Эволюционные включения в банаховом пространстве тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ 11ЛПС СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ' Иркутский вычислительный центр

На правах рукописи

УйаисниП Яков Иосифович

эволюционные вклттм в банаховом

ПГОСТРЖТВЕ. 01.01 .ог-даффэренциалыше уравнэшя

Автореферат диссертации на соискание учвноП степэня кандидата физико-математических наук

Иркутск - 1995

Работа выполнена ю Иркутском вычислительном центра СО РАН

■ ' ' I

Научный руководитель- доктоп физико-математических наук,

профессор А.А.Товстоногов.

1 г

Официальные оппонента- доктор физико-математических наук,

профессор В.М.Благода^ских; кандидат физико-математических наук, Колокольникова Г.А.

Вэдуча? организация-, Институт математики и механики < '

Уральского отделение Российской Акадамщ наук.

<¡0

Защита состоится 1995г. в часов

на заседании Специализированного совета Н 003- 64- 01 по приоуадени» ученой степени кандидата физико-математических наук в Иркутском вычислительном центре СО 1:АН по адресу: 664033, г.Иркутск, ул. Лермонтова , 134. С диссертацией мокло ознакомиться в библиотеке Иркутского

вычислительного центра СО РАН.

Автореферат разослан " 9<у- 1995г.

Учений секретарь Специализированного совета,

А.В.Сшиция

общая характеристика работы

Актуальность темы. Диссертационная работа »освящена изучению

эволюционных включений, которые рассматриваются как естостшшше обобщения, ставши уже традиционными дифференциальных уравнений с многозначной правой частью. Исследование разнообразных задач оптимального управления послужило одним из толчков к развитию (как и в случае с дифференциальными включениями) теории эволюционных включений.

Впервые, по-видимому, проблемы существования решений эволюционных включений рассматривались в работе Attouch К., Damlamian А. (1972г.). Аналогичные вопроси (и в банаховых пространствах) изучались в работах Barbu V., Martin R.H., Pavel N.H., Vrable I.I. и многих других.

Но необходимо отметить, что свойства множества всех решений эволюционного включения остаются мало изучелнами. Между тем .в теории дифференциальных включений разработаны метода исследования свойств множества решений и, поэтому, большой интерес представляет задача использования их для рассмотрения множеств' решений эволюционных включений. •

Представляется актуальным изучение решений эволюционных включений на замкнутом множестве, поскольку к ' таким включениям сводятся различные управляемые системы, описываемые уравнениями в частных производных с фазовыми ограничениями.

Целью работы является исследование вопросов существования

и качественных, свойств решений некоторых классов зволюциошшх включений в банаховом пространстве.

Метода исследования. Используется общая теория

дайервнциалышх уравнений, метода теории многозначных отображений, а также современные методы функционального анализа. Научная иовизна. Полученные в диссертации результаты

являются новыми. В работе доказана теорема об аппроксимации полунепрерывного сверху отображения локально лшшицевыми отображениями, рассмотрена задача Коши для эволюционных включений с вылуклозначной полунепрерывной сверху по х правой частьр. Для нее доказаны теоремы о существовании решений (в том числе на замкнутом множестве), даны необходимые и достаточные условия непрерывной зависимости множества всех решений от правой части. Теоретическая и практическая значимость. Результаты работы

носят теоретический характер. . Они могут быть использованы для дальнейшего развития теории эволюционных включений, при изучении задач оптимального управления, описываемых уравнениями в частных производных.

Апробация работ. Основные результаты диссертации

обсуждались на семинаре МММ УрО РАН, а также на конференциях и семинарах ИрВЦ СО РАН.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 4 работы.

Структура и обьем работы. Диссертация состоит из введения,

трех глав, закл&шния, комментариев и списка литературы. Обьеы диссертации составляет 96 страниц. Библиография состоит из 130 наименований.

С04ЕРШИЕ РАБОТЫ

* ■

Во введении очерчен.круг вопросов, изучаемых в диссертации, приведен обзор литературы по -теории эволюционных уравнений и

Ифференциальних включений. Кратко изложено содержаш!9 работы. Первая глава носит вспомогательный характер. В §1 вводится

яд обозначений и определений, а такло формулируются известные тверздения из теории многозначных отображений, используете на ротяжении всей работы.

Во втором параграфе доказана теорема об аппрок. "мании олунепреривного сверху отображения локально лишшцевнми отобра-ениями*-' , а именно доказана

Теорема I**'. Пусть Г=|о,1^; Х- банахово, е 7- метрическое

ространства. Пусть задано отображение Ра,у) о замкнутыми-ыпуклими значениями, полунепрерывное сверху для каждого tiT, а

ля любого усУ существует измэришй селектор отображения Р(•,у)

+

п.в. на Г для любых уеУ, где т-.Т-Я . Тогда суще-

твует последовательность отображений Fn(t,y), 1 с замкнутыми ыпуклими значениям, обладающая следущими свойствами: ,

) для любых в>о, уеУ. существует номер на,у,Е) такой, ч?->

[Я! ВСОХ

) для любых п51 отображение Рпа,у) локально лигшшцево по у эвиомерно относительно т( •) С многозначное отображение Ра,у)

_I_ .

Используется терминология кнмги Толстоногов А.А. Дифферен-пльные включения в банахоЕом пространстве.- Новосибирск: Наука, !бирское отделеш!е, 1936.

'•"Здесь нумерация теорем и формул ив зависит от нумерации, жнятой в диссертации. *

называется локально липшицевим по у, равномерно относительно т(■, вода для каждого у0*У существует окрестность У(у0)

точки 1/0 и константа й('у0'х> такие, что п.в. на Т

1Я8Тх(?1г,у%),т,уг))&(у0мг)ау(11,,уг)

для всех у1,уг^,(у0)) и существует функция 8па,у) измеримая по I и локально Липшицева по у равномерно относительно ш(•) такая,-что

ёпа,у)ап(1,у), ит, г) если 1-сапарайольно, Pft,у)-$.Ш измеримо, то отображение

Рпа,у),п>1 измеримо по t,

В третьем параграфе приведены некоторые вспомогательные сведения из теории полугрупп и эволюционных уравнений. В §4 научается связь слабой сходимости многозначных отображений с поведением определенного в атом параграфе многозначного оператора, используемая в дальнейшем.

Вторая глава посвящена вопросам существования и свойствам

решений эволюционных включений с я-дассипатиышм оператором*} . В §1 рассматривается эволюционное включение

x(t)€mtHP(t.x(t)); х(о)<г0, (1>

где А являете^ эт-диссипативным оператором, а Р-многозначным

. отображением.Решением включения (1) назовем непрерывную функцию

х:Г-»1)отГА;, х(0)=х0 такую, что некоторого /(■)<:£^Т.Х),

*->йспсльзуатся терминология книги ВагЬи V. НопИпеог аегп1£гоирз апй '1Н1егепЬ1н1 eqшtloliS 1п ЬапасЬ. врасез.- Виеагези,19?6.

f(t)iF(t,x(t)) п.в. на Г, выполняется неравенство

для всех и£Бот(А) неАц, , где

' <у,х>+=вир4<у,х >:х а

J(x)Цx еX \<х,х >=Вх|„=Цг |

{

* * * 2 *

X

, Х£Х

Устанавливается

Теорема 2. Пусть X -равномерно вшукло, А- т-диссипативний

оператор, порождающий компактную полугруппу йеСI ^, £5Ю, а отобр-ааеше Р(Х,х) а замкнутыми выпуклыми значениями полунепрерывно сверху по х для каждого tiT п шлеег измеримый селектор по г для

каждого «Бот(А).Предположим, что п.в. на Г

где a(t),P(t)ю суммируемы на Г. Тогда для любого х0£Оот(А)

включение (1) имеет решение х(•),х(о)=х0 и множество И-р(х0) всех

решений включения (1) является компактном подмножеством пространства цт

Центральное место в параграфе занимает следующий результат: 'Теорема 3. Пусть наполняются все предположения теоремы 2.

Тогда }1Р(+0) является Н^-множеством, т,е. комшшшИ тресечопкем убЫЕ чацс-Й последовательности абсолютных рьтрак'хОВ.

В параграфах 2,2А,2В даш неооходая/в и достаточвке условия непрерывной зависимости множества рваолий включения (1) с п-диссшГатившм оператором вида А=1-ИН, где ь-плогио определэкшй

3Га,х) {«1Сí ()Щ ,х&от(А)

(2)

m-диссилативный оператор в X, являющийся инфинитезимэлышм генератором (CQ)-полугруппы S(t),tZl'} , к:Х-Х-непрерывный, всюду определенный и дассипативный оператор.

Пусть Х-сепарабельное банахово пространство. Обозначим через Сошр(С(Т,ХЛ пространство непустых компактных подмножеств из С(Т,Х) с метрикой лаусдор^а blSIC(T Х)( • ), а через 213-совокупность измеримых, интегрально ограниченных многозначных отображений с выпуклыми компактными значениями.

Мы будем говорить, что последовательность многозначных, отображений 1 слабо сходится к F0 в IIB, если последовате-

льность многозначных отображений ids,Ш сходится в метрике

Хаусдорфа к jР0(з)йз равномерно по t. Обозначил через множество Я о

множество многозначных отображений D(•,•}, определенных на Т-Х и таких, что

М2) п.в. на Т, для любых х{,х2^Х выполняется равенство

ш5тх(0(1,х1),оа,хг))Фа)\хгхг1х.

где ' ^-интегрируемая на Т функция;

МЗ) существует измеримое, интегрально ограниченное многозначное отображение Г:1'-Сошр(Х) такое, что п.в. на Т, для любого хеХ да,хJcГítj.

*;См., например, книгу Рагу A. Semigroups oi linear operators and applications to partial "inferential equations.- New York: Sprlnger-Verlag,1983.

t

t

о

MI) для любого xiX отображение D(•,x)tJlB\

в

Справедлива следующая

Теорема 4. Пусть задана последовательность многозначных

.отображений >' Тогда следующие утверждения

эквивалентны:

I о

а) последовательность ?1в(х0), 121 сходится к Ив(х0) по метрике

Хаусдорфа пространства Сотр(С(ТДЛ;

б) последовательность Т)^ - ,й0( •)), сходится слабо к

о

д0(-,й0(<)) в 11В для каждого й0Шв(х0) .

В третьей главе изучается эволюционное включение (I), такое

что х(0/=хо£К, где К-замкнутое подмножество сепчрабельного банахова пространства X, А-инфшщтазималышй генератор :'00)~ полугруппы. ограниченных линейных операторов

*г

Решением включе'тия (1) (в этом случае) назовем непрерывную функцию х(-) такую, что ^(0)=хо, сгШеК при всех te5wfo.il и

I

ха)=3(^)х0+^3(1-а)/(а)<1а, где ?(1)€.?а,х(г)) почти всаду на Т. о

В §1 приводятся вспомогательные утверждения и изучается 3

множество Т (х) определенное следующим образом к •

а

Г (х)= к

1

иеХ: Ит -й (Б(Юх+?1и>0 Л-О п к

(3)

Здесь й /"^-расстояние от точки х до множества К. Во втором к

параграфе строится аппроксимирующее решение автономного эволюционного включения

x(t)Ш(thF(x(t)); х(0)=хое.К, (4)

На основ'е" построенных аппроксимирующих решений в третьем и

Э

четвертом uaparj "i>ax доказываются теоремы существования для автономных и иеаи' >номннх включений.

Через Conv(X) обозначим совокупность всех непустых выпуклых компакт!шх подмшхсств из X. Пусть K-замкнутое подмножество пространства X, F:K-ConvX - ограниченное константой с, полунепре-

ыьное сверху отображение такое,что для всех хеХ

з

Fix) сТк(х)

Справедливы следующие результаты:

Теорема 5. Предположим, что А-инфинйтезимальный генератор '

компактной (С )- полугруппы ограниченных, линейных операторов S(t), t^O. Тогда существует решение включения (4).

Теорема 6. Предположим, что А-инфинитезималышй генератор

(С0)~ полугруппы ограниченных линейных операторов S(t), tzO и существует постоянная 1>о такал, что для любого ограниченного множества Е<~К выполняется неравенство: f)(F(E))^lfl(E), где ß(E)~ мера некомпактности Хзусдорфа ограниченного множества Е^Х. Тогда существует решение включеш!я (д).

Теорема 7. Предположим, что А-инфинитезимальный генератор

(С0)~ полугруппы ограниченных линейных операторов Sit), t^O и существует постоянная о такая, что многозначное отображение F удовлетворяет на множестве К неравенству:

ZHatfPixJ.FCj/JKLlx-yl, х,уаК. Тогда существует решение включения (4).

Теорема 8.Пусть K-выпуклое и замкнутое подмножество

пространства X, F:T>K-ConvX-Z&9i измеримое многозначное отображение такое, что отображение F(t,•) полунеперывно сверху по х при каждом ter. Предположим, что для всех xeÄ, почти всюду на Т выполняется следующее условие :

s

p(t,x)cTK(x), tif, xa. Тогда существует решение включения (1).

В.заключении кратко формулируются основные результаты диссертации. Комментарий содержат сопоставление с работами других авторов.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Товстоногов A.A., Уманский Я.И. О решениях аволюциогешх включений 2.- Сиб. мат. журнал, 1992, т. 33, Ji 4, с.163-174.

2. Уманский Я.И. Об одном свойстве множества решений даф^р-енцналып:х включений в банаховом пространстве.- Диф. уравнения, 1992, Т.28, й 8, с.1346-1351.

3. Уманский Я.И. О существовании решений одного класса эволюЦиошшх включений на замкнутом множестве i.- Диф. уравнотая, 1994, Т.30, >6 7, C.II39-II47.

4. Уманский Я.И. О существовании решений одного класса эволюционных включений"на замкнутом множестве 2.- Диф. уравнения,

Редакционно-издательский отдал Иркутского государственного университета 664000, Иркутск, бульвар Гагарина, 36