Синхронизация поперечных мод в инжекционном лазере планарной геометрии тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. ЛОМОНОСОВА

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи УДК 535:621.373.8

Плисов Константин Ильич

СИНХРОНИЗАЦИЯ ПОПЕРЕЧНЫХ МОД В ИНЖЕКЦИОННОМ ЛАЗЕРЕ ПЛАНАРНОЙ ГЕОМЕТРИИ

01.04.03 - Радиофизика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА-2005

Работа выполнена на физическом факультете Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Логгинов Александр Сергеевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Кандидов Валерий Петрович

доктор физико-математических наук, профессор Якубович Сергей Дмитриевич

Ведущая организация: НИИ «Полюс», Москва

Защита диссертации состоится «2^ » .»¡л^Ял 2005 года в на заседании

диссертационного совета Д 501.001.67 при Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу 119992, г. Москва, ГСП, Ленинские горы, МГУ, физический факультет, ауд. им. Р.В. Хохлова.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова

Автореферат разослан «24» февраля 2005 года.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат фих-мат. наук

Общая характеристика работы

Актуальность проблемы. Исследование проблемы синхронизации мод в полупроводниковых лазерах имеет давнюю историю и восходит к началу исследований динамики излучения инжекционных лазеров планарной геометрии с широким контактом. Богатый спектральный состав излучения таких лазеров позволяет наблюдать огромное разнообразие пространственно-временных и спектрально-временных динамических явлений. В основе экспериментальных наблюдений лежал метод электронно-оптической хронографии [1], идеально подходящий для исследования быстропротекающих процессов в одномерных объектах, которым фактически и является активная область инжекционного лазера. На рис. 1 представлен один из примеров такого динамического поведения -развертка во времени (хронограмма) картины ближнего поля излучения гетеролазера с широким контактом. Здесь отчетливо видны два типа процессов- относительно медленные дискретные перемещения излучающего пятна в пределах протяженных (порядка десятков микрометров) участков активной области и с высокой степенью периодичное переключение двух излучающих пятен в существенно более узком участке активной области. Отметим, что экспериментально наблюдаемое дискретное перемещение излучающего пятна в протяженных областях квазипериодично. Временами оно происходит по почти гармоническому или пилообразному законам, временами прекращается.

На начальном этапе исследований подобные явления можно было отнести к разряду экзотических и не представляющих практического интереса. В последние годы в связи с перспективами использования оптических каналов при построении компьютеров [2], реальной становится возможность использования высокочастотного дискретного перемещения излучающего пятна когерентного излучения в устройствах коммутации каналов оптических линий связи.

Впервые явление периодического движения излучающего пятна вдоль активной области лазера, а также сканирование диаграммы направленности было обнаружено в [3]. Первые теоретические исследования динамики генерации поперечных мод показали, что для наблюдения синхронизации нужно либо задавать параболические зеркала на концах

резонатора [4], либо ввести в активную область параболический профиль диэлектрической проницаемости [5].

I

• ".»¡, Л' ' -ч ■•'. ,..

Р' ■ ..

Зйс

Рис I Хронограмма ближнего поля излучения лазера с синхронизованными поперечными модами По вертикали - ось Оу, по горизонтали - время развертки ~ ^ не

Несмотря на давнюю известность явления синхронизации поперечных мод и даже определенные теоретические исследования применительно как к газовым [4], так и инжскционным лазерам, полного теоретического рассмотрения процесса синхронизации поперечных мод в инжекционных лазерах до настоящего времени не существовало.

Явление синхронизации поперечных мод можег оказаться полезным для создания инжекционного лазера с мультистабильной диаграммой направленности. Подобный лазер может использоваться для высокочастотной синхронизации полностью оптических устройств, разнесенных в пространстве.

В рамках обозначенных выше проблем цель работы - разработка теоретических методов исследования явления синхронизации поперечных мод в инжекционном лазере, для анализа причин разрушения режима самосинхронизации и получения полностью стабильной картины сканирования. Применительно к инжекционному лазеру планарной геометрии в работе решались следующие задачи

1. Разработка метода скоростных уравнений с учетом фазовых соотношений между поперечными модами для анализа процесса синхронизации поперечных мод.

2. Теоретическое исследование динамики генерации инжекционного лазера с широким контактом с использованием метода распространяющегося пучка (МРП). Анализ адекватности МРП поставленной задаче.

3. Исследование причин, вследствие которых нарушается стабильность режима самосинхронизации поперечных мод; анализ возможности активной синхронизации поперечных мод в инжекционном лазере; получение полностью стабильного режима самосинхронизации поперечных мод.

Научная новизна работы заключается в следующем:

расширена модель скоростных уравнений для возможности анализа поведения инжекционного лазера в режиме синхронизации поперечных мод.

исследованы возможности и принципиальные ограничения метода скоростных уравнений при анализе синхронизации поперечных мод. Проанализирована адекватность метода распространяющегося пучка для расчета процесса синхронизации поперечных мод в инжекционном лазере с широким контактом.

• С помощью метода распространяющегося пучка проведен расчет динамических процессов в инжекционном лазере с широким контактом. Продемонстрированы причины, по которым нарушается стабильность сканирования излучающего пятна в ближнем поле.

Получен стабильный режим самосинхронизации поперечных мод. Продемонстрирована возможность активной синхронизации поперечных мод; получен стабильный режим активной синхронизации.

• Выяснены ограничения на частоту стабильного режима самосинхронизации.

Практическая ценность. Диссертационная работа относится к исследованию динамических процессов, протекающих в инжекционном лазере в режиме многомодовой генерации. Полученные результаты могут быть использованы для создания инжекционного лазера с мультистабильной диаграммой направленности, что может пригодиться для высокочастотной синхронизации полностью оптических устройств, разнесенных в пространстве. Результаты проведенных исследований показывают, что частота сканирования в подобного рода устройствах может достигать 10 ГГц, это на несколько порядков выше тех частот, которые достигаются с помощью методов акустооптики.

Научные положения, выносимые на защиту.

1. Получена система скоростных уравнений с учетом фазовых соотношений между модами. Учет моделью фазовых соотношений между модами позволяег применять ее для исследования явления самосинхронизации поперечных мод.

2. Разработана самосогласованной модель синхронизации поперечных мод на основе метода распространяющегося пучка. С ее помощью проведен расчет динамических процессов в инжекционном лазере с широким контактом. Показано, что основной причиной нарушения стабильного сканирования оказывается влияние выжигания инверсной населенности на профиль диэлектрической проницаемости. Также показано, что значительное влияние на стабильность сканирования оказывает ширина активной полоски во взаимосвязи с величиной коэффициента параболической неоднородности коэффициента преломления.

3. Установлено, что в инжекционном лазере можно получить полностью стабильный режим пассивной и активной синхронизации поперечных мод. Предложена схема активной синхронизации поперечных мод. Проведены оценки максимального количества поперечных мод, которые могут принимать участие в самосинхронизации, и выяснены ограничения на максимальную частоту сканирования.

Апробация результатов. Основные результаты, изложенные в диссертации, докладывались на: Ш и IV Международных научно-технических конференциях «Квантовая электроника» (Минск, 2000, 2002); научной конференции «Ломоносовские чтения» (Москва, МГУ им М.В. Ломоносова, 2004); X Всероссийская школа-семинар "Волны 2004", секция «Оптика неоднородных и нелинейных сред» (Московская область, пансионат "Университетский", 2004 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в трех печатных работах.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из четырех глав, выводов и списка цитируемой литературы. Работа содержит 121 страницу, включает 23 рисунка, 4 таблицы и 104 библиографические ссылки.

Содержание работы

В первой главе диссертации обоснована актуальность темы исследования, сформулирована цель работы и обозначены главные задачи исследования, описана структура диссертации, изложены основные научные положения, выносимые на защиту, приведен обзор работ, посвященных экспериментальному и теоретическому исследованию динамики генерации инжекционного лазера в многомодовом режиме. Большое внимание уделено обзору численных методов решения задач о распространении света в устройствах оптоэлектроники и микрооптики, в частности в инжекционных лазерах.

Вторая глава диссертации посвящена разработке математической модели описания динамики генерации инжекционного лазера в режиме синхронизации поперечных мод на основе решения скоростных уравнений. Полученная система уравнений включает в себя не только уравнения для мощности электрического поля (или плотности фотонов) и плотности инверсной населенности, как это делается обычно, но также дополнена уравнениями для учета фазовых соотношений между модами. Именно выполнение условия привязки фаз мод друг к другу приводит к проявлению синхронизации. Помимо простоты решения и большой наглядности данный подход позволяет сделать целый ряд весьма важных заключений о характере протекания процесса синхронизации мод в зависимости от параметров лазерной структуры. Полученная

система скоростных уравнений позволила понять и наглядно продемонстрировать одну из причин непостоянства гармонического сканирования, его периодического пропадания и восстановления.

В параграфе 2.1 проведен сравнительный анализ метода на основе решения системы скоростных уравнений и прочих методов расчета динамики генерации. Рассматриваются как его преимущества, гак и недостатки. Главными достоинствами рассмотрения проблемы синхронизации на основе решения системы скоростных уравнений является простота реализации и хорошее согласие с экспериментальными данными при соблюдении ряда ограничений на диапазоны изменений параметров. В то же время отмечено, что при несоблюдении соотношения величин вкладов в профиль диэлектрической проницаемости от технологически заданной параболической неоднородности и неоднородности, наведенной в процессе выжигания концентрации неравновесных носителей, возможна полная потеря адекватности модели при описании прогекающих в реальной структуре процессов.

Параграф 2.2 посвящен выводу системы скоростных уравнений с учетом фазовых соотношений между модами. Специфика рассматриваемой задачи состоит в том, что в волноведущей области лазера создан параболический профиль показателя преломления (рис. 2). В связи с этим шбственными функциями электрического поля в направлении оси Оу будут полиномы Эрмита-Гаусса, по которым и производится ею разложение. Посредством метода медленно меняющихся амплитуд, волновое уравнение (гиперболическое) приводится к уравнению дифракции (параболическому). В поперечном направлении из-за малой толщины волноведущей области возможно использование метода эффективного показателя преломления [6]. Тем самым происходит редукция исходной трехмерной задачи к двумерной. В результате получается набор связанных уравнений для медленно меняющейся комплексной амплитуды каждой из поперечных мод, каждое из уравнений, в свою очередь, разбивается на два уравнения - для модуля и для фазы моды. В завершение полученная система уравнений дополняется нестационарным уравнением диффузии, учитывающим изменение концентрации инвертированных носителей под действием поля излучения. Таким образом, получается самосогласованная система уравнений для расчета динамических процессов в лазере при условии одновременной генерации многих поперечных мод.

—Гт,*(я)£ в, (у)В„ {у% Ц)Тт (/)|ехр(-,уы)

I.»

^^ =^[О,(О-я„, ]IГ/ I+А• й, -^У,171 7;. I к ™УГЫ + еы созГь,}

Здесь, п(у,1) - профиль концентрации инвертированных носителей вдоль поперечной координаты, у - плотность тока накачки, е - заряд электрона, <1 -толщина активного слоя, Ол- коэффициент амбиполярной диффузии, г.- время жизни инвертированных носителей, г- время в единицах те, с - скорость света, т)г - групповой коэффициент преломления, Г - коэффициент оптического ограничения, g{n) = an-b -материальный коэффициент усиления, - коэффициент усиления к-ой моды,

агш = —1п—---коэффициент потерь на излучение, Ь- длина резонатора, И] и Я2 -

2/, а м

коэффициенты отражения зеркал, /?- вклад спонтанной рекомбинации, пк — число

инвертированных носителей, принадлежащих к-ой моде,

Фт = ®т,+Фк - "полная" фаза моды

угы = фк -ф„ ~ "полная" разность фаз между модами.

Рис. 2. Схема рассматриваемой структуры.

В параграфе 2.3 описывается процедура численного решения самосогласованной системы уравнений, приведены величины параметров, участвующих в расчете, и результаты, полученные с помощью развитого метода скоростных уравнений. Решение показало, что при совместной генерации нескольких поперечных мод, профилями которых в направлении оси Оу служат полиномы Эрмита-Гаусса, хронограмма ближнего поля представляет собой след от излучающего пятна, сканирующего вдоль р-п перехода по гармоническому закону и принимающего дискретный набор положений. Их число равно числу генерируемых мод (рис. 3, 4).

11111 * I I I

8 2 8 22 8 24 6 26 8;

т,нс

Рис 3 Пространственно-временное распределение излучения в ближнем поле при синхронном генерации двух мод

15г

I I I I 1 I I:

I М М I I

324 8 26 8 28 г, не

Рис 4 Пространственно временное распределение излучения в ближнем поле при синхронной I енерации трех мод

Даны оценки частоты (10 - 50 ГГц) и угла сканирования (1,5° -4°) диаграммы направленности излучения. Показано, что при значительном влиянии выжигания инверсной населенности полем излучения возможно наблюдение периодического нарушения картины синхронизации (рис. 5)

В третьей главе на основе известного метода распространяющегося пучка (МРП) построена значительно более точная и приближенная к реальности модель многомодовой генерации, по сравнению с моделью, базирующаяся на решении скоростных уравнений. Проводится оценка допустимости использования МРП в приложении к рассматриваемой задаче и описывается алгоритм расчета всех интересующих параметров системы.

В параграфе 3.1 обосновывается необходимость замены метода скоростных уравнений на более точную модель. Предпринят детальный анализ адекватности метода распространяющегося пучка на основе быстрого преобразования Фурье (БПФ-МРП) условиям рассматриваемой задачи. По сути, в используемом варианте МРП используется всего два существенных предположения, которые требуют определенных оговорок. Это использование параксиального приближения и применение преобразования Фурье для

поиска решения нелинейной задачи. Соответствие модели условию параксиальное™ излучения проводится в связи с возможностью проявления эффекта каналирования в инжекционном лазере с широким контактом. Большая ширина контакта необходима для обеспечения возможности одновременного возбуждения многих поперечных мод. Однако в этом случае создаются благоприятные условия для проявления мелкомасштабной самофокусировки, которая в состоянии нарушить структуру поперечных мод так, что они будут определяться уже не технологически заданным профилем диэлектрической проницаемости, а нелинейностью активной среды. Необходимость отдельного обсуждения корректности использования БПФ при решении нелинейной задачи вполне очевидна. По своему смыслу применение преобразования Фурье возможно лишь в линейных задачах, в то время как уравнение распространения излучения в рассматриваемой задаче заведомо нелинейное, поскольку должно учитывать воздействие поля на себя через выжигание концентрации инверсной населенности активной среды. В результате проведенного анализа определяются ограничения на мощность излучения и на алгоритм расчета, обеспечивающие отсутствие противоречий в рассматриваемой модели.

Параграф 3.2 содержит вывод основного уравнения оптической части модели. Процесс вывода во многом напоминает процедуру получения скоростных уравнений для поперечных мод электрического поля, представленную в параграфе 2.2. Однако здесь имеет место существенное отличие, которое состоит в отсутствии какого-либо предположении об исходно заданном модовом составе излучения То, что профилями поперечных мод буду I функции, похожие на полиномы Эрмита-Гаусса, должно следовать непосредственно из результата расчета. Как и в случае вывода системы скоростных уравнений, полученное уравнение оптической части модели дополняется нестационарным уравнением диффузии. Как следствие получается самосогласованная модель, пригодная для расчета всех интересующих нас особенностей совместной генерации набора поперечных мод.

В параграфе 3.3 приведена методика решения самосогласованной системы уравнений, а также сделан ряд замечаний по поводу интерпретации результатов расчета. Рассмотрено поведение решения в случае невыполнения условий, необходимых для соблюдения адекватности модели поставленной задаче. В частности показано, что при проявлении эффекта каналирования сам вид решения сигнализирует о возникшей в

процессе расчета ошибке, поскольку пространственный спектр решения в этом случае демонстрирует неограниченный рост амплитуды спектральных компонент в сторону высоких частот. Подобные результаты не должны приниматься во внимание и могут служить лишь своего рода маркером, отмечающим несоответствие численного эксперимента условиям решаемой задачи Само электрическое поле в этом случае становится негладким, с множеством мелких всплесков и падений амплитуды, что является следствием испорченного пространственного спектра.

При соблюдении ограничения на мощность излучения и отсутствии эффекта каналирования следующее условие, которому нужно удовлетворить для возникновения самосинхронизации, - обеспечение эквидистантности спектральных интервалов между поперечными модами. Для этого в активной (или в волноведущей) области необходимо сформировать технологическим путем параболический профиль показателя преломления. Вообще говоря, для того, чтобы поперечными модами резонатора были полиномы Эрмита-Гаусса с эквидистантным спектром частот, технологически заданная неоднородность диэлектрической проницаемости должна существенно превосходить неоднородность, возникшую вследствие выжигания концентрации неравновесных носителей В случае их сопоставимых вкладов поперечными модами резонатора будут полиномы Эрмита-Гаусса с сильно возмущенным спектром частот, который совсем необязательно будет эквидистантным. Помимо влияния неоднородностей профиля концентрации инвертированных носителей на спектр частот может оказать воздействие ограниченность активной полоски по ширине. Поскольку активная полоска определяет своими границами открытый волновод, необходимо потребовать, чтобы собственные частоты соответствующих «мод полоски» были значительно меньше, чем собственные значения полиномов Эрмита-Гаусса. Это требование аналогично условию, что для всех генерируемых мод каустики лежат внутри активной области. Промежуточный случай, как и раньше, будет означать сильное возмущение собственных значений полиномов Эрмита-Гаусса и отклонение межмодовых интервалов от эквидистантного распределения. Для обеих ситуаций - как вклада от выжигания инвертированных носителей, так и влияния конечной ширины активной области приведены соотношения для оценки степени их воздействия на формирование спектра излучения. Полученная система уравнений представлена ниже:

dw d2w

+ ЦГЩу, z)f = 0

Эг dy

dt ed "by1 T„ d-ha' ' 1

= i{r,o / k0 \aN -b\- fa Ikjl- Г A-

i I

Здесь y/f, - электрическое поле, индекс fi в уравнении соответствует двум типам волн - прямой и обратной (f- forward и b - backward), Де(у, г) - вклад от всех возмущений мнимой и действительной час [ей диэлектрической проницаемости, ко - волновое число в вакууме, s - коэффициент параболической неоднородности показателя преломления, R -антиволноводный параметр, а? - коэффициент потерь в пассивных областях

Четвертая глава представляет собой конкретизацию и доведение до окончательных результатов тех соотношений, которые были получены в третьей главе Проводится исследование зависимости основных параметров синхронного режима генерации (частота и угол сканирования) от параметров лазера, таких как величина параболической неоднородности, ток инжекции, антиволноводный параметр. В результате исследования найдены условия существования стабильного режима сканирования диаграммы направленности излучения и определена верхняя частота стабильного сканирования

Параграф 4.1 представляет собой введение в рассмотрение проблемы стабильности режима синхронизации поперечных мод в рассматриваемой структуре. После реализации математической модели, развитой в третьей главе, первые же результаты численных экспериментов показали, что получение стабильного режима синхронизации оказывается весьма непростой задачей В отличие от модели главы 2, основанной на системе скоростных уравнений, где возможность отклонений от строго гармонического сканирования проявлялась тишь в случаях сверхвысоких частот сканирования (около 50 ГГц), более строгий подход показал, что, напротив, стабильный процесс сканирования является исключением, а, как правило, представляет собой биения (рис. 6).

Получить столь сильное проявление биений в рамках модели скоростных уравнений не удастся, в то время как экспериментальные данные (рис. 7) как раз указывают на то, что именно такое поведение характерно для лазера при одновременной

генерацией многих поперечных мод. Более того, проведенное исследование показало, что в рамках типичных значений параметров лазера выйти на полностью стабильный процесс гармонического сканирования не удастся.

Для определения условий существования стабильного режима сканирования в параграфе 4.2 рассмотрена теоретическая возможность принудительной синхронизации поперечных мод. Для этого активная область разделяется по длине на две неравные части. Через одну часть пропускается ток инжекции несколько меньший порогового, а через вторую, значительно меньшую по протяженности, пропускается постоянный ток с наложенной на него пространственной и временной модуляцией:

Г

¡У „ I совГяДл»! со8(яД&*)>0

[о, СО8(иДй*)<0

Здесь Н„ - полиномы Эрмига-Гаусса п-ю порядка, /? - коэффициенты для

корректировки величины вклада.

Численный расчет показывает, что таким образом действительно удается получить полностью стабильный процесс активной синхронизации поперечных мод (рис. 8).

Недостаток метода активной синхронизации очевиден - необходимость обеспечения сверхвысокочастотной модуляции тока накачки во времени. Фактически в данном методе временная модуляция тока накачки переводится в пространственную модуляцию интенсивности излучения в ближнем поле.

В связи с этим в параграфе 4.3 исследуется возможность нахождения оптимального пространственного профиля тока накачки, обеспечивающего стабильный процесс самосинхронизации поперечных мод. Установлено, что для этого достаточно несколько сгладить профиль тока накачки, который в обычном варианте представляет собой ступеньку, слегка размытую диффузией (рис. 9).

Для формирования сглаженного профиля тока накачки определялось стационарное распределение концентрации неравновесных носителей, полученное при решении уравнения диффузии с коэффициентом диффузии на порядок большем реально существующего. Полученный профиль концентрации нормировался так, чтобы в максимуме быть равным амплитуде тока накачки В результате получается сглаженный профиль тока, который был использован для непосредственного моделирования

процессов, протекающих в лазере. При этом было получено стабильное сканирование излучающего пятна по торцу лазера для случая синхронизации четырех мод, стандартного коэффициента диффузии и значения антиволноводного параметра, равного единице (рис. 9). Установлено, что сканирование наиболее устойчиво при малых (Я=0т1) значениях антиволноводного параметра.

в 582

382 2 582

4 582 6

г, не

562 0 563 683 2

в

Рис. 6. Картина сканирования излучающей области по зеркалу резонатора при совместной генерации четырех мод. Расчетная хронограмма ближнего поля, а - все время наблюдения, б - часть участка четкого гармонического сканирования, в - часть участка без гармонического сканирования.

1 НС

Рис. 7. Эксперимент. Хронограмма ближнею поля излучения лазера с синхронизованными поперечными модами.

-WO

-5C

3 50 100

у, MKM

16 -1 4 -1 3 -1 2 -

"ж

Й1 1 -

1 -09 -

0В -

0 7 - ----

60 40 30 -20 10 0 10 20 X 40

у, нки

Рис 9 Сглаживание выжженного излучением профиля инверсной населенности в результате диффузии носителей :ока

a) Вид профиля непосредственно после выжигания

b) Вид профиля после полупериода сканирования - Ц, - 33 смг/с

c) Вид профиля поспе полупериода сканирования - О! - 300 смг/с

Анализ причин подобного пространственно-временного поведения лазера показал, что ключевым моментом здесь является расщепление пространственного спектра мод. Поперечные моды лазера, оставаясь по-прежнему полиномами Эрми га-Гаусса, реагируют на возмущение исходно заданного профиля показателя преломления путем перестройки спектра частот.Таким образом, различные поперечные моды между собой могут и не взаимодействовать в силу почти полной ортогональности их профилей. За все процессы, связанные с отклонением от гармонического закона сканирования, отвечает взаимодействие между порождающей модой и ее сагеллитами, профили которых полностью перекрываются.

200 / 2?0

t.HC зд 100

Рис. 9 Расчетная xp0H0t рамма ближнего поля излучения. Процесс установления режима сканирования и фрагмент процесса сканирования - «лупа времени».

В параграфе 4.4 анализируется связь между частотой сканирования и стабильностью процесса самосинхронизации поперечных моц. Интерес к этому вопросу связан с желанием получить наибольшую частоту сканирования, чему препятствует инерционность процесса диффузии, восстанавливающего профиль инверсной населенности.

Расчет показывает, что в рассматриваемой области параметров структуры с уменьшением величины параболической неоднородности (рост частоты сканирования) область существования моц в пространстве уменьшается несколько мецленнее, чем это необходимо для сохранения паритета с уменьшающимся временем, отпущенным диффузии на сглаживание области. Получается, что для низких частот ширина выжигаемой области меньше той, которую диффузия в состоянии сгладить и здесь возможно наблюдение стабильного сканирования. В то время как для высоких частот

область оказывается больше допустимой, поэтому сканирование неизбежно приобретает характер биений. Диффузия не успевает замывать выжженный профиль инверсии, и уже для 8 ГГц режим стабильного сканирования получить не удается.

Выводы

1. Получена система скоростных уравнений, описывающая динамику генерации поперечных мод в инжекционном лазере с учетом фазовых соотношений между ними. Учет моделью фазовых соотношений между модами позволяет применять ее для исследования явления самосинхронизации поперечных мод.

2. Решение системы скоростных уравнений для поперечных мод в виде полиномов Эрмита-Гаусса показало, что результатом их совместной генерации является процесс периодического дискретного сканирования излучения в ближнем поле по гармоническому закону. Число дискретных положений луча в пространстве равно числу поперечных мод, вовлеченных в процесс самосинхронизации. Теоретические оценки частоты и угла сканирования дают значения 1°+4в и до 50 ГГц соответственно.

3. Метод распространяющегося пучка адаптирован и применен для построения модели, описывающей процесс совместной генерации поперечных мод в инжекционном лазере. С его использованием показано, что основной причиной нарушения синхронного режима генерации поперечных мод служит выжигание электрическим полем концентрации инвертированных носителей, меняющее величину показателя преломления среды и, как следствие, собственные значения поперечных мод.

4. Рассмотрена схема активной синхронизации поперечных мод в инжекционном лазере планарной геометрии с помощью модуляции тока накачки. Показано, что путем задания профиля тока накачки, модулированного по времени на ограниченном по длине участке активной области лазера, оказывается возможным навязывание заданного межмодового интервала и стабилизация режима синхронизации мод.

5. Установлено, что создание сглаженного в поперечном направлении профиля тока накачки позволяет получить стабильный режим самосинхронизации.

6. Исследована роль антиволноводного параметра в нарушении стабильности сканирования. Показано, что с его ростом спектр генерируемых поперечных мод подвергается расщеплению. У каждой моды появляются сателлиты, эффективно взаимодействующие между собой, что приводит к периодическому нарушению и

восстановлению режима сканирования. Амплитуды и частоты отстроек сателлитов увеличиваются с ростом антиволноводного параметра.

Основные результаты диссертации отражены в следующих публикациях:

1. Логгинов А.С., Плисов К.И. "Инжекционные лазеры с дискретно сканирующей диаграммой направленности", Квантовая Электроника, том 32, стр. 553,2002.

2. Logginov A.S., Plisov K.I. "Dynamics of an injection laser with parabolic inhomogeneity of permittivity in the active region", Laser Physics, vol. 14, pp. 1105-1109,2004

3. Логгинов A.C., Плисов К.И. "О стабильности процесса самосинхронизации поперечных мод в инжекционном лазере", Квантовая Электроника, том 34, стр. 833, 2004.

Список цитируемой литературы

1. Бутслов М.М., Степанов Б.М., Фанченко С.Д. "Электронно-оптические преобразователи и их применение в научных исследованиях", М., Наука, 1978.

2. Miller D.A.B. "Rational and Challenges for Optical Interconnects to Electronic Chips" Proceedings of the IEEE, vol. 8,728-749,2000.

3. Вышлов С.С., Иванов Л.П., Логгинов A.C., Сенаторов К.Я, Самосинхронизация поперечных типов колебаний в инжекционном лазере, Письма в ЖЭТФ, том 13, стр. 131-133,1971.

4. Auston D.H "Transverse mode locking", IEEE J. Quantum Electron., vol. 4, pp. 420-422, 1968.

5. Курылев В. В., Логгинов А.С., Сенаторов К.Я. Письма в ЖЭТФ, 8,317,1968.

6. Buus J. "The effective index method and its application to semiconductor lasers" IEEE J. Quantum Electron, vol. 18, pp. 1083-1089,1982.

7. Agrawal G.P. "Fast-Fourier-transform based beam-propagation model for stripe-geometry semiconductor lasers: Inclusion of axial effects", J. Appl. phys., vol. 56, pp. 3100-3109,1984.

Подписано в печать 24.02.2005 Объем 1.75 усл.пл. Тираж 100 экз. Заказ № 14 Отпечатано в ООО «Соцветие красок» 119992 г.Москва, Ленинские горы, д.1 Главное здание МГУ, к.102

М0Г

'V 200

§ 1.1. Цель работы.

§ 1.2. Обзор литературы.

§ ] .3. Структура работы и цели исследования.

Глава 2. Теоретическая модель генерации поперечных мод на основе скоростных уравнений, учитывающая фазовые соотношения между модами.

§ 2.1. Эффекты, наблюдаемые в случае совместной генерации поперечных мод

§ 2.2. Самосогласованная модель скоростных уравнений с учетом фазовых соотношений между поперечными модами.

§ 2.3. Результаты моделирования и их сопоставление с экспериментом.

Глава 3. Анализ режима синхронизации поперечных мод методом распространяющегося пучка.

§ 3.1. О корректности использования метода распространяющегося пучка для исследования динамических процессов в инжекционном лазере с широким контактом.

§ 3.2. Уравнения математической модели.

§ 3.3. Возможности модели и методика расчета.

§3.3.1. Методика оценки результатов расчета.

§3.3.2. Факторы, определяющие нарушение эквидистантности межмодовых интервалов.

Глава 4. Результаты моделирования.

§ 4.1. О стабильности процесса самосинхронизации поперечных мод.

§4.1.1. Зависимость частоты сканирования от величины параболической неоднородности.

§4.1.2. Зависимость числа поперечных мод от параметров лазерной структуры

§4.1.3. Зависимость угла сканирования от величины параболической неоднородности.

§ 4.2. Активная синхронизация поперечных мод при задании пространственного профиля тока накачки и его модуляции во времени.

§ 4.3. Режим стабильной самосинхронизации поперечных мод.

§ 4.4. Связь между частотой сканирования и стабильностью процесса самосинхронизации.

Выводы по диссертации.

§ 1.1. Цель работыИижекционные лазеры со времени их изобретения проделали огромный путь в плане совершенствования их параметров, конструкции и технологии изготовления. На сегодняшний день они являются наиболее широко используемым типом лазеров. Причиной тому служат многочисленные преимущества инжекционных лазеров в сравнении с лазерами других типов.

Можно утверждать, что в век микро- и нанотехнологий инжекционные лазеры, которые сами по себе имеют микронные размеры, являются наиболее «естественным» источником света, органично сочетающимся, благодаря своим малым размерам, с другими элементами микроэлектроники и микрооптики. Эти особенности инжекционных лазеров привели к их широкому использованию в волоконно-оптических линиях связи и устройствах оптической обработки информации.

Обладая малыми размерами, инжекционные лазеры в большинстве случаев генерируют относительно малую мощность излучения, измеряемую десятками и сотнями милливатт. Для практических применений, требующих больших мощностей, используют когерентное суммирование мощности фазированных излучателей. Помимо значительного возрастания мощности излучения это также позволяет сузить угол расходимости диаграммы направленности.

При использовании массива излучателей помимо увеличения мощности и сужения диаграммы направленности оказывается возможным управлениепространственным положением диаграммы направленности совокупного излучения путем изменении фазы излучения отдельных лазеров.

Одним из заманчивых способов управления положением диаграммы направленности излучения инжекционного лазера в пространстве является использование синхронизации поперечных мод, возбуждаемых в нем при определенных условиях. Этот способ аналогичен использованию массива излучателей с управляемыми амплитудами и фазами лишь с тем отличием, что роль отдельных излучателей в этом случае играют разные поперечные моды одного и того же лазера, находящиеся в фазовой взаимосвязи друг с другом.

Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию проблемы самосинхронизации поперечных мод в инжекционном лазере. Совместное возбуждение ряда поперечных мод имеет место в структурах с широким контактом. В режиме синхронизации поперечных мод диаграмма направленности излучения лазера становится периодически сканирующей по гармоническому закону, принимая дискретный набор положений в пространстве, число которых оказывается равным числу поперечных мод, вовлеченных в процесс синхронизации. Гармонический закон сканирования является заданным, и изменением внешних условий при сохранении симметрии излучателя в направлении вдоль р-п перехода этот закон изменить нельзя. В этом отношении необходимо заметить, что непосредственное управление пространственными характеристиками излучения с целью навязывания произвольного закона сканирования невозможно. Речь может идти лишь о создании «задающегогенератора», формирующего строго периодическую последовательность импульсов, следующих под различными углами к излучающей поверхности.

Частота сканирования диаграммы направленности лазерного диода (ЛД), находящегося в режиме синхронизации поперечных мод, может достигать десятка гигагерц. Это на два порядка выше скоростей, которые являются реальными для акустооптических систем, используемых для управления пространственным положением светового луча. Применение подобного рода устройств может оказаться незаменимым для сверхскоростной пространственной коммутации каналов оптической передачи информации [1].

Задачи диссертационной работы формулируются следующим образом:1. Создать физическую и математическую модели, адекватно описывающие наблюдаемое экспериментальное явление самосинхронизации поперечных мод.

2. Вывести систему скоростных уравнений, учитывающую фазовые соотношения между модами, с целыо анализа поведения иижекционного лазера в режиме синхронизации поперечных мод.

3. Исследовать возможности и принципиальные ограничения использования метода скоростных уравнений при анализе синхронизации поперечных мод в инжекционном лазере.

4. Разработать строгую самосогласованную модель синхронизации поперечных мод и рассчитать с ее помощью динамические процессы в инжекционном лазере с широким контактом.

5. Выяснить причины, нарушения строгой периодичность сканирования излучающего пятна в ближнем поле и проанализировать влияние параметров лазерной структуры на стабильность сканирования.

6. Определить максимальное количество поперечных мод, участвующих в процессе синхронизации и выяснить ограничения на максимальную частоту сканирования§ 1.2. Обзор литературыПроблема синхронизации поперечных мод в полупроводниковых лазерах имеет давнюю историю и восходит к началу исследований динамики излучения инжекционных лазеров планарной геометрии с широким контактом. Богатый спектральный состав излучения таких лазеров позволяет наблюдать огромное разнообразие пространственно-временных и спектрально-временных явлений. В основе таких наблюдений лежит метод электронно-оптической хронографии [2], идеально подходящий для исследования быстропротекающих процессов в одномерных объектах, которым фактически и является активная область инжекционного лазера. Один из примеров такого динамического поведения — развертка во времени (хронограмма) картины ближнего поля излучения гетеролазера с широким контактом представлен на рис. 1.1. Здесь отчетливо видны два типа процессов: относительно медленные дискретные перемещения излучающего пятна в пределах протяженных (порядка десятков микрометров) участков активной области и с высокой степенью периодичное переключение двух излучающих пятен в существенно более узком участке активной области. Отметим, что показанное на рисунке дискретное перемещение излучающего пятна впротяженных областях квазипериодично. Временами оно происходит по почти гармоническому или пилообразному законам, временами прекращается.

3 неРис. 1.1. Хронограмма ближнего поля излучения лазера с синхронизованными поперечными модами. По вертикали - ось Оу, по горизонтали - время развертки 3 не.

На начальном этапе исследований подобные явления можно было отнести к разряду экзотических и не представляющих практического интереса. Наметившаяся в последние годы тенденция использования оптических каналов передачи информации при построении компьютеров []] делает реальной возможность использования высокочастотного дискретного перемещения излучающего пятна когерентного излучения в устройствах коммутации оптических каналов передачи информации.

Из-за малой длины резонатора (100 -ь 500 мкм) спектральный интервал между продольными модами составляет величину порядка сотни гигагерц, чтообуславливает сложность экспериментального получения синхронизации. Все известные схемы реализации режима синхронизации продольных мод опираются на использование внешнего резонатора [3]. В случае поперечных мод условия синхронизации сильно упрощаются из-за значительно меньшего спектрального интервала 10 ГГц.

Впервые явление периодического движения излучающего пятна вдоль активной области инжекционного лазера, а также сканирование диаграммы направленности было обнаружено в [4]. Первые теоретические исследования динамики генерации поперечных мод показали, что для наблюдения синхронизации нужно либо задавать параболические зеркала на концах резонатора [5], либо ввести в активную область параболический профиль диэлектрической проницаемости [6].

Для анализа явления синхронизации поперечных мод можно использовать два типа моделей. Первый тип опирается на решение скоростных уравнений, [7]. Он прост в использовании, довольно быстр и позволяет достаточно полно следить за динамикой лазера. Второй, [8, 9], основан на непосредственном решении параболического уравнения теории дифракции. Основным его преимуществом является отсутствие каких-либо предположений об исходно заданном модовом составе. Поперечный модовый состав излучения здесь вычисляется непосредственно в ходе расчета и изменяется вместе с изменением основных параметров системы. Оба подхода дают результаты, хорошо согласующиеся с полученными ранее экспериментальными данными. Однако более глубокое понимание сути явления возможно лишь при использовании второго подход.

Безусловно, основная цель исследования проблемы синхронизации поперечных мод - нахождение такого сочетания параметров активной среды лазера и его резонатора, при котором сканирование диаграммы направленности по гармоническому закону было бы абсолютно стабильным. Как показано в работе [9], главной причиной нарушения стабильности сканирования является нарушение эквидистантности межмодовых интервалов. Существуют, по крайней мере, два фактора, вызывающих нарушение эквидистантности мод - это влияние границ активной полоски, через которую происходит инжекция тока, и неоднородность выжигания профиля инвертированных носителей электрическим полем.

В общем случае при исследовании поведения излучения в резонаторе лазера необходимо решить трехмерную волновую задачу [10, 11]. Даже при современном уровне развития вычислительной техники ее решение может занять неприемлемо долгое время. Однако оптические свойства гетеролазера в направлении, перпендикулярном р-п - переходу, позволяют без потери точности редуцировать рассматриваемую задачу к двумерной.

В лазерах на двойной гетероструктуре из-за скачка показателя преломления в направлении, перпендикулярном р-п - переходу, создаются благоприятные условия для удержания поля излучения вблизи активной области и предотвращения его растекания. В спектр излучения такого лазера присутствует, как правило, единственная поперечная (transversal) мода нулевого порядка, соответствующая каждой из возбужденных продольных мод. Благодаря этому оказывается возможным использовать метод эффективного показателяпреломления [12] и свести с его помощью рассмотрение трехмерной задачи к решению эквивалентной, но уже двумерной.

В другом поперечном (lateral) направлении редукция, в случае лазера' с широким контактом невозможна, и все многообразие наблюдаемых эффектов связано с особенностями формирования поля излучения в этом и в продольном направлениях.

Продольные моды лазера формируются передней и задней сколотыми гранями лазера, образующими резонатор Фабри-Перо. В направлении вдоль р-п -перехода в лазере полосковой геометрии модовая структура формируется посредством волноводного эффекта за счет усиления в активной области. Ограничение растекания тока накачки в плоскости р-п - перехода осуществляется путем использования различных технологических методов, в частности, ионной имплантации [13, 14], протонной бомбардировки [15], мезаструктур [16], погруженных структур [17] и т.п.

Волноводные свойства активной области лазеров обусловлены рядом факторов, важнейшим из которых является неоднородное распределение концентрации носителей тока под контактом и связанные с ним вариации показателя преломления и локального усиления [18].

Распределение концентрации носителей определяется различными механизмами, такими как растекание тока, диффузия носителей, выжигание инверсии оптическим излучением, и может изменяться в процессе генерации [19]. Вместе с тем вариации показателя преломления и локального усиления в продольном направлении весьма невелики [20]. Вследствие этого поперечныемоды очень критичны к профилю инверсии. Это обуславливает многообразие и сложность явлений, связанных с формированием волновода в плоскости рп -перехода, и соответственно спектральных свойств излучения в лазерах полосковой геометрии.

Корректное исследование условий возбуждения и генерации поперечных мод предполагает решение самосогласованной задачи, учитывающей взаимное влияние инверсии и поля излучения. Для этого необходимо решить систему уравнений, одно из которых описывает вариации распределения концентрации носителей тока (диффузионное уравнение [21]), а второе - поле излучения в продольном и поперечном (lateral) направлениях.

До недавнего времени в связи с ограниченными возможнсотями вычислительной техники решение волнового уравнения представляло сложную задачу. Рассмотрение оптической части задачи проводилось на основе решения скоростных уравнений, которые представляли собой редукцию исходно распределенной задачи к задаче с сосредоточенными параметрами. В настоящее время строгое численное решение параболического уравнения теории дифракции не представляет проблемы. Тем не менее, простота и наглядность метода скоростных уравнений, равно как и удобство наблюдения с его помощью переходного процесса, позволяют рассматривать этот метод в качестве одного из мощных инструментов анализа. Однако для детального исследования распределенной задачи возможностей одного лишь метода скоростных уравнений явно недостаточно.

Следующим этапом на пути приближения к учету распределенных свойств системы стали методы анализа, в которых свойства поперечных мод изучались на основе рассмотрения профилей инверсии, допускающих аналитическое решение уравнения на собственные функции и собственные значения. К ним относятся параболический [22] и прямоугольный [23, 24] профили, слой Эпштейна [25]. Однако подобное рассмотрение не отражало всего многообразия явлений, имеющих место в инжекционных лазерах, особенно с учетом обратного влияния излучения на профиль инверсии.

Позднее основным стал метод численного решения уравнения на собственные значения для определения поперечных мод с учетом произвольного распределения показателя преломления [26-37]. Если не рассматривать аксиально-неоднородные лазеры, то результаты этого метода можно назвать полностью корректными. Этот метод хорошо подходит для расчета ближнего поля лазера в стационарном режиме, поскольку в этом случае излучение имеет фиксированный вид, и собственные функции резонатора не меняются со временем. Однако режим синхронизации мод (как продольных, так и поперечных) по своему смыслу не может быть стационарным, а, значит, воздействие электрического поля на среду будет меняться (периодически) со временем и нельзя говорить о неизменности оптических свойств резонатора, а, тем самым, и его мод. В таком случае методы, основанные на предварительном расчете мод резонатора, нельзя считать полностью адекватными.

Наиболее корректно решение параболического уравнения теории дифракции может быть проведено с помощью метода распространяющегося пучка(МРП) [38]. В отличие от других методов решения волнового уравнения [26-37], МРП не использует никаких аппроксимаций поперечного распределения показателя преломления, а равно и каких-либо предположений о неизменности модовой структуры излучения в поперечном направлении, и состоит в непосредственном решении параболического уравнения теории дифракции -уравнения Френеля. Вариант метода, предложенный в [39], учитывает как поперечные, так и продольные неоднородности показателя преломления в лазере.

Метод распространяющегося пучка, развитый за последние два десятилетия, имеет множество вариантов. Их можно классифицировать по способу дискретизации задачи в поперечном направлении: МРП на основе быстрого преобразования Фурье (БПФ-МРП) [40], конечно-разностный (КР-МРП) [41-46], конечных элементов (КЭ-МРП) [47-54] и метод линий (МЛ-МРП) [55]. В БПФ-МРП возможно использование лишь сетки с одинаковым шагом, тогда как в других вариантах МРП допускается использование сетки переменного шага [56-62], что может потребоваться в ряде случаев для увеличения эффективности расчета или более точного моделирования конфигурации задачи. Для аксиально-симметричного волновода вариант КР-МРП, использующий неоднородный шаг сетки в поперечном направлении, рассмотрен в [56].

В случае КР-МРП большинство авторов применяют неоднородную схему Кранка-Николсона [58, 59]. Данная схема обеспечивает второй порядок точности. Точность расчета можно значительно увеличить путем некоторой модификации оператора второй производной [56], однако в результате авторы получили пятидиагональную матрицу, для которой не существует таких эффективныхметодов расчета, как для трехдиагональной. Тем не менее, можно показать [63], что при замене схемы Кранка-Николсона на обобщенную схему Дугласа [64-66] оказывается возможным сохранить трехдиагональную матрицу и достичь четвертого порядка точности. Другие варианты повышения порядка точности для БПФ-МРП и КР-МРП рассмотрены в [67].

Альтернативой схемам с переменным шагом может служить метод отображения неоднородной сетки из физического пространства в однородную сетку, но уже в численном пространстве. В [68] эта техника была впервые применена к МРП для того, чтобы избежать ложных отражений, появляющихся на границах численных окон при дискретизации с переменным шагом.

Возможны два варианта применения обобщенной схемы Дугласа (ОСД). В первом варианте метода (метод численных областей) ОСД применяется уже после замены неоднородной сетки из физической области на однородную в численной [68-70]. Во втором варианте (метод физических областей) ОСД применяется непосредственно к неоднородной сетке в физической области [66]. Оба варианта метода могут быть применены как в параксиальном приближении, так и для больших углов дифракции [71, 72] - КР-МРП, [73] - КЕ-МРП. Оценки точности различных вариантов МРП и их сравнительные характеристики, а также зависимость стабильности методов от выбора шага дискретизации приведены в работах [74-80].

Для моделирования распространения импульсных пучков в волноводах применяют модифицированный метод распространяющегося пучка, так называемый МРП во временной области [81]. В отличие от варианта метода спостоянной амплитудой электрического поля он способен учитывать зависимость амплитуды поля от времени. Модификация метода на случай медленно меняющегося профиля предложена в работах [82-85].

Помимо рассмотрения задач о распространении волн неизменной амплитуды и волн с медленно меняющимся профилем [86-89], большое значение имеет расчет распространения сверхкоротких импульсов, для которых приближение медленно меняющегося профиля оказывается непригодным. Для решения этого рода задач был разработан конечно-разностный метод решения во временной области (КРВО) [90-93].

Использование уравнения Френеля (параболического уравнения теории дифракции) предполагает, что выполнено условие параксиального приближения. Этого в ряде случаев может оказаться недостаточно. Например, при расчете отражений под большими углами или дифракции на объектах, размеры которых малы по сравнению с длиной волны. В [94] предложено обобщение метода распространяющегося пучка на непараксиальное приближение. В [63, 95] -предложена унифицированная схема МРП, которая пригодна как для параксиального, так и непараксиального случаев.

Использование МРП для анализа распространения электромагнитных волн в анизотропных средах потребовало обобщения с целью учета влияния друг на друга различных компонент электромагнитного поля. Полностью векторный вариант МРП развит в [96].

При решении уравнения оптической части математической модели одним из главных вопросов, на который необходимо ответить, является вопрос о выбореграничных условий. Решение может быть найдено, если заданы начальные и граничные условия. При неверном выборе граничных условий в процессе расчета могут появиться отражения излучения от границ области, которые не наблюдаются в действительности. Для расчета поля излучения в неограниченных областях предложено много различных методов [97]. Как правило, выбирают граничные условия с поглощением [98] или так называемые прозрачные граничные условия [99].

В [100] представлена модификация МРП для случая изменяющегося скачком показателя преломления. Использование обычных вариантов метода в таких случаях может приводить к значительной потере точности в оценке результатов из-за присутствия в уравнениях разрывных функций. Замена полной системы на набор подсистем, внутри каждой из которых показатель преломления изменяется плавно, позволяет значительно повысить точность расчета.

В нашем случае расчета динамики генерации инжекционного лазера нет необходимости в дискретизации области сеткой с переменным шагом, поскольку внутри активного слоя нет резких скачков показателя преломления, равно как нет нужды в выходе за пределы параксиального приближения, поэтому из всего многообразия рассмотренных методов предпочтительным для нас оказывается непосредственное использование БПФ-МРП. Отдельного рассмотрения, однако, требует вопрос о возможности использования преобразования Фурье в нелинейных задачах [101]. На этом и на некоторых других вопросах адекватности метода смыслу поставленной задачи мы подробно останавливаемся в главе 3.§1.3. Структура работы и цели исследованияВ настоящей работе построена теоретическая модель процесса генерации множества поперечных мод в резонаторе инжекционного лазера планарной геометрии. При этом использованы два подхода к анализу явлений, протекающих в инжекционном лазере в режиме синхронизации поперечных мод. Первый и более простой основан на усовершенствованном методе скоростных уравнений, второй, значительно более строгий, на адаптированном к условиям настоящей задачи методе распространяющегося пучка.

Вторая глава диссертации посвящена разработке математической модели описания динамики генерации инжекционного лазера в режиме синхронизации поперечных мод на основе решения скоростных уравнений. Полученная нами система уравнений включает в себя не только уравнения для мощности электрического поля (или плотности фотонов) и плотности инверсной населенности, как это делается обычно, но также дополнена уравнениями, учитывающими фазовые соотношения между модами. Именно при соблюдении условия привязки фаз генерируемых мод друг к другу возможно проявление синхронизации. Помимо простоты решения и большой наглядности данный подход позволяет сделать ряд весьма важных заключений о характере протекания процесса синхронизации мод в зависимости от значений параметров лазерной структуры. Благодаря полученной системе скоростных уравнений, удалось понять и наглядно продемонстрировать одну из причин непостоянства гармонического сканирования - его периодическое пропадание и восстановление.

В третьей главе на основе хорошо известного метода распространяющегося пучка построена модель многомодовой генерации, превосходящая по точности иприближенности к реальности модель, базирующуюся на решении скоростных уравнений. Проведена оценка допустимости использования »метода распространяющегося пучка для данного случая и описан алгоритм расчета всех интересующих параметров излучения.

Четвертая глава представляет собой конкретизацию и доведение до окончательных результатов тех соотношений, которые были получены в третьей главе. Проводится исследование зависимости основных параметров синхронного режима генерации (частота и угол сканирования) от параметров лазера, таких как величина параболической неоднородности, ток инжекции, антиволноводный параметр. Анализируется возможность активной синхронизации поперечных мод.

В результате исследования найдены условия, при которых может быть реализован полностью стабильный режим сканирования диаграммы направленности. До проведения настоящего исследования существовали серьезные сомнения в возможности существования стабильного процесса сканирования. Эксперименты демонстрировали лишь ограниченную по времени самосинхронизацию мод. Благодаря проделанной работе удалось понять причины нестабильности и получить строго периодичный режим синхронизации поперечных мод; определить способы оценки максимального числа поперечных мод, обеспечивающих стабильное сканирование, а также найти верхнюю частоту стабильного сканирования.

Цели данной работы состоят в следующем:создание физической и математической моделей, адекватно описывающих наблюдаемое экспериментальное явление самосинхронизации поперечных мод;развитие модели скоростных уравнений с целью анализа поведения инжекционного лазера в режиме синхронизации поперечных мод; исследование возможностей и принципиальных ограничений метода скоростных уравнений при анализе синхронизации поперечных мод; анализ адекватности метода распространяющегося пучка для расчета процесса синхронизации поперечных мод в инжекционном лазере с широким контактом;адаптация метода распространяющегося пучка и расчет с его помощьюдинамических процессов в инжекционном лазере с широким контактом;выяснение причин нарушения гармонического закона сканированияизлучающего пятна в ближнем поле, анализ влияния параметров лазернойструктуры на стабильность сканирования;получение полностью стабильного режима самосинхронизации;анализ возможностей активной синхронизации поперечных мод; получениеполностью стабильного режима активной синхронизациивыяснение ограничений на частоту стабильного сканирования иопределение максимального количества поперечных мод, принимающихучастие в самосинхронизации.

Основные результаты опубликованы в работах [7 - 9], и доложены на конференциях:III Международная научно-техническая конференция «Квантовая электроника», Минск, 2000;IV Международная научно-техническая конференция «Квантовая электроника», Минск, 2002;Ломоносовские чтения, МГУ, 2004; Школа-семинар «Волны 2004», Красновидово, 2004;

Выводы по диссертации

1. Получена система скоростных уравнений, описывающая динамику генерации в инжекционном лазере поперечных мод с учетом фазовых соотношений между ними. Учет моделью фазовых соотношений между модами позволяет применять ее для исследования явления синхронизации поперечных мод.

2. С помощью модели скоростных уравнений для поперечных мод в виде полиномов Эрмита-Гаусса показано, что результатом их совместной генерации является процесс периодического дискретного сканирования излучения в ближнем поле по гармоническому закону. Число дискретных положений луча в пространстве равно числу поперечных, вовлеченных в процесс самосинхронизации. Получены оценки частоты и угла сканирования.

3. На основе построенной модели скоростных уравнений качественно и приближенно количественно объяснено явление периодического нарушения синусоидальности сканирования излучения в ближнем поле. Показано, что это происходит вследствие выжигания электрическим полем инвертированных носителей, от концентрации которых зависит величина показателя преломления.

4. Метод распространяющегося пучка адаптирован и применен для построения модели, описывающей процесс совместной генерации поперечных мод в инжекционном лазере. С использованием развитого метода подтверждено, что основной причиной нарушения синхронного режима генерации поперечных мод служит возмущение диэлектрической проницаемости вследствие выжигания инверсии электромагнитным полем и изменения собственных значений мод.

5. Предложена схема активной синхронизации поперечных мод в инжекционном лазере планарной геометрии с помощью модуляции тока накачки. Показано, что путем задания профиля тока накачки, модулированного по времени на ограниченном по длине участке активной полоски, оказывается возможным навязывание модам заданного спектрального интервала и стабилизация режима синхронизации мод.

6. Установлено, что создание сглаженного в поперечном направлении профиля тока накачки позволяет получить стабильный режим самосинхронизации. Исследование роли антиволноводного параметра в нарушении стабильности сканирования показало, что с его ростом спектр генерируемых поперечных мод подвергается расщеплению. У каждой моды появляются сателлиты, эффективно взаимодействующие между собой, что приводит к периодическому нарушению и восстановлению режима сканирования.

7. Показано, что амплитуды и частоты отстроек сателлитов увеличиваются с ростом антиволноводного параметра. В конечном итоге это приводит к нарушению стабильности процесса сканирования и наблюдению биений, проявляющихся в последовательном нарушении и восстановлении периодичности сканирования.

В заключении выражаю глубокую благодарность моему научному руководителю Логгинову A.C. за чуткое руководство и ценные замечания, которые способствовали формированию объективного понимания, оценки и точности описания полученных результатов.

1. Miller D.A.B. "Rational and Challenges for Optical Interconnects to Electronic Chips" Proceedings of the IEEE, vol. 8,728-749,2000.

2. Бутслов M.M., Степанов Б.М., Фанченко С.Д. "Электронно-оптические преобразователи и их применение в научных исследованиях", М., Наука, 1978.

3. ЮЛ. Бессонов, А.П. Богатов, П.П. Васильев, В.Н. Морозов, А.Б. Сергеев "Генерация пикосекундных импульсов в инжекционном лазере с внешним дисперсионным резонатором", Квантовая Электроника, том 9, стр. 2323-2326, 1982.

4. Вышлов С.С., Иванов Л.П., Логгинов А.С., Сенаторов К.Я, Самосинхронизация поперечных типов колебаний в инжекционном лазере, Письма в ЖЭТФ, том 13, стр. 131-133, 1971.

5. Auston D.H "Transverse mode locking", IEEE J. Quantum Electron., vol. 4, pp. 420422, 1968.

6. Курылев В. В., Логгинов А.С., Сенаторов К.Я. Письма в ЖЭТФ, том 8, стр. 317, 1968.

7. Logginov A.S., Plisov K.I. "Dynamics of an injection laser with parabolic inhomogeneity of permittivity in the active region", Laser Physics, vol. 14, pp. 11051109, 2004.

8. Логгинов А.С., Плисов К.И. "Инжекционные лазеры с дискретно сканирующей диаграммой направленности", Квантовая Электроника, том 32, стр. 553, 2002.

9. Логгинов А.С., Плисов К.И. "О стабильности процесса самосинхронизации поперечных мод в инжекционном лазере", Квантовая Электроника, том 34, стр. 833,2004.

10. Osinski M., Eliseev P.G. "Tree-dimensional analysis of the mode properties of stripe geometry d. h. lasers", IEE J. on solid-state and electron devices, vol. 3, pp. 215-223, 1979.

11. Pietzsch J., Kamiya T. "Loss and TM mode gain suppression in planar stripe diode lasers with smooth lateral profile", Jap. J. Appl. phys., vol. 22, pp. 101-108, 1983.

12. Buus J. "The effective index method and its application to semiconductor lasers" IEEE J. Quantum Electron, vol. 18, pp. 1083-1089, 1982.

13. Lee T.P., Cho A.Y., "Single-transverse-mode injection lasers with embedded stripe layer grown by molecular beam epitaxy ", Appl. phys. lett., vol. 29, pp. 164-166, 1976.

14. Blum J.M., McGrody J.C., McMullin P.G., Shin K.K., Smith A.W., Ziegler J.F. "Oxygen-implanted double-heterojunction GaAs/GaAlAs injection lasers", IEEE J. Quantum Electron, vol. 11, pp. 413-418, 1975.

15. Dyment J.C., North J.C., D'Asaro L.A. "Optical and electrical properties of proton-bombarded p-type GaAs", J. Appl. phys., vol. 44, pp. 207-213, 1973.

16. Tsukada T., Ito R., Nakashima H., Nakada O., "Mesa-stripe-geometry doubleheterostructure injection lasers", IEEE J. Quantum Electron., vol. 9, pp. 356-361, 1973.-1

17. Saito K., Ito R. "Buried-hetrostructure AIGaAs lasers", IEEE J. Quantum Electron., vol. 16, pp. 205-215, 1980.

18. Matthews M.R., Dyott R.B., Carling W.P. "Filaments as optical waveguides in gallium-arsenide lasers", Electronics letters, vol. 8, pp.570-572, 1972.

19. Hakki B.W. "Carrier and gain spatial profiles in GaAs stripe geometry lasers", J. Appl. phys., vol. 44, pp. 5021-5028, 1973.

20. Kirkby P.A., Goodwin A.R., Thompson G.H.B., Selway P.R. "Observation of self-focusing in stripe geometry semiconductor lasers and the development of the comprehensive model of their operation", IEEE J. Quantum Electron., vol. 13, pp. 705719, 1977.

21. Buus J., Danielsen M., "Carrier diffusion and higher order transersal modes in specral dynamics of the semiconductor laser", IEEE J. Quantum Electron., vol. 13, pp. 669-674, 1977.

22. Streifer W., Scifres D.R., Burnham R.D. "Analysis of gain-induced waveguiding in stripe geometry diode lasers", IEEE J. Quantum Electron., vol. 14, pp. 418-427, 1978.

23. Wang S., Chen C.-Y., Liao A.S.-H., Figueroa L. "Control of mode behaviour in semiconductor lasers", IEEE J. Quantum Electron., vol. 17, pp. 453-468, 1981.

24. Delaney J.В., Butler J.K. "The effect of device geometry on lateral mode content of stripe geometry lasers", IEEE J. Quantum Electron., vol. 15, pp. 750-755, 1979.

25. Елисеев П.Г., Осинский М. "Применение диэлектрической модели Эпштейна к описанию мод планарных полосковых гетеролазеров", Квант, электрон., т. 7, сс.1407-1416, 1980.

26. Chinone N. "Nonlinearity in power-output-current characteristics of stripe-geometry injection lasers", J. Appl. phys. vol. 48., pp. 3237-3243, 1977.

27. Thompson G.H.B., Salway P.R., Kirkby P.A. "Dynamics of self focusing in stripe-geometry semiconductor lasers", Solid-state electron devises, vol.2, pp.38-40, 1978.

28. Buus J. "The effective index method and its application to semiconductor lasers", IEEE J. Quantum Electron., vol. 18, pp. 1083-1089, 1982.

29. Buus J. "A model for the static properties of DH lasers", IEEE J. Quantum Electron., vol. 15, pp. 734-739, 1979.

30. Lang R. "Lateral transverse mode instability and its stabilization in stripe geometry injection lasers", IEEE J. Quantum Electron., vol. 15, pp. 718-726, 1979.

31. Asbeck P.M., Cammack D.A., Daniele J.J., Klebanoff V. "Lateral mode behavior in narrow stripe lasers", IEEE J. Quantum Electron., vol. 15, pp. 727-733, 1979.

32. Streifer W., Burnham R.D., Scifres D.R. "Symmetrical and asymmetrical waveguiding in very narrow conducting stripe lasers", IEEE J. Quantum Electron., vol. 15, pp. 136-141, 1979.

33. Katz J., Margalit S., Harder C., Wilt D.P., Yariv A. "The intrinsic electrical equivalent circuit of a laser diode", IEEE J. Quantum Electron., vol. 17, pp. 4-7, 1981.

34. Streifer W., Burnham R.D., Scifres D.R. "Channeled substrate nonplanar laser analysis-Part II: Lasers with tapered active regions", IEEE J. Quantum Electron., vol. 17, pp. 1521-1530, 1981.

35. Streifer W., Burnham R.D., Scifres D.R. "Analysis of diode laser properties", IEEE J. Quantum Electron, vol. 18, pp. 1918-1929, 1982.

36. Butler J.K., Botez D. "Spatial mode discrimination and control in high-power singlemode constricted double-heterojunction large-optical-cavity diode lasers", Appl. Phys. Lett. vol. 41, pp. 1118-1120, 1982.

37. Buus J. "Models of the static and dynamic behavior of stripe geometry lasers", IEEE J. Quantum Electron., vol. 19, pp. 953-960, 1983.

38. Agrawal G.P. "Fast-Fourier-transform based beam-propagation model for stripe-geometry semiconductor lasers: Inclusion of axial effects", J. Appl. phys., vol. 56, pp. 3100-3109, 1984.

39. Agrawal G.P., Joyce W.B., Dixon R.W., Lax M. "Beam-propagation analysis of stripe-geometry semiconductor lasers: Threshold behavior", Appl. Phys. Lett., vol. 43, pp. 1 1-13, 1983.

40. Feit M. D. and Fleck J. A. Jr., "Light propagation in graded-index optical fibers," Appl. Opt., vol. 17, pp. 3990-3998, 1978.

41. Yevick D. and Hermansson B., "Split-step finite difference analysis of rib waveguides," Electron. Lett., vol. 25, pp. 461-462, 1989.

42. Chung Y. and Dagli N., "An assessment of finite difference beam prop-agation method," IEEE J. Quantum Electron., vol. 26, pp. 1335-1339, 1990.

43. Accornero R., Artiglia M., Coppa G., Di Vita P., Lapenta G., Potenza M., and Ravetto P., "Finite difference methods for the analysis of integrated optical waveguides," Electron. Lett., vol. 26, pp. 1959-1960, 1990.

44. Scarmozzino R. and Osgood R. M. Jr., "Comparison of finite-difference and Fouriertransform solutions for the parabolic wave equation with emphasis on integrated-optics applications," J. Opt. Soc. Amer. A, vol. 8, pp. 724-731, 1991.

45. Yevick D. and Glasner M. "Forward wide-angle light propagation in semiconductor rib waveguides," Opt. Lett., vol. 15, pp. 174-176,1990.

46. Ma F., Xu C. L., and Huang W. P., "Wide-angle full vectorial beam propagation method," Inst. Elec. Eng. Proc.-Optoelectron., vol. 143, pp. 139-143, 1996.

47. Koch T. B., Davies J. B., and Wickramasinghe D., "Finite element/finite difference propagation algorithm for integrated optical device," Electron. Lett., vol. 25, pp. 514-516, 1989.

48. Hayata K., Misawa A., and Koshiba M., "Split-step finite-element method applied to nonlinear integrated optics," J. Opt. Soc. Amer. B, vol. 7, pp. 1772-1784, 1990.

49. Arai Y., Maruta A., and Matsuhara M., "Transparent boundary for the finite-element beam-propagation method," Opt. Lett., vol. 18, pp.765-766, 1993.

50. Hernandez-Figueroa H. E., "Simple nonparaxial beam-propagation method for integrated optics," J. Lightwave Technol., vol. 12, pp.644-649, 1994.

51. Schmidt F., "An adaptive approach to the numerical solution of Fresnel's wave equation," J. Lightwave Technol., vol. 11, pp. 1425-1434, Sept. 1993.

52. Tsuji Y., Koshiba M., and Shiraishi T., "Finite element beam propagation method for three-dimensional optical waveguide structures" J. Lightwave Technol., vol. 15, pp. 1728-1734, Feb. 1997.

53. Montanari E., Sellerei S., Vincetti L., and Zoboli M., "Finite-element full-vectorial propagation analysis for three-dimensional z-varying optical waveguides," J. Lightwave Technol., vol. 16, pp. 703-714, Apr. 1998.

54. Schulz D., Gingener C., Bludsuweit M., and Voges E., "Mixed finite element beam propagation method," J. Lightwave Technol., vol. 16, pp. 1336-1341, July 1998.

55. Gerdes J. and Pregla R., "Beam-propagation algorithm based on the method of lines," J. Opt. Soc. Amer. B, vol. 8, pp. 389-394, 1991.

56. Yevick D., Yu J., Munowitz M., and Vezzetti D., "Modal analyses of semiconductor rib waveguides employing nonequidistant grids," J. Opt. Soc. Amer., vol. 8, pp. 13851388, 1991.

57. Rasmussen T., Povlsen J. H., and Bjarklev A., "Accurate finite difference beam propagation method for complex integrated optical structures," IEEE Photon. Technol. Lett., vol. 5, pp. 339-342, 1993.

58. Liu P. L., Yang S. L., and Yuan D. M., "The semivectorial beam prop-agation method," IEEE J. Quantum Electron., vol. 29, pp. 1205-1211, 1993.

59. Massini C., Bellanca G., Bassi P., and Sorrentino R., "An FD-BPM with adaptive mesh for longitudinally varying optical structures," Opt. Quantum Electron., vol. 27, pp. 951-959, 1995.

60. Pu G. S., Mizumoto T., and Naito Y., "Modified numerical technique for beam propagation method based on the Galerkin's technique," IEICE Trans. Electron., vol. E77-C,pp.510-514, 1994.

61. Koshiba M. and Tsuji Y., "A wide-angle finite-element beam propagation method," IEEE Photon. Technol. Lett., vol. 8, pp. 1208-1210, 1996.

62. Tsuji Y., Koshiba M., and Tanabe T., "A wide-angle beam propagation method using a finite element scheme," IEICE Trans., vol. J79-C-I, pp. 381-388, 1996.

63. Shibayama J., Matsubara, Sekiguchi M., Yamauchi J. and Nakano mH. "Efficient nonuniform schemes for paraxial and wide-angle finite-difference beam propagation methods ."J. Lightwave Technol. vol. 17, no. 4, pp. 677-683, 1999.

64. Yamauchi J., Shibayama J., and Nakano H., "Modified finite-difference beam propagation method based on the generalized Douglas scheme for variable coefficients," IEEE Photon. Technol. Lett., vol. 7, pp. 661-663, 1995.

65. Yamauchi J., Shibayama J., and Nakano H., "Wide-angle propagating beam analysis based on the generalized Douglas scheme for variable coefficients," Opt. Lett., vol. 20, pp. 7-9, 1995.

66. Hadley G. R., "Low-truncation-error finite difference equations for photonics simulation I: Beam propagation," J. Lightwave Technol., vol. 16, pp. 134-141, Jan. 1998.

67. Ladouceur F., "Boundaryless beam propagation," Opt. Lett., vol. 21, pp. 4-5, 1996.

68. Hewlett S. J. and Ladouceur F., "Fourier decomposition method applied to mapped infinite domains: Scalar analysis of dielectric waveguides down to modal cutoff," J. Lightwave Technol., vol. 13, pp. 375-383, 1995.

69. Lo K. M. and Li E. H., "Solutions of the quasivector wave equation for optical waveguides in a mapped infinite domains by the Galerkin's method," J. Lightwave Technol., vol. 16, pp. 937-944, 1998.

70. Hadley G. R., "Multistep method for wide-angle beam propagation" Opt. Lett., vol. 17, pp. 1743-1745, 1992.

71. Yamauchi J., Shibayama J., Sekiguchi M., and Nakano H., "Improved multistep method for wide-angle beam propagation," IEEE Photon. Technol. Lett., vol. 8, pp. 13611363, 1996.

72. Mitomi O. and Kasaya K., "Wide-angle finite-element beam propaga-tion method using Pad e approximation," Electron. Lett., vol. 33, pp. 1461-1462, 1997.

73. Yevick D. and Bardyszewski W., "Correspondence of variational finite-difference (relaxation) and imaginary-distance propagation methods for modal analysis," Opt. Lett., vol. 17, pp. 329-330, 1992.'

74. Jungling S. and Chen J. C., "A study and optimization of eigenmode calculations using imaginary-distance beam-propagation method," IEEE J. Quantum Electron., vol. 30, pp. 2098-2105, 1994.

75. Hoekstra H. J. W. M., "On beam propagation method for modeling in integrated optics," Opt. and Quant. Electron., vol. 29, no. 2, pp.157-171, 1997.

76. Nolting H.-P. and Marz R., "Results of benchmark tests for different nu-merical BPM algorithms," J. Lightwave Technol., vol. 13, pp. 216-224, Feb. 1995.

77. Du Fort E. C. and Frankel S. P., "Stability conditions in the numerical treatment of parabolic differential equations," M.T.A.C., vol. 7, pp.135-153, 1953.

78. Shalager K. L., Maloney J. G., Ray S. L., and Peterson A. F., "Relative accuracy of several finite-difference time-domain methods in two and three dimensions," IEEE Trans. Antennas Propagat., vol. 41, pp. 1732-1737, Dec. 1993.

79. Feit M. D. and Fleck J. A., "Computation of mode properties in optical fiber waveguides by a propagating beam method," Appl. Opt., vol. 19, no. 7, pp. 1154-1164, 1980.

80. Masoudi H. M., AlSunaidi M. A., and Arnold J. M., "Time-Domain Finite-Difference Beam Propagation Method", IEEE IEEE Photon. Technol. Lett., vol. 11, no. 10, pp. 1274-1276, 1999.

81. Jin G. H., Harari J., Vilcot J. P., and Decoster D., "An improved time-domainbeam propagation method for integrated optics components" IEEE Photon. Technol. Lett., vol. 9, pp. 348-350, 1997.

82. Gomelsky L. and Liu J. M., "Extension of beam propagation method to time dependent optical waveforms," IEEE Photon. Technol. Lett., vol.6, pp. 546-548, 1994.

83. Chung Y. and Dagli N., "Explicit finite difference beam propagation method: Application to semiconductor rib waveguide Y -junction analysis," Electron. Lett., vol. 26, pp. 711-713, 1990.

84. Masoudi H. M. and Arnold J. M., "Parallel beam propagation methods," IEEE Photon. Technol. Lett., vol. 6, pp. 848-850, 1994.

85. Chan R. Y. and Liu J. M., "Time-domain wave propagation in optical structure," IEEE Photon. Technol. Lett., vol. 6, pp. 1001-1003, Aug. 1994.

86. Liu P., Zhao Q., and Choa F., "Slow-wave finite-difference beam propagation method," IEEE Photon. Technol. Lett., vol. 7, pp. 890-892, Aug. 1995.

87. Zhenle J., Junmei F., and Enxin F., "An explicit and stable time-domain method for simulation wave propagation in optical structures," Micr.Opt. Technol. Lett., vol. 14, no. 4, pp. 249-252, March 1997.

88. Ma F., "Slowly varying envelope simulation of optical waves in time domain with transparent and absorbing boundary conditions," J. Light-wave.Technol., vol. 15, pp. 1974-1985, Oct. 1997.

89. Masoudi H. M., Al-Sunaidi M. A., and Arnold J. M., "Efficient time- domain beam-propagation method for modeling integrated optical devices." J. Lightwave Technol., vol. 19, no 5, pp. 759-771,2001.

90. Chu S. and Chaudhuri K., "A finite-difference time-domain method for the design and analysis of guided-wave optical structures," J. Lightwave Technol., vol. 7, pp. 20332038,1989.

91. Haung W. P., Chu S., Goss A., and Chaudhuri K., "A scalar finite-difference timedomain approach to guided-wave optics," IEEE Photon. Technol. Lett., vol. 3, pp. 524526, 1991.

92. Jamid H. A. and Al-Bader S. J., "Finite-difference time-domain approach to nonlinear guided waves," Electron. Lett., vol. 29, pp. 83-84,1993.

93. Hadley R., "Wide-angle beam propagation using Pade approximant operators," Opt. Lett., vol. 17, pp. 1426-1428, 1992.

94. Tsuji Y. and Koshiba M., "Finite element beam propagation method with perfectly matched layer boundary conditions for three-dimensional optical waveguides," Int. J. Numer. Modeling: Electron. Networks, Devices and Fields, vol. 13, pp. 115-126,2000.

95. Ma F., Huang W. P., and Xu C. L., "Wide-angle full vectorial beam propagation method," in Inst. Elect. Eng. Proc. Optoelectron., vol.143, pp. 139-143, 1996.

96. Vassallo C. and Collino F., "Highly efficient absorbing boundary con-ditions for the beam propagation method," J. Lightwave Technol., vol.14, pp. 1570-1577, June 1996.

97. Sajionmaa J. and Yevick D., "Beam-propagation analysis of loss in bent optical waveguides and fibers," J. Opt. Soc. Amer., vol. 73, pp.1785-1791, Dec. 1983.

98. Hadley G. R., "Transparent boundary conditions for the beam propagation method," Opt. Lett., vol. 16, no. 9, pp. 624-626, 1991.

99. Doerr C. R., "Beam propagation method tailored for step-index waveguides." IEEE Photon. Techno 1. Lett. vol. 13, no. 2, pp. 130-132, 2001.

100. Hermansson В., Yevick D., and Thylen L., "A propagation beam method analysis of nonlinear effects in optical waveguides," Opt. Quantum Electron., vol. 16, pp. 525-534, 1984.

101. Ривлин Л. А. "Динамика излучения полупроводниковых квантовых генераторов", М., Советское радио, 1976.

102. Fox A.G. and Li Т. "Resonant modes in a maser interferometer", Bell Syst. Tech. J. vol.40, pp.453-488, 1961.

103. Агравал Г. "Нелинейная волоконная оптика", М. "Мир", 1996.