Соотношения для некоторых классов специальных функций математической физики, связанные с представлениями группы SO(p,p+1) тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОБЛАСТНОЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Прокофьева Наталья Владимировна

Соотношения для некоторых классов специальных функций математической физики, связанные с представлениями группы .<;о(р, р+1).

Специальность 01.01.03.-математическая физика

Автореферат

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА-2004

Работа выполнена на кафедре высшей математики

Московского государственного открытого педагогического университета им. МЛ. Шолохова

Научные руководителя:

Кандидат физико-математических наук, доктор педагогических наук, профессор А.И. Нижников

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук профессор Никифоров А.Ф.

доктор физико-математических наук профессор Смирнов В.А.

Ведущая организация:

МФТИ (государственный университет)

Защита диссертации состоится ". ноября 2004г. в /) .часов

На заседании Диссертационного Совета К 212.155.05 в Московском Государственном

Областном Университете по адресу: 107005, Москва, ул Радио, д 10/А Ауд. Ь^ .

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского Государственного Областного Университета по адресу: 107005, Москва, ул Радио, д. 10/А

Автореферат разослан

л 2004г.

Учёный секретарь Диссертационного Совета

Кандидат физико-математических наук, доцент

В Нелаев

2005Г-У

МП

3

Общая характеристика работы.

Несмотря на то, что теория специальных функций математической физики бурно развивается с середины XIX века, она не потеряла своей актуальности и в настоящее время. Для нахождения многих формул и изучения свойств специальных функций многие годы использовался классический подход - решение дифференциальных уравнений в частых производных методом разделения переменных и отыскание собственных функций дифференциальных операторов в некоторых криволинейных системах координат. Исследования специальных функций классическими методами связаны с трудами Гаусса, Римана, А.Н.Тихонова, А.А.Самарского, Г.И. Яковлева, Н.Н_Лебедева, А.Ф.Никифорова и др. Такой подход не мог дать достаточно полного охвата теории специальных функций и вывода многих интегральных соотношений, имеющих прикладное значение.

В работах Э. Картана, Г. Вейля впервые была показана связь специальных функций математической физики с представлениями групп. Дальнейшее развитие теоретико-групповой метод получил в работах М.А. Наймарка [41], И.М. Гельфанда [12]-[18] и их последователей в области представлений групп: Ф.А. Березина[2], Р. Годмана, Хари-Чандра, И. Шура, А.А. Кирилова[30]-[32] и др. В работах Ф. Петера построены унитарные представления нильпо-тентных групп Ли. Близким вопросам в области теории представлений групп и их приложений посвящены исследования Д.П. Желобенко [24]-[27], В. Рудина, Г. Макки, МИ. Граева [18], [19], И.С. Шапиро [50], В.К. Рогова [49], В.Ф. Молчанова [40], Р.С. Исмагилова [28], С. Г. Гиндикина и др.

Особенный интерес, в области приложения представлений групп к теории специальных функций, представляют исследования М.И. Граева, Н.Я. Виленкина [5]-[11], А.У. Климыка [34]-[37] и их учеников. Изучение специальных функций на основе теории представлений групп связано также с трудами А.И. Нижникова [45]-[47] В.А. Петрова [6], Л.М. Клесовой [33], СВ. Кольцовой, идр.

Актуальность темы: Несмотря на обширность литературы по исследованию специальных функций, использование метода теории представлений групп даёт огромные возможности получения интегральных соотношений для различных специальных функций и их комбинаций не встречавшихся ранее.

Цель работ ы состоит в исследовании некоторых классов специальных функций математической физики методами теории представлений группы

При реализации этой цели были решены следующие задачи:

- описаны трёхмерная группа Лоренца SO(2,l), псевдоортогональные группы Л'0(2,2) и S(){p, р +1) , их подгруппы и разложения;

- построены многообразия на конусе ^Д^О, инвариантные относительно подгрупп в

группах системы координат на многообразиях и инвари-

антные относительно этих подгрупп меры на многообразиях:

• построены представления T(g) групп S0(2,l), S0{2,2) и SO(p,p +1);

- построены канонические базисы на многообразиях, связанные с редукциями групп S(>{2,\), SO{2,2) и S()(p,p +1) на подгруппы и состоящие из собственных функций операторов Г (ft) , соответствующих некоторым подгруппам H;

- матричные элементы операторов перехода между базисами, соответствующими редукции группы .S'0(2,l) на подгруппы, выражены через функции Уиттекера и гамма-функции;

• матричные элементы операторов перехода между базисами, соответствующими редукции группы .S'0(2,2) на некоторые подгруппы, выражены через функции Уиттекера, обобщенные гипергеометрические бета-функции;

- матричные элементы операторов перехода между базисами, соответствующими редукции группы на подгруппы, выражены через обобщённые гипергеометрические

функции и гамма-функции;

- получены интегральные соотношения для функций Макдональда, Уиттекера, обобщённых гипергеометрических функций, G - функций Мейера;

- получены интегральные соотношения для специальных функций, связанные с переходом между параболоидом, сферой и гиперболоидом.

, V. . I!

О б ъ исследования являются специальные и и математической физики и ква-

1 '

зирегулярныепредставленИ^эдтаы SO(p,p + \).

Предметом исследования являются интегральные соотношения для некоторых классов специальных функций (функций Уиттекера, Макдональда, Лежандра, гипергеометрических, (/-функций Мейера, многочленов Гегенбауэра и обобщённых гипергеометрических рядов), полученные с помощью представлений групп 50(2,1),50(2,2) и 80(р,р + \).

Методологическую основу исследования составляют методы теории представлений групп, математической физики и математического анализа. Общая теория представлений псевдоортогональной группы 80(р,ф была разработана в [43]. Применение метода теории представлений групп к исследованию специальных функций разработано Виленкиным Н Я , Климыком А.У., Нижниковым А.И. в работах [7], [10], [45]-[47] (с использованием представлений группы Лоренца). Их труды и являются модельными для данного исследования

Научная новизна. Все приведённые в работе тождества и интегральные соотношения для специальных функций математической физики были получены автором и являются новыми

Практическая значимость работы. Полученные в работе интегральные соотношения, связывают различные классы специальных функций. Приложения формул для специальных функций хорошо известны (например, к задачам математической физики, астрономии, гене* тики, в разделах физики таких, как ядерная спектроскопия, теории упругости и теплопроводности, квантовая механика и других областях). Аналогичные приложения могут, по-видимому, иметь полученные в работе соотношения, а также могут быть использованы для получения других соотношений для специальных функций с помощью представлений групп

Апробация работ ы. Результаты исследований докладывались на первой всероссийской научно-технической конференции «Современные проблемы математики и естествознания» (Нижний Новгород, 2002г), на научно-исследовательских конференциях в МГОПУ им М А Шолохова (2000-04 гг.), обсуждались на семинарах по современным вопросам математики в МИГУ, на кафедре высшей математики МГОПУ им. М.А.Шолохова(2003-04гг), а также на семинаре по мат. физике в Институте прикладной математики им. Келдыша (заседание №191,2004г.)

Публикации. По результатам исследований было опубликовано 12 работ, список которых приведён в конце автореферата - работы [50]-[61] из списка литературы.

Структура и объём работы. Работа состоит из введения, трёх глав, заключения и списка литературы. Глава 1 состоит из четырёх параграфов, глава 2 из двух параграфов, а глава 3 и $ пяти параграфов, каждый из которых разбит на пункты. Полный объём работы состоит и .1 164 страниц. В списке литературы содержится 88 работ (монографий и научных статей).

Основное содержание работы.

Во введении обосновывается актуальность темы исследования; ставится цель работы; формулируются задачи, которые пришлось решить для реализации поставленной цели; определяются объект и предмет исследования, указываются его методическая основа; излагаются основные результаты работы, раскрывается их новизна, намечаются возможные приложения; приводится обзор литературы по теории специальных функций и теории представлений групп.

Первая глава посвящена исследованию групп 50(2,1), 50(2,2) и S0(p, р+1), их представлениям, а также некоторым специальным функциям математической физики.

Каждая из групп 50(2,1), 50(2,2) И S0(p, /Т+1) псевдоевклидовых пространств Еу , 1ц и соответственно, сохраняют квадратичную форму - принадлежит соот-

ветствующему пространству. В частности, для группы SO(p,p+l) сохраняется форма

Группы 50(2,2) и 50(р, />+1) линейных преобразований с определителем 1, называются четы-ре'х и (2/7+1)- мерной псевдоортогональними группами, а группа 50(2,1) - 3-мерной группой Лоренца'

Максимальная компактная подгруппа К группы 50(р^Я-1) является К= S(Xp)x 50(/>+1), где S(Xp)~ группа вращений евклидова прост р^М^ОДв^ - пространс^аПод-группа L группы,V0(/y*-l), является произведением групп SO(p-l)- группа вращений евклидова пространства E^i и 50(1,р+\) • (р+1)-мерная группа Лоренца: L — 50(р-1) х 50(1,/J+1). Еще одна подгруппа Г= 50(р-1,1) х 50(1,р), Где 50(р-1,1) И 50( 1 ,/>)-0>-1) и /^-мерные группы Лоренца. Также можно выделить подгруппу 5= SO(pj>) группы S0(pj)+l), главную векторную подгруппу - A, a Nn V- однос'вязные нильпотентные подгруппы, М- централизатор подгруппы АьК.

При построении представлений и получении новых соотношений для специальных функций используются разложения групп в произведения подгрупп: разложения Ивасавы

ид.р..

На группах 50(2,1), 50(2,2) и SO(pp +l) построены квазирегулярные представления g»T(g): ro(g)/(£) = /(g"4). Причём, указанное представление неприводимое, когда а не является целым числом

Данное представление связано с билинейными функционалами:

инвариантным относительно

хЯ р - ~

пространствах 1)0 и

инвариантным относительно 50(2,1) (определенном на подпространствах Ца и 1)_1_0.);и

инвариантным относительно 50(2)2)? ^^прё|елёйЬбмйа]Ьодпространствах 1)а и 1)_2-о-)-Причём, данные интегралы не зависят от выбора контура интегрирования Г.

Для получения интегральных представлений, рекуррентных формул, теорем сложения и т.д. специальных функций в настоящее время используются два подхода: классический • связанный с решением уравнений в частных производных методом разделения переменных и отысканием собственных функций дифференциальных операторов в некоторых криволинейных системах координат, а также метод теории представлений групп, который позволяет учитывать инвариантность операторов математической физики и охватывает теорию важнейших классов специальных функций с единой точки зрения.

С помощью рассмотренных представлений данных групп можно получить ряд интегральных соотношений для некоторых классов специальных функций: многочленов Гегенбау-

эра С^). гипергеометрических функций F(fl>Ь;г,z)1 обобщённых гипергеометрических ря-

дов ^ ,1'""/> . в - функция Мейера О™*

а\.....ар

Ь1.....ьч)

, функций Уиттекера И'у.Дг),

Лежандра Р^(г) и Макдональда £у(г). В данной главе вводятся эти функции и рассматриваются некоторые свойства, использованные в исследовании.

Во ВТОРОЙ главе получены интегральные соотношения для специальных функций, связанные с представлениями групп 50(2,1), 50(2,2).

В параграфе 1. рассматривается группа 50(2,1) пространства Е3 сохраняющая квадратичную форму её подгруппы и разложения на подгруппы.

Преобразование £из 50(2,1) можно представить: £(<р' ,а,ср )=а>(<р' ) Л(а)-о>С»|>),

где НаУ гиперболический поворот в плоскости ), а ю(<р>- вращение в плоскости задаваемые матрицами:

Другое разложение (Ивасавы) для элемента группы 50(2,1): <р,а,Ь) = ©(ф) й(а)и(6), где п(Ь) - преобразование из нильпотентаой подгруппы N группы 5(9(2,1).

На конусе |g,4]=»0 выделяют контуры: П-окружность tf +$§ =], Гз-парабола, Гз=(1\, Г.)

- гипербола-tj«О-

Базисы на этих контурах {ef^)} , и {i^}. выражаются формулами:

Для получения интегральных соотношений специальных функций необходимы формулы перехода от одного базиса к другому. Обозначим С„ (к,\) -элементы матрицы перехода от

базиса {„?!)} к базису : . ¿Г"'^) = ¿£ 'С'Фгде

= «/(М = ,/>0,уеГмера на контуре Г, а «/£ = ^^ - инвариантная мера на конусе. Интеграл (, /2)=1 /, не зависит от выбора Г.

Тогда

i-a-l r-l 1-9-1 r-l

Используя связь ^(у.^Св^дЭл'^л., умножив обе части соотношения на [г.^где »<0

[х,х}= 1, и проинтегрировав, можно получить соотношение для функций Уиттекера:

2

Если же использовать неприводимые представления группы 50(2,1): 7'о(^)/(|;) = /(<г""Ч). можно вычислить матричные элементы оператора и, учи-

тывая связь между ними, получить соотношение, связывающее гипергеометрическую функ-

цию с функцией Уитгекера(это интегральные соотношение связано с переходом между параболой и окружностью);

г'(ш-п) r'(i+o+l) fe^'^W ,(2d-W |(2цс)ф+Г*(-да-о5 Г,(а-*+0 ,(2&W ,(2мс)Ф =

ОЯКН- ¿Di— „ MOI -^Of

2 2 О 2 2

(-|)>"те('к)''"Г(гти-д+1)Г1(и+а+1) r'(m-*+Q {l+c-bif^il-c+bi^I^m+cs+l-m-a.m-k+l **

Во втором параграфе рассматривается группа £0(2,2) пространства Е+ сохраняющая квадратичную форму ей подгруппы и разложения на подгруппы. На конусе Ц;,!;]=0 выделяются многообразия: Г1гг51х51, где 5*-сфера единичного радиуса с центром в начале координат, Га- гиперболический параболоид, Гз К Г„ Г->- сечение конуса плоскостью -двумерный однополостный гиперболоид

Базисы на многообразиях, соответствующих редукции группы 50(2,2) на подгруппы

имеют вид: .(соответствуют редукции группы

50(2,2) на подгруппу К = 50(2) х 50(2), на контуре Г i равны е'(* V*» и являются собственными функциями операторов

Л%хр^ *^.(наконтуре Г 2 выражаются e'(XV+X"p) и являются

собственными функциями операторов Т^п), где пе N, аЛ'- нильпотентная подгруппа группы SO(2,2))

Г'(на контуре Гз выражаются : на

многообразии 1\ функция ф обращается в g'Cqu-vo^ а на многообразии Г. - равна нулю; на многообразии Г. функция г ®v © равна e'C<f»-va), а на Г. • обращается в нуль, и являются собственными функциями операторов

лф)&+1Ц)".(отвечаютредукции группы 80(2,2) на под-

группу М= 80(1)х80(1,2) , на контуре Г4 вьфажаются е'(°/+Ч'*), и являются собственными функциями операторов Т^т),где теМ.)

■ (отвечаютредукции группы 50(2,2) на подгруппу ¿к50(1|1)хДО(1,1), на контуре Е] выражаются и являются собственными функциями операторов

Матричные элементы операторов перехода между базисами{ } и ( )'(а='2"<*•)

Матричные элементы операторов перехода между базисами { г?

(о к'к'/съу

и , к'+1*0 ;

„•2'.....-Шу+В.схр"^42;0^» I - . --тт.

2 „ - •(„+1)1Г</»-»+1)*(

(а'к'к'/от'т')*

хВ(2-а-1т'-1и1'+к'+к,,2о-*+21т'+21т'-к'-к')*В(2-е-11п'-1т'-к'-к'2о-4+21т'+21т'+к'+к')х

и

С помощью полученных матричных элементов можно выражать одни базисы через другие. Например, базис Нхг Ю чеР®3 •'

= фкГ/а'ГГ)Е:2кГ°к.&) ,где е--2-е .*-{*■.О

К

Умножим обе части соотношения на билинейную форму [хД где [ х^ ]=1 и проинтегрируем по контуру Г на конусе. Получим:

Г КГ

где о'- -2-е ,К «(*',*')

Проведя ряд преобразований, получим соотношения: При Х'>0, Х'>Х'

2 1 2 ' 2 2*2

При V >0 , Х'>Х"

г 3 2 2 2 2

При X' < 0 , |Х'|<|Х'1

г 2 2 ' 2 2 ' 2

При X"<0 ,

-^ф+о)^-*)

2 2 2 2

Аналогично можно получить соотношения для (7-функций Мейера:

А' ■ "

V •

Л"2 -Х':

Х,2г О-^Х'3

у-Г 4 2

=1«

к

Х'>0, Х*>Х'.

М2

4 ' 4 _1 1 4»4> 4 > 4

<8

^ЧХ')2

-А^-оЧ -АЧГ-сг+Л

4 ' 4

_11 -*н

к

гае Х*>0 , Х'>Х" .

[М2 Л'ЧР-вЧ ЯЧГ-оц'

4 ' 4

4

V 44' 4 ' 4

Лм2

4 ' 4 _1 1 гЗоЧ

4>4> 4 > 4 ^

Т-Л'г

(М2 ¿'ЧС-оЧ ¿Г^-чяЛ

4 ' 4

4 _1 1 гЭьЗ ^

4'4' 4 ' 4

^М2

где Х'<0; |Х*|<|Х1.

Л! ,в*2 » „, А" ,-1Кг п2£

<8

Угг (\-rfV1

ЧЕЧУ-оЧ ЧГ-нГ-РЦ

4 ' 4

_1 I 4'4> 4 ' 4

М1

и2-1 ' 4 У-нГ-оЧ М^ы) /

4 ' 4 I 1 -Ь-З -2аЧ 4'4' 4 ' 4

М2 ЧкЧ^-оЧ Чк'ЧР'-вЧ

4 ' 4

А 1 1 -2о-3 -2зЧ

Щ к 4'4' 4 ' 4

где Х"<0, |Х'|<|Х"| .

Коэффициенты могут быть выражены через значения Г- функций 2 _ .

Л"

В

,Л" {Ла)и" Г(2 + о)г(-2-<т)

л (чг«.___,_

1К ГЦ?-1-е) +1)'

( *'г= * ' ГГЧ^)' ц^р)+1 +1)'

П" ___!__

ЛЯ* Г(4'-1 -а)

В третьей главе получены матричные элементы операторов перехода от базиса

{^{л/лС»)} • соответствующих редукции группы ¿'0(р,/т+1) на некоторые подгруппы. Эти элементы выражаются через специальные функции.

Группа 80(р,р+1) сохраняет форму +••• + &

На верхней части конуса Хо : 0 рассмотрим многообразия Г| и Г}, пересекающее

каждую образующую в одной точке, а й% мера на этом многообразии такая, что ^ = />0,уеГ,где инвариантная мера на конусе.

Контур Г| = сечение конуса сферой радиуса V2 с центром в начале коор-

динат. Максимальная компактная подгруппа К= 50{р)х ЯО(р+1) группы 0=Ю(р, р+1) действует транзитивно на Г|, каждая компонента на своей сфере. Оператор

а (йр и матрицы соответствующие г р у п п^О^с •о^^Х/в'^т ственно), переводит вектор 5-^,5,.....$г/н1)в ..........йДпричем .....«я)«.^"1.»

в пространстве , инвариантна относительно

Через Гг обозначим сечение конуса Хдгиперплоскостью Это многооб-

разие является гиперболическим параболоидом. Нильпотентная подгруппа ЛУ группы 0=Я0(р^И-1) действует транзитивно на Г2. Инвариантная мера (/у нвГз: ¡1 у =</^2 ••• /> ■

Еще одно сечение конуса Хд плоскостями " 1 обозначим Г3. Подгруппа Х(Хр, р) в 80(р,р+1) действует транзитивно на Гз. Инвариантная мера на Гз: = ^ •

Далее, многообразием Г4 является сечение конуса Хр цилиндром = I. Оно

является прямым произведением (р-2)-мерной сферы и (р+1)-мерного однополостного гиперболоида Нр+] : Г4 хНр+1. Подгруппа 50</>-1)х 50(1, р+\) группы 80(р,р+)

действует транзитивно на Г«, каждая компонента на своей поверхности. Инвариантная мера с/у на Г4 относительно SO(p-l)x SO(l,p+l) имеет вид: di = 'Г'^Р'1 ^Р'-'^Р,

ьр- ч hp* I

И, последнее Г5-сечение конуса Xjцилиндром является прямым

произведением двух однополости; гиперболоидов Нр*1 и Hp*l:Ts = Hp~l хН1'. Инвариантная мера с/у относительно, действующей транзитивно на многообразии подгруппы

S0(p-U)x SCKI,р), имеет «mdy = У"'У' .V2 У'*»/»1,

- М

Рассмотрим одну из редукций подгрупп SO(p, р+1)э SO(p)x SO(p+1). Найдём в пространстве I)« на конусе Xj ортонормированные базисы, которые будут выражаться через специальные функции. Базисные функции на контуреГ] имеют вид:

) EK'(Z) "Функцияортонормированного

базиса на сфере Sp4, a е£.(!|") - на сфере Sp, где % = .....\р) , { = .....S2;>+i).

к'=.±A^-i>,к"=.....±k2p),r¡ и ¿0;kp+¡ ¿...¿k2/> ¡>0 .

Рассмотрим еще одну редукцию подгрупп SO(p,p+l)z> SO(p- 1)х SO( И, найдём базисные функции в пространстве 1), функций на конусе, отвечающие данной редукции:

<3-1

НЬГ)!аф = V 3 Hfr'(ÚН^(^), где Hfr'(Ú -функцияортонормированного базиса на Яр~г,а ) -функция континуального базиса на гиперболоиде

где$' =($,.....• Í = «/>.....^+l)L' = (/i,...,±V2)> L' = (/p+1.....±/2,), +

Для редукции подгрупп SO(p,p+ 50(р-1,1)х 50(1, р) базисные функции в пространстве I), функций на конусе связаны с многообразием Г5 и имеют вид:

«-5

^Xw^M^pnf 2 Efo<5)H$.(£), здесь sfiv«') - функцияконтинуального базиса на гиперболоиде Нр~\ а ) -на гиперболоиде Нр, где

I п

§ 5 -i\p,\p+i,...f>ip+].\ M' = (/Bi.....iWp.j),M' = (mp+1.....±т2/,.|),

"'/Í+i * ••• * «я-2 * О, i... ü 2: O, rp2_, - §2+1 = tf + +^ - §, ц' > О, ц" > O

При этом, базисные функции на сфере и гиперболоиде выражаются через специальные функции следующим образом: ■(*,,/...** ък2 г«)

\кр- г

з-р з-р

—«--»м —¿--»1 в, _ .

рГ (т^-)

тогда

Найдем теперь матричные элементы операторов перехода между базисами (н^'С* )).

{н^Т/хСу} в пространстве К„. Для этого вычислим: (ок/о'гЛ) = ^кх- ©. -["й."0 ф) и

{аК/ои) =

"■у Г(р + *,-2)(р-2)

-2)ХсЬяХ

Г(

р + ] + + 2/Х

X I -1-12 2

■ж+1

Г(

+У+т)

Г(-^--;-«)

Г(

■+л

- 5т(—+й)т[-,---—

2 -о+З^-А,«^

+7+т)

хГ(--'--+у+т-Л)Г(--—

2 2

-*1 +*2 +2/+Ш,-1-+у+т-Я,---+/+т»/л

2 2

-—-+/+т,-—-♦/♦«

2 2

Г(—--—1+у)Г(--—■ ? +/+м)

+-г-?-х

11

---♦ I,—л,-+д

2 2 2

^-С--у-^^р*/»!

В силу ортонормированност базисов вытекает, что один из них может быть выражен через другой по формуле: £(оК/о'1А) Е^?"0^) .

В работе получены следующие результаты: построены многообразия на конусе [£,i;]=0, инвариантные относительно подгрупп в группах SO{2,\), 50(2,2) и SO{p,p+\), системы координат на многообразиях и инвариантные относительно этих подгрупп меры на многообразиях; построены представления T(g) групп 5<3(2,l), 50(2,2) и SO(p,p + l); построены канонические базисы на многообразиях, связанные с редукциями групп 50(2,1), 50(2,2) и SC)(p,p+l) на подгруппы и состоящие из собственных функций операторов 7'(Л), соответствующих некоторым подгруппам Н; матричные элементы операторов перехода между базисами, соответствующими редукции группы SO(2,\) на подгруппы, выражены через функции Уиттекера и гамма-функции, между базисами, соответствующими редукции группы 50(2,2) на подгруппы, выражены через функции Уиттекера, обобщенные гипергеометрические и бета-функции, а между базисами, соответствующими редукции группы

на подгруппы, выражены через обобщенные гипергеометрические функции и гамма-

функции; получены интегральные соотношения для функций Макдональда, Уиттекера, обобщённых гипергеометрических функций, G - функций Мейера; получены интегральные соотношения для специальных функций, связанные с переходом между параболоидом, сферой и гиперболоидом.

Основные результаты исследования опубликованы в работах с[50] по [61] из списка литературы.

Литература.

1. Абрамовиц М., Стиган И. - Справочник по спец. функциям с формулами, графиками и мат. таблицами. - М.:Наука, 1979.

2. Березин А.В. - Некоторые вопросы теории группы Лоренца и ее представлений, -дис. на соиск. уч. ст. канд. физ.-мат. наук'(01,04.02.)', Минск, 1983.

3. Вейль Г. - Классические группы, их инварианты и представления.-М.: Наука, 1964.

4. Вердиев И.А. - Инварианты представлений групп Лоренца и их применение в дуальной модели физики частиц. - Баку, АН Азербайджана, 1978.

5. Виленкин Н.Я. - Матричные элементы неприводимых унитарных представлений группы вещественных ортогональных матриц и группы движений (л-1)-мерного евклидова пространства. - Доклады Академии наук СССР, Том 113, №1,1957.

6. Виленкин Н.Я., Балк М.Б., Петров В.А - Математический анализ: Мощность. Метрика. Интеграл. - М.:МГЗПИ-Просвсщение, 1980.

7. Виленкин Н.Я. Шлейникова МА - Интегральные соотношения для функций Уиттеке-ря и представления трехмерной группы Лоренца. - Матем сборник. Т.8Ц123) №2,1970,

8. Виленкин Н.Я. - Гипергеометрическая функция и представления группы вещественных матриц второго порядка. • Матем сборник. Т.64(106), 1964, ст.497-520

9. Виленкин Н.Я. -Специальные функции и теория представлений групп.-М.Наука, 1991.

10. Виленкин Н.Я., Нижников А.И. - Интегральны соотношения для (1-функций Мейера и представления л-мерной группы Лоренца,- Изв. ВУЗов, Математика, №5(204), 1979, ст. 13-19.

11. Виленкин Н.Я., Нижников А.И. - Матричные элементы перехода от базиса к базису - Функциональный анализ, Межвуз.сб., вып.8, Ульяновск, 1977, ст45-48.

12. Гельфанд И.М., Виленкин Н.Я. - Некоторые применения гармонического анализа. Оснащённые гильбертовы пространства. - М. Физматгиз, 1961.

13. Гельфанд И.М., Шапиро З.Я. - Представления группы вращения трехмерного пространства и их применения. - Успехи мат. наук., Т.У11, вып.1 (47), 1952, ст.3-117.

14. Гельфанд И.М. - Интегральная геометрия и связанные с ней вопросы теории представлений. - М. Физматгиз, 1962.

15. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. - Обобщённые функции., вып. 1: Обобщённые функции и действия над ними.- М. Гоз. изд. Физмат, лит., 1958.

16. Гельфанд И.М. , Пятецкий-Шапиро И.И. - Оператор Лапласа на римановых поверхностях и теория представлений.- Новосибирск., 1963.

17. Гельфанд И.М., Наймарк МА. - Унитарные представления классических групп. - М.-Л. Изд-во Акаднаук СССР, 1950.

18. Гельфанд И.М., Граев М.И. - Теория представлений и автоморфные функции. - М. Наука., 1966. (серия Обобщённые функции Вып.6.)

19. Граев М.И, Вишик А.М.-Представления группы 8Ь(2,Я) где Л-кольцо ф-ций.:М, 1973.

20. Градштейн И.С, Рыжик И.М-Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений:М, 1963

21. Гузаиров Г.М. - Соотношения для гипергеометрических функций и интегральные преобразования, связанные с представлениями группы 01(2,С).: дне. на со-иск. уч. ст. канд. физ.-мат. наук (01.01.01), М., 1997.

22. Гусар М. - Унитарные представления группы Лоренца.: дис. на соиск. уч. ст. канд. физ.-мат. наук (041), Дубна, 1971.

23. Дорошкевич ОА. - Теоремы сложения для гипергеометрических функций, преобразование Пуассона и «Метод деревьев»: диена с.уч.ст.канд. физ.-мат. наук (01.01.01), М,98.

24 Желобенко Д.П. -Гармонический анализ функций на группе Лоренца и некоторые вопросы теории линейных представлений.: дис. на соиск. учен, ст.канд ф-мат. наук М, 1961

25 Желобенко Д.П. - Гармонический анализ функций на полупростой комплексной группе Ли и его приложения к теории линейных представлений.: дис. на соискание учен. ст. д-ра физ.-мат. наук, М., 1971.

26. Желобенко Д.П. - Классификация неприводимых представлений полупростой комплексной группы Ли. - Киев.:изд. Институт теорет. физики АН УССР, 1967.

27. Желобенко Д.П., Штерн А.И. - Представления групп Ли, - М. Наука, 1983.

28. Исмагилов Р.С. - Линейные представления топологических групп без инвариантной меры. -дис. на соиск. уч. ст. доктора физ.-мат. наук (002), М., 1972.

29. Картан Э. - Геометрия групп Ли и симметрические пространства. - М.: Ил, 1949.

30. Кирилов А.А. - Лекции по теории представлений групп Ли. IV. (Представления групп и механика). -М.: изд. МГУ им. Ломоносова, 1971.

31. Кирилов А.А. - Элементы теории представлений групп. - М.,Наука, 1974.

32. Кирилов А.А. - Representations of lie groups and lie algebras. - Budapest, 1985.

33. Клёсова Л.М. - Континуальные базисы на гиперболоидах и матричные элементы максимально вырожденных представлений группы Пуанкаре. : дис. на соиск. уч. ст. канд. физ.-мат. наук (01.01.01), М., 1981.

34. Климык А.У. - Разложение представлений полупростых алгебр Ли на неприводимые представления и их приложение к задаче насыщения адронных сил. : дис. на соиск. уч. ст. канд. физ.-мат. наук , Киев, 1967.

35. Климык А.У. - The representations ofthe groups V(n, 1) and SO(n, 1). - Kiev, 1976.

36 Климык А.У. - Матричные элементы1 и коэффициенты Клебша-Гордана представлений групп. -Киев:Наук. думка, 1979.

37. Климык А.У., Качурик И.И. - Вычислительные методы в теории представлений групп. -Киев: Вища шк., 1986.

38. Курант Р., Гильберт Д. - Методы матем. физики. - Т.1.,1952.

39 Лебедев Н.Н. - Специальные функции и их приложения. -1953.

40. Молчанов В.Ф. - Гармонический анализ на псевдоримановых симметрических пространствах.: дис. на соиск. уч. ст. доктора физ.-мат. наук (01.01.01), Л., 1989.

41. Наймарк М.А. - Линейные представления группы Лоренца. - М.: Физматгиз, 1958.

42. Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. - Специальные функции математической физики. - М: Наука, 1978.

43. Nikiforov F.F., Uvarov V.B. - Spécial fonctions of mathematical physics.- Basel - Boston: Birkhauser 1988.

44. Nikiforov F.F., Suslov S.K., Uvarov V.B. - Classical orthogonal polynomials of a discrète variable. - Berlin - Heidelberg: Springer - Verlag, 1991.

45. Нижников А.И. - Преобразования между базисами, связанными с представлениями многомерной псевдоортогональной группы. -Методы и алгоритмы параметрического анализа линейных и нелинейных моделей переноса., Сб.н.трудов., Вып.9, М.:МГОПИ, 1994.

46. Нижников А.И. - Группа SO(p,q), некоторые ей подгруппы. - Методы и алгоритмы параметрического анализа линейных и нелинейных моделей переноса. Сб.научн.трудов., Вып.10,М.:МГОПУ, 1994.

47. НИЖНИКОВ А.И. - Интегральные соотношения, содержащие G-функции Мейера. - Методы и алгоритмы параметрического анализа линейных и нелинейных моделей переноса. Сб.научн.трудов., М.:МГОПУ, 1997.

48. Павлюк А. П. - Представления ортогональных и псевдоортогональных групп и специальные функции матричного аргумента. - Автореф. дис. на соиск. уч. ст. канд. физ -мат. наук(01.01.01),М.,1983.

49. Рогов В.К. - Собственные функции оператора Бельтрами-Лапласа на однородных псев-доримановых симметрических пространств ранга I.: дис. на соиск. уч. ст. доктора физмат, наук (01.01.01), Л., 1989.

50. Шапиро И.С. - Разложение волновой функции по неприводимым представлениям группы Лоренца. - ДАН СССР., 1956 - Т. 106. - с.647.

5J. Vilenkin N.Ya., Klimyk A.U. - Representation of Lie Groups and Special Functions. - Klumer

50. Нижников А.И., Прокофьева Н.В.- Интегральные соотношения для некоторых специальных функций математической физики, полученные методами теории представлений групп. - тезисы доклада первой всероссийской научно-технической конференции (Computer-Based Conference) "Современные проблемы математики и естествознания", Н. Новгород, 2002г.

51. Нижников А.И, Прокофьева Н.В -Интегральные соотношения для функций Уиттекера, связанные с представлениями группы 50(2,2). -Гармонический анализ на группах. Меж-вуз.сб.научн.тр., Вып.41, М., 2003., ст.64-70.

и

52. Прокофьева Н.В., Шилин И.А. - Интегральные соотношения для функции Уиттекера при переходе между окружностью и параболой. - Методы и алгоритмы параметрического анализа линейных и нелинейных моделей переноса. Сб.научн.трудов., Вып. 15, М., 1997.,ст.85-91.

53. Прокофьева Н.В. - Матричные элементы операторов перехода между базисами, соответствующими редукции группы 50(2,2) на подгруппы. - Гармонический анализ на группах. Мсжвуз.сб.научн.тр., Вып.40., М., 1998. с. 122-131.

54. Прокофьева Н.В. - Связь между базисами, соответствующими редукции группы SOip, /Я-1) на подгруппы. - Математические методы исследования сложных систем, процессов и структур. Сб.научн.тр., Вып. 3., М.:МГ0ПУ, 2000.,ст.88-100.

55. Прокофьева Н.В. • Связь между базисами на гиперболоидах, параболоидах и сферах;. Москва, 2ОО2.-55с: Библиогр.: 26- Рус- Деп. в ВИНИТИ. 16.01.2002, № 79-В 2002. УДК 517.56.

56. Прокофьева Н.В. - Операторы перехода между базисами на сферах, параболоидах и гиперболоидах, связанных с подгруппами группы SO(p,p+l). - Математические методы исследования сложных систем, процессов и структур. Сб.научн.тр., Вып. 5., М.-.МГОПУ, 2002. ст.92-100.

57. Прокофьева Н.В. - Построение канонического базиса, связанного со сферой.А"\ -Математические методы исследования сложных систем, процессов и структур. Сб.научн.тр., Вып. 5., М.:МГОПУ, 2002,ст.10Ы07

58. Прокофьева Н.В. - Интегральные соотношения для функций Мейера, Макдональда и Уиттекера, связанные с представлением группы 50(2,2). - Гармонический анализ на группах. Межвуз.сб.научн.тр., Вып. 41, М., 2003., ст.71-84.

59. Прокофьева Н.В. - Соотношения для некоторых классов специальных функций математической физики.» Математическое моделирование. Сб.н.тр.,2004. (в печати).

60. Прокофьева Н.В., Нижников А.И. - Базисы, отвечающие редукциям группы

SCKp, /т+1) на подгруппы и связь между ними.- Юбилейный сборник МПГУ «актуальные проблемы математики, информатики, физики и математического образования».2004. ст.293-296.

61. Prokofieva. N.V. -The correlations for hypergeometric Functions of mathematical physics .тезисы доклада на VI Конгресс, Нижний Новгород, 2004.

Подписано в пенатьЗО.9,0Ц.

Формат 60x901/16. Объем 1, Тираж 100 экз. Заказ1

Отпечатано в ООО КПСФ «Спецстройсервис-92»

Отдел оперативной полиграфии

101000, Москва, Мясницкая, 35, сгрЛ

л

#18600

РНБ Русский фонд

2005-4 16931

г> Введение.

Глава 1. Группа SO(p,p+1) , её разложения на подгруппы и представления. Специальные функции.

§ 1. Подгруппы группы G. Разложения Ивасавы, Гаусса и

Картана.

§ 2. Группы SO(p,p+1) , SO(p) , SO(p,l) и некоторые их подгруппы. Разложения групп на подгруппы.

§ 3. Представления групп.

§ 4. Специальные функции.

Глава 2 . Интегральные соотношения для специальных с* функций, связанные с переходом между параболоидом, сферой и гиперболоидом.

§ 1. Интегральные соотношения, связанные с переходом между параболой и окружностью, и представлениями группы SO(2,1). п. 1. Группа SO(2,1), подгруппы, разложения. п. 2. Контуры, базисы, билинейный функционал, представления группы SO(2,1) п.З. Матричные элементы операторов перехода от одного базиса к другому. Связь между базисами. 89 п. 4. Соотношения для функций Уиттекера, Лежандра. 93 п. 5. Интегральные соотношения для функций У иттекера и гипергеометрических, связанные с переходом между параболой и окружностью.

§2. Интегральные соотношения для специальных функций, связанные с переходом между параболоидом, сферой и гиперболоидом, и представлениями группы £0(2,2). * п. 1. Группа SO(2,2), представления, многообразия. п.2. Многообразия на конусе, системы координат и подгруппы группы SO(2,2). п.З. Базисы на многообразиях. г* п.4. Матричные элементы операторов перехода между базисами, соответствующими редукции группы SO{2,2) на подгруппы. п. 5 Интегральные соотношения для функций Макдональда, У штекера и G-функций Мейера.

Глава 3 . Связь между базисами, соответствующими редукции группы SO(p,p+1) на подгруппы.

§ 1. Группа SO(p, р+1) и её представления.

§2. Построение канонического базиса, связанного со сферой SP-1.

§3. Многообразия на конусе 0 , инвариантные относительно подгрупп в SO(p,p+l) , системы координат на них и инвариантные относительно этих под групп меры на многообразиях.

§4. Базисы на многообразиях, связанные с редукцией под групп группы SO(py р+1).

§5. Связь между базисами, соответствующими редукции группы SO(p,p+1) на подгруппы.

Несмотря на то, что теория специальных функций математической физики бурно развивается с середины XIX века, она не потеряла своей актуальности ив настоящее время. Для нахождения многих формул и изучения свойств специальных функций многие годы использовался классический подход — решение дифференциальных уравнений в частных производных методом разделения переменных и при отыскании собственных функций дифференциальных операторов в некоторых криволинейных системах координат. Исследования специальных функций классическим методам связаны с трудами Эйлера, Гаусса, Римана, А.Н. Тихонова, А.А. Самарского, Г.Н. Яковлева, Н.Н. Лебедева, А.Ф. Никифорова и др. Такой подход не мог дать достаточно полного охвата теории специальных функций и вывода многих интегральных соотношений, имеющих прикладное значение.

В работах Э. Картана впервые показана связь специальных функций математической физики с представлением групп. Тогда получает развитие новый подход изучения таких функций - теоретико-групповой.

Дальнейшее развитие данный метод получил в работах М.А. Наймарка, И.М. Гельфанда и их последователей в области представлений групп: Ф.А. Березина, Р. Годмана, Хари-Чандра, И. Шура, и др. В ходе этих исследований была установлена связь теории представлений групп с автоморфными функциями, построена теория специальных функций над конечными полями, специальных функций в однородных областях, построены представления многих групп и т.д. В работах Ф. Петера и Г. Вейля доказана полнота системы неприводимых представлений компактной группы Ли. В работах А.А. Кирилова построены унитарные представления нильпотентных групп Ли. Близким вопросам посвящены исследования в области теории представлений групп и их приложений, Д.П. Желобенко, В. Рудина, Г. Макки, М.И. Граева, И.С. Шапиро, В.К. Рогова, Р.С. Исмагйлова, С.Г. Гиндикина и др.

Особенный интерес, в области приложения представлений некоторых групп к теории специальных функций, представляют исследования Н.Я. Ви-ленкина, А.У. Климыка и их учеников.

Появление, а особенно развитие теории специальных функций связано с использованием математических методов в других науках, то есть с прикладным аспектом.

С развитием теории представлений групп появилась возможность изучения специальных функций с единой точки зрения, получение новых интересных соотношений, а также переключение интереса на другие, мало изученные специальные функции. Так например, первоначально интерес был связан с исследованием класса эллиптических и связанных с ними функциями. А с появлением работ Ф. Клейна внимание стало переключаться к другому классу специальных функций - гипергеометрическим, введённых Гауссом (классическая теории этой функции, отражена в книге А. Кратцера и В. Франца " Высшие трансцендентные функции " ) и их различным частным и вырожденным случаям - функциям Лежандра (классическая теории этих функций, отражена в книгах Гобсона "Теория сферических и эллипсоидальных функций.", Е.Г. Уиттекера и Г.И. Ватсона "Курс современного анализа." и др.); Бесселя (данные функции подробно изучены Бесселем в 1824г, классическая теория изложена в книгах Г. Ватсона "Теория бесселевых функций." и их приложения в математической физике в книгах И.Н. Лебедева "Специальные функции и их приложения.", Я.С. Уфлянда "Интегральные преобразования в задачах теории упругости."); ортогональным многочленам Якоби и Чебышева (классическая теория в книгах Д. Джексона "Ряды Фурье и ортогональные полиномы", Г. Сеге "Ортогональные многочлены." и др.); функциям Уиттекера и многочленам Лагерра (классическая теория в книгах А. Кратцера и В. Франца " Трансцендентные функции ", Уиттекера и Г.И. Ватсона "Курс современного анализа." и др.) и т.д. Известная ещё со времён Эйлера обобщённая гипергеометрическая функция J7 в связи с развитием теории представлений групп р " приобрела большее значение. Введённая Мейером G - функция имеет особое значение, поскольку многочисленные специальные функции, возникающие в математике, либо являются её частными случаями, либо тесно связаны с ней. (Т.о. всякая формула, связанная с G - функцией, становится основной либо ключевой формулой, из которой можно получить целый ряд результатов для функций Бесселя, Лежандра, гипергеометрических и т.д., различных комбинаций этих функций и других функций, с ними связанных.)

Изучение специальных функций на основе теории представлений групп связано с трудами М.И. Граева, Н.Я. Виленкина, А.И. Нижникова, М.А. Шлейниковой, В.А. Петрова, JI.M. Клёсовой, С.В. Кольцовой, и др.

Теория представлений групп позволяет учитывать инвариантность операторов математической физики относительно некоторых групп преобразований. При этом, преобразования из данной группы переводят собственные функции оператора в собственные функции, отвечающие тому же собственному значению. Тогда элементам группы G ставится в соответствие литейное преобразование T(g) в пространстве собственных функций, удовлетворяющее свойству

T(gi]r(g2) = T(gxg2)- (1)

Такие операторные функции и называются представлениями групп. Поэтому, существует связь собственных функций инвариантных операторов с представлениями групп, относительно которых инвариантен этот оператор.

Теоретико-групповой подход приводит к естественной трактовке интегральных представлений специальных функций. Если выбрать некоторый ор-тонормированный базис { ек } в пространстве представления, то операторы представления T(g) можно задавать в матричной форме.

Матричные элементы t и (g) = (T(g) ej,ej ) (2) представления T(g) можно рассматривать, как числовые функции на группе. Многие из таких функций совпадают с классическими специальными функциями математической физики, но для многих групп оказалось, что не все матричные элементы представлений выражаются через известные специальные функции.

Так, например, при изучении псевдоортогональной группы или группы Лоренца лишь некоторые матричные элементы представления связаны с известными специальными функциями, а для остальных понадобились функции, ранее не встречавшиеся в математическом анализе. Появляющиеся таким образом новые специальные функции обладают столь же разнообразными свойствами, что и классические специальные функции( об этом можно подробнее узнать в статьях Н.Я. Виленкина "Специальные функции, связанные с представлениями класса 1 групп движений пространства постоянной кривизны"тр. Моск.мат. об-ва 1963.Т.12, А.И. Нижникова "Преобразование между базисами, связанными с представлением многомерной псевдоортогональной группы. "сб.н.тр.МГОПУ 1995 в.9. и др.

Так выявилась связь между специальными функциями и матричными элементами представлений групп. Причём, в зависимости от выбора подгрупп группы G , с ней можно связать различные специальные функции. Установление такой связи показало общий путь исследования свойств специальных функций. Например, пространство представления можно реализовать в виде некоторого функционального пространства (пространства собственных функций инвариантного оператора ), а аналог скалярного произведения в этом пространстве - в виде интеграла. Поэтому правая часть формулы (2) выражается в виде интеграла, а левая сводится к специальным функциям. Это даёт интегральное представление для специальных функций.

В некоторых случаях, операторы представления T(g) принимают вид интегральных операторов, ядра которых выражаются через специальные функции. Это приводит к интегральным соотношениям для специальных функций, в частности к континуальным аналогам теорем сложения ( работы в этой области связаны с именами И.М. Гельфанда, М.И. Граева, Н.Я. Виленкина, и др.)

Теоретико-групповой подход к специальным функциям тесно связан с гармоническим анализом функций. Гармонический анализ на группах связан с разложением функций на группах и однородных пространствах по матричным элементам представлений. Поскольку они выражаются через специальные функции, то получаются разложения в ряды и интегралы по специальным функциям. Это приводит к теоретико-групповой трактовке некоторых интегральных преобразований, встречающихся в математической физике (преобразования Ганкеля, Мелера-Фока, Лебедева), а также разложений в ряды по специальным функциям. Работы в этой области связаны с трудами И.М. Гельфанда, М.И. Граева, Н.Я. Виленкина, А.А. ЬСирилова, В.Ф. Молчанова.

Ещё один подход к выводу интегральных соотношений для специальных функций реализован в работах Н.Я. Виленкина, М.А. Шлейниковой, А. Орихари, Р Сэлли, А.И. Нижникова и др. Если рассмотреть в пространстве представления различные базисы, состоящие из собственных функций для операторов Ц/г) , соответствующих некоторым подгруппам Н группы G (максимальной компактной, нильпотентной, абелевой и т.д.). При этом, некоторые из базисов дискретные, а другие континуальные. Рассмотрев соотношение вида: где 7(g) - матрица оператора представления в одном базисе , Q(g) - в другом базисе и А - матрица перехода от одного базиса к другому. Элементы матриц перехода, а также матричные элементы матриц T(g), Q(g) выражаются через различные специальные функции. Тогда и получаются интегральные соотношения для специальных функций.

В таком направлении и проводится данное исследование. При этом рассматриваются неприводимые представления псевдоортогональной группы SO(p,q) (для частных случаев 50(2.1), 50(2.2) и SO(p.p+1) ). Подробно, представления данной группы построены и исследованы в работах И.М. Гельфанда, М.И. Граева, М.А. Наймарка, Н.Я. Виленкина, и др.

Например, рассматривая базисные функции

MMVy*^ на контУРах конуса и получив связь между ними, можно получить соотношения для специальных функций: многочленов Гегенбау-эра сШ, гипергеометрических функцийF(a,b\с;z), обобщённых гипергео

3) метрических рядов р л G - функция Мейера о™'}} ах,.,ар bu.,bq ; bx,.,bq; j функций Уиттекера Лежандра и Макдональда Kv{z). При этом, используется представление gh->T(g): Ta(g)f(Q = f (g-1^). Например, соотношение для функций Уиттекера: е'кЬ1*{сЬх)фк\г]Г\а-к+1) x(hT{) сн-2 cx^izh^y^ik-aW , (2Х)+ex|-/zXv1 )r\-k-v)W [(2а,)

А'.гм— 2

-k.Wr 2 ik или, связьшающее функции Уиттекера с гипергеометрическими:

Чао Нас rV-фГJtfW ,(^ф+Г^С^-Г1^!) п тУг k/Уг „ -waи 2 2 и 2 2.

ГКо+1) г^д^^^^/ № Г&-КЛ-1) V ' V 9 4c

4cf r^-KJ+1) k< k>m

Acf v

Данные соотношения связаны с группой 50(2,1).

Если же рассматривать группу SO( 2,2), то можно получить соотношения: гт+а 5i и V 2 2 2 о2-1

I 4 2

-К

X'

4 г u2-l

-(1-r)2 U = itf Г(-1-а+Г)

2 2 где X' > 0 , X" > к' , или

X' , <т+2 а> g '' {рГк Г -Ст2-0 г2/- (1-г)2Г2

Vv2^ о

0,2 u2-l

2 2 dr = ft a: V

M2 k'+k"-<s- -1 k'+k"-<y+1

4 ' 4 л 1 1 - -2&-3 -2ct-1

4 4'4' 4 ' 4

Д2

4 ' 4 J 1 -2cr-3 -2cr-l 4'4s 4 ' 4 где Г<0 , M<|r| , Д6""»2 х„2.+э s/ia)2+e Г(2 + o)r(-2 - a)

ЕО Им) fe^-1 а также другие соотношения.

Актуальность темы; Несмотря на обширность литературы по исследованию специальных функций, использование метода теории представлений групп даёт огромные возможности получения интегральных соотношений для различных специальных функций и их комбинаций не встречавшихся ранее.

Цель работы состоит в исследовании некоторых классов специальных функций математической физики методами теории представлений группы SO(p,q)

При реализации этой цели были решены следующие задачи:

- описаны трёхмерная группа Лоренца SO(2,l), псевдоортогональные группы 50(2,2) и SO(p,p +1) , их подгруппы и разложения;

- построены многообразия на конусе = 0, инвариантные относительно подгрупп в группах

50(2,l), 50(2,2) и SO(jp, р +1); системы координат на многообразиях и инвариантные относительно этих подгрупп меры на многообразиях;

- построены представления T{g) групп 50(2,l), 50(2,2) и SO(p, р +1);

- построены канонические базисы на многообразиях, связанные с редукциями групп

50(2,1), 50(2,2) и SO(p,p + l) на подгруппы и состоящие из собственных функций операторов T{h) , соответствующих некоторым подгруппам Н;

- матричные элементы операторов перехода между базисами, соответствующими редукции группы 50(2,l) на подгруппы, выражены через функции Уиттекера и гамма-функции;

- матричные элементы операторов перехода между базисами, соответствующими редукции группы 50(2,2) на некоторые подгруппы, выражены через функции Уиттекера, обобщённые гипергеометрические \ ФУНК" ции и бета-функции;

- матричные элементы операторов перехода между базисами, соответствующими редукции группы SO{p,p + l) на подгруппы, выражены через обобщённые гипергеометрические <*F функции и гамма-функции; з 2

- получены интегральные соотношения для функций Макдональда, У штекера, обобщённых гипергеометрических, G - функций Мейера;

- получены интегральные соотношения для специальных функций, связанные с переходом между параболоидом, сферой и гиперболоидом. Объектом исследования являются специальные функции математической физики и квазирегулярные представления группы SO(p,p +1).

Предметом исследования являются интегральные соотношения для некоторых классов специальных функций (функций Уиттекера, Макдональда, Jle-жандра, гипергеометрических, G-функций Мейера, многочленов Гегенбауэра и обобщённых гипергеометрических рядов), полученные с помощью представлений групп SO(2,l),SO(2,2) и SO(p,p + l).

Методологическую основу исследования составляют методы теории представлений групп, математической физики и математического анализа. Общая теория представлений псевдоортогональной группы SO(p, q) была разработана в [58]. Применение метода теории представлений групп к исследованию специальных функций разработано Виленкиным Н.Я., Климыком А.У., Шлейниковой М.А., Нижниковым А.И. в работах [9], [12], [60], [61], (с использованием представлений группы Лоренца). Их труды и являются модельными для данного исследования.

Научная новизна. Все приведённые в работе тождества и интегральные соотношения доя специальных функций математической физики были получены автором и являются новыми.

Практическая значимость работы. Полученные в работе интегральные соотношения, связывают различные классы специальных функций. Приложения формул для специальных функций хорошо известны (например, к задачам математической физики, астрономии, генетики, в разделах физики таких, как ядерная спектроскопия, теории упругости и теплопроводности, квантовая механика и других областях). Аналогичные приложения могут, по-видимому, иметь полученные в работе соотношения, а также могут быть использованы для получения других соотношений для специальных функций с помощью представлений групп.

Апробация работы. Результаты исследований докладывались на первой всероссийской научно-технической конференции «Современные проблемы математики и естествознания» (Нижний Новгород, 2002г), на VI Конгрессе по математике (Нижний Новгород, 2004г), на научно-исследовательских конференциях в МГОПУ им. М.А.Шолохова (2000-04 гг.), обсуждались на семинарах по современным вопросам математики в МПГУ, на кафедре высшей математики МГОПУ им. М.А.Шолохова(2003-04гг.), а также на семинаре по мат. физике в Институте прикладной математики им. Келдыша (заседание №191,2004г.)

Публикации. По результатам исследований было опубликовано 12 работ, список которых приведён в конце автореферата - работы [50]-[61] из списка литературы.

Структура и объём работы. Работа состоит из введения, трёх глав, заключения и списка литературы. Глава 1 состоит из четырёх параграфов, глава 2 из двух параграфов, а глава 3 из пяти параграфов, каждый из которых разбит на пункты. Полный объём работы состоит из 164 страниц. В списке литературы содержится 88 работ (монографий и научных статей).

Заключение.

Таким образом, данная работа посвящена изучению свойств специальных функций математической физики теоретико-групповыми методами.

В ходе диссертационного исследования были получены следующие результаты: построены многообразия на конусе = 0, инвариантные относительно подгрупп в группах SO(2,l), 50(2,2) и SO(p,p +1), системы координат на многообразиях и инвариантные относительно этих подгрупп меры на многообразиях; построены представления T(g) групп 50(2,1), 50(2,2) и SO(p,p +1) ; построены канонические базисы на многообразиях, связанные с редукциями групп 50(2,l), 50(2,2) и SO(p,p +1) на подгруппы и состоящие из собственных функций операторов T(h) , соответствующих некоторым подгруппам Н ; матричные элементы операторов перехода между базисами, соответствующими редукции группы 50(2,l) на подгруппы, вьфажены через функции Уиттекера и гамма-функции, между базисами, соответствующими редукции группы SO (2,2) на подгруппы, вьфажены через функции Уиттекера, обобщённые гипергеометрические 2^1и бета-функции, а между базисами, соответствующими редукции группы SO(p,p +1) на подгруппы, вьфажены через обобщённые гипергеометрические функции и гамма-функции; получены

•Э 2 интегральные соотношения для функций Макдональда, Уиттекера, обобщённых гипергеометрических функций, G - функций Мейера; получены интегральные соотношения для специальных функций, связанные с переходом между параболоидом, сферой и гиперболоидом.

1. Абрамовиц М., Стиган И. - Справочник по спец. функциям с формулами, графиками и мат. таблицами. - М.:Наука, 1979.

2. Березин А.В. — Некоторые вопросы теории группы Лоренца и её представлений: дис. на соиск. уч. ст. кан. ф-мат. наук (01.04.02.), Минск, 1983

3. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. - в 3-х т., М.: Наука, 1968.

4. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований, т. 1,2. - М., Наука, 1970

5. Вей ль Г. Классические группы, их инварианты и представления.-М.: Наука, 1964.

6. Вердиев И.А. — Инварианты представлений групп Лоренца и их применение в дуальной модели физики частиц.: Баку, АН Азербайджана, 1978.

7. Виленкин Н.Я. Матричные элементы неприводимых унитарных представлений группы вещественных ортогональных матриц и группы движений (я-1)-мерного евклидова пространства. - Доклады Академии наук СССР, Том 113, №1,1957.

8. Виленкин Н.Я., Балк М.Б., Петров В.А. Математический анализ: Мощность. Метрика. Интеграл. - М.:МГЗПИ-Просвещение, 1980.

9. Виленкин Н.Я. Шлейникова М.А. Интегральные соотношения для функций Уиттекера и представления трёхмерной группы Лоренца. - Ма-тем сборник. Т.81(123) №2, 1970, ст.185-191

10. Виленкин Н.Я. Гипергеометрическая функция и представления группы вещественных матриц второго порядка. - Матем сборник. Т.64(106), 1964, ст.497-520

11. Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представлбений групп. -М. Наука., 1991.

12. Виленкин Н.Я., Нижников А.И. Интегральны соотношения для G-функций Мейера и представления w-мерной группы Лоренца.- Изв. ВУЗов, Математика, №5(204), 1979, ст. 13-19.

13. Виленкин Н.Я., Нижников А.И. Матричные элементы перехода от базиса к базису (вцУ± - Функциональный анализ, Межвуз.сб.,вып.8, Ульяновск, 1977, ст45-48.

14. Гельфант И.М., Виленкин Н.Я. Некоторые применения гармонического анальза. Оснащённые гильбертовы пространства:М.Физматгиз, 61

15. Гельфант И.М., Шапиро З.Я. Представления группы вращения трёхмерного пространства и их применения. - Успехи мат. наук., Т. VII, вып. 1 (47), 1952, ст.3-117.

16. Гельфант И.М. Интегральная геометрия и связанные с ней вопросы теории представлений. - М. Физматгиз, 1962.

17. Гельфант И.М.- Модели представлений компактных групп Ли: М. 1974

18. Гельфант И.М., Шилов Г.Е. Обобщённые функции., вып. 1: Обобщённые функции и действия над ними,- М. Гоз. изд. Физмат, лит., 1958.

19. Гельфант И.М. , Пятецкий-Шапиро И.И. Оператор Лапласа на ри-мановых поверхностях и теория представлений,- Новосибирск., 1963.

20. Гельфант И.М. Представления группы вращений и группы Лоренца, их применения. - М. Физматгиз, 1958.

21. Гельфант И.М., Наймарк М.А. Унитарные представления классических групп. - М.-Л. Изд-во Акад.наук СССР, 1950.

22. Гельфант И.М., Граев М.И. Теория представлений и автоморфные функции. - М. Наука., 1966. (серия Обобщённые функции Вып.6.)

23. Граев М.И., Вершик A.M. Представления группы SL(2,R) где R-кольцо функций. - М., 1973.

24. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рыдов и произведений. -М., 1963.

25. Гузаиров Г.М. Соотношения для гипергеометрических функций 0Fj, tFl5 2F\ и интегральные преобразования, связанные с представлениями группы GL(2,С) .: дис. на соиск. уч. ст. канд. физ.-мат. наук0101.01), М., 1997.

26. Гусар М. Унитарные представления группы Лоренца. : дис. на соиск. уч. ст. канд. физ.-мат. наук (041), Дубна, 1971.

27. Дорошкевич О.А. Теоремы сложения для гипергеометрических функций, преобразование Пуассона и «Метод деревьев» : дис. на соиск. уч. ст. канд. физ.-мат. наук (01.01.01) , М., 1998.

28. Дорошкевич О.А. «Метод деревьев» и соотношения между многочленами и функциями Якоби. - сб.научн.тр. «Методы и алгоритмы параметрического анализа линейных и нелинейных моделей переноса.», Вып. 10, М.:МГОПИ, 1994.

29. Джеймс Г. Теория представлений симметрических групп .- сб.н.ст. «Математика» Новое в зарубежной науки, Перевод с англ. Зелевинского А.В., М.:Мир , 1982. Ст.214.

30. Желобенко Д.П. Гармонический апализ на полупростых комплексных группах Ли. - М. Наука., 1974.

31. Желобенко Д.П. Гармонический анализ функциц на группе Лоренца и некоторые вопросы теории линейных представлений. : дис. на соискание учен. ст. канд физ.-мат. наук, М., 1961.

32. Желобенко Д.П. Гармонический анализ функций на полупростой комплексной группе Ли и его приложения к теории линейных представлений. : дис. на соискание учен. ст. д-ра физ.-мат. наук, М., 1971.

33. Желобенко Д.П. Классификация неприводимых представлений полупростой комплексной группы Ли. - Киев.:изд. Институт теорет. физики АН УССР, 1967.

34. Желобенко Д.П. Компактные группы Ли и их представления. - М. Наука, 1970.

35. Желобенко Д.П, Штерн А.И. -Представления групп Ли: М. Наука, 1983.

36. Исмагилов Р.С. Линейные представления топологических групп без инвариантной меры. -дис. на соиск. уч. ст. доктора физ.-мат. наук (002) , М., 1972.

37. Картан Э. Геометрия групп Ли и симметрические пространства. - М.: Ил, 1949.38