Вопросы численной реализации метода последовательных возмущений параметров при расчете оболочечных конструкций тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Шабанов Леонид Евгеньевич

ВОПРОСЫ ЧИСЛЕННОЙ РЕАЛИЗАЦИИ МЕТОДА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ ПАРАМЕТРОВ ПРИ РАСЧЕТЕ ОБОЛОЧЕЧНЫХ КОНСТРУКЦИЙ

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Саратов - 2005

Работа выполнена в Саратовском государственном университете имени Н.Г.Чернышевского

Научный руководитель:

доктор технических наук, профессор Кузнецов В.Н.

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Петров В.В.

доктор физико-математических наук,

профессор

Землянухин А.И.

Ведущая организация:

Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет

Защита состоится 005 г. в /Ь- часов на заседании

диссертационного совета Д.212.243.10 при Саратовском государственном университете по адресу: 410012, Саратов, Астраханская, 83, корп.9, ауд.

С диссертацией можно ознакомится в научной библиотеке Саратовского государственного университета

Автореферат разослан << 7 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета у Ю.В.Шевцова

i Lfiotf

¿16 393-

3

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Метод В.В.Петрова - метод последовательного возмущения параметров (МПВП) дает эффективную численную схему Эйлера применительно к нелинейным уравнениям механики. Этот метод нашел широкое применение при численном расчете напряженно-деформированного состояния, прочности, устойчивости и долговечности конструкций, эксплуатирующихся в условиях не только воздействующих нагрузок, но и воздействия агрессивных сред. Основные положения этого метода были заложены ещё в середине 50-х годов1. Позднее2 метод окончательно приобрел ту форму, в которой он известен в настоящее время, как метод последовательных нагружений. С начала 70-х годов этот метод получил дальнейшее развитие в работах В.В.Петрова и его учеников3 и стал называться методом последовательных возмущений параметров. Нужно отметить, что в отличие от известного метода В.И.Шалашилина - метода продолжения решения по параметру4, метод В.В.Петрова применим для нелинейных уравнений механики, и при этом линеаризация рассматривается по тем параметрам, малое изменение которых ведет к малому изменению прогиба.

Этот метод обладает рядом преимуществ перед другими шаговыми методами при расчете оболочечных конструкций. Но у него есть и свои недостатки.

' Петров В.В Некоторые вопросы расчета пологих оболочек при конечных прогибах Дисс. на соиск уч. степени канд. тех. наук. МАИ, 1960.

2 Петров В.В Метод последовательного нагружений в нелинейной теории пластин и оболочек. Дисс. на соиск. уч. степени доктора техн. наук. МИСИ, 1969.

3 Кузнецов В В, Петров В В Использование метода возмущенной области интегрирования при решении нелинейных краевых задач теории гибких пластин и оболочек//Изв. АН СССР МТТ. 1985 №2 С.176- 178.

Петров В.В Метод последовательных нагружений в нелинейной теории пластин и оболочек. - Саратов- Изд-во Capar, ун-та, 1975. - 118 с.

Петров В.В., Овчинников И.Г., Иноземцев В.К Деформирование элементов конструкций из нелинейного равномодульного неоднородного материала - Саратов: Изд-во Сарагг. ун-та, 1988. - 160 с.

Петров В.В., Овчинников И Г., Шихов Ю М. Расчет элементов конструкций, взаимодействующих с агрессивными средами - Саратов Изд-во Сарат. ун-та, 1987. -173 с.

Петров В В , Овчинников И Г, Ярославский В И Расчет пластинок и оболочек из нелинейно-упругого материала - Саратов' Изд-во Сарат ун-та, 1976 - 133 с

4 Шалашилин В И Метод продолжения решения по параметру и его применение к задаче больших прогибов непологой круговой арки // Изд АН СССР МТТ. 1979. №4 С.178- 184.

Во-первых, как показано в 5 МПВП имеет первый порядок сходимости.

Во-вторых, МПВП работает только в области устойчивости параметров. Наконец, в окрестности критических нагрузок возникает локальная потеря устойчивости, т.е. потеря устойчивости в достаточно малых окрестностях отдельных точек, что влияет на точность применения этого метода. Последнее характерно для любого метода, если только оставаться в рамках первоначальной модели без учета малых отклонений на каждом шаге.

В диссертационной работе решаются следующие задачи: задача, связанная с улучшением сходимости МПВП, и задача, связанная с определением таких параметров, при которых наблюдается локальная потеря устойчивости.

Нужно отметить, что вопросы модификации МПВП с целью улучшения его сходимости изучались многими авторами. Так в начале 70-х годов В.В.Карпов предложил модификацию этого метода в форме, отражающей численную реализацию схемы Рунге-Кутга6. Такая модификация позволяет улучшить сходимость МПВП, но имеет сравнительно сложную реализацию. Наиболее эффективной в смысле скорости сходимости модификацией МПВП можно считать шагово вариационную схему, предложенную В.И.Шалашилиным7. Но численная реализация этой схемы требует больших временных затрат.

В.В.Петров предложили достаточно простую модификацию МПВП, дающую хорошую сходимость, основанную на усреднении приближенных решений.

В данной диссертации предлагается модификация МПВП, которая вбирает в себя как идею усреднения В.В.Петрова, так и идею В.И.Шалашилина относительно оптимизации на каждом шаге функционала энергии, но на более простом уровне. Показано, что такая модификация дает хорошую сходимость при малых временных затратах.

Отметим, что и задача определения параметров, при которых происходит локальная потеря устойчивости, также является не новой

5 Кузнецов В Н Метод последовательного возмущения параметров в приложении к расчету динамической устойчивости тонкостенных оболочечных конструкций Дисс на соиск. уч. степени доктора техн наук - Саратов, 2000

6 Карпов В В Модификации метода последовательного нагружения и их приложения к расчету гибких пластин и оболочек под действием нагрузок и температуры Дисс на соиск уч. степени канд тех наук - Саратов, 1973

7 Кузнецов В Б , Шалашилин В И Задача Коши для механических систем с конечным числом степеней свободы как задача продолжения по наилучшему параметру // ПММ, т.58, вып 6, 1994 С 14-21.

задачей. Ею занимались многие авторы. Наиболее полную картину по этому вопросу можно найти в монографии П.Е.Товстика. Исследования носили чисто теоретический характер. Не было достаточно хорошей с точки зрения ее реализации численной схемы, позволяющей определить точки, в окрестности которых происходит локальная потеря устойчивости. В данной работе предлагается разработка такой численной схемы. Известно9, что, если не учитывать малые изменения оболочки при локальной потере устойчивости, которые должны отражаться в краевых условиях модельной задачи, то это приводит к значительной ошибке (до 10%) дальнейших расчетных данных от данных, отражающих истинное поведение оболочки.

Поэтому при определении границ эффективного применения МПВП возникает необходимость в сравнительно простой вычислительной схеме, позволяющей определить точки локальной потери устойчивости.

Отметим, что решение этой задачи позволяет определить и критические параметры, при которых происходит потеря устойчивости «в большом» оболочечных конструкций. Этот вопрос также рассматривается в диссертации.

Все сказанное выше указывает на актуальность данной тематики.

Цель настоящей работы заключается в решении следующих задач: получить такую модификацию МПВП, которая дает хорошую точность при малых временных затратах и разработать сравнительно простую вычислительную схему, позволяющую определить параметры, при которых происходит локальная потеря устойчивости.

Научная новизна работы состоит в следующем: 1. Получена простая в реализации вычислительная схема, позволяющая существенно улучшить (на порядок во временном исчислении) сходимость метода последовательных возмущений параметров - как в статическом, так и в динамическом случае.

2) Для достаточно широкого класса математических моделей в статическом случае теоретически разработан и математически обоснован новый спектральный метод определения параметров, при которых происходит "локальная" потеря устойчивости оболочечных конструкций.

3) В рамках рассматриваемой модели разработан вычислительный алгоритм, реализующий спектральный метод, как в статическом, так и в

' Товстик П Е Устойчивость тонких оболочек - М ■ Наука, 1995 - 320 с ' Коломоец А А, Болдырева Н А Влияние формы начальных несовершенств на статическую и динамическую устойчивость цилиндрических оболочек // Проблемы прочности элементов конструкций под действием нагрузок и рабочих сред' Межвуз науч сб. Саратов- СГТУ, 2003. С.85 - 90.

динамическом случаях с целью определения точных границ параметров эффективного применения МПВП.

4) Создан пакет программ, реализующих предложенные автором алгоритмы улучшения сходимости метода В.В.Петрова и определения границ параметров эффективного применения этого метода.

Достоверность полученных результатов обеспечена корректностью математических формулировок и решений задач исследования, сопоставлением ряда результатов с результатами, полученными иными численными методами.

Практическая значимость работы. Предложенная численная схема позволяет эффективно определить границы применения МПВП и с большей точностью рассчитывать напряженно-деформированное состояние конструкций, эксплуатирующихся в условиях воздействующих усилий, и определить параметры, при которых происходит глобальная потеря устойчивости оболочечных конструкций как в статическом так и в динамическом случае.

Результаты диссертации могут быть использованы в учебном процессе при чтении спецкурсов для студентов университетов, специализирующихся в области механики деформируемого твердого тела.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на девятой межвузовской конференции по математическому моделированию и краевым задачам (Самара, СамГТУ, 2001), на ежегодных научных конференциях механико-математического факультета СГУ (Саратов, 2002, 2003, 2004, 2005), на научном семинаре под руководством проф. Л.Ю.Косовича (2005).

Объем и структура работы: Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, пакета прикладных программ и списка литературы. Ее объем составляет 105 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается краткий исторический обзор исследований, непосредственно примыкающих к теме диссертации, что позволяет судить об актуальности темы, приводятся основные результаты, полученные автором, дается анализ полученных результатов с точки зрения их новизны по сравнению с известными.

В первой главе излагаются основные положения МПВП. Отмечено, что одним из основных недостатков этого метода является его медленная сходимость. Приводится его модификация, обладающая улучшенной сходимостью, суть которой на примере нелинейной модели Кармана заключается в следующем.

Пусть (И/„*_1, /VI) " приближенное решение, полученное модифицированным методом на п-1 шаге. Далее (А1Уп ,AFЯ) - решение линеаризованной в точке , ) системы уравнений. Тогда на п-ом шаге МПВП получаем приближенное решение с "недостатком"

К +АК-

Ищем теперь решение с "избытком", где Л> 1 - корень, следующего квадратного уравнения

Яф(<. + . »С + МГГ,, + ЛА(У„ )сЬф = 0,

а

где Ф(Р,\У^)=0 - первое уравнение системы Кармана.

Тогда приближенное решение Wtn, полученное модифированным методом на п-ом шаге, получается как полусумма решений "с избытком" и "с недостатком" Л

IV. = —-- = . + —2-а-.

2 2

Функцию /•"„* получаем в результате решения второго уравнения Кармана.

На примере модели Кармана показано, что при заданной точности приближения, описанный выше модифицированный метод дает значительную экономию во времени по сравнению с МПВП и его известными модификациями.

Замечание 1. Описанная выше модификация МПВП реализуется аналогичным образом и для уравнения Тимошенко и для других нелинейных уравнений теории оболочек в статическом случае.

Замечание 2. Автору, к сожалению, не удалось определить точную скорость сходимости модифицированного метода.

Во второй главе изучается задача определения границы эффективного применения МПВП, что связано с определением параметров, при которых происходит локальная потеря устойчивости. Как отмечалось выше, появление точек локальной потери устойчивости существенно влияет на точность применения МПВП и его модификаций в рамках одной модели.

В этой главе получен спектральный критерий локальной потери устойчивости оболочечных конструкций в статическом случае. Этот критерий базируется на операторном подходе при исследовании задачи

устойчивости, разработанном в работе10 и в работе11.

Существенным моментом при доказательстве спектрального критерия локальной потери устойчивости является результат, полученный в работе10 для определенного класса нелинейных моделей, который заключается в том, что вопросы однозначность решения нелинейной задачи сводятся к вопросам однозначности решения последовательности линейных операторных уравнений.

Доказательство полученного факта опиралось на доказательство сходимости МПВП, которое было приведено в той же работе10.

Этот факт объясняет в какой-то степени, во-первых, то что в данной работе рассматривается задача эффективного применения МПВП. Во-вторых, определяется класс нелинейных моделей, для которых доказан спектральный критерий. В работе рассматриваются нелинейные модели, удовлетворяющие условиям:

- нелинейность, присутствующая в уравнениях является геометрической нелинейностью;

- любая неизвестная функция, входящая в уравнение системы, однозначно выражается через функцию прогиба V/;

- область П, определяемая срединной поверхностью оболочки, является прямоугольной в плане областью;

- граничные условия отвечают либо жесткому, либо шарнирному закреплению краев оболочки.

Для нелинейной модели из указанного класса рассмотрим последовательность операторных уравнений

2 т , „ .д2м/

с нулевыми граничными условиями,

где = Т2Ах,у) = Щ^У±, Т„ЛХ,У) = Ц^У1,

ду ах дхду

К,^,-) " последовательность приближенных решений, полученных в результате применения МПВП и его модификаций. В этом случае в работе доказана

10 Кузнецов В Н Метод последовательного возмущения параметров в приложении к расчету динамической устойчивости тонкостенных оболочечных конструкций Дисс на соиск. уч степени доктора техн. наук. - Саратов, 2000

" Кузнецова С В Операторный подход в геометрически нелинейной задаче устойчивости изотропных оболочек под действием продольных нагрузок. Дисс на соис уч степени канд. тех наук. - Саратов, 1998

Теорема 2.4. Точка (х0,у0) тогда и только тогда является точкой локальной потери устойчивости, когда при некотором п0 спектр оператора А^(х0,у0), определяемым левой частью уравнений (1), содержит либо

нулевое, либо отрицательное значение.

Отметим, что в нашем случае оператор Ап в любой точке (х,у) является самосопряженным оператором. Поэтому существует ортогональная система собственных функций. Но нахождение такой системы - сложная вычислительная задача. Несмотря на это, в третьей главе диссертации получен вычислительный алгоритм, реализующий спектральный критерий, приведенный в теореме 2.4.

Отметим, так же что в работе12 был получен спектральный критерий локальной потери устойчивости в динамическом случае. Во второй главе диссертации, предложена вычислительная схема определения динамической потери устойчивости (в большом), основанная на этом критерии. Дело в том, что нагрузке, при которой происходит глобальная потеря устойчивости, предшествуют нагрузки, при которых происходит локальная потеря устойчивости, т.е. если при некоторых нагрузках появляются точки локальной потери устойчивости, то нужно ожидать, что при незначительном увеличении нагрузки произойдет глобальная потеря устойчивости. Это позволяет в динамическом случае отделять на графике обычные экстремальные точки от экстремальных точек, которые соответствуют глобальной потере устойчивости. Данный факт получил численную реализацию в третьей главе диссертации.

В третьей главе разработан численный алгоритм спектрального критерия локальной потери устойчивости оболочечных конструкций. Приведены примеры применения этого алгоритма для определения точек локальной потери устойчивости на примере геометрически нелинейной модели Кармана в статическом случае. Кроме того, на отдельном примере реализована вычислительная схема определения динамической потери устойчивости.

Остановимся более подробно на алгоритме и численной схеме реализации спектрального критерия локальной потери устойчивости.

Рассмотрим геометрически нелинейную модель Кармана, описывающую поведение цилиндрической панели под действием

12 Кузнецов В Н , Кузнецова Т А , Чумакова С В. Операторные методы в нелинейной механике // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам Межвуз сб науч тр. Саратов- Изд-во Сарат ун-та, 2003. Вып.1. С.70-80.

нормальной нагрузки

—Д2^ - - д^ = ^ п п

с граничными условиями, отвечающими шарнирному закреплению.

Рассмотрим разбиение области П на прямоугольные в плане

подобласти ^= у у • ® каждой подобласти выберем точку с координатами (х,

Пусть - последовательность приближенных решений системы

(2), полученных МПВП.

В каждой точке с координатами (х,,у^ рассмотрим

последовательность линейных операторов

л 1 \ д2 т / т / , от

Л„(и>) = Д»-Т^Му)--^ - тгу(х,у)— + 2Т3у(х,у)—- (3)

ах2 ^'"Зу2 '•'^"дхду с нулевыми граничными условиями,

ГШ. Г Г г гЛ т (г ,-у. т (Г г,дгрп(х>У)

где 11м(х,у)- —^-, 12 (х,у) =-—j-, i3n(x,y)--———,

ду дх охду

линейных операторов (3) является самосопряженными операторами,

действующими в пространстве функций, удовлетворяющих нулевым

условиям на границе области.

В этом пространстве система функций

, . 2л- . 2/г (4)

/„„ =sm—их sin—my a b

является ортогональной системой.

Известно, что для самосопряженного оператора А„, матрица этого

оператора в ортогональном базисе будет положительной матрицей, если

только оператор Ап является положительным оператором. Таким образом,

проверка потери локальной устойчивости в точке с координатами (д:,,у,)

сводится к проверке положительности матрицы, составленной из скалярных произведений

=(А„8к>8>)> n=l,2...

k=l,2... (5)

s=l,2... ,

где gk,gs - базисные элементы вида (4).

При каждом п проверка положительности матрицы вида (5), в свою очередь, сводится к вычислению угловых миноров М„^

(Л''^.^) (лУ8\>8к)\ мр = : : . (6)

Если при некоторых / и у один из определителей вида (6) будет меньше или равен нулю, то в данной точке произошла локальная потеря устойчивости.

При численной реализации этого алгоритма, как показывают просчитанные примеры, при каждом п достаточно брать / и у <48.

Описанный алгоритм позволяет определить появление точек локальной потери устойчивости. При дальнейшем увеличении величины нагрузки при использовании МПВП в рамках данной модели без учета появления малых вмятин, как уже отмечалось выше, могут возникать отклонения расчетных данных от реального поведения оболочки.

С целью получения более точной картины появления точек локальной потери устойчивости в зависимости от роста величины нагрузки для определения приближенного решения (1¥п, ^) использовался шагово-вариационный метод, т.е. на каждом шаге решалась нелинейная система уравнений методом Бубнова-Галеркина с учетом начальных прогибов, полученных на предыдущем шаге. Это, естественно, в значительной мере увеличило время счета, но позволило получить более точную динамику появления точек локальной потери устойчивости.

В этом направлении были просчитаны примеры определения точек локальной потери устойчивости на базе модели Кармана цилиндрических оболочек под действием равномерно распределенной поперечной нагрузки с разными кривизнами К . На рис.1, 2, 3 приведены графики, отражающие появление точек локальной потери устойчивости в зависимости от роста величины нагрузки я в случаях кривизн Ку=40,Ку=30, Ку = 25.

В заключение в третьей главе приведены примеры численной реализации спектрального критерия динамической потери устойчивости цилиндрических оболочек под действием линейно возрастающих во времени продольных нагрузок.

На рис.4 приведен график зависимости функции прогиба в центре оболочки от времени. Этот график был получен в результате применения шагово-вариационного метода решения системы Кармана.

На рис.5 приведены динамика появления точек локальной потери устойчивости в зависимости от времени.

/

/

/

/

у '

05 15 25

w

q= 0 081

q = о 086

0 091

X q = 0 095

q = 0 099

У x q = 0 102

X q= о 104

q = o ios

1= 0106

q= 0107 У

Рис.3

X X X X X

1=0.019 У t=02 У t=021 У 1=0 22 У t=0 23 У

X X X X X _

t=0 24 У t=0 25.0 26 У t=0 27 У t=0 28 У t=0 29 0 32 У

X X X X X

1=0 33 У 1-0 34 У t=0 35 У 1=0 36 У t=0.37 У

Xi _ XXX _

t=0 38 У t=0 39 ..0.76 У 1=0 77 У (=0 78 У 1=0 79

X X X X ___X _

У 1=0 80 0 81 У 1=0 82,0 83 У 1=0 84 У t-0 85 У t=0.86 У

■X X X к _

t=0 87 0 89 V t=0 9 У t=0 91 У 1=0 92.0 93 У t=0 94 У

X XXX

1=0 95 У 1=0 96 У 1=0.97 > 1=0 98 У 1=0 99 У

Спектральный критерий динамической потери устойчивости проявляется в том, что при подходе к моментам времени, при которых происходит потеря устойчивости, количество точек локальной потери устойчивости резко возрастает, при переходе через такие моменты времени резко падает.

Такая динамика появления точек локальной потери устойчивости характерна для глобальной динамической потери устойчивости любой оболочки.

Выводы по диссертации.

1. Получена простая в реализации вычислительная схема, позволяющая существенно улучшить сходимость метода последовательных возмущений параметров - как в статическом, так и в динамическом случае. В основе данной схемы лежит принцип минимальности потенциальной энергии. В сравнение с известными модификациями МПВП для получения решений с одинаковой точностью затраты по времени уменьшились в 5 раз.

2. Для достаточно широкого класса математических моделей в статическом случае разработан спектральный критерий определения параметров, при которых происходит "локальная" потеря устойчивости оболочечных конструкций.

3. В рамках рассматриваемой модели разработан вычислительный алгоритм, реализующий критерий локальной потери устойчивости как в статическом, так и в динамическом случаях.

4. Разработан пакет программ, реализующих предложенные автором алгоритмы улучшения сходимости метода Петрова и определения границ параметров для эффективного применения этого метода.

Основные положения диссертационной работы отражены в следующих публикациях:

1. Чумакова C.B., Шабанов Л.Е. К вопросу существования и единственности решения модели Тимошенко// Труды IX межвузовской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи». - Самара: СамГТУ, 2002. С.96 - 97.

2. Чумакова C.B., Пшенов Д.А., Шабанов Л.Е. К вопросу улучшения сходимости метода В.В.Петрова - метода последовательного возмущения параметров // Проблемы прочности элементов конструкций под действием нагрузок и рабочих сред: Межвуз. науч. сб. Саратов: СГТУ, 2002. С.61 - 64.

3. Кузнецов В.Н., Кузнецова Т.А., Шабанов JI.E. Операторный подход в задаче статической потери устойчивости оболочечных конструкций // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам: Межвуз. сб. науч. тр. Саратов: Изд - во Сарат. ун-та, 2003. Вып.1. С.59 - 69.

4. Кузнецова Т.А., Пшенов Д.А, Шабанов Л.Е., Чумакова C.B. Спектральный критерий потери статической устойчивости прямоугольных в плане оболочечных конструкций // Проблемы прочности элементов конструкций под действием нагрузок и рабочих сред: Межвуз. науч. сб. Саратов: СГТУ, 2003. С. 143 - 145.

5. Чумакова C.B., Шабанов JI.E. Спектральный критерий динамической потери устойчивости оболочечных конструкций // Проблемы прочности элементов конструкций под действием нагрузок и рабочих сред: Межвуз. науч. сб. Саратов: СГТУ, 2005 С.12-15.

Шабанов Леонид Евгеньевич

ВОПРОСЫ ЧИСЛЕННОЙ РЕАЛИЗАЦИИ МЕТОДА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ ПАРАМЕТРОВ ПРИ РАСЧЕТЕ ОБОЛОЧЕЧНЫХ КОНСТРУКЦИЙ

01 02 04 - механика деформируемого твердого тела

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 12 11 05 Формат 60x84 1/16 Объем 1,25 п л Тираж 100 экз Заказ 202,

Типография Издательства Саратовского университета 410012, Саратов, Астраханская, 83

1

''>2 84 4

РПБ Русский фонд

2006-4 26995

Введение

Глава I. Улучшение сходимости метода последовательных 11 возмущений параметров

§1.1. Метод последовательных возмущений параметров и вопросы 12 (»• сходимости этого метода в области устойчивости параметров

§1.2. Модифицированный метод последовательных возмущений параметров и алгоритм численной реализации этого метода. Примеры расчета оболочечных конструкций ф

Глава II. Определение границ эффективного применения метода последовательных возмущений параметров

§2.1. Локальная и глобальная потери устойчивости, влияние 42 локальной потери устойчивости на определение критических значений параметров

§2.2. Спектральный критерий локальной потери устойчивости 45 прямоугольной в плане оболочечных конструкций в статическом случае

§2.2.1. Операторный подход в задаче потери устойчивости 45 оболочечных конструкций

§2.2.2. Спектральный критерий локальной потери устойчивости в 51 статическом случае

Актуальность темы. Известный метод В.В.Петрова - метод последовательных возмущений параметров дает эффективную численную схему Эйлера применительно к нелинейным уравнениям механики. Этот метод нашел широкое применение при численном расчете напряженно-деформированного состояния, прочности, устойчивости и долговечности конструкций, эксплуатирующихся в условиях не только воздействующих нагрузок, но и воздействия агрессивных сред. Основные положения этого метода были заложены ещё в начале 50 годов [30]. Позднее [28] метод окончательно приобрел ту форму, в которой он известен в настоящее время, как метод последовательных нагружений. С начала 70-х годов этот метод получил дальнейшее развитие в работах В.В.Петрова [29] и его учеников [33], [16], [32], [31] и стал называться методом последовательных возмущений параметров (МПВП). Нужно отметить, что в отличие от известного метода В.И.Шалашилина - метода продолжения решения по параметру [6], [38], в методе В.В.Петрова рассматривается линеаризация по тем параметрам, малое изменение которых ведет к малому изменению прогиба.

Этот метод обладает рядом преимуществ перед другими шаговыми методами при расчете оболочечных конструкций. Но у него есть и свои недостатки. Во-первых, как показано в работе В.Н.Кузнецова [17] метод последовательных возмущений параметров имеет первый порядок сходимости. Таким образом, с увеличением точности вычисления значительно возрастает время счета. Во-вторых, метод последовательных возмущений параметров работает в области устойчивости параметров. Без каких-либо изменений метод перестает работать в закритической области. Наконец, в окрестности критических нагрузок возникает локальная потеря устойчивости, т.е. потеря устойчивости в достаточно малых окрестностях отдельных точек, что влияет на точность результатов этого метода. Отметим, что это характерно для любого метода и связано с большой погрешностью применения первоначальной модели на этом этапе. Поэтому при расчете оболочечных конструкций методом последовательных возмущений параметров, прежде всего, встают следующие 2 задачи. Первая из них связана с улучшением сходимости этого метода. Вторая связана с определением таких параметров, при которых наблюдается локальная потеря устойчивости.

Исследованию и решению этих вопросов и посвящена данная диссертационная работа.

Нужно отметить, что вопросы модификации МПВП с целью улучшения его сходимости предпринимались многими авторами. Так в своих работах [11], [12], [13] В.В.Карпов получил модификацию этого метода в форме, отражающей численную реализацию схемы Рунге-Кута, которая нашла свое применение в более поздних работах В.В.Карпова [7], [9], [10]. Такая модификация позволяет улучшить сходимость МПВП, но имеет сравнительно сложную реализацию. Наиболее эффективной в смысле скорости сходимости модификацией МПВП можно считать шагово - вариационный метод В.И.Шалашилина [20]. Но численная реализация метода В.И.Шалашилина требует больших временных затрат.

В 2001 году В.В.Петров предложил очень простую модификацию этого метода, дающую хорошую сходимость, и поставил задачу обоснования и определения сходимости предложенной им модификации МПВП.

В связи с решением этой задачи автор пришел к новой модификации МПВП, в основе которой лежит принцип минимальности потенциальной энергии [37]. Отметим, что эта модификация МПВП вбирает в себя как идею усреднения В.В.Петрова, так и подход В.И.Шалашилина относительно оптимизации на каждом шаге функционала энергии, но на более простом уровне. Вопросы численной реализации такой модификации МПВП исследуются в данной работе.

Нужно сказать, что и задача определения параметров, при которых происходит локальная потеря устойчивости, также является не новой. Ею занимались многие авторы. Наиболее полную картину по этому вопросу можно найти в монографии П.Е.Товстика [35]. Следует отметить, что исследования носили чисто теоретический характер. Не было численной схемы, которая позволяла бы эффективно определять точки, в окрестности которых происходит локальная потеря устойчивости. Впервые такая численная схема, основанная на спектральном критерии устойчивости, полученная автором в работах [19], [22], приводится в данной работе.

Остановимся более подробно на задаче определения параметров, при которых происходит локальная потеря устойчивости в отдельных точках оболочечных конструкций. Отдельные точки могут сливаться в отдельные линии. Малые изменения функции прогиба W(x,y) в окрестностях отдельных точек не удается определить обычными численными методами. Такие малые изменения должны отражаться в краевых условиях модельной задачи. Известно [14], [1], что, если не учитывать эти малые изменения в модельной задаче, то это приводит к значительной ошибке (до 10%) расчетных данных от данных, отражающих реальное поведение оболочечных конструкций. Поэтому возникает необходимость в сравнительно простой вычислительной схеме, позволяющей определять точки локальной потери устойчивости.

Отметим, что решение этой задачи позволяет не только определить границы эффективного применения МПВП, но позволяет определить и моменты времени, при которых происходит динамическая потеря устойчивости «в большом» оболочечных конструкций.

Отметим, что определение момента времени, при котором происходит «прощёлкивание» оболочки, является не простой задачей, и её решение численными методами требует применения сложной вычислительной схемы, что связано с большими временными затратами. Дело в том, что потерю динамической устойчивости, как правило, стараются определить исходя из траектории отдельных точек оболочечных конструкций. При потере устойчивости на самом деле происходит разрыв траектории. Но применение численных методов сглаживает этот процесс. Поэтому по траектории точки нельзя сказать: отражает ли данный процесс потерю устойчивости или это обычный колебательный процесс. Достаточно сказать, что в настоящее время существует большое количество различных критериев динамической потери устойчивости [2], [4], [5], но реализация каждого из этих критериев требует большие затраты времени.

Определение моментов времени, при которых происходит локальная потеря устойчивости, позволяет определить и время, при котором происходит потеря устойчивости «в большом». Действительно, глобальной потере устойчивости предшествует локальная потеря устойчивости в отдельных точках. Наличие точек локальной потери устойчивости позволяет говорить о том, что в момент времени, который соответствует экстремальной точке на графике, и вблизи которой наблюдаются точки локальной потери устойчивости, происходит динамическая потеря устойчивости.

Всё сказанное выше указывает на актуальность данной тематики.

Цель настоящей работы заключается в том, чтобы:

1) Получить простую в реализации вычислительную схему, позволяющую существенно улучшить сходимость метода последовательных возмущений параметров - как в статическом, так и в динамическом случае.

2) Для достаточно широкого класса математических моделей в статическом случае разработать метод определения параметров, при которых происходит "локальная" потеря устойчивости оболочечных конструкций.

3) Разработать вычислительный алгоритм, как в статическом, так и в динамическом случаях, для нахождения точных границ параметров эффективного применения МПВП в рамках рассматриваемой модели.

4) Разработать пакет программ, реализующих предложенные автором алгоритмы улучшения сходимости МПВП и определения границ параметров эффективного применения этого метода.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1) Получена простая в реализации вычислительная схема, позволяющую существенно улучшить (на порядок во временном исчислении) сходимость метода последовательных возмущений параметров - как в статическом, так и в динамическом случае.

2) Для достаточно широкого класса математических моделей в статическом случае теоретически разработан и математически обоснован новый спектральный метод определения параметров, при которых происходит "локальная" потеря устойчивости оболочечных конструкций.

3) Разработан вычислительный алгоритм, реализующий спектральный метод, как в статическом, так и в динамическом случаях, для того, чтобы найти точные границы параметров эффективного применения МПВП в рамках рассматриваемой модели.

4) Создан пакет программ, реализующих предложенные автором алгоритмы улучшения сходимости МПВП и определения границ параметров эффективного применения этого метода.

Объем и структура работы: Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Ее объем составляет 102 страницы.

Выводы по третьей главе диссертации В данной главе разработан алгоритм численной реализации спектрального критерия локальной потери устойчивости. Приведены примеры использования данного алгоритма при решении дифференциальных уравнений модели Кармана для цилиндрических панелей. В качестве примера было показано появление и развитие точек локальной потери устойчивости для панелей разной кривизны. Задача совершенствования моделей в процессе нагружения с учетом локальной потери устойчивости выходит за рамки данной работы.

Заключение. Выводы по диссертации

1. Предложена простая в реализации вычислительная схема, позволяющая существенно улучшить сходимость метода последовательных возмущений параметров - как в статическом, так и в динамическом случае. В основе данной схемы лежит принцип минимальности потенциальной энергии. В сравнении с известными модификациями МПВП для получения решений с одинаковой точностью затраты по времени уменьшились в 5 раз.

2. Для достаточно широкого класса математических моделей в статическом случае разработан спектральный метод определения параметров, при которых происходит "локальная" потеря устойчивости оболочечных конструкций.

3. В рамках рассматриваемой модели разработан вычислительный алгоритм в статическом и в динамическом случаях для получения точной границы параметров эффективного применения МПВП.

4. Разработан пакет программ, реализующих предложенные автором алгоритмы улучшения сходимости МПВП и определения границ параметров для эффективного применения этого метода.

1. Л 1. Болдырева Н.А. Устойчивость несовершенных цилиндрическихоболочек при неравномерном нагружении. Дисс. на соиск. уч. степени канд. тех. наук. Саратов, 2002.

2. Болотин В.В. Динамическая устойчивость упругих систем. М.:1. Гостехиздат, 1956. 381 с.

3. Власов В.З. Основные дифференциальные уравнения общей теории упругих оболочек // Прикладная математика и механика. 1944. №2. С.44-59.

4. Щ 4. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука, 1967.- 982 с.

5. Григолюк Э.И., Кабанов В.В. Устойчивость оболочек. М.: Наука, 1978. -359 с.

6. Григолюк Э.И., Шалашилин В.И. Проблемы нелинейного деформирования: Метод продолжения решения по параметру в нелинейных задачах механики твердого деформированного тела. М.: Наука, 1988.-232 с.

7. Игнатьев О.В., Карпов В.В., Филатов В.Н. Вариационно -параметрический метод в нелинейной теории оболочек ступенчато -переменной толщины. Волгоград: ВолгГАСА, 2001. - 210 с.

8. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука,1977.-741 с.

9. Карпов В.В. Геометрически нелинейные задачи для пластин и оболочек и методы их решения. М.: Изд-во АСВ. 1999. - 154 с.

10. Карпов В.В. Метод последовательного наращивания ребер и его применения к расчету оболочек ступенчато переменной толщины // Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте. - М.:

11. Транспорт, 1990. С.162- 167.щ

12. Карпов В.В. Модификации метода последовательного нагружения и их приложения к расчету гибких пластин и оболочек под действием нагрузок и температуры. Дисс. на соиск. уч. степени канд.тех.наук. -Саратов. 1973.

13. Карпов В.В. Применение процедуры Рунге Кутта к функциональным уравнениям нелинейной теории пластин и оболочек // Расчет пространственных систем в строительной механике. - Саратов: Изд-во Саратов, ун-та, 1972. С.З - 7.

14. Карпов В.В., Петров В.В. Уточнение решений при использовании шаговых методов в теории гибких пластин и оболочек // Изд-во АН СССР Сер. МТТ. 1975. №5. С.189 191.

15. Красносельский М.А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений. М.: Гостехиздат, 1956. - 320 с.

16. Кузнецов В.В., Петров В.В. Использование метода возмущенной области интегрирования при решении нелинейных краевых задач теории гибких пластин и оболочек.// Изв. АН СССР. МТТ. 1985. №2. С.176 178.

17. Кузнецов В.Н. Метод последовательного возмущения параметров в приложении к расчету динамической устойчивости тонкостенных оболочечных конструкций. Дисс. на соиск. уч. степени д.т.н. Саратов, 2000.

18. Кузнецов В.Н., Кузнецова Т.А., Чумакова С.В. Операторные методы в нелинейной механике // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам: межвуз. сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2003. Вып.1. С.70 80.

19. Кузнецов В.Н., Кузнецова Т.А., Шабанов J1.E. Операторный подход в задаче статической потери устойчивости оболочечных конструкций //

20. Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу исмежным вопросам: межвуз. сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2003. Вып.1. С.59 69.

21. Кузнецов Е.Б., Шалашилин В.И. Задача Коши для механических систем » с конечным числом степеней свободы как задача продолжения по I наилучшему параметру // ПММ, 1994, т.58, вып. 6, С. 14 21.

22. Кузнецова С.В. Операторный подход в геометрически нелинейной задаче устойчивости изотропных оболочек под действием продольных

23. Щ нагрузок. Диссер. на соискание уч. степени к.т.н. Саратов, 1998.

24. Лионе Ж.Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач -М.: Мир, 1972.-587 с.

25. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. -М.: Наука, 1965.-520 с.

26. Михлин Г.С. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1966.-510 с.

27. Муштари Х.М., Галимов К.З. Нелинейная теория упругих оболочек. -^ Казань: Таткнигиздат, 1957. 471 с.

28. Петров В.В. Метод последовательного нагружений в нелинейной теории пластин и оболочек. Диссер. на соискание уч. степени д.т.н. Москва,1969.

29. Петров В.В. Метод последовательных нагружений в нелинейной теории пластин и оболочек. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1975. - 118 с.

30. Петров В.В. Некоторые вопросы расчета пологих оболочек при л конечных прогибах. Диссер. на соискание уч. степени канд.тех.наук. -t Москва, 1959.

31. Петров В.В., Овчиников И.Г., Иноземцев В.К. Деформирование элементов конструкций из нелинейного равномодульного неоднородного материала. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1988.-160 с.

32. Петров В.В., Овчиников И.Г., Шихов Ю.М. Расчет элементов конструкций, взаимодействующих с агрессивными средами. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1987. - 173 с.

33. Петров В.В., Овчиников И.Г., Ярославский В.И. Расчет пластинок и оболочек из нелинейно-упругого материала. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1976. - 133 с.

34. Соболев C.JI. Приближение функционального анализа к математической физике. Л.: Наука, 1950. - 320 с.

35. Товстик П.Е. Устойчивость тонких оболочек. М.: Наука, 1995. - 320 с.1 36. Чумакова С.В., Шабанов Л.Е. К вопросу существования и

36. ЦЁ> единственности решения модели Тимошенко// Труды девятоймежвузовской конференции по математическому моделированию и краевым задачам. Самара: Изд-во СамГТУ, 2002. С.96 - 97.

37. Шалашилин В.И. Метод продолжения решения по параметру и его применение к задаче больших прогибов непологой круговой арки // Изд-во АН СССР. МТТ. 1979. №4. С.178 184.

38. K.Marguerre, Die mittragende Breite des gedruckten Plattenstreifens, Luftfahrforschung 14, №3 (1937) (перевод в сб. переводов под ред. А.А.Уманского, Оборонгиз, Москва. 1938).