Сингулярно возмущенные задачи с переменными малыми параметрами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ
|
Косиченко, Наталья Алексеевна
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Москва
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2000
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.02
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
На правах рукописи
Р гя од
? П !!ПЯ 7ППП
КОСИЧЕНКО Наталья Алексеевна
Сингулярно возмущенные задачи с переменными малыми параметрами
(специальность 01.01.02 - дифференциальные уравнения)
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Москва 2000
Работа выполнена на кафедре математического анализа Московского педагогического государственного университета
Научный руководитель: кандидат физико-математических наук, доцент Сабуров М.С.
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Бутузов В.Ф.; доктор физико-математических наук, профессор Сафонов В.Ф.
Ведущая организация: Московский государственныйтехнический университет
им. Н.Э. Баумана
Защита состоится
2000г.
в ауд. М-710-А на
заседании диссертационного совета К 053.16.16 в Московском энергетическом институте (техническом университете) по адресу: 111250, г.Москва, ул. Красноказарменная, 13.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского энергетического института (технического университета).
Отзывы на автореферат направляйте по адресу: 111250, г.Москва, ул.Красноказарменная, 14, Ученый Совет МЭИ (ТУ).
Автореферат разослан
«/5»,
2000г.
Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук
п
Григорьев В.П.
оз
Общая характеристика работы
Актуальность темы. Многие физические процессы описываются дифференциальными уравнениями с малым параметром при старшей производной. Простейшим примером уравнения такого тина является уравнение движения тела малой массы ц в среде, обладающей сопротивлением, под действием некоторой силы.
Можно привести примеры и более сложных физических явлений, приводящих к дифференциальным уравнениям или системам дифференциальных уравнений с мальм параметром при старшей производной. Такие задачи, например, естественным образом возникают там, где имеются неравномерные переходы от одних физических характеристик к другим.
Аппарат теории дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной может быть с успехом использован при исследовании гироскопических систем, при решении ряда задач, встречающихся в теории автоматического регулирования, при изучении разрывных колебаний, при изучении движения оперенной ракеты с малым моментом инерции, при изучении движения ракеты, у которой отношение экваториального момента инерции к аэродинамическому восстанавливающему моменту мало.
Вопрос о зависимости решений дифференциальных уравнений от параметров возникает при решении ряда задач, возникающих в экономике, в математической теории популяций и во многих других областях исследований, использующих дифференциальные уравнения.
При расчете различных систем дифференциальных уравнений с малым параметром довольно часто пренебрегают влиянием последних и в качестве приближенного решения берут решение системы, в которой параметры полагают равными нулю. Такая система обычно проще полной и часто может быть проинтегрирована, в то время как полная система не интегрируется.
Возникает вопрос, в какой мере это действие законно?
Известно, что в случае непрерывной зависимости правых частей системы обыкновенных дифференциальных уравнений
х = Р(хд,ц)
от параметра ц решение полной системы уравнений может быть со сколь угодно высокой точностью представлено решением упрощенной системы уравнений
х = Р(х,1,0),
если параметр ц достаточно мал. Этот вид зависимости решения дифференциального уравнения от параметра хорошо изучен. Поставленная задача исследована также и для некоторого ряда дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений, содержащих малые параметры при старших производных.
Одной из первых работ в этом направлении, согласно Тихонову А.Н., была работа Чень - Юй - И (Уи-\УЬу-Т5Ьеп). В работе рассматривалось линейное уравнение с переменными коэффициентами
сРу а—'у ц, 0) =-£- + Ь, —+... + Ь „у = 0.
' Л" «Г4
Было доказано, что решения у,(0 этого уравнения, определяемые условиями
¿У«» „к
с11к ~Уо'
сходятся при условии, что
Ншц,(1) = 0, ц,(<)>0.
к решению вырожденного уравнения (то есть полученного из данного при = 0), если Ь|(1)>0.
Тихоновым А.Н. было рассмотрено нелинейное дифференциальное уравнение,
разрешенное относительно старшей производной
.....(,)
аг" си-1
с начальными условиями
у(0) = уГ к = оПГТ.
<ик
для которого были даны ответы на следующие вопросы:
1. Будет ли решение полной системы вместе с производными ** до (п-1)-го
(1г
порядка при ц 0 стремиться к решению и его производным вырожденного уравнения?
2. К какому решению вырожденного уравнения будут стремиться у(к|(1,ц), если вырожденная система распадается на несколько нормальных уравнений:
dn-]— (
У - О У
Г-'у) с)!
Р(1,у,у'.....Ф) = 0
где <р,| 1,у,..., J д_2 j - корни уравнения
3. Будет ли такой предел устойчив при малых изменениях у!,10, (к = 0,п -1)?
Здесь же указано на то, что приведенный для данного уравнения результат не изменится, если вместо параметра ц 0 ввести последовательность функций ц, (0 -> 0, но строгого утверждения на этот счет не приводится.
Все дальнейшие работы, относящиеся к сингулярно возмущенным дифференциальным уравнениям, за исключением статьи Сабурова М.С. "О предельном переходе в сингулярно возмущенных системах с переменными малыми параметрами" (см. Докл. АН, 1993, том 333, №2, на ней мы остановимся ниже) изучают вопросы связи исходного и вырожденного дифференциального уравнения при постоянном малом параметре при старшей производной.
В то же время мы видим, что в реальных физических системах малый параметр, являющийся конкретной физической величиной, обязательно будет как-то меняться с течением времени. К примеру, в уравнении, описывающем движение вязкой жидкости, вязкость, играющая. роль малого параметра, зависит, вообще говоря, от давления и температуры окружающего воздуха, а они, очевидно, не могут быть постоянными. Спрашивается, имеем ли мы право пренебрегать этим?
Цель диссертации состоит в том, чтобы выяснить, влияет ли зависимость малого параметра от переменной дифференцирования на близость решений реальной и вырожденной систем, и, если такое влияние будет установлено, найти его количественные характеристики.
Научная новизна работы состоит, в исследовании ряда сингулярно возмущенных задач с малыми параметрами, зависящими от переменной дифференцирования.
Практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Результаты, полученные в ней, могут быть использованы при дальнейшем изучении вопроса о возможности существования предельного перехода в случае систем с переменными малыми параметрами при старших производных.
Апробация работы. Основные результаты докладывались и обсуждались на научном семинаре по теории сингулярных возмущений кафедры математики физического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова (руководители - докт.ф.-м. н.. профессор Васильева А.Б.. докт. ф.-м. н., профессор Бутузов В.Ф.) в 1987, 1995, 1997г., на научном семинаре по дифференциальным уравнениям в Московском энергетическом институте (руководитель - докт. ф.-м. н., профессор Дубинский Ю.А.) в 1999, 2000г., на конференциях по методам малого параметра, проходившим в Нальчике в 1987г., в Ашхабаде в 1990г. и в Обнинске в 2000г., на Учредительной конференции ассоциации женщин-математиков, проходившей в Суздале в 1993 г.
Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, двух глав, приложения и списка использованной литературы. Она содержит 117 страниц основного текста, 41 наименование использованной литературы.
Основное содержание
Во введении обоснована актуальность темы исследования, сформулирована цель и научная новизна работы, раскрыто краткое содержание диссертации, сформулированы полученные результаты.
Введем обозначения, необходимые для формулировки результатов. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
diag(n,(t),n,(t).....n„(t))^- = F(x.y,t)
где х, F- n-мерные вектор-функции. y,f- m-мерные вектор-функции. Пусть
.....МО).
Через ММо обозначим множество
М„л =^(t):n(t)SC°[t0,T°];Vi,i = ü;3k1,k;eR*| 0<к,ц0 £ ц, (t) £ к'цо для всех достаточно малых ц„ е R*}, а через М - множество
М = jn'(t):n'(t) е C°[t0,T0]; Vi, i = ¡7п,Эк,,к* е R* 0 < к, £n\(t)£k[ } ,
где
ц'(») = —Ц(0.
Но
Пусть х°- какой-либо фиксированный вектор-столбец n-го порядка, у0 -m-го порядка. Через хц(()обозначим решение системы (2), удовлетворяющее при |x(t)s МЦл начальному условию
= УцОо) = У°- (3)
Через x(t), y(t) обозначим решение вырожденной задачи
f0 = F(x,y,t)
}f = f(x,y,«), У«о) = У°, W
соответствующей задаче (2), (3).
Определение 1. Если Vô.0<5<T(> -t0
limSupfx^O-xiOll^^^O, limSupijy^O-ya^^pO,
го будем говорить, что на (tij.T0] имеет место предельный переход равномерно по классу Л/ от решения задачи (2). (3) к решению соответствующей ей вырожденной задачи (4).
Обозначим через М'': 4 определитель матрицы k-го порядка, полученной из матрицы А вычеркиванием всех строк и столбцов, номера которых отличны от .
Первая глава посвящена исследованию вопроса о возможности существования предельного перехода равномерно по классу M от решений некоторых сингулярно возмущенных задач к решениям соответствующих им вырожденных задач. Первый параграф этой главы содержит вспомогательные утверждения. Во втором параграфе получены достаточные условия существования предельного перехода равномерно по классу M от решения задачи (2). (3) к решению соответствующей ей вырожденной задачи. Они сформулированы в виде теоремы 1.
Теорема 1. Если
1. F(x.y.t)=A(t.y)x+b(t,y),
где A(t.y) - невырожденная квадратная матрица размерности пхп; b(t,y) - n-мерная вектор-функция.
2. A(t.y), b(t,y), f(x,y.t) имеют непрерывные частные производные по всем
аргументам до второго порядка включительно в некоторой ограниченной
замкнутой области G, д,(с)еС'[о,Т0], i = l,n.
3. Точки (A"'(y,t)b(y,t);y;t)eG при (y,t)e DcG , система
^ = f(A-'(y,t)b(y,t);y;t), у(0) = у°, dt
имеет единственное решение y(t) на [о,Т°], причем (y(t),t)eD при t е [о,Т°].
4. V(a,,a,,...,an), 0< k, Sa, £ к,', i = lTn , Vt е[о,Т°] спектр матрицы
diag"'(ai,a:,...,a„)A(y(t),t) лежит в левой полуплоскости (Re >., (t,a,,a,,...,a„ ) < 0), то Vô.0<ô<T° найдутся постоянные ц° >0, с6 >0 и с>0, не зависящие от функций iii * (t), n;'(t), цп (t), такие, что при 0< ц0 S ц°
ЧЮ-хЮ^^с.ц, , ||у„(0-у(.)|с[ог12сц0>
то есть на (0,Т°] имеет место предельный переход равномерно по классу M от решения исходной задачи к решению соответствующей ей вырожденной.
Очевидно, если имеет место предельный переход равномерно по классу М, то имеет место предельный переход и в традиционном смысле.
Таким образом, теорема 1 обобщает и развивает утверждение, высказанное А.Н. Тихоновым, но не доказанное им в случае, если вместо параметра ц рассматривать последовательность функций /л,(!), стремящуюся к нулю.
В связи с требованием 3 теоремы 1 возникает вопрос, каким условиям должна удовлетворять матрица A(y(t),t), чтобы это требование обеспечивалось. Ответом на этот вопрос при п<3 могут служить теоремы 2 и 3, приведенные в §3 первой главы.
Теорема 2. Для того чтобы спектр матрицы diag''(n"i(t), (j.*2(t))A(t), где A(t) -квадратная матрица второго порядка, оставался в левой полуплоскости
б
(ReA., (t.^[(t),n](t))<o) при v^(t)6R*,i = l,2. Vt>t0 при условии, что при Vt>t0 в левой полуплоскости лежит спектр матрицы A(t), необходимо и достаточно, чтобы для Vt > 10 выполнялись следующие условия:
an (t) < 0 , a,,(t)<0. Xa„(t)<0.
i=i
Теорема J. Для того чтобы спектр матрицы diag''(n"i(t), n':(t). n*3(t))A(t), где A(t) -квадратная матрица третьего порядка, оставался в левой полуплоскости (ReA.1(t,|il'(t),|i](t),n5(t))<o) при Vn,"(t)e R*, i = U, Vt > t0 при условии, что при Vt>t0 в левой полуплоскости лежит спектр матрицы A(t), необходимо и достаточно, чтобы для Vt > t „ выполнялись следующие условия:
l.M'J(t)>0. ¡ = 1.2; i < j < 3; £M"(t)>0:
a„(t) < 0, i = 1,3, 2]a„(t)<0; 2. au(t)M;j(t) + a„(t)M"(t) + a3;(t)Mi:(t)-A(t) <
<2min;v'a,l(t)Mî3(t)a:;2(t)M'',(t),Vall(t)M::,(t)alî(t)M,:(t), Va,2(t)M,3(t)aJ3(t)Ml2(t)!, где M''(t) - главные диагональные миноры матрицы A(t), A(t) - определитель матрицы A(t).
Приведем примеры систем второго и третьего порядка, показывающие, когда наблюдается различие в понятиях предельного перехода в новом и традиционном смысле. Пример 1. Пример 2.
M,(t)
dx.
= -4х, + 3х,
dx,
ц,(0—- = -2х,н at
Пример 3.
dx.
МО МО
= -4х. +2х,
dx,
1Г
dx.
Пример 4.
М0^- = 2х, at
dx,
Цз(1)1Г = 2х2_4х'
-Зх, -3xj
= +х2 +х3
, , dx,
U,(t)—- = -X. -2x, +2x, - dt ' * J
Mj(t)4J" = xl +x, -3x3 . dt
В каждом из приведенных примеров в случае, когда ц,(0 э ц(1), I = 1,2 (примеры 1, 2), I = 1,3 (примеры 3, 4), имеет место предельный переход в традиционном смысле.
Если же хотя бы два отличны друг от друга, то утвердительный ответ на вопрос, будет ли иметь место предельный переход в новом смысле, мы можем дать только для систем, рассмотренных в примерах 2, 4. Что же касается систем, рассмотренных в примерах 1, 3, то теоремы соответственно 2, 3 здесь не работают, поэтому сразу о наличии здесь предельного перехода в новом смысле мы ничего не можем сказать.
В §4 первой главы рассмотрены системы вида
diag(n, (I).....ц„ (t))^ = A(t)x + g(t) + diag(n, (t),..:, ц„ (t))f(x, t)
dt
с начальным условием
х„(0) = х°. (6)
где A(.t) - квадратная матрица размерности пхп. g(t). f(x,t), х°, х - n-мерные вектор-функции, (Hl(t),H;(t),...:H„(t))€Mu,i, в случае, когда характеристическое уравнение, отвечающее матрице
diag1(n'1(t),ti%(t),...,n'n(t))A(t), (7)
имеет хотя бы один тождественно равный нулю корень, то есть в критическом случае.
В этом случае вырожденная система, соответствующая уравнению (5), имеет неединственное решение. Показано, что решение, к которому будет стремиться решение x„(t) задачи (5). (6) при цо~>0, может быть найдено с помощью алгоритма Васильевой-
Бутузова. то есть в рамках общей теории.
Найдены условия, при которых матрица (7) имеет при любых положительных ц'(0 к, 1<к<п, тождественно равных нулю собственных значений и (n-к) собственных значений с отрицательными действительными частями, удовлетворяющих требованиям алгоритма. При 2<п<4 эти условия могут быть сформулированы в виде следующих теорем.
Теорема 4. Для того чтобы матрица, полученная из (7) при п=3, при любых положительных n¡*(t), i= 1,2.3, te[0,T], имела одно собственное значение, тождественно равное нулю, и два собственных значения с отрицательными действительными частями, необходимо и достаточно, чтобы Vte[0,T]: _ !
1. a„(t)<0, ¡ = 1,3, £a¡,(t)<0;
¡■i
2. Mu(t) £ 0, i = 1,2, i < já 3; ¿M"(t)>0;
■-i
¡<j£3
3. A(t) = 0.
Теорема 5. Для того чтобы матрица, полученная из (7) при п=3, при любых положительных ц, (t), i=l,2,3, te[0,T], имела два тождественно равных нулю собственных значения и одно собственное значение с отрицательной действительной частью, необходимо и достаточно, чтобы Vte[0,T]:
1. a„(t)<0, i = iД ¿a„(t)<0;
2. M'1 (t) = 0, i = 1,2; i<js3;
3. A(t) = 0.
Теорема 6. Для того чтобы матрица, полученная из (7) при п=4, при любых положительных n|(t), ¡ = 1,4, t е [0,Т], имела одно тождественно равное нулю собственное значение и три собственных значения с отрицательными действительными частями, необходимо и достаточно, чтобы для Vts[0,T]:
1. a„(t)S0; i = iA; la„(t)<0;
..i
2. M"(t)¿0; ¡ = Ü; 4sj>i; ¿M,J(t)>0;
i-i
42J>I
3. M"k(t)sO; i = ü 4>k>j>i; ¿Míjk(t)<0 ;
i-i 4¿k>j>i
4. an(t)M2'(t) + a2,(t)Mi3(t) + a33(t)M,2(t)-Ml23(t) <
< -min{v'aM(t)M;,(t)a,,(t)M'3(0,^an(t)M:3(t)a„(!)MIJ(t),
Va:,(t)M'3(t)aj,(tlMi;(t)}
a1,(t)M:j(t) + a::(t)MIJ(t) + a4J(t)M,:(t)-Ml-'(t) <
< 2min{^aH (t)M 2J(t)a:, (t)Mu(t),^an (t)M:''(t)a44(t)M'2(t),
Va,,(t)MIJ(t)aJJ(t)Ml2(t)}
aM(t)M5J(t) + aJ3(t)Mu(t)i-a„(t)M,3(t)-Ml3J(t) <
<2mm{7a,l(t)M3',(t)a33(t)MM(t),v'a11(t)M34(t)aJJ(t)Mlï(t), \/a33(t)M'4(t)a44(t)M'3(t)}
a ,2 (t)M3J (t) + a!3 (t)M(t) + a44 (t)M23 (t) - M234 (t) <
<2min{v'a2,(t)M3,(t)a3J(t)M2',(t)>Va22(t)M3J(t)a44(t)M23(t), Va3î(t)M24(t)a44(t)M:3(t)}
5. A(t) = 0 .
Теорема 7. Для того чтобы матрица, полученная из (7) при п=4, при любых положительных n'(t), i = 1,4, t е [0,Т], имела два тождественно равных нулю собственных значения и два собственных значения с отрицательными действительными частями, необходимо и достаточно, чтобы для Vte[0,TJ:
1.a„(t)< 0; i = ÏÂ ¿a„(t)< 0 ;
i^i
2.M,J(t)>0; i = Û;4>j>i; ¿M"(l)>0;
i=i 42J>1
3. Mljk(t) = 0; i = 1,2; 4>k>j>i;
4.A(t) = 0.
Теорема 8. Для того чтобы матрица, полученная из (7) при п=4, при любых положительных n'(t), i = 1,4, t е [0,Т], имела три тождественно равных нулю собственных значения и одно собственное значение с отрицательной действительной частью, необходимо и достаточно, чтобы для Vte[0,T]:
1. a„(t)<0; i = ÎÂ ¿a„(t)<0 ;
i-i
2. M'j(t) = 0; i = Û; 4 > j > i ;
3. Mljk(t) = 0; i = 1,2; 4>k>j>i;
4. A(t) = 0.
В основе доказательства теорем параграфов 3 и 4 лежит критерий Гурвица.
Во второй главе предельный переход исследуется при более слабых ограничениях на функции, стоящие перед производными. Эти функции предполагаются измеримыми (в отличие от главы I, где указанные функции предполагались непрерывными).
Введем в рассмотрение множества
= {(.1(1): Ц(с) е= ^ ([ц.-юс)}.Эк, К е Я *" VI. I = 1.2, VI е [ц.+оо):0 < кц0 < fa.it) < Кц„
для всех достаточно малых ц„ ей*}. 1 = ¡ц'(П:ц'(Ог Ь'фо.+оз^Зк.Ке Я' УМ = 1.2, VI £ [ц.+к): 0 < к 2 < К] .
где ц"(0 =
Мо
Рассмотрим систему двух линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и переменными малыми параметрами при старших производных
с11а§Я'Ы0)^ = А.ч + Ь, (8)
си
где
А=(ау) - неособенная постоянная квадратная матрица размерности 2x2, спектр которой лежит в левой полуплоскости (ЯеХ., < 0), х - вектор-столбец размерности 2х I, Ь - постоянный вектор-столбец размерности 2x1, 1=1,2.
Обозначим через х„(0 - решение системы (8) с начальным условием
хв(|0) = х\ (9)
а через х(() - решение соответствующей ей вырожденной системы. Обозначим —1 - = М ,
1ф0
—-— = и,(и, —!-- = т. Перепишем систему (8) в новых обозначениях МО Кцо
^ = а!а8(и, ((X и 2 (г)Х Ах + Ь).
щ
Решение системы (8) в новых обозначениях будет иметь вид х(1,и,(I),и,{|)). Так как ц,(()е , ¡=1,2, то и,(1) должны удовлетворять неравенству
О < т £ иД!) 2 М. Зафиксируем момент времени Т, Т > Ц. Обозначим через
10 =5ир^[х1(Т,и|(Т),и,(Т))-х!(Т)]! .
Определение 2. Если для VI > 10:
11ш $ирУ(Т,и,(Т),и,(Т))-х,(Т)]2 = 0, л-0 I.
то будем говорить, что на (¡0,+=о) имеет место предельный переход равномерно по классу I от решения хм(1) исходной задачи к решению х^) соответствующей ей вырожденной.
Первый параграф второй главы содержит вспомогательные утверждения. В §2 приведены необходимые и достаточные условия существования предельного перехода равномерно по классу Ь от решения исходной задачи (8), (9) к решению соответствующей ей вырожденной. Эти условия сформулированы в виде теоремы 9.
Теорема 9. Пусть Х,(У|,У2) - корни характеристического уравнения, отвечающего
системе
— = <Каа(у|,У2ХАх + Ь), е {ш,М}, ¡=1,2. (10)
Тогда для того чтобы на (t0,+=o) имел место предельный переход равномерно по классу L от решения исходной задачи (8), (9) к решению x(t) соответствующей ей вырожденной задачи, необходимо и достаточно, чтобы при любых двумерных выборках (V|,v2), составленных из элементов множества {т,М},
lim Re À.(v,, vi ) = • i=l,2.
Теорема доказана методами теории оптимального управления
Замечание. В статье Сабурова М.С., упоминаемой выше, тоже идет речь о достаточных условиях существования предельного перехода от решения задачи (8), (9) к решению соответствующей ей вырожденной, однако ограничения, накладываемые Сабуровым М.С. на систему (8), более жесткие в сравнении с условиями теоремы 9.
Основные результаты диссертации
Рассмотрен вопрос о предельном переходе в случае сингулярно возмущенных систем (п+ш)-го порядка с переменными малыми параметрами при производных в п уравнениях
diag(n,(t),...n„(t))^ = F(x,y,t) at
£ = f(x.y.t) , dt
где x, F - n-мерные вектор-столбцы, y,f - m-мерные вектор-столбцы.
Для задачи Коши в случае, когда F(x,y,t) линейна по х, получены достаточные условия предельного перехода равномерно по классу M от решения данной системы к решению соответствующей ей вырожденной.
Рассмотрены также системы
diag(n,(t),..„ ц„ (t))^ = A(t)x + g(t) + diag(|i| (t).....ц„ (t))f(x,t),
dt
где x, g(t), f(x,t) - n-мерные вектор-столбцы,
A(t) - квадратная матрица размерности nxn, в случае, когда характеристическое уравнение, отвечающее матрице A(t), имеет к тождественно равных нулю корней, I<k<n, то есть в критическом случае.
Для 2<п<4 найдены необходимые и достаточные условия наличия у характеристического уравнения, отвечающего матрице diag"'(|i|(t),...,n^(t))A(t), к тождественно равных нулю корней и (n-k) корней с отрицательными действительными частями, I<k<n, при любых положительных n'(t), i = l,n, ti,(t) = n'(t)|i0, ц0 - постоянный малый параметр.
Рассмотрена система дифференциальных уравнений вида
dx
diag(n,(t),n2(t))— = Ax + b, dt
где А=(а0)- неособенная постоянная квадратная матрица 2x2, спектр которой лежит в левой полуплоскости (КеЯ., < О),
b - постоянный вектор-столбец 2x1, х - вектор-столбец 2x1,
M(t) = (^,(t),nj(t))e L^,
Ц,, = |p(t):n(t)б L'([t0,+œ>)),3k,K б R*jVi,i = l,2,Vt e[t0,+co):0<кц0 5n.(t) < Кц„
для всех достаточно малых ц0 е R' >,
L = {ц' (t): n*(t)e L'^t,, ,-*»)), Вк. К е R * ¡Vi, i = 1,2, Vt е [t„ ,+оо): 0 <к < n"(t) < К},
где n'(t) = --n(t).
Цо
Вводится понятие предельного перехода равномерно по классу L от решения исходной системы к решению соответствующей ей вырожденной, то есть полученной из данной при ц, (t) s (t) = 0.
Получены необходимые и достаточные условия существования предельного перехода равномерно по классу L.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах:
1. Косиченко H.A. Использование теории оптимального управления для исследования систем дифференциальных уравнений с малыми переменными параметрами при старших производных //Ученые записки Благовещенского Государственного Педагогического Университета,-1999-Т. 18. -Вып. 1. —С. 166—178.
2. Косиченко H.A. О возможности существования предельного перехода в случае систем с малыми параметрическими функциями //Сборник научных трудов МГПИ им. В.И. Ленина. Серия:Вычислительная математика и математическая физика - 1987,- С. 2329.
3. Косиченко H.A. О предельном переходе в задаче с переменными малыми параметрами // Методы малого параметра: Тез. докл. Всесоюзн. научн. совещ. 26-28 мая 1987г.-Нальчик, 1987.-С.80.
4. Косиченко H.A. О системах с переменными малыми параметрами при старших . производных.-М., 1999.-42с.-Деп. в ВИНИТИ 9.04.99.N 1072-В99.
5. Косиченко H.A. О существовании предельного перехода в случае переменных малых параметров //Учредительная конференция Российской ассоциации "Женщины-математики": Тез. докл.-М., 1993.
6. Косиченко H.A. Сингулярно возмущенные задачи с переменными малыми параметрами.-М., 1999.-56с.-Деп. в ВИНИТИ 28.04.99. № 1337-В99.
Печ. .,. QU,- Тираж /О0 Заказ ДОдг
Типография МЭИ, Красноказарменная, 13.
Введение
Глава 1. Предельный переход в системах с переменными малыми параметрами
§1. Вспомогательные утверждения
§2. Условие существования предельного перехода в случае сингулярно возмущенных систем (п+т)-го порядка с переменными малыми параметрами при производных в п уравнениях
§3. Условие существования предельного перехода в случае переменных малых параметров для линейных неоднородных систем обыкновенных дифференциальных уравнений второго и третьего порядка
§ 4. Системы третьего и четвертого порядка с переменными малыми параметрами при старших производных в критических случаях
Глава 2. Применение теории оптимального управления для исследования предельного перехода в системах дифференциальных уравнений с малыми измеримыми параметрами при старших производных
§1. Вспомогательные утверждения
§2. Критерий существования предельного перехода в линейных системах с измеримыми малыми параметрами
Многие физические процессы описываются дифференциальными уравнениями с малым параметром при старшей производной. Простейшим примером уравнения такого типа является
- уравнение движения тела малой массы ц в среде, обладающей сопротивлением, под действием силы Р(Т). а - коэффициент сопротивления.
Можно привести примеры и более сложных физических явлений, приводящих к дифференциальным уравнениям или системам дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной. Такие задачи, например, естественным образом возникают там, где имеются неравномерные переходы от одних физических характеристик к другим.
Изучение явлений несколько иного рода, таких как разрывные колебания, также приводит к математической задаче, связанной с исследованием уравнений, содержащих малые параметры при старших производных.
Вопрос о зависимости решений дифференциальных уравнений от параметров возникает при решении ряда задач, встречающихся в теории автоматического регулирования.
В ряде работ показано, что аппарат теории дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной может быть с успехом использован при исследовании гироскопических систем.
В [24] показано, что системами типа где ¡1 - малый параметр, х и у - векторы размерности пит соответственно, может быть описано движение оперенной ракеты с малым моментом р,у = -осу + Р(1:)
1) инерции, а также движение ракеты, у которой отношение экваториального момента инерции к аэродинамическому восстанавливающему моменту мало.
Системами типа (1) описываются процессы, изучаемые в других дисциплинах. Они встречаются и в экономике, и в математической теории популяций, и в других областях исследований, использующих дифференциальные уравнения (см.,например, [14]).
При расчете различных систем дифференциальных уравнений с малым параметром довольно часто пренебрегают влиянием последних и в качестве приближенного решения берут решение системы, в которой параметры полагают равными нулю. Такая система обычно проще полной и часто может быть проинтегрирована, в то время как полная система не интегрируется.
Возникает вопрос, в какой мере это действие законно?
Известно (см., например, [25]), что в случае непрерывной зависимости правых частей системы обыкновенных дифференциальных уравнений х = Р(хЛ|и) от параметра ц решение полной системы уравнений может быть со сколь угодно высокой точностью представлено решением упрощенной системы уравнений х = Р(М,0), если параметр ц достаточно мал. Этот вид зависимости решения дифференциального уравнения от параметра хорошо изучен. Поставленная задача исследована также и для некоторого ряда дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений, содержащих малые параметры при старших производных.
Одной из первых работ в этом направлении, согласно Тихонову А.Н. (см. [32]), была работа Чень - Юй - И (Уи-^у-ТзЬеп). В работе рассматривалось линейное уравнение с переменными коэффициентами сГу <Г"'у ^(О^ + Ь.^+ . + Ъ у = 0. ' ёГ 1 (К"-1 п
Было доказано, что решения у^) этого уравнения, определяемые условиями ку(0) к
Уо' сходятся при условии, что
НШ|1,(0 = 0,
1—>0О к решению вырожденного уравнения (то есть полученного из данного при ¡1,(^ = 0), если Ь>1(1:)>0 .
В работе Тихонова А.Н. [32] было рассмотрено нелинейное дифференциальное уравнение, разрешенное относительно старшей производной
Гу Ц
Л" ёу сГ'уЛ v п-1 у с начальными условиями
У(0) по у4, к = 0, п-1, для которого были даны ответы на следующие вопросы:
1. Будет ли решение полной системы вместе с производными с11к до (п-1)-го порядка при ц->0 стремиться к решению и его производным вырожденного уравнения?
2. К какому решению вырожденного уравнения будут стремиться у(к)(1:,ц), если вырожденная система распадается на несколько нормальных уравнении: сГ'у
11 п-1 т 1 сИуЛ
Г2 где ф, п-2-\
ЪУ,-, у сГ"
- корни уравнения
Р(г,у,у',.,ф) = о ?
3. Будет ли такой предел устойчив при малых изменениях у^к), к = 0,п -1)?
Здесь же указано на то, что приведенный для данного уравнения результат не изменится, если вместо параметра ц, —» 0 ввести последовательность функций щ (Ч) 0, но строгого утверждения на этот счет не приводится.
Все дальнейшие работы, относящиеся к сингулярно возмущенным дифференциальным уравнениям, за исключением [27] (на ней мы остановимся ниже), изучают вопросы связи исходного и вырожденного дифференциального уравнения при постоянном малом параметре при старшей производной. В то же время мы видим, что в реальных физических системах малый параметр, являющийся конкретной физической величиной, обязательно будет как-то меняться с течением времени. К примеру, в уравнении, описыв'ающем движение вязкой жидкости, вязкость, играющая роль малого параметра, зависит, вообще говоря, от давления и температуры окружающего воздуха, а они, очевидно, не могут быть постоянными. Спрашивается, имеем ли мы право пренебрегать этим?
Цель диссертации состоит в том, чтобы выяснить, влияет ли зависимость малого параметра от переменной дифференцирования на близость решений реальной и вырожденной систем, и, если такое влияние будет установлено, найти его количественные характеристики.
Научная новизна работы состоит в исследовании ряда сингулярно возмущенных задач с малыми параметрами, зависящими от переменной дифференцирования.
Введем обозначения, необходимые для формулировки результатов.
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений с!х ц, ц2 (0,.,ЦП (0)— = БСх, у, 1) (2) ш где х, Б- п-мерные вектор-функции, y,f- ш-мерные вектор-функции. Пусть i(t) = (n1(t),n2(t),.,nn(t)).
Через Мйо обозначим множество
О < к;|и.0 < (ij(t) < k*(i0 для всех достаточно малых ц0 е R+|, а через М - множество
М = {ц'(0: n'(t) е C°[t0,T°];Vi,i = ¡Язк^к; е R+| 0 < к; < щ (t) < к*}, где м-" Ct) =—м-Ct) i^o
Пусть х°- какой-либо фиксированный вектор-столбец n-го порядка, у0 -ш-го порядка. Через х (t), yfl(t) обозначим решение системы (2), удовлетворяющее при (i(t)e М начальным условиям x(l(t0) = x°, y,(t0) = y°. (3)
Через x(t), y(t) обозначим решение вырожденной задачи
О = F(x,y,t) dy dt f(x,y,t), y(t0) = y°>
4) соответствующей задаче (2), (3).
Определение 1. Если VS, 0 < 5 < Т° - t0, limSupx (t)-x(t) t'r.^0 м limSuply (t)-y(O M
C[t„ + 5,T°] 0. 0. с t,„T" то будем говорить, что на (10,Т°] имеет место предельный переход равномерно по классу М от решения задачи (2), (3) к решению соответствующей ей вырожденной задачи (4).
Определение 2. Главным диагональным минором к-го порядка в обозначении М''': 'к матрицы А п-го порядка, где 1<к<п, называется определитель матрицы к-го порядка, полученной из матрицы А вычеркиванием всех строк и столбцов, номера которых отличны от 1,Д2,.,1к.
В первой главе доказаны следующие теоремы. Теорема 1. Если
1. Р(х,у,1)=А(1,у)х+Ь(1,у), где А(1:,у) - невырожденная квадратная матрица размерности пхп; Ь(Ч,у) - п-мерная вектор-функция.
2. А(1:,у), Ь(1:,у), ^х,уД) имеют непрерывные частные производные по всем аргументам до второго порядка включительно в некоторой ограниченной замкнутой области О, (1) е С1 [о, Т° ], 1 = 1, п.
3. Точки (Ач(у^)Ь(у, I); у; 1) е в при (у, 1:) е Б с: в, система ау имеет единственное решение у(Ч) на [0,Т°], причем (у(Ч),1;)еВ при
4. \/(а,,а2,.,ап), 0 < к; < а; < к( , [ = 1,п, е [о,Т°] спектр матрицы сНа^ссь а2,., ап)А(у(0, О лежит в левой полуплоскости (Ке^((1,а,,а2,.,ап)< 0), то \/8,0 < 5 < Т° найдутся постоянные р.0 > 0, с5 > 0 и с>0, не зависящие от функций (I), \12 (I), рп (Ч), такие, что при 0 < р0 < х
ХО-ЭД!
С 5,Т" с5р о ' уи(0-у(0 со,ти то есть на (0,Т ] имеет место предельный переход равномерно по классу М от решения задачи (2), (3) к решению соответствующей ей вырожденной задачи
4).
Доказательство теоремы приведено в §2 главы 1.
Очевидно, если имеет место предельный переход равномерно по классу М, то имеет место предельный переход и в традиционном смысле.
Таким образом, теорема 1 обобщает и развивает утверждение, высказанное А.Н. Тихоновым в [32], но не доказанное им в случае, если вместо параметра ц рассматривать последовательность функций щОО, стремящуюся к нулю.
В связи с требованием 3 теоремы 1 возникает вопрос, каким условиям должна удовлетворять матрица А(у(Ч),1:), чтобы это требование обеспечивалось. Ответом на этот вопрос при п<3 могут служить теоремы 2 и 3, приведенные в §3 первой главы.
Теорема 2. Для того чтобы спектр матрицы где А(Ч) - квадратная матрица второго порядка, оставался в левой полуплоскости (КеХД^ц!^),}!*(Ч))<о) при Хт'ц*^) е[ = 1,2, > 1:0 при условии, что при Х/С^о в левой полуплоскости лежит спектр матрицы А(Ч), необходимо и достаточно, чтобы для \Л > 10 выполнялись следующие условия: аи(0<0, а22(0<0, £а„(1)<0. 1
Теорема 3. Для того чтобы спектр матрицы
•Ша^ОЛО, Ц 2(0, Ц 3(0)А(0, где А(Т) - квадратная матрица третьего порядка, оставался в левой полуплоскости < о) при \/ц*(1) е 1Г, \ = 1,3, VI > при условии, что при в левой полуплоскости лежит спектр матрицы
А(Ч), необходимо и достаточно, чтобы для > 1; 0 выполнялись следующие условия:
1.Ми(0>03 ¡ = 1,2; ¡<]<3; ¿Ми(0>0; 1 ап(1)<0, 1 = 13, ¿а„(0<0; 1
2. аи0)М23(0 + а22(0М13(0 + а3з(0М12(1)-А(0 <
В каждом из приведенных примеров в случае, когда ц;(1:) = ц(1:), [ = 1,2 примеры 1, 2), 1 = 1,3 (примеры 3, 4), имеет место предельный переход в традиционном смысле.
Если же хотя бы два ^¡(О отличны друг от друга, то утвердительный ответ на вопрос, будет ли иметь место предельный переход в новом смысле, мы можем дать только для систем, рассмотренных в примерах 2, 4. Что же касается систем, рассмотренных в примерах 1, 3, то теоремы соответственно
2, 3 здесь не работают, поэтому сразу о наличии здесь предельного перехода в новом смысле мы ничего не можем сказать.
В §4 первой главы рассмотрены системы вида с!х си с начальным условием хц(0) = х°, . (6) где А(1;) - квадратная матрица размерности пхп, §(1), ^хД), х°, х - п-мерные вектор-функции, в случае, когда характеристическое уравнение, отвечающее матрице сНаё :V 1(0, • - , Ц*п(0)А(1), (7) имеет хотя бы один тождественно равный нулю корень, то есть в критическом случае.
В этом случае вырожденная система, соответствующая уравнению (5), имеет неединственное решение. Показано, что решение, к которому будет стремиться решение хц(1) задачи (5), (6) при может быть найдено с помощью алгоритма Васильевой-Бутузова , то есть в рамках общей теории.
Найдены условия, при которых матрица (7) имеет при любых положительных ц*(1:) к, 1<к<п, тождественно равных нулю собственных значений и (п-к) собственных значений с отрицательными действительными частями, удовлетворяющих требованиям алгоритма. При 2<п<4 эти условия могут быть сформулированы в виде следующих теорем.
Теорема 4. Для того чтобы матрица, полученная из (7) при п=3, при любых положительных 1=1,2,3, 1е[0,Т], имела одно собственное значение, тождественно равное нулю, и два собственных значения с отрицательными действительными частями, необходимо и достаточно, чтобы VI е [0,Т]:
1. аи(1)<0, 1 = ¿а„(0<0; 1
2. Му(Г)>0, 1 = 1,2, 1<]<3; ¿Ми(Ч)>0;
1=1
1<}<3
3. А(0 = 0.
Теорема 5. Для того чтобы матрица, полученная из (7) при п=3, при любых положительных (Т), 1=1,2,3,1е[0,Т], имела два тождественно равных нулю собственных значения и одно собственное значение с отрицательной действительной частью, необходимо и достаточно, чтобы \/1е[0,Т]:
1. ай(0<0, 1 = 1Д 5Х(0<0; 1
2. Ми(0 = 0, 1 = 1,2; 1< ]<3;
3. Л(0 = 0.
Теорема 6. Для того чтобы матрица, полученная из (7) при п=4, при любых положительных р*^), 1 = 1,4, 1 е [0,Т], имела одно тождественно равное нулю собственное значение и три собственных значения с отрицательными действительными частями, необходимо и достаточно, чтобы для VI е [0,Т]:
1. ай(0<0; 1 = 1Д ¿а„(1)<0; 1
2. Ми(^>0; 1 = 13; 4>>1; ¿М*(Т)>0;
1 4>р!
3. М"к(Т)<0; 1 = 1,2; 4>к>]">1; £мук(0<0;
1 4 >к >.)>!*
4. аи(1)М23(0 + а22(1)М13(1) + а3з(1)М12(0-М123(0 <
2тт{л/а11(1)М23(1)а22(0М,3(0,7а11(1)М23(0а33(1)М,2(0,
7а22(0М13(0а33(1)М12(0} ап (1)М24(I) + а22(1)М14 (1) + а44 (ОМ12(1) - М124 (I) <
2тт{л/а11(0М24(1)аи(1)М14(0, л/а220)М,4(1)а44(1)М12(1)} аи 0)М34 (I) + а33 (1)М14(О + а44 (1)М13 (I) - М134 (О <
2тт{>/а11(1)М34(1)азз(0М,4(0,7ап(0М34(0а44(1)М,3а);>
7а3з(0М14(0а440)М13(0} а22 (1)М34 (I) + а33(1)М24 (1) + а44 (1)М23 (I) - М234 (1) <
2тт{7а^(1)М34 (1)а33 <Ч)М24 (1)5Л/а22 (1)М34 (1)а44 <Ч)М23 (I),
7а3з (1)Мм (1)а44 (ОМ23 (1)>
5. Д(О = 0.
Теорема 7. Для того чтобы матрица, полученная из (7) при п=4, при любых положительных ц,'(Х), 1 = 1,4, I е [ОД], имела два тождественно равных нулю собственных значения и два собственных значения с отрицательными действительными частями, необходимо и достаточно, чтобы для \?Че[0,Т]:
1.ан(1)<0; 1 = Й ¿а„(0<0; 1
2.М"(0>0; 1 = й;4>]>1; ¿Му(0>0; 1
3. мйк(0 = 0; 1 = 1,2; 4>к>]>1;
4.А(0 = 0.
Теорема 8. Для того чтобы матрица, полученная из (7) при п=4, при любых положительных ц'ОО? [ = 1,4, I е [0,Т], имела три тождественно равных нулю собственных значения и одно собственное значение с отрицательной действительной частью, необходимо и достаточно, чтобы для У1е[0,Т]:
1. ап(1)<0; 1 = ¿а„(1)<0; 1
2. М8(0 = 0; 1 = 4>]>1;
3. Мик(Ч) = 0;^ ¡ = 1,2; 4>к>}>[;
4. Л(Ч) = 0.
Во второй главе предельный переход исследуется при более слабых ограничениях на функции, стоящие перед производными. Эти функции предполагаются измеримыми (в отличие от главы I, где указанные функции предполагались непрерывными).
Введем в рассмотрение множества Ьро = {р(0 : ц(1) е Ь'[10,-нх))Эк,К е 1Г|Ум = 1,2, VI е [10,+оо):
О < кр0 < (X) < Кр0 для всех достаточно малыхр0 е }, Ь = {р*(0 : е Ь'[10,+оо);Зк,К е = 1,2,
У1е[10,+сю):О<к<р;(1)<К}, где = —
Рассмотрим систему двух линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и переменными малыми параметрами ^¡(Т) при старших производных х с11аё(р,М, = Ах + Ь, (8) ш где
А=(ау) - неособенная постоянная квадратная матрица размерности 2x2, спектр которой лежит в левой полуплоскости (ReA,; < 0), х - вектор-столбец размерности 2x1, b - постоянный вектор-столбец размерности 2x1,
Обозначим через х (t) - решение системы (8) с начальным условием x„(t0) = x°, (9) а через x(t) - решение соответствующей ей вырожденной системы.
Обозначим = М, —-— = u (t), —^ = m. Перепишем систему (8) в новых kfi0 ^(t) Кц0 обозначениях dx = diag(u, (t), u 2 (t)XAx + b). dt
Решение системы (8) в новых обозначениях будет иметь вид x(t, u,(t), u2(t)). Так как ^¡(t) g L , 1=1,2, то u; (t) должны удовлетворять неравенству
0<m <u,(t)<M. Зафиксируем момент времени Т, Т > t0. Обозначим через
Io=Supt[xi(T,u1(T),u2(T))-x,(T)]2.
L Ы
Определение 2. Если для VT > t0: lim Sup t [х, (Т, u, (Т), u2 (Т)) - х, (Т)]2 = 0,
Но->° L j=i то будем говорить, что на (t0,+oo) имеет место предельный переход равномерно по классу L от решения х (t) исходной задачи к решению x(t) соответствующей ей вырожденной.
Первый параграф второй главы содержит вспомогательные утверждения. В §2 приведены необходимые и достаточные условия существования предельного перехода равномерно по классу L от решения исходной задачи (8), (9) к решению соответствующей ей вырожденной. Эти условия сформулированы в виде теоремы 9.
Теорема 9. Пусть ^¡(уьу2) - корни характеристического уравнения, отвечающего системе dx = diag(v1,v,)(Ax + b), v. e{m,M},i=l,2. (10) dt
Тогда для того чтобы на (t0,+°°) имел место предельный переход равномерно по классу L от решения исходной задачи (8), (9) к решению x(t) соответствующей ей вырожденной задачи, необходимо и достаточно, чтобы при любых двумерных выборках (vbv2), составленных из элементов множества {ш,М}, lim ReA,.(v ,v2) = -со, i=l,2.
Теорема доказана методами теории оптимального управления.
Замечание. В работе [27], упоминаемой выше, тоже идет речь о достаточных условиях существования предельного перехода от решения задачи (8), (9) к решению соответствующей ей вырожденной, однако ограничения накладываемые автором на систему (8), более жесткие в сравнении с условиями теоремы 9.
Основные результаты докладывались и обсуждались на научном семинаре по методам малого параметра кафедры математики физического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова (руководители - докт. ф.-м. н., профессор Васильева А.Б., докт. ф.-м. н., профессор Бутузов В.Ф.) в 1987, 1995, 1997г., на научном семинаре по дифференциальным уравнениям в Московском энергетическом институте (руководитель - докт. ф.-м. н., профессор Дубинский Ю.А.) в 1999 и 2000г., на конференциях по методам малого параметра, проходившим в Нальчике в 1987г., в Ашхабаде в 1990г. и в Обнинске в 2000г., на Учредительной конференции ассоциации женщин-математиков, проходившей в Суздале в 1993г.
1. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин C.B. Оптимальное управление. -М.: Наука, 1979.-432с.
2. Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. -М.: Наука, 1974. 503с.
3. Бутузов В.Ф., Васильева А.Б., Федорюк М.В. Асимптотические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений //Итоги науки. Математический анализ, 1967. М.: ВИНИТИ АН СССР, 1969.
4. Васильева А.Б. Асимптотические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений с малыми параметрами при старших производных //Вычислительная математика и математическая физика. -1963.-Т. 3, №4. С. 611-642.
5. Васильева А.Б. Асимптотика решений некоторых задач для обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений с малыми параметрами при старших производных //Успехи математических наук. -1963 Т. 18, №3. - С. 15-86.
6. Васильева А.Б. Асимптотические формулы для решений обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной, справедливые на полубесконечном промежутке //ДАН СССР-1962. Т. 142, №4. С. 769-772.
7. Васильева А.Б. Асимптотические формулы для решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений, содержащих при производных параметры различных порядков малости //ДАН СССР. -1959. -Т. 128, №6. С. 1110-1113.
8. Васильева А.Б. О многократном дифференцировании по параметру решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром при производной //Математический сборник. -1959. -Т.48, №3-С.311-334.
9. Иваницкий Г.Р., Кринский В.И., Сельков Е.Е. Математическая биофизика клетки. М.: Наука, 1978. - 312с.
10. Косиченко H.A. О возможности существования предельного перехода в случае систем с малыми параметрическими функциями //Сборник научных трудов МГПИ им. В.И. Ленина. Серия ¡Вычислительная математика и математическая физика 1987 - С. 23-29.
11. Косиченко H.A. О предельном переходе в задаче с переменными малыми параметрами //Методы малого параметра: Тез. докл. Всесоюзн. научн. совещ. 26-28 мая 1987г. Нальчик, 1987.-С.80.
12. Косиченко H.A. О системах с переменными малыми параметрами при старших производных.-М., 1999.-42с.-Деп. в ВИНИТИ 9.04.99.№ 1072-В99.
13. Косиченко H.A. О существовании предельного перехода в случае переменных малых параметров /'/Учредительная конференция Российской ассоциации "Женщины-математики": Тез. докл. -М., 1993.
14. Косиченко H.A. Сингулярно возмущенные задачи с переменными малыми параметрами.-М., 1999.-56с.-Деп. в ВИНИТИ 28.04.99. № 1337-В99.
15. Ли Э.Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. М.: Наука, 1972.-576с.
16. Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. М.: Наука, 1981.-398с.
17. Митропольский Ю.А. Метод усреднения в нелинейной механике. Киев.: Наукова думка, 1971. - 440с.
18. Моисеев H.H. Асимптотические методы нелинейной механики. М.: Наука, 1981.-400с.
19. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1970.-331с.
20. Сабуров М.С. Оптимальные критерии ограниченности решений линейных дифференциальных уравнений второго порядка //Научные труды МПГУ им. В.И. Ленина. Серия: Естественные науки 1994. - Ч.Е -С. 13-22.
21. Сабуров М.С. О предельном переходе в сингулярно возмущенных системах с переменными малыми параметрами //Докл. АН. -1993. Т.ЗЗЗ, №2. - С.151-154.
22. Сафонов В.Ф. Метод регуляризации для сингулярно возмущенных систем нелинейных дифференциальных уравнений //Изв. АН СССР. Серия: Математика,- 1979.- Т.43, №3,- С.628-653.
23. Сафонов В.Ф. Метод регуляризации и асимптотические решения систем с медленными и быстрыми переменными //Всесоюзн. конф. по асимптотическим методам в теории сингулярно возмущенных уравнений: Тез. докл-Алма-Ата: Наука Каз. ССР, 1979,- 4.1.- С.77-79.
24. Сафонов В.Ф. Регуляризованные асимптотические решения нелинейных сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений //ДАН СССР. 1977.-Т.235, №6-С.1274-1276.
25. Тихонов А.Н. Методы малого параметра и их применение //Дифференциальные уравнения. -1985. -№10. С.1659-1661.
26. Тихонов А.Н. О зависимости решений дифференциальных уравнений от малого параметра //Математический сборник. -1948.-Т.22(64). С. 193-204.
27. Тихонов А.Н. О системах дифференциальных уравнений, содержащих параметры //Математический сборник. -1950. -Т.27(69). С. 147-165.
28. Тихонов А.Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые параметры при старших производных //Математический сборник.-1952.-Т.31(73).-С. 576-586.
29. Треногин В.А. Функциональный анализ М.: Наука, 1980 - 440с.
30. Федорюк М.В. Асимптотические методы для линейных дифференциальных уравнений М.: Наука, 1983 - 352с.
31. Фещенко С.Ф., Шкиль Н.И., Николенко Л.Д. Асимптотические методы в теории линейных дифференциальных уравнений.- Киев: Наукова думка, 1966.-252с.
32. Флэтто JL, Левинсон Н. Периодические решения сингулярно возмущенных систем //Математика (период, сб. переводов). -1958. -2:2. -С.61-68.
33. Хапаев М.М. Введение в теорию устойчивости М.: Наука, 1986 - 192с.
34. Хапаев М.М. Проблемы устойчивости в системах обыкновенных дифференциальных уравнений //УМН. 1980.-Т.35, вып. 1(211)-С.127-170.
35. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения.-М.: Мир, 1970.- 720с.
