Смешанные вариационные неравенства в условиях порядковой монотонности и их приложения к моделям равновесия тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

на правах рукописи

М»муркепич Елена Олетима ии^иЬ4Э98

СМЕШАННЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ НЕРАВЕНСТВА В УСЛОВИЯХ ПОРЯДКОВОЙ МОНОТОННОСТИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ К МОДЕЛЯМ РАВНОВЕСИЯ

01.01.07 вычислительная математика

Автореферат диссертации па соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

КАЗАНЬ 2007

003054998

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования "Кацапский государственный университет имени В.И. Ульянова-Ленина".

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

Коппов Игорь Васильевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

Ведущая организация: Институт автоматики и

процессов управления Дальневосточного отделения РАН.

Защита состоится 25 января 2007 г. в 14 час. 30 мин. па заседании диссертационного Совета Д 212.081.21 в Казанском государственном университете но адресу: 420008, г. Казань, ул. Кремлевская 18, корн. 2, ауд. 217.

С диссертацией можно ознакомиться п научной библиотеке им. Н.И. •Лобачевского Казанского государственного университета.

Автореферат разослан 22 декабря 2006 г.

старший научный сотрудник Попов Леонид Денисович,

доктор физико-математических наук, профессор

Фазылов Валерий Рауфович

Ученый секретарь диссертационного Совета к.ф.-м.н., доцент

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Вариационные неравенства являются одним из наиболее удобных инструментов для формулирования и исследования различных задач равновесия. В диссертационной работе рассматриваются смешанные вариационные неравенства, которые составляют промежуточный класс по отношению к однозначным и многозначным вариационным неравенствам, поскольку включают нелинейное отображение и педифференцир.уемую функцию. Они были введены С. Лес-карретом и Ф. Браудером. С одной стороны, их источником являются обычные вариационные неравенства, теоретическое исследование которых начинается с работ Г.Фикеры и Г.Стампаккьи в связи с приложениями в математической физике, и в дальнейшем это направление развивалось многими известными учеными, такими как К. Байокки и А. Капело, Ф.Е. Браудер, X. Брезис, Г. Дюво и Ж.-JI. Лионе. С другой стороны, это зада.ча выпуклой педиффереицируемой оптимизации. Класс задач с монотонными потенциальными отображениями, соответствующий выпуклой педиффереицируемой оптимизации, является наиболее разработанным во многом благодаря вкладу В.Ф. Демьянова, И.И. Еремина, Ж. Моро, Б.Н. Пшеничного, Н.З. Шора, Ф. Вул-фа, Е.Г. Гольштейна, В.Л. Левина, К. Лемарешаля, Е.А. Нурминского, Б.Т. Поляка, Р.Т. Рокафеллара, A.M. Рубиноваи других авторов. Значительное продвижение в области решения монотонных вариационных неравенств связано с развитием метода регуляризации, предложенного А.Н. Тихоновым. Большой вклад в это направление внесли работы A.B. Бакушипского, Ф.П. Васильева, Б.Т. Поляка, В.В. Васина, Л.Д. Попова, М.Ю. Кокурипа и других. Методы решения смешанных вариационных неравенств с монотонным (строго, сильно) основным отображением, использующие различные схемы расщепления, предлагались в работах A.C. Антипина, И.Б. Бадриеиа и O.A. Задворнова, Дж. Бертсекаса и Дж. Экштейпа, Р. Брука, Д. Габея, И.В. Коннова, A.B. Лапина, П.-Л. Лиопса и В. Мерсье, П. Цепга и других авторов. С развитием теории вариационных неравенств были выявлены их глубокие связи с задачами дополнительности, седловой точки и игрового равновесия, что открыло принципиально новые области приложений п экономике, в система.х транспорта и связи, в социальных науках. Значительный вклад в эту область внесли К.Дж. Эрроу, Ж. Дебре, X. Ни-кайдо, Г. Розен, С. Карамардян, Й.Ш. Папг, С. Дафермос, П. Харкер, А. Нагурней и другие. Для многих прикладных задач, в особенности

в экономике и теории игр, основное отображение по удовлетворяет, как правило, условиям потенциальности и монотонности, а лишь более

СЛЯбыМ уСЛОНИЯМ ПОРЯДКОВОЙ МОНОТОННОСТИ. Более ТОГО. ДЛЯ МПО['11Х

задач экономического и игрового равновесия не удается гарантировать невырожденность этого отображения, что ставит значительные трудности как при получении результатов существования и единственности решепни, так и при разработке численных методов. Поэтому тематика рассматриваемых в диссертации вопросов является актуальной как с теоретической, так и с прикладной точек зрения.

Цель исследований. Основная цель работы состоит в получении результатов существования и единственности решения для смешанных вариационных неравенств в условиях порядковой монотонности и вырожденности основного отображения, разработке и исследовании численных методов решения таких задач, и в применении полученных результатов для достаточно широких классов задач теории экономического равновесия, которые могут быть сформулированы в виде рассматриваемых смешанных вариационных неравенств.

Методы исследований. В работе используются методы дифференцируемой и недифференцируемой оптимизации, выпуклого анализа, нелинейного анализа.

Научная новизна. Все результаты работы являются новыми и состоят в получении результатов существования и единственности решения смешанных вариационных неравенств в условиях порядковой монотонности, нелинейности и вырожденности основного отображения, возникающих при исследовании задач экономического равновесия, а также в построении и исследовании быстро сходящихся методов решения таких задач.

Достоверность результатов работы обеспечивается строгими математическими доказательствами, хорошим совпадением результатов численных экспериментов сточными решениями для тестовых задач.

Практическое значение. Разработанные подходы, методы и алгоритм 1.1 применимы для численного решения задач экономического равновесия различных типов, включающих негладкие функции, а также могут быть использованы при решении и других прикладных задач, возникающих, в частности, г. математической физике и теории игр.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на итоговых научных конференциях Казанского государ-

етнеппого университета (2001 2006 гг.), на Республиканской научно-практической конференции "Интеллектуальные системы и информационные! технологии", г. Казань, 30 октябри 1 ноября 2001г.; на. Всероссийской молодежной научной школе-копферепции "Численные методы решения линейных и нелинейных красных задач", г. Казань, 10 23 ноября 2001 г.; на Четвертом Всероссийском семинаре "Сеточные методы для краевых задач и приложения", г. Казань, 13 -- 16 сентября 2002 г.; на Шестом Всероссийском семинаре "Сеточные методы для краевых задач и приложения", г. Казань, 1-4 октября 2005 г.; на XIII Международной конференции "Проблемы теоретической кибернетики", г. Казань, 27 - 31 мая 2002 г.; на Шестом Национальном конгрессе 51МА1, С1па Ьайнпа (Италия), 27 - 31 марта 2002 г.; на Всероссийской конференции "Математическое программирование и приложения", г. Екатеринбург, 24 28 февраля 2003 г.; на 8-ом Международном симпозиуме по обобщенной выпуклости и оббщенной монотонности, г. Варезе (Италия), 4-8 июля 2005 г.; на научных семинарах кафедр экономической кибернетики, прикладной математики и вычислительной математики КГУ (2005 ■ 2006 гг.); на семинаре отделения математического моделирования НИИММ им. Н. Г. Чеботарева КГУ, 2005 г.-

Исследования по тематике диссертации выполнялись в рамках основного научного направления КГУ "Экстремальные и равновесные задачи экономики и систем управления", получали поддержку в рамках проектов Фонда НИОКР РТ и НИР ИЛИ АН РТ.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 17 работ, в том числе одна статья [10] в издании из списка ВАК.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, списка литературы и изложена на 114 страницах. Список литературы состоит из 148 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы исследования, формулируется цель работы, проводится обзор литературы по исследуемой теме, излагается краткое содержание диссертации.

В первой главе приведена постановка задачи смешанного вариационного неравенства в условиях порядковой монотонности основного отображения, получены результаты существования и единственности решения такой задачи. Кроме того, обоснованы итеративные методы решения смешанных вариационных неравенств па основе спуска по V-интервальной функции.

В разделе 1.1 дастся постановка задачи смешанного вариационного неравенства, а также приводятся некоторые общие, результаты из теории оптимизации и вариационных неравенств.

Пусть задано выпуклое множество К р. пространстве Я", отображение G : V —¥ R" и выпуклая, но необязательно дифференцируемая функция / : V R, где К Q V С R". Смешанное вариационное неравенство состоит в определении точки х* 6 К такой, что

(G(x*), X - х*> + f(x) - /(¡с*) >0 Vx 6 К. (1)

• Мы будем рассматривать задачу (1) при следующих предположениях:

(А1) Отображение G : У -> R" непрерывно, где V выпуклое открытое подмножество Rn.

(А2) Множество К имеет вид параллелепипеда, т.е. К — К\ х Ki х ... х Кп, где Ki — [«¿,/3,] С [—оо, +оо] для всех i = 1,... ,п, при этом К СУ.

(A3) Функция f •. V —Ь R выпукла на V и имеет вид: f{x) =

tjiixi)-

Для индексного множества L = {i],...,ii} С N = {1, ...,п} обозначим = (ж£);ел, через А/,(х) - квадратную матрицу с элементами 0ад^ для i,j 6 L, через единичную матрицу соответствующего порядка.

Для векторов из R" можно ввести обычное упорядочение > с помощью неотрицательного ортанта Л+1, т.е. х > у означает, что х—у £ Л™. Теперь напомним ряд свойств порядковой монотонности для отображений.

Определение 1 Отображение G : К —»■ Л" называется

a) Р-отображением, если для любой пары точек х,у 6 К, х ф у, существует индекс г такой, что (г,- — 2/,: )(£?,-(.г) — Gi(y)) > 0;

b) строггш Р-отображением, если существует число 7 > 0 такое, что G — 7In есть Р-отображение;

c) Рд-отображением, если для любой пары точек х,у £ К, х ф у, существует индекс г такой, что х,: ф у,; и (ж,- — yi){Gi(x) — Gj{y)) > 0;

d) Z-отображением (или впедчшаопалъно антшпонным,), если для любой пары точек х,у £ К,х > у выполняется х) < Gk{y) для любого индекса к такого, что Хк = Ук\

1 По определению, Я" ~ С /?" [ .т, > П. г = 1,7t}.

с) М-отображением, если оно одновременно является Р- и 2-отображением;

Г) Мо-опшбражс.ишм, если оно одновременно является Р(Г и отображением.

В аффинном случае, когда в{х) — Ах + Ь, данные свойства с;о»-надают с соответствующими свойствами матрицы А. Очевидно, что свойства Ра и Р обобщают свойства обычной (соответственно, строгой) монотонности отображения в.

Раздел 1.2 посвящен результатам существования и единственности решений для смотанного вариационного неравенства (1).

Большинство известных результатов существования и единственности решений в задаче (1) требуют усиленных свойств типа Р отображения б. Однако такие свойства являются ограничительными для многих прикладных задач, содержащих отображения с вырождением. Показано, что можно получить результаты существования и единственности решений в задаче (1) и при более слабых свойствах отображения £? за счет (сильной) строгой выпуклости функции / в ограниченном и неограниченном случае множества К.

Теорема 1 Пусть выполняются условия (А1) - (АЗ), и (7 есть Рц-от.ображение. Если функции /; ст,рого выпуклые для г = 1,..., п, то задача (1) не люжет иметь более одного решения.

Следствие 1 Если., дополнительно к условиям теоремы 1, множество К ограничено, то задача (1) имеет единственное решение.

Теорема 2 Пусть выполняются условия (А1) - (АЗ), и С? есть Ро-отображение. Если функции /,• сильно выпуклые для всетЛ — 1,..., п, то задача. (1) имеет единственное решение.

Теперь получим результаты существования и единственности решения задачи (1) для случая, когда только часть отображения в обладает усиленными Р свойствами.

Теорема 3 Пусть выполняются условия (А1) - (АЗ), й - дифференцируемое Ма-отображение. Предположим, что для н,екоторого множества Ь С N существует число е > 0 такое, что Аь{х) — е/?, есть Р-м.атрица для. любого х £ К. Предположим, также, что г € М\Ь - сильно выпуклые функции. Тогда задача (1) имеет единственное. решение.

Теорема 4 Пусть выполняются, условия (AI) (A3), G - дифферен-цируемос. Мц-отобрамсси-ие. Прсдноло-лсим, что для. некоторого м.ио-oic.ec.mea L С N, Al(x) сс.ть Р-матрица для любого х £ К, а также, что /,-, г € N\L - сильно выпуклые функции, и К - ограниченное множество. Тогда задач,а (1) имеет единственное решение.

В разделе 1.3 описаны методы решения смешанного вариационного неравенства (1) на основе преобразования исходной задачи к задаче оптимизации в отношении некоторой искусственной интервальной (или, иначе, оценочной) функции.

Рассмотрим функцию tpnß(x) = (рп(х) — ip$(x), где 0 < а < ß,

п п

<рп(х) = max ]Г Ф?(х, у;) = £ max Ф?(х, у{) уел i=1 i-iv&Ki

где

Ф?(х, yi) = Gi(x)(xi - yi) ~ 0.5a(Xi - Vi)2 + Мх{) - ffa)

для i=l,.,.,nna>0. Функция xpap называется D-интервальной для задачи (1) и была вначале предложена для случая / = 0 Дж. Пенгом. И.В. Коннов предложил применить ее для смешанного вариационного неравенства и установил дифферепцируемость функции фац, которой не обладает обычная интервальная функция ipa. Вместо исходной задачи (1) мы можем решать задачу минимизации дифференцируемой функции %l>aß па всем пространстве Rn

min фар(х). (2)

хея

Более того, если якобиан основного отображения G есть Р - матрица, то задача (1) эквивалентна задаче нахождения стационарной точки для (2), т.е. решению системы нелинейных уравнений Vipaß(x*) = 0. На основе этого свойства r работе предлагаются методы решения исходной задачи (1), использующие спуск по D-интервалыюй функции.

Для минимизации функции фар вначале был применен градиентный метод (ГМ) с линейным поиском типа Армийо. Обозначим стартовую точку методов через г°.

Теорема 5 Пусть выполняются условия (AI) - (A3) с V = Я", G -дифференцируемое отображение. Если множество

D(zQ) = {z I <

ограничено, и УС(ж) есть Р-матрица. для. любого х 6 К. то итерационная последовательно!:!!!.ь метода (ГМ), примененного к задаче (2), сходится к единственному решению задачи (1).

Затем был применен вариант метода, сопряженных градиентов (МСГ1). предложенный Л. Гриппо и С. Луеиди для безусловной минимизации дифференцируемых функций.

Теорема 6 Пусть выполняются условия (А1) (АЗ) с V = Яп, (7 -дифференцируемое отображение, множество О(г0) ограничено, существует выпуклое отхрытое. множество II, содержащее 0{гй), тлкос, что градиент функции -ф,^ непрерывен по Липшицу на II, и У(7(:г) есть Р-матрица для .любом х £ К. Тогда итерационная последовательность метода (МСГ1), примененного к задаче (2), сходится к единственному решению задами (1).

Кроме того, для минимизации функции 1рар был использован также другой вариант метода сопряженных градиентов (МСГ2), предложенный X. Мукаи.

Теорема 7 Пусть выполняются условия (А1) - (АЗ) с V = Яп, б - дифференцируемое отображение, множество ограничено, и

\/С(х) есть Р-матрица для любого х 6 К. Тогда итерационная последовательность метода (МСГ2), примененного к задаче (2), сходится к единственному решению задачи (1).

Таким образом, обоснованы итеративные методы решения смешанного вариационного неравенства (1).

В разделе 1.4 рассматривается разложимое смешанное вариационное неравенство, где допустимое множество К в (1) допускает представление в виде декартова произведения подмножеств из произвольных конечномерных подпространств, т.е. К = К\ х К^ х ... х АТт", где Кь С Я11' для в й М = {1, ...,т}, а. также. /(х) = Т. /Д^з), где

.5 £ М

х = (хя | в € М), хя е Яп" для в € М, т.е. т. < п в общем случае.

Для этой задачи получены результаты существования и единственности решения, которые обобщают утверждения теорем 1 и 2 и следствия 1 па основе соответствующих расширений свойств порядковой монотонности основного отображения.

Во второй главе представлены модели экономического равновесия, в которых учитываются различные виды конкуренции. Показано, что

при достаточно естественных условиях эти задачи могут быть сформулированы в виде смешанного вариационного неравенства (1). Получены результаты существования и единственности решения для рассматриваемых моделей, а также для них обоснованы различные варианты метода регуляризации.

Раздел 2.1 посвящен общему классу задач равновесия по Валь-расу. Рассмотрим модель равновесия, в которой используется п типов товаров. Для вектора цеп р € /?" определяется множество Е(р), кото-рос является значением отображения избыточного спроса Е : /?" —> П(Д")2, в общем случае многозначного.

Введем следующее предположение.

(В1) Цена каждого товара, вовлеченного о рынок, имеет нио/еиюю положительную границу и может иметь верхнюю границу.

Другими словами, допустимые цены содержатся в множестве, которое имеет вид параллелепипеда:

К = Ki х К2 х ... х Кп, Kt = {te R\0<r[ <t<r- < +00}, i = 1,... п. [ '

Тогда равновесные цены определяются вектором р* € К таким, что Bq'eEip'), {ч',р*-р)> 0 VpeK, (4)

что обобщает обычную задачу равновесия в случае К — R

Для преобразования полученной задачи к виду (1) используем следующее представление отображения избыточного спроса: Е(р) = D{p) — S(p), где отображение D однозначно и описывает избыточный спрос участников, поведение которых соответствует моделям совершенной конкуренции, а отображение 5 предполагается многозначным и описывает избыточное предложение участников, каждый из которых поставляет или приобретает единственный товар. Тогда при данном векторе цен р £ 7?" отображение S диагонально, т.е. представимо в виде декартова произведения:

S(p)=-S1(p1)xS2(p2)x...xS„(pI1)- (5)

Естественно считать каждое отображение; 5; : R+ П(R) монотонным для всех i = 1 ,.'..,71, т.е. (избыточное) предложение не убывает по отношению к цене товара. Тогда, отображение S представляет собой субдифференциал некоторой функции /, т.е., Sj = dfj,

-flfft") означает совокупность нгсх ио.'шпожсстн мложпс-пш Я".

где fj : R+ —> R есть выпуклая функция, для всех j = 1 /(Р)=Д/,-(?>)■

При этих предположениях задача поиска равновесных цеп (3). (4) эквивалентно записывается в виде многозначного вариационного неравенства: найти точку р* G К такую, что

3s* G S(p*), (£>(р*),р* - р) + {s*,p- р*) > О Vp € К.

Эта за.да.ча эквивалентна смешанному вариационному неравенству

{G{f),v - р) + tlfiiPi) - Ш)] >0 Vp G (G)

¿=i

соответсгвущему задаче (1), где G = —D и V = Л"3.

Для получения результатов существования и единственности решения используются дополнительные условия на отображение D.

Определение 2 (а) Отображение D обладает свойством валовой за-мсиимоппи, если dDj/dpi > 0, j ф г\

(Ь) Отображение D положительно однородно степени т, 0 < m < 1, если D(ax) = amD(x) для любого а > 0.

Условие валовой заменимости на (избыточный) спрос является одним из наиболее общепринятых в экономических моделях и означает заменяемость товаров для участников. Условие положительной однородности степени 0 (пезависимЛти от масштаба цен) на (избыточный) спрос является также достаточно стандартным и обычно следует из пен асы i цаемости потребителей.

(В2) Отображение D непрерывно дифференцируемо, положительно однородно степени 0 и обладает свойством валовой замеиилюсти на Отображение S имеет вид (5), где Sj есть субдифференциал выпуклой функции fj : Д+ —)• R, j = 1, ..., п.

Если выполняются условия (В1), (В2), то установлено, что G есть Ро-отображение, кроме того, VG(p) есть Му-матрица для всех р G V. Отметим, что однородность степени 0 влечет вырожденность якобиана, по, хотя отображение G не является (строгим) Р-отображепием, его часть может обладать таким свойством.

Теорема 8 Пусть выполняются условия (Bl), (В2). Предположим, что г," < -Ьоо для всех г = 1 ,...,п, и существует множество

* R'J, ~ {j: е W | х, > 0,/ — 1,...,п} положительный ортапт, т.о. внутренность

L С N такое,, что для каждого р £ К, выполняется неравенство Е < 0 для всех i £ L. Предположим также, что

fj,j € N\L - сильно выпуклые функц-и;а. Тогда задача (б) имеет единственное решение.

Приведем сходный результат для неограниченного случая.

Теорема 9 Пусть выполняются условия (В1), (В2). Предположим.

что существуют 5 > 0 и множество L С N такие, что для всех

р € К выполняется Е < —$Pi для любого г Е L. Пусть

jeN\b !J

fj,j £ N\L - сильно выпуклы,e (функции. Тогда задача (б) имеет единственное решение.

Поскольку обоснование методов спуска по £>-интервальпой функции опирается па невырожденность отображения G, а это свойство не выполняется в условиях описанной модели типа Вальраса, то предлагается использовать метод регуляризации.

Обозначим через Qi квадратную диагональную матрицу порядка п, чьи диагональные элементы определены следующим образом: qa > О, если г £ L, g,-,- = 0, если i L.

Мы будем аппроксимировать смешанное вариационное неравенство (6) следующей возмущенной задачей: найти точку р£ Ç К такую, что

(G(f) + eQLp\ у - pf> + f(p) - /(pe) >0 Vp £ K, (7)

где e > 0 ~ параметр, L ■ непустое подмножество N. Сначала рассмотрим свойства последовательности {р£} в ограниченном случае.

Теорема 10 Пусть выполняются условия (Bl), (В2), г-' < +оо для г = 1, ..., п, существует индексное множество J С N такое, что для всех р £ К выполняемся условие

£ < 0 для i £ J', (8)

icAV' 0pJ

a также индексное мноо/qecmeo J С. N такое, что fi, г £ J - сильно выпуклые функции. Если положить L = N\J, J = J \J J ', то задача (7) имеет единсгпвеииое решение ре, а любая последовательность {//'} такая, что {е^} 0, имеет предельные точки и все яти точки являются решениями задачи (6), (3).

При .7 = 0 теорема 10 обосновывает метод полной регуляризации.

Установлено, что в условиях теоремы 10 якобиан гладкой части возмущенной задачи есть Р-матрица, что позволяет решать эту задачу с помощью алгоритмов спуска по D-иптериалышй функции из раздела 1.3.

Метод регуляризации для неограниченного случая обоснован с помощью усечения допустимого множества и обеспечении сходимости решений возмущенной .усеченной задачи к решениям исходной за счет условий типа коэрцитивпости, которые гарантируют отсутствие новых решений в усеченной задаче. Рассмотрим регуляризированиое усеченное вариационное неравенство: найти точку ре £ К такую, что

(G(f) + eQtf.p - Ре) + f(p) - f(f) >0 Vp € К, (9)

где

К = Кгх К2Х ... X Кп, Кг = с (0, +оо), (10) где г,; < г,- и 7\ = т- , если г," < +оо, i = 1, ...,п.

Теорема 11 Пусть выполняются условия (В1), (В2), существует ограниченное множество W С К такое, чт,о для любого р £ K\W выполняется max [Gi(p)(p; — т;) + fi(pi) — /;(■?"()] > 0- Предположим.,

что К в (10) выбрано так, что для любого г = 1 ,...,п и для любого w £ W выполняется неравенство < 77, если т; = +оо. Пусть существует индексное .множество J С N такое, что для любого р £ К выполняется (8), и существует индексное множество J С N такое, что функции fi, i £ j', сильно выпуклые. Тогда задача (9), (10) при L = N\J, J — j'\jj" имеет единственное решение рс, а любая последовательность {pEi} такал, что {ejt} \ 0 имеет предельные точки, и все эти точки являются решениями .задачи (С), (3).

Рассматриваются также различные варианты модели равновесия в условиях, когда отображение избыточного спроса Е однозначно. Для них обоснован метод регуляризации с более простыми условиями коэрцитивпости.

В разделе 2.2 рассматривается иной вариант модели равновесия из раздела 2.1, п которой отображение D задается как спрос потребителей с функциями полезности типа Кобба-Дугласа. Спрос i-го потребителя при данном векторе цен р £ R+ определяется в виде решения задачи

оптимизации:

D^(p) = Argmax{v;(x) | (p, x) < (p, &(i)) , .т £ Я» }, (11)

где 6W € R" вектор запасом топарои, y>¿(®) •• функция полезности г-го потребителя. Предположим, что она имеет вид

П(х)=&х?"...х?11", (12)

п

где Pi > 0, а,-у > О, Е Лу = 1, т.е. является функцией типа Кобба-j-1

Дугласа. Тогда отображения спроса однозначны. Как и в модели предыдущего раздела р —» 5(р) есть отображение избыточного предложения, которое имеет вид (5), причем каждое отображение Sj предполагается монотонным и многозначным. Равновесная ценар* определяется также как решение задачи (б), где D(p) = Е D^(p) — 6, где

т

Ь = Е суммарный запас товаров потребителей. Поэтому зада-

¿=1

ча равновесия может быть задана в виде смешанного вариационного неравенства (6), где G = —D, df¿ = S¡, i = 1, ...,n.

(Fl) Отображение D(p) = E ¿'"'(p) — b, где D^(p) определено a

i=\

(11), (12). Отображение S имеет вид (5), где Sj есть субдифференциал выпуклой функции fj : R+ —> R, j — 1, ...,n.

Поскольку задача (11), (12) потребительского спроса обеспечивает выполнение свойств валовой заменимости и однородности степени О отображений

D-'K т.е. и D, то выполняются условия (В2) и отображение G = — D будет иметь тип Рц. На этой основе получены результаты существования и единственности решений.

Теорема 12 Предположим, что выполняются условия (Bl), (F1), Т; < +со для всех i = 1,... ,71, и существует индексное множество

L С N такое, что Е Е а,¡б;"' > 0, i £ L. Пусть также функции jeN\L*=1 J

fj, j £ N\L сильно выпуклы. Тогда задача (6) имеет единственное решение.

Установлен подобный результат для неограниченного случая.

Теорема 13 Предположим, что выполняются условия. (Bl), (F1), существует е > 0 и индексное множество L С N та,кое, что для

,П (s) 9

любого р £ К выполняется Е Е a„.¡b¡ > ерг £ L. Если, до-

j£N\Ls=\ ' J

полнителыю, функции fj, j £ N\L, сильно выпуклы, то задача (6) имеет единственное решение.

Для описанной модели также построен меч-од регуляризации, для которого установлена сходимость, в том числе при неограниченном множестве К.

В разделе 2.3 рассматривается модель экономического равновесия в условиях несовершенной конкуренции - олигополия. Модель описывает поведение п производителей, предлагающих одцрродиый продукт. В этой модели состояние q* = (gj,..., g*) определяется как точка равновесия по Нэшу в бескоалиционной игре п лиц с функциями выигрыша

<Л:(?) = 4iPÍ Т. Qi) - fi{qi). где р(сг) - Цена при объеме рынка a, J¡[q¡) -¡=i

затраты г-го производителя при объеме производства q¡, т.е.

¥>;(<?*) >ы(ч1,-~,Я*-ц<И,<1ш,-,Яп), V<7¿ G [0,Д], г = 1,..., п.

Преобразуем эту задачу к смешанному вариационному неравенству. Следующий набор дополнительных предположений соответствует общепринятому экономическому поведению участников.

(Н1) Функция цены р(а) - невозрастающая, непрерывно дифференцируем,ая, функция, дохода <гр(сг) - вогнута для а > 0. Функции затрат /¿ : Я" —> R выпуклые, но в об'щем случае не обязательно диф)ференцируе.м.ые для i — 1,... ,п.

В отличие от ранее используемых условий, здесь допускается недифференцируемость функций затрат, что позволяет учитывать ситуацию, когда существует несколько технологий процесса производства. Из предположений (Н1) следует, что г-я функция дохода ¡p¡ вогнута по qi па Я+. Определим допустимое множество К = К\ х К2 X ••• х Кп, Ki = [O.ft], i = 1, ...п; а также многозначное отображение F : R'l П(Я") с компонентами Fi(q) = dQi[-ipi(q)} - Gi(q) + df¡(q¿), где G¡(q) = —p(aq) — g¡p'(cr7) для всех i — 1,..., п. Тогда задача равновесия по Нэшу эквивалентна многозначному вариационному неравенству: найти точку q* 6 К такую, что

X е ЭШ),i = 1,№),?-0+£d¡(®-?¡)> 0 v,eK;

;=i

или смешанному вариационному неравенству

(G(q'), Я - О + Е 1Ш) - /.■(?*)] > о V<7 G К. (13) ■;=i

Получены свойства порядковой монотонности отображения G.

Предложение 1 Пусть выполняются условия (Н1). Тогда справедливы следующие утверждения:

(a) УС(д) г.г.т.ь Рц-матрица для всех д £

(b) Пусть р{а) < 0 и либо /¿'(ст) < О, либо р'(а) < О для всех а > 0. Тогда УС(д) есть Р-матрица для всех <? £ Л" .

Эти свойства позволяют установит!, результаты существования и единственности решения.

Теорема 14 Пусть выполняются условия (Н1), р (сг) < 0 и либо ц (а) < 0, либо р (а) < 0 для всех а > 0. Тогда задача (13) нр. может иметь более одного решения. Если, дополнительно, К - ограниченное мнооюеетво, то задача (13) имеет еди,нет,венное решение.

Теорема 15 Предположим, что выполняются условия (Н1), существует а > 0 такое, что —р (сг) > 5 > 0 и либо —/х (а) > 5, либо Р ("О 5: 0 для. всех а > 0. Тогда задача (13) имеет единственное решение.

Построен также метод регуляризации для этого класса задам. Для обоснования используется обобщение условия ограниченности выпуска, введенное С. Колстадом и Л. Матиесепом. Рассмотрим задачу: найти точку г£ € К такую, что

+ > 0 Уд е К, (14)

7)

К = П[0> А]> 0 < /3,- < +СО и 01 = Д если /3; < +оо для г = 1, ...,п. >=1

(15)

Таким образом, используется регуляризация и усечение вариационного неравенства (13).

Теорема 16 Предположим,, что выполняются условия (Н1), производственный выпуск ограничен так, что для любого г = 1,...,п и для любого р € К(~]Р выполняется рг- < /3¡, если Д- = +оо и пусть существует индексное множество 3 С N такое, что /,•(<?;) •■ сильно \ выпуклые функции для <7,- е [0,Д] иг € 3■ Если положить Ь = N\J, то задача (15), (Ц) имеет единственное решение 2е, а последовательность } такая, что {етд-)• 0, имеет предельные точки, и. все эти точки являются решениями задачи (13).

Получены также результаты сходимости метода регуляризации для случая, когда функции затрат /¿, i = 1 ,...,п, непрерывно дифференцируемые.

В главе 3 описываются результаты численного решения задач равновесия г. помощью алгоритмов спуска по О-иитервалыюй функции из раздела 1.3.

В разделе 3.1 рассматривается задача экономического равновесия типа Вальраса, представляющая собой вариант модели из раздела 2.2. Предполагается, что каждый потребитель имеет спрос лишь на один товар, что задается простейшим видом функции полезности Кобба-Дугласа. Приведены результаты численных расчетов на различных тестовых задачах.

В разделе 3.2 рассматривается численное решение модельных задач экономического равновесия с общими функциями полезности типа Кобба-Дугласа. Приведены результаты'численных расчетов на тестовых задачах с различными исходными данными с помощью методов спуска по £>-интервалыюй функции.

В разделе 3.3 описано применение алгоритмов из раздела 1.3 для решения задач олигополистичсского равновесия. Расчеты проводились на различных модельных задачах размерности п < 50 с точностью е = 0.01 и е = 0.0001. Кроме того, проведены расчеты на реальной прикладной задаче, описывающей рынок электроэнергии, которая представляет модель олигополистичсского равновесия с негладкими функциями затрат. Проведенные численные расчеты показали достаточно быструю сходимость и хорошее соответствие с исходной системой.

В разделе 3.4 приведены результаты численных расчетов на различных тестовых задачах размерности п < 50 для смешанных вариационных неравенств, выполненные с помощью методов спуска по £>-интервальной функции. Также для поиска решения описанных задач использовалась комбинация метода регуляризации со спуском но О-иитервальной функции на основе метода сопряженных градиентов и градиентного метода.

Приведенные расчеты показали достаточную эффективность предложенных методов решения.

Основные результаты диссертации

1. Теоремы существования и единственности решений для смешанных вариационных неравенств в условиях вырожденности и порядковой монотонности основного отображения и теоремы о сходимости методов спуска по О-интервальной функции для решения таких смешанных вариационных неравенств.

2. Теоремы существования и единственности решения для разложимых смешанных вариационных неравенств п условиях вырожденности и обобщенной порядковой монотонности.

3. Теоремы существования и единственности для смешанных моделей экономического равновесия типа Вальраса, содержащих многозначные отображения.

4. Теоремы существования и единственности для модели равновесия в условиях несовершенной конкуренции (олигополии) с негладкими функциями затрат.

.5. Теоремы о сходимости метода регуляризации для модели экономического равновесия типа Вальраса п виде (смешанного) вариационного неравенства с вырожденным и порядково монотонным отображением и для модели несовершенной конкуренции (олигополии) с негладкими функциями затрат.

Список публикаций по теме диссертации

1. Волоцкая (Мазуркевич) Е.О. Решение смешанных вариационных неравенств на основе безусловной минимизации / Е.О. Волоцкая (Мазуркевич) // Труды респ. иаучно-практ. конф.: Интеллектуальные системы и информ. технологии. Казаиь:Отечество. 2001. С. 194.

2. Копнов И.В. Применение Г>-ииторвальных функций к задачам экономического равновесия / И.В. Конпов, Е.О. Мазуркевич // Тез. докл. XIII межд-ной конф.: Проблемы теор. кибернетики. М.: Изд-во МГУ. 2002. С.94.

3. Коннов И.В. Об одной модели равновесия в условиях олигополии / И.В. Коннов, Е.О. Мазуркевич // Математическое программирование и приложения. Екатеринбург, 24-28 февраля 2003 г. Тез. докл. Информ. бюллетень АМП. Екатеринбург, 2003. Вып. 10. С. 153.

4. Коннов И.В. Модель равновесия в условиях олигополии с несколькими технологиями / И.В.Коннов, Е.О.Мазуркевич // Иссл. по информатике. ИПИ АН РТ. Казаиь:0течество. 2003.Вып.5. С.57-70.

5. Концов И.В. Модель равновесия с функцией спроса типа Кобба-Дугласа / И.В. Коннов, Е.О. Мазуркевич // Исследования по информатике. ИПИ АН РТ. Казань: Отечество. 2003. Вып. 6. С. 57 70.

6. Коипов И.В. Метод регуляризации для смешанных вариационных неравенств / И.В. Коннов, Е.О. Мазуркевич // Исследования по информатике. ИПИ АН РТ. Казань: Отечество. 2005. Вып.9. С.55-71.

7. Мазуркевич Е.О. Применение /^-интервальных функций к одной задаче равновесия / Е.О.Мазуркевич // Материалы Четвертого Все-

российского семинара "Сеточные млтоды для красных задач и приложении". Казань: Изд-ио Казан. матом, общ-ва. 2002. С. 77 70.

8. Мазуркевмч Е.О. Метод регуляризации для модели равновесия с функцией спроса тина Кобба-Дугласа / Е.О.Мазуркеиич // Иссл. но информатике. ИПИ АН РТ. КалаиьЮтечество. 2()04.Вын.8.С.97-108.

9. Мазуркеиич Е.О. Метод регуляризации для смешанных вариационных неравенств / Е.О. Мазуркеиич // Материалы Шестого Всероссийского семинара "Сеточные методы для краевых задач и приложения". Казань: КГУ. 2005. С. 1G7.

10. Мазуркеиич Е.О. Метод регуляризации для задач олигополи-стического равновесия / Е.О. Мазуркеиич // Изв. вузов. Математика. 200G. N 12. С. 69-74.

11. Parf.it,ionable mixed variational inequalities / Е. Allevi, A. Gnudi, I.V. Koimov, Е.О. Mazurkevieh /,/ Quadcrni DMSIA, Italy: University of Bergamo. 2003. No. 7. 13 pp.

12. Partitionable mixed variational inequalities / E. Allevi, A. Gnudi, I.V. Konnov, E.O. Mazurkevieh // Variational Analysis and Applications, Ed. by F.Giarmessi and A.Maugeri, "Nonconvex Optimization and Its Applications", Vol.79. New York: Springer. 2005. P. 133 -146.

13. Kounov I.V. Mixed variational inequalities and economic, equilibrium problems: Preprint / I.V. Konnov, E.O. Volotskaya (Mazurkevieh) /'/ Quadcrni DMSIA, Italy: University of Bergamo. 2001. No. 16. 21 pp.

14. Konnov I.V. Mixed variational inequalities and economic equilibrium problems / I.V. Koimov, E.O. Volotskaya (Mazurkevieh) // VI Congresso Nationale della SIM AI, Chia Laguna, 27-31 maggia 2002, Roma: Abstracts. 2002. P. G3.

15. Koimov I.V. Mixed variational inequalities and economic equilibrium problems / I.V. Konnov, E.O. Volotskaya (Mazurkevieh) // J. of Appl. Math. 2002. V. 2, No. 6. P. 289 314.

1G. Konnov I.V. Oil a regularization method for variational inequalities with Po mappings / I.V. Konnov, E.O. Mazurkevieh, M. Ali // J. Appl. Math. Comput. Sei. 2005. V. 15, No. 1. P. 101-110.

17. Volotskaya (Mazurkevieh) E.O. On a class of economic equilibrium problems / E.O. Volotskaya (Mazurkevieh) // Труды матом, центра им. Н.И. Лобачевского. Казан, матем. об-во. Казань: Изд. "ДАС", 2001. Т. 13. С. 241 257.

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии Издательского центра Казанского государственного университета им.В.И.Ульянова-Ленина' Тираж 100 экз. Заказ 12/18

420008, ул. Университетская, 17 тел.: 231-53-59,292-65-60

Введение

1 Смешанные вариационные неравенства в условиях порядковой монотонности

1 1 Основные определения и вспомогательные резулыагы.

1 2 Существование и единсгвенноаь решений смешанных вариационных неравенств

1 3 Методы списка но D-ишервальной функции

1 4 Ра {делимые смешанные вариационные неравенс 1ва

2 Модели конкурентного равновесия с негладкими функциями

2 1 Модели равновесия 1ипа Вальраса в условиях смешанной конкуренции 4G

211 Пен гановка задачи . . . 4G

212 Резулыаш существования и едина ценности решения . 48 2 13 Метод регуляризации для модели равновесия в виде смешанно

I о вариационного неравенства

2 14 Метод рсчуляризации для модели равновесия в виде вариационною неравенства

2 2 Модель равновесия с мультиилика1ивн0й функцией спроса

2 2 1 Пос гановка задачи . . . 61 2 2 2 Резулыаш существования и единавенности решения 63 2 2 3 Маод регуляризации д ш модели равновесия с мультипликативной функцией поле шости.

2 3 Модель олшополистического равновесия.

2 3 1 Постановка -задачи.

2 3 2 Результаты сущеавования и единственное!и решения

2 3.5 Меюд рсчуляри мции для общей модели олиюполис гичсского равновесия

2 3 4 Метод рсчуляризации для модели олигоиолис 1ического равновесия в виде вариационною неравенства

3 Алгоритмы решения задач равновесия

3 1 Решение модельных задач равновесия по

Вальрасу с просчеишей функцией полезности

3 2 Решение модельных задач равновесия по Вальрасу с мулыипликативной функцией иоле5но(1и

3 3 Решение модельных и прикладных задач стпополисшческот равновесия

3 3 1 Решение модельных задач олиюиолистическо!о равновесия.

3 3 2 Решение прикладных задач олиюиолистическо!о равновесия . 90 3 4 Решение тестовых ?адач

Основные результаты

Вариационные неравенства являются одним из наиболее удобных иныруменюв д 1я формулирования и исследования различных задач равновесия В частности, они ноли) 1ЯЮ1 получить результаты сущес 1вования и единственное ih решения и нос гро-игь шерапшше численные меюды для нахождения равновесных ючек Теоретическое ж следование вариационных неравенсш как самосюян'льною класса задач начинается с pa6oi Г. Фикеры [98] и Г. Сымпаккьи [145] в свяш с приложениями в магема1ичес кой физике, и в дальнейшем это направление развивалось многими и шестыми учеными, ыкими как К Байокки и А Канело [14], ФЕ Враудер [89], X Бре зис [88], Г. Дюво и Ж -Л. Лионе [29].

С ра звитием теории вариационных неравенс ib были выявлены их глубокие свя ш с задачами дополнительности, седловой точки и игровою равновесия, что открыло принципиально новые обласш приложении в экономике, в системах транспорта и с вя Л!, в с оциальных науках Значиммьный вклад в эту облас и, внесли К Дж Эрро\, Ж Дсбре |85], [86], Э Мулен [51], X Никаидо [55], [130], Г Розен [142], С Карамар-дян [109], И.Ш Панг [96], [133], ЭР. Смольяков [72[, С Дафермос [93], П Харкер [101 [ - [100], А Нагурней [129] и дру1ие При эюм расширение области приложений выявило необходимость рассмотрения задач с мноннначными отображениями, либо с недифференцируемыми функциями

Задача решения вариационной) неравенства заключаем я в том, чюбы найти племен! х* G К такой, что где К - непустое выпуклое множество в вещественном евклидовом ирос мнетве Rn, Q К П(/?") некоторое мноюзначное отображение

Если оюбражение Q - однозначное, то задача (1) может быть записана более пропо- найти элемент х* 6 К такой, что

Э<7* е Q{x*), (q\x - х*) >0 V/G К,

1)

Q{x*),x-j*} > 0 Ух eh'.

2)

F( in К ecib выпуклый кон\с, io па задача эквивалента задаче дополниiejib-н(к ги

ГеК, Q{x')e к', (x',Q(.r*)> = 0,

1де К' = {с/ G Rn | >0 Vj; G A'} - есть сопряженный конус для К.

Oiuemu, чю наиболее разработнным является класс задач с монотонными по-пчщиа 1ьными отображениями, с осиветствующий выпуклой недифференцируемой оптимизации, во мпоюм благодаря вкла,1у В.Ф Демьянова [26] - [28], И.И Еремина [30], ИЗ Шора [79], [80], Ж Моро [126], Р.Т Рокафеллара [70], [141], БТ Поляка [61], В Н Пшеничного [68], ]69], А М Рубинова [27], [28], [52], В Л. Левина [45], ЕГ Гоп.штейна [24], [25], Е А Нурминскою [56], [57], К. Лемарешаля [107], [120], Ф Вулфа [147| и др\1их авторов Значительное продвижение в облает решения монотонных вариационных неравенс1в связано с развитием меюда рсчуляризации, пред юженною А Н Тихоновым [75], [76] Большой вклад в по направление внесли работы А Б Бакушипскою [15], Ф П Васильева [18], [19], В В Васина [20], Л Д Попова [65] - [67], М Ю. Кок\рина [16], [33] и дрмих

В диссертационной рабой1 расс мафиваюня смешанные вариационные неравен-с iua, коюрые составляют нромежу ючный класс по ошошению к однозначным и мною личным вариационным неравенствам, поскольку включаюi нелинейное отображение и недифференцируемую функцию Они были введены К Лескарретом [122] и Ф Браудером [89]

Смешанное вариационное неравенство определяемся как следующая задача найти точку Г € К ыкую, что

С,(х*),х - х*) + f{x) - f(x*) >0 Ухе К, (3)

1де С! К -> /?" - некем орое отображение, / К -> Я - выпуклая, но необязательно дифференцируемая функция Мионнначное вариационное неравенство (1) при Q{x) = G(r) + df(x) эквиваленте) (3) Здесь и д.Ш'е Of обозначаем субдифференциал функции / Задача (3) сводится к обычному вариационному неравенству (2), если / = 0 и к задаче выпуклой недифференцируемой оптимизации: rniri -» f{x), если С = 0 Установлено значшельное число приложении смешанных вариационных неравенств в ма1ема1ической физике, нюрии игр, задачах равновесия потоков в системах транспорта и связи; например, [9, 12, 14, 29, 43, 55, 61, 74, 81, 115, 117]. В конце 19 века Л Вальрас предложил модель экономического равновесия как решения ениемы нелинейных уравнений Для cipoioio обоснования существования решения щжны были меюды нелинейною анализа, npoipocc коюрых последовал за докашельспзом юоремы Брауэра На основе эюи теоремы Джон фон Нейман заложил основы теории игр А Вальд, К Дж Эрроу и Ж. Дебре [85], Л В Маккен зи |124], Д Гейл [102], X. Никайдо [130], [Ш] в 50-х юдах прошлого века завершили нос Iроения Л Вальраеа и доказали существование экономического равновесия К нас юящем\ времени экономика является }же достаточно традиционным и обширным по 1см приложений для различных вариационных неравенс из Дош пзительно, вопросы равновесия, баланса спрос а и предложения янляюня одними из центральных в экономике и большинство экономико-математических моделей, nociроенных дчя исследования этих проблем, формулируются в виде вариационных неравенств, см , например, [9, 55, 58, 62, 91, 97, 105, 123] Также мноше задачи использования ко I к'кIивных ресурсов являются областями приложений вариационных неравенс in, см , например, |132]

В общем случае поиск решения задачи (3) ироде ывляег значительные трудности из-за тою, чю оюбражение G не являеюя 1радионтом некоторой функции, функция / hoi мдкая, и множое то К имоеч достаточно общий вид Основное внимание при ранниии юории смешанных вариационных неравенств оделялось задачам с монотонным (строю, сильно) основным оюбражониом Меюды решения смешанных вариационных иеравонпв при mohoiohhocih оюбраження G, использующие различные схемы рас щоииония, продышались в работах П-Л. Лионса и В Морсье [121], Д Габон |101], Р В[>ука [90]. А В Лапина [43], [44], [118], [119], А С Ашипина [1] -[8], II Цеша [137] - [139), [144], И В Коннова [31] - [36], [111], [112), И В Бадриева и О А Задворнова [11], [12] и дру1их авторов Однако для мнем их прикладных задач, в особенности в экономике и теории шр, основное отображение не удовлсчворясч, как правило, условиям поюнциальности и монотонности, а лишь более слабым условиям порядковой монотонности, например, [9, 10, 41, 55, 59, 60, 63, 8G, 115, 117] Более к» о, Д1Я МН01ИХ задач экономическою и ш ровен о равновесия не удаегся гарантировать невырожденность отображения, чю с мви1 значиюльные грудное!и как при получении резулыаюв сущее iнования и единственности решений, ык и при разра-6oiKo численных мечодов Поэтому развитие теории и меюдов общих смешанных вариационных неравенств в условиях порядковой моноюнности и возможной вырожденное ги является актуальным как с юоретической, так и с прикладной ючок зрения.

Один из подходов к решению обычною вариационною неравенства (2) cocicmi в преобразовании его к задаче оптимизации в отношении некоторой искус сi венной инициальной (или, иначе, оценочной) функции. Дж -М Пенг в [134] предложил оценочное) санкцию, которая позволяеч преобразовать вариационное неравенство (2), одержащее непрерывно дифференцируемое и сильно монотонное ошбражение, в задач> миними зации дифференцир}емой функции без ограничений В работе [148], 1де был предложен соотвек 1вующий алюриш решения во шикающей всиомснаюлыюи задачи, такие функции были названы D-интервальными (D-gap functions) Кроме тою, -на функция была применена к задачам дополнительности с Р-отображениями в [108] В рабою [36] И В. Концов предложил класс £)-инюрвальных функций для монотонных «мешанных вариационных поранена и, на основе ко юрою исходная задача (водится к задаче минимизации оценочной функции без ограничений Показано, чю на функция сохранноI дифферонцируемость основною отображения G В [111] эю1 подход был pa(iipo( iранен для задач вида (3) ( о( ионным Р-оюбражением, i е в\(ловиях порядковой монотонности

Как отмечало( ь, во мнсних приложениях рас ( мафиваемои задачи оюбражоние G час ю имесч гип Р0, ie, оно может быть вырожденным Свойство Р0 основного оюбражения не обеспечивает сходимость известных итеративных методов поиска решения, для этой цели требуююя стрснио Р свойава. Для достижения cipoiHX Р с воис IB (к новною отображения можно использовать различные меюды р(чуляри за-ции и получить требуемые свойства для возмущенного вариационного неравенства Клас( ический метод регуляризации Тихонова-Браудэра был недавно исследован для однозначных задач дополнительности с основным отображением типа Ра в работах [95], [%[, [140] В смличие от обычною монотонною случая оказалось, чю иоследо-ваюи.ноаь решении возмущенных задач можем бьпь hooiраничонной (с м , [95| и [96, раздет 12 2]) Нопому вошикасм проб юма доааючных условий oi раиичонно-(1и пой последовательности

В работе для достижения стрсл их Р свойств и сходимости мы применим иной подход на основе парамсмрическою условия коэрцитивноеги, предложенного в [37] '-)ioi нодхо I, но!во1Я(м 1Ю1)чип, (ходименчь д 1я задач конку рентою равновесия различных типов при ос не тонных условиях. В рсчулыаю решение них задач ( многозначными отображениями и негладкими функциями можно наити с помощью комбинирования с быстро сходящимися итеративными методами, например, такими как 1радион1ныйо меюд и метод сопряженных градиентов

Основная цель работы состоит в получении результатов (уществования и едиш iвенное ih решения для смешанных вариационных неравенств в условиях порядковой моноюннос ш и вырожденности основного отображения, разработке и исследовании численных меюдов решении тких задач, и в применении полученных результатов для достаточно широких классов задач теории экономическою равновесия, коюрые могут быть сформулированы в виде рассматриваемых смешанных вариационных неравенс lis

Научная новизна. Все резулыаш работы являются новыми и состоят в получении результаюв существования и единственности решения смешанных вариационных неравенав в условиях порядковой монотонное!и, нелинеиносги и вырожденно-с Iи основною оюбражения, возникающих при исследовании задач экономическою равновесия, а также в построении и исследовании быстро сходящихся меюдов решения таких задач

Достоверность полученных результатов обеспечивается строями дока ш ел ь-С1вами сформулированных упзерждении Достоверность численных расчетов под-1иерждаеня хорошим совпадением результатов вычислений с известными решениями тестовых задач

Научное и практическое значение работы. Работа носит, в основном, ieo-решческий характер. Полученные резулыаш внося! вклад в разви1ие численных методов решения вариационных неравенав Рассмспрены дос ыючно широкие классы приложении основной задачи в математической экономике, предложены методы решения Разработанные алгоритмы применимы для численною решения задач экономичен кою равновесия различных пшов, включающих негладкие функции Предложенные подходы, мечоды и алюршмы Moiyi бьпь использованы при решении и других прикладных задач, во шикающих, в час шос i и, в математической физике и 1еории шр

Структура диссертационной работы. Диссертационная работа состоит из введения, ipex иыв и списка литературы

Основные результаты

Основными результатами диссертационной рабопл являются следующие

1 Теоремы существования и единственности решений для смешанных вариационных неравенств в условиях вырожденности и порядковой монотонное ih основною оюбражения и теоремы о сходимости методов спуска по £>-интервальиой функции для решения таких смешанных вариационных неравенств

2 Теоремы сущес нювания и единс юенности решения для разложимых смешанных вариационных неравенств в условиях вырожденности и обобщенной порядковой монотонности.

3 Теоремы существования и единственности для смешанных моделей экономическою равновесия типа Вальраса, содержащих многозначные отображения

4 Теоремы существования и единственное ти для модели равновесия в условиях несовершенной конкуренции (олигополии) с негладкими функциями шрат

5 Теоремы о сходимос ги метода регуляризации для модели экономическою равновесия типа Вальраса в виде (смешанного) вариационного неравенства с вырожденным и норядково моноюнным отображением и для модели несовершенной конкуренции (олигополии) с негладкими функциями затрат

1. и маi методы 1977 Т 13, Л'° 3 С 500 505

2. Ашипин А С Методы решения (штем тдач выпуклого программирования / А С Ашипин // Ж. вычисл Mai и маг физ 1987 Т 27, .V 3. С 308-376

3. Ашипин А С Непрерывные и итеративные процессы с операторами проектирования и типа проектирования / АС. Ашипин // М/ Вонр киберне1ики 1989 Вып 154. С 5-43

4. Ашипин А С Обратная задача оптимизации постановка задачи и подходы к ее решению /АС Антипин j j Обратные задачи математического программировании М ВЦ РАН 1992 С 6-56

5. Антипин А.С. Градиентные и проксимальные управляемые процессы / А С Ан-гипин // М • Вопр кибернетики 1992 Вып 178. С. 32-67

6. Ашипин \ С О сходимости и оценках скорости сходимости проксимальны г методов к неподвижным точкам экстремальны г отображении / А С Ашипин // Ж вычисл маг и мат физ 1995. Т 35, .V» 5 С. 688 704.

7. Ашипин А С Итеративные методы прогнозного типа для вычисления неподвижных точек экстремальных отобраэ/сений / А.С Ангипин//Изв вузов Математика 1995 JY0 И С 17-27

8. Ашииин А С Вычисление неподвижных точек экстремальных отображений при помощи методов градиентного типа / А.С. Ашипин //Ж вычисл мат и мат физ 1997. Т. 37, .V» 1. С. 42 53

9. Ашманов С.А. Введение в математическую жономику / С А. Ашманов М На\ ка, 1984 296 с.

10. Беленькии 13 3 Итеративные методы в теории игр и программировании / В 3 Беленькии, В Л Вотконский, С.А Иванков и др М . Наука, 1974 240 с

11. Бадриев И Б Итерационные методы решения вариационных неравенств второго рода с обратно сильно монотонными операторами /И Б Бадриев, О А За-дворнов Известия ВУЗов Маюмагика, 2003 Л" 0 С. 20-28

12. Бадриев И Б Итерационные методы решения вариационных неравенств в гильбертовых пространствах / И.Б Бадриев, О А. Задворнов Казань- Изд-во Казане к ун-та, 2003 132 с

13. Бадриев И Б. Методы двойственности в прикладныг задачах / И Б Бадриев, М М. Карчевский. Казань- Изд-во Казанск. ун-ia, 1987. 147 с

14. Баиокки К Вариационные и квазиварисщионные неравенства Приложения к задачам со свободной границей пер с ашл / К Байокки, А. Каиело М : Наука, 1988 118 с

15. Бамшинский А Б Итеративные методы решения некорректных задач / А Б Бакушиискии, А В Гончарский М Наука, 1989 128 с

16. Бак\шинский А.Б. Итерационные методы решения некорректных оператор-пьи уравнений с гладкими операторами / А Б Бакушинс кий, М К). Кокурин Изд-во. Едиюриал УРСС 2002 г 192 с

17. Бсрщашкии ЯМ Теория и методы решения задач дополнительности / Я М Берщанский, М В. Мееров // Автомат и телемех 1983 JV0 6 С. 5 31.

18. ВасишевФП Методы решения экстремальных задач / ФП Васильев М Наука, 1981. 100 с

19. Васильев Ф П Численные методы решения экстремальных задач / Ф П. Васильев М : Наука, 1988 552 с

20. Васин В В Некорректные задачи с априорной информацией / В В Васин, АЛ Ап>ев Екатеринбур1 Наука, 1993 203 с

21. Волоцкая (Мазуркевич) Е О Решение смешанных вариационных неравенств па основе безусловной минимизации / Е.О Волоцкая (Мазуркевич) // Труды респ. нау чно-иракт. конф . Инюллекгуальные системы и информационные технологи Казань- Отечество, 2001. С. 194

22. Воробьев Н Н Основы теории игр Вес коалиционные игры / Н Н. Воробьев М Наука, 1984 496 с

23. Ги.1ьд(»нбранд В Ядро и равновесие в большой жономике / В Гильденбранд М Наука 1986 200 с

24. Гозышейн ЕГ (род) Методы оптимизации в экономике-математики с ком моделировании / 12 Г Голыитейн М Наука 1991. 148 с.

25. Голыйюйн ЕГ Модисфицированные функции Лаграиэка / ЕГ Голыитейн, II В Тропиков М Наука, 1989 400 с

26. Демьянов ВФ Недиеффере нцируе мая еттимимишция / ВФ Демьянов, Л В Васильев М. Наука, 1981 384 с

27. Демьянов В Ф. Приближенные методы решения экстремалг>ных задач j ВФ Демьянов, Л М Рубинов JI Ленингр. ун-i. 1968 180 с

28. Демьянов В Ф. Основы негладкого анализа и ква шдифферс нциальпое исчисление / В Ф. Демьянов, А М Рубинов М Наука 1990 432 с

29. Дюво Г Неравенства в механике и е/шшке пер с франц / Г Дюво, Ж -Л Лионе М Наука, 1980 384с.

30. Еремин НИ Нестационарные проце с с ы матемагпиче ского программирования /ПИ Еремин, В Д. Мазуров М Наука 1979 288 с

31. Карлин С Математические методы в те ории игр, программировании и экономике / С Карлин М Мир, 1964 838 с

32. Киндерлерер Д Введение в вариационные неравенства и их приложения пор с англ. / Д. Киндерлерер, Г Стамгиккья М. Мир, 1983 256 с

33. Кокурин М 10 Об асимптотическом поведении периодических решений параболических уравнений со слабо нелинейным возмущением / М Ю Кокурин // Маюматические замени 1995 Т 57 Вы» 3 С 369 376

34. Коннов ИВ Методы не дифефе ре пцируемой оптимизации / И.В. Конной Казань И зд-во KdidHCKoro университета, 1993 100 с

35. Коннов ИВ Методы решения коне чноме рпых вариационных неравенств / ИВ Коннов Казань Пзд-во "ДАС", 1998 101 с

36. Koiiiioi! II В Об одном клаке D-интервальных (функций для смешанных вариационны! неравенств / ИВ Конной / / Изв ВУЗов Математика 1999 Т 13, .V 12 С 00 61

37. Коннов И В Применение D-интервальных функций к задачам экономического равновесия / ИВ Коннов, ЕО Мазуркевич // Тезисы докладов XIII международной конференции Проблемы теоретической кибернетики. Москва И зд-во Ml У 2002 С 94

38. Коннов И В Об одной модели равновесия в условиях олигополии /ИВ Коннов, Е О. Мазуркевич // Математическое программирование и приложения. Екатеринбург 21-28 февраля 2003 г Те з докл Информ бюллетень АМП Екатеринбург 2003 Вып 10 С 153

39. Коннов II В Модель равновесия в условиях олигополии с несколькими те аналогиями /ИВ Коннов, Е О. Мазуркевич // Исследования по информатике ИПИ All РТ. Казань Отечество. 2003 Вып. 5 С 57-70.

40. Коннов ИВ Модель равновесия с функцией спроса типа Кобба-Дугласл / II В Коннов, Е О Мазуркевич // Исследования но информатике ИПИ АН РТ Казань Отечество 2003 Вып 6 С 57 70

41. Коннов И В Метод регуляризации для смешанных вариационных неравенств / ИВ. Коннов, Е О Мазуркевич // Исследования по информатике ИПИ АН РТ Казань- Отечество 2005 Вы» 9 С 55 71.

42. Лапин А В Введение в теорию вариационны с неравенств / А В Лапин Казань Пзд-во Казанск ун-та, 1981 125 с

43. Лапин А В Сеточные аппроксимации вариационных неравенств / АВ Лапин Казань И зд-во Казанск yn-ia, 1984. 96 с

44. Левин В Л. Выпуклый сталиi в пространствах и/меримых функций и его применение в математике и экономике / В Л. Левин М : Наука 1985 352 с.

45. Левин М И Математические модели экономического взаимодействия / М II Левин, В Л. Макаров, А М Рубинов М Физматлиг, 1993. 376 с

46. Лоюв А.В Введение в экономико-математическое моделирование /АВ Лотом М Наука, 1984 392 с

47. Мазуркевич Е О. Применение D-интервальных функций к одной задаче равновесия / ЕО Мазуркевич // Материалы Четвертого Всероссиискою семинара "Сеточные методы для краевых задач и приложения". Казань Изд-во Казан-< кою мат ем. общ-ва 2002 С. 77-79.

48. Мазуркевич К О Методрегуляри тции для модели равновесия с (функцией спроса типа Кобба-Дугласа / Е.О. Мазуркевич // Исследования по информатике ИНН АН РТ Казань. Отечество 2004. Выи. 8. С 97-108

49. Мазуркевич ЕО Метод регуляризации для (мешанных вариационных неравенств / ЕО Мазуркевич // Материалы Шее юго Всероссийского семинара "Сеточные методы для краевых задач и приложения". Казань- КГУ. 2005 С. 167

50. Мазуркевич ЕО Метод регуляризации для задач олигополистиче t кого равновесия , ЕО Мазуркевич // II зв вузов Математика 2006. .V 12 С 69 74

51. Макаров В Л Математическая теория жономической динамики и равновесия /ВЛ Макаров, А.М Рубинов М Наука, 1973 336 с

52. Моисеев II II (ред) Современное состояние теории исследования операций / НИ Моисеев М.: Наука, 1979 464 с.

53. Мулен Э Теория игр с примерами из математической экономики / Э. Мулен М . Мир, 1985 200 с.

54. Никайдо X Выпуклые структуры и математическая жономика пер с англ. ; X Никаидо М • Мир, 1972 520 с

55. Нурмитккии Е А Численные методы решения стохастичесшх и детерминированных минимаксных задач / Е А Нурминский. Киев. Паукова думка, 1979 161 с

56. Нурмишкии Е А Числешше методы выпуклой оптимизации / Е А. Нурмин-(кии М : Наука, 1991. 167 с.

57. Обен Ж-П. Нелинейный анализ и его экономические приложения пер с франц / Ж.-П. Обен М ■ Мир, 1988 264 с

58. Опойцев В И Нелинейная с ис те мостатика / В И. Опоицов М'Наука, 198G 248 (

59. Оргета Дж Итерационные методы решения систем нелинейных уравнений со многими неизезестными пер. с англ. / Дж Opioia, В Рейнболдт. М. Мир, 1975 560 с.

60. Ilanaiиотопулос П. Неравенства в механике и их приложения 1 П Панатио-топулоо М Мир 1989 191с

61. Полгеровим В.М. Экономическое равновесие и хошйетвенный механизм / ВМ Полюронич М Наука 1990 256 с

62. По норовим ВМ Отображения, обладающие ееюйегпеюм валовой заменимости, в теории штомического равновесия / В М Псшерович, В А Снивак // Современные проблемы математики. М. ВИНИТИ, 1982 Т19 С 111-154

63. Поляк Б. Т. Введение в оптимизацию / Б. Т. Поляк М • Наука, 1983 384 с

64. Попов Л Д Модис/ткация метода Эрроу-Гурвица поиска седловых тпоче к / Л Д Попов // Матем заметки. 1980 Т 28, .V» 5 С 777-784

65. Попов Л Д О применении метода прсн кции для нахождения аппромаксиаци-ониых корней монотонных отобрази с иий / Л Д Попов // Изв ВУЗов Математика 1995 .V 12 С 74-80

66. Попов ЛД О с J с мах формирования ведущей последовательное ти в регуля-ри местном жстраградиентном методе решения вариационны г неравенств / Л Д Попов // Изв ВУЗов Математика. 2004. Лр° 1 С 70-79

67. Пшеничный Б. II. Численные методы в экстремалг>ных задачах / Б. Н Пшеничный, Ю М Данилин М • Наука 1975. 320 о.

68. Пшеничный Б. II. Выпуклый анализ и экстремальные задачи / Б Н Пшеничный М • Наука 1980 320 с.

69. Рокафоллар РТ Выпуклый анализ / РТ Рокафеллар М . Мир 1973 470 с

70. Сира ичдинон Т К Динамиче ское моделирование жономических объе ктов / Т К Сиранчдинов Казань Фэн, 1990 223 о

71. Смо п.яков Э Р Равновесные модели при не с оетас)ающих интересах учас тпиков /ЭР Смольяков. М • Наука, 1986 244 с

72. Су харей А Г Курс методов оптими шции / А Г Сухарев, А 13 Тимохов, В В Федоров М . Наука, 1986 382 с7.1 Тимохов А В Математические модели экономического воспроизводства / А В Тимохов М.- Изд-во МГУ, 1982 127 с

73. Тихонов А Н О регуляри ищии не корректно посгпавленньи задач /АН Тихонов // ДАН СССР 1963 Т. 153, N 1. С 49 52.

74. Тихонов АН. Методы решения некорректных задач / АН Тихонов, В.Я Арсении. М. Наука, 1979 288 с

75. Урясьев С П Адаптивные алгоритмы стпохастиче ской оптими шции и теории игр /СП Урясьев М Наука, 1990 181 с

76. Фазылов В Р Отыскание минимакса с шданной точностью / В Р Фазылов // Ж вычисл матем и матем фи j. 1994 Т 34 N 5. С. 793-799

77. Шор Н 3 Новые направле иия в развитии методов негладкой оптимиищии i Н 3 Шор,, Кибернетика 1977 .V» 6 С 87-91

78. Шор Н 3 Методы миними ищии недиф)ференцируемьи (функций и их приложения / Н. 3. Шор Киев- Наукова думка, 1979 200 с

79. Экланд И Выпуклый анализ и вариационные проблемы пер с аны. / И Эк-ланд, Р Гемам М Мир, 1979 400 с

80. A Cournot oligopolists approach to electricity market / E Allevi, MI Bertoccln, A Gnudi, M. Iimorta, M T. Vebpncci // Qiiaderni DMSIA, Italy University of Bergamo 2005 No 10 13 pp

81. Paititionable mixed veuiational inequalities / E Allevi, A Gnudi, I V. Konnov, E О Ma/nrke\ к h // Qiiaderni DMSIA, Italy University of Bergamo 2003 No 7 13 pp

82. Arrow К J The existence of an equilibrium for competitive economy / К J. Arrow, G. Debreu // Econornetrica 1954 V. 22, No 3 P. 265-290

83. Arrow К J General competitive analysis / KJ Arrow, F.H Hahn//Mathematical Economics Texts. California Holden-Day 1971 452 pp.

84. Ainhinuty G Variational principles for variational inequalities / G Auchmnty 11 Numer Funct. Anal and Optim 1989. V 10, No 9-10 P. 863-871

85. Вгель H Analyse fone tione lie et applications / H Brezis. Paris Masson, 1983. Tne

86. Browder F E On the unification of the calculus of variations and the theory of monotone nonlinear operators in Banach spaces / E E Browder Proc Nat Acad Sci USA 1966 V 56 P. 419-425

87. Brnek R On weak convergence of em ergodic itereitiem for the solution of variational inequalities fen monotone operators in Hilbert space / R Bruck // Л. Math Anal and Appl 1977 V 61, No 1 P 159-164

88. CobbGW A theory of production / G W. Cobb, P. H Douglas//Airier Econ Rev. 1928 March Suppl P 139-165

89. Cottle R \V. The linear complementarity problem / R \V Cottle, J-S Pang, R E Stone Academic Press, 1992

90. Dafermos S Trajjie equilibria and variational inequalities j S Dafermos // Transportation Science 1980. V 11 No 1. P. 42-54.

91. Ea\es ВС Finite solution e>f pure trade markets with Cobb-Douqlas utilities / В С Eaves //Mathem Programming Study. 1985 V 23 P 226-239

92. Eacchinei F. Beyond morwtonicity m reejulemzation methods fe>r nemlinear complementarity problems / F. Facchinei, C. Kanzow. // SIAM J. Control and Optuniz 1999 V 37, No 4. P. 1150-1161

93. Facchinei F Finite-dirmnsioneil variational inequalities and complementarity problems / F Facchinei, .1 -S Pang Berlin Springer Verlag, 2003 (two volumes)

94. Terns M С Engineerinq and economic applications of complementarity problems j MC Ferris, J-S Pang//SIAM Review 1997 V 39 P. 669 713

95. Fichera G. Pi obit mi e lastostatici con vinsoh umlaterah. il probltma eh Siejnorino con ambiyue tondiziom al contorno / G Fichera. // Atti Acc Naz Lmcei Merri Ser. 1964 V 8, No. 7. P. 91-140.

96. Fiedler M. On matrices with nonpositive off-diagonal elements and pruuipal minors ; \I Fiedler and V Ptak // Czechoslovak Math Journal 1962. V. 12 P 382 400

97. Fukuslimia M Equivalent differenhabk optimization problems and dt scent methods for asymmetm variational inequality problems / M Fukushima // Math Programming 1992 V 53, No 1 P. 99 110.

98. Gabay D. Application of the method of multipliers to variational inequalities / D Gabay /' Augmented Lagrangian Methods Appl Nurner Solution of Boundary Value Problems Amsterdam North-Holland 1983 P 299-331.

99. Gale D The law of supply and demand / D Gale, // Math Seand 1955. V. 3 P 155-169

100. Gnppo I, A ejlobally convejejent version of the Polah-Rilne re conjuejatc cjradient method / I Gnppo, S Liuidi//Math Progr 1997. V 78, No 3 P. 375-391

101. Harker PT. A vcmational inequality approach for the determination of oligopolistic market equilibrium / PT Harker // Math. Progr 1984 V 30, No 1 P 105 111

102. Harker PT Finite-dimensional variational inequality and nonlinear complementarity problems a survey of theory, algorithms and applications / PT Harker, J-S Pang // Math Progr 1990 V 48. P. 161-220

103. Barker PT Newton's method for the nonlinear complementarity problem• a B-differentiablt equation approach / PT. Harker, В Xiao // Math Progr 1990 V. 48 P 339 .357

104. Hiriart-Urruty J -B Convex analysis and minimization algorithms / J -B. Iliriart-Urruty, С Leinarechal. V. 1 2 Berlin Springer 1993

105. Kanzow С Theoretical and numerical investigation of the D-ejap function for box constrained variational inequalities / С Kanzow, M Fukushima // Math. Progr 1998 V. 83, No 1 P. 55-87

106. Kararnardian S An existence theorem for the complementarity problem / S Kararnardian // J Opt. Theory Appl. 1976. V 19 P. 227-232.

107. Kolstad CD Necessary and sufficient conditions for uniqueness of a Cournot equilibrium / С D. Kolstad, L Mathiesen // Rev. Econ Studies 1987 V 54 P 681-690

108. Koiinov I V Properties of gap functions for mixed variational inequalities / I V Konnov // Siberian Л Numerical Math 2000 V. 3, No 3. P. 259-270

109. Konnov I V Combined relaxation methods for variational inequalities ' I Y. Konnov Berlin Springer Yerlag, 2001 182 pp

110. Konnov I V Mixed variational inequalities and economic equilibrium problems / IV Konnov, EO. Volotskaya (Mazurkevu h) // J of Appl Math 2002 V 2, No 6 P 289-314

111. Konnov IV On a regularization method for variational inecpialities with P0 mappings / I.V Konnov, EO Ma/nrkevich, M. All // J Appl Math. Comput Sci 2005 V 15, No 1 P 101-110

112. Lapin A. Iterative solution for two classes of me с h variational inequalities Preprint / A Lapin. Onlu, Finland: University of Oulu, 1999

113. Lapin A Geometric convergence of iterative methods for a problem with M-rnatricc s and diagonal multivalued operators / A Lapin//Comp Methods Appl Math 2002 V. 2, No 1 P. 26-40.

114. Lemarechal C. An algorithm for minimizing convex functions / / G Lemarechal / Inform Process 74 Amsterdam. 1974. P. 552-556.

115. Lions P.L Splitting algorithm for the sum of two nonlinear operators / PL Lions, В Mercier // SIAM J. Numer. Analys 1979. V. 16, No 6 P. 964-979

116. Lest arret С Cas d'addition des applications monotones rnaximales dan un espace d( Hilbert j С Lesearret//С R Acad Sci , Paris 19G5 V 261 P 1160-1163.

117. Marine AS On the formulation and solution of economic equilibrium models j A S Manne // Math Progr Stud 1985 V 23 P. 1-22

118. McKenzie L W. On equilibrium in Graham's model of world traele and other competitive systems / L W McKenzie // Econometrica 1954. V 22, No 2 P 146 161.

119. More ,1 On P- and S-funeturns and related elasses of n-ilunensicmal nonlinear mappings / I More, W Rheinboldt // Linear Algebra and AppI 1973 V 6, No 1 P 45-68

120. Moreau J J Proximite et dualite dans un espace Hilbe rtien / J - J Morean / / Bull Soc Math France 1965 V 93, No 2 P 273-299

121. Mukai H Readily implementable conjugate qraehent methods / 11. Mukai I j Math Progr 1979 V 17 P 298 319

122. Murphy ГН A mathematical pr oqr arnminq approach for determining oligopolistic market equilibrium / F H Murphy, H D Sherali, Л L Soyster // Math Progr 1982 V 21 P 92-106

123. Wigurney A Network economics a variational inequality approach / A Nagurney Kluwer Academic Publ, Dordrecht, 1999. 436 pp

124. Nikaido H On the classical multilateral exchange problem j H Nikaido Metroecon 1956 V 8, No. 2 P 135-145

125. Nikaido H A supplementary note to Nikaido (1956) / H. Nikaido // Metroecon. 1957 V 9, No 2

126. Okugiuhi К The theory of oligopoly with multi-product firms / K. Okugudn, F Szidarovsky Berlin. Springer Verlag, 1990. 268 pp

127. Pang J.-S. Asymmetric variational inequality problems over product sets applications and iterative methods / J S Pang//Math Programming 1985. V. 31, No 2 P 206-219

128. Peng J-M Equivalence of variational inequality problems to unconstrained minimization / J.-M. Peng // Math.Progr 1997 V 78, No 3 P. 347-355

129. Patriksson M Merit functions and descent algorithms for a class of variational inequality problems / M Patriksson // Optimization 1997 V 41, No. 1 P. 37 55

130. Patriksson M Nonlinear programming and variational inequality problems a unified appioaeh / M Patriksson // Applied Optimization V 23 Kluwer Ac adeiine Publ , Dordrecht, 1999 334 pp

131. Ъеrig P. Further applications of a splitting algorithm to decomposition in variational ineepiahtie s and e emvt x programming / P. Tseng // Math Programming 1990 V 48, No 2 P 249-263

132. Tseng P Applications of a splitting algorithm to decomposition in convex programming and variational ineepiahties / P. Tseng // SIAM J. on Control and Optimiz 1991 V 29, No 1-P 119-138

133. Tseng P On linear convergence of iterative methods for the variational ineepiality problem /Р Tseng //J of Coinput. and Applied Mathematics 1995 V 60, No 1-2 P 237 252

134. Qi H.D. Tikhonov regularization for variational inequality problems / H D Qi // J Optimiz Theory and Appl 1999. V. 102 P. 193-201.

135. Rockafellar RT The theory of subgradients eind its applications to problems of optimization / R T. Rockafellar Berlin Helderinann-Verlag, 1981. 107 pp.

136. Rosen J В Existence and unupieness of equilibrium points for concave n-peison games / J В Rosen//Ее onoinotric a 1965 V 33, No 3 P 520-534

137. Saigal R Extensions of the generalized complementarity problem j R Saigal I1 Mathem of Oper Reseach. 1976 V. 1. P 260-266

138. Solodov M V. Modified projeeturn-type methods for monotone variational inequalities / M.V. Solodov, P. Tseng // SIAM J Control and Optimiz. 1996. V. 34 P. 1814-1830

139. Stampauhia G Formes bilineaires coercitives sur le ensembles cemvexes / G Stdinpa< chia // Compt. Rend. Acad. Sci. Pans. 1964 V. 258, No 18 P. 44134416

140. Yolotskaja (Mazurkevich) EO On a class of economic equilibrium problems i E (). Volotskaya (Mazurkevich) // Труды матем центра им. НИ. Лобачевско-ю Казан магем. об-во Казань Изд-во "ДАС", 2001. Т. 13 С 241-257

141. Wolfe Ph A method of conjugate subqradicnts for minimizing non-differentiabk functions / Ph Wolfe//Math. Progr. Study 1975 V 3 P 145-173

142. Yamashita N Unconstrained optimization formulations of variational inequality problems , N. Yamashita, К Taji, M Fukushima // .J of Optnniz Theory and Appl. 1997. V. 92, No 3 P. 439-45(3