Новый тип синхронизации автогенераторов, содержащих суперполимерные диссипативные элементы тема автореферата и диссертации по химии, 02.00.06 ВАК РФ

—-004929

На правах рукописи

КОВАЛЕВА МАРГАРИТА АЛЕКСЕЕВНА

НОВЫЙ ТИП СИНХРОНИЗАЦИИ АВТОГЕНЕРАТОРОВ, СОДЕРЖАЩИХ СУПЕРПОЛИМЕРНЫЕ ДИССИПАТИВИЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ

02.00.06 - высокомолекулярные соединения 01.04.02 - теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 о окт гт

Москва, 2013

005534929

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институте химической физики им. H.H. Семенова Российской академии наук

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

Маневич Леонид Исаакович

Институт химической физики им. H.H. Семенова РАН

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук

Колоколов Игорь Валентинович

Институт теоретической физики им. Л.Д. Ландау

доктор физико-математических наук, профессор Турусов Роберт Алексеевич

Институт химической физики им. H.H. Семенова РАН

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное

учреждение науки Институт проблем химической физики Российской академии наук

Защита диссертации состоится « 31 » октября 2013 г. в 12:30 часов на заседании диссертационного совета Д 002.012.01 при Институте химической физики им. H.H. Семенова РАН по адресу: 119991 Москва, ул. Косыгина, д.4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института химической физики им. H.H. Семенова РАН.

Автореферат разослан «<%> СЛи! 1 $Jj2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 002.012.01

кандидат химических наук

Ладыгина Т.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы Актуальность работы обусловлена общетеоретическим значением проблемы синхронизации, которая находит применение в различных областях физики и современной техники. Выявление новых типов синхронизации открывает неизвестные до настоящего времени перспективы реализации этого фундаментального явления. Принципиально важно, что такая реализация практически возможна лишь при использовании диссипативных элементов, необходимые свойства которых обеспечиваются характерными для полимерных растворов и расплавов реологическими закономерностями. В данном случае это достигается благодаря свойствам суперполимеров, цепи которых образованы ферромагнитными частицами. Последнее обстоятельство дает возможность использовать электромагнитные поля для управления вязкостью.

Таким образом, работа выполнена на стыке физики полимеров, закономерности которой, в принципе, позволяют реализовать новые механизмы нестационарных процессов, предсказанные теоретически, и теоретической физики, изучающей, в частности, механизмы стационарных и нестационарных процессов в системах различной физической природы.

Цель работы - выявление новых типов синхронизации в цепях слабо связанных автогенераторов, моделирующих многочисленные физические системы, которые могут быть реализованы благодаря использованию диссипативных элементов, содержащих суперполимеры.

Основные результаты работы, которые выносятся на защиту:

1) Выявлена синхронизация нового типа в системе слабо связанных автогенераторов;

2) В параметрическом пространстве выделены области существования синхронных режимов различных типов, включая традиционную синхронизацию на кооперативных или локализованных нелинейных нормальных модах и выявленную синхронизацию на предельных фазовых траекториях;

3) Показано, что диссипативные элементы, позволяющие реализовать синхронизацию нового типа, могут быть созданы на основе магнитореологиеских жидкостей, в которых цепочки ферромагнитных частиц обладают свойствами, характерными для полимерных цепей, что и оправдывает использование по отношению к ним термина «суперполимеры»;

4) Представлен механический аналог сверхизлучательного перехода в двухуровневой квантовой системе, представляющий собой устойчивый интенсивный энергообмен между двумя автогенераторами, который обеспечивается слабо связанным с ними резонирующим линейным осциллятором;

5) Представлено аналитическое описание сверхизлучательного квантового перехода в рамках модели Дж. Препарата, полученное с использованием концепции предельных фазовых траекторий.

Научная новизна. Впервые описаны новые типы синхронизации; показано, что они реализуются в той области значений параметров, в которой традиционная синхронизация невозможна. Установлено, что синхронизация нового типа может быть достигнута при использовании магнито-реологических элементов с управляемой за счет суперполимерного компонента вязкостью. Полученные результаты вносят существенный вклад в общетеоретические представления о синхронизации автогенераторов, поскольку известные аналитические исследования этого феномена фактически опираются на существование нелинейных нормальных мод. В работе впервые в научный оборот введены представления о синхронизации на предельных фазовых траекториях (ПФТ). После предсказания существования области параметров, в которой существует ПФТ-синхронизация, она может быть обнаружена экспериментально в физических, химических и биологических системах, моделируемых двумя связанными генераторами или цепочками генераторов. Впервые показано, что одним из возможных классических аналогов сверхизлучательного перехода в двухуровневой квантовой системе является устойчивый интенсивный энергообмен между двумя автогенераторами, слабо связанными с резонирующим линейным осциллятором. Эта аналогия позволила эффективно использовать при анализе квантовой проблемы концепцию предельных фазовых траекторий, разработанную применительно к классической нелинейной динамике.

Практическая значимость работы. Полученные результаты создают основу для применения синхронизации нового типа в различных областях физики и техники. Возможность реализации такого процесса открывает и новую область применения суперполимеров.

Личный вклад автора. Автор, выполняя работу в лаборатории физики и механики отдела полимеров ИХФ РАН, активно участвовала (совместно с Л. И. Маневичем) в работе по обобщению новой концепции ПФТ на активные диссипативные системы. Автором лично выполнена как аналитическая часть работы (включая асимптотический и теоретико-групповой анализ, а также построение аналитических решений с использованием негладких преобразований), так и соответствующее численное

исследование. Ею показана возможность управления вязкостью диссипативного элемента, обеспечивающего реализацию синхронизации слабо связанных автогенераторов на ПФТ. М.А.Ковалева принимала активное участие в постановке задач исследования, обсуждении результатов и подготовке публикаций.

Апробация работы. Основные результаты работы были представлены на международных конференциях: по Нелинейной динамике (Севастополь, Украина, 2013 г.), конференции «Локализация, энергоперенос и нелинейные нормальные моды в механике и физике» (Хайфа, Израиль, 2012 г.), школе-конференции «Хаос, сложность и динамика в биологических системах» (Каргезе, Франция, 2012 г.), Европейской конференции по нелинейным колебаниям (Рим, Италия, 2011г.), конференции «Нелинейная Динамика: Теория и приложения» (Лодзь, Польша, 2011г.), на всероссийской конференции «Математика. Компьютер. Образование» (Пущино, 2011г.), конференциях отдела полимеров и композиционных материалов ИХФ РАН (Москва, 2011, 2012, 2013 гг.). Доклады по материалам работы неоднократно отмечались премиями на конкурсах молодых ученых.

Публикации. По результатам диссертационной работы опубликовано 2 статьи и 7 тезисов докладов.

Структура и объем диссертации. Диссертация изложена на 133 страницах, включает 38 рисунков. Работа состоит из Введения, 5 глав, Выводов, Приложения и списка цитируемой литературы, включающего 196 ссылок.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во Введении обоснована актуальность работы и сформулированы цель, задачи исследования, научная новизна и практическая значимость работы.

В главе 1 приведен обзор литературных данных по проблеме синхронизации автогенераторов. Отмечено, что синхронизация - фундаментальное физическое явление, суть которого состоит в согласовании ритмов (например, движения) благодаря наличию слабой связи между элементами системы. Уже два взаимодействующих автоколебательных осциллятора (автогенератора) демонстрируют весьма разнообразные и сложные эффекты, которые активно изучаются применительно к различным физическим системам. Эта модель позволила выйти далеко за пределы круга явлений, для описания которых достаточно рассматривать один автоколебательный контур. В частности, оказалось возможным моделирование работы сердечной мышцы, прохождения газа в листьях растений, тепловых процессов . в трубчатом теплообменнике, нейронных синапсов плывущей рыбы.

Базовой моделью для исследования синхронизации в механических и физических системах является модель связанных автогенераторов, которая активно исследуется при различных типах связи. Однако, начиная со знаменитого наблюдения Гюйгенса, положившего начало изучению явления синхронизации и до последнего времени, предполагалось, что распределение энергии между связанными осцилляторами при их синхронном движении соответствует нелинейной нормальной моде либо близко к ней (в простейшем случае двух слабо связанных идентичных автогенераторов речь идет о синфазной и антифазной модах). Обсуждаются кратко основные физические эффекты, обнаруживаемые в системах слабо связанных автогенераторов. Прежде всего, это реализация предельного цикла как их согласованное движение в режиме нелинейной нормальной моды (ННМ). Кратко описаны истоки самого понятия НИМ в гамильтоновой динамике, которое может быть распространено и на автоколебательные системы. Поскольку в нелинейных консервативных системах существуют локализованные ННМ, неудивительно, что подобный феномен наблюдается и в случае слабо связанных автогенераторов как пространственная локализация энергии в режиме предельного цикла. В режиме нормальной моды система ведет себя как единое целое, поскольку все составляющие ее частицы движутся в унисон. В нелинейной динамике принцип суперпозиции уже не применим, однако ННМ при отсутствии резонансов слабо взаимодействуют между собой, что позволяет использовать их комбинации для построения решений в широком классе начальных условий, но с учетом амплитудной зависимости частот.

Ситуация кардинально изменяется в резонансном случае, когда частоты ННМ соизмеримы или почти соизмеримы. Тогда ННМ сильно взаимодействуют друг с другом, и, кроме того, проявляется эффект когерентности (последнее имеет место и в линейной теории). Тогда описание движения связанных осцилляторов в терминах мод оказывается не всегда адекватным. Например, в консервативных системах устойчивые ННМ сохраняют свое значение, если начальные условия соответствуют задаваемому ими распределению энергии, т.е. реализуются стационарные или близкие к ним (слабо модулированные) режимы. Но при начальных условиях, далеких от стационарных состояний, аналогичную роль играют предельные фазовые траекториям (ПФТ), описывающие сильно модулированные колебания, т.е., максимально возможный энергообмен между частями системы (для системы с двумя степенями свободы - между самими осцилляторами (но не ННМ)). В этом случае адекватный математический аппарат обеспечивает не только эффективный качественный анализ, но и построение аналитических решений на основе развитой в последнее время теории негладких

преобразований времени. Именно с такой ситуацией приходится иметь дело, рассматривая системы слабо связанных автогенераторов Анализ ПФТ позволяет выявить новый механизм синхронизации автогенераторов и условия перехода к синхронизации на локализованных ННМ. Поскольку реализация обоих механизмов предполагает возможность управления вязкостью диссипативных элементов, этому вопросу в диссертации уделено значительное внимание. На сегодняшний день, такую возможность предоставляют лишь диссипативные элементы, содержащие «суперполимеры» -ферромагнитные цепочки, обладающие многими свойствами, характерными для полимерных цепей (более ограниченные возможности предоставляют электромеханические системы). В связи с этим, в диссертации дан обзор современного состояния этой области физики, с упором на механизмы формирования вязкости в магнитореологических жидкостях и возможность управления законом изменения вязкости в зависимости от амплитуд колебаний. Краткий обзор литературных данных, относящихся к содержанию Главы 5, приведен во введении к этой главе.

В Главе 2. которая занимает в работе центральное место, введены физические понятия и математический аппарат, демонстрирующие возможность обобщения концепции ПФТ на случай слабо связанных автогенераторов на примере системы упруго взаимодействующих осцилляторов ван дер Поля-Дуффинга с жестким возбуждением.

По-существу, в этой главе дается ответ на принципиально важный вопрос: может ли предельная фазовая траектория быть аттрактором? Второй важный вопрос: можно ли в терминах ПФТ описать переход к локализации энергии в активной колебательной системе, подобно тому как это удается сделать в нелинейной консервативной системе? Положительный ответ на эти вопросы означает: а) существование синхронизации нового типа, отличной от традиционно изучаемой синхронизации на нелинейных нормальных модах, б) возможность эффективного применения к активным системам развитого применительно к гамильтоновой динамике метода негладких преобразований, в) возможность теоретического предсказания условий синхронизации на локализованных нелинейных нормальных модах.

Уравнения движения рассматриваемой системы после введения безразмерных переменных и параметров имеют вид:

+8ащ +2ргЦщ -щ)+2£(у-Щ2 =

¿Г т

л (2.1)

+и2 +8ащ +2/?ф2-и^+Му-АЪи? 0.

Здесь переменные характеризуют смещения осцилляторов, параметры a,ß -консервативную нелинейность и линейно упругую связь, соответственно, a y,b,d- закон изменения диссипативных сил.

Вводя комплексные переменные у/ =v; и уА = vy , где v t = du j I dt ,

™ d д 9

разделяя «быстрое» г„=/и «медленное» г, =гг0времена, учитывая, что — = —— + с-—

dt 5tq о г,

и представляя решение в виде у¡ = [<pJfl(rn, г,)-ь,(г„, г,)+...]схр(/r(l), (¡=1,2), после

применения процедуры двухмасштабных разложений приходим к системе уравнений движения в главном асимптотическом приближении

^¡--3,a|/,|V, +(r-b\f,\* + ¿|/,|V, + ißf, =0, dt, (2.2)

¿b-- 3/a|/2|V3 + (Г - b\f,\2 + </|/2f )/2 + </?/, = 0,

а T j

где новые комплексные функции определяются заменой

переменных: tj>J0 - fj ехр(;/?г,).

Наконец, переходя к полярному представлению /, = /?, ехр(< <5,) и /2 = ßjcxp(«52), получаем следующую систему вещественных уравнений (Д = S, - S2): yR, - bR* + dR+ Д = О,

с/г,

-¿Лг' + dR2! - ßR, sin Д = 0, (2'3)

t/r,

R,R1—+ ЗаЯ,й2(Л22 - Л,2) + ß(R,2 - Ä,2) cos Д = 0, rfr,

Система (2.3) в общем случае является неинтегрируемой, но обладает дискретной симметрией, а именно, является инвариантной при преобразованиях:

(a) Л,->R2, R1->R¡,, Д->-Д; (2.4)

(b) Д->~Яг, Ä2-, Д->Д.

Симметрии (2.4а) и (2.4Ь) обеспечивают существование синфазной (Л, =Л2, Д = 0) и антифазной (Rt=R1,A = x) ННМ соответственно. В общем случае какая-либо дополнительная очевидная симметрия, дискретная или непрерывная, за исключением трансляционной симметрии по времени, отсутствует. Если же любая нетривиальная непрерывная симметрия существует при некоторых дополнительных условиях, то она может быть найдена при помощи аппарата теории групп Ли. Инфинитезимальный

дифференциальный оператор динамической системы (2.3) представляется следующим образом:

Х = Х0 + Х1,гяе (2.5)

X¡ - первое продолжение оператора Х0, с компонентами, которые определяются временными производными в системе (2.3). Применение стандартной процедуры к системе дифференциальных уравнений в частных производных для компонент оператора X, позволяет показать наличие, при определенных условиях, дополнительной группы симметрии в системе (2.3). А именно, групповой оператор становится оператором

вращения на плоскости Х = й,—— Я, — с инвариантом Is N = R,2 + R22

' 8R¡ 5R2

при соотношении между диссипативными параметрами системы

Ь2= 9yd! 2 f (2.6)

если начальные условия обеспечивают определенный уровень возбуждения

N = 2b/3d (2.7)

При наличии инварианта N преобразование координат:

^ = ViVsmв и R1=4Ñ cosé», приводит к системе двух уравнений первого порядка

^ - = — (sin Д - Я sin 46 ),

dT> 2 (2.8)

sin 26-^- = cos 26 cos Д + 2 A: sin 46, dr2

где i-j = Дг,, а к и Я - параметры нелинейности и диссипации, отнесенные к параметру связи автогенераторов.

В частном случае Я = 0 система (2.8) является консервативной, а обе НИМ устойчивы (рис. 1(a)), если ¿<0.5. При значении параметра нелинейности к=0.2, стационарные точки (0,тг/4) и (л-,л74) соответствуют устойчивым синфазной и антифазной НИМ, соответственно. Фазовая траектория, максимально удаленная от стационарных точек, содержащая две ветви и соответствующая полному энергообмену между генераторами, обозначается как ПФТ; две ветви ПФТ (жирная линия) характеризуют полный энергообмен между осцилляторами: если 6 = 0 или 6 = п!2, энергия сосредоточена на одном из осцилляторов. При относительно малых значениях Я и различных к<1/2 существуют два неустойчивых фокуса, соответствующих

неустойчивым НИМ исходной системы (2.3) (рис. 1, фрагменты (Ь) - (с!)) (в физической терминологии для исходной системы - неустойчивые предельные циклы). Фокусы превращаются в неустойчивые узлы при Я2 >1 — 2к (Рис.1, фрагменты (е) и (1)); левая ветвь ПФТ становится незамкнутой, правая превращается в аттрактор. Однако ПФТ качественных изменений при этом не претерпевает.

Рис. 1 - Фазовые плоскости системы (6), описывающие поведение двух слабосвязанных активных осцилляторов во времени: переменные ^ и Л характеризуют соотношения между амплитудами и Яг осцилляторов и их фазами 5| и 62 соответственно Л^л/Л^с оэ^, Д = <5,-<?2). (а) параметр нелинейности ¿=0.2,

диссипативный параметр Д = 0: консервативная система; (Ь) А = 0.2,А = 0.1; (с) к = 0.44, Л = 0.1; ((1) к = 0.2, Л = 0.5; (е) * = 0.1,А = 0.9;(0 к = 0.1, А = 0.99.

10

Если диссипативный параметр Л не превышает значения ^(1+т/1-4£2), ПФТ является

единственным аттрактором системы, причем с максимально возможным обменом энергией между осцилляторами. При увеличении параметра диссипации (рис. 1(0 к = 0.1, Л = 0.99) ПФТ-атграктор, соответствующий интенсивному энергообмену, разрушается и локализованные нелинейные нормальные моды (ЛННМ) становятся новыми аттракторами. Все результаты находятся в соответствии с численным интегрированием исходной системы (2.3) и системы (2.6) (см. рис.3). Фазовый сдвиг между генераторами на ПФТ практически все время соответствует значениям ±я72 с весьма быстрым переходом между ними (рис.2с1), и поэтому действительно можно говорить о новом типе синхронизации осцилляторов ("ПФТ-синхронизации" в отличие от известной ННМ-синхронизации).

Далее, если ПФТ теряет устойчивость, и аттрактором становится

стационарная точка, соответствующая локализованной НИМ (ЛННМ) с энергией, в основном захваченной одним из осцилляторов (рис. 1(0 к — 0.1,Л = 0.99). Все результаты находятся в соответствии с численным интегрированием исходной системы (2.3) и системы (2.6) (см. рис.3).

Важно заметить, что эволюция ПФТ, приводящая к переходу от полного энергообмена к локализации энергии, происходит при большем значении диссипативного параметра, чем изменение типа стационарных точек (рис. 2(е)).

В области интенсивного энергоообмена между осцилляторами можно получить аналитическое решение системы (2.8), соответствующее ПФТ, применяя аналитический метод негладких преобразований:

0 = Лг + -[соз(4Лг)-1]е + ..„ (2.9)

4

Д = ?г-

-|-2/Ып(2 Ат)

где базисные функции г = г(г2 /(2А)) и е = е(г2 /(2А)), и временные зависимости решений, представлены на рис. 2, (а-Ь) и (с-с1), соответственно. Проведенное сопоставление аналитического решения (2.9) и результатов численного интегрирования исходной системы (2.1), пересчитанных согласно формулам, связывающим новые и старые переменные, демонстрирует хорошее их согласие.

Рис. 2 - Базисные функции (а) и е(£) (Ь), и зависимости от времени 0 (с) и Д (с1) (пересчитанные результаты интегрирования системы (2.1) при наборе параметров, соответствующих Рис. 1((1), и графическое представление аналитического решения (2.9)).

Поведение системы вблизи порога (до и непосредственно после перехода от ПФТ-синхронизации к синхронизации на локализованных НИМ (ЛННМ)) показано на Рис. 3(а)

и (Ь); демонстрируются временные зависимости амплитуд Л,. =|у/,.] = и,.гг—1,2 исходной системы (2.3) (результат численного интегрирования). ПФТ-синхронизация вдали от порога локализации проиллюстрирована на Рис.З(с) (при наборе параметров, соответствующем Рис. 1(Ь)). Для сравнения представлена также хорошо изученная ННМ-синхронизация (Рис.3(<1)), которая наблюдается на антифазной ННМ. В последнем случае набор параметров существенно отличается от соответствующего выявленным условиям симметрии.

Рис.3 - Переход от энергообмена к локализации в системе (2.3) связанных осцилляторов,

Л, - серый, Я2 ~ черный; (а) к = 0.1, Я = 0.98 ; (Ь) к = 0.1, /I = 0.99 ; (с) к = 0.2, Я = 0.1; ((1) параметры осцилляторов не соответствуют условиям симметрии (2.6), (2.7).

Таким образом, результаты второй главы дают положительный ответ на оба сформулированных выше вопроса, подтверждая возможность синхронизации нового типа

(ПФТ-синхронизации), ее роль в предсказании перехода к локализации на локализованных нормальных модах и эффективность математического аппарата, основанного на негладких преобразованиях времени, для аналитического описания синхронных режимов в системах слабо связанных автогенераторов. Продемонстрирована робастность выявленных режимов.

В третьей главе обсуждается возможность обобщения представленных в Главе 2 результатов на системы с большим числом степеней свободы.

В этом случае даже предсказание ННМ-синхронизации автогенераторов, зависит от возможности определения нелинейных нормальных мод, что является, вообще говоря, достаточно сложной задачей. Еще более сложным, с учетом результатов Главы 2, является ответ на вопрос: возможны ли в нелинейных диссипативных системах с большим числом степеней свободы модулированные незатухающие колебания, или, что эквивалентно, ПФТ-синхронизация? На поиск обобщения наталкивают результаты выполненного ранее в ИХФ РАН исследования модулированных колебаний в консервативных многочастичных системах. Было введено понятие эффективной частицы, которое позволяет в рамках концепции предельных фазовых траекторий адекватно описать энергообмен и переход к локализации энергии в цепях нелинейных осцилляторов. В случае двух слабо связанных автогенераторов, принципиально важным обстоятельством было существование, наряду с интегралом энергии, интеграла «чисел заполнения» (понятно, что интеграл энергии в диссипативных системах отсутствует). Оказывается, что и в весьма обширном классе нелинейных диссипативных систем с большим числом степеней свободы можно выделить систему, описывающую динамику п слабо связанных генераторов в «медленном» времени, которая, подобно ряду консервативных систем, допускает интеграл «чисел заполнения» (далее предполагается, что п-четное число). «Медленное» время возникает из-за слабой связи между осцилляторами и относительной малости перемещений и скоростей, что совместимо с принципиальной важностью нелинейных эффектов. Эта система была выбрана как модельная, поскольку для нее можно сформулировать простой алгоритм определения ННМ, и, кроме того, она может дать ответ на вопрос, поставленный в начале главы. Наличия одного интеграла в системе с большим числом степеней свободы, конечно, недостаточно для аналитического решения задачи, однако обобщение на активные системы развитого в ИХФ подхода к исследованию консервативных систем позволяет провести исследование.

Уравнения движения системы слабо связанных автогенераторов в общем виде могут быть записаны следующим образом:

Ц'и. з

-р- + и] - 8ага, +гр£(1и1 -и]Л +^ ^ ^

+ 2Г£Р(и,,у1)уу = 0

с1и1 . _

где «у и —= vJ - перемещение и скорость _|-го генератора соответственно; р параметр

связи, 0 < е « 1, Р(ы,, v,) - многочлен 4 степени относительно (в общем случае, всех) переменных перемещений и скоростей (/ - принимает все значения из диапазона 0,п при каждом значении у).

После введения комплексных переменных у^ =уу и 4']=^) -;'и(, медленного времени г, = ет0 (наряду с «быстрым» временем г0 = /) и применения процедуры многомасштабных разложений,

V; =Ьу,о(г'о.г1)+£^,1(70.2-|)+-]ехрег0) ,(/=Л2), (3.2)

получена система уравнений движения в главном асимптотическом приближении: где - многочлен 2-й степени относительно всех |р,|2.

Система(3.3) в общем случае не допускает интегралов движения. Однако групповой анализ обнаруживает условия, при которых уравнения (3.2) инвариантны относительно группы вращений в п-мерном евклидовом пространстве с инвариантом

(3.4)

(в двумерном случае аналогичную роль играла группа вращений евклидовой плоскости). Эти условия определяют вид диссипативной части уравнений движения, т.е., функцию С>.

(3.3) Например, при п=4 уравнения движения принимают вид:

4] 4) щ^А чк11 4 А ъйв'(3 5)

и при А = 2N1, В = N, С = 1, непосредственной проверкой можно убедиться, что система

(3.4) допускает интеграл (3.4)прип=4.

Линеаризованная система, соответствующая (3.5), имеет в качестве частных решений нормальные моды, которые в ряде случаев могут существовать и при учете нелинейности (тогда они становятся нелинейными нормальными модами - ННМ).

При п=4 четыре ННМ определяются нормированными векторами (1,1,1,1) - синфазная мода, (1,-1,1,-1) - антифазная мода, (-1,-1,1,1) и (1,-1,-1,1)) - две моды в которых автогенераторы смещаются во времени как синхронные пары.

Наименьшую частоту имеет синфазная мода, наибольшую - антифазная. Эти моды являются аналогами кооперативных мод системы двух автогенераторов, рассмотренной в Главе 2. Но в данном случае возможна ННМ-синхронизация на каждой из четырех нормальных мод. При увеличении числа автогенераторов в рассматриваемой системе также удается найти нетривиальные ННМ, на которых возможна ННМ-синхронизация. Важным обстоятельством, которое делает возможным обобщение концепции эффективных частиц и предельных фазовых траекторий на многомерные активные системы, является слабая связь между автогенераторами, что определяет «сгущение» частотного спектра при уменьшении параметра связи и увеличении числа автогенераторов в цепи. Частоты ННМ становятся близкими, и моды резонируют, так что возникает эффект когерентности, причем в нелинейном случае ННМ сильно взаимодействуют. Это означает, что от модального анализа, как и в случае гамильтоновой системы, целесообразно перейти к эффективным частицам, которые, подобно осцилляторам в системе двух слабо связанных автогенераторов взаимодействуют слабо.

Для упрощения анализа при построении уравнений, определяющих динамику эффективных частиц, можно учитывать моды с двумя наибольшими частотами, что предполагает относительно слабое влияние мод с меньшими частотами при задании начальных условий, в которых эти моды исключены. Таких учитываемых мод три: мода с максимальной частотой (антифазная) и две ближайшие (по частоте) вырожденные моды. Предварительно уравнения, описывающие рассматриваемую систему в медленном времени, были спроектированы на базис, образованный всеми ННМ ((р1 -* С учетом трех указанных мод новые переменные, описывающие подвижность «эффективных частиц» - групп осцилляторов, движущихся коллективно, имеют вид:

(3.7)

где - координата моды с максимальной частотой, ,ímux_! -координаты двух ближайших по частоте вырожденных мод. Для определенности, зафиксируем ф = О (условие равенства амплитуд обеих вырожденных мод системы (3.3)). При сделанных предположениях, можно ввести новые переменные: у/, = JÑcos0els'

у/г sm0e's> (3.8)

Л = 8г -5,

Далее для простоты уравнения движения приведены применительно к случаю и=4:

^ = —sin Д + —(sin 20 sin 2Д - 2sin д)-dr2 2 4 '

2 Я (sin 4é>(l - cos 2Д)+ 8 cos 2 в cos Д),

dA , ч <3-9)

sin 2в-= cos 20 cos Д + 2A:(sin 40 cos 2 Д - 2 cos 20 cos Д - 4 sin 40 )-

dr,

- 2 Я (sin 20 sin 2Д - 4 (eos 4 0 + sin 4 <?)sin д)

0 A

где переменные > описывают соотношение амплитуд модальных переменных и разность фаз между ними, г, = 2/?г2, к = , Л = ^^ > 0.

й Л

Гамильтониан консервативной системы в представлении ' , имеет вид: Я = X cos 0^к sin 0^2 cos Д - -i-sin 20 (cos 2Д - 7)j - 2 sin 0 cos Д j .

При малых параметрах нелинейности и диссипации существуют две стационарные точки (0 = я74,Д = 0) и (# = я74,Д = я). В системе с двумя степенями свободы они

соответствуют синфазной и антифазной модам. При (к<~ ) синфазная мода неустойчива

(этот случай и рассматривался при к>0); при (/с >^(%/1 + 64Á2) или к < —i(Vl + 64Л2))

антифазная мода оказывается неустойчивой. В некотором диапазоне изменения параметра диссипации устойчивый предельный цикл притягивает фазовые траектории в достаточно широком диапазоне начальных условий. Этот тип аттрактора отражает стационарный энергообмен между двумя частями исходной системы - группами осцилляторов (эффективными частицами). Предельный цикл здесь соответствует ПФТ-синхронизации. При некотором значении параметра диссипации такой предельный цикл теряет устойчивость и два устойчивых фокуса становятся глобальными аттракторами системы. Это движение соответствует ситуации, когда почти вся энергия системы сосредоточена на

одной эффективной частице (группе осцилляторов). Такое поведение является примером локализации энергии.

Глава 4 посвящена реализации и применению цепей автогенераторов с полимерными компонентами.

Проанализированы возможные методики создания нелинейных диссипативных элементов, необходимых для экспериментальной реализации полученных результатов, а также основные принципы использования полученных режимов для прикладных задач. В этой связи необходимо понять, какие физические системы позволяют реализовать нелинейную зависимость нужного типа (имеется в виду зависимость скорости от амплитуды осциллятора).

В работе предложены несколько подходов, обеспечивающих контролируемое изменение вязкости диссипативного элемента. Магнитомеханическая система.

Один из возможных способов реализации нелинейной диссипативной системы с заданной нелинейной характеристикой является электромеханическая система - маятник в переменном магнитном поле. Такая система схематически представлена на рис.4. Она представляет собой замкнутый электрический контур на жестком подвесе в переменном однородном магнитное поле с частотой V, которая много больше частоты собственных малых колебаний маятника. Если угол отклонения маятника от вертикальной оси в и в = О нижнее положение маятника, кинетическая энергия Г, энергия магнитного поля № и потенциальная энергия П могут быть представлены в виде:

Т = -1в2, W = +В055ту1$\пв i,n = mgl(\-cosв), (4.1)

П П П 1 I п

В3 sin vt

Рис.4 - Схема маятника во внешнем поле

где / - момент инерции контура относительно оси, проходящей через точку подвеса, т -масса контура, / - длина подвеса, L - коэффициент самоиндукции контура от тока i, В„ - амплитуда внешнего поля.

В предположении, что частота магнитного поля намного больше собственной частоты

маятника к = Jmgl / / «v, введены малый параметр е2 = к21 v2, безразмерное («быстрое») время г = И и безразмерный ток iu=i/i. (i. = B„S/L обозначает базовое значение тока), Тогда можно записать уравнения Максвелла-Лагранжа рассматриваемой системы в безразмерном виде:

в -sVsin reos в i, +Е2 sin <9 = О,

. " (4.2)

í„ + sin г cos в в + cos г sin в + riu = 0.

(В i?)" R

где введены безразмерные параметры у = и г = —. Точка обозначает

Lmgl L V

дифференцирование по медленному времени t' = kt.

В конечном счете, уравнение движения маятника при относительно небольших углах

94 ■ 2В 1

поворота можно представить в виде 9-еа(\-в2 +—)в + в{р +1)— + —) = 0,

3 3 6

У(\-г2) у

где а=—-гг,0 =-—

2(1 +г2)2 2(1 + г )

Как видно, электромеханическая система может обеспечить нужный тип нелинейного диссипативного элемента, описанного в Главе 2. Однако, для создания необходимого

диссипативного элемента при использовании цепи автогенераторов (Глава 3), такая система недостаточна. Физическая реализация диссипативного элемента с более сложным законом изменения вязкости возможна при помощи демпферов с суперполимерным наполнителем.

Магнитореологический полуактивный элемент.

MP жидкости широко используются для приложений, в которых необходим активный контроль за вибрациями. Поэтому особенно перспективным стало применение MP жидкостей для создания высокоэффективных демпферов. Один из успешных примеров -разработки компании Lord Corporation, которая провела широкие исследования с целью разработки образцов демпферов.

При производстве демпферов обычно используется режим течения (см. рис.5)

Рис. 5 - Принцип формирования цепей в МР-жидкостях.

На рисунке 6 представлена схема простейшего полуактивного демпфера. Управление осуществляется при помощи сигнала, который изменяет ток в катушке и регулирует магнитное поле, действующее на МР-жидкость. Зависимость сила-скорость в зависимости от тока на катушке, представлена на рисунке 6. Как видно из приведенных кривых, регистрируя амплитуду (скорость) осциллятора, можно подавать информацию о ней на контакты, управляющие катушкой. Изменение тока катушки будет влиять на магнитное поле внутри МР демпфера и, таким образом, изменять свойства МР жидкости. Присоединенный к осциллятору демпфер должен обеспечивать нелинейный отклик (см. рис.7). Поскольку времена отклика МР системы малы, то в широком диапазоне частот самого осциллятора, можно получить адекватный нелинейный отклик диссипативного элемента.

свойств нелинейного диссипативного элемента играет применение МР-жидкости с суперполимерным наполнителем, подробно описанной в Главе 1 и имеющей характерную для полимеров зависимость вязких сил от скорости. Отмечено также, что одной из задач, где применение ПФТ синхронизации может оказаться полезным, является приобретающая в последнее время все большее значение проблема накопления и сбережения энергии. Основная проблема существующих устройств - узкая полоса рабочих частот. Одним из путей преодоления этого недостатка является применение автоколебательных контуров, которые способны воспринимать энергию в широком диапазоне частот и преобразовывать ее в определенную частоту контура. При этом движение автоколебательной системы не зависит от вида или частоты внешнего сигнала.

Глава 5 посвящена анализу сверхизлучательного квантового перехода (СКП) в двухуровневых квантовых системах и установлению его аналогии с ПФТ-синхронизацией в системе автогенераторов, связанных гармоническим осциллятором, в условиях резонанса 1:1:1. Сверхизлучательный квантовый переход является одним из наиболее важных квантовых явлений, имеющим многочисленные физические приложения.

С использованием концепции ПФТ проанализирована фундаментальная модель СКП, предложенная Дж. Препарата, которая основана на квантовой электродинамике (КЭД) и учитывает динамические аспекты, приводящие к нестабильности основного состояния двухуровневой системы при наличии резонансного электромагнитного излучения. Эта модель (которая является дальнейшим развитием модели Дикке) вскрывает механизм формирования нового основного состояния, далекого от исходного.

При некоторых пороговых значениях параметра связи и частоты поля нижний уровень становится неустойчивым. Тогда происходит устойчивый процесс колебаний между двумя уровнями, что соответствует СКП, и именно этот процесс может быть описан предельными фазовыми траекториями (ПФТ), которые характеризуются максимально возможным при данных условиях энергообменом. Найден простейший классический аналог СКП, а именно, новый тип динамического поведения автогенераторов, связанных линейным осциллятором в условиях резонанса 1:1:1. Причиной перехода к интенсивному энергообмену является неустойчивость соответственно: а) нелинейной нормальной моды в классической системе и б) нижнего уровня квантовой системы.

Таким образом, в рассматриваемой классической системе, ПФТ может быть аттрактором, подобно НИМ. При этом соответствующий временной процесс - сильно модулированные колебания (нелинейные биения) - подобен периодическому процессу сверхизлучательного квантового перехода. Системы рассматриваемого типа являются базовыми моделями во многих областях физики, химии и биофизики. Поэтому, обнаружение в них нового типа колебательных процессов дает дополнительный инструмент для теоретического анализа в этих областях и указывает на возможные направления новых экспериментальных исследований.

Модель Дж. Препарата основана на рассмотрении полного гамильтониана одномерной системы, состоящей из поля, взаимодействующего с двухуровневой системой, в приближении медленно меняющихся амплитуд. Поле является резонансным по отношению к разности энергий уровней. В пределе конденсированного вещества в представлении взаимодействия и в рамках одного когерентного домена исходная система имеет следующий вид:

Х\ = -1ёА*Хг

Х2=-18АХ\ (4.1)

+ А + =

2

Х\,Хг- волновые функции состояний, соответствующих нижнему и верхнему уровням

материальной системы, А - характеристика электромагнитного поля, эволюция системы происходит в безразмерном масштабе времени.

* * _ 1

С использованием интеграла Х\ Х\ + ХгХг ~ 1 , выполнена замена переменных

Хх = cos в е'5х: j2 = sin в е'°2 ; А = 8Х - 5г (4 2)

Дифференцирование по времени приводит исходное уравнение поля (4.1) к виду -2 4 гпч 1Й = П

(4.3)

id-,

A-2iA + 2juA- 2 ig2A cos 20 = 0

A = a + ib

a +2b + 2jua + 2 g2b cos 20 = 0 b -2a + 2¡ub - 2g2a cos 2^ = 0

(4.4)

В качестве примера рассмотрены начальные условия, соответствующие устойчивому «тривиальному» основному состоянию: ео = 1.2.

а = 0.01 Ъ = 10"8 а = 1 * Ю~10 Ь = соа

а = -ю2а Ъ = 10

-ю

, g=0.76

0.08 0.06 0.04 0.02 0

-0.02 -0.04 -0.06 -0.08,

(4.9)

0.05

Рис. 8 - Эволюция компонент поля а и Ь при £=0.76 (красная линия) - осцилляции вблизи основного состояния, $ = 0.77 (синяя линия) - резкий рост колебаний при переходе через порог устойчивости основного состояния.

Рис.9 - Эволюция компонент поля а и Ь и 0(соотношение амплитуд волновых функций уровней) при § = 0.76 (красная линия), g = 0.9 (синяя линия).

Наблюдается резкая смена поведения системы при переходе через точку, соответствующую потере устойчивости основного состояния (см. рис. 8). При значениях достаточно далеких от критического значения, временной масштаб процесса сверхизлучения становится сравним с периодом колебания поля (рис. 9). Периодическое изменение как огибающей поля, так и амплитуд волновых функций (рис. 9) уровней (с одинаковым периодом) соответствует процессу сверхизлучения.

(а) (Ь) (с)

Рис. 10, Механизм энергообмена: а) и Ь) - изменение энергии генераторов, с) изменение энергии линейного осциллятора

Для вибрационного аналога можно продемонстрировать также смену поведения с реализации моды на интенсивный энергообмен. Неустойчивость антифазной моды приводит к резкому изменению типа эволюции системы. Происходит стационарный энергообмен между двумя генераторами, доля передаваемой энергии зависит от параметра диссипации, ее максимум - более 90%. Энергообмен показан на рис. 10 для

определенного значения параметра диссипации линейного осциллятора; начальные условия существенно асимметричны. Следует отметить, что аналогичный процесс происходит в широком диапазоне начальных условий, в том числе соответствующих неустойчивой антифазной моде.

ВЫВОДЫ

1. Концепция эффективных» частиц и предельных фазовых траекторий с использованием аппарата негладких функций позволяет выявить и описать синхронизацию нового типа (ПФТ-синхронизация) в системах слабо связанных автогенераторов.

2. ПФТ-синхронизация реализуется в области значений параметров, в которой традиционно изучаемая синхронизация на нелинейных нормальных модам (ННМ-синхронизация) невозможна.

3. Неустойчивость режима ПФТ-синхронизации определяет переход к синхронизации на кооперативных и локализованных ННМ.

4. Реализация ПФТ-синхронизации требует использования диссипативных элементов с контролируемым изменением вязкости, что может быть достигнуто применением магнитореологических жидкостей,содержащих суперполимерный наполнитель.

5. Концепция предельных фазовых траекторий позволяет эффективно описать сверхизлучательный квантовый переход в двухуровневых квантовых системах и установить его аналогию с ПФТ-синхронизацией в системе автогенераторов, связанных гармоническим осциллятором, в условиях резонанса 1:1:1.

Основные результаты работы изложены в следующих публикациях.

1. Manevitch, L.I. Non-conventional synchronization of weakly coupled active oscillators [Текст]/ L.I.Manevitch, M.A.Kovaleva and V.N.Pilipchuk //EPL. - 2013. - V.101 -50002-P. 1-5.

2. Ковалева, M.A. О новом типе синхронизации генераторов с жестким возбуждением [Текст]/ М.А. Ковалева, Л.И. Маневич, В.Н. Пилипчук // ЖЭТФ. - 2013. - Т.144 -Вып. 2.-С. 428-437.

3. Kovaleva, М. Synchronization of new type in the chain of weakly coupled active oscillators [Текст] /М. Kovaleva, L. Manevitch // Nonlinear Dynamics - 2013, Sevastopol, Ukraine. Book of proceedings ,2013. P.77.

4. Ковалева, M.A. Модулированные предельные циклы в цепях слабо связанных активных осцилляторов [Текст] / М.А. Ковалева, Л.И. Маневич // Сборник трудов конференции отдела полимеров и композиционных материалов «Полимеры2013», Москва, 2013. С. 74-76.

5. Kovaleva, М.А. Limiting phase trajectories and intensive energy exchange in the system of weakly coupled dissipative oscillators [Текст] / M.A. Kovaleva, L.I. Manevitch // The 4th International Conference on Localization, Energy Transfer and Nonlinear Normal Modes in Mechanics and Physics - NNM2012 July 1-5, 2012, Haifa, Israel. Booklet of Abstracts, 2012. P. 35-36.

6. Ковалева, M.A. Предельные фазовые траектории и интенсивный энергообмен в системе слабо связанных диссипативных нелинейных осцилляторов [Текст]/ М.А. Ковалева, Л.И. Маневич Л.И. // Сборник трудов конференции отдела полимеров и композиционных материалов «Полимеры2012», Москва. 2012. С. 39-42.

7. Ковалева, М.А Стационарный обмен энергией между слабо связанными осцилляторами Ван-дер-Поля [Текст]/ М.А. Ковалева, Л.И. Маневич // Сборник тезисов 18 международной конференции "Математика. Компьютер. Образование", Пущино. 2011.С.61

8. Kovaleva М.А., Manevitch L.I. Nonlinear normal modes in the system of weakly coupled Van-der-Pol-Duffing oscillators [Текст]/ M.A. Kovaleva, L.I. Manevitch // 11th Conference on Dynamical Systems: Theory and Applications., L6di, Poland, 2011, Book of proceedings Dynamical systems. Analitical/numerical methods, stability, bifurcation and chaos. P.85-90

9. Ковалева, M.A Атграктороподобное поведение при стационарном обмене энергией между слабо связанными осцилляторами Ван-дер-Поля [Текст]/ М.А. Ковалева, Л.И. Маневич // Сборник трудов конференции отдела полимеров и композиционных материалов «Полимеры 2011», Москва. 2011. С. 35-36.

Подписано в печать: 26.09.2013 Объем: 1,0 п.л. Тираж: 100 экз. Заказ № 187 Отпечатано в типографии «Реглет» 119526, г. Москва, пр-т Вернадского, д. 39 (495) 363-78-90; www.reglet.ru

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ НАУКИ ИНСТИТУТ ХИМИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ ИМ. H.H. СЕМЕНОВА РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК

На правах рукописи

04201363218

КОВАЛЕВА МАРГАРИТА АЛЕКСЕЕВНА

НОВЫЙ ТИП СИНХРОНИЗАЦИИ АВТОГЕНЕРАТОРОВ, СОДЕРЖАЩИХ СУПЕРПОЛИМЕРНЫЕ ДИССИПАТИВНЫЕ

ЭЛЕМЕНТЫ

Специальность 02.00.06 - Высокомолекулярные соединения Специальность 01.04.02 - Теоретическая физика

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор Маневич Леонид Исаакович

МОСКВА - 2013

ВВЕДЕНИЕ

Диссертационная работа посвящена разработке нового подхода к проблеме синхронизации автогенераторов, который позволил предсказать новые механизмы этого фундаментального процесса. Основными объектами исследования являются слабо связанные осцилляторы ван дер Поля-Дуффинга. В рамках развиваемого подхода получено эффективное аналитическое описание синхронизации нового типа и найдены значения параметров системы, при которых новые режимы существуют. Показано, что реализация этих режимов может быть достигнута с использованием магнитореологических жидкостей,содержащих суперполимерный наполнитель. Установлена аналогия между сверхизлучательным переходом в двухуровневых квантовых системах при наличии электромагнитного поля и процессом интенсивного энергообмена в системк автогенераторов, связанных линейным осциллятором.

Актуальность проблемы

Актуальность работы обусловлена общетеоретическим значением проблемы синхронизации, которая находит применение в различных областях физики и современной техники. Выявление новых типов синхронизации открывает неизвестные до настоящего времени перспективы реализации этого фундаментального явления. Принципиально важно, что такая реализация практически возможна лишь при использовании диссипативных элементов, необходимые свойства которых обеспечиваются характерными для полимерных растворов и расплавов реологическими закономерностями. В данном случае это достигается благодаря свойствам суперполимеров, цепи которых образованы ферромагнитными частицами. Последнее обстоятельство дает возможность использовать электромагнитные поля для управления вязкостью.

Таким образом, работа выполнена на стыке и физики полимеров, закономерности которой, в принципе, позволяют реализовать новые механизмы не-

стационарных процессов, предсказанные теоретически, и теоретической физики, изучающей, в частности, механизмы стационарных и нестационарных процессов в системах различной физической природы.

Цель работы - выявление новых типов синхронизации в цепях слабо связанных автогенераторов, моделирующих многочисленные физические системы, которые могут быть реализованы благодаря использованию диссипа-тивных элементов, содержащих суперполимеры.

Научная новизна работы

Впервые описаны новые типы синхронизации; показано, что они реализуются в той области значений параметров, в которой традиционная синхронизация невозможна. Установлено, что синхронизация нового типа может быть достигнута при использовании магнито-реологических элементов с управляемой за счет суперполимерного компонента вязкостью. Полученные результаты вносят существенный вклад в общетеоретические представления о синхронизации автогенераторов, поскольку известные аналитические исследования этого феномена фактически опираются на существование нелинейных нормальных мод. В работе впервые в научный оборот введены представления о синхронизации на предельных фазовых траекториях (ПФТ). После предсказания существования области параметров, в которой существует ПФТ-синхронизация, она может быть обнаружена экспериментально в физических, химических и биологических системах, моделируемых двумя связанными генераторами или цепочками генераторов. Впервые показано, что одним из возможных классических сверхизлучательного перехода в двухуровневой квантовой системе является устойчивый интенсивный энергообмен между двумя автогенераторами, слабо связанным с резонирующим линейным осциллятором. Эта аналогия позволила эффективно использовать при анализе квантовой проблемы концепцию предельных фазовых траекторий, разработанную применительно к классической нелинейной динамике.

Практическая значимость работы. Полученные результаты создают основу для применения синхронизации нового типа в различных областях физики и техники. Возможность реализации такого процесса открывает и новую область применения суперполимеров.

Личный вклад автора. Автор, выполняя работу в лаборатории физики и механики отдела полимеров ИХФ РАН, активно участвовала (совместно с Л. И. Маневичем) в работе по обобщению новой концепции ПФТ на активные дис-сипативные системы. Автором лично выполнена как аналитическая часть работы (включая асимптотический и теоретико-групповой анализ, а также построение аналитических решений с использованием негладких преобразований), так и соответствующее численное исследование. Ею показана возможность управления вязкостью диссипативного элемента, обеспечивающего реализацию синхронизации слабо связанных автогенераторов на ПФТ. М.А.Ковалева принимала активное участие в постановке задач исследования, обсуждении результатов и подготовке публикаций.

На публичную защиту выносятся следующие положения:

1. Выявлена синхронизация нового типа в системе слабо связанных автогенераторов.

2. В параметрическом пространстве выделены области существования синхронных режимов различных типов, включая традиционную синхронизацию на кооперативных или локализованных нелинейных нормальных модах и выявленную синхронизацию на предельных фазовых траекториях.

3. Показано, что диссипативные элементы, позволяющие реализовать синхронизацию нового типа, могут быть созданы на основе магнитореоло-гиеских жидкостей, в которых цепочки ферромагнитных частиц обладают свойствами, характерными для полимерных цепей, что оправдывает использование по отношению к ним термина «суперполимеры».

4. Представлен механический аналог сверхизлучательного перехода в двухуровневой квантовой системе, представляющий собой устойчивый интенсивный энергообмен между двумя автогенераторами, который обеспечивается слабо связанным с ними резонирующим линейным осциллятором.

5. Представлено аналитическое описание сверхизлучательного квантового перехода в рамках модели Д.Препарата, полученное с использованием концепции предельных фазовых траекторий.

Публикации и апробация работы

Апробация работы. Основные результаты работы были представлены на международных конференциях: по Нелинейной динамике (Севастополь, Украина, 2013 г.), конференции «Локализация, энергоперенос и нелинейные нормальные моды в механике и физике» (Хайфа, Израиль, 2012 г.), школе-конференции «Хаос, сложность и динамика в биологических системах» (Карге-зе, Франция, 2012 г.), Европейской конференции по нелинейным колебаниям (Рим, Италия, 2011г.), конференции «Нелинейная Динамика: Теория и приложения» (Лодзь, Польша, 2011г.), на всероссийской конференции «Математика. Компьютер. Образование» (Пущино, 2011г.), конференциях отдела полимеров и композиционных материалов ИХФ РАН (Москва, 2011, 2012, 2013 гг.). Доклады по материалам работы отмечались премиями на конкурсах молодых ученых.

Публикации. По результатам диссертационной работы опубликовано 2 статьи и 7 тезисов докладов.

ГЛАВА 1. Литературный обзор

1.1 Синхронизация связанных осцилляторов.

Синхронизация - фундаментальное физическое явление, суть которого состоит в согласовании ритмов (например, движения) благодаря наличию слабой связи между элементами системы [1]. Уже два взаимодействующих автоколебательных осциллятора (автогенератора) демонстрируют весьма разнообразные и сложные эффекты, которые активно изучаются применительно к различным физическим системам. Эта модель позволила выйти далеко за пределы круга явлений, для описания которых достаточно рассматривать один автоколебательный контур. В частности, оказалось возможным моделирование работы сердечной клетки [2], прохождения газа в листьях растений, тепловых процессов в трубчатом теплообменнике, нейронных синапсов плывущей рыбы [3] и др.

Системы связанных автогенераторов широко исследуются при различных типах связи[4]. Однако, начиная со знаменитого наблюдения Гюйгенса, положившего начало изучению явления синхронизации, и до последнего времени, предполагалось, что распределение энергии между связанными осцилляторами соответствует нелинейной нормальной моде либо близко к ней. В простейшем случае двух слабо связанных идентичных автогенераторов речь идет о синфазной и антифазной модах[5,6]. А даже такие классические эффекты, как биения (квазипериодические колебания), которые до сих пор хорошо изучены только в случае линейных осцилляторов.

Остановимся кратко на основных физических эффектах, обнаруживаемых в системах слабо связанных автогенераторов. Прежде всего, это реализация предельного цикла как их согласованное движение в режиме нелинейной нормальной моды (ННМ). Истоки самого понятия ННМ — в теории нелинейных консервативных систем [7,8,9]. Это понятие, обобщающее классические пред-

ставления о линейных нормальных модах, подробнее обсуждается ниже. Оно было распространено и на автоколебательные системы[8,9]. Поскольку в нелинейных консервативных системах существуют локализованные ННМ, не удивительно, что подобный феномен наблюдается и в случае слабо связанных автогенераторов как пространственная локализация энергии в режиме предельного цикла [10].

При различных собственных частотах автогенераторов (имеются в виду частоты линеаризованной системы без учета диссипации) возможен взаимный захват осцилляторов. В случае диссипативной связи может быть реализован также эффект гашения («вымирания») колебаний, который состоит в том, что диссипативная связь подавляет автоколебания осцилляторов (состояние равновесия в начале координат становится устойчивым)[11]. При этом осцилляторы должны быть в достаточной мере «отстроены» друг от друга по частоте, так как в противном случае диссипация не может компенсировать взаимодействие осцилляторов, и возникает режим синхронизации.

Эффект вымирания колебаний обнаружен экспериментально в системах связанных осцилляторов различной природы: электронных, термооптических, химических, электробиологических. С другой стороны, в случае реактивной связи этот эффект оказывается невозможным. Однако, при этом типе связи уже в фазовом приближении наблюдается бистабильность (синфазная и противофазная синхронизация) [4]. Комбинированное действие нескольких факторов, а именно, диссипативной и реактивной(консервативной) связи в фазовом и квазигармоническом приближениях рассматривалось Р. Рэндом и П. Холмсом [4], с учетом слабой асимметрии отклонения управляющих параметров -М.В. Иванченко с соавторами [12], а с учетом неизохронности колебаний -А.П. Кузнецовым с соавторами [13,14].

Недавние исследования демонстрируют новые интересные эффекты в задачах о синхронизации двух осцилляторов внешней силой, а также в задачах о трех связанных осцилляторах. В работах B.C. Анищенко и его соавторов [15,16] демонстрируется синхронизация в системе двух упруго связанных осциллято-

ров под действием внешнего возбуждения, а в работе К. Би [17] рассмотрено влияние параметрического возбуждения. В статье B.C. Анищенко, C.B. Астахова и Т.Е. Вадивасовой [18] исследована в фазовом приближении задача о возбуждении внешней силой двух диссипативно связанных осцилляторов, в другой работе этих же авторов [19] представлен соответствующий эксперимент. В статьях А.П. Кузнецова, И.Р. Сатаева и JI.B. Тюрюкиной [20,21] для анализа параметрического пространства двух диссипативно связанных осцилляторов, а также трех и четырех диссипативно связанных в цепочку фазовых осцилляторов использован метод ляпуновских карт, позволивший выявить области двух-и трехчастотной квазипериодичности.

Три реактивно (консервативно) связанных осциллятора ван дер Поля в связи с анализом биологических циркадных (суточных) ритмов исследованы в статье К. Ромпалы, Р. Ранда и X. Хоуланда [22]. В работе Б.Г. Репина и А.Е. Дубинова [23] результаты исследования аналогичной системы применены к задаче микроволнвой электроники о синхронной генерации трех связанных генераторов СВЧ - излучения - виркаторов.

Столь обширный перечень исследований обусловлен как многообразием физических явлений и механизмов, связанных с синхронизацией, так и тем, что динамика системы связанных осцилляторов может быть исследована в различных приближениях: в терминах исходной системы, в рамках квазигармонического описания динамики медленных комплексных амплитуд и в рамках фазового приближения.

Обобщение и анализ существующих подходов к исследованию инхронизации двух автономных автогенераторов ван дер Поля-Дуффинга выполнены в работе [14].

1.2 Традиционные методы анализа систем связанных осцилляторов

Линейные нормальные моды

Концепция нормальных мод является одной из центральных в теории осциллирующих систем. Линейные нормальные моды - базовый вид движения

системы связанных линейных осцилляторов. Переход к нормальным координатам, в которых уравнения движения разделяются, позволяет получить описание движения в терминах невзаимодействующих мод вместо первоначальной формулировки в терминах сильно взаимодействующих частиц (осцилляторов).

В линейном случае свободные и вынужденные колебания могут быть представлены линейной комбинацией модальных движений. Таким образом, линейные моды образуют оптимальный базис для описания движения линейной системы. В простейшем случае двух связанных линейных (идентичных или близких к идентичным) осцилляторов это синфазная (осцилляторы колеблются в фазе) и антифазная (осцилляторы колеблются в противофазе) нормальные моды.

В режиме нормальной моды система ведет себя как единое целое, поскольку все составляющие ее частицы движутся в унисон. Подобная синхронизация возможна и в нелинейных системах, как консервативных, так и диссипативных, что является основанием для соответствующего обобщения концепции нормальных мод.

Нелинейные нормальные моды

В нелинейной динамике принцип суперпозиции уже не применим, однако нелинейные нормальные моды (ННМ) при отсутствии резонансов слабо взаимодействуют между собой, Это позволяет использовать их комбинации для построения решений в широком классе начальных условий, с учетом амплитудной зависимости частот [24]. Однако, в отличие от линейной теории, общего метода расчета ННМ не существует. Первые результаты в этой области предполагали близость нелинейной системы к ее линеаризованной версии.

Ляпунов показал [25], что в консервативной системе с п степенями свободы без внутренних резонансов, существует, по крайней мере, п розличных семейств периодических колебаний вокруг положения равновесия. При малых значениях энергии системы, каждое семейство находится в окрестности одной из линейных нормальных мод системы. Эти п семейств и определяют п ННМ,

которые могут быть рассматриваться как нелинейное обобщение нормальных мод соответствующей линейной системы.

Независимое от линейной теории определение ННМ, пригодное и в случае сильной нелинейности, в котором понятие о моде связывается с синхронным движением частиц, приведено в [7,8,9].

В нерезонансном случае моды взаимодействуют слабо и, как отмечалось выше, они могут быть использованы для построения общих решений. Ситуация кардинально изменяется в резонансном случае, когда частоты ННМ соизмеримы или почти соизмеримы. Тогда ННМ сильно взаимодействуют друг с другом, и, кроме того, проявляется эффект когерентности (последнее имеет место и в линейной теории). Тогда описание движения связанных осцилляторов в терминах мод оказывается неадекватным.

Именно с такой ситуацией приходится иметь дело при анализе систем слабо связанных автогенераторов; при этом само понятие ННМ здесь остается в силе. Однако в случае нестационарных резонансных колебаний роль, которую ННМ играли в теории стационарных и нестационарных процессов переходит к предельным фазовым траекториям (ПФТ),описывающим максимально возможный энергообмен между частями системы (для системы с двумя степенями свободы - между самими осцилляторами (но не ННМ). Анализу новых механизмов синхронизации в этих условиях и посвящена диссертация.

Продолжим краткий обзор существующих подходов к анализу синхронизации и результатов,полученных в рамках этих подходов.

Фазовое приближение

Фазовое приближение часто используется при анализе динамики вблизи предельного цикла. Это означает,