Системы дифференциальных уравнений с иррациональными правыми частями без подвижных критических точек тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ГРОДНЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ ЯНКИ КУПАЛЫ

ПЕЦЕВИЧ " ■

ВИКТОР МИХАЙЛОВИЧ

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ИРРАЦИОНАЛЬНЫМИ ПРАВЫМИ ЧАСТЯМИ БЕЗ ПОДВИЖНЫХ КРИТИЧЕСКИХ ТОЧЕК

Специальность: 01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации ка соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Гродно - 2000

Работа выполнена в Гродненском государственном университете имени Янки Купалы

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор

Мартынов Иван Платонович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Лукашевич H.A.

кандидат физико-математических наук, доцент

Цегельник В.В.

Оппонирующая организация: Вычислительный центр РАН

Защита состоится 2 февраля 2001 г. в 10 часов на заседании совета по защите диссертаций К 02.14.02 в Гродненском государственном университете им. Я. Купалы по адресу: 230023 г. Гродно, ул. Ожешко, 22, тел. учёного секретаря 44-24-77.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГрГУ им. Я. Купалы.

Автореферат разослан 200i? года

Ученый секретарь совета по защите диссертаций К 02.14.02

В.А.Пронько

в/е/.еяр. 9-У оз

/

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. Одной из важных задач аналитической теории дифференциальных уравнений является задача выделения уравнений и систем без подвижных критических точек.

Решению этой задачи и исследованию аналитических свойств решений выделенных уравнений и систем посвящены работы Picard Е., Briot С.. Bouquet Т., Painleve Р., Fuchs L., Gambier В., Garnier R., Bureau F., Shazy J., Cosgrove С., Голубева B.B., Еругина H.П., Лукашевича H.A., Яблонского А.И., Кондратени С.Г., Мартынова И.П., Громака В.И. и других.

Задача нахождения необходимых и достаточных условий отсутствия подвижных критических особых точек у решений систем вида

w'j = R(z, wi, ... ,wk), j - 1 ,k,

где R - рациональная функция от w¡,... , Wk с аналитическими по г коэффициентами, в общем случае не решена даже при к = 2 .

Указанная задача для систем с иррациональными правыми частями в настоящее время недостаточно рассмотрена.

В настоящее время теория уравнений и систем Р-типа развивается особенно активно благодаря их тесной связи с нелинейными уравнениями в частных производных (НЧП). Так, Abiovitz М., Ramani A., Segur Ii. при исследовании НЧП, разрешимых с помощью метода обратной задачи рассеяния, предложили критерий интегрируемости таких уравнений: в результате редукции должны получиться обыкновенные дифференциальные уравнения типа Пенлеве. Нахождение и исследование систем и уравнений типа Пенлеве связано также с вопросами построения Беклунд-преобразований, позволяющих, в частности, по известным решениям строить новые решения дифференциального уравнения. Еще больший интерес к уравнениям типа Пенлеве возник в связи с развитием группой японских математиков метода изомонодромных деформаций линейных систем. Оказалось, что уравнения изомонодромных деформаций линейных систем описываются уравнениями Р -типа и, в частности, непосредственно уравнениями Пенлеве.

Таким образом, всякий прогресс в развитии теории уравнений и систем типа Пенлеве важен не только как решение чисто математической задачи, но и с точки зрения многих прикладных проблем. Актуальность и недостаточная разрешенность вышеуказанного вопроса и предопределили выбор темы диссертации.

Связь работы с крупными научными программами, темами.

Диссертационная работа выполнена на кафедре математического анализа Гродненского государственного университета им. Я.Купалы и является составной частью госбюджетной научно-исследовательской темы «Дифференциальные уравнения и системы типа Пенлеве» (регистрационный номер 1097), предусмотренной республиканской программой "Математические структуры" и выполняемой на кафедре математического анализа Гродненского государственного университета с 1997 г.

Цель и задачи исследования. Целью настоящей работы является нахождение необходимых и достаточных условий отсутствия у решений определенного вида систем дифференциальных уравнений подвижных критических особых точек. Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:

1. Нахождение необходимых условий отсутствия подвижных критических особых точек у исследуемых систем.

2. Доказательство достаточности найденных условий.

3. Изучение аналитических свойств выделенных систем типа Пенлеве.

Объект и предмет исследования. Объектом исследования являются

системы дифференциальных уравнений с иррациональными правыми частями, которые проверяются на предмет наличия свойства Пенлеве. Предметом исследования являются решения указанных систем.

Методология и методы проведенного исследования. В диссертационной работе наряду с классическим методом, методом малого параметра Пенлеве, основанном на теореме Пуанкаре о представлении решений в виде сходящихся рядов по параметру, применяется метод сравнения с классическими уравнениями типа Пенлеве. Подробное описание указанных методов приведено в главе 1.

Научная новизна и значимость полученных результатов.

1. Найдены необходимые и достаточные условия отсутствия подвижных критических особенностей у систем вида

х' = а0 + а\Х + а2у + \/а3х + сцу +

, (0-1) у' =/За + РхХ + (32у + у/Рзх + р*у + ¡35,

где |аз| + |а4| + |/?з| + |/?4| Ф 0 , ац, г = 0,5, ] — 0, 5 - аналитические по 4 функции. Указано, в каких функциях интегрируются выделенные системы Р -типа.

2. Выделены все канонические системы типа Пенлеве, вида

х'2 = Рх{х,у, ¡) + а1х + /31у + -у1,

у' +а2х+02У + 'У2,

где Рк{х,у,£) = акх2 + Ъкху + ску2 ; ак , Ьк , ск , ак , рк , , к — 1,2 — аналитические функции от £. Изучены аналитические свойства их решений.

3. Для автономных Гамильтоновых систем

х' = ^~Н{х,у),

дуд (0-3)

у' = ~тг-Н{х,у) ох

с гамильтонианами вила

Н(х,у) = Р1а(х)Р.?(у), (0.4)

т I

где ^(х) = £ а^1' , Р2(у) = £ , т £ N^1(0} , I € N^0} ,а 6 О, ¿=о ]=а

уЗ е 22 и

Я(®,у) = (а!а;+а2у + аз)а(/31х + /32у+/З3)/3, (0.5)

где а € , ,3 € <0>, ¡Л].| + |а2| Ф 0 . ¡/З^ + |/32| ф 0 , найдены необходимые и достаточные условия однозначности их решений. Все результаты диссертации являются новыми.

Полученные результаты являются непосредственным развитием аналитической теории дифференциальных уравнений.

Практическая значимость полученных результатов. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы не только в аналитической теории дифференциальных уравнений, но и в математической и теоретической физике, в теории нелинейных колебаний и других отраслях естествознания, а также в спецкурсах, читаемых на математических факультетах ВУЗов. Основные положения, выносимые на защиту.

1. Необходимые и достаточные условия принадлежности к системам Р -типа систем вида (0.1).

2. Канонические системы вида (0.2), обладающие свойством Пенлеве.

3. Автономные системы Гамильтона (0.3) со специальными гамильтонианами (0.4) или (0.5) типа Пенлеве.

4. Аналитическая характеристика решений выделенных систем со свойством Пенлеве.

Личный вклад соискателя. Результаты работ [128, 129, 137] получены совместно с соавторами; результаты работ [130 — 136,138] получены соискателем самостоятельно.

Аппробация результатов диссертации. Основные результаты диссертации были представлены и докладывались на:

— Международной математической конференции "Еругинские чтения -II" (Гродно-1995); "Еругинские чтения - III" (Брест-1996); "Еругинские чтения - IV" (Витебск-1997); "Еругинские чтения - V" (Могилев-1998); "Еругинские чтения - VI" (Гомель-1999);

— Республиканской научно-тсхнической конференции студентов и аспирантов (Гомель-1998);

— Международной научной конференции, посвященной памяти профессора А.И. Яблонского (Минск-1998);

— VIII Белорусской математической конференции (Минск-2000);

— Международной математической конференции "Дифференциальные уравнения и системы компьютерной алгебры" (Брест-2000);

— семинарах кафедры математического анализа в Гродненском государственном университете им. Я.Купалы.

Опубликованность результатов. Основные результаты диссертации опубликованы в 11 печатных работах, среди которых 3 статьи в рецензируемых научных журналах, 2 публикации в материалах конференций и 6 тезисов выступлений на математических конференциях. Общее количество страниц опубликованных материалов - 25.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, общей характеристики работы, четырех глав, заключения й списка использованных источников. Полный объем диссертации —■ 94 страницы машинописного текста, список использованных источников — 138 позиций.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Данная работа посвящена аналитической теории дифференциальных уравнений.

В первой главе приводится обзор научных результатов^ относящихся к теме диссертации. Обоснована актуальность работы, степень ее разработанности на сегодняшний день. Перечислены основные методы, применяемые в диссертации.

Во второй главе рассмотрена система (0.1) на предмет наличия свойства Пенлеве. При решении поставленной задачи были доказаны:

Теорема 2.1. Для того чтобы система (0.1) при условии аз /?4 — а4 /Зз ф 0 не имела подвижных критических особых точек необходимо и достаточно, чтобы она имела вид

х' — -Ь у/а^х,

у' = 02У + \/%у-

Решения последней системы выражаются в квадратурах.

Теорема 2.2. Для того чтобы система (0.1) при условии аз /34 — ац Рз = 0 не имела подвижных критических особых точек необходимо и достаточно выполнения одного из условий:

Да? / сца'з

щ/Зг-а^+а^аз---Ьа4--= 0, а0а3+а4/Зо = 0, /35 = 0;

аз а3

/?1 а? , а4а'3

а4Р2~ а!а4+а2аз---(-а4--= 0, аоаз + а4ро — 0, а4 = 0;

а3 а3

¡3\а\ , а4а 3

а4/32-а1а4+а2аз----Ьа4--= 0, а0аз+а4/30 = 0, 7 = 0;

аз а3

<*з =05 =01= 0;

аз = 7 = А ~ 0-

При выполнении этих условий решения соответствующих систем представляют собой либо элементарные функции, либо выражаются через решения линейных уравнений.

В третьей главе рассмотрена система (0.2). При нахождении условий отсутствия у ее решений подвижных критических особых точек, для соот-

ветствующей упрощенной системы

х'2 = агх2 + Ь2ху + а у2,

(0.6)

у'2 = а2х2 + Ь2ху + с2у2

доказана

Теорема 3.1. Система (0.6) имеет свойство Пеплеве тогда и только тогда, когда принимает один из видов

х'2 = у2 +ух + Мх2, у'2 = с2{у2 +ух + Мх2)] х'2 ={у + х)2, у'2 =с2у(у + х); х'2 — х(у + х), у'2 — с2у{у + х)\

х'2 - х2, у'2 = Ъ2ху\ х'2 = 0, у'2 = с2(у2 + ух + Мх2); х'2 = 0, у'2 = Ъ2х(у + Кх)-, х' - 01Х 4- Сху, у' — а2х + с2у,

где М, К - некоторые постоянные, М ф ~ , с2 ф 0, Ь2 ф 0 .

Решения указанных систем выражаются либо через элементарные функции, либо через эллиптические функции, либо через решения линейных дифференциальных уравнений.

Далее рассматривались системы (0.2), соответствующие полученным упрощённым системам вида (0.6). Доказана

Теорема 3.2. Для того чтобы система (0.2) обладала свойством Пеплеве, необходимо и достаточно, чтобы она с точностью до аналитической замены независимой переменной и невырожденного линейного преобразования относительно неизвестных функций принимала один из следующих канонических видов:

х'2 = (у + х)2, у'2 = с2у(у+ х), с2 ф 0; х'2 - у2 +ух + Мх2 + К, у'2 = с2(у2 + ух +. Мх2 + К), с2 Ф 0; х'2 =х{х + у), у'2 =с2(х + у)(у + К), с2ф 0; х'2 = х(х + К), у'2 = Ь2ух, Ь2 ф 0;

х'2 = х+ у, у'2 = с2{х+ у){у + Н), с2 ф 0;

ж'2 - х, у'2 = у(Ь2х + 02), Ь2ф0;

x'2 = l,y'2 = y(b2x + ß2), Ь2ф0;

х'2 = (Нх + у)2 + L, у'2 = с2 ((Яаг + у)2 + L) ;

х'2 = (x + Ly)2,y'2 =cx2(x + Ly), а2ф 0;

х'2 - (Qlx + у)2, у'2 - с2(у2 + ЛГу + 5), с2 ф 0;

х'2 = (aix + y)2,yl2 =ß2(y+K), ß2ф0■,

х'2 = х2+ Ly, у'2 = Oj(a;2 + Ly);

х'2 = Q(x,t), у'2 = с2 (у2 + Ny + 5), с2 ф 0;

х'2 = Q(x,t),y'2 =ß2(y + K), 02ф 0;

х'2 = Q(x, t), у'2 = а\х2 4- а2х + у2;

х'2 = х2+ L, у'2 = {с2у + а2х+ ß2)2, с2 ф 0;

х'2 = R(x,t), у'2 = с2 {у2 + Ny + S), с2 ф 0;

х'2 = у'2 = МУ+ К), А Ф 0;

ж'2 = R(x, t), у'2 = а2х2 + а2х + 72;

х'2 = х, у'2 - (с2у + а2х + ß2)2, с2 ф 0;

х'2 = х + у,у'2 - ß2{x + y),

где М, N, L, К, Н, S - некоторые постоянные, М ф j, N2 — AS ф 0, L ф 0, Q(x,t) — x2 + ij или Q(x,t) — (х + а)2 , а - некоторая аналитическая функция, R(x,t) = х или R(x,t) — 1. Решения указанных систем выражаются либо через элементарные функции, либо через эллиптические функции, либо через решения линейных дифференциальных уравнений.

В четвертой главе исследуются условия однозначности решений автономных систем (0.3) с гамильтонианами вида (0.4) н (0.5). Установлены

Теорема 4.1. Для того чтобы система (0.3) с гамильтонианом (0./f) имела однозначные решения необходимо и достаточно, чтобы ß = а , где а 6 Q, а Р\(х)Р2(у) имело один из видов 1°. 7(х - ai)e(y - ß,f{y - А>)4(у - /Зз)5;

3°. 7(г-а1)в(у-А)3(у-/З3)5;

4°. 7(х — а Ну -А)3(у-/32)4;

5°. ■у(х — а )4(у- -Л)2(у-А)3(у-/3 з)3;

6°. ■у(х — а )4(у

7°. 7(х — а )4(у -А )2(у-&)3;

8°. 7(х — а )3(у- -/31)2(у-А)2(у-^з)2;

9°. 7 (х — а )3(у -МЧу-М2;

10°. 7(х — а )2(у- - Рх)(у - 02)(у - Рз)(у - М;

11°. 7(2: — а )2(у- -/31)2(у-/32)(У-А);

12°. 7(х — а )2(у- - М{у - 02)(у - РзУ,

13°. 7(1 — а )2(у

14°. 7(ж — а )2(у- -/31)2(у-/32);

15°. 7(х — а )(У~

16°. 7(2: — а )(у- А);

17°. 7(1 — а Г(у -АГ1;

18°. 7(х — а )п{у -АГ"1;

19°. 7(х — а )т(у -АГ+Чу-^)"1-1;

20°. 7 (У — а )6(х

21°. 1{у — а )6(х-

22°. ■у {у — а У(Х-

23°. 7 (у — а )Чх-

24°. 7(2/ — а )4(х

25°. 7(У — а )4(х -/31)3(х-/?2)3;

26°. 7(2/ — а )4(*-

27°. 7(у — а )3(х- -А)2(Х-,02)2(Х-/?3)2;

28°. 7(У — а )»(х-

29°. 7(У — а )2(х- -/31)(Х-А)(Х-/33)(Х-/34)

30°. 1'(У — а )2(="

31°. 7 (У — а Пх-

32°. 7 (У — а )2(х -А )(*-&);

33°. 7(У — а )2(х- -А^Сх-А);

34°. 7(2/ — а )(х-

35°. 7(У — а )т(х

36°. 7(У — а )т(х -/30го-1;

37°. 7(У — а )т(х -01)т+1(х-р2)т~

38°. т(х — а )(х- ^Ку-АКУ-Д),

где 7, 04, А г = 1,4 некоторые постоянные.

Решения полученных систем выражаются через элементарные или эллиптические функции.

Теорема 4.2. Система (0.3) с гамильтонианом (0.5) при /3 = 0 не

имеет подвижных критических особых точек. Если же ß ф 0, то для отсутствия подвижных критических особых точек необходимо и достаточно выполнения условий: Д = О либо Д ф О , а = /3(1--), п £ Z\ {0}

п

или п = оо , где Д = qj /Зг — 012 ßi ■ Решениями таких систем являются элементарные функции.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе получены следующие результаты:

— найдены необходимые и достаточные условия принадлежности неавтономных систем дифференциальных уравнений второго порядка с линейной иррациональностью к системам типа Пенлеве. Выделено шесть классов таких систем. Показано, что решения выделенных систем представляют собой либо элементарные функции, либо выражаются через решения линейных уравнений;

— найдены необходимые и достаточные условия принадлежности неавтономных систем двух дифференциальных уравнений первого порядка и второй степени относительно производной к системам типа Пенлеве. С помощью невырожденного линейного преобразования относительно неизвестных функций и аналитической замены независимой переменной эти системы приведены к каноническому виду. Показано, что решения полученных систем выражаются либо через элементарные функции, либо через эллиптические функции, либо через решения линейных дифференциальных уравнений;

— найдены необходимые и достаточные условия принадлежности автономных Гамильтоновых систем (0.3) с гамильтонианами (0.4) и (0.5) к системам типа Пенлеве. Показано, что решения полученных систем выражаются через элементарные или эллиптические функции.

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ

Статьи:

1. Пецевич В.М. Системы Гамильтона с однозначными решениями // Дифференц. уравнения. — 1998. — Т.34, №10. — С. 1435 — 1436.

2. Мартынов И.П., Пецевич В.М., Пронько В.А. Системы двух диф-френциальных уравнений первого порядка и второй степени типа Пенлеве // Дифференц. уравнения. — 2000. — Т.Зб, №12. — С. 1712 — 1714.