Динамика структурно-неоднородных оболочечных конструкций тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Глава I. Обзор проблемы и обоснование цели исследования.5.

§1.1. Состояние проблемы исследования динамики структурно-неоднородных оболочечных конструкций.

§ 1.2* Математические модели и выбор метода решения

§ 1.3. Обоснование и постановка технической задачи

Глава П. Постановка задачи о колебаниях вязкоупругих оболочечных конструкций

§ 2.1. Геометрическое соотношение для оболочек вращения и колец.

§ Физические соотношения для оболочек вращения и колец

§ 2.3. Условия неразрывности перемещений оболочечных и кольцевых элементов.

§ сЛ, Уравнения равновесия тонкостенных оболочечных конструкций. о - 45 9 2.5. Колебания оболочечных конструкций.

§ ^.6. Сведение к обыкновенным дифференциальным уравнениям.

§ 2*7. Разрешающие уравнения задач динамики вязкоупругих оболочечных конструкции.

Глава Ш. Алгоритмы решения задач динамики вязко- стр, упругих оболочечных конструкций и их реализация на ЕС ЭВМ.5?

§ 3.1. Общие положения.

§ 3Краткое описание назначения процедур математического обеспечения.

§ 3.3. Процедура определения напряженнодеформированного состояния оболочечных конструкций из вязкоупругого материала при гармоническом возбуждении.,

§ 3.4. Процедура определения частот и шорм колебаний оболрчечных конструкций из вязкоупругого материала.,

§ 3.5. Управляющая процедура определения напряженно-деформированного состояния. . . .,

§ 5.6. Управляющая процедура определения частот и форм собственных колебаний.

Глава 1У. Инженерная реализация задач динамики структурно-неоднородных оболочечных конструкций.

§ 4.1. Исследование практической сходимости метода расчета структурно-неоднородных оболочечных конструкций

§ 4.2. Рекомендации по инженерной реализации задач динамики структурно-неоднородных оболочечных конструкций. . ^^ s 4.3. Синергизм диссипативных свойств структурно-неоднородных оболочечных конструкций в задачах на собственные симметричные и неосесимметричные колеоания.

§ 4.4. Установившиеся осесимыетричные и неосесимметричные колебания структурно-неоднородных оболочечных конструкций специального назначения.

§ 4.5. Оптимизация диссипативных свойств структурно-неоднородных оболочечных конструкций и рекомендации по их рациональному проектированию

на, в [84] исследовалось влияние на параметры колебание! конической оболочки граничных условий, толщины оболочки и величины угла при вершине конуса срединной поверхности, подобные вопросы рассмотрены в [ 85 ] .Вместе с тем можно констатировать отсутствие в литературе единого подхода к направленному изучению диссипативных характернок- t — тик сложных структурно-неоднородных механических систем, включающих упругие и вязкоупругие связи с существенно различной реологией, В работах, как правило, не проведены сравнения и не выявлены приципиальные различия между однородными и структурно-неоднородными конструкциями.В связи с вышеизложенным представляется актуальным исследовать динамику сложных структурно-неоднородных оболочечных конструкций, - 1 6 рассмотреть пути их рационального структурного проектирования с точки зрения обеспечения их необходимых демпфирующих свойств, разработать комплексы программ, позволяющие проводить численный эксперимент и оптимизацию необходимых параметров на стадии первоначального проектирования.Как уже указывалось, целью настоящей работы является также выявление и обобщение эффекта синергизма вязкоупругих свойств для сложных структурно-неоднородных оболочечных конструкций и выработка рекомендаций к их рациональному проектированию.В соответствии с "Программой стандартизации по надежности, прочности и износостойкости на I98I -^ 1985г.г. и на период до 1990г." Госстандарта СССР должна быть разработана серия "Методических рекомендаций" по решению задач статики и динамики оболочечных конструкций. В рамках данной Программы автором разработаны комплексы программ, реализующие на ЭВМ задачи об определении напряженно-деформиррванного состояния осесимметричных и неосесимметричных вязкоупругих оболочечных конструкций при гармоническом возбуждении и об определении частот и форм собственных колебаний этих конструкций.Данные комплексы программ внедрены в промышленное производство (см. приложение), основные результаты исследований опубликованы в следующих работах [864- 901 . § 1.2. Математические модели и выбор метода решения.Научная литература, посвященная решению различных задач динамической вязкоупругости, весьма обширна.В настоящей работе к решению задач расчета и синтеза оптимальных по диссипативным свойствам (определяемым функциям наслед- 17 ственности), структурно-неоднородных оболочечных конструкций привлекались аппарат математической теории вязкоупругости, разработанный А.А. Ильюшиным, Б,Е. Пободрей [911 , эффективные методы решения динамических задач, изложенные в работах Н.Н. Боголюбова, Ю.А. Митропольского [921 , А,Н. Филатова [931,современные вычислительные методы, предложенные В.И. Мяченковым и его учениками [941 и распространенные автором на решение комплексных задач.Исторически же проблема математического описания реологических свойств материала возникла еще в конце прошлого века. Первые варианты решения были предложены Максвеллом, Фойгтом и Кельвиным, причем реальная структура тела заменялась набором соединенных между собой упругих и вязких (линейных) элементов. Указанные феноменологические модели качественно отражают такие свойства механического поведения материалов, как ползучесть тел при постоянных нагрузках, релаксация напряжений при постоянных деформациях, затухание колебаний и конечность резонансных амплитуд при вынужденных колебаниях. Математическая модель свойств представляется дифференциальными соотношениями между напряжениями и деформациями.Обобщением указанных моделей являются дифференциальные соотношения Алфрея, имеющие произвольно высокий порядок производных.Отметим, что дифференциальные соотношения вязкоупругости зачастую описывают реальное поведение материалов лишь качественно, они не согласуются с экспериментальными фактами, наблюдаемыми при ступенчатых нагружениях, не всегда отражают зависимость диссипации энергии от частоты при циклических процессах и т.п.Сильная зависимость рассеяния энергии в материале от амплитуды напряжений и слабая зависимость от частоты колебаний были показаны Гюи [95] и его школой, Иокибе и Сакаи [961 , Хонда и Конно [971 для крутильных и изгибных колебаний, а также в широких - 18 диапазонах подтверждены Баккером и Феплем, Беневитцом [98] , Журавлевым В.А. [991 и др. авторами. Эти факты положены в основу современных представлений о демпфирований колебаний.Особенно существенно рассеяние энергии зависит от амплитуд напряжений, близких к пределу усталости, т.е. в практически важных для механики случаях. Об этом свидетельствуют результаты Писаренко Г.С. lIOOl , [1011 ,исследования Писаревского М.М. и Соколинской И.Г. [102] .Если функция R имеет вид экспоненты или суммы экспонент, то соотношения (I.I) приводятся к дифференциальным соотношениям, порядок которых равен числу экспонент в указанной сумме. Наиболее адекватно описывают поведение вязкоупругих материалов слабо сингулярные ядра наследственности.Задача о колебаниях вязкоупругих систем сводится к системе интегридйфференциальных уравнений (дифференциальных по координатам и интегро-дифференциальных по времени). Система уравнений содержит частные производные в случае систем с распределенными параметрами и обыкновенные - в случае систем с конечным числом степеней свободы.Динамические задачи с бесконечным числом степеней свободы с помощью какого-либо приближенного метода (Бубнова-Галеркина, Ритца, конечных элементов) могут быть сведены к системе конечного числа дифференциальных или интегродифференциальных уравнений по времени. С точки зрения механики, это означает замену системы с бесконечным числом степеней свободы системой с сосредоточенными параметрами или, что тоже самое, наложение на исходную систему бесконечного множества дополнительных связей. Таким путем решено подавляющее большинство задач нелинейной и линейной теории вязкоупругости.Основная трудность, возникающая на этом пути, состоит в выборе базисных координатных функций, по которым разлагается искомое решение. Эти функции достаточно просты в случае тел простой формы (балки, пластинки, цилиндрической оболочки, полого - ud. цилиндра бесконечной длины). Именно для таких объектов получено подавляющее большинство известных нам решений динамических задач вязкоупругости. В случав тела более или менее сложной формы выбор системы базисных координатных функций проекционного метода, сводящего исходную систему к системе с конечным числом степеней свободы, представляет собой трудную проблему.Один из путей решения этой проблемы предложен в работах [105], [106] , где в постановке динамической задачи привлекаются не интегродифференциальные уравнения вязкоупругости в частных производных, а вариационный принцип возможных перемещений, в которой учитываются силы инерции и в качестве базисных функций принимаются собственные формы колебаний упругого тела.Для отыскания периодических решений нелинейных систем интегродифференциальных уравнений разработан, вариант метода последовательных приближений, допускающий получение решения в высоких приближениях, даны оценки радиуса сходимости метода и погрешности приближения с фиксированным номером. Указанным методом в комбинации с методом разложения по собственным формам колебаний упругой задачи исследованы нелинейные установившиеся колебания осесимметричной вязкоупругой оболочки с образующей произвольной формы короткого полого j?ii3Koynpyroro цилиндра в жесткой обойме, массивного жесткого диска, установленного на бесмассовом цилиндрическом вязкоупругом амортизаторе. На основании этих исследований в [107] сделан вывод о том, что решения линейной и нелинейной задач мало отличаются друг от друга в случае существенных диссипативных свойств материала, и потому решение нелинейной задачи в этом случае не оправдано практической необходимостью.При любом подходе решение сложной динамической задачи вязкоупругости связано с необходимостью решения задачи теории - ^3 упругости - однородной задачи на собственные значения ( в случае разложения решения по формам колебаний упругой системы), неоднородной комплексной задачи ( в случае метода разделения переменных и т.д.) Необходимо отметить, что в решении указанных упругих задач сосредоточена большая часть трудностей вычислительного характера, связанных с исходной вязкоупругой задачей, Как уже указывалось в работе для исследования динамики структурно-неоднородных оболочечных конструкций был принят метод ортогональной прогонки, обладающий существенной простотой, компактностью и гибкостью, дающий возможность оперативной перестройки программ при переходе к решению новых вязкоупругих задач, возникающих в процессе исследований и позволивший построить в данной работе ряд эффективных обобщений на решение комплексных краевых задач. Поиск комплексных корней (собственных частот и коэффициентов демпфирования) осуществляется с помощью метода Мюллера без раскрытия определителя системы. § 1.3. Обоснование и постановка технической задачи.Оболочечную конструкцию, для которой реологические свойства деформируемых элементов идентичны (ядра наследственности элементов одинаковы), будем называть однородной. Физически это механическая система, все элементы которой изготовлены из одного вязкоупругого материала, при этом они могут иметь различные размеры, что приводит к различным значениям мгновенных жесткостей. Механическую конструкцию с различными реологическими характеристиками вязкоупругих элементов будем называть структурно-неоднородной. Функции наследственности элементов структурно-неоднородной конструкции различны, т.е. имеют хотя бы два различных ядра. С механической точки зрения неоднородная или однородная системы - это колебательные диссипатиБные системы, число степеней свободы которых конечно, если все деформируемые элементы безмассовые, и допускают счетную дискретизацию, если среди деформируемых элементов есть хотя-бы один с распределенной массой.К структурно-неоднородной оболочечной конструкции приложены внешние периодические по времени воздействия в виде сосредоточенных и распределенных массовых и поверхностных сил, либо поступательных и вращательных перемещений абсолютно жестких тел. В частном случае, когда внешние механические воздействия отсутствуют, рассматриваются свободные затухающие колебания системы, при наличии периодических воздействий установившиеся вынужденные колебания.Основной научной и прикладной проблемой работы являются разработка инженерных методов расчета и исследования диссипатив- as ных (демпфирующих) свойств сложных структурно-неоднородных вязкоупругих оболочечных конструкций, а также разработка методов их рационального построения. Принципиальным в работе является решение научно-технической проблемы оптимизации конструирования демпфирующих свойств такого рода машиностроительных конструкций путем введения необходимой неоднородности системы, например, подбором ее геометрических параметров и реологии, упругих связей и т.п.При свободных колебаниях проявления диссипации сводятся к затуханию колебаний; скорость затухания количественно оценивает диссипативные свойства системы (они тем выше, чем выше скорость затухания).При установившихся вынужденных колебаниях системы ее диссипативные свойства проявляются в резонансных режимах и приводят к конечным значениям резонансных амплитуд. Для вынужденных колебаний резонансные амплитуды являются количественными характеристиками диссипативных свойств системы, интенсивность которых тем выше, чем ниже резонансные амплитуды вынужденных колебаний.По аналогии с [ 33, 3^] в работе для количественной оценки диссипативных свойств структурно-неоднородной оболочечной конструкции в целом предлагаются две величины: минимальная скорость затухания колебаний и максимальная резонансная амплитуда (подразумевается экстремумы по упомянутым выше спектрам). При этом вводятся понятия определяющего коэффициента демпфирования системы и определяющей резонансной амплитуды колебаний.Исследование зависимости уровня диссипативных свойств структурно-неоднородных оболочечных конструкций от их параметров и создание инженерных методик расчета последних составляют основное содержание работы. - 26 :; Причем в работе проводятся обобщения научных результатов для расчета существенно неоднородных вязкоупругих механических конструкций с различными функциями наследственности.Обычно считается очевидным, что диссипативные свойства системы определяются прежде всего демпфирующими характеристиками ее элементов. Это утверждение, справедливое для однородных систем, оказывается неприменимым к системам структурно-неоднородным.Приведенные в работах [35, 1061 исследования показывают, что определяющие демпфирующие характеристики структурно-неоднородной системы в целом определяются не только вязкоупругими свойствами элементов системы, но и взаимодействием колебаний различных собственных форм, которое в существенной степени определяется структурой , конструкцией, геометрией (размерами, наличием упругих связей, взаимным расположением элементов и т.п.) системы в целом.Исследования для сравнительно простых структурно-неоднородных механических конструкций [ 108, 109] показывают, что в неоднородных системах роль реологии сводится как к демпфированию колебаний, так и взаимно усиливающему (синергическому) взаимодействию колебаний различных мод, что существенно повышает диссипативные свойства системы в целом. Установить принципиальную возможность существенной интенсификации диссипативных процессов и снижения резонансных амплитуд главных наиболее опасных форм колебаний за счет оптимизации эффекта взаимодействия различных форм движения элементов конструкций - есть основная цель проводимых ниже исследований. Чрезвычайно актуальна эта техническая проблема в решении задач защиты изделий и аппаратов от механических воздействий, строительных и машиностроительных конструкций, сейсмостойкости зданий и сооружений, в частности сооружений метро, подземных коммуникаций в сейсмически опасных районах нашей страны, При этом можно констатировать отсутствие в литературе единого подхода к систематическому изучению диссипативных характеристик сложных структурно-неоднородных оболочечных конструкций, обладающих наследственными свойствами. Автору неизвестны постановки и решения задач о комплексных собственных частотах для такого рода механических систем. Теоретическому обобщению и разработке алгоритмов решения на Э Ш данной научно-технической задачи и посвящена настоящая работа. - 28

Основные выводы и результаты, полученные в диссертационной работе, состоят в следующем:

1. В соответствии с "Программой стандартизации по надежности, прочности и износостойкости на 1981-1985г.г. и на период до 1990г. " Госстандарта СССР разработаны и внедрены методика и программный комплекс для решения на ЭШ задач динамики структурно-неоднородных оболочечных конструкций, даны оценки практической сходимости метода, скорости сходимости и устойчивости полученных решений. Предлагаемая методика, созданная на базе математической теории вязкоупругости, современных вычислительных и асимптотических методов, сводится к эффективно разрешимой математической задаче о комплексных собственных значениях, позволяющей проводить в статике и динамике обширный параметрический анализ и исследование определяющих диссипативных и амплитудных характеристик, частот и форм колебаний, напряженно-деформированного состояния структурно-неоднородных оболочечных конструкций с произвольным числом оболочечных элементов, узлов, шпангоутов и других видов упругих и вязкоупругих связей, обладающих наследственными свойствами.

2. В результате численного эксперимента подтвержден, выявленный ранее для простейших механических систем, эффект взаимодействия колебаний различных мод и форм движений сплошных тел и установлена практически при одних и тех же показателях материалоемкости и прочности принципиальная возможность существенной интенсификации диссипативных процессов в многосвязных структурно-неоднородных оболочечных конструкциях и тем самым снижения амплитуд резонансных форм колебаний за счет сближения соответствующих собственных частот конструкции в целом синергического эффекта вязкоупругих свойств;.

3. Разработаны рекомендации и инженерная методика численного многопараметрического эксперимента и расчета характеристик определяющих коэффициентов демпфирования и главных резонансных амплитуд колебаний, допускающих оптимизацию и имеющих характер немонотонных функций внутренних параметров системы - физических и геометрических. Дрлученные рекомендации по оптимизации позволяют без проведения технически сложных и дорогостоящих экспериментальных исследований на натуре, на стадии эскизного проектирования сложных структурно-неоднородных оболочечных конструкций получать необходимые диссипативные характеристики последних, инженерная реализация которых позволяет обеспечить наиболее рациональное демпфирование резонансных колебаний определенной частоты или спектра частот, обусловленных техническим заданием или условиями эксплуатации изделия в целом,

4, В результате численного эксперимента с помощью программного комплекса и в соответствии с техническим заданием получены рекомендации и проведена оптимизация диссипативных характеристик и материалоемкости ряда многосвязных структурно-неоднородных оболочечных конструкций специального назначения, установлены области значений параметров экспериментального поиска при проектировании и эксплуатации последних. Показано, что в слоистых структурно-неоднородных оболочечных конструкциях взаимодействие собственных форм колебаний протекает интенсивнее, а синергизм вязкоупругих свойств проявляется более ярко, чем в конструкциях, где упругие и вязкоупругие элементы соединены посредством узлов. В сложных многосвязных структурно-неоднородных оболочечных конструкциях зачастую увеличение массы демпфирующего материала практически не влияет на затухание низших форм колебаний, варьирование же коэффициента Пуассона изменяет величину определяющего коэффициента демпфирования на 10 * 15 /о, собственные частоты при этом практически не изменяются.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Айнола Л.Я., Нигул У.К. Волновые процессы деформации упругих плит и оболочек. Изв. АН ЭССР,сер.ШТН,1965, № 1. С.Ю8-П4.

2. Болотин В.В., Гольденблат И.И., Смирнов А.Ф. Современные проблемы строительной механики. М.:Изд-во лит-ры по стр.,1964, 131с.

3. Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов задач математической физики. Н.П.Анучина, К.И. Бабенко, С.К.Годунов и др.,М.,Наука, 1979, 295с.

4. Мяченков В.И., Мальцев В.П."Методы и алгоритмы расчета пространственных конструкций на ЭВМ ЕС, М.,Машиностроение, 1984,с.280.

5. Гончаренко И.Е. Метод конечных элементов в исследовании процессов осесимметричного деформирования конструкций при ударных воздействиях. В сб.: Динамика пространственных конструкций, Киев, Изд-во КИСИ, 1978, с. 17-20.

6. Мяченков В.И., Мальцев В.П.-, Павлов Е.К. Собственные колебания осесимметричных оболочечных конструкций. Техн. документация к программе РАМОК ( ^CVtb ), САПР-ЦНИИПСК, вып. ОММИС-184-I, 1981, 64с.

7. Паничкин В.И. Осесимметричные переходные процессы в оболочечных конструкциях с амортизаторами. В сб. Прикл.пробд.прочности и пластичности, Горький: Изд. ГГУ, 1981, с. 74-83.

8. Баженов В.Г., Батанин М.А., Ломуков В.К., Михайлов Г.С. В кн. Применение численных методов в строительной механике корабля, Судостроение, 1979, вып.239, с.176-182.

9. Слепян Л.И. Нестационарные упругие волны. Л.,Судостроение,1972, 374с.

10. Баженов В.Г., Батанин М.А. Расчет осесимметричных оболочек переменной толщины при осесимметричных силовых.и температурных динамических воздействиях, В сб.:Уч. зап. ГГУ, Горький,1973, вып.122, с.80-86.

11. Баженов В.Г., Шинкоренко А.П. Вариационно-разностный метод решения двумерных задач динамики упруго-пластических оболочек. В сб.Прикладные проблемы прочности и пластичности, Горький, ГГУ, 1976, вып.З, с.61-69.

12. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. М.: Наука,1977, 439с.

13. Сабодаш П.Ф., Чередниченко Р.А. Применение метода пространственных характеристик к решению осесимметричных задач по распространению упругих волн. ПМТФ, 1971, № 4, с.101-109.и.

14. Мальцев А.А., Мальцев В.П., Мяченков В.И. В сб. Прикладные проблемы прочности и пластичности, Горький, ГГУ, 1979, с.150-158.

15. Мяченков В.И., Григорьев И.В. Расчет составных оболочечных конструкций на ЭВМ. Справочник. М.:Машиностроение,1981, 212с.

16. Мяченков В.И. Исследование поведения симметрично: нагруженных упругих оболочек вращения при динамическом нагружении с помощью метода прямых. В кн.:Труды У.Ш Всес.конференции по теории оболочек и пластин. М.: Наука, 1973, с.531-535.

17. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред, М., 1976.

18. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов, М., 1977.

19. Григоренко Я.М. Изотропные и анизотропные оболочки вращения переменной жесткости. Киев: Наукова думка, 1973, 228с.

20. Единый метод решения задач устойчивости и колебаний оболочек вращения. А.В. Кармишин, В.И.Мяченков, А.А. Репин, А.Н.Фролов-В кн.:Теория пластин и оболочек. М.:Наука, 1971, с.141-146.

21. Статика и динамика тонкостенных оболочечных конструкций. А.В.Кармишин, В.АЛясковец, В.И.Мяченков, А.Н.Фролов. М.: Машиностроение, 1975, 376с.

22. Феодосьев В.И. Об одном способе решения нелинейных задач устойчивости деформируемых систем ПММ, 1963, т.27, вып.2, с.265-274.

23. Валишвили Н.В. Методы расчета оболочек вращения на ЭВМ. М.: Машиностроение, 1976, 280с.

24. Goldbepq 3-Е. Computer Analysis of Shells.In:Proceedingsof Symposium o? the Theory of Shells. Ed. b. Muster Univ. 0-f Houston, Teids, 1966, Apr. 4-6.

25. Goldberg E^bogdanoif 3.L, fllspdugh UW. Calculations» oMhe Modes and Frecuencies 04 Vibration of Pressurised Conical Shells, АШ Fi-Fth Annual Slruct and Materials Corrf. F«alfn Spring. Apr. 1-b, 196Ц , AIGfl Pu6lic<at., CP-6.

26. Wdlnins A. Analysis (rf Shells d* Revolution Subjected to Symmetrical ^nd Non-symmetrical Loads. . ASME,

27. E, Vol.5, No5, pp. 467-47$.

28. UaUins A. ^ bending on Vi Nation (rf Spherical Shells. Acoust. Soc. Am., , Vol. *>, N ом,

29. Cohen G. A. Compu+«z.p Analysis of АгутеЫсд! Deformation H\ Brthotnopic Shells of Revolution.-fliftfl Journal, 1964, Vol. 2, NO 5.

30. Chohen &. Д. Numerical Integration of Shells Equa-Wons Usin9 1he Fieldr Method. Trans. flSME, 197A, E41, Not.

31. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости. Л.:Гостех~ издат, 1948, 212с.

32. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. Л.: Судпромгиз, 1962, 431с.

33. Арутюнян Н.Х., Майборода В.П., Трояновский И.Е. Динамика и динамическая устойчивость неоднородных вязкоупругих систем. Сб. трудов Всесоюзного симпозиума по устойчивости, Калинин, 1982.

34. Майборода В.П., Трояновский И.Е. Собственные колебания неоднородных вязкоупругих тел, МТТ АН СССР, № 2, 1983.

35. Уржумцев Ю.С. Прогнозирование длительного сопротивления полимерных материалов, М., Изд.Наука, 1982, 220с.

36. Писаренко Г.С. Рассеяние энергии при механических колебаниях, Киев, изд. АН УССР, 1962, 436с.

37. Рассеяние энергии при колебаниях механических систем. Материалы 1У Укр. респ. научной конф.,под ред.Г.С.Писаренко, Киев, Наукова думка,1980, 368с.

38. Хильчевский В.В., Дубенец В.Г. Рассеяние энергии при колебаниях тонкостенных элементов конструкций, Киев, Вли,1977, 252с.

39. Пановко Я.Г. Внутреннее трение при колебаниях упругих систем, Mi, Физматгиз, I960, 340с.

40. Сорокин Е.С. К Теории внутреннего трения при колебаниях упругих систем, М., Госстройиздат, I960, 131с.

41. Кочнева Л.Ф. Внутреннее трение в твердых телах при колебаниях, М., Наука, 1979, 96 с.

42. Пальмов В.Л. Колебания упруго-пластических тел, Ы., Наука,1976, 328с.

43. Матвеев В.В., Башта О.Т. О влиянии формы поперечного сечения и вида деформации стержней на демпфирование их колебаний, Проблемы прочности, 1971, № 10, с.67-71.

44. Богданович П.Н. Характер деформирования вязкоупругих поверхностных своев при трении, Изв. АН БССР сер.физ-тех.н.,1979, № 4, с. 47-50.

45. Колтунов М.А., Майборода В.П., Кравчук А.С. Прикладная механика деформируемого твердого тела, М.: Высшая школа, 1983, с.345.

46. Боголепов В.А., Чернышев В.М. Условия максимального демпфирования колебаний механических систем, Изв. вузов, Машиностр.,1977, № I, с.28 31.

47. Чернышев В.М., Андреев В.П. Повышение эффективности демпфирующих покрытий сосредоточением их в области наибольших изгибающих моментов. Рассеяние энергии при колеб.мех.систем, Киев, Наукова думка, 1974, с.226-233.

48. Яковлев А.П. Рассеяние энергии в упругих слоистых стержнях при продольных колебаниях, Проблемы прочности, 1977, № 10, с. 89-93.

49. Чернышев В.М., Андреев В.П., Жога В.В. Определение вибропогло-щающих свойств балок, демпфированных покрытиями из жестких полимерных материалов, Вестн. машиностроения, 1974, № 3,с.48-52.

50. Чернышев В.М. Демпфирование изгибных колебаний балок вязко-упругими покрытиями, сосредоточенными в области наибольших изгибающих моментов. Вопр.исслед. и примен. в стр-ве эффек-тивн. материалов и конструкций, Волгоград, 1972, с.52*61.

51. Зейнетдинова Р.З., Наумкина Н.И., Тартаковский Б.Д. К вопросу деформирования вибраций труб вибропоглощающими покрытиями. Акуст.ж., 1980, с.569-574.

52. MdLrkas. S-bt-Un The effect of a. s4iff dKsipa+ive cof upon Ihe energy losses in a sandwich beam. U<rfa +ec-iin. CSAV, 1976, 21, N0 6, p. 655 т 667.1. A ^

53. Markup Sl, Oravcky V., SimkovdO.jt^ojovd'S.'bdmped sandwich.56. "Jbewa UiPomi, Honobe Makoto Ubap&ku gaupdky качакд/йу капкк>сю*о, D. Fac.fLng, IWaki Univ, .

54. Uume Y«asn+uni , Hashimoto Fumio. Сэими^у Wutou Oap.Cos. Pp<2LCis End, 1919, 45, N2», 529 +555.

55. Ashore N. Manda , Grhosh fl. "Damping MaMC-feHs+ics Df elas-lic -viscoeldslic composi+e eopvcd bans and helical fcpnings.'D. Sonnd and vibr. , 14T5. N0*4.1. А Л

56. Мдьа-Цка, Yd-masbrU Ui kuayo, СНауа Masao,

57. Wakaymai Wumhiko. иаюя ccj kofe, kepis №9094 NAum'c?Indk Res. Ius1, 19*0, no 61.

58. Бондаренко А, А. Зависимости характеристик затухания колебаний изотропных цилиндрических оболочек от напряженно-деформированного состояния, Дип. и пр. машин, Харьков, 1981, № 34,с.52-57.

59. Жога В.В., Чернышев В.М. Вибропоглощающие свойства и колебания стержней с демпфирующими покрытиями. Изв.вузов, Машиностроение, 1980, № 8, с.33-38.

60. Писаренко Г.С., Богинич О.Е., Шемеган А.А. Учет рассеяния энергии при поперечных колебаниях квадратных металлических пластин с деформирующими покрытиями и нагруженных сосредоточенным грузом. Рассеяние энергии при колеб.мех.систем, Киев, 1972, с.20-38.

61. Хильчевский В.В., Дубенец В.Г. К вопросу создания слоистых панелей с высокой демпфирующей способностью. Рассеяние энергии при колеб,мех,систем, Киев, Наукова думка, 1974, с.76-86,

62. Хильчевский В,В., Дубенец В.Г. К анализу демпфирующей способности трехслойных пластин. Изв.вузов.,Машиностроение, 1977,2, с.16-21.

63. Дубенец В.Г. О рассеянии энергии при колебаниях многослойных пластин. Рассеяние энергии при колеб. мех.систем. Киев, Науко-ва думка, 1974, с.57-65.

64. Барадокас П.А., Мацголявичус Д.А. Синтез многослойной пластинки с максимальным рассеянием энергии колебаний. Лит.мех., сб.,1971, № 2(9), с.33-45.

65. Гуеев В.Б., Коневалов B.C., Никифоров А.С. О диссипативных свойствах пластины, частинно облицованной вибропоглощающим материалом. Рассеяние энергии при колебаниях мех.систем, Киев, Наукова думка, 1972, с.248-250.

66. Sarto Mideo, YdmagucHi Hidky* F^ee vi billions G-fa rectangular pUt with viscoeUs+U S^iffenm. bull ISN\E} 1980, 25>, N0185, 1в65г1в72.

67. Ci'eci The cUtnpin$ ofin+eprally stiffened s-Wuc-kiKS.'d. Sound dnd Vibr. ^ 1971 , 17 , NO 17 p. 6*>~76.

68. S<3tiU W., Yamagcichi H. Vibte+ion ddmpin9 chdrac-tafis+tes 9-falhin cylindrical shdl Stiffened wiih viscoeia.s+ic ^ings1<m, /<6, MO5 , c. 501-7 511.

69. Витт Д.В. Колебания сферической оболочки с вибродемпфирующим слоистым покрытием. Изв. АН СССР, МТТ, 1980, № 3, с.134-142.

70. IdVemick ftpi+ochi, Okondki A. kihiko^UdldnoIsdo ukof-e^&tiisicY мкухо, bull №19043 tnst.Tachnol. 1479,Nы,р.259-т246.

71. Маркуш Ш., Тесар П. Затухающие изгибные колебания трехслойных цилиндрических оболочек. Мех.машин, Тбилиси, 1980,с.85-89.

72. Яганов В.М. Колебания пластинчатых и оболочечных систем с точечными связями. Канд.диссерт.на степень к.ю.м.н.,М.,МИЭМ, 1982, Ибс.

73. Comparison of £las4ici4y, shell core and sdndwich %\\ql( "\Heopies. ChandiM&hekh&rd U. bliimard.ddi A. „ Alftft "Journal", 1<5&Ъ, 21 , N01 , 114-т 119.

74. Suzuki. WcL+SUyoshi , ftn£«3ii E.irwo,Tak*.kashi ShCn«

75. Vibra4ions Shin, Suzuki Rafsuyoshi, Ansoi Eincia, Wosawada TtldcSLShi. „fWL 3SME„, 19в2,25, N0207,

76. Asymmetric. vibrations of "ihinchells of revolution. Mosawada Tddcishi, Suiuki W«a4su\|oshv Shin,Trans».dap. Soc. Mcch End , 1085, CA9, N0/|/i0, AQ6-r504.

77. Мяченков В.И., Каталымова И.В. Динамика вязкоупругих оболочечных конструкций, Деп. ВИНИТИ, 30.07.84,№ 5491-84.

78. Каталымова И.В., Мяченков В.И. Динамика упругих сред с точечными связями и сосредоточенными массами, АН СССР, АН Гр.ССР, тезисы 1 Всес.конференции по теории упругости, Тбилиси,ТРУ, 1984.

79. Яганов В.М., Каталымова И.В. Установившиеся колебания вязко-упругих конструкций из оболочечных элементов. АН СССР, Тезисы доклада П Всес.конф.ползуч. в конструкциях. Новосибирск,1984.

80. Каталымова И.В. и др.Крлебания упругих косоугольных пластин, имеющих точечные опоры и сосредоточенные массы, в кн.Расчетына прочность и жесткость,под ред.В.И.Мяченкова,вып.6,Мостанкин, 1984, с.12-15.

81. Каталымова И.В.,Яганов В.М. Расчет вязкоупругих оболочечных конструкций на собственные колебания,Деп.ВИНИТИ,27.10.84,№7333/1

82. Ильюшин А.А., Победря Б.Е. Основы математической теории термовязкоупругости, М., Наука, 1970, 280с.

83. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний, Физмат.изд., 1958, 128с.

84. Филатов А.Н. Методы усреднения в дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнениях, Ташкент, ФАН, 1971, 128с.

85. Мяченков В.И., Павлов Е.К. О динамике разветвленных оболочечных конструкций. ПМ, 1982, т.18, № 5, с.49-56.95. Gu\|e. dk Phys, 5, 1912.96. «^okibc W.d.nd Sakdi S., Phil, Mdg,42, ь97, юн.

86. Hondo k. «and Wonno S., Phil, Ma.9, Al и^тд.98. bennewHa, Phys., 2. в, 4П, \<*Zk.

87. Журавлев B.A. Измерение затуханий методом вибраций, Зав.лаборатория, № 5, 1948.

88. Писаренко Г.С. Исследования затухания колебаний изгиба стали для турбинных лопаток, 1ТФ, т.ХХШ, в.З, 1953.

89. Писаренко Г.С. Колебания упругих систем с учетом рассеяния энергии в материале, изд-во АН СССР, 1955.

90. Писаревский М.М., Соколинская И.Г. Исследование декрементаколебаний нержавеющих высокохромистых сталей, свойств материалов, применяемых в трубостроении и методы их испытаний, Машгиз, 1955.

91. ХОЗ. Колтунов М.А. Ползучесть и релаксация. М., Высшая школа, 1976, 277с.

92. Майборода В.П. К вопросу применимости функций влияния определяемых из квазистатических опытов для решения динамических задач вязкоупругости, Механика полимеров, № 3, 1974, с.537 -540.j

93. Трояновский И.Е. О построении периодических решений интегро-дифференциальных уравнений вязкоупругости. Механика полимеров, 1974, № 2.

94. Майборода В.П. Динамика неоднородных вязкоупругих систем. Изв. АН Уз.ССР, 1982, №. 5, с.29-32.

95. Трояновский И.Е. Квазистатические и динамические осесиммет-ричные задачи вязкоупругости, докт.диссертация, МИЭМ, 1981.

96. Уржумцев Ю.С., Майборода В.П. Технические средства и методы определения прочностных характеристик конструкций из полимеров. М.: Машиностроение, 1984, с.169.

97. Колтунов М.А., Майборода В.П., Зубчанинов В.Г. Прочностные расчеты изделий из полимерных материалов, М.Машиностроение, 1983, с.235.

98. НО. Бабаков И.М. Теория колебаний, М., 1958.

99. Филиппов А.П. Колебания деформируемых систем, М., 1970.

100. Прочность, устойчивость, колебания, Справочник, т.З, под ред. Биргера И.А., М., 1968.

101. Abnolci R.W. ^ЫЬийоп G.b., FUmdl vibrations oHk walkof Ihin cylindrical shells having -freely Supported ^nds, PtoC.Roy. Soc., vol 497 Д, k.'MQ, <1949.

102. Wcingarkn Y. I., Vplz vibration of 4Kin cylinctn'cdl Sb«Us>., АШ £fociffui>vo) nA, <964.

103. Поверус Л.Ю., Ряялит P.К. Малые неосесимметричные собственные колебания упругих тонких конических и цилиндрических оболочек, Тр. Таллинского политехнического института, серия А, Ш 147, 1958.

104. Прочность, устойчивость, колебания, Справочник, т.1, под ред.Биргера И.А., М., 1968.

105. Д.Мак-Кракси, У. Дори. Численные методы и программирование на ФОРТРАНе, М., 1977.

106. Тимошенко С.П., Колебания в инженерном деле, М., 1967. 119.Г.Корн, Т.Корн. Справочник по математике, Изд. Наука, М.,1977, 831с.