Система осцилляторов, связанных единой управляющей функцией тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им М В Ломоносова Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 517 977

Салобутина Евгения Олеговна

СИСТЕМА ОСЦИЛЛЯТОРОВ, СВЯЗАННЫХ ЕДИНОЙ УПРАВЛЯЮЩЕЙ ФУНКЦИЕЙ

01 01 02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

—'ооиаа

Москва 2007

003163035

Работа выполнена на кафедре общих проблем управления механико-математического факультета Московского государственного университета имени М В Ломоносова

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор М И Зеликин

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

профессор А В Арутюнов,

кандидат физико-математических наук, доцент Ю Л Сачков

Ведущая организация -

Математический институт имени В А Стеклова РАН

Защита диссертации состоится "9" ноября 2007 г в 16 час 15 мин на заседании диссертационного совета Д 501 001 85 при Московском государственном университете имени M В Ломоносова по адресу 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские Горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке механико-математического факультета МГУ (14 этаж, Главное здание)

Автореферат разослан "9" октября 2007 г

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501 001 85 при МГУ —

доктор физико-математическиих наук, профессор U Т П Лукашенко

„ ^

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы В теории оптимального управления колебаниями, возникающими в механических системах, объектом многочисленных исследований является модель колебаний балки Эйлера-Бернулли Развитием системы Эйлера-Бернулли является теория балки Тимошенко, учитывающая инерцию вращения и деформацию сечения, возникающую при колебаниях Согласно расчетной схеме балки, предложенной Тимошенко, плоские сечения, до деформации нормальные к ее оси, остаются плоскими и после изгиба, но перестают быть нормальными к ее изогнутой оси В схеме Тимошенко положение каждого сечения деформируемой балки определяется двумя независимыми величинами поперечным смещением и углом поворота сечения В диссертации рассматривается модель однородной балки Тимошенко в предположении, что левый конец балки прикреплен к диску радиуса г, а движение балки управляется угловым ускорение диска

Задача управления медленно вращающейся балкой Тимошенко изучалась в [1-4] В работе [2] были получены условия, при которых для достаточно больших Т разрешима задача перевода балки из одного положения покоя в другое с заданным углом поворота диска и за заданное время Т Описан метод построения кусочно-постоянного управления, которое решает поставленную задачу Построено [3] управление, которое стабилизирует систему (балка + диск) в положении покоя (гасит общую энергию балки и стабилизирует диск в положении равновесия) за бесконечное время Доказано, что существует не более чем счетная последовательность {г,}^ сингулярных значений радиуса

[1] Gugat М Controllability of a rotating Timoshenko beam ESAIM Control, Optimisation and Calculus of Variations 2001 6, с 333-360

[2] Krabs W, Sklyar G M On the controllability of a slowly rotating Timoshenko beam Z Anal Anwend 1999 18, № 2 с 437-448

[3] Krabs W , Sklyar G M On the stabihzability of a slowly rotating Timoshenko beam Z Anal Anwend 2000 19, № 1 с 131-145

[4] Krabs W , Sklyar G M , Wozniak J On the set of reachable states in the problem of controllability of rotating Timoshenko beams J Anal Appl 2003 22, № 1 с 215-228

диска, при которых балка является неуправляемой. Показано, что если значение радиуса диска не является сингулярным, то балка Тимошенко стабилизируема В [4] получены условия точной управляемости и описаны множества достижимости

В отличие от упомянутой серии работ в данной диссертации исследуется задача минимизации среднеквадратичного отклонения балки Тимошенко от положения равновесия При этом построение оптимального решения в этой задаче основывается на технике режимов с учащающимися переключениями (четтеринг^режимов)

Суть четтеринг-режимов состоит в том, что управление на оптимальной траектории имеет бесконечное число неустранимых разрывов на конечном интервале времени Одной из основных причин возникновения этого феномена является наличие у управляемой системы особого режима Под особым режимом [5] понимается траектория, в точках которой условие максимума Понтрягина не определяет однозначно значение управления, то есть максимум гамильтониана достигается более чем в одной точке В задачах, аффинных по управлению, управление может быть получено последовательным дифференцированием тождества Щ = О, где Н\ - коэффициент при и в гамильтониане При этом управление и впервые появится на четном шаге дифференцирования 2q. Число q называется порядком особой траектории В соответствии с теоремой Келли-Коппа-Мойера [6] сопряжение неособой кусочно-гладкой траектории с особой траекторией четного порядка неоптимально Поэтому соединение особого участка оптимальной траектории возможно только с четтеринг-траекторией

Первый пример задачи, для которой оптимальное управление имело бесконечное число переключений на конечном интервале времени был приведен А Т Фуллером на I конгрессе ИФАК в 1960 году [7] С тех

[5] Габасов Р, Кириллова Ф М Особые оптимальные управления — М Наука, 1973

[6] Kelley Н J , Корр R. Е , Moyer Н G Singular extremals Topics ш Optimization (ed Leitmann G ) N Y , 1967 P 63-103

[7J Фуллер A T Оптимизация релейных систем регулирования по различив™ критериям качества Труды I контр ИФАК (Москва, 1960) М 1961 Т 2 с 584-605

пор было найдено большое число задач, в которых также имеет место феномен Фуллера В работе [8] И Купка доказал, что для открытого множества гамильтоновых систем принципа максимума Понтрягина с одномерным управлением существует подмногообразие коразмерности 8, которое отвечает системам с четтеринг-режимами Несколько позднее, в работе M И Зеликина и В Ф Борисова [9], коразмерность соответствующего подмногообразия была понижена до 7 В работах M И Зеликина и В Ф Борисова [9, 10] построена теория четтеринг-режимов и дано описание фазового портрета разрывных гамильтоновых систем в окрестности особых экстремалей второго порядка Доказано, что асимптотика решений таких задач задается решением классической задачи Фуллера

В заключение отметим, что теория четтеринг-режимов является одной из активно развивающихся областей оптимального управления и находит применение во многих областях современной науки космонавтика, робототехника, математическая экономика и другие

Цель работы Изучить оптимальные решения конечномерных приближений задачи управления балкой Тимошенко, а именно, задачи оптимального гашения первых двух и первых п мод колебаний балки Тимошенко Исследовать асимптотическое поведение экстремалей задачи в окрестности особых режимов, доказать существование и оптимальность четтеринг-режимов в окрестности особых траекторий второго порядка

Методы исследования В работе используются методы теории оптимального управления и функционального анализа, методы теории

[8] Kupka I The ambiguity of the Fuller phenomenon Frace Rep Inst Fourier, № 52 — Grenoble, 1986

[9] Zelikm M I, Borisov V F Theory of chattering with applications to astronautics, robotics, economics and engineering Birkhaser, Boston-Basel-Berlin, 1994

[10] Зеликин M И, Борисов В Ф Синтез оптимальных управлений с накоплением переключений Итоги науки и техники Серия современная математика и ее приложения Тематические обзоры 90, Оптимальное управление 4 M ВИНИТИ, 2001

дифференциальных уравнений с разрывной правой частью, выпуклый анализ, линейная алгебра

Научная новизна Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем

Построен оптимальный синтез для двух гармонических осцилляторов, связанных единой управляющей функцией Доказано, что данная задача обладает особыми траекториями второго существенного порядка, которые имеют вид спиралей и при возрастании времени асимптотически приближаются к началу координат Доказано, что на особый режим оптимальные решения выходят с бесконечным числом переключений на конечном интервале времени

Для задачи оптимального гашения первых п мод колебаний балки Тимошенко, то есть для задачи минимизации среднеквадратичного отклонения п связанных осцилляторов от положения равновесия доказано существование особых режимов Доказано, что в некоторой открытой окрестности особого многообразия поведение оптимальных решений задачи такое же, как и в задаче оптимального гашения первых двух мод колебаний балки То есть оптимальные траектории п-мерной задачи за конечное время с бесконечным числом переключений выходят на особое многообразие и остаются на нем, асимптотически приближаясь к началу координат

Теоретическая и практическая ценность Работа имеет теоретический характер Результаты диссертации могут быть полезны при изучении задач оптимального управления, обладающих особыми режимами, задач стабилизации управляемых систем, а также при изучении задач оптимального управления системами с распределенными параметрами

Апробация диссертации Основные результаты диссертации докладывались автором на семинаре по геометрической теории оптимального управления на механико-математическом факультете МГУ (2005-2007, неоднократно), на семинаре кафедры оптимального

управления факультета ВМиК МГУ (2007), на семинаре кафедры нелинейного анализа и оптимизации факультета физико-математических и естественных наук РУДН (2007), на конференции "Ломоносовские чтения - 2006" (Москва, 2006), на XXVIII Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ (Москва, 2006)

Публикации По теме диссертации опубликовано 3 научные работы Список публикаций приведен в конце автореферата

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения и 4 глав, разделенных на параграфы Список литературы содержит 51 наименование Общий объем диссертации составляет 90 страниц

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении дан обзор работ по теме диссертации и приведены основные результаты

В диссертации рассматривается задача минимизации квадратичного функционала

roo п

/ (1)

на траекториях управляемой системы обыкновенных дифференциальных уравнений

x)(t) + XjxJ(t) = CjU, j = l,. ,п, (2)

где и — скалярное управление, — 1 < u < 1, начальные условия

х](0)=х°, ¿,(0 )=y?, j = l, ,п (3)

Задача (1)-(3) является конечномерным приближением соответствующей задачи со счетной управляемой системой обыкновенных дифференциальных уравнений, к которой сводится на основе метода Фурье задача управления балкой Тимошенко [11]

В диссертации задача (1)-(3) исследуется в следующей последовательности

Задача I. Задача управления гармоническим осциллятором с квадратичным критерием качества минимизировать функционал (1) на траекториях управляемой системы (2), (3) при п = 1

Задача II Задача минимизации среднеквадратичного отклонения двух связанных осцилляторов от положения равновесия минимизировать функционал

fOO

/ {xl(t)+C2yi(t))dt

J О

на траекториях управляемой системы

хi = х2, х2 - -и>2хг +и, yi= у2, у2 = ~ß2yi + и.

®i(o) = х®, х2(О) = £°, ш(О) = у1 уМ = у1 Н<1

Задача III Задача минимизации среднеквадратичного отклонения связанных осцилляторов от положения равновесия минимизировать функционал (1) на траекториях управляемой системы (2), (3)

Такая последовательность оправдана и с физической точки зрения При большинстве начальных состояний, связанных с естественными внешними воздействиями на балку, основная часть энергии колебаний приходится на главную моду Поэтому в качестве первого приближения к построению оптимального решения в задаче управления балкой Тимошенко естественно рассмотреть задачу оптимального гашения первой моды колебаний — она соответствует Задаче I Задачи II и III связаны с задачами оптимального гашения первых двух и первых п мод колебаний балки соответственно

[11] Зеликин М И , Манита JI А Оптимальные режимы с учащающимися переключениями в задаче управления балкой Тимошенко Прикл мат мех 2006 70, № 2 с 295-304

Основное содержание главы 1 составляет постановка задачи оптимального управления балкой Тимошенко и сведение ее на основе метода Фурье к изучению оптимальных решений для счетной управляемой системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Глава 1 носит обзорный характер В § 1 3 рассматривается Задача I Для нее начало координат х = 0 есть особый режим второго порядка, а оптимальные траектории с четтерингом достигают начала координат за конечное время

В главе 2 собраны необходимые утверждения о сопряжении особого и неособого участков оптимальной траектории, относящиеся к случаю кусочно-непрерывного управления

В главе 3 строится оптимальный синтез в задаче минимизации среднеквадратичного отклонения двух связанных осцилляторов от положения равновесия Основной результат этой главы формулируется в виде следующих утверждений (Теорема 3 1).

Теорема 3.1. Для Задачи II справедливы следующие утверждения

1) В задаче существуют особые траектории порядка 2 (intrinsic order)

2) Особые траектории удовлетворяют необходимому условию оптимальности Келли в строгой форме

3) Существует открытая окрестность Ue многообразия особых экстремалей, такая, что

a) для всех начальных условий (а;?, х®, у®, у®) £ U£ оптимальные траектории задачи достигают особого многообразия за конечное время с бесконечным числом переключений управления;

b) оставаясь на особом многообразии, оптимальные траектории с управлением и = иж достигают начала координат за бесконечное время

Доказательство утверждений 1), 2), ЗЬ) содержится в §3 2 В этом параграфе исследуется поведение экстремалей на особом многообразии

Для этого рассматривается система уравнений принципа максимума Понтрягина на особом многообразии

(С2ш1 + ц2)х1 + С2(и2-^)у1

XI = Х2, х2 = - 1 + с2 У1 = 2/2, У2 = -- 1 +С2-—

(4)

Доказывается, что для системы (4) начало координат является особой точкой типа фокус Найдены значения собственных чисел матрицы А этой системы, они симметричны относительно осей координат Пусть А1, А*+> (г = 1,2) — собственные числа матрицы А с отрицательными и положительными вещественными частями соответственно, а (г>+) — собственный вектор системы, отвечающий собственному значению А!_ (А^) По результатам § 3 2 сформулировано следующее предложение

Предложение 3.1. Пусть ЛГ* - двумерное инвариантное подпространство, соответствующее собственным векторам г>1 Тогда Ы* заполнено траекториями системы (4), которые имеют вид спиралей и при возрастании времени асимптотически приближаются к началу координат Двумерное инвариантное подпространство, соответствующее векторам и заполнено траекториями

системы (4), которые при возрастании времени удаляются от начала координат

В §§ 3 3, 3 4 содержится доказательство утверждения За) Теоремы 3 1

В §3.3 доказывается, что в каждую точку особого многообразия Задачи II за конечное время приходит неособая экстремаль с бесконечным числом переключений Идея доказательства заключается в следующем С помощью невырожденной замены переменных система уравнений принципа максимума Понтрягина в окрестности особой

траектории приводится к полуканоническому виду ¿1 = ¿2, = ¿3, = г4,

Z4 = -ш2м2гх - 2/^3 + (о;2 - ц2) ия + 2(и2 - ц2) - (1 + С2) и,

= ю2, т2 = + + си2и) 1 + (и>2 + ц2) гиз, (5)

гиз = ги4, = —ш2гиз + и, « = Sgn 21

Доказывается, что система (5) удовлетворяет всем требованиям теоремы о расслоении (Зеликин, Борисов, [12]) Таким образом, в пространстве 23, 24, гиг, г^з, гу4) существует расслоение с

базой 50 = {(.г, и») | ^ = г2 = = = 0} с двумерными кусочно-гладкими слоями, заполненными траекториями с учащающимися переключениями, те в некоторой окрестности особого многобразия решения гамильтоновой системы за конечное время с бесконечным числом переключений управления достигают особого многообразия.

В § 3 4 доказана следующая теорема

Теорема 3.3. Экстремали с накоплением переключений и особые экстремали Задачи II локально оптимальны

Пусть 7г Е* —+ О обозначает проекцию расслоения на базу, сопоставляющую всем точкам двумерного слоя точку (0, гу), а Ы* — двумерное подмногобразие поверхности 2 = 0, заполненное особыми решениями, которые приходят в начало координат в прямом времени

Доказательство Теоремы 3 3 состоит из доказательства следующих утверждений-

1) ТУ* является лагранжевым многообразием

2) Многообразие 7Г-1(ТУ*) регулярно проектируется на фазовое пространство

[12] Зеликин М И, Борисов В Ф Особые оптимальные режимы в задачах математической

экономики Совр мат прилож 2003 11 с 3-161

При доказательстве первого утверждения используются два обстоятельства: во-первых, согласно теореме об интегральном инварианте Пуанкаре-Картана ^ ф dx = ф dx для произвольного кусочно-гладкого замкнутого контура у С N* и его образа ут, полученного после переноса 7 по траекториям гамильтоновой системы (4) на некоторое время Т, во - вторых, 52t=i О

при Т —► оо

Второе утверждение основано на следствии из теоремы о регулярной проекции [12] и непосредственных вычислениях

В главе 4 рассматривается задача минимизации среднеквадратичного отклонения п связанных осцилляторов от положения равновесия Доказывается существование многообразия, состоящего из особых экстремалей Доказывается, что оптимальные траектории задачи за конечное время с бесконечным числом переключений выходят на особое многообразие и остаются на нем, асимптотически приближаясь к началу координат

Теорема 4.1. Для Задачи III справедливы следующие утверждения

1) В задаче существуют особые траектории порядка 2 (intrinsic order)

2) Особые траектории глобально оптимальны

3) Существует открытая окрестность U£ многообразия особых экстремалей, такая, что

a) для всех начальных условий у^, , ж®, £ Ue оптимальные траектории задачи достигают особого многообразия за конечное время с бесконечным числом переключений управления,

b) оставаясь на особом многообразии, оптимальные траектории с управлением и = иж достигают начала координат за бесконечное время

В § 4 2 доказываются утверждения 1), ЗЬ) Теоремы 4 1 В этом параграфе изучается поведение особых экстремалей задачи

Для Задачи III система уравнений принципа максимума на особом многообразии имеет вид

= Уз >

уз = _Д2 ^ + £ 2Ск (Л2 _ д2} Хк + Ск (Л2 _ А2}2 ^

£ С1 *=1 (6)

Ф] = Цч>з+Х3>

Теорема 4.3. Собственные значения матрицы линейной системы (6) комплексные, с вещественной частью, отличной от нуля и образуют множество, симметричное относительно осей координат

Доказательство Теоремы 4 3 следует из следующей леммы

Лемма 4.1. Характеристический многочлен матрицы линейной системы (6) приводится к виду

£ С,2 ^

По результатам § 4 2 сформулировано следующее предложение

Предложение 4.2. Пусть .., корни многочлена (7), причем а1_(г = 1, ., 2п — 2) - собственное значение с отрицательной вещественной частью Обозначим через № инвариантное подпространство, соответствующее собственым значениям а!, , № заполнено траекториями системы (4), которые

имеют вид спиралей и при возрастании времени асимптотически приближаются к началу координат Аналогично, инвариантное подпространство, отвечающее собственным значениям а!, а2"-2, заполнено траекториями системы (4), которые при возрастании времени удаляются от начала координат.

В § 4 3 содержится доказательство существования в Задаче III четтеринг-траекторий и конечности времени их прихода на особое

многообразие Доказательство этого утверждения, также как и аналогичного утверждения для Задачи II, основывается на проверке выполнения условий теоремы о расслоении (Зеликин, Борисов, [12]), однако осложняется приведением (4п — 4) - мерной системы уравнений принципа максимума к полуканонической форме

В § 4 4 доказывается теорема о локальной оптимальности особых экстремалей и экстремалей с накоплением переключений (Теорема 4 5). Структура доказательства Теоремы 4 5 напоминает этапы доказательства аналогичного утверждения для Задачи II

В § 4 5 доказывается глобальная оптимальность построенного в Задаче III семейства траекторий (Теорема 4 6)

Автор благодарит профессора М И Зеликина за предложенную тему и постоянное внимание к работе, В Ф Борисова за многочисленные обсуждения, Л А Маниту за обсуждение и ценные замечания

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1 Салобутина Е О Режимы накопления переключений в задаче одновременного управления колебаниями двух осцилляторов Вестник Московского Университета Сер 1, математика, механика 2006 № 3 С 25-32

2 Салобутина Е О Режимы учащающихся переключений в задаче оптимального управления колебаниями п осцилляторов Труды XXVIII Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ 2006 Т2 С 195-198

3 Салобутина Е О Режимы учащающихся переключений в задаче оптимального управления колебаниями п осцилляторов Современная математика Фундаментальные направления Оптимальное управление 2006, Т19 С 171-178.

Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ им М В Ломоносова

Подписано в печать ОЬ Ю 0 7 Формат 60x90 1/16 Уел печ л Тираж {00 экз Заказ 38

Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-математического факультета

Введение

1 Задача оптимального управления балкой Тимошенко

1.1. Постановка задачи.

1.2. Переход к системе обыкновенных дифференциальных уравнений

1.3. Оптимальный синтез в задаче управления гармоническим осциллятором с квадратичным критерием качества.

2 Особые экстремали второго порядка

2.1. Особая траектория. Порядок особой траектории

2.2. Особые режимы второго порядка.

2.3. Траектории с учащающимися переключениями.

2.4. Локально-оптимальный синтез, содержащий четтеринг-траектории

3 Задача минимизации среднеквадратичного отклонения двух связанных осцилляторов от положения равновесия

3.1. Постановка задачи и основной результат.

3.2. Многообразие особых экстремалей

3.3. Существование траекторий с учащающимися переключениями.

3.4. Локальная оптимальность траекторий с учащающимися переключениями.

4 Задача минимизации среднеквадратичного отклонения п связанных осцилляторов от положения равновесия

4.1. Постановка задачи и основной результат.

4.2. Многообразие особых экстремалей

4.3. Существование траекторий с учащающимися переключениями.

4.4. Локальная оптимальность траекторий с учащающимися переключениями.

4.5. Достаточные условия оптимальности особых траекторий.

В теории оптимального управления динамическими системами важное • место занимает класс систем, описывающих колебательные процессы. Задачи управления колебаниями всегда привлекали внимание многих исследователей.

Вопросы, связанные с исследованием линейных и нелинейных колебательных процессов, рассматриваются в монографиях Н. Н. Красовского [19], Н. Н. Моисеева [22].

В [31] В. А. Троицким исследуются оптимальные процессы в колебательных системах и на основе полученных оптимальных решений производится оценка предельных возможностей реальных динамических систем.

Проблемам управления колебательными системами посвящена работа Ф. JI. Черноусько, JI. Д. Акуленко, Б. Н. Соколова [34], в которой предлагаются эффективные приближенные методы построения оптимальных решений, построен ряд точных решений типичных задач оптимального перемещения и разгона колебательных систем при различных ограничениях на управляющее воздействие и фазовые координаты.

Вопросы оптимального управления колебательными системами рассматриваются также в работах [1, 20, 23, 30, 35, 36].

В теории оптимального управления колебаниями, возникающими в механических системах, объектом многочисленных исследований является модель колебаний балки Эйлера-Бернулли. Эта модель описывается уравнением в частных производных четвертого порядка [16]: pPoJu + EIu)xxxx = О, где р - плотность массы балки, Е - модуль упругости Юнга, I - момент инерции, Р - площадь поперечного сечения. Здесь ось ОХ совпадает с балкой в положении покоя, w(x,t) - смещение балки в момент t в положении х в направлении, перепендикулярном оси ОХ. В этой модели предполагается выполнение гипотезы плоских сечений Бернулли: сечения, плоские до деформации, остаются плоскими и после деформации; сечения, нормальные к средней линии балки до деформации, остаются к ней нормальными и после деформации.

Развитием системы Эйлера-Бернулли является теория балки Тимошенко, учитывающая инерцию вращения и деформацию сечения, возникающую при колебаниях. Согласно расчетной схеме балки, предложенной Тимошенко, плоские сечения, до деформации нормальные к ее оси, остаются плоскими и после изгиба, но перестают быть нормальными к ее изогнутой оси. Таким образом, в схеме Тимошенко положение каждого сечения деформируемой балки определяется двумя независимыми величинами: поперечным смещением и углом поворота смещения [3, 16, 28, 29, 49].

В настоящей работе рассматривается модель однородной балки Тимошенко в предположении, что левый конец балки прикреплен к диску радиуса г, а движение балки управляется угловым ускорением диска [16]: wtt(x, t)-- wxx{x, t) + - £x(x, t) = -6(t)(r + X),

7 17 1 . (вл)

Ztt{x,t) -£xx{x,t) + -t(x,t) -~wx(x,t) = -6(t), 7 7 где w(x,t) - смещение балки в направлении, перепендикулярном оси балки в положении покоя, t) - угловое смещение поперечного сечения балки в момент t в точке х, 0{t) - угол поворота диска в момент t, 7 > 0 - действительный параметр. Заданы начальные данные и>(х,0) = щ(х), wt(x,0) = w1(x), f(x,0) = £o(x), 6(з,0)=&(®)» xe[0,l],

В.2) и граничные условия w(o,*) = f(o,t) = o, wx(i,t) - £(i,t) = о, &(/,*) = 0. (В.З)

Здесь / - длина балки.

Задача управления медленно вращающейся балкой Тимошенко изучалась в работах [40, 42, 43, 44]. В [40, 42] были получены условия, при которых разрешима задача перевода балки из одного положения покоя (w(x, 0) = wt(x, 0) = £(х,0) = &(z,0) = 0, 0(0) = 0(0) = 0) в другое с заданным углом поворота диска {в(Т) = 0 0(Т) = 0) за достаточно большое время Т. Доказано, что существует не более чем счетная последовательность сингулярных значений радиуса диска, при которых балка является неуправляемой. Найден предел rj при j —> 00.

В работе [43] исследуется задача стабилизации балки. Построено управление u(t), при котором любое решение системы (В.1) при f —► 00 стремится к нулю в следующем смысле:

1 1

J wl(x, t) dx-> 0, J t) dx -> 0, (B.4) о 0 1 1

J w2t{x, t) dx^ 0, J t) dx 0, (B.5) о 0

0(0-0, ±0{t)-+ 0.

Условия (В.4), (В.5) означают, что общая энергия балки стремится к нулю. Отсюда следует, что при t —> оо

Показано, что если значение радиуса диска не является особым, то балка Тимошенко стабилизируема, описан процесс построения соответствующего управления.

В работе [44] получены условия точной управляемости и описаны множества достижимости.

В отличие от работ [40, 42, 43, 44] в настоящей диссертации исследуется задача минимизации среднеквадратичного отклонения балки Тимошенко от положения равновесия. При этом построение оптимального решения в этой задаче основывается на технике режимов с учащающимися переключениями (четтеринг-режимов).

Теория четтеринг-режимов является одной из активно развивающихся в последние годы областей оптимального управления. Первый пример задачи, для которой оптимальное управление имело бесконечное число переключений на конечном интервале времени был приведен А. Т. Фуллером на I конгрессе ИФАК в 1960 году [33]. Это явление получило впоследствии название "феномен Фуллера", а соответствующий способ управления — четтеринг (chattering).

Задача Фуллера, [33].

Решение этой задачи описывается следующим образом. Оптимальная траектория х(t) приходит в начало координат за конечное время; соответствующее оптимальное управление ii(t) имеет счетное число точек переключения с +1 на -1 и обратно.

J w2(x, t) dx-> 0, J e(x, t)dx-> 0 x = y, у = 11 x{0) = x0, y(0) = y0, |u| < 1.

При подходе к началу координат происходит накопление точек переключения управления. Точки переключения для всех начальных условий уо) G R2 лежат на кривой переключения х = —су2 sgn у, где с - некоторое конкретное алгебраическое число, 0 < с < 1/2. В точках фазовой плоскости (х, у), лежащих справа от кривой переключения, и = —1; в точках, лежащих слева, и = +1. Оптимальные траектории в фазовой плоскости имеют вид спиралей, наматывающихся на начало координат с бесконечным числом оборотов (см. рис. В.1).

Затем были найдены и другие задачи, в которых имеет место феномен Фуллера [4, 15, 12, 13, 14, 17, 39, 45, 46, 48, 50, 51]. В работе [47] И. Купка доказал, что для открытого множества гамильтоновых систем принципа максимума Понтрягина с одномерным управлением существует подмногообразие коразмерности 8, которое отвечает системам с четтеринг-режимами. Несколько позднее, в работах М. И. Зеликина и В. Ф. Борисова [15, 50] этот результат был усилен. Доказано, что коразмерность соответствующего подмногообразия равна 7.

Перейдем к изложению результатов работы. Диссертация состоит из введения и четырех глав, каждая из которых разделена на параграфы. Нумерация теорем, предложений, лемм, определений и замечаний, а также ссылок на формулы сквозная в пределах каждой главы.

1. Акуленко Л.Д., Болотник Н.Н., Каплунов А. А. Оптимизация режимов управления манипуляционными роботами // Препр. Института проблем механики АН. - 1983. - № 218.

2. Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В. Оптимальное управление. — М.: Наука, 1979.

3. Алфутов Н. А. Основы расчета на устойчивость упругих систем. — М.: Машиностроение, 1991.

4. Берщанский Я. М. Сопряжение особых и неособых участков оптимального управления // АиТ. 1979. - № 3. - С. 5 - 12.

5. Благодатских В. И. Введение в оптимальное управление. — М.: Высшая школа, 2001.

6. Болтянский В. Г. Математические методы оптимального управления. — М.: Наука, 1969.

7. Борисов В. Ф. Структурная устойчивость синтеза оптимальных траекторий в двумерной задаче Фуллера // Вестник МГУ. Сер. 1. Математика, механика. — 1987. № 4. - С. 64 -66.

8. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1988.

9. Габасов Р., Кириллова Ф. М. Особые оптимальные управления. — М. :Наука, 1973.

10. Зеликин М. И, Борисов В. Ф. Особые оптимальные режимы в задачах математической экономики // Совр. мат. прилож. — 2003. — И. — С. 3 161.

11. Зеликин М.И, Борисов В.Ф. Поля оптимальных траекторий, содержащие особые экстремали второго порядка и экстремали с учащающимися переключениями // ДАН СССР. 1989. - Т. 304, № 5. - С. 1050 - 1053.

12. Зеликин М. И, Борисов В. Ф. Режимы с учащающимися переключениями в задаче управления роботом // ПММ. 1988. - Т. 52, вып. 6. - С. 939 - 946.

13. Зеликин М. И, Борисов В. Ф. Режимы учащающихся переключений в задачах оптимального управления // Тр. Мат. ин-та АН СССР им. В. А. Стеклова. — 1991.- 197.-С. 85- 166.

14. Зеликин М. И, Борисов В. Ф. Синтез в задачах оптимального управления, содержащий траектории с учащающимися переключениями и особые траектории второго порядка // Мат. заметки. — 1990. — Т. 47, вып. 1. — С. 62 73.

15. Зеликин М. И, Борисов В. Ф. Синтез оптимальных управлений с накоплением переключений // Итоги науки и техники. Серия современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. 90, Оптимальное управление 4. М.: ВИНИТИ, 2001.

16. Зеликин М. И., Манита Л. А. Оптимальные режимы с учащающимися переключениями в задаче управления балкой Тимошенко // Прикл. мат. мех. — 2006.- 70, №2.-С. 295-304.

17. Зеликин М. И. Нерегулярность оптимального управления в регулярных эстремальных задачах // Фундам. и прикл. мат. — 1995. — Т. 1, № 2. — С. 399 -408.

18. Зеликин М. И. Оптимальное управление вращением твердого тела // Доклады РАН. 1996. - Т. 346, № 3.

19. Красовский Н. Н. Теория управления движением. Линейные системы. — М.: Наука, 1968.

20. Манита Л. А. Оптимальное управление осциллятором с переменной жесткостью // Вестник МГУ. Сер. 1. Математика, механика. — 1993. — № 6. С. 89 - 91.

21. Манита Л. А. Поведение экстремалей в окрестности особых режимов и негладкие функции Ляпунова в задачах оптимального управления // Фундам. прикл. мат. 1996. - 2, № 2. - С. 411 - 447.

22. Моисеев Н.Н. Асимптотические методы нелинейной механики. — М.: Наука, 1969.

23. Петухов Л. В. Троицкий В., А. Некоторые оптимальные задачи теории продольных колебаний тержней // ПММ. — 1972. — Т. 36, вып. 5. — С. 895 -904.

24. Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. — М.: Наука, 1976.

25. Салобутина Е. О. Режимы накопления переключений в задаче одновременного управления колебаниями двух осцилляторов // Вестник МГУ. Сер. 1. Математика, механика. — 2006. — № 3. — С. 25 32.

26. Салобутина Е. О. Режимы учащающихся переключений в задаче оптимального управления колебаниями п осцилляторов // Современная математика. Фундаментальные направления. Оптимальное управление.— 2006. Т.19 - С. 171 - 178.

27. Салобутина Е. О. Режимы учащающихся переключений в задаче оптимального управления колебаниями п осцилляторов // Труды XXVIII Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ. — 2006. Т2. - С. 195 - 198.

28. Тимошенко С. П. Курс теории упругости. — Киев, Наукова думка, 1972.

29. Тимошенко С. П., Янг Д. X., Уивер У. Колебания в инженерном деле.

30. Троицкий В. А. Некоторые оптимальные задачи теории колебаний // Труды ЛПИ им. М. И. Калинина. 1971. - № 318. - С. 54 - 65.

31. Троицкий В. А. Оптимальные процессы колебаний механических систем. — Л.: Машиностроение, 1976.

32. Филиппов А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. — М.: Наука, 1985.

33. Фуллер А. Т. Оптимизация релейных систем регулирования по различным критериям качества // Труды I конгр. ИФАК (Москва, 1960). Т. 2. — М. 1961. — С. 584 605.

34. Черпоусько Ф. Л., АкуленкоЛ.Д., Соколов Б. Н. Управление колебаниями. -М.: Наука, 1980.

35. Черноусъко Ф.Л., Баничук Н. В. Вариационные задачи механики и управления. — М.: Наука, 1973.

36. Черноусъко Ф.Л., Болотник Н.Н., Градецкий В. Г. Манипуляционные роботы: динамика, управление, оптимизация. — М.: Наука, 1989.

37. Черноусъко Ф. Л. Об устойчивости регулярной прецессии спутника // ПММ. — 1964. Т. 28, вып. 1. - С. 155 - 157.

38. Шубин М.А. Лекции об уравнениях математической физикию — М.: Наука, 1985.

39. Dorling С. М., Ryan Е. P. Minimization of поп quadratic cost functional for third order saturating system // Intern. J. Control. — 1981. — V. 34, № 2. — P. 231 - 258.

40. Gugat M. Controllability of a rotating Timoshenko beam // ESAIM: Control, Optimisation and Calculus of Variations. — 2001. — 6, C. 333 360.

41. Kelley H. J., Kopp R. E., Moyer H. G. Singular extremals // Topics in Optimization (ed. Leitmann G.) N.Y.,1967. P. 63 103.

42. Krabs W., Sklyar G.M. On the controllability of a slowly rotating Timoshenko beam // Z. Anal. Anwend. 1999. - 18, № 2. - C. 437 - 448.

43. Krabs W., Sklyar G.M. On the stabilizability of a slowly rotating Timoshenko beam // Z. Anal. Anwend. 2000. - 19, № 1. - C. 131 - 145.

44. Krabs W., Sklyar G.M., WozniakJ. On the set of reachable states in the problem of controllability of rotating Timoshenko beams // J. Anal. Appl. — 2003. — 22, JNTe 1. C. 215 - 228.

45. Kupka I. Geometric theory of extremals. Fuller phenomenon // Proc. XXIV Conf. Decision and Control. Lauderdale (Fla.), 1985. - P. 711 - 713.

46. Кирка I. The umbiguity of the Fuller phenomenon: Frace Rep. Inst. Fourier, № 52.- Grenoble, 1986.

47. Кирка I. The umbiguity of Fuller's phenomenon. Nonlinear Controllability and Optimal Control. Monograph Textbook Pure Appl. Math., 133 (ed. by H. Sussman). — N. Y.: Dekker, 1990. P. 313 350.

48. Marchal C. Chattering arcs and chattering controls //J. Optimiz. Theory and Appl.- 1973. V. 11, № 5. - P. 441 - 468.

49. Taylor S., YanS. Boundary control of a rotationg Timoshenko beam// ANZIAM J. Ser. E. 2003 - 44, № 1. - C. 143 - 184.

50. Zelikin M. I., Borisov V. F. Theory of chattering with applications to astronautics, robotics, economics and engineering. — Boston: Birkhauser, 1994.