Случайные замощения и стохастическая динамика на графе Гельфанда-Цетлина тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

ГОРИН Вадим Евгеньевич

СЛУЧАЙНЫЕ ЗАМОЩЕНИЯ И СТОХАСТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА НА ГРАФЕ ГЕЛЬФАНДА-ЦЕТЛИНА

Специальность 01.01.05 - теория вероятностей и математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

УДК 519.217

1 2 МАЙ 2011

Москва 2011

4845933

Работа выполнена на кафедре математической статистики и случайных процессов механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова

Научные руководители: доктор физико-математических наук

профессор Гуревич Борис Маркович

доктор физико-математических наук Ольшанский Григорий Иосифович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Оселедец Валерий Иустинович

доктор фьоико-матемахических наук Хорошкин Сергей Михайлович

Ведущая организация: Санкт-Петербургское отделение

Математического института имени В.А. Стеклова РАН

Защита диссертации состоится 20 мая 2011 г. в 16 часов 45 минут на заседании диссертационного совета Д.501.001.85 при Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова но адресу: Российская Федерация, 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д. 1, МГУ имени М. В. Ломоносова, механико-математический факультет, аудитория

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 19 апреля 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.85 при МГУ, доктор физико-математических наук, профессор

16-24.

В. Н. Сорокин

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Диссертация посвящена исследованию стохастических моделей, связанных со случайными замощениями и простейшими случайными поверхностями — с одной стороны, и с теорией представлений бесконечномерной унитарной группы — с другой. Вероятностные модели, родственные рассматриваемым в диссертации, изучались начиная с 70-х годов XX века. В 1977 году A.M. Верпшк, C.B. Керов1 и, независимо, Б. Логан, Л. Шепп2 доказали закон больших чисел для случайных диаграмм Юнга, распределенных по мере Планшереля, иными словами, для случайных ломаных на двумерной решетке.

Переход от двумерных моделей к трехмерным, то есть к случайным поверхностям, произошел лишь через 20 лет. В 1997 году A.M. Вершик анонсировал справедливость закона больших чисел для трехмерных диаграмм Юнга (которые находятся в биекции со ступенчатыми поверхностями в R3), распределенных по мере qvoi, где vol — объем трехмерной диаграммы. Позже Р. Серф и Р. Кенион3 привели полное доказательство сходимости и описали возникающую предельную поверхность. А в 1998 году Г. Кон, М. Ларсен и Д. Пропп4 доказали аналогичный закон больших чисел для равномерной меры на трехмерных диаграммах Юнга, заключенных в коробку размера а х b х с, и дали описание предельной поверхности в этом случае. Именно изучению последней модели и посвящена большая часть диссертации. Отметим, что известные комбинаторные биекции отождествляют трехмерные диаграммы Юнга в коробке со ступенчатньши поверхностями, с замощениями шестиугольника, нарисованного на правильной треугольной решетке, ромбами трех типов, а также с некоторыми семействами непересекающихся ломаных на плоскости.

'A.M. Вершик, C.B. Керов, Асимптотика меры Плашереля симметрической группы и предельная форма таблиц Юнга. ДАН СССР, 233:6 (1977), 1024-1027

2B.F. Logan, L.A. Shepp, A variational problem for random Young tableaux, Advances in Math. 26 (1977), no. 2, 206-222

3R. Cerf and R. Kenyon, The low temperature expansion of the Wulff crystal in the 3D Ising model, Comm. Math. Phys. 222:1 (2001), 147-179.

4H. Cohn, M. Larsen, J. Propp, The shape of a typical boxed plane partition, New York Journal of Mathematics 4 (1998), 137-165.

В дальнейшем существование предельных поверхностей («закон больших чисел») было доказано Г. Коном, Р. Кенионом и Д. Проппом5 (см. также работу Дестенвиля6) для случайных ступенчатых поверхностей с произвольными кусочно-гладких граничных условий. А в работах Р. Кениона, А.Ю. Окунькова и С. Шеффилда7,8 было получено описание возникающих предельных поверхностей, а также была обнаружена интересная связь последних с алгебраическими кривыми.

Наряду с глобальными, оказываются интересными и локальные асимптотические свойства случайных поверхностей, иными словами, локальная геометрия поверхности вблизи данной точки пространства. Подобные локальные свойства для (двумерных) диаграмм Юнга, распределенных по мере Планшереля, были исследованы A.M. Бородиным, А.Ю. Окуньковым и Г.И. Ольшанским9. Результаты для трехмерных диаграмм Юнга, распределенных по мере qvo1, были получены А.Ю. Окуньковым и Н.Ю. Решетихиным10. В той же работе, а также в статьях Р. Кениона была высказана гипотеза об универсальности локальной структуры случайных ступенчатых поверхностей для всех родственных моделей; в некоторых частных случаях она была доказана11. В диссертации исследован вопрос о справедливости гипотезы универсальности для трехмерных диаграммах Юнга, заключенных в коробку.

Модели случайных ступенчатых поверхностей оказываются тесно связанными с вероятностными распределениями из теории случайных матриц. Эта связь была продемонстрирована, в частности, в работах

5Н. Cohn, R. Kenyon, J. Propp, A variational principle for domino tilings. J. Amer. Math. Soc. 14 (2001), no. 2 297-346.

6N. Destainville, Entropy and boundary conditions in random rhombus tilings, J. Phys. A: Math. Gen. 31 (1998), 6123-6139.

7R. Kenyon, A. Okounkov, Limit shapes and the complex Burgers equation. Acta Math. 199 (2007), no. 2, 263-302.

8R. Kenyon, A. Okounkov, S. Sheffield, Dimers and Amoebae. Ann. Math. 163 (2006), no. 3, 1019-1056.

9A. Borodin, A. Okounkov, G. Olshanski, Asymptotics of Plancherel measure for symmetric groups. J. Amer. Math. Soc. 13 (2000), no. 3, 481-515.

10 A. Okounkov, N.Reshetikhin, Correlation functions of Schur process with application to local geometry of a random 3-dimensional Young diagram. J. Amer. Math. Soc. 16 (2003), 581-603.

UR. Kenyon, Height fluctuations in the honeycomb dimer model. Comm. Math. Phys. 281 (2008), 675-709.

А.Ю. Окунькова, Н.Ю. Решетихина12 и К. Йоханссона, Э. Норденштама13. Результаты последней основаны на биекции ступенчатых поверхностей с наборами непересекающихся путей на плоскости, которая использована и в диссертации.

Многочисленные связи случайных диаграмм Юнга с теорией представлений были известны, начиная с ранних работ в этой области. Так, хотя для меры Планшереля и существует чисто комбинаторное определение, наиболее естественно ее определять через размерности неприводимых представлений симметрической группы. А теория представлений бесконечномерной унитарной группы U(oo) оказывается связанной как с моделями случайных диаграмм (см. работу A.M. Бородина и Г.И. Ольшанского14 и приведенные там ссылками) так и со случайными ступенчатыми поверхностями (см. работу A.M. Бородина и Д. Куана15).

Цель работы. Цель диссертации — исследование случайных ступенчатых поверхностей, заключенных в коробку размера а х b х с, в том числе, их предельного поведения при а,Ь,с,~* оо, построение марковских цепей на ступенчатых поверхностях и изучение родственных вероятностных моделей, связанных с теорией представлений группы U(оо).

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми.

В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Построены марковские цепи на ступенчатых поверхностях в трехмерном пространстве, заключенных в конечную коробку. Один шаг цепи меняет размер коробки с axbxc на ох (Ь+1) х (с-1). Доказано, что построенные цепи сохраняют равномерную меру на поверхностях, с их помощью сконструирован вычислительно-эффективный алгоритм случайной выборки ступенчатой поверхности в коробке.

2. Найдены формулы для корреляционных функций, описывающих локальную геометрию случайных ступенчатых поверхностей в

12А. Yu. Okounkov, N. Yu. Reshetikhin,. The birth of a random matrix, Mosc. Math. J., 6:3 (2006), 553-566

13K. Johansson, E. Nordenstam, Eigenvalues of GUE Minors. Electronic Journal of Probability 11 (2006), paper 50, 1342-1371.

14A. Borodin, G. Olshanski, Harmonic analysis on the infinite-dimensional unitary group and determinantal point processes, Ann. of Math. 161 (2005), no. 3, 1319-1422.

15A. Borodin, J. Kuan, Asymptotics of Plancherel measures for the infinite-dimensional unitary group, Adv. in Math., 219:3 (2008), 894-931

коробке размера а х Ъ х с. Доказано, что корреляционные функции задаются минорами некоторой матрицы — корреляционного ядра. Доказана теорема о сходимости корреляционных функций в балк-режиме («bulk limit regime»). Предельные функции трансляционно инвариантны, для них найдены простые интегральные представления.

3. Исследовано асимптотическое поведение марковских случайных процессов на графе Гельфанда-Цетлина, связанных с теорией представлений бесконечномерной унитарной группы. Для стационарных распределений и переходных вероятностей предельных процессов получены явные выражения в терминах ортогональных многочленов Якоби.

Методы исследования. В работе используются различные методы теория вероятностей и функционального анализа. Важную роль в построении марковских цепей на ступенчатых поверхностях играет алгебраический формализм, связанный с коммутирующими марковскими операторами, который был предложен A.M. Бородиным и П. Феррари16 Изучение предельного поведения корреляционных функций случайных поверхностей и конечномерных распределений случайных процессов на графе Гельфанда-Цетлина основано на асимптотическом анализе ортогональных полиномов Хана, через которые удается выразить интересующие нас вероятностные характеристики. Асимптотические теоремы для многочленов Хана в разных предельных режимах доказываются как с помощью классических результатов о поведении ортогональных полиномов, так и с помощью спектрального анализа операторов, связанных с этими полиномами. Схожий метод был впервые применен A.M. Бородиным и Г.И. Ольшанским17.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты и методы могут найти применение в теории случайных процессов, статистической механике и теории представлений.

Borodin, P. Ferrari, Anisotropic growth of random surfaces in 2 + 1 dimensions. arXiv:0804.3035.

Borodin, G. Olshanski, Asymptotics of Plancherel-typc random partitions. Journal of Algebra, 313, (2007), no. 1, 40-60.

Апробация диссертации. Результаты диссертации докладывались:

• Неоднократно (2007-2010 гг.) на семинаре «Теория вероятностей и эргодическая теория» механико-математического факультета МГУ; руководители — д.ф.-м.н., проф. Б.М. Гуревич. д.ф.-м.н., проф. В.И. Оселедец, д.ф.-м.н., доц. С.А. Пирогов;

• На международной конференции «Гармонический анализ и квантование», ТГУ, Тамбов, в 2007 г.;

• На международной конференции «Random Tilings, Random Partitions and Stochastic Growth Processes», CRM, Монреаль, в 2008 г.;

• На научно-исследовательском семинаре кафедры математической статистики и случайных процессов механико-математического факультета МГУ, руководитель — д.ф.-м.н., проф. A.M. Зубков, в 2008 г.;

• На петербургском семинаре по теории представлений и динамическим системам в ПОМИ РАН, руководитель — д.ф.-м.н., проф. A.M. Вершик, в 2009 г.;

• На русско-японской школе молодых математиков, Университет Киото, в 2009 г.;

• На школе «5th Cornell Probability Summer School», Корнельский университет, в 2009 г.;

• На семинаре Добрушинской математической лаборатории ИППИ РАН, руководитель — д.ф.-м.н., проф. P.A. Миплос, в 2009 г.;

• На большом семинаре кафедры теории вероятностей механико-математического факультета МГУ, руководитель — член-корр. РАН, д.ф.-м.н., проф. А.Н. Ширяев, в 2010 г.;

• На научно-исследовательском семинаре кафедры анализа данных факультета инноваций и высоких технологий МФТИ, руководитель — д.ф.-м.н., проф. A.M. Райгородский, в 2010 г.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в трех статьях в научных журналах, входящих в перечень ВАК. Список работ приведен в конце автореферата [1-3].

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения и четырех глав. Текст дисертации изложен на 111 страницах. Список литературы содержит 69 наименований.

Содержание работы

Во введении описана история рассматриваемой проблемы, изложено содержание диссертационной работы, кратко описаны основные результаты и методы их получения.

В главе 1 вводится изучаемая вероятностная модель случайных ступенчатых поверхностей в коробке и строятся марковские цепи, сохраняющие равномерную меру на поверхностях. В параграфе 1.1 приводятся разные комбинаторные интерпретации исследуемой модели, показывается, что ступенчатые поверхности в коробке находятся в биекции с трехмерными диаграммами Юнга, с замощениями шестиугольника, нарисованного на правильной треугольной решетке, ромбами трех типов и с наборами непересекающихся ломаных на решетке 1?. Опишем более подробно последнюю интерпретацию.

Рассмотрим целочисленную решетку 1? на плоскости (£, х) и два набора точек на ней: Х{ = (0, г - 1) и У; = (Г, 5 + г - 1), где индекс г меняется от 1 до некоторого фиксированного И, а Т и £ — некоторые фиксированные параметры (Г > £). Мы будем изучать наборы из N непересекающихся путей, проходящих по узлам решетки, при этом г-й путь соединяет Х^ и У*. Путями служат ломаные, у которых каждое звено есть отрезок с левым концом (Ь,х) е 22 и правым концом (£ + 1,х) или (¿+1,ж+1). Обозначим через Г1(Ы,Т, £>) множество всех таких наборов из N непересекающихся путей, элемент множества П(5,9,4) показан на рисунке 1. Обозначим через /¿(ДГ, Т. Б) равномерную меру на Можно

показать, что вертикальные сечения набора путей, распределенного по мере /х(ЛГ,Т, 5), образуют марковский процесс с временем t. В параграфе 1.2 вычисляются одномерные распределения в фиксированный момент времени и переходные вероятности этого процесса.

В параграфе 1.3 определяются 4 семейства матриц, связанных с мерой Т, 5), проверяется, что эти матрицы являются стохастическими, и доказывается, что некоторые из матриц коммутируют друг с другом. В параграфе 1.4 строятся новые матрицы

Р§~8+ЛХ,У), 1)

и

Рз~Б-1(Х,У), УеП(ВД5-1).

Конструкция основана на применении коммутирующих марковских операторов и следует идее П. Диакониса и Д. Фила18. Эта же идея была применена в недавней работе A.M. Бородина и П. Феррарн. Основным результатом первой главы является теорема 1.8

Теорема. Матрица P^s+i является стохастической матрицей размера |i2(iV, Т, 5)| х |П(ЛГ, Т, S +1)| и переводит равномерную меру на Q(N, Т, S) в равномерную меру на Ü(N,Т, S + 1):

KN, т, S + 1)(Г) = £ Р|„я+¿X, Y)ß(N, Т, S)(X).

ХеП (,N,T,S)

Аналогичное утверждение для матриц P^s_i(X, Y) приведено в теореме 1.9.

В параграфе 1.5 структура матриц Ps»s+i(X,Y) и У)

обсуждается более подробно. Показывается, что эти матрицы, в некотором смысле, распадаются в произведение одномерных переходных вероятностей, это позволяет нам в параграфе 1.6 построить вычислительно-эффективный алгоритм для выбора случайного элемента из Q,(N,T,S), распределенного по мере ß(N,T,S). В параграфе 1.6 также приведены результаты компьютерных симуляций для марковских

18Р. Diaconis, J. A. Fill, Strong Stationary Times Via a New Form of Duality. Annals of Probability 18 (1990), no. 4, 1483-1522.

цепей, построенных на основе переходных вероятностей Pf„s+1(X, Y) и

Вторая глава диссертации посвящена вычислению корреляционных функций равномерной меры ß(N,T,S). Это вычисление позволяет нам изучить в главе 3 асимптотическое поведение случайных поверхностей, распределенных по мере /j,{N,T,S)■

Если отождествить элемент множества fl(N,T,S) с набором точек на решетке Z2, через которые проходят пути, то n-ая корреляционная функция — это функция R?n (t\

х„), равная вероятности того, что все точки (tijCGi),..., (tn, %п) лежат в случайной точечной конфигурации. Оказывается, что в нашем случае корреляционные функции можно представить как миноры некоторой матрицы — корреляционного ядра, которая выражается через полиномы Хана19. Пусть ,г{х) — это нормированный полином Хана, умноженный на корень из соответствующей весовой функции. Чтобы не усложнять изложение, опустим зависимость параметров полиномов Хана от N,T,S,t, она приводится в параграфе 2.1 диссертации. Основным результатом второй главы является теорема 2.3, доказываемая в параграфе 2.2:

Теорема. Пусть Мг — случайная точечная конфигурация, отвечающая случайному элементу множества Q(N,T,S), распределенному по равномерной мере р(Лг, Г, 5), тогда для корреляционных функций R\, отвечающих Мг, справедлива формула

Ri (t!, xi,..., tk, Xk ) = det[K (ti, Xi ; t j, xj ] i,J=i.....к,

где

K(t,x\ t',x') = Z если t < t';

i=0 с

K(t,x-,t',x') = - £ cpФр(аОФ^'(х'), если t > i';

UN

Ф = 1. = П «&T<0.

T=t'+1

19R. Koekoek and R. F. Swarttouw, The Askey-scheme of hypergeometric orthogonal polynomials and its q-analogue. Delft University of Technology, Faculty of Information Technology and Systems, Department of Technical Mathematics and Informatics, Report no. 98-17,1998.

Доказательство теоремы 2.3 основано на теореме Эйнара-Меты20,21'22.

В параграфе 2.3 утверждение теоремы 2.3 обобщается на распределения марковских цепей, получающихся с помощью матриц -PfLs+i и P|„s_1(X,y). Если одному набору непересекающихся путей мы сопоставляли точечную конфигурацию на двумерной решетке, то последовательности таких наборов (траектории марковской цепи) мы сопоставляем точечную конфигурацию уже на трехмерной решетке. Корреляционные функции для этой случайной точечной конфигурации вычисляются в теореме 2.8. К сожалению, корреляционные функции удается вычислить не для всех значений переменных, от которых они зависят, а только для ограничений этих функций на специальные двумерные сечения трехмерного пространства.

Глава 3 посвящена изучению асимптотики корреляционных функций в балк-режиме («bulk limit regime»). Эта асимптотика отвечает предельному поведению локальной геометрии случайной ступенчатой поверхности вблизи данной точки при стремлении размеров а, Ь, с коробки (соответственно, параметров N,T,S в интерпретации через наборы непересекающихся ломаных) к бесконечности с сохранением их отношений.

В параграфе 3.1 формулируется основной результат главы — теорема 3.1. Зафиксируем положительные числа 5, Г, N, t, х и введем малый параметр е « 1. Положим

S = Se'l + o(e-1), Т = Г£"1+о(£"1), N = Ne'1 + о(е-1).

Рассмотрим также целозначные функции U = ¿¿(е) и х; = x,(e), г = 1,... ,п, такие что

lim £tj(e)=t, ИшехЛе) = i, г = 1,..., тг,

е-»0 г->0

а попарные разности U - tj и Х{ - х3 не зависят от £.

Тогда корреляционные функции Я2 случайной точечной конфигурации, отвечающей случайному элементу il(N,T,S), распределенному по мере р(ЛГ,Т,5), стремятся при е -*■ 0 к пределу Д2, который зависит от параметров предельного режима S, T, N, t, х.

20 В. Eynard and M. L. Mehta, Matrices coupled in a chain. I. Eigenvalue correlations. J. Phys. A: Math. Gen. 31(1998), 4449-4456

21A. Borodin, E. M. Rains, Eynard-Mehta Theorem, Schur Process, and their Pfaffian Analogs, Journal of Statistical Physics, 121, no. 3-4, 291-317.

22A. Borodin, G. Olshanski, Markov processes on partitions. Probab. Theory and Related Fields 135 (2006), no. 1, 84-152.

Наибольший интерес представляет область значений параметров, в которой корреляционные функции нетривиальны (т.е. не становятся в пределе тождественно равными нулю или единице). Такая область в литературе часто называется «bulk». Она характеризуется тем фактом, что выражение

-N(N + f) + (-x + S + N)(i+N-x) + x(f + x-S-t) 2 yJx(-x + S + N)(t + N-x){x + f-S-t)

заключено (строго) между -1 и 1. Обозначим через ф = ф(§,Т,Й,1,х) арккосинус этого выражения. Если выражение (1) больше 1, то мы полагаем ф - 0, а если меньше -1, то ф = тт.

Теорема. Пусть все параметры зависят от е так, как описано выше, тогда для корреляционных функций случайной точечной конфигурации, отвечающей случайному элементу Sl(N,T,S), распределенному по мере fi(N,T,S), справедлива следующая предельная теорема:

ЦтД® (¿^^(е),... ,in(e),xn(£)) = det[^uIk2]i>i=1>..„n,

где для такой (i,j), что ti > tj,

tfbHik, 1 Г (1 z)u-t,._dz tJ 2тг ¿Л- zx,-Xj+i>

а для такой (i,j), что ti < tj,

11 2тгг Л/ 1 ; zxi-xj+i'

ci =

N

x(S + N-x)

(Т-^Б + х^+М-х)

где 7± — контуры в С, соединяющие точки е,-1Ф(в<Т,м>*>х) и егФ(£,т,м^,х) ^ 7+ является правой дугой единичной окружности, а 7- — левой.

Замечание. Несложно показать, что предельные корреляционные функции

= .....„

задают некоторый предельный случайный точечный процесс.

В том же параграфе 3.1, в теореме 3.2 сформулировано обобщение теоремы на корреляционные функции марковских цепей, получающихся с помощью матриц Pf-.s+jC-X", Y) и Y) и вычисленных в теореме

2.8.

Параграфы 3.2 и 3.3 посвящены доказательству теорем 3.1 и 3.2. Так как в соответствии с результатами второй главы корреляционные функции выражаются через корреляционное ядро K(t,x\t'то именно его асимптотика и исследуется. Сначала рассматривается «статический случай», т.е. изучается предельное поведение корреляционного ядра при условии t = t'. Доказательство основано на следующей идее: если зафиксировать t и рассматривать K(t.,x;t,x') как матрицу некоторого оператора в (по переменным х,х'), то полученный оператор можно

представить как спектральный проектор некоторого трехдиагонального самосопряженного оператора; затем можно переходить к пределу отдельно в самосопряженном операторе и в спектральном интервале, отвечающем проектору. Схожая идея использовалась в работе A.M. Бородина и Г.И. Ольшанского и была более подробно описана в недавней статье Г.И. Ольшанского23.

В параграфе 3.3 мы переходим к доказательству предельных теорем для общих значений параметров корреляционного ядра. Основное новое соображение здесь состоит в разложении матрицы, задающей корреляционное ядро, в произведение матрицы, предел которой был подсчитан в «статическом случае» и нескольких двухдиагональных матриц, предел которых несложно вычисляется.

В параграфе 3.4 объясняется связь теорем, доказанных в третьей главе, с результатами, имеющимися в литературе. В частности, показывается, что из теоремы 3.1 следует справедливость гипотезы об асимпотической локальной геометрии случайных ступенчатых поверхностей (с произвольными граничными условиями) для случая равномерной меры на поверхностях, заключенных в коробку размера а х Ь х с.

В главе 4 изучаются марковские цепи на графе Гельфанда-Цетлина, возникающие из теории представлений бесконечномерной унитарной группы Г/(оо).

23Г.И. Ольшанский, Разностные операторы и детерминантные точечные процессы. Функц. анализ и его прил., 42:4 (2008), 83-97

Следующие определения приведены в параграфе 4.1. Граф Гельфанда-Цетлина GT — это градуированный граф, вершинами которого являются так называемые сигнатуры. N-Pt этаж графа, обозначаемый GT/v, состоит из наборов N целых чисел Л = (Ai > • • • > Ajv)- Мы соединяем две сигнатуры А e GTyv и /х е СТлг+i ребром и пишем А < ¡1, если

Условимся считать, что GTo состоит из единственного элемента — пустой сигнатуры 0. Эта пустая сигнатура соединена ребром с каждой сигнатурой из GTi.

Путем в графе Гельфапда-Цотлина называется последовательность вершин

А(п) < А(п + 1) <•••< A(m), A(i)eGTi.

Обозначим через Dim(A) количество путей, соединяющих 0 и А е GTjv. Для сигнатур ¡х е GTV+i и А € GTV положим

, Dim(A)/Dim(p), если А </г

РЧЛЫ = 1

10, иначе.

Числа р*(А | ц) определяют марковскую переходную матрицу, переводящую меры на GTjv+i в меры на GTV, которую мы называем переходной матрицей «вниз». Последовательность мер M = {Mjv}w=o,i,...) в которой MN — вероятностная мера на СТдг, называется когерентной системой распределений в том случае, если для любого N > 0 меры Myv+i и MN согласованы с переходной матрицей «вниз», иными словами, если

£ P^AI/^Mjv+iO) =Mjv(A) для любой AeGTjv.

дсСТлг+1

Определим носитель когерентной системы M как множество

supp(M) = {А e GT : М(А) Ф 0} с GT,

где М(А) — мера M/v(А) одноэлементного множества {А} с GTat-

Если задана некоторая когерентная система распределений, то мы можем говорить и о матрице переходных вероятностей «вверх». Переходные вероятности p*(fj. | А) определены для всех А е supp(M) по формуле

РЧМ I А) = ' РЧ* I M), А б 6 GTjv+i, MN(X) * 0.

Любая когерентная система распределений {М/v} определяет марковскую цепь H(t),t = 0,1,... на пространстве состояний supp(M). H(t) принимает значения в множестве Lt = GTt f]supp(M). её одномерные распределения задаются мерами Mf. Переходные вероятности цепи H(t) — это числа | Л):

Prob{H(i +1) = /х | H(t) = А} = рЧм I А).

Будем называть Hit) идущей вверх цепью, отвечающей {М^}•

Определим также семейство стационарных марковских цепей

Tjv(i), N = 0,1,____ Пространством состояний Tjv(t) является

Lff ~ СТл- Г) supp(M). Одномерное распределение T_w(t) задаётся мерой Мдг, а матрица переходных вероятностей определяется как произведение переходных матриц «вверх» и «вниз»: сначала из в L^v+i, а затем обратно в Ln.

Будем называть T,v(i) цепью вверх-вниз на N-ом этаже, отвечающей {MN}.

В параграфе 4.2 определяется четырехпараметрическое семейство {M^w'z 'ш} когерентных систем и объясняется их связь с теорией представлений U(оо). В дальнейшем изучаются когерентные системы {А/у0,2 'w}, где р — неотрицательное целое число, z' > р - 1 и w' > -1. Оказывается, что для таких значений параметров носитель

0 z' w

меры Mptl '2 'т можно отождествить с р-точечными конфигурациями на

конечной решетке {0,1,...,JV + р- 1}. Обозначим образы марковских

цепей H(t) и Т,у(£)> отвечающих когерентной системе M^f,z 'w при таком

it

соответствии, через Xp.Z'tW<(t) и 'w (i), соответственно.

Основной целью главы 4 является определение асимптотических свойств случайного процесса [/д.'2 'w (t) при N -* оо. Обратим внимание на то, что траектории процессов Xp>ziiWi(t) и 'w (i) являются наборами из р непересекающихся ломаных на решетке Z2. Отсюда видна связь этих случайных процессов со ступенчатыми поверхностями, изучающимися в предыдущих главах, которые тоже могут быть проинтерпретированы как наборы непересекающихся ломаных на решетке.

Обозначим через X гиперкуб [0,1]р, а через 7гдг — отображение множества р-точечных конфигураций на решетке в X:

Положим

В параграфе 4.2 формулируется теорема 4.2, в соответствии с которой процессы 2 (£) сходятся (в смысле сходимости конечномерных распределений) к предельному стационарному марковскому процессу .ТР.*'.»'^).

Параграфы 4.3 и 4.4 посвящены доказательству этой теоремы, в последнем также приводится ее уточненная формулировка — теорема 4.13, которая и является основным результатом главы 4. Чтобы сформулировать эту теорему, нам нужно ввести дополнительные обозначения. Пусть — плотность В-распределения:

г"р,2',Ш'(ж) = Xю'(1 -хУ'~р, 0<ж<1.

Обозначим через Зас^,_ру],{х) ортогональный полином Якоби степени к. Эти полиномы определены для х е (0,1) и ортогональны относительно весовой функции Щр,г',Ш'. Обозначим через у;£1г>>т<(х) нормированный полином Якоби Jacl¡r_PtWl(x)l умноженный на корень из весовой функции 1%>,г',ц/. Наконец, положим

= г(г + ад' + ,г' + 1 -р).

Теорема. Конечномерные распределения /д?2 (¿) слабо сходятся при N оо к соответствующим конечномерным распределениям предельного процесса (¿). (£) является стационарным марковским

процессом. Его начальное распределение задается плотностью

р

¿<? ¿=1

Плотность переходных вероятностей предельного процесса имеет вид

| X) = ■ ёеЬ^,^,й)к¿=1,2.....р,

уРр.г'.^Ч^)

где

г=0

и

р-1

-К'р.г'.и/ = X) 1=0

Удивительным образом, конечномерные распределения и переходные вероятности случайного процесса J^f2 'w (t) удается выразить через ортогональные полиномы Хана, которые уже возникали в предыдущих главах диссертации в связи со случайными ступенчатыми поверхностями. Доказательство теоремы 4.13, по существу, основано на асимптотическом анализе полиномов Хана и на известных теоремах о сходимости последних к полиномам Якоби.

Параграфы 4.6 и 4.7 посвящены изучению предельного процесса Jp,z 'w ([t). Исследуется отвечающая ему марковская полугруппа операторов, находятся ее собственные значения и собственные функции, вычисляется инфинитезимальный генератор этой полугруппы. Объясняется, что процесс Jp'z (t) можно интерпретировать как результат применения /г-преобразование Дуба к р независимым диффузиям на отрезке [0,1].

Автор выражает огромную благодарность своим научным руководителям — доктору физико-математических наук Григорию Иосифовичу Ольшанскому за постановку задач, постоянную поддержку и многочисленные обсуждения и доктору физико-математических наук, профессору Борису Марковичу Гуревичу за продуктивные обсуждения и внимание на всех этапах подготовки диссертации. Хотелось бы также выразить благодарность доктору физико-математических наук Алексею Михайловичу Бородину за его ценные советы, во многом определившие направление развития этой работы.

Работы автора по теме диссертации

[1] В.Е. Горин, Непересекающиеся пути и ансамбль ортогональных многочленов Хана. Функциональный анализ и его приложения, 42:3 (2008), 23-44.

[2] В.Е. Горин, Несталкивающиеся диффузии Якоби как предел марковских цепей на графе Гельфанда-Цетлина. Записки научных семинаров ПОМП им. В.А.Стеклова РАН, 360 (2008) , 1342-1371.

[3] A. Borodin, V. Gorin, Shuffling algorithm for boxed plane partitions. Advances in Mathematics, 220:6 (2009), 1739-1770.

В работе [3] A.M. Бородину принадлежит идея применить к равномерной мере на ступенчатых поверхностях в коробке алгебраический формализм его совместной работы с П. Феррари. Проверка применимости, реализация, которая оказалось нетривиальной, и вычисления принадлежат диссертанту. Текст статьи был написан совместно.

Отпечатано в отделе оперативной печати Геологического ф-та МГУ Тираж 1С0 экз. Заказ

Введение

1 Случайные замощения и марковские цепи

1.1 Базовая модель.

1.2 Простейшие числовые характеристика.

1.3 Стохастические матрицы.

1.4 Переходные вероятности 5 н-> Б ± 1.

1.5 Алгоритмическое описание.

1.5.1 Алгоритм для перехода 5 £ + 1.

1.5.2 Алгоритм для перехода 5 ь-> — 1.

1.6 Численные эксперименты.

2 Корреляционные функции

2.1 Одномерные распределения и многочлены Хана.

2.2 Многомерные корреляционные функции.

2.3 Двумерная динамика и ее корреляционные функции.

3 Предельный переход в корелляционных ядрах

3.1 Формулировка результата.

3.2 Статический случай.

3.3 Общий случай

3.4 Анализ полученных результатов.

4 Марковские цепи на графе Гельфанда—Цетлина

4.1 Граф Гельфанда-Цетлина.

4.2 Когерентные системы, возникающие из теории представлений

4.3 Свойства марковских цепей

4.4 Детерминантная форма записи переходных вероятностей

4.5 Предельный процесс.

4.6 Марковская полугруппа предельного процесса.

4.7 Интерпретация построенного процесса как К— преобразования Дуба.

Диссертация посвящсна исследованию стохастических моделей, связанных со случайными замощениями и простейшими случайными поверхностями — с одной стороны, и с теорией представлений бесконечномерной унитарной группы — с другой. Замечательным свойством, объединяющим все изучаемые вероятностные модели, является то, что с помощью несложных комбинаторных биекций их можно отождествить с некоторыми ансамблями непересекающихся ломаных на двумерной решетке.

Для любых целых а, Ь, с > 1 рассмотрим нарисованный на правильной треугольной решетке шестиугольник со сторонами а, Ь, с, а, 6, с. Обозначим через Г^дхЬхс множество всех замощений этого шестиугольника ромбами, полученными склейкой двух соседних элементарных треугольников. Эквивалентно, Г1ахЪхс — это множество всех паросочетаний (димеров) на части двойственной гсскагональной решетки, ограниченной нашим (а, Ь, с)-шестиуголышком. Элемент множества ^4x5x5 изображен на рис. 1.

Рис. 1: Замощение, ступенчатая поверхность или ограниченное плоское разбиение. Линии, разделяющие "горизонтальные" ромбы, удалены.

Элементы множества Оах&хс имеют различные комбинаторные интерпретации, многие из которых приведены в первой главе диссертации. В частности, на них можно смотреть как на плоские разбиения (трехмерные диагаммы Юнга) или же ступенчатые поверхности в трехмерной коробке размера ахЬ х с. В такой интерпретации равномерно распределенный элемент f2flXbxc задает простейшую модель случайной поверхности. Эта модель, ее вариации и обобщения интенсивно изучались начиная с конца 90-х годов, когда был обнаружен феномен "предельных форм" — аналог классического закона больших чисел. Оказывается, при измельчении шага решетки случайная ступенчатая поверхность стремится (здесь можно, например, говорить о сходимости по вероятности) к неслучайной кусочно-гладкой поверхности в М3. Существование таких предельных поверхностей было впервые анонсировано Вершиком [67] в 1997 году в модели плоских разбиений (без ограничений) с мерой qvo1, где vol — объем плоского разбиения. Позже Кенион и Серф [28] привели полное доказательство сходимости и описали возникающую предельную форму. В 1998 году Кон, Ларсен и Пропп [30] доказали аналогичный закон больших чисел для плоских разбиений в коробке размера а х Ъ х с и дали описание предельной поверхности для этой модели.

В дальнейшем существование предельных форм было доказано Коном, Кенионом и Проппом [29] (см. также работы [32], [31]) для произвольных кусочно-гладких граничных условий (т.е. для ступенчатых поверхностей, отвечающих равномерно распределенным замощениям не простейшего шестиугольника, а более сложных областей). А в работах Кениона, Окунькова и Шеффилда [47], [48] было получено описание возникающих предельных форм, а также была обнаружена интересная связь последних с алгебраическими кривыми.

Интересной особенностью предельных поверхностей является наличие в них фазового перехода: наряду с частью предельной формы, которая является нетривиальной гладкой поверхностью (так называемая "жидкая фаза"), есть и "замороженные области", в которых предельная поверхность является частью плоскости.

Основной целью первой главы диссертации является введение марковских цепей на плоских разбиениях в коробке, которые сохраняют равномерные меры.

Обозначим через ЦахЬхс равномерную вероятностную меру на пространстве ilHX/;Xc. Мы построим два семейства стохастических матриц

Paxbxc ^axbxc X ^(а-1)х(Ь+1)хс ~> [0, 1], РахЪхс ^axbxc X ^(а+1)х(6-1)хс ~* [0) 1]) таких, ЧТО

У^ РахЬхс{ш)РаХЬхс(Ш'Ш') = /^(от1)х(6±1)хсМ

ШбПцХЙХС для всех а, Ь, с, для которых все множества Q непусты.

ХОТЯ ЯВНЫе формулы ДЛЯ матриц Р^хьХс (И ^axbxc ) весьма сложны, применение марковских операторов, отвечающих этим матрицам, имеет достаточно простое алгоритмическое описание, которое мы и приведем. Неформально алгоритм делает следующее: чтобы сконструировать по со е Qaxbxc и' G ^(о-1)х(б+1)хо распределенное по мере -^ахбхс(ш' необходимо последовательно слева направо рассмотреть все "горизонтальные" ромбы в ш. Для каждого такого ромба его новое положение выбирается с помощью простого одномерного вероятностного распределения. (Здесь мы опустили возникновения и исчезновения вертикльных ромбов наверху и внизу шестиугольника, которые иногда происходят.) Это означает, что, в некотором смысле, Р^хЬхс и ^axbxc разлагаются в произведение одномерных марковских шагов.

У нашего алгоритма есть сходство с построенным в работе Элкиса, Куперберга, Ларссна и Проппа [35] перемешивающим алгоритмом для замощений так называемого "ромба ацтеков" ("Aztec diamond") прямоугольными 2x1 домино. В самом деле, этот алгоритм так же, как и наш, сохраняет равномерные меры (на самом деле, он работает для одномерного семейства распределений, включающего в себя равномерное) и разлагается на простые марковские (в этом случае — бернуллиевские) гпаги.

Далее мы рассмотрим марковские цепи, получаемые последовательным применением матриц Р^хЬхс и ^axbxc в произвольном порядке. Как начальное, так и все одномерные распределения этих цепей — равномерные меры на соответствующих пространствах Q. Одним из примеров является применение Ъ переходных матриц Р^хрхс (с меняющимися значениями параметров) к единственной вероятностной мере на одноточечном множестве ^(а+ь)хОхс- Этот пример дает вычислительно эффективный алгоритм для выборки из распределения ЦахЬхс, требующий 0((а+Ь)Ьс) математических операций. Если параметры а, Ь, и с не очень сильно отличаются, то алгоритм примерно столь же эффективен, как и алгоритм, предложенный Краттенталером [54], и более эффективен, чем другие известные алгоритмы, ср. [26], [56], [63], [62], [68], [69]. Другим примером является знакопеременная последовательность (Р+а+1)х{ь1)хсРахЪхс)(Р?а+1МЬ-1)хсРахЬхг)' • ■ > которая задает стационарную стохастическую динамику на пространстве Пах/;хс с инвариантным распределением ¡1ахЬхс■

Построение матриц Р^хЬхс и РахЬхс является одним из применений общего алгебраического формализма, предложенного Бородиным и Феррари [18]. Марковские процессы с непрерывным временем, детально рассмотренные в [18], могут быть получены в качестве вырождения Р^хьхс вблизи угла шестиугольника при стремлении а,Ь,с к бесконечности в том случае, если или а, или Ь существенно больше, чем другие два параметра. Упомянем также, что перемешивающий алгоритм для замощений "ромба ацтеков" также укладывается в формализм работы [18], см. раздел 2.6 в [18] и работу Норденштама [58].

Следующая часть диссертации посвящена вычислению корреляционных функций для мер /х(а, Ь, с). Следуя работам Йоханссона и Норденштама [42], [43] и Люби, Рендела и Синклера [56] мы используем еще одну интерпретацию, в которой £7(а, Ь, с) отождествляется с некоторым ансамблем непересекающихся ломаных на плоской решетке. Последняя интерпретация приводит к детерминантным точечным процессам (иначе говоря, случайным точечным конфигурациям), меняющимся со временем. Неформально говоря, мы сопоставляем замощению точечную конфигурацию, в которой точки отвечают ромбам двух из трех типов. Свойство детерминантности, играющее ключевую роль, означает, что динамические (т. с пространственно-временные) корреляционные функции модели могут быть получены как миноры некоторой матрицы, называемой (динамическим) корреляционным ядром.

Если зафиксировать момент времени, то модель определяет случайную конфигурацию точек на одномерной решетке — ортогональный полиномиальный ансамбль Хана. А динамическая модель может быть описана как цепочка таких ансамблей с меняющимися параметрами, ее можно назвать динамическим ансамблем Хана. Динамическое корреляционное ядро есть так называемое расширенное ядро Хана, впервые полученпое Йоханссоном в работах [42] и [43]. Основой для вычисления ядра служит теорема Эйнара-Меты [36].

Другим способом вычисления корреляционных функций могла бы служить развитая Кастеляйном [44] теория план арных димеров, в соответствии с которой корреляционное ядро является матричным элементом обращенной матрицы смежности графа. Однако именно выражение ядра через ортогональные полиномы позволяет нам исследовать в дальнейшем его асимптотику.

Один из результатов диссертации — вычисление асимптотики расширенного ядра Хана в так называемом балк-режиме ("bulk limit regime"). Нашей целью является описание предельного поведения случайной точечной конфигурации в окрестности некоторой фиксированной точки предельной формы при а, Ь, с —» оо с постоянным отношением а : Ъ : с. Ответом является случайный точечный процесс, задаваемый трансляционно-инвариантным ядром К(х, s;y,t) на Z2 х Z2, для которого в диссертации получено простое интегральное представление

1 г'ф

К{х, S;y,t) = — ф (1 + cwf~s wx-y~ldw

2т Jp-гф

Здесь интегрирование ведется по правой стороне единичной окружности, если s > t, и по левой, если s < t, а параметры фи. с зависят от предельного режима (теорема 3.1).

Статическая версия ядра (s = t) есть хорошо известное дискретное синус-ядро на Z х Z, см. работу Бородина, Окунькова и Ольшанского [20]. Полученное динамическое расширение синус-ядра входит в число построенных Бородиным в [17]. Ядро К(х, s;y,t) связано простым преобразованием (дуальность частиц и дырок на решетке) с ядром, впервые полученным Окуньковым и Решетихиным [60].

Предельный точечный процесс, задаваемый расширенным синус-ядром, тесно связан с предельной формой, возникающей в нашей модели. Перейдя от случайной точечной конфигурации обратно к случайному замощению ромбами трех типов, мы получим некоторую трансляцнонно-ивариантную гиббсовскую меру на замощениях плоскости. В диссертации Шеффилда [65] были классифицированы все эргодические трансляционно-инвариантные гиббсовские меры на замощениях, а в работе Кениона, Окунькова и Шеффилда [47) были подсчитаны их корреляционные ядра. Мера зависит от двумерного параметра ь> — средних концентраций ромбов трех типов. Предельная мера, получаемая в пашей работе, является одной из таких мер /х^. Параметр и позволяет предсказать и возникающую предельную форму: средние концентрации ромбов трех типов однозначно пересчитываются в наклон предельной формы, в частности, замороженные области отвечают областям параметров, для которых предельная мера сосредоточена на вырожденном замощении, содержащем лишь ромбы одного тина. Мы явно проверим, что получаемая нами зависимость и от предельного режима согласуется с формулами для предельной формы, имеющимися в литературе.

По-видимому, имеет место более общий феномен: для произвольных кусочно-гладких граничных условий локальные меры сходятся к одной из мер ¡ли, параметр которой зависит от наклона предельной формы (напомним, что существование последней в таких же предположениях было доказано Коном, Кенионом и Проппом в [29]). Такая гипотеза была высказана, в частности, Кенионом в статье [45]. Сам Кенион в [45] доказал гипотезу для специального класса граничных условий, характерной особенностью которых является отстутствис замороженных областей у возникающей предельной формы. В третье главе диссертации мы получаем доказательство этой гипотезы для замощений шестиугольника, в которых замороженные области уже возникают.

Вернемся теперь к марковским цепям, получаемым последовательным применением матриц Р^хЬхс и ^'ахЬхс• марковские цепи можно рассматривать как двумерные процессы рождения и гибели. Одной из важных их особенностей является тот факт, что па некоторых двумерных сечениях трехмерного пространства-времени соответственным образом определенные корреляционные функции задаются (по аналогии с мерами /7(а, 6, с)) явными детерминантными формулами.

Мы также получаем асимптотику этих корреляционных функций при а,Ь,с —> оо с фиксированным отношением а : Ь : с (т.е., как и ранее, в балк—режиме). На тех же самых двумерных сечениях мы вычисляем предельные корреляционные функции, которые также имеют дстерминантный вид. Более того, на каждом таком сечении определен предельный двумерный дстерминантный точечный процесс, обладающий некоторыми гиббсовскими свойствами, см. работу Бородина и Шлосмана [25] и приведенные там ссылки.

Последняя глава диссертации посвящена вероятностному сюжету, возникшему из задачи гармонического анализа на бесконечномерной унитарной группе. Различные вероятностные меры, связанные с теорией представлений, изучались в работах многих авторов в последние 35 лет. По-видимому, первыми из подобных работ являются статьи Вершика, Керова [3] и Логана, Шсппа [55], посвященные доказательству закона больших чисел для случайных (двумерных) диаграмм Юнга, распределенных по мере Планшереля. Эта мера тесно связана с теорией представлений симметрических групп и возникает при разложении регулярного представления группы на неприводимые компоненты. А вероятностные распределения, изучаемые в последней главе диссертации, связаны с теорией представлений бесконечномерной унитарной группы.

При разложении естественных представлений группы И(оо) на неприводимые появляется семейство вероятностных мер зависящих от двух параметров 2 и гш. Эти меры определены на некотором бесконечномерном пространстве Т. Более того, оказывается, что определение мер можно естественным образом расширить до четырехпараметрического семейства. В соответствии с этим, мы будем использовать четыре индекса 'Ш, г', ю' вместо двух.

Меры и были впервые обнаружены и изучены в работах Бородина и Ольшанского [61] и [22]. Структура мер р^^'У существенно зависит от того, являются ли параметры целыми или нет. Мы рассматриваем первый случай, параметры г и 'ш — целые числа. В дальнейшем мы будем использовать для них обозначения р ид, соответственно. В нашем случае носитель мер является конечномерным подпространством Т и может быть отождествлен с X = [0, (здесь и далее р+д > 0). Вероятностные распределения были явно описаны в статье [22]. Они задаются ортогональным полиномиальным ансамблем Якоби с некоторыми параметрами.

Ввиду того, что бесконечномерная унитарная группа является индуктивным пределом конечномерных групп С/(АГ), меры ррл^'^' могут быть в некотором смысле аппроксимированы последовательностью мер ,уз для 05щИХ значений параметров пространства, на которых определены меры Р^*"'" — это этажи так называемого графа Гелъфанда-Цегплина — графа ветвления неприводимых представлений унитарных групп (его точно определение приведено в параграфе 4.1), однако для целых р ид носитель меры можно отождествить с р | дточечными конфигурациями на множестве {0,1,., ТУ + р + д — 1}. Более того, оказывается, что меры при разных N могут быть естественным образом объединены в марковскую цепь, а случайную точечную конфигурацию, распределенную по мерс Р™'2 , можно воспринимать как сечение случайного набора из р + д непересекающихся путей на решетке 12.

С помощью мер Р^4'" и сохраняющих их переходных вероятностей мы определим стационарную марковскую цепь (с дискретным временем) ^<7,-ф ^ сс инвариантньш распределением является , а матрица переходных вероятностей — это композиция матриц переходов N —»■ N + 1 п N N — 1. Мы будем называть подобную цепь цепью "вверх-вниз". Аналогичные марковские цепи уже появлялись ранее, их изучением занимались Фулман [38], [37], Бородин и Ольшанский [23], Петров [11], [12],

13].

Нас интересует поведение 3™'" ПРИ N —»• оо. Мы доказываем, что при соответствующем масштабировании пространства и времени цепи (£) сходятся (в смысле сходимости конечномерных распределений) к стационарному марковскому процессу с непрерывным временем Инвариантным распределением 3™>2 (г) является в точности мера

Доказательство сходимости изучаемых марковских цепей на графе Гельфанда-Цетлина основывается на специальном детерминантном представлении их переходных вероятностей. Сходимость переходных вероятностей удастся свести к сходимости некоторых матриц. Нахождение предела этих матриц облегчается тем фактом, что нам удается их диагонализовать, причем базис, в котором происходит диагонализация, оказывается снова тесно связанным с ортогональными многочленами Хана.

Как выясняется, предельный марковский процесс Зр,(1'~ ^[Ь) обладает некоторыми интересными свойствами. Можно доказать, что является динамически-детерминантым точечным процессом. Это означает, что его динамические (пространственно-временные) корреляционные функции имеют детерминантный вид и могут быть выражены как миноры матрицы, задающейся некоторым расширенным ядром.

Мы произведем идентификацию предельного процесса с другими вероятностными конструкциями, имеющимися в литературе: будет объяснено, что процесс [Ь) можно отождествить с ¡1преобразованисм Дуба р + <7 + 1 независимых случайных блужданий на отрезке [0,1].

Мы полностью описываем процессы (£)} подсчитываем их переходные вероятности и выписываем генераторы и собственные функции марковских полугрупп, отвечающих этим процессам.

При решении задач, связанных с гармоническим анализом на бесконечномерной унитарной группе, была обнаружена тесная связь с бесконечной симметрической группой ¿"(со) (см. работу Ксрова, Окунькова и Вершика [49] и часть (т) во введении к [22]). Построения последней главы диссертации во многом схожи с построениями работы Бородина и Ольшанского [23], где была изучена динамика, связанная с группой ¿"(оо).

Обратим внимание на то, что, хотя в случае целых параметров все изучаемые процессы определены на конечномерном пространстве, при более общих значениях параметров пространство, на котором определены меры уЖе становится бесконечномерным, а носитель мер Р^"'" бесконечным. Таким образом, наш случай можно рассматривать как некоторое вырождение общего. Задача построения динамики (т.е. осуществление предельного перехода в цепях ,г" (¿)) для нецелых значений параметров остается нерешенной, видимо, для этого случая необходимо будет использовать иную аргументацию.

Предельные теоремы как главы 3, так и главы 4 основаны на изучении ортогональных многочленов Хана и их асимптотики в различных предельных режимах. В главе 4 мы пользуемся классическими результатами о сходимости многочленов Хана к многочленам Якоби (см., например, книгу Никифорова, Суслова и Уварова [8]). Теоремы главы 3 требуют более тонкой асимптотики.

В литературе имеется аналитические результаты об асимптотических свойствах дискретных ортогональных полиномиальных ансамблей (см. книгу Бэйка, Кричербауэра, Маклафлина и Миллера [16] и статью Йоханссона [42]), но они относятся к статическим, а не динамическим ансамблям. Применить же известный подход — исследовать асимптотику с помощью подходящего интегрального представления ядра — в случае расширенного ядра Хана не удается.

Мы решаем задачу с помощью метода, предложенного в работе Бородина и Ольшанского [21] (см. также статью Ольшанского [9]). Хотя в [21] рассматриваются опять-таки лишь статические модели, оказалось, что метод можно адаптировать и к интересующей нас динамической модели (т.е. к расширенному ядру).

Опишем более подробно структуру диссертации.

В первой главе диссертации определяется модель случайных разбиений и строятся марковские переходные вероятности РахЬхс и ^ахЬхс-> сохраняющие равномерные меры на замощениях ¿¿(а, Ь, с). В первом и втором параграфах приводятся различные комбинаторные интерпретации замощений шестиугольника ромбами, вводится вероятностная модель и подсчитываготся ее простейшие числовые характеристики. В третьем и четвертом параграфах строятся переходные матрицы и

Ц А (/ А О

РахЬхс, в пятом параграфе алгоритмичски описывается применение матриц Р+хЬхс и Р~У11ХС, а в шестом параграфе приводятся результаты численных экспериментов, полученные с использованием алгоритмов прошлых параграфов. Основные результаты главы — это теоремы 1.8 и 1.9, в которых доказывается, что построенные матрицы РахЬхс и РйхЪхс согласованы с мерами /.¿(а, 6, с), и теоремы 1.10 и 1.11, в которых приводится алгоритмическое описание матриц Р^ьхс и ^ахЬхс соответственно.

Во второй главе диссертации мы определяем и выражаем через ортогональные многочлены Хана корреляционные функции мер /л(а, 6, с) и марковских цепей, получающихся с помощью матриц Р^хЬхс и Для мер /х(а, 6, с) корреляционные функции вычисляются в теореме 2.3, и они целиком определяют меры. Для более общих марковских цепей вычисление корреляционных функций приведено в теореме 2.8. К сожалению, эти корреляционные функции нам удается вычислить не для всевозможнных значений аргументов, а лишь при ограничениях на специальные монотонные сечения.

В третье главе мы изучаем асимптотику корреляционных функций в балк-режиме. Результат для корреляционных функций мер //,(а, Ь, с) приведен в теореме 3.1, а для корреляционных функциях марковских цепей, получающихся с помощью матриц и РахЬхс (снова идет речь лишь об их ограничениях на монотонные сечения) — в теореме 3.2. В последнем параграфе третьей главы объясняется связь теоремы 3.1 с известными ранее результатами.

Четвертая глава диссертации посвящена изучению марковских цепей связанных с теорией представлений бесконечномерной унитарной группы, и их пределов — случайных процессов ,хп'(£).

В первых четырех параграфах главы мы проводим подготовительную работу: в первом параграфе вводятся различные марковские цепи, связанные с графом Гельфанда-Цетлина; во втором параграфе мы описываем меры и формулируем решаемую задачу; в третьем

параграфе изучаются основные свойства исследуемых марковских цепей; наконец, в четвертом параграфе мы выражаем переходные вероятности марковских цепей в детерминантном виде, который удобен для совершения предельных переходов. В пятом параграфе формулируются и доказываются основные результаты главы. Мы доказываем существование предельрюго процесса З^л^'^ (¿)5 вычисляем его одномерные распределения и переходные вероятности (см. теорему 4.13). Детерминантная форма переходных вероятностей гарантирует свойство детерминантности для предельных марковских процессов (предложение 4.17). В шестом параграфе изучается марковская полугруппа, отвечающая процессу Jp>q>z'>w' (t). В теореме 4.18 подсчитаны собственные функции и собственные значения операторов полугруппы, а в теореме 4.21 найдено простое выражения для генератора полугруппы. В последнем параграфе главы объясняется связь между процессом Jp,q>z'>w'(t) и так называемым /г-иреобразованием Дуба.

Результаты диссертации опубликованы в статьях автора [4], [5] и в совместной статье с A.M. Бородиным [19]. Основные результаты докладывались на конференциях:

1. Гармонический анализ и квантование (ТГУ, Тамбов, сентябрь 2007);

2. Random Tilings, Random Partitions and Stochastic Growth Processes (CRM, Монреаль, сентябрь 2008);

3. Русско-японская школа молодых математиков (Универститет Киото, январь 2009);

4. 5th Cornell Probability Summer School (Корнельский университет, июль 2009); а также на семинарах:

1. Семинар Добрушинской математической лаборатории (ИППИ РАН, руководитель — проф. P.A. Минлос);

2. Семинар "Теория вероятностен и эргодическая теория" (механико-математический факультет МГУ, руководители — проф. Б.М. Гуревич, проф. В.И. Оселедец, доц. С.А. Пирогов);

3. Большой семинар кафедры теории вероятностей (механико-математический факультет МГУ, руководитель — член-корр. РАН, проф. А.Н. Ширяев);

4. Петербургский семинар по теории представлений и динамическим системам (ПОМИ РАН, руководитель — проф. A.M. Вершик);

5. Кафедральный семинар кафедры математической статистики и случайных процессов (механико-математический факультет МГУ, руководитель — проф. A.M. Зубков);

6. Научно-исследовательский семинар кафедры анализа данных (МФТИ, факультет инноваций и высоких технологий, руководитель — проф. A.M. Райгородский).

Автор выражает огромную благодарность своим научным руководителям — Григорию Иосифовичу Ольшанскому за постановку задач, постоянную поддержку и многочисленные обсуждения и Борису Марковичу Гуревичу за продуктивные обсуждения и внимание на всех этапах подготовки диссертации. Также хотелось бы выразить благодарность Алексею Михайловичу Бородину за его ценные советы, во многом определившие направление развития этой работы. Автор благодарен Валерию Иустиновичу Оселедцу и Сергею Анатольевичу Пирогову за продуктивные замечания во время докладов на семинаре под их руководством. Наконец, автор благодарен Фонду им. Леонарда Эйлера и Фонду "Конкурс Мебиуса" за их поддержку во время написания диссертации.

1. Г. Всйтман и А. Эрдейи, Высшие трансцендентные функции, том 1. Физмат, Москва, 1973.

2. Г. Вейль, Классические группы. Их инварианты и представления. Государственное издательство иностранной литературы, Москва, 1947.

3. А. М. Вершик, С. В. Керов, Асимптотика меры Плашереля симметрической группы и предельная форма таблиц Юнга. ДАН СССР, т. 233, н. 6 (1977), с. 1024-1027.

4. В. Е. Горин, Непересекающиеся пути и ансамбль ортогональных многочленов Хана. Функц. анализ и его прил., т. 42, н. 3 (2008), с. 23-44.

5. В. Е. Горин, Несталкивающисся диффузии Якоби как предел марковских цепей па графе Гельфанда-Цетлина. Зап. научн. сем. ПОМИ им. В.А.Стсклова РАН, т. 360 (2008), с. 1342-1371.

6. Д. П. Жслобенко, Компактные группы Ли и их представления. Наука, Москва, 1970.

7. И. Макдональд, Симметрические функции и многочлены Хола. Мир, Москва, 1985.

8. А. Ф. Никифоров, С. К. Суслов, В. Б. Уваров, Классические ортогональные полиномы дискретной переменной. Наука, Москва, 1985.

9. Г. И. Ольшанский, Разностные операторы и детерминантные точечные процессы. Функц. анализ и его прил., т. 42, н. 4 (2008), с. 83-97.

10. Г. И. Ольшанский, Унитарные представления бесконечномерных пар (G, К) и формализм Р. Хау. ДАН СССР, т. 269 (1983), с. 33-36.

11. JI. А. Петров, Двухпараметрическое семейство бесконечномерных диффузий на симплексе Кингмана. Функц. анализ и его прил., т. 43,' н. 4 (2009), с. 45-66.

12. JI. А. Петров, Предельное поведение некоторых случайных блужданий на строгих разбиениях. УМН т. 64, н. 6 (2009), с. 177178.

13. J1. А. Петров, Случайные блуждания на строгих разбиениях. Зап. научн. сем. ПОМИ им. В.А.Стеклова РАН, т. 373 (2009), с. 226-272.

14. М. Рид, Б. Саймон, Методы современной математической физики, том 1, Функциональный анализ. Мир, Москва, 1977.

15. А. Б. Сошников, Детерминантные случайные точечные поля, УМН, т. 55, и. 5 (335) (2000), с. 107-160.

16. J. Baik, Т. Kriecherbauer, К. Т. -R. McLaughlin, P. D. Miller, Discrete Orthogonal Polynomials: Asymptotics and Applications. Annals of Mathematics Studies, Princeton University Press, 2007. arXiv: math.CA/0310278

17. A." Borodin, Periodic Schur process and cylindric partitions. Duke Math. J., vol. 140, no. 3 (2007), pp. 391-468. arXiv: math.CO/0601019

18. A. Borodin, P. Ferrari, Anisotropic growth of random surfaces in 2 + 1 dimensions. arXiv:0804.3035.

19. A. Borodin, V. Gorin, Shuffling algorithm for boxed plane partitions. Advances in Mathematics, vol. 220 no. 6 (2009), pp. 1739-1770.

20. A. Borodin, A. Okounkov, G. Olshanski, Asymptotics of Plancherel "measure for symmetric groups. J. Amer. Math. Soc., vol. 13, no. 32000), pp. 481-515. arXiv: math.CO/9905032.

21. A. Borodin, G. Olshanski, Asymptotics of Plancherel-type random partitions. Journal of Algebra, vol. 313, no. 1 (2007), pp. 40-60. arXiv: math.PR/0610240.

22. A. Borodin, G. Olshanski, Harmonic analysis on the infinite-dimensional unitary group and determinantal point processes, Ann. of Math., vol. 161, no. 3 (2005), pp. 1319-1422, arXiv:math/0109194.

23. A. Borodin, G. Olshanski, Infinite dimensional diffusions as limits of random walks on partitions. Probability Theory and Related Fields, vol. 144, no. 1 (2009), pp. 281-318. arXiv:0706.1034.

24. A. Borodin, G. Olshanski, Markov processes on partitions. Probab. Theory and Related Fields, vol. 135, no. 1 (2006), pp. 84-152. arXiv: math-ph /0409075.

25. A. Borodin and S. Shlosman, Gibbs ensembles of nonintersecting paths. Communications in "Mathematical Physics, vol. 293, no. 1 (2010), pp. 145-170. arXiv:0804.0564.

26. R. Cerf and R. Kenyon, The low temperature expansion of the Wulff crystal in the 3D Ising model, C omm. Math. Phys. vol. 222, no. 12001), pp. 147-179.

27. H. Cohn, R. Kenyon, J. Propp, A variational principle for domino tilings. J. Amer. Math. Soc., vol. 14, no. 2 (2001), pp. 297-346. arXiv:math/0008220.

28. H. Cohn, M. Larsen, J. Propp, The shape of a typical boxed plane partition, New York Journal of Mathematics, vol. 4 (1998), pp. 137165. arXiv: math.CO/9801059.

29. N. Destainville, Entropy and boundary conditions in random rhombus tilings, J. Phys. A: Math. Gen., vol. 31 (1998), pp. 6123-6139.

30. N. Destainville, R. Mosseri, F. Bailly, Configurational entropy of codimcnsion-one tilings and directed membranes, J. Stat. Phys. 87 (1997), no. 3/4 697-754.

31. P. Diaconis, J. A. Fill, Strong Stationary Times Via a New Form of Duality. Annals of Probability, vol. 18, no. 4 (1990), pp. 1483-1522.

32. J. L. Doob, Classical potential theory and its probabilistic counterpart. Springer-Verlag, New York, 1984.

33. N. Elkies, G. Kuperberg, M. Larson, and J. Propp, Alternating-Sign Matrices and Domino Tilings. Journal of Algebraic Combinatorics, vol. 1 (1992), pp. 111-132 and 219-234. arXiv:math/9201305.

34. B. Eynard and M. L. Mehta, Matrices coupled in a chain. I. Eigenvalue correlations. J. Phys. A: Math. Gen. vol. 31 (1998), pp. 4449-4456.

35. J. Fulman, Commutation relations and Markov chains. Probab. Theory Relat. Fields, vol. 144 (2009), pp. 99-136. arXiv:0712.1375.

36. J. Fulman, Stein's method and Planchcrcl measure of the symmetric group, Trans. Amer. Math. Soc., vol. 357 (2005), pp. 555-570. arXiv: math.RT/0505423.

37. I. Gessel and G. Viennot, Binomial determinants, paths, and hook length formulae. Adv. Math., vol. 58 (1985), pp. 300-321. '

38. K. Johansson. Discrete polynuclear growth and determinantal processes. Comm. Math. Phys., vol. 242 (2003), pp. 277-329, arXiv:math/0206208.

39. K. Johansson, Non-intersecting Paths, Random Tilings and Random Matrices. Probability Theory and Related Fields, vol. 123, no. 2 (2002), pp. 225-280. arXiv:math/0011250.

40. K. Johansson, Non-intersecting, simple, symmetric random walks and the extended Hahn kernel. Ann. Inst. Fourier (Grenoble), vol. 55, no. 6 (2005), pp. 2129-2145. arXiv:math.PR/0409013.

41. K. Johansson, E. Nordenstam, Eigenvalues of GUE Minors. Electronic Journal of Probability, vol. 11 (2006), paper 50, pp. 1342-1371. arXiv:math/0606760.

42. P. W. Kasteleyn, Graph theory and crystal physics. In: Graph Theory and Theoretical Physics, pp. 43-110, Academic Press, London, 1967.

43. R. Kenyon, Height fluctuations in the honeycomb dimer model. Preprint. Comm. Math. Phys., vol. 281 (2008), pp. 675-709. arXiv:math-ph /0405052.

44. R. Kenyon, Lectures on dimers. Statistical mechanics, IAS/Park City Math. Ser., vol. 16, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2009, pp. 191230. arXiv:0910.3129.

45. R. Kenyon, A. Okounkov, S. Sheffield, Dimers and Amoebae. Ann. Math., vol. 163, no. 3 (2006), pp. 1019-1056. arXiv:math-ph/0311005.

46. R. Kenyon, A. Okounkov, Limit shapes and the complex Burgers equation. Acta Math., vol. 199, no. 2 (2007), pp. 2G3-302. arXiv:rnath-ph/0507007.

47. S. Kerov, G. Olshanski, A. Vershik, Harmonic Analysis on the infinite symmetric group. Invent. Math. , vol. 158, no. 3 (2004), pp. 551-642, arXiv: math/0312270.

48. W. D. Koriig, Orthogonal polynomial ensembles in probability theory, Probability Surveys, vol. 2, (2005), pp. 385-447.

49. W. Kônig, N. O'Connell, Eigenvalues of the Laguerre process as non-colliding squared Besscl processes, Elcc. Comm. Probab., vol. 6, no. 11 (2001), pp. 107-114.

50. C. Krattenthaler, Advanced determinant calculus. Séminaire Lotharingien Combin, vol. 42 ("The Andrews Festschrift") (1999), Article B42q, 67 pp.

51. C. Krattenthaler, Another involution principle-free bijective proof of Stanley's hook-content formula, Jour. Comb. Theory, Series A, vol. 88 (1999), pp. 66-92.

52. B.F. Logan, L.A. Shcpp, A variational problem for random Young tableaux, Advances in Math., vol. 26, no. 2 (1977), pp. 206-222.

53. M. Luby, D. Randall, A. J. Sinclair. Markov chain algorithms for planar lattice structures. SIAM Journal on Computing, vol. 31 (2001), pp. 167-192.

54. M. L. Mehta, Random matrices, 2nd ed. Academic Press, Boston, 1991.

55. E. Nordenstam, On the Shuffling Algorithm for Domino Tilings, Electron. J. Probab., vol. 15, no. 3 (2010), pp. 75-95.

56. A. Okounkov, Symmetric functions and random partitions. Symmetric functions 2001: surveys of developments and perspectives, NATO Sci. Ser. II Math. Phys. Chem., 74, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 2002, pp. 223-252. arXiv: math.CO/0309074.

57. A. Okounkov, N.Reshetikhin, Correlation functions of Schur process with application to local geometry of a random 3-dimensional Youngdiagram. J. Amer. Math. Soc., vol. 16 (2003), pp. 581-603. arXiv: math. CO/0107056.

58. G. Olshanski, The problem of harmonic analysis on the infinite-dimensional unitary group, J. Funct. Anal., vol. 205, no. 2 (2003), pp. 464-524, arXiv:math/0109193.

59. J. Propp, Generalized domino-shuffling. Tilings of the plane, Theoret. Comput. Sci., vol. 303, no. 2-3 (2003), pp. 267-301.

60. J. Propp, Generating random elements of finite distributive lattices, Electron. Jour. Combin., vol. 4, no. 2 (1997), #R15, 12 pp.

61. L.C.G. Rogers, D. Williams, Diffusions, Markov Processes, and Martingales. Volume 2: Ito Calculus. Cambridge University Press, Cambridge, 2000.

62. S. Sheffield, Random Surfaces, Asterisque 2005, no. 304. arXiv: math/0304049.

63. C. A. Tracy, II. Widom, Differential equations for Dyson processes. Comm. Math. Phys., vol. 252 (2004), pp. 7-41, arXiv:math/0309082.

64. A. Vershik. The generating function — xk)~k — MacMahon and Erdos. Talk at the 9-th International Conference on Formal Power Series and Algebraic Combinatorics, Vienna, 1997.

65. D. B. Wilson, Determinant algorithms for random planar structures. Proceedings of the Eighth Annual ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms (New Orleans, LA, 1997), pp. 258-267, ACM, New York, 1997.

66. D. B. Wilson, Mixing times of Lozenge tiling and card shuffling Markov chains. Ann. Appl. Probab., vol. 14, no. 1 (2004), pp. 274-325. arXiv:math.PR/0102193.