Аналитическая характеристика решений нелинейных дифференциальных уравнений третьего порядка специального вида тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

РГ5 ОД

На правах рукописи

2 О ИЮН иА

Белясова Вера Герасимовна

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автор-еферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математичеоких наук

МИНСК - 1994

Работа вылолнена на кафедре дифференциальных уравнений Белорусского государственного университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профеосор Н. А. ЛУКАШЕВИЧ.

Официальное оадоненты: доктор физико-математических наук,

профессор С. Г. КОНДРАТЕНЯ, кандидат физико-математических наук, доцент В. В. ЦйГЕЛЬШШ Ведущая организация: Гродненский государственный университет

Защита диосертации ооогоится " " и&окл 1994 г. в 10 часов на заседании специализированного Совета К 056.03.10 в Белорусском государственном университете ( 220 080, г.Минск, проопект Ф. Скарыны, 4; главный корпус, комната 206 ).

С диссертацией ыохнв ознакомиться в библиотеке Белорусского государственного университета.

Автореферат разослан М мая 1994 года.

Ученый секретарь Специализированного Совета, кандидат физико-математических

наук, доцент В. И. КОРЗШ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Изучение аналитических свойств функций, определяемых нелинейными дифференциальными уравнениями и системами, сопряжено с большими трудностями в связи с возможным наличием у решений таких уравнений и систем особых точек, конфигурация и характер которых зависят от начальных данных. В связи с этим задача выделения уравнений Р-типа, т.е. уравнений, решения которых не имеют подвижных критических особенностей, является одной из важнейших в аналитической теории дифференциальных уравнений.

В последнее время значительно повысился интерес к уравнениям и системам Р-типа благодаря установленной связи между ними и нелинейными уравнениями в частных производных, разрешимыми с помощью метода обратной задачи рассеяния.

В направлении выделения уравнений Р-типа получены законченные результаты только для уравнений первого и второго порядка.

Фуксом были найдены условия, при выполнении которых решения уравнений вида

Р(*',*,з>=0. (1)

где Р - полином по VI', у» с аналитическими коэффициентами по г, не имеют подвижных критических точек. Затем Пенлеве доказал, что эти условия являются достаточными для отсутствия у решений таких уравнений подвижных трансцендентных и существенно особых точек.

В работах Пенлеве и Гамбье указаны необходимые и достаточные условия отсутствия подвижных критических особых точек для решений дифференциальных уравнений вида

и'' = Н(ИУ' (2)

где И - рациональная функция у/' , у/ с аналитическими по г

коэффициентами. Эту задачу они решил;; методом малого параметра. В результате их исследований было выделено 50 различных классов

уравнений (2), решения которых не имеют подвижных многозначных особенностей.

Метод малого параметра Пенлеве применим также и к уравнениям

вида

и(п) = Щч(п~1>.....V (3)

где п ^ 3, И - рациональная функция у?(п~1... .V», аналитическая по ъ.

Однако даже для п = 3 выделение уравнений с подвижными однозначными особенностями весьма далеко до завершения. Здесь возникают дополнительные трудности, связанные с наличием подвижных особых точек, образующих особые линии.

Цель работа. Получение необходимых и достаточных условий »

отсутствия подвижных критических особых точек у нелинейного дифференциального уравнения третьего порядка специального вида.

Методы исследования. Основными для данной работы являются метод малого параметра, метод неопределенных коэффициентов, а такке общие методы теории функций комплексного переменного.

Научная новизна и основные результаты, выносимые на защиту: - получены необходимые и некоторые достаточные условия отсутствия подвижных критических особых точек у нелинейного дифференциального уравнения третьего порядка вида

(у' +• Хуа)угу'" = 7угу"г + у(а0у'г + а,у2у' + агул)у" +

+ Ь0у'4 +Ъ,угу'3 +Ъ2улу'г-»-ЬзУ6у' + Ьлу8

с постоянными коэффициентами;

- получены условия существования двухпараметрических семейств решений уравнения (4), обладавших Р-свойством.

Практическая ценность. Результаты диссертационной работы могут быть использованы в аналитической гесрил дкДфэрзнциалышх уравнений при исследовании нелинейных уравнений и систем третьего порядка и выше, а такие в специальных курсах, читаемых з Белорусском . государственном университете, Гродненском государственном университете и Брестском государственном педагогическом институте.

Полученные уравнения могут найти применение в теоретической и математической физике, в прикладных вопросах биологии, механики и других наук.

Апробация. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на научном семинаре кафедры дифференциальных уравнений Бвлгосукиверситета, на VI научной конференции математиков Беларуси (Гродно, 1992), на межвузовской научно-практической конференции (Минск, 1993).

Публикации. Основные результаты выполненных исследований представлены в работах II - 4].

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, двух глав и списка цитирокшшой литературы, включающего

- б -

59 наименований. Объем работы составляет 77 страниц машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении дается обзор литературы по теме диссертации, постановка задачи, обосновывается актуальность теми диссертационной работы и кратко излагаются основные результаты, полученные автором,

В § 1 первой главы описывается сущность метода малого параметра, используемого в работе, а также приводятся условия, которым должен удовлетворять параметр к.

В § 2 методом малого параметра из уравнения (4) выделяется уравнение

/У'У'" = ТУ2*"2 + а^^у" + Ь0у'4, (5)

которое изучается посредством перехода к системе

^

- пТ-г

Зу " и ' (6)

Э^и" = а0уи' + Ь0(2 - 7)11,

второе уравнение которой является линейным уравнением Эйлера.

При исследовании системы (6) получены следующие значения 7,

V V

(1-М)[М(И+1 >+11 (к—1 )-1 ].

Ы' м шч » - и . МгН

■у - п п - зм + 1 ь _ ги + 1. гп

7 - о ~ —Г-' о "------и • и)

•V - ) Я - м + 1 ь - м _+ 1.

Т - О "ТГ"- о ---Г~'

где к = 1,2,3,4 при N = 1; к = 1,2,3 при N = 2; к = 1,2 при N = 3,со; к - 1, если N - произвольное целое число, N ? -1,0, либо N = да; М - целое число, М / О, либо М = ■». Пусть в уравнении (5)

8 ~

тогда получим

уу2|ш'' + ((2 - 7)г> - 1)и'2| = г>а0уии' + Ь0иг (8)

Полагая в (8)

§ = »<У>и,

находим

^ - -(У)®]2. О)

Сравнивая уравнение (9)с аналогичными, рассмотренными Пенлеве и ГамОъе. получаем возможные в данном случае выражения для подставляя которые в уравнение

г>уг|те' + (2 - + Ь0,

Л.

находим следующие значения 7, а0, Ь0:

ьо = 1 - ап - т;

ь0 « (1 - й][<2 - - ~ (а0 + }>]. п = 2,3,4,5;

Т = и а0 = 1, Ь0 = -

7 = а0 = 2, Ь0 = -Т = §. а0=1,Ь0 = -|;

Т = 0. а0 = Ъ0 = -

(10)

Условия (7), (10) являются первой серией необходимых условий принадлежности уравнения (4) к уравнениям, обладающим свойством Р.

В § 3 первой главы исследуется общий случай уравнения (4), Заменим его эквивалентной системой вида

У' =Уаи,

(и + Ми'' = ти'г+ С(и)и'у + Р^Оу2,

(11)

где С(и) = (47 + а0 - 6)иг + (а1 - 6Х)и + аг,

В(и) = (47 + 2а0 + Ь0- б)иА + (2а, + Ь,- 6Х)и3

+ (2а£ + Ьг)и Ъ3и + Ъд.

Полагая в системе (11)

х = ег, у = е 1 У, и = ^ + 6У,

+

где ^ - любой, отличный от нуля, корень уравнения Р(и) 0, и отыскивая решения новой полученной системы в виде рядов по степепям е:

и ^ у0 4- еьу +■ еги? + У = У0 + «У1 + егХг + ...,

при е ^ 0 получим систему

+ " + - - Р' = о.

(12)

Второе уравнение системы (12) есть линейное уравнение Эйлера, общее решение которого по необходимости имеет вид

г г

»0(г> = о,(г - г0) 1 + сг» - г0) г, <13)

где г,, гг - корни опредолящего уравнения, которые должны быть целыми различными числами, такими, что

ООО Р'Ои

г, + г„ = 1 - ь !Ь ГТТ' 1*1 Г, = - -5-—• Ч * <14>

' 2 + 12 + X) *

Используя (12), (13), построены системы для определения функций и(, У1, \>р, 1г, исследуя которые получены следующие необходимые условия отсутствия подвижных критических особых точек у решений уравнения (4):

г, Ф -1,0,1; гг * -1,0,1;

Г1 - Гг * 1,2; Гг - г, 1,2; (15)

2г, - гг * 0,1; 2гг - г, * 0,1;

Зг, •- гг + 0; ЗГ2 -г, * 0.

Если жэ какие-либо из условий (15) не выполняются, то необходимо требовать равенства нулю коэффициентов при соответствующих степенях г - 1;0 в выражениях для функций и,, , Yг, которые приведены в диссертационной работе.

В § 4 первой главы показано, что решения уравнения (4) могут

иметь подвижные полюсы первого порядка, вычеты которых равны - гг.

к

Приведена рэккурентная формула для определения : коэффициентов разложения решений в окрестности подвижного полюса. Рассмотрен случай, когда коэффициент при нулевой степени х - х в этом разложении является произвольной постоянной.

В § 1 второй главы получены условия для коэффициентов уравнения (4), при которых оно имеет двухдараметрические семейства решений, определяемые уравнением второго порядка вида

У'2

у" = (А0 + 2) - + А,зу' + А2у3. (16)

У

Приведены случаи наличия у решений уравнения (16) Р-свойства. В § 2 построено частное решение уравнения (4) вида

"И1! Н^р 1

у = К(и - 1г,) (и - )г>) Й = г^й—г-т^у.

где и определяется уравнением типа Врио и Буке

а' = К, (и - Ь,) 1 (и - 1гг) г, (18)

(17)

- корни многочлена Р(и). Рассмотрены случаи однозначности функции и(х).

В § 3 второй главы рассмотрены интегрируемые случаи уравнения (4) и получены некоторые достаточные условия наличия у (4) ' Р-свойсгва.

- \г ~

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОБ АННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Белясова В.Г. Дифференциальные уравнения третьего порядка специального вида. - Тезисы докладов конференции математиков Беларуси. - Гродно, 1992. - Часть 3, с.10.

2. Белясова В.Г. АО прыватных рашэннях нел!нейнага дыферэнцыяль-нага уралшння трэцяга парадку. - Тезисы докладов научно-практической конференции. - Минск, 1993, с.5.

3. Белясова В.Г. Об одном нелинейном дифференциальном уравнении третьего порядка без подвижных критических особых точек. // Весц1 АкадэыИ навук Беларус!. Сер. физ.-мат. навук,1994, * о.

4. Белясова В.Г. Дифференциальное уравнение третьего порядка с частным интегралом специального вида. // Принята к печати ред. журнала "Весц! АкадэмИ навук Беларус!." Сер. ф1з.-мат. навук.

Подписано к печати 19.05.94. Формат 60x84x16. Бумага гип.ЯЗ Объем 1,0 п.л. Заказ Jé 362 <, Тираж 100 экз. Бесплатно. Отпечатано на ротапринте Бзггооунивероигега 220050, Шнек, Бобруйская, 7.