Соотношения высших порядков для супермногообразий Римана и Федосова тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

0031ВЭ141

На правах рукописи

г\

Радченко Ольга Васильевна

СООТНОШЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ДЛЯ СУПЕРМНОГООБРАЗИЙ РИМАНА И ФЕДОСОВА

01 04 02 - теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Томск 2008

003169141

Работа выполнена в ГОУ ВПО «Томский юсударс1венныи педагогический университет»

Научный руководитель: докюр физико-математических наук,

профессор Лавров Петр Михайлович

Официальные оппоненты: докюр физико-математических наук,

профессор Галажинскии Антон Владимирович, ГОУ ВПО «Томский иолшехнический универсшег»

докюр физико-математических наук,

профессор Шаповалов

Александр Васильевич,

ГОУ ВПО «Томский юсударс! венный

университет»

Ведущая организация: Объединенный инсгиту!

ядерных исследований, Лаборатория 1еоретическои физики им Н Н Боголюбова (г Дубна)

Защита состоится « 5 » июня 2008 i в 14 30 часов на заседании Диссер1ационною совета Д 212 267 07 при ГОУ ВПО «Томский государственный университет» но адресу 634050, Томск, rip Ленина, 36

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке ГОУ ВПО «Томский шсударсхвенный педагогический университет» но адресу 634041, Томск, Комсомольский пр, 75

Авгорефера1 разослан » QvH^jLbCtS 2008 t

Ученый секретарь У in

диссертационного совета Д 212 267 07 ИВ Ивонин

доктор физ -мат наук, ст н с

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации

Актуальность проведенною исследования определяется тем, чю рассмотренные в данной диссертации сунермноюобразия шрают принципиально важную роль в формулировках современной классической механики и современной квантовой 1еории поля Изучаемые в диссертации супермногообразия определяются как супермноюобразия, оснащенные всеми возможными градуированными (четными и нечешыми) структурами, которые, в свою очередь, мо!у1 бьпь описаны с помощью симметричных и антисимметричных тензорных полей второю ранга (скобка Пуассона, антискобка, дифференциальная 2-форма, метрика), а также симметричными связностями, согласованными с заданными структурами Это приводит к понятиям традуированных симплекшческнх супермноюобразий, традуированных метрических суиер-мноюобразии, Iрадуированных супермноюобразий Федосова и I радуированных супермноюобразий Римана Так, четные симнлекшческие супермноюобразия используются при формулировках классической механики, котда, наряду с обычными четными (коммутирующими) переменными, встречаются и нечетные (антнкоммутирующие) переменные Четные супермноюобразия Римана являю гея основой при формулировках различных теорий супертрави-гации Каноническое квантование динамических систем со связями, сформулированное в произвольных координатах, апеллирует к использованию четных супермноюобразий Федосова, в то время как ковариашное квантование калибровочных теории общето вида основано на нечетных супермногообразиях Федосова

Цель работы

Целью диссертационной работы является систематическое изучение основных свойств супермногообразий, оснащенных всеми возможными градуированными структурами, которые могут бьпь описаны с помощью симметричных и антисимметричных тензорных полей второго ранта (скобка Пуассона, антискобка, дифференциальная 2-форма, метрика), а также симметричными связностями, согласованными с заданными структурами на су-нермнот ообразиях

В соответствии с поставленной целью можно выделить следующие задачи исследования

1) исследовать форму уравнений, определяющих обратное тензорное ноле к заданному невырожденному тензорному полю на супермногообразиях,

2) рассмотрев алгебраические свойства тензора кривизны, 1ензора Риччи и 1еизора скалярной кривизны на произвольных супермнотообразиях Рнмана,

3) изучить соотношения высших порядков для произвольных супермногообразий Римана между тензором кривизны, метрическим тензором и симмег-ричной связносIью, согласованной с заданным метрическим тензором в нормальных и произвольных коордишиах,

4)рассмофегь алгебраические свойс1ва тензора кривизны, тензора Риччи и скалярной кривизны на произвольных суггермногообразиях Федосова,

5) изучить соотношения высших порядков для произвольных суггермною-образий Федосова, существующие между тензором кривизны, тензором сим-плекпгческой структуры и симмегричнои симгглектическогг связностью как в нормальных, так и в произвольных координатах

Научная новизна

Научная новизна работы обусловлена получением следующих новых ре-зулыагов

1 Доказано, что форма уравнений, определяющих обрагное тензорное поле к заданному невырожденному тензорному нолю на супермногообразиях зависит от определения тензорных полей

2 Доказано, что для произвольных градуированных метрических супермногообразии, оснащенных симмегричнои связностью, согласованной с заданной метрической структурой, существует единственная связность

3 Доказано, что алгебраические свойства тензора кривизны для четных и нечетных супермнотообразий Римана формально совпадают друг с другом Установлено, что в случае нечетных супермногообразий Римана тензор Риччи является антисимметричным, а тензор скалярной кривизны, вобщем случае, отличен о г нуля

4 Доказано, чю для произвольных супермногообразий Римана существуют соотношения высших порядков между тензором кривизны, метрггческим тензором и симметричной связностью, согласованной с заданным метрическим тензором как в нормальных, так и в произвольных координатах и построена производящая функция этих соотношении

5 Доказано, что алгебраические свойства тензора кривизны для четных и нечетных суггермногообразий Федосова формально совгтадаюг друг с другом Установлено, что в случае четных супермногообразий Федосова тензор скалярной кривизны тождественно обращается в ноль, в то время как для нечетных супермногообразий Федосова этот тензор, в общем случае, отличен от нуля

6 Показано, чю супермногообразия, используемые для формулировки метода ковариантното квантования произвольных калибровочных 1еорий в общих координатах, можно отождествить с нечетными супермногообразиями Федосова

7 Для суиермгютообразин Федосова в произвольных координаых по-С1роена производящая функция для соотношении высших порядков между тензором кривизны, тензором симплекшческой структуры и симметричной симплекшческой связнос!ью

Достоверность результатов

Все результаты, полученные в ходе диссертационного исследования, являются достоверными, а сделанные выводы обоснованы, чю подтверждается совпадением полученных резулыаюв с известными результатами для диффе-ренциальнои геометрии на многообразиях, когда все рассматриваемые переменные являются коммутирующими

Научная и практическая ценность

Работа носит теоретический характер Результаты, изложенные в диссертации, связаны с изучением основных объектов дифференциальной геометрии — супермнотообразии, играющих решающую роль в теоретической физике, в частности, в современной теории калибровочных нолей Ценность работы состоит в установлении фундаментальных фактов, касающихся свойств тензора скалярной кривизны, для нечетных сунермного-образии Федосова и Римана, в выводе соотношений высших порядков между тензором кргтвгтзньг, метрическим тензором и симметричной связностью, согласованной с заданным метрическим тензором на произвольных суггермногообразтгях Римана, а также соотношении высших порядков между гензором кривизны, тензором симплекшческой структуры и симметричной связностью, согласованной с зада! 111011 симплектическои структурой гга произвольных супермногообразиях Федосова В практическом плане интересным является наблюдение, что супермагрица, обратная к невырожденной чегной симметричной (антисимметричной) супермагрице, является симметричной (антисимметричнои), в то время как к невырожденной нечетной симметричной (антисимметричной) матрице является антисимметричной (симметричной)

Изучение свойств супермногообразий Федосова показывает, что супер-мнотообразия, используемые при формулировке метода ковариантного квантования произвольных калибровочных теорий в общих координатах можно отождествгггь с нечетными супермногообразиями Федосова

Личный вклад

Результаты научных исследований, включенные в диссертацию, выполнены лично авюром, либо при его непосредственном участии в решении рассматриваемой задачи

Апробация работы

Основные результаты диссертации докладывались на конференциях студентов, аспирантов и молодых ученых «Наука и образование» ТГПУ (Томск 2004, 2005, 2006, 2007), на международной конференции (}РЕХТ'05 (Барселона, Испания 2005), на семинарах Токийского университета (Токио, Япония 2006), на семинарах Департамента теоретической физики Саратосского университета (Сарагоса, Испания 2007), на международных конференциях ОРТ&С05 (Томск 2005) и ррТ&С07 (Томск 2007), а также на объединенных семинарах Лаборатории фундаментальных исследований, кафедры теоретической физики и кафедры математическою анализа ТГПУ Исследования, проведенные в ходе диссертационной работы, поддержаны Президентским Iрантом поддержки ведущих научных школ Российской Федерации № 4489 2006 02

Публикации

По материалам диссертационной работы опубликовано 8 работ Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы Объем диссертации составляет 107 страниц Список литературы включает 111 наименовании

Содержание работы

Во введении изложена важность исследований различных типов супер-мноюобразий для формулировки современной теоретической физики Здесь же дается обоснование актуальности темы диссертационной работы, сформулированы цели научного исследования, приведена структура и содержание диссертации

Первая глава диссертации посвящена последовательному изучению тензорного исчисления на супермногообразиях Показано, что среди возможных типов симметрии суперматриц лишь симметрии двух типов согласованы с

тензорным законом преобразовании Определение тензорных полей на супермногообразиях можег бьпь выбрано гак, чю л ими типами суперм<ириц яв-ляю1ся симметричные и антисимметричные суперматрицы Изучены свойства симметрии обратных тензорных полей и найдено, чго для невырожденною нечеток) симметричною (антисимметричною) гензорного ноля обратное тензорное ноле является нечетным аншеимметричным (егшмефнчным), в то время как для четною симметричною (антисимметричною) 1ензорною ноля обратное гензорное поле обладает теми же свойствами симметрии Подробно рассмотрены скалярные структуры, которые можно ввести на супермноюоб-разиях с помощью различных симметричных и антисимметричных тензорных полей вюрою ранга Рассмотрено введение симметричной связности (коварианшои производной) на супермноюобразиях и описаны основные свойства тензора кривизны

В первом параграфе представлены основные идеи и элемешарные конструкции ашебры и анализа с антикомму тирующими переменными В частности, рассматриваются конкретные примеры алгебр (алгебра Грассмана, ал-тебра Березина), элементы которых обладают следующим свойсгвом ^ -с(с, =0 Вводятся понятия производной и интеграла по антикоммутиру-ющггм переменным

Во втором параграфе вводится понятие супермногообразия, коюрое является обобщением бесконечно дифференцируемою многообразия на суперслучай

В третьем параграфе дается определение тензорных полей на супермноюобразиях В простейшем случае тензорных полей второю ранга эти определения сводятся к следующим соотношентгям

т" =Г"" (

дх" дх'" К '

т =Т д,Х" д'Х>" ( 1У'(|,НГ") ох' дх

у г =Т„, д,Х" дх' , ^ьДг, ,г„)

оггределяющггм законы преобразованггя компонент тензорного гголя при переходе от одной системы локальных координат х' на супермнотообразгш к некоторой другой г' = V (х) Здесь введены cJгeдyющlгe обозначения х', х' - х' (х) - локальные координаты на супермногообразшт в окрестности некоторой точки, а е(х' )= е(х' )= с, - грассмановская четность соответствующих переменных Матрицы преобразовании (матрицы Якоби) удовлетворяют следующим соотношениям

где символ —— использован для обозначения правых производных

дх'

Изучаются основные операции (умножение, свертка) над тензорными полями на суиермно!ообразиях, обсуждаю 1ся свойства симметрии 1ензорных полей различных типов В частности, показано, что из двух тензорных полей и'' типа (и+1,0) и V, ; пша (0,нг+1) с помощью операции умножения можно построшь новое тензорное иоле типа {п,т)

(-1

Учитывая ло правило и следствия из нею, обратное тензорное поле Тч для невырожденною тензорною поля Т' вюрою ранга типа (2,0) следует определять с помощью соошошений

(_1)(ц"'Мг)"' Т"Тк1=Ь\,

*(Т„)=е(г)=е(Т)+Е1+е,

и аналогично для тензорных полей типа (0,2) Такое определение ведет к тому, что правые и левые обратные матрицы к заданной невырожденной матрице совпадают Следует отметить, что сама форма уравнении, определяющих обрашое тензорное иоле, зависит от тою или иного определения тензорных полей на супермноюобразии - обстоятельство, коюрое отсутствует в тензорном анализе на многообразии

При формулировке методов современной квашовой теории ноля насуиер-мно1 ообразиях, большую роль играют тензорные поля, являющиеся симметричными или антисимметричными

Изучение таких тензорных полей показывает, что для невырожденною симметричного и антисимметричного тензорных полей обратные к ним тензорные поля также обладают необходимыми свойствами симметрии При эюм в случае невырожденного симметричною четного тензорного поля обратное тензорное поле будет симметричным, в то время как в нечетном случае обратное тензорное поле будет антисимметричным и наоборот

В четвертом параграфе рассматриваются аффинная связность (ковари-ангная производная) на суиермногообразии, которая, как и в случае тензорною анализа на многообразиях, вводится как отображение V с компонентами )= с, набора тензорных полей на супермноюобразии самою

в себя и удовлетворяющее двум требованиям во-нервых, оно должно быть тензорном операцией, действующей справа л добавляющей один нижний индекс, и, во-вторых, в том случае, когда возможно введение локальных дека-рювых координат; оно должно сводшься к обычной правой производной В нроиеиших случаях тензорных полей второго рати а различных шпов это приводи! к соотношениям

Г V, = Т" к + Т"Г,, (-1 у*'} + Т"Г\ (-1)'111'''^11|},

тде- Г';А компоненты симметричной связности

В пятом параграфе вводится понятие тензора кривизны на супермною-образии, изучаются ею свойства, которые, в силу тою, что тензор кривизны определяется только заданием связности, справедливы для супермногообразии любых типов, оснащенных симметричной связностью

Во второй главе диссертации изучаются супермногообразия, оснащенные двумя структурами градуированной метрикой и симметричном связностью, которая согласована с заданной метрической структурой, т е четные и нечетные сутгермноюобразия Римана Показано, что основные свойства и соотношения, которым удовлетворяет тензор кривизны в четном и нечетном случаях, выглядят формально одинаково Различия проявляются на уровне свойств тензора Риччи Что, в свою очередь, обеспечивает нетривиальноегь тензора скалярной кривизны в общем случае Также изучены соотношения высших порядков между аффинными расширениями тензора кривизны, метрического тензора и симметричной связности и найдены производящие функции эшх соотношений в произвольных координат ах

В первом параграфе вводится понятие супермногообразия Римана (М, А), которое определяется как метрическое сунермнотообразие Л/, оснащенное (четной или нечетной) симметричной связностью А, согласованной с заданной невырожденной метрической структурой g Изучается тензор кривизны

где g„ = (- 1)г ь' ёл, Ё )= Б ($) = С, + Ь,, Ё (/?,,„ )= £ £, + Ьу + + £;, и устанавливаются следующие свойства симметрии этого тензора

^=-(- 1Г **=-(-0"' ^ *,,,=(-

на четных и нечетных супермногообразиях Римана

9

Тензор Риччи определяется соотношением

g' - тензор обратный тензору со свойствами симметрии

и доказывается, что свойства симметрии тензора Риччи

в четном и нечетном случаях противоположны в четном случае этот тензор симметричен, в нечетном - антисимметричен Устанавливается, что тензор скалярной кривизны

для произвольных градуированных супермнотообразий Римана, в общем случае, отличен 01 нуля

Во втором параграфе доказывается, что, как и в обычной 1еометрии Римана, на римановом супермнотообразии существует единственная симметричная связное 1ь Д, согласованная с заданной четной или нечетной метрической структурой g, то есть

В третьем параграфе доказывается, что для произвольных супермногообразий Римана существуют соотношения высших порядков (до третьего порядка включительно) между аффинными расширениями метрического тензора, тензора кривизны и симметричной связности в нормальных координатах

В четвертом параграфе строятся производящие функции для соотношений, выражающих связь аффинных расширений связности и метрической структуры через тензор кривизны и ею аффинные расширения в произвольных координатах на суиермногообразии Римана

< ={8„ Ы-т, нГ' -я,, (-1 г >(-ог

где

* = -\(хф1(-1Г у^[к1к1, НГ (-1)^] = О,

\а:(- О'

!(>•,+<■/ХГ.+0*'1'<"' _ Д А" / 1 \(Г' "'Х-. 4 '.'I,)

Сами соотношения высших порядков возникают как коэффициенты разложения этих функции в ряд Тейлора

В третьей главе диссертации рассматриваются сунермнотообразия, оснащенные градуированной дифференциальной невырожденной замкнутой 2-фирмий ((.11мш1смичс(_кш1 сфумуроп; и симметричной связностью, согласованной с заданной симплетсшческой структурой, го есть четные и нечешые сунермнотообразия Федосова Показано, что четные сунермнотообразия Федосова совпадают с невырожденными супермнотообразиями Пуассона, оснащенными симметричной связноаыо, а нечетные сунермнотообразия Федосова эквивалентны заданию, так называемых, ангисимплекшческих су-нермногообразии с симметричной связностью, го есть супермногообразий, оснащенных невырожденной антискобкой и симметричной связностью, согласованной с этой структурой Показано, что основные свойства и соотношения, которым удовлетворяет тензор кривизны в четном и нечетном случаях, выглядят формально одинаково Тензор Риччтг является симметричным для четных супермнотообразин Федосова, а для нечешых - не обладает кактг-ми-либо специальными свойствами симметрии Тензор скалярной кривизны для четных супермнотообразин Федосова тождественно равен нулю, а для нечетных суперчнотообразии Федосова, в общем случае, отличен от нуля Изучены соотношения высших порядков между аффинными расширениями тензора кривизны, тензора симплекгическои структуры и симметричной связности н найдены производящие функции лих соотношений в произвольных координатах

В первом параграфе дается определение сунермнотообразия Федосова (Л/, о), Г), как симплектического сунермнотобразил М, оснащенного симмег-ричной связностью Г, которая согласована с симилектической структурой ш Обсуждаются основные скалярные структуры на супермнотообразиях и доказывается ют факт, что в чегном случае существует взаимно-однозначное соответствие между невырожденным пуассоновским супермнотообразием и четным симнлектическим супермнотообразием Изучается симплектическии тензор кривизны

и устанавливаются следующие ею свойства симметрии

на четных и нечетных супермногообразиях Федосова Тензор Риччи определяется из соотношения

со'' - тензор обрашыи тензору со,, со свойствами симмехрни

\гл, I-1

0)" = -(-1)г'1' "ОУ и доказывается свойс!во симметрии тензора Риччи для четных супермноюбразий Федосова

Устанавливается, что тензор скалярной кривизны

К = (-1)4 'г' , е(Л')= е(ю)

~\ + (-\у{ю)]к = о,

как и в случае обычных супермноюобразий Федосова, для четной симнлекшческой связности равен нулю, однако для нечем пых супермногообразий Федосова это1 тензор, в общем случае, отличен от нуля

Во втором параграфе обсуждаются свойства симплекгическои связности Показано, что в общем случае, замкнутость 2-формы со и ее согласованность со связностью «»V = 0 (или в координатном базисе

{ + Г(-1)'1' = 0) не ведут к ограничениям на свойства симметрии Т1]к, и существует досхаточно широкий произвол в выборе связности для заданной симплектической структуры

В третьем параграфе выводятся соотношения высших порядков между аффинными расширениями тензора симплектической структуры, симилекш-ческою тензора кривизны и связности в нормальных координатах на произвольном супермногообразии Федосова Показано, что, начиная с соотношений третьего порядка, возникает нелинейная зависимость аффинных расширении симплектической связности от тензора кривизны и не существует новых тождеств, содержащих аффинные расширения тензора симплектической структуры, симнлектическото тензора кривизны и связности

В четвертом параграфе в произвольных координатах построены производящие функции для соотношений, выражающих связь аффинных расширений симплектической связности и симплектической структуры через симп-лектическрий тензор кривизны и ею аффинные расширения Формально, вид этих функций совпадает с производящими функциями в случае супермногообразий Римана Сами соотношения высших порядков возникают как коэффициенты разложения эшх функций в ряд Тейлора

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в ходе диссертационной работы

Результаты, выносимые на защиту:

1 Доказано, чш форма уравнений, определяющих обратное штзорное поле к заданному невырожденному 1ензорному полю на супермноюобразиях зашили и! определения 1ензорных нолей Если для обычных матриц сущес1-вует единс1 венное представление в виде суммы симмефичнои и антисимметричной матриц, ю для супермагрпц, среди коюрых возможны восемь типов симметрии, ткой единственности представления не существует Однако для тензорных нолей на супермноюобразиях восстанавливается указанная единственность представления в виде суммы тензорных нолей противоположных симметрии Суиерматрица, обратная к невырожденной четной симметричной (антисимметричной) супермагрице, является симметричной (антисимметричной), в ю время как к невырожденной нечетной симметричной (антисимметричной) матрице является антисимметричной (симметричной)

2 Доказано, что для произвольных градуированных метрических (то еегь, четных или нечешых) супермноюобразии, оснащенных симмефичнои связностью, согласованной с заданной метрической структурой, существует единс1 венная связность, аналогично ситуации с геометрией Римана на многообразиях Доказано, что алтебраические свойства тензора кривизны для четных и нечешых супермногообразии Римана формально совпадают друг с другом Тензор Риччи симметричен для четных супермноюобразии Римана и антисимметричен для нечешых супермногообразий Римана Это, в свою очередь, приводит к тому, что тензор скалярной кривизны для четных и нечетных супермногообразии Римана, в общем случае, оыичен 01 нуля

3 Доказано, что для произвольных супермноюобразии Римана существуют соотношения высших порядков между тензором кривизны, метрическим тензором и симметричной связноиью, согласованной с заданным метрическим тензором как в нормальных координатах, так и в произвольных И построена производящая функция этих соотношении

4 Доказано, что алгебраические свойства тензора кривизны для четных и нечетных супермногообразии Федосова формально совпадают дру! с друюм Показано, что тензор Риччи для четных супермноюобразии Федосова симметричен, а в случае нечетных супермноюобразий Федосова является тензором общего положения В свою очередь, тензор скалярной кривизны для четных супермноюобразии Федосова тождественно обращается в ноль, а для нечешых супермноюобразий Федосова, в общем случае, отличен от нуля Показано, что супермноюобразия, используемые для формулировки метода ковариантною квантования произвольных калибровочных теории в общих координатах, можно отождествить с нечетными суиермноюобразиями Федосова

5 Изучены соотношения высших порядков для произвольных супермно-

гообразий Федосова, существующие между тензором кривизны, тензором симплектической структуры и симметричной симплектической связностью, как в нормальных координатах, тк и в произвольных В произвольных координатах построена производящая функция для соотношений высших порядков

Основное содержание и результаты исследования отражены в 8 публикациях автора:

Материалы, опубликованные в научных журналах, утвержденных ВАК РФ:

1 On higher order relations in Fedosov supermanifolds [Text] / PM Lavrov, О V Radchenko // Journal of Physics A Mathematical and General - 2006 -V 39 - P 6501-6508 - ISSN 0305-4470 (0,5 и ji , авт 50 %)

2 Супермногообразия Федосова [Текст] / П М Лавров, О В Радченко // Теорешческая и математическая физика - 2006 - Т 149 - №2 -С 202-227 - ISSN 0564-6162 (1,3 п л , авт 50 %)

3 Нечетные симплектические геометрии на супермногообразиях [Текст] / ПМ Лавров, OB Радченко//Известия ВУЗов Физика -2008 -Т 51 -№2-С 52-57 - ISSN 0021-3411 (0,4 и л, авт 50%)

Материалы, опубликованные в научных журналах:

4 Symplectic geometries on supermanifolds [Text] / P M Lavrov, О V Radchenko //International Journal of Modern Physics A -2008 -V23 -P 1337-1350 - ISSN 0217-751 (0,6 и л , авт 50 %)

Научные труды и материалы выступлении на конференциях:

5 Радченко, О В Свойства тензора кривизны на произвольных федосовских супермногообразиях [Текст] / О В Радченко // VIII Всероссийская конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Наука и образование» (19-23 апреля 2004) Материалы конференции В 6 томах Т 1 Ч 1 Естественные и точные науки - Томск Изд-во ТГПУ - 2004 - С 57-61 (0,3 и л)

6 Радченко, О В Сунермиогообразия Федосова соотношения высших порядков [Текст] / О В Радченко // IX Всероссийская конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Наука и образование» (25-29 апреля 2005) Материалы конференции В 6 томах Т 1 Ч 1 Естественные и точные науки -Томск Изд-во ТГПУ - 2005 -С 103-106 (0,2 и л)

7 Радченко, О В О соотношениях высших порядков для Федосовских су-

пермнотообразий [Текст] / О В Радченко // X Всероссийская конференция сгудешов, асиирашов и молодых ученых «Наука и образование» (15-19 мая 2006) Материалы конференции В 6 томах Т 1 Ч 2 Естественные и точные науки - Томск Изд-во ТГПУ - 2006 - С 216-220 (0,3 п л ) 8 Радченко, О В Соотношения высших порядков в римановой геометрии [Текст] / U в Надченко // AI Всероссийская конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Наука и образование» (16-20 апреля 2007) Материалы конференции В 6 томах Т 1 Ч 1 Естественные и точные науки - Томск Изд-во ТГПУ - 2007 - С 46-51 (0,3 и л )

Подписано в печать 28 04 2008 г Бумага офсетная Тираж 100 экз Печать трафаретная

Формат 60x84/16 Уел печ л 0,93

Заказ 324/Н

Издательство

Томского государственного педагогического университета г Томск, ул Герцена, 49 Тел (3822)52-12-93

e-mail publish@tspu edu ru ИШНШШ'-'^цМ!

Введение

1 Тензорный анализ на супермногообразиях

1.1 Алгебра и анализ с антикоммутирующими переменными

1.2 Супермногообразия

1.3 Тензорные поля на супермногообразиях.

1.4 Ковариантная производная.

1.5 Тензор кривизны(.

2 Супермногообразия Римана

2.1 Определение и свойства римановых супермногообразий

2.2 Связность.

2.3 Соотношения высших порядков в нормальных координатах

2.3.1 Аффинные расширения тензоров.

2.3.2 Соотношения первого порядка.

2.3.3 Соотношения второго порядка.

2.3.4 Соотношения третьего порядка.

2.4 Производящие функции соотношений высших порядков в произвольных координатах.

3 Супермногообразия Федосова

3.1 Определение супермногообразий Федосова.

3.2 Симплектическая связность.

3.3 Соотношения высших порядков в нормальных координатах

3.3.1 Соотношения первого порядка.

3.3.2 Соотношения второго порядка.

3.3.3 Соотношения третьего порядка.

3.4 Производящие функции соотношений высших порядков в произвольных координатах.

Методы дифференциальной геометрии широко используются при формулировке физических теорий, как классических, так и квантовых, призванных описать все известные в настоящее время фундаментальные взаимодействия - электромагнитные, слабые, сильные и гравитационные [1-13]. В первую очередь, отметим решающую роль этих методов в формулировке общей теории относительности Эйнштейна - классической теории гравитационных взаимодействий, где основными объектами выступают многообразия, оснащенные метрическим тензором, с помощью которого описывается гравитационное поле, и симметричной связностью, которая согласована с данным метрическим тензором. Такие многообразия носят название многообразий Римана и их свойства хорошо изучены и изложены в большинстве современных монографий по дифференциальной геометрии [5,14-21]. Электромагнитные взаимодействия описываются абелевыми векторными полями в рамках классической или квантовой электродинамики на четырехмерном пространстве-времени с индефинитной метрикой - пространстве Минковского [22-28]. Для описания слабых и сильных взаимодействий привлекаются неабелевы калибровочные поля на пространствах Минковского в рамках теорий Янга-Миллса [29-41]. Общепринятый в настоящее время подход к описанию фундаментальных взаимодействий основан на использовании концепции калибровочных полей в рамках классической механики и квантовой теории поля.

Формулировка классической механики основана на использовании симплектических многообразий, то есть многообразий, оснащенных невырожденной замкнутой дифференциальной 2-формой или, что то же самое, невырожденной скобкой Пуассона [42, 43]. Исходным в классической механике является фазовое пространство М, каждая точка которого может быть охарактеризована координатами хг = Лра)? гДе -А = 15 2,., тг, п -число степеней свободы рассматриваемой динамической системы, а дА,рл - канонически сопряженные (относительно скобки Пуассона {Р, О}) координаты и импульсы: да ас; дг дР г,ас . л . гЛ ^= V ей - е ё^Ш' 'рв} =

- постоянная матрица, обладающая свойством антисимметрии -иР\

Скобка Пуассона обладает следующими свойствами:

1) свойство антисимметрии: {Р1, (?} = —{С?, Р1};

2) правило Лейбница: {Р, вН} = {Р1, в}Н + {Р1, #}<?;

3) тождество Якоби: {Р, {С?, Я}} + {Я, {Р1, в}} + {<3, {Я, Р1}} = 0 . Уравнения движения (уравнения Гамильтона) в классической механике формулируются в терминах скобки Пуассона: где Я - гамильтониан заданной динамической системы. Вместо координат {ял1 Ра) 5 в которых скобка Пуассона имеет, так называемую, каноническую форму, приведенную выше, можно использовать произвольные координаты хг , в которых скобка Пуассона имеет вид: С} = где = со13 (х) уже не постоянна и может зависеть от (ж). Если при этом шгз удовлетворяет тождествам: то построенная скобка удовлетворяет тождеству Якоби. о/-7 известна как пуассоновская структура на М. Если пуассоновская структура невырождена, то можно ввести обратную матрицу ш¿¿: удовлетворяющую тождествам: п дш^ ^Ы,] + = 0; =

В свою очередь, определяет замкнутую невырожденную дифференциальную 2-форму ш: то есть симплектическую структуру на М. Таким образом, формулировка классической механики основана на использовании симплектических многообразий, (М, со) - многообразий М, оснащенных замкнутой невырожденной дифференциальной 2-формой со.

Другим важным объектом дифференциальной геометрии, используемым в современной теоретической физике, является метрическое многообразие, то есть многообразие М, оснащенное метрикой <7, которая локально ы{кшк, = 8),

СОц — 0., ш = ш^дьх3 А с1х\ (ко = 0, описывается невырожденным симметричным тензором д^: g = Qijdx3 dx\ gij = gjim

Формулировка общей теории относительности использует именно метрическое многообразие [44,45]. При этом уравнения Эйнштейна, являющиеся основными уравнениями данной теории, имеют вид:

Rij — ~j9ïjR — —SÏIGTij, Щ — Rfkj, R = gljRij, glkQkj = 8j, где R^k- - тензор кривизны Римана, Rij - тензор Риччи, R - тензор скалярной кривизны, G - гравитационная постоянная Ньютона, Tij - тензор энергии-импульса, и учитывается тот факт, что существует единственная симметричная связность (Г = (Г%)) (ковариантная производная V — (Vj)), согласованная с данным метрическим тензором: 2gll(gjl>k + gklJ ~ ^kgij = д^,к - Гlkigij - Гlkjgu = о.

Тензор Римана определяется из действия коммутатора ковариантных производных на тензорное поле Т1

Vj, V*]T* = —Rlmjk, Rlmjk — -Щпку и обладает рядом свойств симметрии, которые удобно формулировать в терминах тензора Rjj^i = 9тЩы

Rij kl ~ Rjikli Rij kl ~~~ Rklij •

Итак, общая теория относительности основывается на использовании метрического многообразия (M, д), оснащенного симметричной связностью, согласованной с метрическим тензором, то есть на многообразии Римана (М,д, Г).

При рассмотрении некоторых специальных вопросов в квантовой теории поля были введены более сложные многообразия, чем симплектиче-ские, а именно, так называемые, многообразия Федосова. Эти многообразия определяются как симплектические многообразия (М,о;), оснащенные симметричной связностью Г, согласованной с заданной симплектической структурой, то есть (М, ш, Г) кШц = ~ — Г\jUJu = 0.

Такие многообразия использовались для формулировки квантования калибровочных теорий в рамках метода, не зависящего от того или иного выбора локальных координат [46], формулировок метода триплектическо-го квантования в произвольных координатах [47]. Однако эффективность использования этих многообразий была продемонстрирована Б.В. Федосовым в работах по деформационному квантованию [48,49]. Детальному изучению свойств таких многообразий посвящена работа [50], где, в частности, предложен и сам термин "многообразия Федосова". Для многообразий Федосова имеется целый ряд свойств, не характерных для многообразий Ри-мана. В частности, отметим, что для любого многообразия Федосова скалярная кривизна обращается в ноль, К = 0, а в нормальных координатах имеет место соотношение = \Rkiiji связывающее симплектическую структуру Шц и тензор кривизны Якщ ■

Открытие суперсимметричных теорий поля [52-59] (в том числе, теории супергравитации [60-62]) ввело в современную квантовую теорию поля ряд применений дифференциальной геометрии, которые основаны на понятии супермногообразия введенного и изученного выдающимся советским математиком Феликсом Александровичем Березиным [63-66]. В этих случаях супермногообразие необходимо оснастить подходящей симплекти-ческой структурой или (и) симметричной связностью. В настоящее время четные и нечетные симплектические супермногообразия широко используются при рассмотрении многих проблем современной теоретической и математической физики [67-81]. Систематическое изучение супермногообразий и римановых супермногообразий было выполнено ДеВиттом [82]. Также большой вклад в изучение этих объектов был сделан Лейтесом [83, 84] и Роджерсом [85].

Приставка "супер" используется со многими математическими объектами и обозначает расширение исходного понятия на случай, когда, помимо коммутирующих переменных, имеются и антикоммутирующие. Таким образом, под супермногообразием понимается расширение классического многообразия на случай, когда среди переменных встречаются антикоммутирующие величины. Исторически антикоммутирующие переменные и некоторые конструкции, которые сейчас обозначаются приставкой "супер", появились в математике за многие годы до того, как развитие суперсимметрии в физике вызвало взрыв интереса к такого рода объектам.

Изучение супермногообразий включает в себя математические идеи из геометрии, анализа, алгебры и топологии. В то время, как основная мотивация изучения этих объектов идет из физики элементарных частиц, понятия и язык супермногообразий оказались мощными инструментом при решении проблем во многих разделах теоретической физики и математики, и диапазон их применения продолжает расширяться. Одним из самых первых шагов в суперматематике было осознание Картаном того, что алгебра Клиффорда может быть реализована на некоторой алгебре Грас-смана, если определение дифференцирования по генератору понимать как умножение [86] - идея, которой суждено было сыграть важнейшую роль десятилетия спустя в связи с фермионными антикоммутационными соотношениями. В своей плодотворной работе по квантовым полям Швингер [87] ввел антикоммутирующие переменные для того, чтобы расширить до фер-мионов свое рассмотрение квантовых полей, используя функции Грина и источники. Дифференциальное исчисление функций от антикоммутирую-щих переменных было введено Мартином [88], который расширил метод квантования Фейнмана с помощью функциональных интегралов для систем содержащих фермионы и, таким образом, требующим проквантовать "классический" фермион.

Современная квантовая теория калибровочных полей может быть построена в, так называемом, формализме Баталина-Вилковыского [89,90]. Данный метод, развитый Баталиным И.А. и Вилковыским Г.А., обеспечивает универсальный замкнутый подход к ковариантному квантованию, основанному на специальном виде глобальной суперсимметрии, - БРСТ-симметрии, открытой Бекки, Руэ и Стора [91,92], и, независимо, также Тютиным [93]. Основным уравнением в БВ-формализме является мастер-уравнение для действия 5 5) = о, сформулированного в терминах антискобки (Г, й): (-1 е(^) = е> + еу + 1, где хг - локальные координаты на супермногообразии М, имеющие, так называемую, грассманову четность е{х1) = б;, которая принимает значение О для коммутирующих переменных и 1 - для антикоммутирующих. Индексами г, I обозначаются правые и левые производные по координатам. Антискобка обладает свойством обобщенной антисимметрии

Г С?) = (1)(^+1)(е(С0+1)((?>^)1 удовлетворяет тождеству Якоби:

С, Н))(-1)№+ШО)+1) + сус1е{Р, С, Я) ее О, и является, таким образом, суперпартнером для скобки Пуассона. Следовательно, первоначальная формулировка метода квантования Баталина-Вилковыского базируется на использовании, так называемых, антисим-плектических супермногообразий [67,68,94-96], то есть супермногообразий, оснащенных антискобкой. С точки зрения дифференциальной геометрии на многообразиях, антисимплектические супермногообразия, или, что тоже самое, нечетные симплектические супермногообразия являются новыми объектами не имеющие там аналогов.

В работе используются конденсированные обозначения, предложенные Девиттом [8], а также определения и утверждения принятые в [9]. Производные по переменным хг понимаются как действующие слева и для них используются стандартные обозначения дА/дхг. Для правых производных по хг используется обозначение А^ = дгА/дх1. Ковариантные производные понимаются как действующие справа, для них используются обозначения Уг- Грассманова четность любой величины А обозначается как е(Л).

Данное диссертационное исследование посвящено систематическому изучению основных свойств супермногообразий, оснащенных всеми возможными градуированными (четными и нечетными) структурами, которые могут быть описаны с помощью симметричных и антисимметричных тензорных полей второго ранга (скобка Пуассона, антискобка, дифференциальная 2-форма, метрика), а также симметрическими связностями, согласованными с заданными структурами на супермногообразиях. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.

Заключение

Подводя итог нашей работе и резюмируя результаты, полученные в ходе диссертационного исследования, мы можем отметить следующее:

1. Доказано, что форма уравнений, определяющих обратное тензорное поле к заданному невырожденному тензорному полю на супермногообразиях зависит от определения тензорных полей. Если для обычных матриц существует единственное представление в виде суммы симметричной и антисимметричной матриц, то для суперматриц, среди которых возможны восемь типов симметрии, такой единственности представления не существует. Однако, для тензорных полей на супермногообразиях восстанавливается указанная единственность представления в виде суммы тензорных полей противоположных сим-метрий. Суперматрица, обратная к невырожденной четной симметричной (антисимметричной) суперматрице, является симметричной (антисимметричной), в то время как к невырожденной нечетной симметричной (антисимметричной) матрице является антисимметричной (симметричной).

2. Доказано, что для произвольных градуированных метрических (то есть, четных или нечетных) супермногообразий, оснащенных симметричной связностью, согласованной с заданной метрической структурой, существует единственная связность, аналогично ситуации с геометрией Римана на многообразиях. Доказано, что алгебраические свойства тензора кривизны для четных и нечетных супермногообразий Римана формально совпадают друг с другом. Тензор Риччи симметричен для четных супермногообразий Римана и антисимметричен для нечетных супермногообразий Римана. Это, в свою очередь, приводит к тому, что тензор скалярной кривизны для четных и нечетных супермногообразий Римана, в общем случае, отличен от нуля.

3. Доказано, что для произвольных супермногообразий Римана существуют соотношения высших порядков между тензором кривизны, метрическим тензором и симметричной связностью, согласованной с заданным метрическим тензором как в нормальных координатах, так и в произвольных. И построена производящая функция этих соотношений.

4. Доказано, что алгебраические свойства тензора кривизны для четных и нечетных супермногообразий Федосова формально совпадают друг с другом. Показано, что тензор Риччи для четных супермногообразий Федосова симметричен, а в случае нечетных супермногообразий Федосова является тензором общего положения. В свою очередь, тензор скалярной кривизны для четных супермногообразий Федосова тождественно обращается в ноль, а для нечетных супермногообразий Федосова, в общем случае, отличен от нуля.

5. Показано, что супермногообразия, используемые для формулировки метода ковариантного квантования произвольных калибровочных теорий в общих координатах, можно отождествить с нечетными супермногообразиями Федосова.

6. Изучены соотношения высших порядков для произвольных супермногообразий Федосова, существующие между тензором кривизны, тензором симплектической структуры и симметричной симплектиче-ской связностью, как в нормальных координатах, так и в произвольных. В произвольных координатах построена производящая функция для соотношений высших порядков.

Результаты диссертации опубликованы в работах [104-111] и докладывались на конференциях студентов, аспирантов и молодых ученых "Наука и образование" ТГПУ (Томск 2004, 2005, 2006, 2007), на международной конференции QFEXT'05 (Барселона, Испания 2005), на семинарах Токийского университета (Токио, Япония 2006), на семинарах Департамента теоретической физики Сарагосского университета (Сарагоса, Испания 2007), на международных конференциях QFTG'05 (Томск 2005) и QFTG'07 (Томск 2007), а также на объединенных семинарах Лаборатории фундаментальных исследований, кафедры теоретической физики и кафедры математического анализа ТГПУ.

В завершение мне хотелось бы выразить особую признательность моему научному руководителю д. ф.-м. н., проф. П.М. Лаврову за плодотворные дискуссии, полезные советы и, конечно, неоценимую поддержку в течение нашей совместной работы. Я благодарна д. ф.-м.н., проф. A.B. Галажинскому и д. ф.-м. н., проф. A.B. Шаповалову за внимательное прочтение работы и конструктивную критику. Также хочу поблагодарить д. ф.-м. н., проф. И.Л. Бухбиндера, д. ф.-м. н., проф. В.Г. Багрова, ректора

ТГПУ д. ф.-м. н., проф. В.В. Обухова , д. ф.-м. н., проф. К.Е. Осетрина за ценные обсуждения, советы и помощь.

1. Арсенин В.Я. Методы математической физики и специальные функции. - М.: Наука, 1984. - 383 с.

2. Блашке В. Введение в дифференциальную геометрию.-М.: Изд-во РХД, 2000. 232 с.

3. Годбийон К. Дифференциальная геометрия и аналитическая механика.- М.: Мир, 1973. 188 с.

4. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. Методы и приложения: В 3 т. Т.1: Геометрия и топология многообразий.- М.: УРСС, 2001. 296 с.

5. Мищенко A.C., Фоменко А.Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии. М: Изд-во МГУ, 1980. - 439 с.

6. Палис Ж., Ди Мелу В. Геометрическая теория динамических систем. Введение. М.: Мир, 1986. - 304 с.

7. Сарданашвили Г.А. Современные методы теории поля: В 4т. Т.1.: Геометрия и классические поля. М: УРСС, 1996. - 224 с.

8. Сарданашвили Г.А. Современные методы теории поля: В 4т. Т.2.: Геометрия и классическая механика. М: УРСС, 1998. - 168 с.

9. Сарданашвили Г.А. Современные методы теории поля: В 4т. Т.4: Геометрия и квантовые поля. М: УРСС, 2000. - 160 с.

10. Фоменко А.Т. Дифференциальная геометрия и топология. Дополнительные главы. М.: Изд-во МГУ, 1983. - 216 с.

11. Шутц Б. Геометрические методы математической физики. М.: Мир, 1984. - 304 с.

12. Flanders F. Differential forms with Applications to the Physical Sciences. N.-Y.: Acad. Press., 1963. - 203 p.

13. Frankel Th. The Geometry of Rhysics. An Introduction. Cambridge : Cambridge University Press, 1997. - 656 p.

14. Абрамов A.A. Введение в тензорный анализ и риманову геометрию. -М.: ФМЛ, 2001. 112 с.

15. Бураго Ю.Д., Залгаллер В.А. Введение в риманову геометрию. М.: Наука, 1994. - 318 с.

16. Бишоп Р., Криттенден Р. Геометрия многообразий. Новокузнецк: Изд-во ИО НФМИ, 1998. - 332 с.

17. Громол Д., Клингенберг В., Мейер В. Риманова геометрия в целом. -М.: Мир, 1971. 343 с.

18. Новиков С.П., Тайманов И.А. Современные геометрические структуры и поля. М.: ФМЛ, 2005. - 584 с.

19. Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии. М: ГИТТЛ, 1956. - 420 с.

20. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ. М.: Наука, 1967. - 664 с.

21. Lee J.M. Riemannian Manifolds: an Introduction to Curvature. Springer, 1997. - 224 p.

22. Фейнман P. Квантовая электродинамика. M.: Мир, 1964. - 220 с.

23. Бредов М.М., Румянцев В.В., Топтыгин И.Н. Классическая электродинамика. С.-Пб.: Изд-во "Лань", 2003. - 400 с.

24. Де Гроот С., Сатторп Л.Г. Электродинамика. М.: Наука, 1982. - 560 с.

25. Ахиезер В.В., Берестецкий В.Т. Квантовая электродинамика. М.: Наука, 1981. - 431 с.

26. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: В 10 т. Т.2.: Теория поля. М.: Физматгиз, 2002. - 424 с.

27. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: В 10 т. Т.4.: Квантовая электродинамика. М.: ФМЛ, 2002. - 720 с.

28. Пановский В., Филипс М. Классическая электродинамика. М.: Физматгиз, 1963. - 432 с.

29. Аберс Е.С., Ли Б.В. Калибровочные теории. Новокузнецк: Изд-во ИО НФМИ, 1998. - 200 с.

30. Atiyah M.F. Geometry of Yang-Mills fields.-Pisa: Accad. Naz. Lincei, 1979. 98 p.

31. Богуш A.A. Введение в калибровочную полевую теорию электрослабых взаимодействий. М.: УРСС, 2003. - 360 с.

32. Вайнберг С. Квантовая теория поля. В Зт. Т.2.: Современные приложения. М.: ФМЛ, 2003. - 528 с.

33. Ициксон К., Зюбер Ж.-Б. Квантовая теория поля. В 2т. Т.2. М.: Наука, 1984. - 400 с.

34. Кушниренко А.Н. Введение в квантовую теорию поля. М.: ВШ, 1983. - 320 с.

35. Пескин М., Шредер Д. Введение в квантовую теорию поля. Ижевск: Изд-во РХД, 2001. - 784 с.

36. Райдер JI. Квантовая теория поля. М.: Мир, 1987. - 511 с.

37. Рубаков В.А. Классические калибровочные поля: В 2т. Т.1.: Бозонные теории. М. : УРСС , 1999. - 335 с.

38. Рубаков В.А. Классические калибровочные поля: В 2т. Т.2.: Теории с фермионами. Некоммутативные теории. М. : УРСС , 2005. - 236 с.

39. Славнов A.A., Фаддеев Л.Д. Введение в квантовую теорию калибровочных полей. М.: Наука, 1978. - 238 с.

40. Соколов A.A., Тернов И.М., Жуковский В.Ч., Борисов A.B. Калибровочные поля. М.: Изд-во МГУ, 1986. - 260 с.

41. Умэдзава X. Квантовая теория поля. М.: Изд-во иностранной литературы, 1958. - 384 с.

42. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1979. - 432 с.

43. Фоменко А.Т. Симплектическая геометрия. Методы и приложения. -М.: Изд-во МГУ, 1988. 413 с.

44. Владимиров Ю.С. Геометрофизика. М.: Бином, 2005. - 600 с.

45. Петров А.З. Пространства Эйнштейна. М.: ГИФМЛ, 1961. - 463 с.

46. Batalin I.A., Tyutin I.V. Quantum geometry of symbols and operators//Nucl. Phys. B. 1990. - V.345. - P.645-658.

47. Geyer В., Lavrov P. Modified triplectic quantization in general coordinates//Int. J. Mod. Phys. A. 2004. - V.19. - P.1639-1654. -arXiv:hep-th /0304011.

48. Fedosov B.V. A simple geometrical construction of deformation quantization //J. Diff. Geom. 1994. - V.40. - P. 213-238.

49. Fedosov B.V. Deformation Quantization and Index Theory. Berlin: Akademie Verlag, 1996. - 324 p.

50. Gelfand I., Retakh V., Shubin M. Fedosov Manifolds//Advan. Math. 1998. - V.136. - P. 104-129. - arXiv:dg-ga/97070242.

51. Batalin I.A., Bering K. Odd scalar curvature in field-antiiield formalism. -arXiv:hep-th/0708.04006.

52. Golfand Yu.A., Likhtman E.P. Extension of the algebra of Poincare group generators and violation of p invariance//JETP Lett. 1971. - V.13. -P.323-326.

53. Wess J., Zumino B. A Lagrangian model invariant under supergauge transformations//Phys. Lett.B. 1974. - V.49. - P.52-75.

54. Вайнберг С. Квантовая теория поля. В Зт. Т.З.: Суперсимметрия. М.: Изд-во "Фазис", 2002. - 458 с.

55. Buchbinder I.L., Kuzenko S.M. Ideas and Methods of Supersymmetry and Supergravity or A Walk Through Superspace. Bristol and Philadelphia: Institute of Physics Publishing, 1995. - 640p.

56. Galperin A., Ivanov E., Kalitsyn S., Ogievetsky V., Sokatchev E. Unconstrained N=2 matter, Yang-Mills and supergravity theories in harmonic superspace// Class.Quant.Grav.-1984.-V.l.-P.469-498.

57. Galperin A., Ivanov E., Ogievetsky V., Harmonic space and quaternionic manifolds// Ann.Phys.-1994.-V.230.-P.201-249.

58. Ivanov E. On the harmonic superspace geometry of (4,4) supersymmetric sigma models with torsion// Phys.Rev.D.-V.53.-P.2201-2219.

59. Bandos I., Ivanov E., Lukierski J., Sorokin D. On the superconformal flatness of ADS superspace// JHEP.- 0206:040,2002.

60. Deser S., Zumino B. Consitent supergravity// Phys. Lett.B. 1976. - V.62. - P.335.

61. Freedman D.Z., van Nieuwenhuizen P., Ferrara S. Progress toward a theory of supergravity// Phys. Rev.D. 1976. - V.13. - P.3214.

62. Freedman D.Z.,van Nieuwenhuizen P. Properties of supergravity theory// Phys. Rev. D. 1976. - V.14. - P.912.

63. Berezin F.A.Mathematical Base Of Supersymmetrical Field Theories//Yad. Fiz. 1979. - V.29. - P.1670-1687.

64. Berezin F.A., Leites D.A. Supermanifolds// Sov. Math. Dokl. 1979. -V.16. - P.1218.

65. Berezin F.A. Differential Forms On Supermanifolds//Yad. Fiz. 1979. -V.30. - P.1168-1174.

66. Березин Ф.А. Введение в алгебру и анализ с антикоммутирующими переменными. М.: Изд-во МГУ, 1983. - 208 с.

67. Witten Е. Note on the antibracket formalism//Mod. Phys. Lett.A. 1990. - V.5. - P.487-494.

68. Khudaverdian O.M. Geometry of superspace with even and odd brackets//J. Math. Phys. 1991. - V.32. - P.1934-1937.

69. Schwarz A. Geometry of Batalin-Vilkovisky quantization// Commun.Math.Phys. 1993. - V.155. - P.249-260. - hep-th/9205088.,

70. Batalin I.A., Tyutin I.V. On possible generalizations of field-antifield formalism // Int.J.Mod.Phys.A. 1993. - V.8. - P.2333-2350. - arXiv:hep-th/9211096.

71. Khudaverdian O.M., Nersessian A.P. On Geometry of Batalin-Vilkovisky Formalism// Mod. Phys. Lett.A. 1993. - V.8. - P.2377-2385.

72. Khudaverdian O. and Nersessian A.P. Batalin-Vilkovisky formalism and integration theory on manifolds//J. Math. Phys. 1996. - V.37. - P.3713-3724.

73. Schwarz A. Semiclassical approximation in Batalin-Vilkovisky formalism// Comm. Math. Phys. 1993. - V.158. - P.373-396. - hep-th/9210115v2.

74. Batalin LA., Tyutin I.V. On the multilevel generalization of the field-antifield formalism// Mod. Phys. Lett.A. 1993. - V.8. - P.3673-3682. -hep-th /930901 lvl.

75. Batalin I.A., Tyutin I.V. On the multilevel field-antifield formalism with the most general Lagrangian hypergauges// Mod. Phys. Lett.A. 1994. -V.9. - P. 1707-1716. - hep-th/94031801.,

76. Hata H., Zwiebach B. Developing the covariant Batalin-Vilkovisky approach to string theory//Ann. Phys. 1994. - V.229. - P.177-216. - hep-th/93010972.

77. Alfaro J., Damgaard P.H. Generalized Lagrangian master equations//Phys.Lett.B. 1994. - V.334. - P. 369-377. - hep-th/94051121.

78. Alexandrov M., Kontsevich M., Schwarz A., Zaboronsky O., The geometry of the master equation and topological quantum field theory// Int. J. Mod. Phys.A. 1997. - V.12. - P.1405-1430. - arXiv:hep-th/9502010.

79. Cattaneo A., Felder G. On the AKSZ formulation of the Poisson sigma model// Lett. Math. Phys. 2001. - V.56. - P. 163-179. -arXiv:math/0102108.

80. Cattaneo A., Felder G. Poisson sigma models and deformation quantization //Mod. Phys. Lett. A. 2001. - V.16. - P.179-190.

81. Khudaverdian H.M. Laplacians in Odd Symplectic Geometry// Contemp.Math. 2002. - V.315. - P.199-212. - arXiv:math/0212354.

82. DeWitt В. Supermanifolds. Cambridge: Cambridge University Press, 1992. - 423 p.

83. Лейтес Д.А. Введение в теорию супермногообразий//УМН. 1980. -Т.35. - С.3-57.

84. Лейтес Д.А. Теория супермногообразий. Петрозаводск: Изд-во Карел, фил. АН СССР, 1983. - 198 с.

85. Rogers В. Supermanifolds: theory and applications.- London: Word Scientific Publishing, 2006. 251 p.

86. Cartan E. La theorie des groupes finis et continus et la geometrie différentielle traitee par la methode du repere mobile. Paris: Gauthier-Villars, 1937. - V.18. - 367 p.

87. Schwinger J. Particles and sources. New York: Gordon and Breach, 1969.

88. Martin J., Weinstein A. Reduction of symplectic manifolds with symmetry//Rep.Math.Phys. 1974. - V.5. - P.121-130.

89. Batalin I.A., Vilkovisky G.A. Gauge algebra and quantization //Phys. Lett.В. 1981. - V.102. - P.27-31.

90. Batalin I.A., Vilkovisky G.A. Quantization of gauge theories with linearly dependent generators// Phys. Rev. D. 1983. - V.28. - P.2567-2582.

91. Becchi C., Rouet A., Stora R. The abelian Higgs Kibble model, unitarity of the S-operator// Phys. Lett. B. 1974. - V.52. - P.344-346.

92. Becchi C.,Rouet A., Stora R. Renormalization of the Abelian Higgs-Kibble model// Commun.Math.Phys. 1975. - V.42. - N2 - P.127-162.

93. Tyutin I.V. Gauge invariance in field theory and stastical physics in operator formalism: Preprint. Moscow: Lebedev Inst, preprint, 1975.-N 39.

94. Hull C.M., Spence В., Vazquez-Bello J.L. The geometry of quantum gauge theories: A superspace formulation of BRST symmetry// Nucl. Phys.B. -1991. V.348. - P.108.

95. Khudaverdian 0., Nersessian A.P. On the geometry of Batalin-Vilkovisky formalism// Mod. Phys. Lett. A. 1993. - V.8. - P. 2375.

96. Henneaux M. Geometrical interpretation of the quantum master equation in the BRST-anti-BRST formalism// Phys. Lett.B. 1992. - V. 282. - P.372.

97. Мак-Коннел А. Дж. Введение в тензорный анализ с приложениями к геометрии, механике и физике. М.: Физматгиз, 1963. - 411 с.

98. Димитриенко Ю.И. Тензорное исчисление. М.: ВШ, 2001. - 575 с.

99. Схоутен Я.А. Тензорный анализ для физиков. М.: Наука, 1965. - 456 с.

100. Aris R. Vectors, Tensors and the Basic Equations of Fluid Mechanics . -N.Y.: Dower Publications, 1989. 314 p.

101. Сокольников И.С. Тензорный анализ: Теория и применения в геометрии и механике сплошных сред. М.: Наука, 1971. - 374с.

102. Гитман Д.М., Тютин И.В. Каноническое квантование полей со связями. М.: Наука, 1986. - 216с.

103. Geyer В., Lavrov P. Fedosov Supermanifolds. II. Normal Coordinates//Int. J. Mod. Phys. A. 2005. - V.20. - P.2179-2194. -hep-th/0406206.

104. Lavrov P.M., Radchenko O.V. On higher order relations in Fedosov supermanifolds// Journal of Physics A: Mathematical and General. -2006. V. 39. - P. 6501-6508.

105. Лавров П.М., Радченко О.В. Супермногообразия Федосова //ТМФ.-2006.-T.149.-N2.- С.202-227.

106. Лавров П.М., Радченко О.В. Нечетные симплектические геометрии на супермногообразиях // Известия ВУЗов. Физика. 2008. - Т.51. - N.2 -С.52-57.

107. Lavrov P.M., Radchenko O.V. Symplectic geometries on supermanifolds // International Journal of Modern Physics A. 2008. - V.23. - N 9. -P.1337-1350.