Соотношения для специальных функций математической физики, связанные с унимодулярными псевдоортогональными группами

Шилин, Илья Анатольевич

Соотношения для специальных функций математической физики, связанные с унимодулярными псевдоортогональными группами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

Шилин, Илья Анатольевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2004 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.03 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Соотношения для специальных функций математической физики, связанные с унимодулярными псевдоортогональными группами»

Автореферат диссертации на тему "Соотношения для специальных функций математической физики, связанные с унимодулярными псевдоортогональными группами"

На правах рукописи

Шилин Илья Анатольевич

Соотношения для специальных функций математической физики, связанные с унимодулярными псевдоортогональными группами

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

специальность 01.01.03 — математическая физика

Москва, 2004

Работа выполнена на кафедре высшей математики Московского государственного открытого педагогического университета имени М. А. Шолохова

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук, доктор педагогических наук профессор А. И. Нижников

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук

профессор А. Ф. Никифоров, доктор физико-математических наук профессор С. А. Агафонов

Ведущая организация:

Московский физико-технический институт (государственный университет)

Защита диссертации состоится о ктз. сС+1& 2004 года в 15~ часов на заседании Диссертационного Совета К.212.155.05 в Московском государственном областном университете по адресу: 107846,Москва, ул. Радио, 10а, ауд. .

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского государственного областного университета по адресу: 107846, Москва, ул. Радио, 10а.

Автореферат разослан

2004 года.

Ученый секретарь Диссертационного Совета кандидат физико-математических наук

доцент А. В. Нелаев

2lOlb 3J

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Теория специальных функций возникла в конце 18-го века, когда при решении дифференциальных уравнений математической физики и вычислении интегралов появилось большое число неэлементарных функций. В настоящее время насчитывается огромное количество как самих таких функций, так и их классов. Столь же обширна и область приложения специальных функций — Ричард Леки предложил даже в связи с этим называть специальные функции «функциями, используемыми всюду»1 (ему также принадлежит «простое, но не инвариантное относительно времени определение: функция называется специальной, если встречается настолько часто, что ей присваивается название»2).

Наряду с другими подходами к проблеме унификации знаний о специальных функциях (общей теорией ортогональных многочленов, аналитической теорией линейных дифференциальных уравнений, к которым относится уравнение Гаусса, теорией интегральных преобразований, таких, как Лапласа, Меллина, Фурье) важную роль играет теоретико-групповой подход, основу которого составляет теория представлений групп Ли.

Связь между специальными функциями и представлениями групп, обнаружившаяся в теории инвариантов и картановской теории симметрических римановых пространств, оказалась наиболее заметна в квантовой механике, поскольку для решения возникающих там дифференциальных уравнений методом разделения переменных понадобилось использовать симметрию, то есть группы преобразований, оставляющие инвариантными некоторые важные характеристики уравнений. Поскольку в некоторых частных случаях решения таких уравнений удавалось выразить через специальные функции, возникла потребность в изучении связи специальных функций и указанных групп преобразований. Таким образом, представления групп оказались связаны в первую очередь со специальными функциями математической физики. Соответственно изменилось и понимание последних: в теоретико-групповой трактовке их первостепенная роль заключается в демонстрации отношений симметрии.

Под влиянием работ И. М. Гельфанда и М. А. Наймарка по исследованию неприводимых представлений некомпактных групп Ли в 1965

1 Askey R. Orthogonal polynomials and special functions - Philadelphia, SI AM, 1975

2 Предисловие к книге Миллер Мир, 1981

-К—Симметрия и разделение переменных

РО', ■ . <> мя М!^ '1ЧА С ! iijypr

гоо£рк

м,

году вышла монография Н. Я Виленкина1, впервые оформившая «побочный эффект метода разделения переменных» в самостоятельное научное направление. В 1968 году, когда эта книга была переиздана в США, появились две родственные ей монографии У. Миллера2 и Дж. Толмена3. С этого момента число работ, посвященных теоретико-групповым методам в теории специальных функций, нарастает лавинообразно. Важные результаты, относящиеся в первую очередь к самой теории представлений, получили в своих работах И. М. Гельфанд, М. А. Наймарк, Н. Я. Виленкин, 3. Я. Шапиро, М. И. Граев, Ф. А. Бе-резин, С. Г. Гиндикин, Д. П. Желобенко, Р. С. Исмагилов, В.-Б. К. Рогов, В. Ф. Молчанов, А. У. Климык и др. В работах Н. Я Виленкина, М. И. Граева, М. А. Шлейниковой, Е. Е. Петрова, А. И. Нижникова, Л. М. Клесовой, А. П. Павлюка, Г. М. Гузаирова, А А. Руднева, О. А. Дорошкевич теоретико-групповые методы являются лишь средством, с помощью которого получены различные соотношения, интегральные представления, рекуррентные и предельные формулы и т. д. для различных специальных функций.

К сегодняшнему дню взгляд на специальные функции математической физики как на матричные элементы представлений групп Ли является общепризнанным. И хотя в последнее время много внимания уделяется ^-аналогам специальных функций, все так же актуальным остается исследование классических специальных функций теоретико-групповыми методами. Так, решение многих задач в различных областях науки и техники часто приводит к вычислению интегралов (в том числе и многомерных) и рядов (в том числе по нескольким параметрам), содержащих специальные функции. Несмотря на обширность справочной литературы по этому вопросу, всегда остаются ряды и интегралы, не попавшие в нее. Полученные в диссертационной работе результаты пополняют наши представления о специальных функциях.

Целью работы является получение новых соотношений для специальных функций математической физики. Ставятся задачи:

а) получить формулы, возникающие при рассмотрении матричных элементов линейных преобразований одних базисов пространства представления унимодулярной псевдоортогональной группы в другие;

б) получить формулы, возникающие при изучении матричных элементов представлений указанной группы или их подпредставлений.

1 Виленкин Н. Я. Специальные функции и теория представлений групп - М, Наука, 1965.

1 Miller W. Lie theory and special functions -NY —London, Academic Press, 1968

5 Talman J. D Special functions a group theoretical approach -NY, Benjamin,

1968

Методологическую основу исследования составляют теоретико-групповые методы, методы математического анализа и линейной алгебры и теория групп и алгебр Ли.

Получены следующие новые результаты:

а) вычислены матричные элементы линейных преобразований пространства представления, переводящих один базис в другой;

Р) вычислены матричные элементы операторов представлений и подпредставлений;

у) вычислены некоторые конечные суммы, слагаемые которых содержат специальные функции;

5) вычислены суммы некоторых сходящихся числовых рядов, члены которых являются значениями специальных функций;

е) вычислены значения некоторых определенных интегралов от специальных функций;

£) найдены новые представления функции Макдональда в виде интеграла и ряда и функции Уиттекера второго рода в виде ряда;

т]) определены новые специальные функции и установлены некоторые их свойства.

Например, элементы одной из матриц перехода между базисами при к е N и Яе ст > имеют вид:

сЦ2= £ £ W, [(I+^JB

и=0/=0 W

„ («-/ + 1 , , , л-/ + 3 , Л X 2^1--a,k-l +1;-+ к,-1

„(-П-1 +1 , , , -п-1+3 , Л"1

х ----а,к-1 + 1;---+a + *;-llJ;

матричные элементы операторов одного из подпредставлений группы Лоренца при Re a > -1 выражаются формулой

■d^NxH ,-a-l,l v1 IF+1/2 i i ia+1/2

SO(2,1) % = eXP<гЦй) £ 11*| 14 X

k € 1*

x Г-1 (-к sign К - ст) Г-1 (-к sign ц + а +1) х

xW !(2| b\)W i (21 цI(exp(-/)));

—k sign Л,, o+— —k sign (1.CT+—

при-l <Recï< -

J J ЛУЖ x(-y)dy =

0 2

CT+-

:(-l) 2 я22ст~3 expl -

a + 1

■ni

r|ff + -|x

X [2/^ вС-а.о + ^вС^Д^В-1 (-er,-a) x

X 2^1

22' 1

-Г(<т + 1)Гч(°+|

2F,|ct+1,^;ct + |;

при Rea>-UieN

J (1 + ishs) 2 (1-ish .v) 2 exp(íps)ífe

x 2^1

2 2

при -2<Rea<0H/>0

™ JL гл^л^т п -, -, -т-1 ^ . а4

z Е2(5+" "2(Л(2)2 В s-Ot = -s

+ 1,12 2.

2 ' 2 2 ' 2 = я"1 а"1 (а +1)[sin (а +1)]"1 В -2Fj(1, а + 2; 2; 1); при -1 < Re ст < 5, m > 0 и 2л > m

А (l + í-l)2»-»-"^-') X

2п-т п J (2n-m\(rí\(

кЬ

I ZI

и=0 у = 0/ = 0

X Z S (ct + « + 1)v (ст +v + л + З)-' X

v = 0 w = 0

X 5^4

CT + n + V + 1 СХ + Л + V , 1 + U +1 + V СТ + Я + У + 3

1,-,-+ 1,-,-

2 2 2 2

o-l+v 1 o-l+v /'-OT + 1 + V CT + w + v + 5

¿ >n +----r--

2 ' 2 при к 6 N, X e R и Re ст > -1

wk sign Л, 0+1/2 (2| A. j) = I Я. |ff+1/2 Г (к sign X - а) х

л=0/=0 W

(1 + 7ЗИ_/)В

l + n + l

,k-l + l X

X 2^1

И-/ + 1

и-/ + 3

+ (1 + /2"+3л+/)вГ/^1 + стД-/ + 1|х

„Г-Я-/ + 1 . . , -Л-/ + 3 X 2П---а,к-/ +1;----+ а + к

при Яе ст < О

^ 111 ^ ~ ^ - г А, ят а

а+-

сЬг + вЬг сова

= (сЬ г + яЬ г сое а)2 ехр

^сЬг + вЬt сова

* Г? I2 £ ехр (-¡ка 81^1 X)Р*(сЬ 1)1Г , (21 А. |);

V2/ кеХ ~к-а+г

при -2 < Яе а < 0, .у е N и {0}, ^ е г, Ы < я и I V | < и

_а+1

ЛГ_а_1(2~1(*2+*2)1/2) = 2ст~3(*2+/2) 2 (еХрРГст(ехр2р + 1) х

х (ехр 2р -1 Г (-а) Г (о + 2) Г"1

+СО+00 - —-1

X | / («2-У2) 2 ^ ^(и-у)Ж^ ^(И + У) X

-00 -00 2 ' 2 2 ' 2

X 2^10. - а; 2; 1 + УМ-1 (ехр 2р-1) (ехр 2Р+1)) с1и б».

Теоретическая значимость работы состоит в том, что полученные новые соотношения раскрывают свойства специальных функций. Найденные формулы могут быть применены в вычислительных задачах как математики (например, в задачах математической физики, гармонического анализа на группах), так и других областей науки, что объясняет практическую значимость работы.

Структура работы. Работа состоит из введения и трех глав, разбитых на пункты Нумерация лемм и теорем — сквозная. Завершают работу библиографический список, в котором указаны 99 работ, и список печатных работ автора по теме диссертации Общий объем работы — 132 страницы.

Апробация. О некоторых результатах, содержащихся в диссертации, было рассказано на.

- заседаниях кафедры высшей математики МГОПУ им. М. А Шолохова (2000 - 2003 гг );

- заседании кафедры математического анализа МГОУ (декабрь 2003 г),

- Первой Всероссийской научно-технической конференции (Нижний Новгород, январь 2002 г.);

- VI Международном конгрессе по математическому моделированию (Нижний Новгород, сентябрь 2004 г.).

Подробному докладу автора было целиком посвящено 188-ое заседание семинара по математической физике в Институте прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН (февраль 2004 г.).

Список печатных работ автора по теме диссертации содержится в конце автореферата.

Краткое содержание работы

Пусть ер у — диагональная матрица, у которой на главной диагонали первые р элементов равны 1, а остальные д элементов суть -1. Унимодулярная псевдоортогональная группа БО{р, ц) — это мультипликативная группа матриц g размера (р + д) х (р + д), удовлетворяющих условиям дё* =ер,д и 1.

В первой главе рассмотрены некоторые подгруппы унимодулярной псевдоортогональной группы, определено ее представление и описан алгоритм получения соотношений для специальных функций.

Пункт 1 посвящен простейшим свойствам и орбитам. Указан явный вид разложения Картана и Ивасавы, для чего построена касательная алгебра Ли группы Ли БО(р, д), вычислены коммутационные соотношения для базиса касательного пространства, найден общий вид элементов касательной алгебры, ее подалгебры {( и картановского линейного подпространства р, таких, что пара (&, р) есть Ъ2 -градуировка касательной алгебры и ехр & — максимальная компактная подгруппа, ехр р — главная векторная подгруппа в 80(р, д), получены максимальные К-диагонализируемые коммутативные подалгебры в р. Максимальная нильпотентная подгруппа получена непосредственным конструированием, а максимальность и нильпотентность доказаны рассмотрением ее касательной алгебры. Отмечено, что наиболее простой вид элементы максимальной нильпотентной подгруппы имеют в случае, когда вещественный ранг группы БО(р, д) равен 1 (в этом случае рассматриваемая подгруппа (тах [р, д} -1)-параметрична)).

Пусть [х, лс] = х2 +... + Хр - х2р^х - . -х2р+д. При любом а б К подмножество [х, х] = а в Кр+Ч является однородным пространством группы БО{р, д).

Во втором пункте на конусе [х, х] = 0 выделены подмножества

Г1={*| х*+... + х2р+я =1},

Г2 = Н хр+хч=\},

Г3={х| хр=±\},

Г4(т) = {*| х2+... + дг2 =1}, т е {2, ...,р-\},

Г5(тя,я) = {х| х* + ... + х11-х2р+х-...-х1р+п =1},

(т,п)е {2, ...,р- 1}х{2, ...,д-\}. Геометрически Г} —прямое произведение двух сфер радиуса I, Г2 — гиперболический параболоид, Г3 является сечением конуса двумя плоскостями, Г4 — прямые произведения сфер и однополостных гиперболоидов и Г5 — прямые произведения двух однополостных гиперболоидов. Каждое из этих подмножеств только по одному разу пересекает каждую или почти каждую образующую конуса. На каждом таком подмножестве введена удобная система координат, для каждого I указана подгруппа О, в БО{р, 9), транзитивно действующая на Г,, и вычислена С,-инвариантная мера dxY¡ на Г,. Также вычислена инвариантная относительно БО(р, <7) мера на конусе.

Пусть а е С, Оа — линейное пространство, векторами которого являются бесконечно дифференцируемые ст-однородные функции с областью определения [*, лс] = 0, и Та : БО (р, д) -» СЬ (Оа) — гомоморфизм групп, при котором невырожденное линейное преобразование линейного пространства 1>а определено по правилу

/(*)»-»/С*-1*).

В пункте 3 для каждого / в £>с определен ортогональный базис }, состоящий из собственных функций1 сужения представления Та в пространстве на подгруппу й,, и билинейный функционал

1 При / * 2 эти функции являются произведением функций Н^ (на сфере) и (на гиперболоиде), которые соответственно описаны в указанной выше монографии Н Я Виленкина и, например, статье Вердиев Й А. Полная система функций на однополостном гиперболоиде // Ядерная физика, 1969,10, 6, 1282 - 1286

/V А.хЦ^С, (Л,/г)»с\ /,(х)/2(дс),

г,

в котором константа с удовлетворяет условию с | ¿¿«гр1 = 1. Показано,

что равенство ст =-а- + 2 является достаточным условием равенств = и необходимым и достаточным условием равенств

^,(/1, = Т6(£)(/:2)) Для любого § е (тео-

рема 1). Для доказательства второго утверждения использовано найденное в пункте 1 разложение Картана группы БО(р, д). Здесь же подсчитано, что

^¿еп (р-1)

» I Р/^1

с =

'г(р/2)У1&1(р-1}( г^/гЛ*8^

2 я

/7/2

2 л

д/2

В заключительном (третьем) пункте главы 1 дан общий алгоритм получения соотношений для специальных функций, который применен в двух следующих главах. Показано, что матричные элементы линейного преобразования пространства представления Оа, переводящего базис {/$} в базис вычисляются по формуле с^ = = Из равенства Ра(/£', =

= (/^, /~^~р<1+2, *) при получается первая серия соотношений между специальными функциями. Из соотношения между матрицами (с^) и ( с^) получается равенство

I I СШСЖ П <ь*=*мк

"У' >"'> * = гу+1

(ЛГ = (иь ..,пр+д_2), щ,...,пг. — «дискретные»параметры, пГ} +ь..., пр+д_2 —«непрерывные»), которое дает другую серию соотношений. Третью серию можно получить из равенства (и, ^) =

= ^ (и, /~ц~р~9+2'}) при 5-¿г, где и—некоторая функция.

Далее показано, что матричные элементы представления Та в пространстве йа относительно базиса } вычисляются по формуле *ММ{8) = ^)> ■ Д®» их вычисления могут

быть применены указанные в пункте 1 разложения группы БО (р, д) на подгруппы, а также теорема 1 и то обстоятельство, что представление является гомоморфизмом групп. Соотношения для специальных функций получаются из равенства

Ъ РМ ), Г~~р~ч+2'') = Ъ (тм (/"), гуч+2'')

при 5 * г Равенство )) = )((%,) дает еще одно соот-ММ Лну МЫ NN

ношение

л. . 1

щ. >тп и^+1, ,тр+я_2 Л = 1+1

В главах 2 и 3 получены новые соотношения для некоторых специальных функций математической физики, среди которых гипергеометрическая функция тРп(а\,. .,ат ~Ъъ...,Ъп,2), в том числе ее частные случаи: гипергеометрическая функция Гаусса 2 (ос. Р; у; г) и гипергеометрическая функция Куммера ] (а, р; г), вырожденные гипергеометрические функции Уитгекера первого рода Мх ^(г) и второго рода функция Бесселя Jv(z)> модифицированная функция

Бесселя (функция Макдональда) Ку(г) и О-функция Мейера

я, л

0тп

Соотношения, найденные в главе 2, получаются

при исследовании матричных элементов операторов перехода между базисами. Соотношения, содержащиеся в главе 3, найдены при рассмотрении матричных элементов представлений унимодулярных псевдоортогональных групп и их подпредставлений на выделенные в пункте 1 главы 1 подгруппы или их прямое произведение. Первые три параграфа этих глав содержит соотношения, связанные соответственно с частным случаями ¿(9(2, 1), 50(2, 2) и 50(3, 2). В главе 2 имеется также параграф, содержащий соотношения, полученные при рассмотрении общего случая.

Пример Пусть #1 =ехр(К(в]2 +^24 +е42 ~е2\У) и = ехр(11(^3 +е3,)) — подгруппы в 50(2, 1). Матричные элементы

подпредставления Н\ х#2 —>GL(D0) в базисе {f£2=(x2+*з)ст* х exp (iAjCj (х2 + JC3 )-1)} вычисляются по формуле

= F2(T^](h2(tMf-G-1'2), T_a^(h-\b))(fl^'2)) =

= F2{ £ c^-1'2'1 T^x(h2)(f:°-X>Xl (Aj-1)(/Г®-1,2 )) = *e Z

= (2я)-1 Z ^u"1'2'1 J ^a-lC^ii/rr1'1^)) x

leZ Г2 ={0-,(l-y2)/2,(l+j^2)/2)I j/eR}

x 7La_] ) (/-^¡f 1'2 00) <ty =

= 2ff я-' (chf + shf )~CT_1 exp(-/цб) X x

keZ

+00

x J (cht-sht + yi)~a l (chf-shi-yi)~a+k~x exp(-;цу)dy,

-00

где при Re a > -1

„ст12 _ p ( fa 1 f-a- 1,2л _

= IXl-0"1 Г"1 (¿signX-a) WkumKa+1/2(2|^|). При b = t = 0 получается формула (Re о > -1)

(«) = Z | И* Г+1/2 Г-1 (-* sign X - a) Г"1 (-* sign (Д. + СТ + 1) x

keT

xW 1 (2| X\)W 1(2|ц|))=6^.

-A sign A., a+- -*signn.o+-

Печатные работы автора

(Аббревиатуры ГАГ и ММ обозначают соответственно сборники научных трудов МГОПУ «Гармонический анализ на группах» и «Математические методы исследования сложных систем, процессов и структур».)

1 Нижников А. И., Шшин И. А. О матричных элементах подпредстав-лений псевдоортогональной группы, содержащих специальные функции // Современные проблемы математики и естествознания Материалы Первой Всероссийской научно-технической конференции - Н Новгород, 2002,12 - 13.

2. Нижников А. И., Шшин И. А. О некоторых рядах и одном интеграле, связанных с группой 50(2, 2) // Чебышевский сборник, 2004, 5, 2, 83 - 89.

3 Шшин И. А. Аналог скалярного произведения в пространстве представления группы SO(p, р) И ММ, 1999,2, 109 - 114 'I

4. Шшин И. А. Касательное пространство к псевдоортогональной группе в единичной матрице // ММ, 2000, 4,116 - 117.

5. Шшин И. А. О некоторых формулах для функций и Ii ^

ГАГ, 2003,41,85-89.

6. Шшин И. А. Полярная Z 2 -градуировка касательного пространства TeSOQ(p, q) И ММ, 2000, 3,125 - 127.

7. Шшин И. А. Свойства специальных функций, полученные при некоторых интегральных преобразованиях // ГАГ, 2003,41, 90 - 99.

8. Шшин И. А. Соотношения для некоторых специальных функций, связанные с одной реализацией максимально вырожденных представлений группы S0(2, 1). - М., МГОПУ, 2000 (деп в ВИНИТИ, В00.126). - 40 с.

9. Шшин И. А. Формулы для специальных функций математической физики, связанные с унимодулярными псевдоортогональными группами // Математическое моделирование, 2004,16, 11,

10. Шшин И. А. Соотношения для специальных функций, связанные с одной реализацией представления группы SO(3, 2) // ГАГ, 1998, 40, 170- 182.

11. Шшин И. А., Прокофьева Н. В. Интегральные соотношения для • функций Уитгекера при переходе между окружностью и параболой //

Методы и алгоритмы параметрического анализа линейных и нелинейных моделей переноса (сб научн. трудов, МГОПУ), 1997, 15, 85 -91.

12 Shilin I. А. Оп some series and integrals connected with the group SO (2, 2) // VI International Congress on Mathematical Modeling, Nizhny Novgorod, September 20 - 26, 2004. Abstracts - Nizhny Novgorod, University of Nizhny Novgorod, 2004, p.

Ротапринт МГОПУ им. М.А.Шолохова Тираж SCO Заказ ¿30

PH Б Русский фонд

2006-4 959

^ с t h 2004

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Шилин, Илья Анатольевич

Введение.

Глава 1. Представления унимодулярных псевдоортогональных групп

1. Группа БО(ру ее алгебра Ли и некоторые подгруппы.

2. Орбиты некоторых подгрупп и инвариантные меры.

3. Представление Г0 группы в пространстве Оа

Глава 2. Соотношения, соответствующие переходам между базисами

1. Соотношения, связанные с группой БО (2,1).

2. Соотношения, связанные с группой 80(2,2).

3. Соотношения, связанные с группой БО(3, 2).

4. Соотношения, связанные с произвольной псевдоортогональной группой.

Глава 3. Соотношения, индуцированные представлениями подгрупп

1. Соотношения, связанные с группой ¿>(9(2,1).

2. Соотношения, связанные с группой БО(2,2).

3. Соотношения, связанные с группой БО(3, 2).

Введение диссертация по математике, на тему "Соотношения для специальных функций математической физики, связанные с унимодулярными псевдоортогональными группами"

Актуальность темы. Теория специальных функций возникла в конце 18-го века, когда при решении дифференциальных уравнений математической физики и вычислении интегралов появилось большое число неэлементарных функций. В настоящее время насчитывается огромное количество как самих таких функций, так и их классов. Столь же обширна и область приложения специальных функций — Ричард Аски предложил даже в связи с этим называть специальные функции «функциями, используемыми всюду» ([71]; в предисловии к [43] он дает «простое, но не инвариантное относительно времени определение: функция называется специальной, если встречается настолько часто, что ей присваивается название»).

Под влиянием работ И. М. Гельфанда и М. А. Наймарка по исследованию неприводимых представлений некомпактных групп Ли в 1965 году вышла монография Н. Я Виленкина [12], впервые оформившая «побочный эффект метода разделения переменных» в самостоятельное научное направление. В 1968 году, когда эта книга была переиздана в США, появились две родственные ей монографии У. Миллера ([84]) и Дж. Толмена ([94]). С этого момента число работ, посвященных теоретико-групповым методам в теории специальных функций, нарастает лавинообразно. Важные результаты, относящиеся в первую очередь к самой теории представлений, получили в своих работах И. М. Гельфанд, М. А. Наймарк ([49]), Н. Я. Виленкин, 3. Я. Шапиро, М. И. Граев, Ф. А. Березки, С. Г. Гинди-кин, Д. П. Желобенко, Р. С. Исмагилов, В.-Б. К. Рогов, В. Ф. Молчанов, А. У. Климык и др. В работах Н. Я Виленкина ([12] - [23]), М. И. Граева, М. А. Шлейниковой ([23], [64]), Е. Е. Петрова, А. И. Нижникова ([20], [21], [50] - [55]), Л. М. Клесовой ([15], [16]), А. П. Павлюка ([16, 58], [62]), Г. М. Гузаирова, А. А. Руднева, О. А. Дорошкевич ([14]) теоретико-групповые методы являются лишь средством, с помощью которого получены различные соотношения, интегральные представления, рекуррентные и предельные формулы и т. д. для различных специальных функций.

К сегодняшнему дню взгляд на специальные функции математической физики как на матричные элементы представлений групп Ли является общепризнанным. И хотя в последнее время много внимания уделяется <7-аналогам специальных функций, все так же актуальным остается исследование классических специальных функций теоретико-групповыми методами. Так, решение многих задач в различных областях науки и техники часто приводит к вычислению интегралов (в том числе и многомерных) и рядов (в том числе по нескольким параметрам), содержащих специальные функции. Несмотря на обширность справочной литературы по этому вопросу, всегда остаются ряды и интегралы, не попавшие в нее. Полученные в настоящей работе результаты пополняют наши представления о специальных функциях.

Целью работы является получение новых соотношений для некоторых специальных функций математической физики. Ставятся задачи: а) получить формулы, возникающие при рассмотрении матричных элементов линейных преобразований одних базисов пространства представления унимодулярной псевдоортогональной группы в другие; б) получить формулы, возникающие при изучении матричных элементов представлений указанных групп или их подпредставлений.

Новыми результатами, полученными в работе, являются все теоремы о соотношениях между специальными функциями, полученные в главах 2 и 3, а также теорема о согласованности пространств представления, доказанная в главе 1. При этом из некоторых теорем, содержащихся в главах 2 и 3, легко выводятся частные случаи некоторых известных формул (например, теорема 3 и замечание к ней). Более подробно о теоремах глав 2 иЗ: а) найдены элементы матриц операторов перехода между базисами пространства представления, содержащие специальные функции. Например, элементы одной из таких матриц имеют вид (при к е N и к+1

Яе а> и=о/=о \Ч

1 + п + \ к-1 +1 х х 2^1

И-/ + 1

И-/ + 3 с.к-1 + 1;-—+ —1

2 2 (1-ы2*+3я+/)В

1-п + \ ст,&-/ +1 х (-п-1 + 1 -п-1 + 3 , ЛТ х ----стД-/ + 1;---+ с + к;-1\]; б) вычислены матричные элементы представлений и подпредставлений псевдоортогональных групп, выражающиеся через специальные функции. Например, матричные элементы одного из подпредставлений группы Лоренца при -1 < Яе ст < 0 имеют вид

I.AT1,1-*^ I | иГ+1/2|>-Г+1/2 eZ x Г 1 (-k sign X - ст) Г 1 (-к sign ц + ст +1) х хГ х(2\Х\ )W хСг^КехрН))); к sign л, а+- -к sign \i, ст+в) вычислены значения некоторых интегралов, содержащих специальные функции. Так, при -1 < Re о < -— iZ

QO j 1 {у) к 1 (-y)dy = о+-2

0 2 1 (-1) 2 л22а"3 ехр

Г а + 1 : f 3^1

--я* r

I 2 y 1 I 2 J х х I 2/'~° В

- сг, ст + — 2 1

2 'у

В 1 (-а,-а) х f а-1 , я + З ,ч

-Г(ст + 1)Г

-1 Г . з^ з. ,Y|

СТ +

V ¿-J

2^1ст + 1,-;ст + -;-1||; при Re ст > -1 и к € N о+к

О-к

J (1 + *sh s) 2 (1 - zsh s) 2 ехр (/ps) =

00 k-\ S (-1) /=0

3 К

G + l-ip X x 2Fl

CT +1 + ф

Lk-2l + \: ст + 3 - ф HfB ст + 1 + zp

-/Д-2/ + 1 х 2*1 г) вычислены суммы сходящихся числовых рядов, элементы которых являются значениями специальных функций. В частности, доказано, что при -2<Кест<0и/>0

5, s=Ot=-s V2 2 х Г

-1

S + t-G t-S-G

2 ' 2 тГ1 а"1 (а +1) [вт (ст +1)]-1 В

0+1(0^0+1(0 = 2 ' 2

I 2' 2

2^(1,а + 2;2;1); д) вычислены некоторые конечные суммы, элементы которых суть значения специальных функций. Показано, например, что при -1 < Ые с < 5, т>0и2п>т

2 п-т п } и = О у' = 0 1 = 0

2 п-т и у и. л кЬ

1 + (-1)2*-л,-*--Н) х х ("О7

-n-u-2l В п + -1-и-т / + и + Р х

1 1

X Е Е ИГ(/+м+1)+У+1 (а + п + 1)У (а + V + п + З)"1 х у = 0 ^ = 0 х 5Г4 а + л + у +1 а + и + у , / + м + 1 + у а + л + у + 3 ^

1,-,--1-1,-,

2 2 2 2 !

0-1+у 1 0-1+у , 7-/Я + 1 + У ст+л+у+5

2 , — + 2 ,п Н--,

2 2 2 0; е) найдены некоторые представления специальных функций. Например, если к е N. А, е И и -1 < Яе ст < 0, то

Щ з18п X, о+1/2 (2| Я |) = | X |0+1/2 Г (к X - а) х х п=о1=о

1 + П + 1

Д-/ + 1 X х 2*1 п-1 +1 су, к -1 +1;

-/ + 3 (1+.2Ш«+/)в

Г/-« + 1 су, к -1 +1 х

-п-1 +1 . , , -п-1 + 3 , Л~| х 2*1 -=--а,*-/ +1;---+ а + £;-1 М; при Ле су < О 1 ст+-2 сЬ+ бЬсова (<ЯИ + sht сова)2 ехр

- ¡X эЬ Г эт а сht + sht сова х х гтг^г

X ехр (Чка X) (сЬ ОIV к^Ъ 1 -к, а+-2

2|Х|); при-2 < Яе а < О, ^ € N11 {0}, Г е Х,\г\<з и Ы<м а+1

АГст1(2~1(-у2 +Г2)1/2) = 2а~3 (52 +*2) 2 (ехрр)"° (ехР2р + 1) х х (ехр 20 -1)"°-1 Г (-с) Г (су + 2) Г-1

5 + Г-СТ^-!

Г -5 —а

00 +00 -—-1 2

X I / (к2 - V2) 2 (ш)° а+1 (и - V) \Vts с+1 (и + V) X

00 —оо

2 ' 2

2 " 2 х 2^1 (1, - а; 2; 1 + ум 4 (ехр 2р -1) (ехр 2р +1)) йи ¿Л>.

92]), гармоническому анализу на группах ([73], [90]) и т. д.), так и других областей науки, что объясняет практическую значимость работы.

Структура работы. Работа состоит из введения и трех глав, разбитых на пункты. Нумерация лемм и теорем — сквозная. Завершают работу библиографический список, в котором указаны 99 работ, и список печатных работ автора по теме диссертации. Общий объем работы —132 страницы.

Заключение диссертации по теме "Математическая физика"

Заключение

В настоящей работе удалось получить новые естественные соотношения для некоторых специальных функций математической физики. В частности, вычислены значения определенных интегралов, содержащих функции Бесселя (теоремы 9 и 10), функции Уиттекера (теорема 2) и гипергеометрические функции Гаусса (теорема 7), получены представления функции Макдональда в виде ряда по произведениям функции Лежандра первого рода на функцию Уиттекера второго рода (теорема 11) и в виде определенного двойного интеграла от произведения двух функций Уиттекера второго рода (теорема 19), найдено представление функции Уиттекера второго рода в виде ряда по функциям Гаусса (теорема 5), установлено соотношение для О-функции Мейера (теорема 3), подсчитаны некоторые конечные суммы, в слагаемые которых входят гипергеометрические функции Гаусса (теорема 34), гипергеометрические функции 4^з(.) (теорема 29) и 5^4(.) (теорема 30) и т. д. Полученные соотношения оказались тем проще, чем меньше число р + д. Так, самые простые соотношения (значения рядов и интегралов, содержащих одну или произведение нескольких специальных функций) оказались связанными с трехмерной группой Лоренца. Свойства некоторых рядов по двум параметрам, содержащие специальные функции, оказалось возможным получить, перейдя к группе БО(2, 2). Соотношения для других случаев уни-модулярных псевдоортогональных групп оказываются, как правило, более сложными, и упрощения получаются в том случае если искусственно ограничивать часть параметров матричных элементов или элементов группы (то есть придавать им конкретные значения, например, приравнивать к нулю).

Полученные в работе формулы могут быть использованы в вычислительных процессах, осуществляемых на ЭВМ. Так, многие из формул содержат гипергеометрическую функцию Гаусса или функцию з^(.)» н0 в последнее время появились мощные программы, вычисляющие значения этих функций (например, программы [69] и [88], составленные на языке Фортран). Кроме того, в ряде случаев с помощью теорем о понижении порядка обобщенную гипергеометрическую функцию можно выразить через з /^2 (- ■) или функцию Гаусса (одна из новых теорем содержится в статье [80]; в этой же статье помещены таблицы, позволяющие иногда свести вычисление значений функции з^2(.[ 1) к вычислению значений гамма-функции).

Материал, содержащийся в работе, может быть использован для дальнейшего исследования. Во-первых, с помощью вычисленных в работе матричных элементов линейных преобразований пространства представления, переводящих один базис в другой, и матричных элементов представлений и подпредставлений можно конструировать новые соотношения, используя в различных вариациях свойства матричных элементов. Во-вторых, даже в случае групп 2, 2) и £0(3, 2) были использованы не все из 10 переходов между базисами и вычислены матричные элементы относительно только некоторых из 5 базисов. В-третьих, в БО(ру можно выделить новые подгруппы и рассмотреть связанные с ними под-представления. В-четвертых, к уже полученным соотношениям можно применить известные формулы, выражающие одни функции через другие (например, формулы понижения порядка, о которых говорилось в предыдущем абзаце). Все это позволит получить новые интересные соотношения для специальных функций.

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Шилин, Илья Анатольевич, Москва

1. Барут А., Рончка Р. Теория представлений и ее приложения. - М., Мир, 1980.

2. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. — М., Наука, 1969, Том I —1969, Том И —1970.

3. Вейлъ Г. Классические группы, их инварианты и представления. М., ИЛ, 1947.

4. Вейлъ Г. Теория групп и квантовая механика. — М., Наука, 1986.

5. Вердиев Й А. Группа 0(2, 1) и ее дуальность // Ядерная физика, 1974,20,4, 819-826.

6. Вердиев И. А. Инварианты невырожденных представлений группы псевдоортогональных матриц БО(р, 1). Баку, препринт № 60 ИФ АН Азербайджана, 1978

7. Вердиев Й А. Инварианты представлений групп Лоренца и их применения в дуальной модели физики частиц. Баку, АН Азербайджана, 1978.

8. Вердиев Й А. Инварианты представлений группы псевдоортогональных матриц БО (р, <?). Киев, препринт № 46 ИТФ АН Украины, 1977.

9. Вердиев Й А. Коэффициенты Клебша — Гордона группы Лоренца // Теоретическая и математическая физика, 1973,16, 3,360 367.о

10. Вердиев И. А. Полная система функций на однополостном гиперболоиде //Ядерная физика, 1969,10,6, 1282 1286.

11. Вердиев Й А. Реализация представлений группы БО(р, на пространстве однородных вектор-функций на конусе. Баку, препринт № 44 ИФ АН Азербайджана, 1976

12. Виленшн Н. ЯСпециальные функции и теория представлений групп. -М., Наука, 1991.

13. Виленкин Н. Я., Дорошкевич О. А. Аналоги теоремы Функа — Гекке и теоремы сложения для специальных функций // Методы и алгоритмы параметрического анализа линейных и нелинейных моделей переноса (сб. научн. трудов, МГОПИ), 1993,8 (1), 33 45.

14. Виленкин Н. Я., Клесова Л. М. Непрерывные части базисов на гиперболоидах // Ядерная физика, 1980,31, 1,204 220.

15. Виленкин Н. Я., Клесова Л. М, Павлюк А. П. К теории представлений псевдоортогональной группы // Теоретико-групповые методы в физике (труды международного семинара, Звенигород, 28 30 ноября 1979 г.). - М., Наука, 1980,40 - 46.

16. Виленкин Н. Я., КлимыкА. У. Представления групп Ли и специальные функции // Итоги науки и техники (серия «Современные проблемы математики. Фундаментальные направления»). — М., ВИНИТИ, 1990, 59,145- 263.

17. Виленкин Н. Я., КлимыкА. У. Представления группы ££,(2, К) и соотношения для специальных функций математической физики. Киев, препринт №88-4 ИТФ АН Украины, 1988.

18. Виленкин Н. Я., КлимыкА. У. Симметрии и интегральные преобразования. Киев, препринт № 88-95Р ИТФ АН Украины, 1988.

19. Виленкин Н. Я., Нижников А. И. Интегральные соотношения для в-функций Мейера и представления «-мерной группы Лоренца // Известия вузов: математика, 1979, 5 (204), 13 — 19.

20. Виленкин Н. Я., Нижников А. И. Матричные элементы перехода от базиса Ак к базису Вм ^± // Функциональный анализ (межвуз. сб. научн.тр., Ульяновск), 1977, 8,45 48.

21. Виленкин Н. Я., Павлюк А. П. Реализация на матричном конусе неунитарных представлений основной серии группы БОо (р, #). М., МГПИ им. В. И. Ленина, 1981 (депонировано в ВИНИТИ, 3467-81).

22. Виленкин Н. ЯШлейникова М. А. Интегральные соотношения для функций Уитгекера и представления трехмерной группы Лоренца // Математический сборник, 1970, 81,185-191.

23. Винберг Э. Б. Линейные представления групп. — М., Наука, 1985.

24. Волчков В. В., Волчков В. В. Новые интегральные представления для гипергеометрической функции // Украинский математический журнал, 2001,53,4,435-440.

25. Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. М., Добросвет, 1998.

26. Гельфанд И. М., Гиндикин С. Г., Граев М. И. Задачи по интегральной геометрии. М., Добросвет, 2000.

27. Гельфанд И. М., Граев М. И., Виленкин Н. Я. Интегральная геометрия и связанные с ней вопросы теории представлений (серия «Обобщенные функции», вып. 5). М., Физматлит, 1962.

28. Гельфанд И. М., Минлос Р. А., Шапиро 3. Я. Представления группы вращений и группы Лоренца. М., Физматлит, 1958.

29. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. -М., Физматлит, 1962.

30. Желобенко Д. П. Гармонический анализ на полупростых комплексных группах Ли. М., Наука, 1974.

31. ЖелобенкоД. П., Штерн А. И. Представления групп Ли. М., Наука, 1983.

32. Желобенко Д. П. Компактные группы Ли и их представления. — М., Наука, 1970.

33. Кириллов А. А. Введение в теорию представлений и некоммутативный гармонический анализ // Итоги науки и техники (серия «Современные проблемы математики. Фундаментальные направления»). М., ВИНИТИ, 1988,22,5 - 162.

34. Кириллов А. А. Лекции по теории представлений групп Ли. М., МГУ, 1971.

35. Кириллов А. А. Элементы теории представлений. М., Наука, 1972.

36. Климык А. У. Интегральное представление матричных элементов группы БОо (р, <?) и матричные элементы представлений группы БО{р + в БО(р)х 50(?)-базисе. Киев, препринт № 122-Р ИТФ АН Украины, 1979.

37. Кузнецов Г. И., Москалюк С. С., Смирнов Ю. Ф., Шелест В. П. Графическая теория представлений ортогональных и унитарных групп и ее физические приложения. Киев, Наукова думка, 1992.

38. Лезнов А. Я. Инфинитезимальные операторы регулярного представления некомпактных групп вращения 0(ру 4). — Серпухов, ИФВЭ, 1968.

39. Лезнов А. Н., Федосеев И. А. Унитарные представления группы де-Ситтера 0(2,3). Серпухов, ИФВЭ, 1968.

40. Ленг С. ^(К). М., Мир, 1977.

41. Миллер У. Симметрия и разделение переменных. М., Мир, 1981.

42. Молчанов В. Ф. Гармонический анализ на однородных пространствах // Итоги науки и техники (серия «Современные проблемы математики. Фундаментальные направления»). М., ВИНИТИ, 1990, 59, 5 — 144.

43. Молчанов В. Ф. Канонические представления на симметрических пространствах // Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Проблемы математического образования. Москва, 1998.

44. Молчанов В. Ф. Представления псевдоортогональной группы, связанные с конусом // Математический сборник, 1970, 81,358 — 375.

45. Молчанов В. Ф. Представления псевдоунитарной группы, связанные с конусом // Функциональный анализ (межвуз. сб. научн. тр., Ульяновск), 1984,22, 55-65.

46. Молчанов В. Ф. Разделение серий для гиперболоидов // Функциональный анализ и его приложения, 1997,81,3,35 43.

47. Наймарк М. А. Линейные представления группы Лоренца. М., Физ-матгиз, 1958.

48. Наймарк М. А. Теория представлений групп. М., Наука, 1976.

49. Нижников А. И. Гипергеометрические функции и многомерная псевдоортогональная группа БО(р, <7). М., МГОПУ, 1996.

50. Нижников А. И. Интегральные соотношения для специальных функций, связанные с представлениями группы Лоренца // Функциональный анализ (межвуз. сб. научн. тр., Ульяновск), 1982, 19, 85 -89.

51. Нижников А. И. Некоторые соотношения для функций Уиттекера // Методы и алгоритмы параметрического анализа линейных и нелинейных моделей переноса (сб. научн. трудов, МГОПУ), 1995,11,44 50.

52. Нижников А. И. Преобразования между базисами, соответствующими редукции группы БО(2, 2) на некоторые подгруппы // Функциональный анализ (межвуз. сб. научн. тр., Ульяновск), 1985, 24, 86 — 91.

53. Нижников А. И. Соотношения для гипергеометрических функций,связанные с переходом от базиса к базису {Яд/,у±} Ч Функциональный анализ (межвуз. сб. научн. тр., Ульяновск), 1978, 11, 111 -116.

54. Нижников А. И. Соотношения для С-функций Мейера, связанные с преобразованиями между базисами // Математические методы исследования сложных систем, процессов и структур (сб. научн. тр., МГОПУ), 1998,1,74-97.

55. Николов А. В. Структура и параметризация групп 0(р, <7) и II (р, <7) // Болгарский физический журнал, 1975,2, 6, 537 545.

56. Павлюк А. П. Интегральные формулы для матричных элементов операторов представлений основной неунитарной серии группы БОо (р, #). М., МГЗПИ, 1981 (депонировано в ВИНИТИ, 3468-81).

57. Павлюк А. П. Представления ортогональных и псевдоортогональных групп и специальные функции матричного аргумента. — Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. М., МГЗПИ — МГУ — МИЭМ, 1983.

58. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. Дополнительные главы. М., Наука, 1986.

59. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. Специальные функции. М., Наука, 1983.

60. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. М., Наука, 1981.

61. Суэтин П. К. Классические ортогональные многочлены в математической физике // Интегральные преобразования и специальные функции, 1998, 1, 3, 13-16.

62. Хелгасон С. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства. М., ИЛ, 1964.

63. Шлейникова М. А. Матричные элементы неприводимого представления группы 50(2, 1) и обобщенная гипергеометрическая функция //

64. Гармонический анализ на группах (сб. научн. трудов, МГЗПИ), 1974, 39,219-238.

65. Askey R. Orthogonal polynomials and special functions. Philadelphia, SIAM, 1975.

66. Basu Debabrata. The Lorentz group in the oscillator realization. The group SO(2, 1) and the transformation matrices connecting the SO(2) and SO (I, 1) bases // Journal of Mathematical Physics, 1978, 19, 8,1667 1670.

67. Boyer C. P., Ardalan F. On the decomposition SO(p, l)^SO(p- 1,1) for most degenerate representations I I Journal of Mathematical Physics, 1971, 12, 12,2070-2075.

68. Folland G. B. Hermite distributions associated to the group 0(p, q) // Proceedings of American Mathematical Society, 1998,6,1751 — 1703.

69. Forrey R. C. Computing the hypergeometric function // Journal of computational physics, 1997,137, 1,79 100.

70. Gilmore R. Lie groups, Lie algebras and some of their applications. — New York, Wiley, 1974.

71. Group representations in mathematics and physics. Berlin, SpringerVerlag, 1970.

72. Hamermesh M. Group theory and its applications to physical problems. -Massachusetts, Addison-Wesley, 1962.

73. Howe R., Tan E. Ch. Non-abelian harmonic analysis. Applications of <SZ(2, R). New York, Springer, 1992.

74. Humphrays J. E. Introduction to Lie algebras and representation theory. -Berlin, Springer, 1972.

75. Kalnins E. G. Mixed basis matrix elements for the subgroup reductions of SO( 2,1) // Journal of Mathematical Physics, 1973, 14, 5,654 657.

76. Kaufman B. Special functions of Mathematical physics from the wiewpoint of Lie algebra // Journal of Mathematical Physics, 1966, 7, 5,447 457.

77. Khanna I. K., Bhagavan V. S., Singh M. N. Generating relations of the hypergeometric functions by the Lie group-theoretical method I I Mathematical physics, analysis and geometry, 2000,3,3,283 303.

78. KlimykA. U. Classical Lie groups, quantum groups and special functions. -Amsterdam, CWI Quarterly, 1992,5, 271 291.

79. Koormvinder Т. H. Jacobi functions and analysis on noncompact semisimple Lie groups // Special functions: group theoretical aspects and applications. Dordrecht, D. Reidel Publishing Company, 1984, 1 -86.

80. Lavoie J. L., Grondin F., Rathie A. K. Generalizations of Whipple's theorem on the sum of 3 F2 // Journal of computational and applied mathematics, 1996,72, 293-300.

81. Limic N., Niederle J. Reduction of the most degenerate unitary irreducible representations of SO0(m, n) when restricted to a non-compact rotation subgroup // Annales de I'nstitut Henri Poincare, 1968, 9,4,327 369.

82. Limic N., Niederle J., Raczka R. Continuous Degenerate Representations of Noncompact Rotation Groups // Journal of Mathematical Physics, 1966, 7, 11,2026-2035.

83. Limic N., Niederle J., Raczka R. Eigenfunctions Expansions Associated with the Second-Order Invariant Operator on Hyperboloids and Cones // Journal of Mathematical Physics, 1967,8,5, 1079 1091.

84. Miller W. Lie theory and special functions. New York — London, Academic Press, 1968.

85. Niederle J. Decomposition of Discrete Most Degenerate Representations of SOq (p, q) when Restricted to Representations of SOq (p, q 1) or SO0 (p - 1, q) II Journal of Mathematical Physics, 1967,8,9,1921 - 1930.

86. Oberhettinger F. Tabellen zur Fourier transformation. — Berlin, SpringerVerlag, 1957.

87. Oberhettinger F., Magnus W., etc. Formulas and theorems for the special functions of mathematical physics. Berlin., Springer-Verlag, 1966.

88. Parihar R. V. Computational method for the hypergeometric function 3 F2 (a, b, c\ d, e\ z) II Journal of Maulana Azal college of Technology, 1996,29, 87-89.

89. Raczka R, Limic N., Niederle J. Discrete Degenerate Representations of Noncompact Rotation Groups // Journal of Mathematical Physics, 1966, 7, 10,1861-1876.

90. Ruhl W. The Lorentz group and harmonic analysis. New York, Benjamin, 1970.

91. Sanchis-Lozano M. A. Simple connections between generalized hypergeometric series and dilogarithms // Journal of computational and applied mathematics, 1997, 85,325 331.

92. Symmetries in science. New York, Plenum Press, 1980.

93. Special functions. Tokyo, Springer, 1991.

94. Talman J. D. Special functions: a group theoretical approach. N. Y., Benjamin, 1968.

95. Temme N. An introduction to the classical functions of mathematical physics. -N. Y., Wiley, 1999.

96. Terras A. Harmonic analysis on symmetrical spaces and applications. Volume 1. Berlin, Springer, 1985.

97. Theory and application of special functions / Edit. R. Askey. New York, Academic Press, 1975.

98. Vilenkin N. Y., Klimyk A. U. Representations of Lie Groups and Special Functions. Dordrecht, Kluwer Academic Publishers Group, Volume 1 — 1991, Volume 2 —1993, Volume 3 —1992.

99. Vilenkin N. Y., Klimyk A. U. Representations of Lie Groups and Special Functions. Recent advances. Dordrecht, Kluwer Academic Publishers Group, 1995.1. Печатные работы автора

100. Аббревиатуры ГАГ и ММ обозначают соответственно сборники научных трудов МГОПУ «Гармонический анализ на группах» и «Математические методы исследования сложных систем, процессов и структур».)

101. V. Шилин И. А. О некоторых формулах для функций 2F\-> jP2 и Р^ II1. ГАГ, 2003,41,85-89.

102. VI. Шилин И. А. Полярная Z2 -градуировка касательного пространства

103. TeSOQ(p,q) IIММ, 2000,3, 125 127.

104. VII. Шилин И. А. Свойства специальных функций, полученные при некоторых интегральных преобразованиях // ГАГ, 2003,41,90 99.

105. X. Шилин И. А. Соотношения для специальных функций, связанные с одной реализацией представления группы SO(3, 2) // ГАГ, 1998, 40, 170 -182.

106. XI. Шилин И. А., Прокофьева Н. В. Интегральные соотношения для функций Уиттекера при переходе между окружностью и параболой // Методы и алгоритмы параметрического анализа линейных и нелинейных моделей переноса (сб. научн. трудов, МГОПУ), 1997,15, 85 91.

107. XII. Shilin /. A. On some series and integrals connected with the group SO (2, 2) // VI International Congress on Mathematical Modeling, Nizhny Novgorod, September 20 26, 2004. Abstracts. - Nizhny Novgorod, University of Nizhny Novgorod, 2004, p.