Сходимость траекторий динамических систем связанных с полямиссмещений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

/ /

МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УССР ХАРЬКОВСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ И ОРДЕНА ДРУЖБЫ НАРОДОВ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. А. М. ГОРЬКОГО

На правах рукописи

АХИЕЗЕР ТАТЬЯНА АЛЕКСАНДРОВНА

УДК 517.925

СХОДИМОСТЬ ТРАЕКТОРИЙ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ, СВЯЗАННЫХ С ПОЛЯМИ СМЕЩЕНИЙ

01.01.02 — дифференциальные уравнения и математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ХАРЬКОВ - 1988

Работа выполнена на кафедре математической физики и вычислительной математики Харьковского государственного университета им. А. М. Горького

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор ЛЮБИЧ Ю. И.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор ДАЛЕЦИИЙ Ю. Л. (Киевский политехнический институт),

доктор физико-математических наук, профессор МЫШКИС А. Д. (Московский институт инженеров железнодорожного транспорта)

Ведущая организация: Физико-технический институт низких

температур АН УССР, г. Харьков

Защита состоится . 8 * 1988 г. в 15.00 часов

на заседании специализированного совета К 058.31.10 в Харьковском государственном университете им. А. М. Горького по адресу: 310077» г. Харьков, пл. Дзержинского, 4, ауд. 6-48.

С диссертацией можно ознакомиться в Центральной научной библиотеке Харьковского государственного университета.

Автореферат разослан . 3,9« СрСб^ЭССиЛ. 1988 г.

Учёный секретарь /// л т

специализированного совета ^ Л. С. СОХИН

/

| ;

? ''

| Г"" ; ; '' ■ ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

к:..' -4 .. -у

Актуальность теш. Рассмотрим выпуклым компакт _Л. в

банаховом пространстве и непрерывное отображение

Векторное поле Уг - X ■■ » X называется полем смещений.

Траектории этого поля являются естественным континуальным ана-

логбм итерационных последовательностей

= ^/зс,, (к = о, 1,2,...).

Действительно, соотношение

можно рассматривать, как разностную схему для дифференциального уравнения

х = Ух - X а* о) со

(шаг по времени равен единице") .

Нелинейная динамическая система вида (1") возникает в ряде задач математической биологии. Например, динамика естественного отбора в аутосомном полиаллельном локусе "О при непрерывном времени описывается системой дифференциальных уравнений в симплексе

По поводу используемых ниже терминов математической генетики см. Лобич Ю.И. Математические структуры в популящионной генетике.- Киев: Наук, думка, 1983.- 206 с.

следующего вида

р= Г-Ср^-р, С2)

где - оператор Фишера

рк - средняя приспособленность I -ого гена

п

"^к^рк ~ средняя приспособленность популяции, к = 1 - заданная матрица, ^(.— ^Ск^8^.

Вместе с тем, модель отбора с дискретным временем имеет вид

К + ГСРк) (к = 0,1.2,...). (3)

Другим примером может служить гиперцикл - динамическая система, введенная М.Эйгеном в качестве математической модели добио-логичеекой эволюции. Эта система имеет вид

х = ГС^О - , (+)

где Г (оператор роста) - отображение координатного конуса . в себя, полиномиальное, положительно-однородное

степени р ( р ^ Л ) :

п

1=1

Система (4) рассматривается в стандартном симплексе

Качественному исследованию систем типа (2) , (4) посвящена обширная литература, однако достаточно полные результаты стали появляться лишь в последние годы. Что касается общего уравнения (О , то насколько нам известно, оно ранее не изучалось.

В диссертации исследуется система С1) в общем виде, ее конкретизации (2^) , ("4") и некоторые другие.

Цель работы. Целью исследования, проводимого в диссертации является:

1. Описание асимптотического поведения траекторий динамических систем, порожденных нерастягивающими отображениями выпуклого компакта в банаховом пространстве в себя.

2. Оценка скорости сходимости траекторий некоторых циклически симметричных гиперциклов.

3. Описание асимптотического поведения траекторий систем дифференциальных уравнений математической генетики, моделирующих отбор в аутосомном полиаллельном локусе, рекомбинационный процесс и аддитивный отбор в системе аутосомных полиаллельных локусов.

Научная новизна и значение результатов диссертации. Все основные результаты диссертации являются новыми.

В главе 1 доказана сходимость траекторий некоторых классов динамических систем, порожденных нерастягивающими отображениями.

Глава 2 посвящена исследованию динамики гиперциклов. Полу-

ченныа в ней результаты существенно дополняют, в некоторых случаях , информацию об устойчивости равновесных состояний и асимптотическом поведении траекторий, имеющуюся в работах М.Эйгена, П.Шустера и Ю.И.Любича.

В главе 3 проведено исследование асимптотического поведения траекторий систем дифференциальных уравнении, описывающих динамику отбора в аутосомном полиаллельном локусе, реномбинаци-онный процесс и аддитивный отбор в системе аутосомных полиал-лельных локусов. Ранее эти процессы научались на дискретных моделях.

Результаты диссертации могут применяться при изучении не-растягиваюцих отображений в банаховых пространствах, устойчивости и асимптотического поведения решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений, в химической кинетике, в математической генетике. Они могут быть использованы в следующих учреждениях: ФТИНТ АН УССР (Харьков), ОИХФ АН СССР (Черноголовка), в Воронежском и Московском госуниверситетах, ВЦ СО АН СССР (Красноярск),

Методика исследования. В работе используются методы теории динамических систем, качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений, В главе 2 для исследования уравнений гиперцикла применяются методы теории нормальных Форм.-В главе 3 для исследования динамики отбора на континуальных моделях используются, путем надлежащей адаптации, методы, разработанные ранее для систем с дискретным временем.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на Воронежских зимних математических школах в 1984 г. и в 1987 г., на конференции молодых исследователей МНИТ АН УССР (Харьков) в 1985 г., на конференциях "Комплексный анализ и

дифференциальные уравнения" (Черноголовка") в 1985 и 1987 годах.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 4 работы, которые отражают ее основное содержание.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения и трех глав. Содержание изложено на 100 страницах. Библиография содержит 41 наименование.

Основные положения, вннесенные на защиту (нумерация теорем в автореферате та же, что и в диссертации).

1. Теоремы об асимптотическом поведении траекторий динамических систем, порожденных нерастягивающими отображениями выпуклого компакта в банаховом пространстве в себя ("теоремы 1.1.1 И 1.2.1) .

2. Оценка скорости сходимости траекторий некоторых циклически симметричных гиперциклов (теоремы 2.2.1 и 2.3.1) .

3. Теоремы об асимптотическом поведении траекторий систем дифференциальных уравнений математической генетики, моделирующих отбор в аутосомном полиаллельном локусе, рекомбинационный процесс и аддитивный отбор в системе аутосомных полиаллельных локусов (теоремы 3.1.1, 3.1.2, 3.1.5, 3.1.6, 3.2.1, З.ЗИ, 3.3.2) .

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Глава 1. Динамические системы, связанные с нерастягивающими отображениями.

Рассматривается система (1) в случае, когда Л/" - нерас-

тягипающее отображение

ИУзс, -Vx.il < IX,- Х2||

Теорема 1.1.1. Если V - нерастягивающее отображение, то каждая траектория X("t) системы (1") сходится, причем имеет место оценка

f*tt)|«0 (¿т).

Параллельно с дифференциальным уравнением (1) рассматривается семейство разностных уравнений

0Ck+i= 0C.Xk +- 0-od)Yxk (k=0,1,2,... > 0^od<i)> (5)

При об = О система (5) задает последовательность итераций отображения V . Эти итерации могут расходиться, примером служит поворот v0 двумерного диска на угол 0 (Ос В <2:7[).

В случае 0 < < -f устанавливается, что при любой начальной точке Хс итерационный процесс (5) сходится к некоторой неподвижной точке отображения V .

Теорема 1.2.1. Если "V - нерастягивавдее отображение,

то каждая траектория системы (5~) сходится, причем

имеет место оценка .

Глава 2. Динамика гиперциклов.

Говорят, что гиперцикл (4") - мономиальный, с циклической симметрией, если оператор Г имеет вид

[J Сзс) = А. 0Cj • Kj-p+i - xn-i),

к. > о 1,..., а") ,

Система (4) рассматривается в открытом симплексе == иЛД,.

При р= 2. мономиальный гиперцикл с циклической симметрией назьшается элементарным, таким образом, это система вида

к,>о О-«....-,*), ¿Сх^^х^.,.

<) V ]=1

Элементарный гиперцикл обладает единственным равновесным

состоянием п у .....

в

Равновесное состояние X при (К 3 асимптотически устойчиво, при П—4 квазиустойчиво (спектр линейного приближения в точке X содержит чисто мнимые значения) и при П. >5 строго неустойчиво (имеется собственные значения линейного приБлижения в правой полуплоскости) .

Сходимость траекторий элементарного гиперцикла к равновесию при П ^ 4 была доказана ранее 1) , однако скорость сходимости не выяснялась. Этот вопрос достаточно прост при П.^ 3.

При Г1=4 , в квазиустойчивой ситуации, ввиду невозможности судить о поведении траекторий по линейному приближению, приходится использовать приведение.к нормальной форме Пуанкаре-дюлака гладкими преобразованиями (соответствующая общая теорема

Эйген М., Шустер П. Гиперцикл,- М.:Мир, 1982.- 270 с.

принадлежит Г.Р.Белицкому ^ .

Теорема 2.2.1. При каждая траектория элементарного

гиперцикла сходится с оценкой

:(4г)— х | = 0

х(

Ю.И.Любич провел полное исследование устойчивости по линейному приближению для мономиальных гиперциклов с циклической симметрией 2). Оказалось, что в ситуациях

а)р=а; 4).р = ц-Ч 5 с) р = [+ 1 ; а= 9

имеет место строгая устойчивость и, тем самым, экспоненциальная сходимость траекторий, начинающихся достаточно близко к положению равновесия. В случаях

с£) |э = (п - четное) ; /ь)6 , 1г= 8 ;

Т) р= э, И = 12 ; £) 10, 12

положение равновесия квазиустойчиво. В остальных случаях имеет место строгая неустойчивость, т.е. типичная траектория, начинающаяся вблизи положения равновесия, в дальнейшем от него

1) Белицкий Г.Р. Гладкая эквивалентность ростков векторнгос полей с одним нулевым или парой чисто мнимых собственных значений // Функциональный анализ и его приложения.- 1986.

- Т.20, К 4.- С. 1-8.

2^ Любич Ю.И. К динамике гиперциклов // Докл. АН СССР.-.1986..

- Т.288, Ш 6.- С. 1301-1304.

уходит.

Следующая теорема устанавливает сходимость траекторий к равновесию в случае уь) ,

Теорема 2.3.1. Для гиперцикла с циклической симметрией в случае П=8 , |Э = 6 в окрестности положения равновесия ОС каждая траектория Х("0 сходится с оценкой

ос(Ч)-х|==0 (-Г*).

В доказательстве этой теоремы вновь применяется теорема Г.Р.Белшдаого, но требуемые для этого вычисления становятся значительно более сложными, чем в случае П. = 4 , р — 2 .

Глава 3. Динамика естественного отбора.

В главе 3 изучаются нелинейные динамические системы вида (1) , возникающие в математической генетике, презде всего -система (г) . Для ее дискретного аналога (з) сходимость траекторий и оценка скорости сходимости были установлены ранее с использованием методов теории релаксации. Возможность применения этих методов обеспечивается "Фундаментальной теоремой" Фишера о возрастании средней приспособленности вдоль траекторий (у таких систем средняя приспособленность является функцией Ляпунова} . В диссертации эти методы адаптируются к случаю непрерывного времени.

Любич Ю.И., Майстровский Г.Д., Ольховский Ю.Г. Сходимость к равновесию под действием отбора в однолокусной популяции //Докл. АН СССР.- 1976.- Т.226, Ш 1.- С.

Теорема 3.1.1. Каждая траектория системы сходится к некоторому равновесному состоянию р* , причем имеет место оценка

.(рт-И-ОСг*).

Отметим, что в данном случае множество равновесных состояний бесконечно. Поэтому предел, к которому стремится траектория, - завиоит от начального состояния. В целом, траектории сходятся медленно,: однако можно указать необходимое и достаточное условие, выделяющее траектории, сходящиеся экспоненциально быстро.

. Георема 3.1.2. Для того, чтобы траектория рСЬ) системы (2) сходилась к р* экспоненциально, то есть с оценкой

необходимо и достаточно, чтобы для всех таких

номеров I , что р* — 0 , рс^О)^ 0 .

Далее исследуется устойчивость по Ляпунову равновесных состояний.

Теорема 3.1.3. Для того, чтобы равновесное состояние было устойчиво, необходимо и достаточно, чтобы оно было точкой локального максимума средней приспособленности.

Следствие 3.1.2. Для того, чтобы равновесное состояние было асимптотически устойчиво, необходимо и достаточно, чтобы оно было изолированной точкой локального максимума средней приспособленности.

Равновесное состояние р* , в котором представлены все аллели, т.е. Ь* > О (с=Н,...,.п) называется полным

полиморс{мзмом.

Георема 3.1.5. Пусть Р - равновесный полный полиморфизм. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1) р* - устойчивое состояние равновесия;

2) квадратичная форма

имеет положительный индекс • инерции = 4 » п

3) квадратичная форма^С^") на подпространстве О неположительна;

4) р ^ является точкой абсолютного максимума средней приспособленности.

Теорема 3.1.6. Пусть р - равновесный полный полиморфизм. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1) р* ~ асимптотически устойчивое состояние равновесия;

2) р ^ - единственная точка абсолютного максимума средней приспособленности; • п.

3) квадратичная форма ^ Си ) На подпространстве / Ц = О

отрицательно определена;

4^ квадратичная форма \(/ имеет тип ^ , " •

В § 2,3 главы 3 рассматривается многолокусная популяция. Пусть - система аутосомных полналлельных локусов, Г -множество всех гамет.

{г (и IV)}

- распределение сцепления. Рекоибинационный процесс в системе локусов !_. при непрерывном времени "Ь 0 описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений '

й -ъ^а -а- (6)

17|У

в симплексе

а < г) - {а =21 ф | р? >0 > 2L р1}

( для каждого разбиения

L=U|V вводится линейный оператор Vv А (г")—> А (г") , который переводит любую гамету ^

в субгамету путем вычеркивания генов, принадлежащих U)

Рекомбинационный процесс без отбора в полилокусной полиал-лельной вутосомной популяции в случае дискретного времени был детально изучен ранее ^' ^. Здесь основную роль играет специальная алгебраическая техника, позволяющая понижать размерность системы. Этим методом в диссертации доказана сходимость траекторий для модели (б) с непрерывным временем (теорема 3.2.1).

Действие естественного отбора на популяцию описывается системой

p=S4p-)-p, (7)

где

1) ReienAot О. Generic ai^eAtai 3tucked ъесиъ-livelf qmjcL ty meoutu of сЩемгЛла! ojieJiatou, / МаМь. icevtuL., Ш.-У Ю.. - f-2 5 - .

2) Лгабич Ю.И. Основные понятия и теоремы эволюционной генетики свободных популяций // Успехи мат. наук.- 1971.- т.26, К? 5.- с. 51-116.

Vípl-Z-Aff.*^

TL

- средняя приспособленность популяции. Отбор предполагается аддитивным, то есть коэффициент выживания любой зиготы ^ • fb аддитивно определяется однолокусными коэффициентами выживания пар аллелей £

Для полилокусной полиаллелъиой аугосомной популяции Л.А.Куном и Ю.И.Дюбичем была доказана сходимость траекторий под действием аддитивного отбора при дискретном времени. Здесь вновь используется релаксационная техника, однако кроме средней приспособленности

V

, в качестве функции Ляпунова на множествах уровня Conit привлекается энтропия

В диссертации этот подход распространяется на континуальную ситуацию.

Теорема 3.3.1. При аддитивном отборе средняя приспособленность возрастает вдоль траекторий системы (7) .

Теорема 3.3.2. При аддитивном отборе все траектории системы (7) сходятся.

1) Кун Л.А., йобич Ю.И. Сходимость к равновесию под действием аддитивного отбора в полилокусной полиаллельной популяции //докл. АН СССР.- 1979.- т.249,й 5.-с. 1052-1055.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих

работах:

1. Ахиезер Т.А. Динамика отбора в аутосомноы полиаллельном локусе при непрерывном времени / Харьк. ун-т.- Харьков, 1986.- 19 е.- Деп. р УкрИИИНТИ 28.05.86, № 1242 - УК 86.

2. Ахиезер Т.А. Динамика рекомбинационного процесса и отбора в системе аутосомных яолиаллельных локусов при непрерывном времени / Харьк. ун-т.- Харьков, 1986.- 24 е.- Деп. в УкрНИЖТИ 14.11.86, 2618 - Ук 86.

3. Ахиезер Т.А. Оценка скорости сходююсти траекторий некоторых циклически симметричных гиперциклов / Харьк. ун-т.. Харьков, 1987.- 18 е.- Деп в УкрНИИНТИ 15.09.87, N9 2511 -

УК 87.

4. Ахиезер Т.А. Сходимость траекторий динамических систем, порожденных нерастягивающими отображениями // Вестник Харьк. ун-та. Математика, механика и вопросы управления.-Харьков, 1987.- Ш 298.- с. 84-90.