1.1.1). В том чи-

сле рассматривается задача о построении многозначных управлений, обеспечивающих выживаемость всех траекторий (1.1.1), (1.1.5) пли существования хотя бы одной такой траектории. В обсуждаемом параграфе приводятся фор: альные постановки таких задач, а нх множества разрешимости доставляют еще один пример многозначных функций, подлежащих исследованию.

Названные постановки тесно связаны с понятием сильной н слабой инвариантности системы множеств, поэтому адесь же приводятся соответствующие определения

Определение 1.2.4. Отображение £(•): [¿0, ©] -»2я" назовем сильно инвариантным для дифференциального включения (1.1.1), если для любых г е [¿о, 0),гт е Z{r) каждая траектория дифференциального включения с начальным условием х(г) = хт оказывается выжтающей относительно данного отображения на промежутке ¡7,в].

Определение 1.2.5. Отображение ¿Г(-): [¿о,в] 2я" назовем слабо инвариантным для дифференциального включения (1.1.1), если для любых г е [/о,0), 1г € 2(т) существует траектория названного включения с начальным условием х(г) = хт, выживающая относительно 2(-) на промежутке [г, в].

Как и в случае с областями достижимости для краевого условия (1.2.1) вместо (1.1.5) определяются отображения =

Ху(^и,/,0,м), отвечающие трубкам траекторий, выживаюших в обратном времени. Соответственно переформулируются и определения инвариантных отображений.

Определение 1.2.6. Отображение : (<о>6] -> 2е" назовем сильно

(слабо) обратно инвариантным для дифференциального включения

_

А.Б.Куржанский, Г.Ф.Фнлшшова Д<жл.ЛНСССГ,198и,Т.289.1 ,С.28-41; Д1!фференц.уравиеиия.-1987 -Т.23,8ГС.1303-Ш5.

5 11.Н.Краеивгкш1,Л,[1.Суб(кп1[Н Позиционные дифференциальные гггры.-М.: Пну на, 1974,- 40о с.

11

о

(1.1.1), еслг да« любых г е (<о>9]>«т € 2(т) каждая траект >рия (найдется траектория), выживающая на промежутке [¿0,г].

Еще один: руг вопросов, приводящий к появлению новых многозначных функций, связан с варьированием функции /(•) в правой части (1.1.1) в пределах ограничения (1.1.3) и неопределенностью в задании начального условия. Определения конфликтно достижимых ибайгтеа отражают эти обстоятельства. Названные области вводятся сначала для класса программных управлений 11(1,х) = и(<).

Проведем одно из определений

(1)р С?(<) = С,4о,Х0)

« У/(.)ееОЗг»(.)е7>( ) . Эхе € Х°: г(<;и(.),/(.),<о,*0) = г

Аналогичным образом, варьируя кванторы Vи 3, определяются отображения £?£(-),...,(?£(•), которые имеют ясный содержательный смысл и могут быть полезными при решении тех или иных задач управления.

Подобные отображения, вводимые для системы с ограничением (1.2.1) ва правый конец траектории, обозначены через ...,(?£(■). Отметим, что, например, значения £?(•) первого но них есть не что иное, как известные в теории дифференциальных игр множества программного поглощен"! 5,

Далее в данном параграфе вводится отображения, отвечающие конфликтно- достижимым областям в прямом и обратном времени в классе синтезированных управлений. Значения некоторых ио них совпадают с множествами разрешимости традиционных задач конфликтного управления. Таковым являются, в частности, отображение (

®бё'(<) о зи^Ы: У/(.) е е( ) х(в) € М для любой траектории х( ) включения (1.1.1) начальным условием х(0 = * .

Наконец, в настоящем разделе второго параграфа рассматривается ситуация, когда в постановку одновременно включены неопределенность а задании начального и конечного состояния, фазовые ограничения на траектории и неопределенность (противодействие) в правой

12

части (1.1.1). Обсуждаются соответствующие многозначные функции и приводятся формальные постановки задач об управлении. Приведен для примера две но них.

Задача 1.2.7. Указать допустимое многозначное управление {/ = и(1,х) е Ы, прп котором любая траектория дифференциального включения (1.1.1) с начальным условием (1.1.5) удовлетворяет одновременно включениям (1.2.1) и (1.2.4) (т.е. является выживающей и приходит на цедепое множество М в момент I — 6), какова бы ни была функция /(•) 6 й() п правой части (1.1.1).

Задача 1.2.9. Указать условия на отображения Р(-),£>(-),У(-) и множества Х°,М, при которых для любой точки тем найдется хотя бы одна выживающая траектория х( ) вхпюченп« (1.1.1) при 11(1, х) 2 7>(0. удовлетворющая соотношениям (1.1.5) и х(6) = ш, какова бы ни была функция /(•) е й(-).

Заключительный третий параграф главы носит вспомогательный характер н содержит описание известного преобразователя координат, позволяющего упростить вид системы и определение управления, экстремального к заданному многозначному отображению.

Вторая глава работы посвящена рассмотрению упоминавшихся выше обобщенных эволюционных уравнений.

В первом параграфе приводится краткое введение в теорию таких уравнении, содержащее иллюстрацию их применения для описания областей достижимости дифференциального включения п подчеркивающее гналогшо с обыкновенными дифференциальными уравнениями. Там же отмечается, что использование хаусдорфова расстояния для описания локального изменения многозначных функций, отвечающих более сложным конструкциям, нежели просто области достижимости не всегда удобно.

В связи с этим во втором параграфе рассматривается функция "понура! стояния" к+(Х,У) = пЛп{г >0,Х с. К+ г5}, устанавливаются ее элементарные свойства, вытекающие из определения и свойств линейных операций над элементами X, У б сопуЛ".

Далее в терминах этой функции определяются понятия />+ -непрер-1-вности, -липшппевостп, А+ -абсолютной непрерывности многозначных отображений.

13

Определение 2.2.2. Отображение Z(-) : [t«,ÔJ -* convP» наг 1вем h+ -абсолютно непрерывным сдев» (справа), если V« > 0 36 > С :

ÇW - «а < s ÇAлт.гт < < i ■

где (tj, tj') - произвольная конечная или счетная система попарно непересекающихся интервалов отрезка ^0,6].

Поскольку Л+- абсолютно непрерывные отображения широко используются далее в работе, в данном параграфе приводятся свойства указанных ото Сражений, в частности, устанавливаются следующие леммы

Лемма 2.2.2. Пусть £(•)• /»^-абсолютно эепрерывпое слева 1ьш справа отображение. Тогда для любого ( € Я™ опорная функция p(l\Z(t)) имеет ограниченную вариацию на \и,Э) и, следовательно, дифференцируема почта всюду на этом промежутке.

Лемма 2.2.3. Пусть наряду с Л+-абсолютно непрерывным слева (справа) отображением Z() : (<о.6) convJt" на атом же промежутке задана абсолютно непрерывная вектор-фупжщи *(•) Положим d[t] = d(z(i),Z(t)) = h+{x{tY Z(t)). Тогда

i) функция d[ l • абсолютно полунепрерывна сверху справа (слева):

-«<«■» ¿(ДО-<*KI)<«) < i

t

il) 41 - диффе ренцируема гочти всюду на (<о,е};

Iii) В точке t е (te,6], где функции <*[■].*(-) н p(-\Z( )) дифференцируемы, справедливо равенство

гд.' доставляет максимум в соотношении

(/V(0) - p(P\z(t)) = >£"(('. *<0) - р(Щ*)))

14

Лемма 2.2.4. Пусть выполнены условия леммы 2.2.3 и на промежутке [¿i, f2] с [¿о, в] имеем d[t\ > 0. Тогда, если для почти всех t е [£ь(2] справедливо неравенство

< КЩ

(К = con t > 0), то имеет место оценка

¿\t,\<d[tx]eK^)

Дальнейший материал данной главы посвящен собственно эволюционным Л+-уравнениям, используемым далее для описания введенных многозначных функций. D третьем параграфе предлагаемый подход иллюстрируется на примере наиболее простой ситуации, отвечающей рассмотрению области достижимости линейной системы.

Основной материал сосредоточен в параграфе 4, где рассматривается наиболее общий для данной работы вариант указанных уравнений.

Предполагается, что заданы два измеримых отображения K¡ и Щ : [¿o,0j -> convRn равномерно ограниченных на отрывке ¡ta, Э]. Кроме того, фиксировано отображение Щ-) : fí0,©J -. clRn, которое предполагается полунепрерывным сверху. Эволюционное /i+ -уравнение, отвечающее перечисленным отображениям, имеет вид предельного соотношения

Jim ^h+(Z(t + а) - <rH,(t),Z(t)n7l(t) + <rRj(<)) = 0 (2.4.1)

Это соотношение, рассматриваемое, как уравнение относительно многозначного отображения Z(-), называется прямым h f -уравнением.

Краевое условие для него задается в виде

-Z{t0)cZ°, (2.1.2)

где Z° е convR".

Аналогичным оьрапом вводится обратное -уравнение

i

Ihn ~h^Z{t-a) -CT«,(í),^(<)nR(<)-oR2(í)) = 0, (2.<I.3J

15

> /

с краевым условием

2(в) с г*, (2.4.4)

Определ ние 2.4.1. Решением прямого (обратного) уравнения (2.4.1) ((2.4.3)) с краевым условием (2.4.2) ((2.4.4)) будем называть - абсолютно непрерывное справа (слева) отображение £(•) : [<о,в] -» сопуЯ", удовлетворяющее равенству (2.4.1) ((2.4.2)) при почти всех оначеннях Ь е (<е,в) и краевому условию (2.4.2) ((2.4.4)).

далее обсуждаются вопросы, связанные с существованием решения и приводятся иллюстративные призеры. Отмечается, что существо-ванне решения здесь определяется не столько функциональными свойствами входящих в уравнение отображений, сколько геометрическими соотношениям : между их значениями-множествами. Решение в общем случче не единственно.

Из полученных свойств решении -уравнений укажем следующие. Лемма 2.4.3. Беля £(•): (*о,в) -»сопиЯ* - решение /»^-уравнения (2.4.1) или (2.4.3), то для любого I € Л" производная опорной функции &р('|£(0) по < существует почти всюду на (<о,6), причем для решения (2.4.1) справедливо неравенство

^р{1т)<р{1р12(*))-тш

а для решения (2.4.3) неравенство

Дальнейший материал данного параграфа посвящен связи, существующей между -ращениями эволюционных уравиещ'й (2.4.1)-(2.4.4) п дифференциальными включениями вида

х 6 £/(«,«) + «1(0, (2 ^18)

*(«о)€ЛГ®, - (2Л-Щ

где и = (/(*, ж) с тг?(1) есть Я-управленне - аналог многозначного упра-' пгелня, введенною в га.1. оа Я-управпением сохранены прежние обозначения, так же как н для экстремальных к многозначному отображению 2 {Л Я-управлгний V = Г/г(<, л).

18

Лемма 2.4.4. Пусть £(•) -Л+-решоние обратного уравнение (2.4.3)-(2.4.4), и — иг(1,х)- экстремальное Я-управление, построенное для этого отображения 2(). Тогда любое абсолютно непрерывное решение х() дифференциального включения (2.4.18) с краевым условием х(т) ~хт е 2(г),(г е [¿о»©)) удовлетворяет соотношению

х(<) е Щ, (2.4.21)

при всех { € [т, в).

Лемма 2.4.5. Пусть 2(-) - -решение прямого уравнения (2.4.1) с краевым условием (2.4.2). Тогда существует Я-управление V = {/(<,х) со следующим свойством. Для любых т е (<о,в],г, е Я(т) каждое решение включения (2.4.18) с краевым условием г (г) = х, удовлетворяет (2.4.21) при всех/е («о,г].

Теорема 2.4.1. Если 2() есть одновременно /»+ -решение прямого уравнения (2.4.1), (2.4.2) и обратного уравнения (2.4.3), а и « У^!,®), отвечающее этому £(•) экстремальное управление, то область достижимости дифференциального включения (2.4.18),(2.4.19) поп укапанном II совпадает с £(■): о

^ 2(0 (2.4.22)

Центральным результатом пятого параграфа, завершающего главу, является теорема о существовании на множестве Л+ -решений наибольшего по включению элемента. Отношение частичного порядка на названном множестве определим соотношением ч ¿?з(-) С

Теорема 2.5.1. Множество -решений эволюционного уравнения (2.4.1), (2.4.2) содержит единственный иаксимальпый (наибольший) относительно порядка "ч" элемент.

Аналогичная теорема справедлива и для семейства -решений обратного уравнения (2.4.3)-(2.4.4).

В третьей главе работы рассматриваются введенные в гл.1 многозначные функппи и отвечающие им задачи управления. Результаты второй главы конкретизируются здесь для описания названных функций п решенгя указанных задач с помощью А+ -уравнений. Первые два параграфа погвяшены ^писанию трубок выживающих траекторий

17

в конфликтно достижимых областей. Приведем некоторые характерные результаты.

Рассмотрим эволюционное уравнение

ит + о)-0/(0,*<«) П У{€) + 0П»(«)) = о, (3.1.3)

с краевым условием

Щ )£Х\ (3.1.4)

решенах которого будем понимать в смысле определения 2.4.1, т.е. как Л+ -решения. Пусть дифференциальное включение имеет вид

хб1/(г,а) + /(0, (3.1.9)

(3.1.10)

где V = х) €М.

Теорема 3.1.5. Между множеством синтезированных систем (3.1.9), (3.1.10), у которых I/ = ей, все траектории являются выживающими на [<0|®]> & области достижимости выпуклы, и множеством Л+ -решечий эволюционного уравнения (3.1.3), (3.1.4) существует следующее соответствие:

(1) каждой системе указанного вида отвечает Л+ -решение ) уравнения (3.1.3),(3.1.4), совпадающее с областью достижимости Х(-) =

ХМ.М,*0):

на |<о.0);

(2) напротив, каждому Л+ -решению ¿?(.), определенному на промежутке [^.М ,1, € (<0|®1 . можно сопоставить систему вида (3.1.9), (3.1.10), все траектории которой являются выживающими на заданном промежутке, области достижимости выпуклы и

ед-ад.

Для описания конфликтно достижимых областей С*(<),(2'(1) вос-• пользуемся эволюционными уравнениями

Шп ^ (г(е+о) - о (3.2.13)

18

с краевым условием

2(<„) С Х°. (3.2.14)

и

Дт - <г) + 0Ч2(*),2(<) - сгР(О) = О (3 2.15) с краевым условием

2(6 )см (3.2.16)

Теорема 3.2.2. Для того чтобы точка I е Д" принадлежала множеству С(£),/0 £ ( < 9 , необходимо и достаточно, чтобы существовало Л+-решение #(•) уравнения (3.2.15), (3.2.16) на промежутке [¿0,1],такое, что £(<) э £. Если ¿'(1) ^ 0 при всех 1 6 ©1, то для наибольшего относительного порядка" Л+ -решения %"(■) выполнено равенство

я0(О = (5'(О

для всех < € [¿о,©]-

Аналопгшая теорема, использующая уравнений (2.3.1.»), (2.3.14), имеет место и для областей Г".

Приведем еще один результат данного параграфа, относящийся к описанию инвариантных отображений включения (3.1.9).

Теорема 3.2.4. Для того чтобы отображение £(•): [(0,6] -г» сопи И" было сильно инвариантным (сильно обратно инвариантным) для системы (3.1.9) при некотором II ей и любом /(•) , необходимо н достаточно, чтобы оно было -решением уравнения (3.2.15) ((3.2.13)).

В третьем параграфе гдаоы рассматривается вопрос о вомножно сти замены в эволюционных уравнения:; (3.2.13), (3.2.15) функции И) хаусдо|>фовым расстоянием Л. Приводится пример, покапыпаюшнп, что в общем случае такая замена не приводит к уравнению для максимального А+ -решения. Вместе с тем устанавливается, что желаемый результат может быть получен для известного в теории дифферент! альных игр класса однотипных объектов. '

В параграфе 4 рассматривается наиболее общая ич описанных > §2 гл.1 ситуаций, когда одновременно с наличием неопределенности н начальном условии или в мнечном состоянии на траектории < ш темы

19

сналожены фазовые ограничена«, а правая часть уравнений динамика содержит неизвестную заранее функцию.

В атом случае прямое и обратное -уравнение имеет соответственно вид

^Шл +') 2(0"У(«)+ *?(<)) = 0 ( Ъ.Ь М

(З.'н.б1)

и

^Ши - ") +п у(0 - <?Н*)) = о

г(в) см

Для соотв<!ТСж ¿ующих многозначных отображений Й'(-) и И'(-) справедливы утверждения, аналогичные теореме 3.2.2.

В вактзч&теяьиом, пятом параграфе третьей главы приводится сводка результатов, относящихся к рассмотренным эволюционным уравнениям и в терминах указанных уравнений формулируются решения поставленных в гл.1 задач об управлении.

Четвертая глава работы посвящена вопросам интегрирования рассматриваемых в диссертации эволюционных уравнений. После предварительных замечаний первого параграфа в $2 вводите:; три варианта многозначных интегральных сумм. Приведем определение одного типа сумм, которые будем называть конвелюцнонньши.

Обозначай через к - множество непрерывных на отрезке (1о, в] {н к п( -матрац М{-). Пусть Рц -раябкеняе отрезка ({с,<) точками <0< <1 < ... <*„, = <, символ * означает операцию геометрического вычитания. Положим I

*» - П {[/*■ {Б-Гщ*№Р{*)А +

- ¡Ц(Е - Ц'М(в)бв)ат)} (« = 1,2,

20

Для множеств Х{ примем обозначение = A'(i;,PN,X°) . В обсуждаемом параграфе выясняется содержательный смысл и свойства введенных множеств.

Указанные свойства позволяют дать в §3 определение многозначного обобщенного интеграла, корректное при следующем условии.

Предположение 4.3.1. Существует h+- решение Z'(-) эволюционного уравнения (3.'f 5),(ЗА 6), для которого выполнено условие Z'(t)~ ß(t)S jt 0 , где ß{ ) - непрерывная на [i0, в] функция, положительная при всех t е (<о>9]-

Теорема 4.3.1. В условиях предположения 3.4.1 для введенных интегральных сумм существует предел

независящий от выбора последовательности разбиений Рц (Д(Р^) = max^ijc/vOi-ij-i)).

Этот предел п называется в работе многозначным обобщенным интегралом. Его связь с Л+ - уравнениями дает следующая теорема.спра- -ведлнвяя в условиях предположения 4.3.1.

Теорема 4.3.2. Многозначный обобщенный интеграл Jfj — J(-, t0,Xc) есть максимальное -решение уравнения (3.4.5) с начальным условием (3.4.0).

В $4 рассматриваются частные случаи введенного интеграла. Taii показано, что если фазовые огранич ?ния отсутствуют (V(t) s й"), то данный ::нтеграл совпадает с ьзвестным альтернированным интегра-ломЛС.Понтрягина. Напротив, при наличии фазовых ограничений, но без*неопределенности в системе (C?(t) н 0), приходим к многозначному > конволюционному интегралу в смысле цитнротанных работ 4.

Завершает главу параграф, в котором рассматривается некоторая специальная задача управления без фазовых ограничений, но с неопределенной матрицей в системе. Устанавливается, что множества раарс-щпмостп этой новой задачи совпадают с множествами разрешимости первоначальной задачи управления с фазовыми ограничениями. Одновременно доказывается, что построение множеств разрешимости описанной в данном параграфе задачи с помощью стандартной попятной

21

процедуры приводит с юнволюцконныы интегральным сумма-;. Тем самым дается интерпретация последних.

В пятой главе рассматриваются некоторые специальные свойства эволюционных уравнений и их решений. Первые два параграфа посвящены вычислению производной по времени < опорной функции /э(/|-*[<]) обобщенного интеграла, являющегося согласно материалу 1.1.4 максимальным -решением соответствующего эволюционного уравнения. З^зсь используются результаты 4 по аппроксимации многозначных отображений и методы работ А.Е.Куржаяского и Т.Ф.Филипповой, а также А.П.Пономарева и II.X. Розова, относящиеся к решению аналогичного вопроса для многозначного конволюционного и альтернированного интегралов соответственно. Полученное соотношение является авапогоь« уравнения Р.Бедлмана для данной задачи.

Третий параграф посвящен задаче оценивания состояния системы по даниьш измерения. Здесь наряду с системой (1.1.1), в которой функция Д) , стесненная ограничением (1.1.3), предполагается неизвестной заранее, рассматриваются уравнения измерения

где Е(.) - заданное гепрерыввое отображение [¿о,©! -» сопуЛ".

В соответствии с подходом, принятым в уже цитированной монографии \ для каждого момента времени т й {(о, ©] реализации измеренного сигнала ут(-) на промежутке и известным параметра^ системы, в число которых входит и реализация управления иг(): е У(4,г{*)), сопоставляется информационная облаете Это мно-

жество состоит из всех совчестимых с указанными данными значений фазового вектора ®(г). Соотношения (5.3.4), (5.3. Ъ) при известной реализации измеряемой функции у(-) можно трактовать как фазовые ограничения на траектории системы. Повтоиу описание информационной области можно дать в терминах выживающих относительно этого ограничения траекторий. В обсуждаемом параграфе для этой

• У.Р.Оет'апоу.С.ЬетагесЫ ,Л.!&те Арргох1ща4»оп 1о а яеЬуакю! тарр!П£в.1:аргоро5а1//Арр1.Ма11|.Ор^т. -1986.-Уо1.14,по.З-Р.203-214.

е 30),

(5.3.4)

(5.3.5)

22

цели применяется подход, связанный с использованием введенных ат-иющгашшх уравнений.

Далее, поскольку указанные фазовые orpainne:nis зависят в конечном итоге от реализовавшихся неопределенных величин z(ij), /(•),£(•)> то рассматривая неко ; орые семейства последних, можно выделить классы измеряемых сигналов, благоприятных для оценивания. В данном параграфе описаны семейства т.н. информативных сигналов, оптимальная обработка которых позволяет либо точно восстанавягалть неизвестное значеппе фазового лектора, либо делать это с любой наперед заданной точностью.

Сформулируем одип пз результатов, относящихся к этому разделу Пусть A{t) = A,Q{t) s Qa,G(t) s G,H(i) 2 F50„ где Qa,E0eamvR», A,C, F- постоянные матрацы. Не .ограничивая общности, считаем также V(t) = {0} ,т.е. управление в снст мс отсутствует.

Предположение 5.3.1. Матрицы А и G образуют вполне наблюдаемую пару, т.е. ranglG7 ATGi... ylT(n_,)GT] = п.

Предположение 5.3.2. Справедливо включение

CQo Я 4ь (5.3.6)

где С0 - подпространство идеальной наблюдаемости , т.е. максимальное подпространство в ß", проекция решений на которой однозначно восстанавливается по сигналу (5.3.4) при лгН5мх возмущениях.

Определение 5,3.3. Возмущения /*(•),£*(•) пязодом впе.тке ки-формативнымп для промежутка [<э,2|] , если любая траектория *'(•), удовлетворяющая (1.1.1) при / — f*(-)(U а {0}), яжгектш едвш.гвеягвй траекторией, совместимой с сигналом у'{ ) : у* — О'(0" '{-) + t е

[io,i] при всех t > ti.

Далее определяются классы Ф<1>/,-,Ф(1д, состояшда из функций /(.),п {(•). имеющих на промежутке [<0,(|] N попарно непересекающихся интервалов (ij, t'f) полного коле б кия по некоторым специальна выбранным направлениям lj:

vrai max (/,-, f(t)) = Kiax(i,-, f) te(ij,ç) w /6Q0 3

vrai min (L,/(£)) = min(i,,/)

23

(для £(•) - определение полного колебания аналогично).

Теорема 5.3.2. В условиях предположений 5.3.1, 5.3.2 для любого ti > t0 найдется число Лт такое, что чара /(•) 6 $«,,^,£(0 6 Ф«,,^ является вполне информативной в смысле определения 5.3.3.

Если матрица А имеет лишь действительные собственные значения,то число N не зависит от длины промежутка и может быть выбрано априори.

В четвертом пашграфе главы с позиций развиваемой в работе теории обсуждаются подходы к решению задачи управления по неполным данным, а именно, задачи об управлении определенной выше информационной областью X(t). Вопросы, связанные собственно с постр<-ппем синтезированного управления, здесь не рассматриваются, обсуждаются лишь некоторые многозначные функции, которые могут быть использованы для этой цели. Аналогичные построения могут быть проведены для некоторых классов систем с априори неизвестными ф?-зовыми ограничениями [4,14].

В шестой главе рассматривается специальный класс обратных .задач многоцелевой оптимизации. В отличие от предыдущих глав работы здесь предполагается, что ограничение на фазовый вектор системы, ее начальное и целевое множество заданы не явным образом в виде некоторых включений, а определяются неравенствами с помощью системы некоторых скалярных или векторных функций. При этом цель состоит не только в обеспечении названных неравенств, во и в оптимизация значений указанных функций, В таком случае опг.санная постановка может трактоваться как задача управления с векторным критерием качества. Рассматриваемую в данной главе задачу можно описать следующим образом.

Будем предполагать, что качество управления оценивается векторным функционалом ff(x( )) : C[to,©) Ru и целью управления является обеспечение неравенства j(i(-)) < v (и е Ru), характеризующего допустимый уровень качества и. Пусть далее фазовые ограничения на траектории системы задали, также с помощью функционала v(*(-)) : C[f0,9) -.Я* и имеют вид <р(х(-)) < ц (р е R"). Таким об-рагчш, получаем две группы ограничений на траектории управляемой г ;стемы, первая пз которых интерпретируется как уровень качества

24

процесса, а вторая соответствует ограничениям на фазовые координаты. Возникают две взаимные задачи: описать множество таких значений параметра (ц е №), что соблюдение фазовых ограничений, определенных данным вектором ц автоматически гарантирует заданный уровень качества е; обратно: определить значения показателя качества v, которые обеспечиваются соблюдением фазовых ограничений с фиксированным параметром р. Наряду с только что сформулированными задачами исследуются вопросы, связанные с отыскиванием максимальных и минимальных в подходящем смысле оначеппй указанных векторных параметров.

Задачи описанного типа рассматривались и * , а также в работах ¡13,18). Мотивировку приведенных постановок обеспечивают, в частности, экологические проблемы, хо-я возможны а иные интерпретации.

В первгм параграфе уточняется постановка оадаш для функционалов у(х(-)),<?(х(-)) специального вида. Второй параграф содержи"1 некоторые общие соотношения, определяющие множества искомых параметров. В третьем параграфе рассматривается конечномерный вариант оадачп и изучается структура решений. Наконец, заключительный параграф главы посязщеп описанию вычислительного алгоритма и рассмотрению примеров.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе рассмотрен круг вопросов, отвосящеЬсся s ЕЕсследованшо многозначных отображений, воавикаветцал о задачах ущяшъшт дифференциальными системамя.- йолучтам следvtotune «кякжаде рстущь-таты.

. 1. Введен н псследозза новый класс моиоцвлнвмх урашжшн -уравнений), решениями которых тпяаотся многовветида отображения, связанные с дифферевщнасьшга системой.

2. Изучены свойстаз решений названных уравнений, в частности,

доказана теорема о су одествошоти наибольшего »яемеята а множестве

т —-———

A.B.Kurzhanskii Inverse problems in multiobjectsve ^упаглк optimssatiou // Lect. NoW Econ. and Math. Syst.-1986.-Vol.285.-P.374-382

25

решений, исследованы условия их существования и продолжимости.

3. В терминах решений Л.+ -уравнений дано описание ряда множеств п многознатных отображений, используемых в теории управления, в том числе:

- трубок выживающих траекторий дифференциального включения;

- конфликтно-достижимых областей управляемой системы;

- множеств разрешимости задачи о приведении траектории системы на целевое множество при наличии фазовых ограничений п противодействия;

• семейств сильно и слабо инвариантных отображений.

4. Введено понятие многозначного обобщенного интеграла, частью мп случаями которого являются многозначный инволюционный интеграл и альтернированный интеграл. йсследоьаны варианты интегральных сумм и доказана теорема о корректности предельного перехода.

5. Доказана теорема о совпадении введенного интеграла с максимальным решением эволюционного уравнения.

6. Установлено экстремально-дифференциальное уравнение для опорной функция оСобщенвого интеграла.

7. Рассмотрены цршюженпя к задачам оценивания состояния системы по результатам наблюдения. Получены достаточные условия информативности измерений.

8. Исследован класс обратных задач многокритериальной оптимизации. Доказана теорема о структуре множества решений и предложен метод его построения, основанный на редукции задачи:

Основные результаты диссертации опубликованы в 18 работах. Результаты, включенные в диссертацию, получены автором самостоятельно.

1. О некоторых экстремальных свойствах наблюдаемых систем // Дифференц.уравненхя.- 1985.- Т.21, N 2.- С.230-240.

2. Экстремальные свойства входных воздействий в задачах гарантированного оценивания // Гарант.оцениваняе и задачи упр.: Сб.научн. тр. / АН СССР.УНЦ.- Свердловск, 1986.- С.83-91.

3. Об адаптивных процессах в теории гарантированного управле-

26

пня// 9-е Всесоюон.совещ. по иробл.управления, Ереван, 1983: Тез. докл./АН СССР. Ин-тпробл.упр., АН АрмССР. ВЦ, Ереван.попнтех. ян т. М., 1983.- С.65-66. (Совм. с А.Е.Куржанским).

4. Об адаптивных процессах гарантированного управления // Иов. АН СССР. Сер. техн.кибернатика.- Ь86.- N4.- С.3-15. (Совм. с А.Б.Куржанским).

5. К задаче о гарантированном управлении в условиях неопределенности // Оценивание динамики улрв л. движений: Сб.науп'. трудов / АН СССР. УрО.- Свердловск, 1988,- С.89-95.

6. О задаче гарантированного управления с векторным крш ¿рием качества // Многокритериальные задачи мат программирования: Тез. докл. междунар.конф., Ялта, 1988.- Киев, 1988.- С.13-14.

7.Обратные задачи многокритериального анализа // Междукар.сов -пол. семинар " Мат.методы оптимального управления н их прил. , Минск, 1989: Тез докл.- Минск, 1989: Теэ.докл., Минск: АН БССР, ИМ, 1989-С.- 70. (Совм. с А.Е.Куржанским).

8. О многозн .чных функциях Лагргнжа в задачах упрамениа-оце-нивания// Динам, оадачи оценивания в условиях неопределенности: Сб. научн. тр. / АН СССР. УрО.- Свердловск, 1989.- С.77-85.

9. Об обратных многокритериальных задачах для динамических систем // 7 Всесоюон. конф7 "Упр. в мех. системах", Свердловск, 1990: Теэ.докл.- Свердловск, 1990.- С.78.

10. К оядаче синтеза стратегии управления. Эволюционные уравнения и многозначное интегрирование // Докл. АН СССР.- 1990.- Т.311, N 4,- С. 788-793. (Ссвм. с А.Б.Куржаис им).

11 .Многозначные эволзовдсонгые удтшшш з гадачк-сушравяения // Дифференц.уравненяя и оитим.уеравхеяне: ТЪз.дохг. всесоюою. кшф., Ашхабад, 1990.- С.186-187.

12. Многозначное интегрирование в задачах синтеза стратегии управления // Междуи.семшод ИФАК "Негладкие' и разрывные оадачи упр. и оптимизации, Владивосток, 1£31. Теэ.докл.- Минск, 1991.-С.95-96.

13.0 структуре и алгоритмах решения обратных задач многокритериальной оптимнзации//Оцешва]ше в идентификации неопределен ных систем/ РАН.УрО.ИММ.-Екатерннбург,1992.-СЛ67-187.

ЗТ

14. Kurzhanskii A.B., Nikonov O.I. On adaptive processes in problems of guaranteed control // 9-th World Congr. IFAC, Budapest, 1984.- Publ. IFAC.- P.176-180.

15. Kurzhanskii A.B., Nikonov 0.1. Multivalued analysis in control problems // 7th IFAC Workshop on Control Applications of Nonlineer Programming and Optimization, Tbilisi, 1988: Abstr.- M., 1088.- P.90-91.

16. Kurzhanskii A.B., Nikonov O.I. Funnel eguations and multivalued integration problems for control synthesis.- Laxenburg, 1989.- 11 p.-(Work.pap./ IIASA; WR-89-049).

17. Kurzhanskii A.B., Nikonov O.I. Funnel eguations and m^'-ivaliifd; integration problems for control synthesis // Perspectives in Control Ti; c v-ry: Proc. Sielpia Conf., Sielpia, 1988,- Boston etc.: Birkhauser, 1990.

18. Nikonov O.I. On the problems of gu.iranteed control with vector -valued performance criterion // Lect.Notes Econ.& Math. Sci.- 1991.-Vol. 351: Multiobjective Probl. Math.Program.

Автор пыражает глубохую признательность академику А.Б.Куржанскому па постоянное внимание и ценные советы при подготовке работы.

28