Случайные блуждания и случайные эволюции на конечных разрешимых группах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Акодем1я Наук Укра!ни Ордена Трудового Мервоного Прапора 1нститут математик!*

На правах рукогшсу

йлаяова Шхя Дтатр1виэ

удк 519.21

Eíniaro:oBí блукання та вигтдксв! еватШ m c;cíii4e;nfflX розв'язтах трупах

01.01.05 - Teopiíi öMOBipnocTcit та мзтемзтична статистика

A ü Т О Р 3 I 0 Р 8 Т

дясертпцИ нз рдозуття рчеяого ступечя кандидата iM3î3Ko-M9i рматпчвпх иэум

Работу виконано у в!дд1л1 теорх! й.мвхрностей та мэтомагичнэ! статистики 1нституту математики АН Укра1пи.

Няуков!£й кер!вних: доктор ф1зшсо-матшгапгшот наук, професор ТУРБШ Л.Ф.

0ф1ц1йн1 опэненти: доктор ф1зюю-м8темати<них наук, пров1ДниЯ науковий сп1вроб1итк САМОШШНКО Ю.С.

кандидат ф1зкко-матемзтичлих наук, науковий сп1вроб1тякк ДЗЕБЕШШ К.Г.

Прон1дна оргзн1ззц1я: Кд1вський унхвэрситет й.:оих Тараса Пйвчвнка.

Захист вгдбудаться " _______ 13Э2 р. о <Р<^?

¡•один! на азсЬцаннг спзц1ад120вз1ю! ради Д.016.50.01 при 1нот;т-тут! математики АН УкряПш за ядроооь: £52601, Кч1б-4, 1'0!!,

руд. торг:ЗД"НК1Е-ська, 3.

1з дпеортацтев мочага оонвйоштпея в б1бл1отзц! 1нстлг;ту. Автореферат росислзно р. '•;чениГ: езкргтар

слоч1"л1:»еееио1 роли \ Гусяк Д.В.

БАТАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОбОТИ.

Актуальн1сть теш. 0ди1ью з актуальних галузей досл!джеиь в математиц!, що поеднуе 1де! та метода алгебри та теорЛ ймов!р-ностей, узатальнве.з одного боку.класичн! схеми t являе собою, з другого боку,безпосэредн1й практичкий iHTepsc с теор!я обчислен-ня ймов!рностей на алгебраГчних структурах, зокрема, трупах. Те-ор!я ймов!рностеЙ на даяких достатньо широких классах груп вже ц1лком розвилута й наведена у монографиях У.Гренандера, Е.Хвняна, Х.Хвйера, А.О.Темпэлылана та у велик!й к!льк1ст1 статей.

Однв з иайважлив!ших направлень у розвитку загально! теорП являе собою теор!я випадкових блукань на трупах та Т! застосу-вання. TeoplI випадкових блукань на компактних та локально ком-пактних трупах присвячвн! роботи П.Лэв!, Х.Кестина, М.Вольфа, 1.Г1варкха, Г.Дер!ен1ка, М.Шкардало та В.Воэса, Г.Алексспулоса, М.В.Пзбрахта, М.Г.Шура та 1нших. Випадков! блукання на дискрат-них зл!ченних абельових трупах добре вивчен! у випадку груп з! ск!нченною к1льк1стю тв!ряих, як1 по сут! вичорпан! багатовим!р-ними реш1тками та ск1нченю1ми групами. Випадков! блукання на ц!-лочислових реш!тках досл!джен! та у класичннх робо.тах Д.ПоЙа, П.Лвв!, В.Феллера та !нших, систематичний виклад результат!в можна знайти у Ф.СпЩера. Питания теорН випадкових блукань на зл!ченних абэльових групах розглядали Р.Дадл!, Д.Ревуз, на абельових трупах 3Í ск!нченною к!льк!стю тв1ршх - е.Б.Динк!н та М.В.Мамотов, з неск!нчешюю к!льк!стю тв!рних - С.О.Молчанов та Ф.Х.Наб!ль, М.О.Касимдяанова. Випадков! блукання на ск!нченн!й пбальов!й труп! вивчаа 1.Гуд.

Деяк! застосувашш Tsopíl випадкових блукань на групах розглядали у cboíx статтях С.В.Нагаэв та М.В.Пзбрэхт, FÍ.Фр1д, П.Д!акоя1с та М.Шахшахан!.

Сэрэд зястосувань загальноГ Teopií ймов!рн!сних м!р на гру- . пах в останн! рокл з ycrríxoM розглядаються задач! випадкових еволюцхА. ИМов!рн!сний п!дх!д до розв'язку еволюц1йш1х р1еяянь, ио опясупть мода л 1 випадкових еволвцхй на групах, дэзволяе üin-

г

ходити у явному BHrjiHfli т1 чи iHffli характеристики дослтджено! М0Д6Л1 як розв'язки цих еволклШних р!внянь. Досл1джен:-:ю вс!ля-

ких одновим!рних моделей, фхзичною реал1зац!ею яких е випадкове блукатш частинки по прям1й, присвячен! роботи М.'Каца, Е.0рз1н-гера. Нэйб1льш загальну модель одноричтрно? рнпядкоро! (1ро.тцтI повулував О.Л.Кодеснж. Випялков) еволюцД на плотин] розглялалн Е.Орзшгер, О.Д.Колесн]к, виллдков! рухи нэ групах. Л! кшзчав А.В.Свишук.

3 чисто анпл)тлчно! точки пору вивчення випадкових блукань та випадкових оволмцШ на групах зюдиться до вивчення компози-ц!й ймов1рн!сних Mfp на трупах. Тому природно використати один з методхв анал1зу розпод!л!в ймов!рностей на групах ■- анал!з Фур'е, що сиираеться на апарат теорП зображень груп. Анал1з Фур'е розпод1л!в на ск!нчениих абельових групах зручно проводити за допомогою апарату Teopil характер1в ск1нчешшх абельових груп.

Серед задач, як! характеризуються наявн1стю визначенких ciitB-р1дношень сиштрИ, мокуть бути не т!льки задач! ймов1рн1сн! чи отатистичн!. Теоретико-групов! конструкцП знаходять в оатанн!й час значите застосування у цифровому спектральному анализ!. Тут леликий tHTepoc викликають результата П.Иколсопа, Дж.Полларда, , М.Г.Карповського, Е.€.Кренкеля, С.С.Агаяна та К.О.£г{азаряна, H.H.Айзенберга та \i. С. Семеро та. У розв'язку ряду задач цифрово! обрэСки сигнал in отримали иироке розповсюдноння алгсритми шеид-ких джжретних ортогональних пер»~вогеяь типу швилких перетво-рень Фур'е. При псбудов! швилких алгоритм1в цифрово! обробки сигнал f в використовуеться орган1зац!я масив!в .даних у вга-ляд!. ;ж!иченних алгебра!чнях структур, зокрема, ск*нченних эбельсг.кг. груп. Сормулюнання пгнлких перетг.орень Фур'е у TepMtnaz компози-IiiПних ряд!в шинчешшх абелювих груп моянз знайти у С.Познера, Т.Ксрнса, В.Г.ЛаСунца та О.П.Ситтт.св.~>, Л.Л.Бойка.

Л."И CK-7H49HHOJ групп C3N:f üUMblliCTb абвЛЬОВОСТИ ДСЗБОЛЯЕ

отрагупати йначно СГш-а гли<5ск! ргзульгати у розв'яжу ззлм, в wnwax яких хенуют!- сп?вв1дноа;еинч сям-гтрИ. Найвтагав^км уча '•.гчиг^нням яЗелювост! е роз'ря:ч1сть. Але вжр для побулови уза-

гальнення аналхзу Фур'е на дов!льн! ск!нченн! розв'язн! группа необх1дно характери зам!нити загальними л!н1йними зображеннями. Мета робота. Метою роботи е розв'язок ряду задач теорН ви-

падкових блукань та випадкових еьолюц!й на широкому клас! неабе-льових груп - на ск!нчешшх розв'язних трупах. Для цього у лер-шому роздШ побудований спец1альний анал1з Фур'е на ск1нченних розв'язних трупах, що узагальнюе анал!з Фур'е на ск!нченних абе-льових трупах та поряд з цим збер!гае з ним аналогш. При ц!й побудив! ураховувалясь в!дом! результат)! теорП груп. теорН зо-бражень ск!нченних груп, а основним !нструментсм Оуло понлття розш!грення групп.

Методика досл1даення. Як 1 в теор!! ланцюг!в Маркова 31 ск!н-ченною к!льк!стю стан!в метода побудованого анал!зу Фур'е вико-ристовувались у поеднанн! з! спектральном теор!ею л1н1йяих опе-ратор!в у простор! комплекснозначних функц!й, визначених на ск!нченн1й розв'язн!й труп!, що породнюються. матрицею ймов!рнос-тей переходу. При цьому виявляеться, що матрица ймов!рностей переходу мае спец!альну структуру, що узагальнюе циркулянтну.

Наукова новизна рвзультат1в. У дасертац1йн1й робот! отршан! нов! теоретичн! результата, зокрема:

- побудованэ спектральнэ розкладания для функцН в!д матриц!, зв'язано! з! ск!нченнога розв'язною групою, за допомогою характеристик, що визначаються групою;

- запропонований спос!б синтезу та факторизацП мэтриць дискретного ператворения Фур'е на основ! тензорного дойутку матриць, элемента як:пс е функцН, визначея! на ск!нченн!й розв'язнМ гру-п!;

- отриманий явний вираэ .для характеристично! функцН моменту до-сягнення випадковим блуканням дов!лЫга! п1данокини ск!нченно! розв'язно! групп;

- за допомогою явного виразу для характеристично! функцН моменту досягнення випадковим блуканням дов!льно! Шданбжни ск'нчен-Чо1 розв'язно1 групп "з боку" ф!ксовано! п1дмногошя для класн->но! задяч! про руйяування (окремого яипадку шпсл!чяоГ груш)

отримане нове виведеннч форму ли, що дозволяе обчислити характа-ристичну функц!ю ймов!рност! руйнування на труп! (досягнення одиниц! групи) на t-му вилробуванн!;

- установлений зв'язок м!ж виладковими еволюц!яш на с:к!нченн!й

розв'язн!й труп! та виладковим блуканням на деякому II рэпширен-Ш;

- отримане еволюцШге р!зницеве р!вняння - дискретний аналог ди-ференцШюго р1вняння г1парбол!чного типу, що описуе модель ви-падкових еволюц!й системи з фазовим простором стан!в, що над!ле-ний структурою ск1нченно! розв'язно! rpyrni, у повн!шньому сере-довищ!, д!я якого на систему е автоморф!зм ск1нче1шо! розв'язно! групи:

-отримане iiobhs (точне) розкладання у центральна граничн!й теорем! для Бшадкових блукань та випадковях еволюц!й, що зд!йсню-ються на ск!нчекн!й розв'язн!й груп!.

Теоретичне та практичне значения. Результата дисертпцП ма-ють теоретичний характер ! можуть бути викорястан! в задачах чисто! та прикладно! математики.

Апробац1я робота. Основн! результати роботи допов1далися на сем!нарах в!дд!лу влгебри та в!дд1лу теорИ ймов!рностей та ма-тематично! статистики 1нституту математики АН УкраТни.

Публ1кац11. За матер!алами дисертпцП опубл!кован! робота 11-51.

Структура та обскг роботи. Дисертац!я складзеться з вступу, двох розд!л!в (з наскр1зною нумерации пг.раграф!в) та списку Л1--тератури, що м!стить 139 иаймэнупань. Обсяг роботи складяе 150 CToptF-toK машинописного тексту.

2ы1ст роботи

У вступ!'обгрунтовукться ак:уал1-н!сть проблематики, що роз-глял^ться, визначена мета досл?дяення та наведена nnoTautH отрн-Ntnm'X рэзультат!в.

У перпоиу розд1л1 розробляються основн! пэлокгння Сн-внал!зу Tvp'e для г,к!нченно1 розв'язно! групи GH порядку N.

У §1 огшсуеться структура в -циркулянтно! матриц! А =

а,г=0^=Т), де для Оудь-яких вД=07ТРГ =

v(g0,g~1gt). 80=е - оданиця групи 0Н.

Ск!нченн! розв'язн! групп - цэ точно ск!нченн! гюл1цикл!чл1 групи, тобто при Н=п ...п^п, група С)д мае суАнормальний ряд

С„=0 >,..;С Л >0 4:, ' ())

м пв...пгп1 пгп1 П1 "о

во! фактори й п / С. г С , И=п .^.ПдП,, г<в, якого примар-

пг+1 пгН-1

iii цикл1чн1.

Нехай 0Н, сп • ~ ск!нченн! розв'язн! групи порядк!в N. п ,

п, в!дпов!дно, С=С Я та гошморф!зм С —» Аи! й ф!ксова-

1 п^ и ^ ^ 1

ниЯ. Розширэння 0п при вибор! представник!в в сум1кних

класах 0„ по в задаеться системою автоморф!зм!в —» в .

N п, п2 п1

та системою фактор!в М »С —♦ С . Нехай А- , Ал - - та п2 "г П1 % йп, "г

Оп - циркулянта! матриц! в!дпов!дно. Визначимо См-тензорний до-

буток матриць Аа та А0 " ось так: "г

А0 в Аа = . "г °н П1 "

1,, ЬпИТТл^ТК

Теореиа 1,1. Для двякого розщирвння-стЦчченно! розв'язно!

групп 0 за допомогою ск1нчэнно! розв'язно! групи И С,,-тен~ П1 2 зоршгй добуток й -циркулянтно! матрац! Аа тд 0п -цпркулпнтноТ

2 - Пд )

матриц! Аа е Он-циркулянтна матриця, Ман м1оцэ й обертона г У П1

ск!нчейн?й рояр'язк!й гругг! 0}[ зняйлутьоя так! п!дгругтя 0п тп

б

G , Gnp- Gn , GN / Gn s Gn , ио Gjj-циркулянтна матриця AQ

1112 И

можа бутя приведена до вигляду

agn - v ® V •

n 0n n,

де А_ , А. - G -,G - циркулянтн! матриц! в!дпов!дно. пг п ^ "г П1

У §2 вивчаються спектральн! властивост! Он-циркулянтних ма-триць.як! багато в чому узагальнюють так! и властивост! Шгрку-лянтних матриць.

У §3 приведений опис н9зв!дних зобразкень ск!нченних розв'яэ-них труп, що мають ряд (1), який е узагвльненням в!домого опису незв!дних зобрэкень цикл1чких труп, але збер!гае аналог!» з ним. Зокрема, введено поняття G^-характеру фв, а=и,и-1, ск!нченно1 розв'язно! групи GH>

Оск!льки множила (фв, smj,n-i) gN-xapaKTeplB в!дносно опера-

ц!Г (ф^фд•) (et )=фд (St )ФИ • (St). t=CT7TPT утворюе групу, ио !зомор-

фна G(J, Gjj-характери можуть бути занумерован! олементами групи

V

У §4 розглядаеться ун1тарна матриця F_ , ¡но названа G,-Mali " трицею Фур'е ск!нче1шо! розв'язно! групи G(J. Матриця FQ 'скла-

N .

л»на !з значень Сн-характер1в групи 0N, що помножен! на !Г ; Л стовшшки е власними векторами б^-циркулянтно! матриц! Ас .

Для Gj^-матриц! Фур'е ?G групи С„, що мае розв'язний ряд (1),

мае м!сце така Фак|оризац!я: F_ = Fr в F

к Ч Vr"Vi

У §5 У'простор! CICjjJ комплекенозначяих функц!й на Пн запро-ваджуетьс'я ск!нченне Gjj-перетворвнвя Фур'е ось так: ск!нчэнним G^-ларегворенням Фур'е функцН a^fag , г = ü,lM ) назяваеться

фуякц!я п={й(ф ), r=D,N-1), значения яко! впзначаються р1Ен1стю

г

N-1

Л«1>в )=«1/г 2 Ф8 (в±). (2)

Г 1=0 1 г

Д0 Фв (8±) > 1=1),Л-Г,- значения г-го нормованного Сн-характеру груш Сн.

Для Сн-перэтворення Фур'е (2) мае м!сцв зображення

а(Ч} = ' <3>'

де А» (ф ) - л1н!йний оператор, що пор1днюеться матрицею Ап Ф , Н 8г N ®г

де Л»Н-матриця Аа визначаеться вектор-рядком а=Сае , г=0,Н-1 ),

а (в )А=ОТТРТ>.

г 1

Ск1нченна група для яко! 1снуе розв'язний ряд (1), мае незв!дну систему тв!рних <8^,■...в^.б]>. тобто для кошого ггОТТСТ вр^ • и1=и,п1~1 • П1 " порядок Шдгрупи. що пор Над-

еться влвментом 1=Т73. Внасл1док цього зобракення (З)набувае вигляду:

а<ч>3 Л'*« -

. ®и •••Ч " 81---в1 «и -Г--4-1

3" 1 я 1 , а 1

§6 присвяченлЙ спектральним властивостям оператора Ао « 1)• Результата цього параграфу вихористан! для одер-

нання точного розвинення у центральна граничим теорем! для ви-пвдкових блукаяь та випадкових евол»ц!й на ск1нченних розв'язних групах.

Як застосування розробленого у першому роздШ Сн-анал1зу Фур'Е, у }7 запропоноваяий спос!б факторизацН Оы-матриць Фур'е, що в!др!зняеться в!д наведеного у §4. Отриманий алгоритм шендкого Си-первтворенйя Фур'е узагаЛьнюе в!дом! алгорятми гвидких п&ре-ТВореМь Фур'е. Нляс гисТ«?м бязисних ФункцШ, для ям'х >пг*зипчв-1п»Й »тр'лылнгР плгортм (.'гйлкого «у-пер.-'Бореннл Т-ур'с, (Логин.-до себе як окрем! .випадки бйзиси дискре+них експолэниШлгС £унк-

ц!й, функц!й В!ленк!на-Крестенсона та В1ленк!на-Понтряг.!на. Нохай G,., G , G - ск!нченн! розв'язн! групи, G„ = G„ G

N П^ * |ч Пг П,

F_ - С„-матриця Фур'е груш G , F - G -матриц! Фур'е груп

ь1! 1 nk Пс

G , k=1,2. Покладемо

ч

(F- ) 2 = diagíF „ , l-UTÎPT), n1

де ф(^), !=и,пг-1автоморф!зми, що в!дпов!дають элементам

грута G ; г

íl = üiagfffl. _ , 1=0,п_-1>,

ni "«I»0*, .

де 9 = diag^ .(g2.), 3=D,ñ:-l, l=ü,n,-1), ф -

<Р(<КЦ <p(e|ißi tpfsj > в}

звукення См-характеру ф , на п!дгрупу 9(g?)G„ ;

N in, .

F® " = F © I .

G 59 V'

пг r,z 1

да ln - одшична п, »п.,-матрица, ß - знак звичайного тензорного

добутку матриць. %

Теореад 7.1. Для G..-матриц! Фур'е F- справедлива така фзк-

торизаЩя: р

пг ©

V = <Fa > фа Fa

n п1 п, п2

У другому розд!л1 за допомого;; метод!в Он-анал!зу Фур'е роз-в'язуеться ряд задач теор!! випадкових блукань та рипадковйх еволюЦй на ск!нченних розв'язних трупах.

У §8 обгрунтовувться два п!дхода до визначвтш випадкового блукзпня на ск!нченн!й розв'язн!й труп! GH.3a першим ? них випяд-ког.е. блукагаш на груп! 0Н е одн-р!дниЯ ланцюг Маркова (C(t);t^O)

з! значениями в 1 з матрицею П0рех!дних ймов1рностсй Р = =Ср(в1.5л). 1,3=07^=1"}, де р(е1.в;))=Р(а^1)=5;) / СаНв^РСС^+П^"^- / С(Ь)=80).. ё^е - одиниця гругш Сн. За другим випадкове блукання на ск!нченн!й розв'язшй груп! можэ бути задане у вигляд! двокомпонентного ланцюга Маркова (г)(1;).

(^} СЬ);). друга компонента якого описуе випадков! еволюц!! на нормальному,д!льнику групп Г^ у випадковому середовини, д!я якого е автоморф!зм нормального д!льника.

Другий п!дх!д оснований на тому, шо матриця Р перех!,щшх ймо-в!рностей випадкового Олукання (СШ;1;£0) з! значениями в Сн е С^-циркулянтною. Для матриц! Р е слушними ус! результата перпого розд!лу, що отркман! для дов!льно! С^-цяркулянтноТ матриц!.

Теорема 8.1. Випадков! еволюц!! на ск!нченн!й розв'язнЩ груп! пор!днюготь випадкове блукання на дэякому !! розшлренн!. Мае м1сце й обернем: випадковэ блукання на ск!нченн!й роз-в'язн!й груп! пор!днюе випадков! еволюц!! на' И нормальному д!лытку.

Для виладкових блукань ц!кавим е положения частника у момент досягнення нею деяко! п1данозшш фазового простору ста-н!в, розпод!л самого моменту досягнення 1 такэ !ншв.

У §9 знайдеюй явгай вираз для характеристично Г функц!! моменту досягнення випадковим блуканням (С(и; 1^0) дов!льноГ п!д-кнояини ск1нченнэ1 розв'язног групи Сн у терм!нах розпод!лу Р й характеристик, що назначаться груши.

Нехай Н с Сч-дояка непоромга п!дмнояина груш* Сн, Н / Н= = (¡ы \ Н - допсвненля п1дмнокппи Н ! а8 н = га!г)Ст: С(^) € Н), С(0)-б € В, - момент верного досягненяя випадковим блуканням (С (^);г^О) п1дмиа:кгол! Й. ,„,

IV №

Пскладемо ^(д.А) = Ме в>" ,

Позяачимо шс ..п, (див. (1)), м!н!мальнкЯ нормаль-

кий д!льник !ндексу ш групп 0М, якнй м!стигь нос!й м!ри Р; як

Л)

Р, -матриц» перэх!дних йшв1рностей випадкового блукання на п!д-й

труп! Св. Якщо т>1, то матриця Р приймэ у двякому базис! блочно-д!агоналышй вигляд, у якому- ус! блоки дор!внюють Р0 . Власн!

значения матриц! Р е власними значениями матриц! Р а геометрич-

нов кратн!стс т.

Теорема 9.1.Якщо для коино! непорошьо! п!дмноюши Н групи 0Н, Н { 0Н 1 Н П Сй 0, то для характеристично! функц!! Моменту досягнення випадковим блуканням п!дмножини Н справедлива сп!в-в!даошення:

ГО-1 И -1 П.-1

X... г 1 \ 1>н"

С г т-1 и —1 п.-1 с

»1 5..Л 1в, ^иф;

Ч кхО 6 и«=0 ®квв

, Г 1 2* I Г I

® <«Г'Я1. , )Н] ) Нф°н г , ), СЙ «^•••«в, -I >

дв фд^) * (ф^вД), 8 е Н),

(ф°К ^ )н та (ф°н г ) )" - звуження власного вектора

фСн ^ 1 1 =0,п±-1, 1=Т7г, 3=0,ш-1, матриц! Р на п!дмножини

Н, Ч в!дпов!дно; V (\) = 1 - ц г , , де

|л г , , 1^07»^, 3-0,ш-1, - власн! аначення ма-

трпц! Р,'

и

У '§10 розглядаеться узагальнення задач! попереднього параграфу - задача про руйнування на ск!нченн!й розв'знМ rpynl. Знайдений явний вираз для характеристично! функцП моменту до-сягнення випадковим блуканням дов!льно! п!дмножини ск!нченно! розв'язно! групи "з боку" ф!ксовано! п!дмножини, а для класич-но! задач! про руйнування (окремого випадку шшл1чно! групи) одерканэ нове виведення формули, що дозволяе обчислити характв-ристичну функц!ю ймов!рност! руйнування на груп! на t-му випро-буванн!.

Нэхай тепер CN=Gn Gn 1 п1дмножина Н сп!впадае з 1нвар!антноп

п!дгрупою G . Задача про досягнення нормального д!лышка ск!н-ni

ченно! розв'язно! групи розв'язуеться у §11 за допомогою метод!в

випадкових еволюц!й. Розглядаеться модель вштадкових еволюц!й

системи з фазовим простором стан!в, що мае структуру ск1нченно!

розв'язно! групи, у зовн!тньому середовищ!, д!я якого на систему

е ввтоморф!зм ск!нченно! розв'язно! групи.

Припустимо, шо задана випадкове блуканпя (T)(t),S7j(tJ(t);t^0)

31 значениями у rpynl G„=G G та з матрицею переНдгоа Ямов1р-

2 1

ностей 1,3=и,п2-1, l,m=07iyT), де

p(sfgi.g|e¿) = PCn<t+i 5 / n(t)=gf, e 2(t)=g])

«j sí Оск!лыот другэ компонента лаицюга Маркова (tj(t),5^(t)Ct);tS0) описуе випадков! вёолюцН на нормальному д!лышку груш GJJt

" ptg&.g^) - 2 , 8<el.ei>.

'S^ J Sj

Позначимо як u(t;g|g|,g^) ймов!рн!сть потряпитн 9 элементу g^gj групи Сн до элементу р^ нормального дЬшдага oft за сдал ярок , тобто

utt^gj.eü,) 5 2ctHíl).

/л

"а"1

Ясно, що и<!;в&.е£> - £ Р<в?.<фР 2 , г<вХ>.

Покладемо

= ' 6 е(0)-в{) (4)

51

Введемо до розгляду рхзницев! операгори Д та Ю , 1=0,п2-Т,

к,

що д!ють на функцН (4) так: п,-1

в = 2 Р , г(в1.{£>и<»;е&Х> - и<г;ф;.{£>

е1 п=0 е1

Теорема 11.2. Имов!рност! (4) задовольняють систему р!зняца-вих р!внянь

в1

- 2 р, +

к=0 п=0 (в1> Ч

к=0 п=0 (в1' вк

_

з початковими умовамл .

Система (5) е етскр&тюз* аналогом системи прямих диференц!й-Ш1Х р1вняиь Колмогорова.

У §12 отрлманэ еволюц!йне р1зницэвв р!вняння - дискретний аналог да|еренц!йного рхвнялня г!пербол!чвого типу, розв'язками якого е йшв!рноёт! (4). Це р!вняння приведена у компактному запас! через формалышй визначкик двякого матричного р!згагцавого оператора.

Теорема 12.1. Ймов!рност!(4) £ розв'зками дискретного г!пер-

бол!чного р!вняння порядку п£:

tDet QIU(t;g|) = О, i=0,n.,-I,

з початковими умовами U(0;g^)=In , In - единична п,»г^-матриця,

AkU(0;g^)=0, k=U,n2-l.

У §13 одержана точна розвннення у центральна граничн!й теорем! для випадкових блукань та вттадкових еволгоц!й на ск!нченн!П розв'язн!Й груп! Оц.

Нехай (C(t);t»0) - блукання на груп! GN, що однозначно риз-начаеться розпод!лом

Р={р , к^СГТТРТ), р £ р =1, де р^ =P(C(t+i )=g / CCtbg-.) к ек к «к к _ л ^

Припустимо, то нос!й ймов!рн!сно! м!ри Р сп!впадзе з Gfr> ■ Покладемо для кожного t^O Г1

q^ =Р( nC(t)=g, / C(0)=go), (5)

B3 k=0 J

a

д9 nC(K)=C(Dif2)...C(t).

k-0

Teopeua 13.1. Для Ямов!рност! (5) мае м!сце розвинення

1Г1+1Г'ш~1/2рг ((N-1 )р - У р ), якдо t-1sO(mod N);

n ej si

. N~1 , якщо t-MOdnod К),

да pr =[det Р)1'".

Нехай тепер G,,=(5 G . Тод! вгепадковэ блуканяя з! значения™

г N П^

у GH е двокомпонентний ланцюг Маркова (TKD.^^^tJitjO), друга котатонзнтэ якого описуе випздков! еволклШ на нормальному

д!льнику G грут;й G...

1 —— г 1

Octtt.r-.-Ki' G*r. G , то р.пя -якого J=0,M-1 g.-'g-g,, 1-

II n9 rij , ^i0.!

OTryT, bD-frj^T. Нохай ^q1,. Де q\, ,, J-ПТТуТ, 1=

07n~-T, - ймов!рн1сть (5). Поклздемо для кожного t>0

- ?< ne^t^t^gj / (Г1(о),ц(0)(о))=^) (б)

fîj k=1

Теореыа 13.2. Для Ймов1рност1 (6) мае м!сде розвинання fn:1+N-1[N-1/2p. ]t"1((N-n?)u ,-ru S u„ ), якщо t-1ïO(mod N),

qt I 1 * s^ ek

ei In"1 , якщо t-1*0(mod N),

-n2-i

ДО u , = l P 2 PG = fdet Pî1/N. B1 1=0 giel N Приклади, за допомогою яких 1люструються ochobhî теоретичн! положения дисартацН, наведен! у к!нц! параграф!в.

Ochobhî результат дисертацН- опубл!ковано в таких работах:

1. Жданова Ю.Д. Распределение момента достижения для случайного блуждания на конечной абелевой груше //Асимптотические методы в исследованиях стохастических моделей.- Киев: Ин-т математики АН УССР, 1987.- С.55-60.

2. Жданова Ю.Д. Спектральное разложение для функции от матрицы, связанной с конечной разревгимой группой //Укр. мат. курн.- 19ЬЭ.- 41, Ю.- С. 1204-1207.

3. Жданова Ю.Д. Распределение момента достижения для случайного Олувдания на конечной разрешимой группе //Укр. мат. журн,-1989.- 41, JÉ10.- С.1395-1333.

.4. Жданова Ю.Д. Задача о разорении на конечной разрешимой группе //Асимптотические и прикладные задачи теории случайных вволвций,- Киев: Ин-т математики АН УССР, 1990.- С.35-42.

5. Панова Ю.Д. Центральная предельная теорема на конечной .уззрепямой группе //Асимптотические методы в задачах теория случайных вволЕциЯ.- киев: Ий-т Математики АН УССР, I99i.- С.41-ВО.