Синтез алгоритмов цифровой обработки сигналов радио- и оптического диапазонов на основе атомарных функций и теории чисел тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

ИНСТИТУТ РАДИОТЕХНИКИ И ЭЛЕКТРОНИКИ РАН

на правах рукописи Гораков Алексей Станиславович

СИНТЕЗ АЛГОРИТМОВ ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ РАДИО- И ОПТИЧЕСКОГО ДИАПАЗОНОВ НА ОСНОВЕ АТОМАРНЫХ ФУНКЦИЙ И ТЕОРИИ ЧИСЕЛ

01.0^.03 - радиофизика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-матзматических наук

Москва - 1992

Работа выполнена в Научно-исследовательском институте точних приборов, г. Москва. •

Научный руководитель - доктор физико-математических

наук, профессор Кравченко В.Ф.

Официальные оппоненты - доктор физико-математических

наук, профессор Козлов А.И. - дектор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник Мкртчян Ф.А.

Ведущее предприятие - Московский НИИ приборостроения

Защита состоится 19 февраля 1993 г. в II ч 30 мин. ыа Заседании специализированного совета Д.002.74.02 в Институте радиотехники и электроники РАН по адресу: 1039ОТ, Москва, ГСП-3, •ул. Ноховая » Ч*

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИРЭ РАН. Автореферат разослан '48" января_ 1993 г.

Ученый секретарь специализированного совета,

кандидат технических наук ¡г— М.Г.Голубцов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы.

За последние десятилетия большое значение приобрели метода цифровой обработки сигналов. Приоритетным кругом задач, в которых привлекается цлфрозиэ метода, язляотся обработка одно- и двумерных сигналов радио- и оптического диапазона.

Операции цифровой обработки обычно стремятся представить в виде линейного преобразования исходных дакни., что реализуется посредством цифровых фильтров. Произвольная линейная операция может рассматриваться как фильтрация, поэтому при обработке данных произвольной природа имеет место применение цифровых фильтров.

Первоначально алгоритмы цифровой обработки синтезировались главным образом на основе соответствия известным аналоговым методам. В дальнейшем однако выявился ряд специфических проблем,-требунцкх разработки соответствующей эффективной теории. Эти проблемы обусловлены природой цифрового представления данных -дискретностью и квантованием по уровнв.

Дискретность по аргументу (представление сигнала в виде выборки равноотстоящих отсчетов) приводит к представления характеристик цифровых фильтроз в виде рядов Оурье, которые вследствие конечного количества ■ вычислительных операций необходимо усекать. Это приводит к явлению Гиббса, так как в общем случае такой ряд кэ является быстро сходяпдася. Из этого вытекает необходимость применения специальных бесконечно диффэренцкруемнх функций, которые будучи финитными имели бы быстро сходящийся спектр Оурье (или наоборот). Для .этих целей в

настслусй работе- У.с.ю::±лс2гц новый математический аппарат атомарных фукг.шь1..

Вследствие квантования по у ровна (гтре дет а вле кш значений отсчетов с.^гн^-л кепечтш числом разрядов) сигнал может рассматриваться в конечном полз (поле Ггзлуа). Учет теорэглко-чаазозьа: залаксмеркостей дна конечных , полей дает" возможность получить г^д^тогьно бслс-о эффективные алгоритмы вычислений. Установление связи мзвду длиной и разрядностью отсчетов сигнала по методу теоротилс-ч1/словых преобразований приводит к алгоритмам, альтернативным быстрому преобразованию ©урье. Ясиольаоьщшо эк^пвзликтности свергла и быстрых преобразований ойэскэщгазт Солее эффективный в вычислительном отнесении синтез алгоритмов обработки по сравнению с известили (ксррэлдциА сигналов, быстрые преобразования Фурье и Хартли). В качество базового алгоритма при этом используется теоретакс-числовог преобразование «Зерма. В итоге достигается, ефрективнэя аппаратно-программная реализация.

Задачей настоящие исследований является совместное использование матгматаческого агларата атомарных функций и теоретико-ч^слоиыл заеспэкораостей для разрешения специфическое проблем цифровых методов, что мокат быть положено в основу создания общей теории цифровой обработки.

Основная цель диссертации - создание новой методики синтеза и расчета алгоритмов цифровой обработки и вычислительных архитектур на ж основе, опирающейся на аппарат теории атомарных функций и теории чисел.

Метода исследований. Математические модели разработай на основе теории атомарных функций и теории чисел, методов

моментного знал: за изображений. Сиятезиросашгыо алгоритмы исследованы с помощи численного эксперимента из 35М. Эксперп/ектпль-лк.' ксслэдоввния проведены ка опытных. установках в лабораторных к кагуркш: условиях.

Научная новизна. В результате выполнения работы:

1). На основа аппарата атомарных функция обоснованы и синтезированы новые катода шаровой обработки одна- к двумерных сигналов.

2). Доказана теорема о дискретизации непрерывных сигналов и интерполяции выходные отсчетов с иомощьо атомарных функций.

3). Предложены ноше езообыэ оконные Функда с улучшенными параметрам:! по сравнения с известными.

4). Предложен новый метод синтеза цифровых фильтров.

5). Предложена усовершенствованные алгоритмы численного дифференцирования и интегрирования.

С). Исслсдоваю; лгнойные алгоритм цифровой обработки сигналов. Показана эквивалентность алгоритма цпкличеслоЛ свертки с алгоритмам дисхрэкшх преобразований Оуръг и Хартли л теоретико-числового преобразования Ферма.

7). Прэдлз::зн новь-? алгоритм быстрых преобразований Оурьэ и Хартли с применением обработки в кошчт-П-'Х полях, способный обеспечить повышенное быстродействие ■ и более эфф«кг/-ткуй аппаратную реализацию по сравнений с известны:.'-! кетодак:.

3). Прздлэзен новый алгоритм быстрого двоичного уулзг/::1ид.

9). Разработана архитектура быстродействующего цифрового процессора обработки сигналов, обеспечивакщая эффективную реализация всех известных алгоритмов циФрозоЯ обработки.

Практическая ценность. Разработанные новые математические

метода ресония задач цифровой обработки сигналов, синтезированные алгориялы и предложенные схемотехнические решения могут Сыть использованы для создания эффективных аппаратно-программных средств обработки сигналов. Это позеолит решить, в частности, следуэдад известные проблемы : обеспечить эффективное сжатие информации, повысить точность цифровых фильтров, увеличить быстродействие процессоров цифровой обработки сигналов для работы в режиме реального времени.

Обоснованность и достоверность результатов подтверждается строгим решением поставленных задач; выполнением предельных переходов к ранее известным случаям; физической реализуемостью ресулыатов; совпадением теоретических расчетов и результатов экспериментальных измерений с численными данными других авторов; хорошим соответствием теоретических и экспериментальных характеристик.

Публикации и апробация работы. По материалам работы опубликовано 10 статей, 2 тезиса докладов на Всесоюзных и мевдупародных конференциях, ! отчет о НИР, защищено 2 авторских свидетельства и 1 патент на изобретения. Основные положения диссертации докладывались и обсуждались на 1-ой отраслевой научно-технической конференции молодых инженеров НПО "Геофизика" (ноябрь 1939 г..); 35-ой конференции молодых ученых МФТИ (декабрь 1Э89 г.); 23-ей всесоюзной научно-технической конференции по проектированию систем в ЙИИ Опецмашинос^роения при МГТУ им. Баумана (январь-февраль 1Э90 г.); международной конференции "Биотехнические системы искусственного интеллекта" в Институте радиоэлектроники, г.Харьков (ишь 1591 г.); научных семинарах в ХА'Л и ИРЭ АН /ССР, г.Харьков (ишь 1591 г.); научном семинаре в

МФТИ, г. Долгопрудный Моск. обл. (сентябрь 1991 г.); XVII конгрессе союза европейских фониатров, г.Киез (сентябрь 19Э1 г.); научном семинаре в ИРЭ ¿Н СССР. г.Фряз;шо (ноябрь 1991 г.).

Использование результатов работа. Результаты диссертационной работы использованы при выполнена госбюджетных научно-исследовательских работ НПО ТП по тема« "Шесли?" и "Шаг", и внедрены в других разработках для синтеза цифровых систем и построения вычислительных устройств обработки сигналов, что подтверждено соответствуй.::}.-: актом о внедрении.

Положения, предстгвляешз к газете.

1. Сформулирована и доказана теорема о Диюфотизации непрерывных сигнзлоз, обобщавшая известные методы интерполяции, функций по их выборкам (теорема Котелькиковс, адчзбргичбские и тригонометрические пслинога, сплайны). Содержащийся в ней подход эффективно комбинирует построение интерполяционного полинома с техникой сьерток, что позволяет , охватить как методы вычислительной математики, так и радиотехнические, в т.ч. цифровой обработки. Предлог.эн новый метод восстановления выходного непрер'гено.го сигнала посла цифровой обработки.

2. Предлокен и обоснован новый катод синтеза цифровых фильтров на основе частотных характеристик аналоговых фильтров с помощью теории атомарных функций. Метод позволяет непосредственно аппроксимировать производные сигнала в виде сзэрток с производными атомарных функций.

3. Синтезирован 'алгоритм быстрых преобразований Фурье и Хартли с применением обработки в конечзгых полях. Повышение производительности достигается за счет снижения числа операций уклонения (для случая 1020 отсчетов число умножений снижается в

3.3 раза по сравнении с трсдоцконным алгоритмам Кули-Тьши), пзрел.1злытсА сбрсботки действительной и мнлмой частой сигнала и простоЛ сгрук?уры бп5овк'<. операций (возконьо однотактное опароцк?! "бабочка"'. Алгоритм допускает эффективную схакс-гсо'.&гсоскуг. роалязауг». Зозис>;.>.-г: итшиъуй выигрьш по быстродаЯстиаг более ка од>та порядок.

4. Предлез.г;; алгоритм быстрого дьоичного умножения

для полей Гаду а" сс модуле ¡грос;ых чисел Ферма. Повышение быстродействия достигаемся путем сведения умножения к сложению логарифмов по оспоялнмя -яр;митивного елемента поля Галуа.

Диссертационная работа со сюит из введения, трех разделов и заключения, изложенных на 132 страницах машинописного текста, содерзккт 31 рисунок, Э таблиц, список использованных источников из 76 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕКШШ РАБОТЫ Во пзсдекии обоснованы актуальность и перспективность раоотн, сформулированы цель и задачи исследований, кратко изложена сущность работы.

В первой главе исследованы проблемы, возникаю!цие при цифровой обработке дискретных сигналов. Отправной точкой является теорема о дискретизации непрерывных _ сигналов (теоргма Котельникова, критерий Найквиста-Шеннона). ' Рассмотрена теория цифровых линейных ф:1Льтрот? и дискретного преобразования Фурье. Показано, что ео всех этих случаях необходимо, чтобы исследуемые сигналы и синтезируемые характеристики имели финитность во временной (пространственной) il.hi частотной области и соответствующее быстро сходящееся преобразование Оурье во

избекакке явления Гиббсз. Таким образом, задача синтеза сводится к построения еэ всех случаях весовой функции окна,

преобразование Оурье которого по тому или иному крит^р::.^ качества долзжо минимально отличаться от С-фу5£сют. В результата проведенных исследований сделан еыеод, что наилучшие результаты для построения окон обеспечивает математический аппарат атомзрннх функций - финитных бесконечно дифференцируемых функций с бистро схсдядамся фурье-спектром. Приведено сравнение с известными окнами (окна Ка2?ера, Блэкмана, Хэмминга и т.д.). из которого следует, что атомарные окна обеспечивает лучшие характеристики.

По определению, атомарные функции являются финитными

пешеникми дифференциально-функциональных уравнений вида: м

If(x) = Л. J c(k)f(ax-b(k)) . ]а|>1 . k=l

где I - линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами.

Наиболее простой и важной атомарной функцией является функция ир(х), которая является единственным финитным решением дифференциального уравнения:

f'(x) = 2f(2x+l) ~ Zf(Zx-l) с условиями supp f(x)=i-l,ll.

du

k=l u-2 K

Функция up(x) является таккз СэсяоаэчаоЯ саиртдсЯ прямоугольных окон

I 0 , \х\ > 2 uptxj^d) » <р2(х) * ... * Фп(Х)

АгстрсксимациоЕНые свойства атомарных функций обусловлены теоремой, согласно которой для m-кратно Еэпрарывно

да<;Нвре1>цдруеиой Зуккцхи /(т) на отрезка Са.Ь] суцзствуит такие числа е^"1^, 1=0,-...'т. что:

к=0.1-=0 < где введен сСобщеттий модуль непрерывности функции Т(х)г

при [^-х,,!« Д , |г-лг3(5 2Д , 2Д. Константа 7 может-Оыть-

оценена завиЕешгы« значением 2 .

Б Частности, для кзддого злгеСрааческсго многочлена степени п существует точное, рьзлотогаз на сдокгх функции ир(х) : Рп(£)= Ц скир(х-й2_п;

1С=—со

СреДи друРкх атомарных функций дл '. задач цифровой обработки полезны также дробные компоненты функции ир(х) - функции Рирп(х) : ?ир_(х)=-п£- /е^Р^пий! .

7м(и) .Г вш У2-^ I"1 - ваИ V. иг-11-1 * 1=11+2 ¿г"1 причем гЧ1р0(Х)г ир(х).

Предложенный в работе метод дискретизации и интерполяции альтернативен теореме Котельникова и осноЕЫвае.ся на возможности непосредственного • использования на осново аппарата атомарных функций штэрполлцонной формулы Лагранжа, согласно которой через Я пар отсчетных точек функции (х(1),/(1)) воз;<ожко однозначно провести полином (Н-1)-то порядка: к-1,к-1 х - х(1) ~

ПХ) 1=0 Г*>

Такой полином возможно реализовать посредством приведенного зысе раалогэния по атомарным функциям, которое на любом конечном внтэрвеле измерения является точным. Данное представление

обеспечивает в отлично от непосредственно формулы Лагрвя'ка возможность реализации радиотехническими средствами, поскольку образовано сверткой дискротных отсчетов шифров и я часть) и финитной атомарной функции с ограниченным спектром (аналоговая часть;:

В этом случае формируемый.обычно на выходе аналого-цифрового

преобразователя (ЦАП) кусочно-непрерывный сигнал, образованный

ступеньками гжрины Д=2гУП , долкен быть сглажен з линейную

комбинацию функций Fupj^tx) , т.е. частотная характеристика

иптерполкрукцего фильтра равна :

„,.., _ Гз1п(хи/П)1к-1 " з1п(то2н"Уп) = J & ^Ч^Г^

Задьча синтеза цифровых фильтроз сводится к приемлемой в смысле частотного поведения аппроксимации производных фильтруемой функции конечными разностями. Необходимый результат достигается непосредственным применением уравнения, определявшего атомарные функции и соответствует свертке дифференцируемой функции с импульсной характеристикой (т - номер производной): dt/mfí> E(-l)m"kc£up( к-т))

m k=0 п %

В дискретном виде, например, с тагом Д=2х/П получаем.весовые коэффициенты а(к)=(- , что совпадает с разностыми

операторами из теории разностных уравнений.

Предложенная методика синтеза еесовых окон псзролила пол/четь бслыгуи гибкость е долуадвки требуемых параметров этих окон, в частности, достигнута бесконечная скорость спада боковых лепестков, что отсутствует у всех известных окон.

lía основе следулдый атонараоЯ функции, лредстазленной разложением в ряд Фурье,

7ц С.С.ГХ).51771+0,36S3 COSTCT + 0,11584 cos 2тсг -* *

-0,00417 con trx + 0,0012 cos 5xr - построено Эффективное окно:

u¿5Ci>0,5537+0,3628 соз кг 4 0,0835 ооз 2га: +

+0.00135 соз Акх - 0,00132 соз Бих Нзалучоте параметры (паразитная амплитудная модуляция равна 1,05 дб, голоса по урсЕкв 6 дб равна 2,35, максимальный уровень Соковых лкттесткоБ -81 д(5> лостил-туты для окна:

Wcrtl'25W+t ,790509- tO"2w¿5rx;+9,326176- 10~5u^f:rJ+ +l,190T02-10"7w^(x)} , где нормировочный множитель 7 выбирается из условия »2gf0;=l.

Во второй главе исследованы теоретихо-числоЕые закономерности при обработке представленных в конечной разрядности сигналов в конечных полях - полях Галуа. Поскольку аргумент представлен таккэ конечными целочисленными величинами, возможно переупорядочение сигналов по аргументу, что дает возможность построить более эффективные в вычислительном отношении алгоритмы. В результате установлена фундаментальная взаимосвязь дискретной свертки и ортогональных преобразований, допускающих быстрый алгоритм и алгоритм быстрой свертки, типа ' дискретного преобразования Оурье. Показано, что использование ь качестве базового алгоритма теоретико-числового преобразования Ферма позволяет на данной основе реализовать все известные линейные алгоритмы обработки массивов целых чисел, причем ьиаможно существенное повышение быстродействия и упрощение аппаратуры. ' " .

Для построения аффективного алгоритма быстрого преобразования Сурье (ШО) использованы следующие известные

методы цифровой обработки сигналов : БПФ Кули-Тыоки; БПФ Гуда-Томаса; метод Рейдера представления ДПФ циклической сверткой; дискретное преобразование Хартли ^ДПХ). Предложенный метод заключается в разложении исходного сигнала по мзтоду Гуда-Томаса в многомерный БПФ по коротким простые длинам. Далее кавдов преобразование простой длины вычисляется путем раздельного выполнения ДПХ над действительной и мнзмой частями, которые затем совмещаются в необходимый результат простыми операциями слокений .и вычитаний. Вычисление каждого ДПХ эффективно достигается на

основе замены циклической сверткой по методу Рейдера :

к м-п зшггчв^/ЧР^ысли ;—-

Данное Еыракекие имеет • вид циклической ' СЕертки переупорядоченной входной последовательности (х(^~п)У с табличной функцией з1л[2:цзп/(Р.|.-1)+'я/'1), которую, з свои очередь, можно эффективно вычислить с помощью теоретико-числового преобразования Форма.

Полученный алгоритм имеет следующие преимущества перед обычно используемым БПО Кули-Тьши :

- уменьшение числа операций- умножения (для числа отсчетов 1020 выигрыш составляет 3,3 раза);

- рэздя.гь.на.ч обработка большую часть времени действительной в ынгаюй частей сигнала:

- соквэдавяая тебжце гармонически?1. коэффициентов, раьная сумме коротких д.глн '-'иогоморногс разложения;

- испо-еье'Овр простого набора отт^рагтсЯ: з конечном поле как для вютслиаий акачзилЧ, так и для аяреспв операндов;

- шгсльзеввзи* упрощешах. олар&циД "Севочка" на освот

гог.к'.о чздпйЛ'Я^вптеанк ;™<лич".сккх сдвигов (без умножений), что

догутггло? Г'??с1'«ктную р?элкзац>пй;

- ч'сдртогссть уск-то.Чгз;я операций умискенил к конечном пола Гчдуя '.!г;,п;г-":: Тормэ га опз.-пе теапз&я с примитивных злмкг-.г.-л о."я (не тр-тСургся умпзачтель Ьбцего вида);

- '20г«»\ш.?ст:. <?£*егяпязй сх .7 э т а.";г.г;;;ь.чо:^ р^лизацил.

тгг/лтр:;™ Ооляе сдспсгс порядка.

В третьей гл£г2 вдтолы применены к

задаче рясгго"няг?к?я обт-рутоз ка -л^гсу фоне по их ИК-портретам в среднем (3-? ккм) :т дальнем (7-1 а г,км) КК-диитгазонак. Предложен алгоритм цифровой обработки полученных при натурных измерениях с помог,ЗтЧ тепловизора АСА и лабораторного макета термограмм. Алгоритм включает медианную фильтрацию исходного массива изображения, сегментирование с пбмодыс цифрового дифференцирования (согласно методике первой главы), пороговое выделение контуров объектов и идентификацию выделенных крупных неоднороднсстей по мс;<:ектным признакам в качества предполагаемых объектов. Моментньй анализ настроен на выделение объекта как тела вытянутой формы с характерной нагретой областью. Вычисление двумерной производной изображения и моментоз зыдзллекых тэл выполняется с помощь» теоретико-числового преобразования Ферма. Синтезированный алгоритм позволил успешно еыдзлить изображение требуемого класса в условиях сложной помеховой обстановки (солнечная доронка, вторичное ЯК-излучение от прибрекных скал и т.д.) на всих полученных термограммах. Алгоритм позволяет создать компактную быстродействующую систему автоматического распознавания объектов на основе цифровой обработки изображений, получаемых ог Ш-матриц.

3 к

В заключении ■ отражены основные результаты диссертационной работы.

ОСНОВоЫЗ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ 1. Предложен новый метод интерполяции дискретных сигналов, альтернативный теорема Котельникова. Метод состоит в эквивалентном представлении интерполяционного полинома Лаграназка : N-1, к-1 х - х(1) . ПХ) =к?0[ £> ] т)

сверткой последовательности коэффициентов Б (к) с атомарной функцией Гир^ (:

Благодаря этому функция ?(х) на практике восстанавливается путем пропускания кусочно-непрерывной функции из коэффициентов Б(К) (формируемой на выхода ПАП) чероз аналоговый фильтр с частотной характеристикой :

К-1 «

«Си) - Гз1п(та/П)У'~1 " з1п(тси2

ХЛ1

По сравнению с интерполяцией по Котельникову обеспечивается точное восстановление сигнала на конечном интерзале.

2. Прэдлокен новый метод синтезе цифровых фильтров,

описываемых разностным уравнением :

Ы-1 К-1

у(п) + 2 b(k)y(n - Ю = 2 а(Юх(п - к) к-1 к=0

которое эквивалентно представляется в свэрточнсм виде :

у(п) * Ъ(п) = х(п) * а(п) на основе аналоговых фильтров-прототипов, задаваемых линейным дифференциальным уравнением :

1L

( t ) c(ZJxV/i) (t} к-0 к=0

или эквивалентно в виде свертки :

v(t) * bit) = x(t) Г ait) .

Метод состоит в. прямой апггрокг.имашп! производных функции

рьзкост'.ас.я операторами. Наиболее точнее приб-жкек^з обеспечивает

подход на основе интерполяции атомарными функциями, благодаря

которому оценка л-производкой функции в конечном частотном

диспазоъе соответствует свертке дифференцируемой функции с

ишулылгой характеристикой :

dt/rafi; = | (-1 )m"*c£up ( ~~ - (2k-m ) ) k=0

При дискретизации функции dlfm(x) с пагем Д=2тс/П получаем весовые коеффициенты a.(k)=(-l , что совпадает а известными

разностными операторами из теории разностных схем.

Метод является значительно более простым по сравнению с известными методами преобразования частот для фильтров типа Баттерворта, ЧеОышева, Кауэра и при втом универсальным и наиболее точным. На основе этого метода получены также наиболее точные методы численного дифференцирования и интегрирования.

•3. Предложена теорхя численного дифференцирования дискретных Функций на основе использования атомарных функций. Показано соответствие известным разностным выражениям.

4. Предложен алгоритм численного интегрирования на основе теории атомарных функций. Исследовано .с частотной точки зрения соответствие известным алгоритмам.

5.» Предложена ■ теория построения весовых окон с использованием атомарных функций. Показано, что атомарные окна позволяют получить превосходящие параметры по сравнению с

известным;: okksmt.

6. Ксс.тадсвгна взаимосвязь различных алгоритмов цифровой обработки сигналов. Показана возможность взаимозаменяемых вычислений сзертох и быстрых ортогональных преобразований.

7. Исследованы теоретико-числовче закономерности, связанные с теоретико-числовым преобразованием Ферма, показана возмозшость его эффективной аппаратной реализации.

3. Синтезирован новый алгоритм быстрого преобразования Фурье, обладающий повылезшим быстродействием по сравнению с известными. •

9. Предложен теоретико-числовой алгоритм быстрого двоичного умножения.

10. Предложены схемотехнические решения, обеспечивающие бнстродгйствузщул реализации разработанных алгоритмов.

11. Проведены натурные исследования с получением экспериментальных IfiC-изображекий исследуемых объекгоз в диапазоне 3-5 МКМ.

12. Предложен и синтезирован алгоритм автоматизированной обработки термограмм.

13. Ксследозан и обоснован выбор моментных признаков для идентификации объектов по их сигнатурам на ИК-изобракониях.

По теме диссертации опубликованы следующие работы :

1).Гсргкоз A.C. Процессоры обработки изображений на основе аппарата теоретико-числовых преобразований./3 кн.: Обработка сигналов радиофизическая! методами.-МФТИ, г.Долгопрудный.-19Э0.

2).Горшков A.C. Построение бортовых процессоров цифровой обработки на основе аппарата теоретико-числовых

преобразований. / В сб.: I конференция молодых инженеров НПО "Геофизика" по оптической обработке информации.-Москва.-198S.-C.51-60.

3).Гоушкоз A.C.. Кравченко В.Ф.. Рвачев В.А., Рвачев В.Л. При/енение атомарных фикций для - иштс-га цкфрсгого диф'йренциатсра. // ДАН СССР.-1391.-'.Г.31Э.-й а.-С.347-351.

4).Горшов A.C., Кравченко В.О., Рвачгз В.А., Рвачев В.Л. Об од:ам методе вычисления преобразований Сурьэ и Хартли в конечной цифровой вычислительной системе. // ДАИ СССР.-1991.-Т.ЗсО.-Х З.-С.577-530.

5).Горшков A.C.. Кразченко В.Ф., Рвачэз В.А., Рвачев В.Л. Об одном теоретико-числовом методе быстрого преобразования Фурье в кольца Ферма. // ДАК CCCP.-1991.-T.32C.-Jb 2.-С.303-306.

6) .Гсрзпков A.C., Кравченко В.Ф. Применение чисел Ферма в цифровой обработке сигналов. // ДАН CCCP.-l99i.-i.320.-JS 4.-С.835-838.

7).Горшков A.C., Кравченко B.Ü., Рвачев В.А., Рвачев В.Л. Метод дискретизации и интерполяции сигналов на основе теории атомарных функций.. // ДАН СССР.-19Э1.-T.320.-Ä 4.-С.394-399.

8).Горшков A.C., Кразченко В.Ф., Рьачев В.А., Рвачев В.Л. Применение атомарных функций для синтеза цифровых фильтров. // ДАН СССР.-1991 .-T.320.-Ji 4.-С.597-700.

9).Горшков А;С., Кразченко З.Ф., Рвачев В.А., Рвачев В.Л. Оценка дискретной ~ производной сигнала на основе атомарных функций. // Измерительная техника.-1992.-Я 1.

10).Горшков A.C., Кравченко В.Ф. Вычислительный алгоритм и архитектура сверхбыстрого БПФ-процессора. // Измерительная техника.-1992.-Ja 1.

11).Горшков A.C., Кравченко В.Ф. Теоретико-числовой алгоритм