Совершенствование методов решения двух обратных задач экспериментальной аэродинамики тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

РГ5 ОД

Подласкин Алексей Борисович

СОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ ДВУХ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ АЭРОДИНАМИКИ

(специальность 01.02.05 - механика жидкости, газа

и плазмы)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2000

Работа выполнена в Физико-техническом институте им. А.Ф.Иоффе Российской Академии наук, Санкт-Петербург.

Научный руководитель: кандидат технических наук

Н.П.Менде.*

Официальные оппонеаты:

доктор физико-математических наук И.А.Жмакин; кандидат физико-математических наук В.О.Афанасьев.

Ведущая организация: Всероссийский НИИ

Проблем электрофизики РАН.

Защита диссертации состоится " £ " _2000 года

в № часов на заседании диссертационного совета Д 063.38.15

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт/Петербургского государственного технического университета .

Автореферат разослан "2-1" 2000 года.

Ученый секретарь диссертационного совета

кандидат физико-математических наук Д.К.Зайцев.

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Развитие аэрокосмической техники ставит перед исследователями разнообразные газодинамические задачи. Среди перспективных форм, аэродинамика которых является предметом изучения в настоящее время, можно назвать спускаемые модули космических аппаратов (включая межпланетные), гиперзвуковой самолет, снаряды, формируемые и метаемые взрывом. Изучение движения и обтекания объектов ракетно-космической техники при высоких (обычно сверхзвуковых) скоростях можно, в частности, проводить на баллистической установке, оснащенной комплексом аппаратуры для измерений и регистрации быстропротекающих процессов. Достоинством баллистического метода является то, что в нем реализуется движение модели в покоящемся газе (прямое моделирование внешнего обтекания в отличие от обращенного в аэродинамических трубах); это обеспечивает меньшие по сравнению с другими экспериментальными подходами отклонения от реальной физической картины явлений, сопровождающих полет объекта. При этом имеется возможность исследования как суммарных аэродинамических характеристик тел сложной формы, так и определения локальных параметров течения в относительно простых случаях. Следует отметить, что баллистические испытания составляют небольшую долю в общей совокупности аэродинамических исследований, что с учетом их достоинств придает особую ценность получаемым результатам. В то же время получение этих результатов сопряжено с решением некорректных обратных задач, требующих индивидуального подхода, поэтому совершенствование методов решения подобных задач не утрачивает актуальности.

Современное состояние численных методов позволяет осуществлять численное моделирование широкого класса газодинамических процессов. Численное моделирование дает, в принципе, полное описание исследуемого явления. Однако, вопросы приемлемости используемых математических моделей и работоспособности расчетных схем требуют верификации численных методов с использованием достоверных экспериментальных данных, что в свою очередь^придает актуальность совершенствованию экспериментальных методик.

Цель работы.

Целью данной диссертации является развитие методики определения аэродинамических характеристик по траекторным данным, полученным на баллистической установке, а также совершенствование интерференционной диагностики состояния газа около сверхзвукового объекта. Эти два направления исследования рассматриваются в работе параллельно, так как они являются взаимодополняющими в смысле полноты изучения процессов, сопутствующих сверхзвуковому движению тел в газах, а кроме того;их объединяет общность применяемого математического аппарата.

Достижение поставленной цели включило следующие этапы.

1.Анализ имеющихся методов решения обратной математической задачи определения аэродинамических характеристик (АДХ) на основе измерений траекторных данных летящего объекта и поиск путей возможного их совершенствования. Разработка и тестирование нового варианта методики, приемлемого для случаев существенно нелинейных зависимостей АДХ от угла атаки и исследование вопроса о статистическом контроле получаемых решений.

2.Построение алгоритма реконструкции плотности газа в трехмерном аэродинамическом объекте по данным интерференционных измерений, гарантирующей адекватное представление особенностей разрывного сверхзвукового течения, с привлечением методов математической статистики для оценивания значимости параметров аппроксимаций, адекватности математических моделей и доверительных интервалов окончательных результатов.

3.Исследование возможности математического планирования эксперимента с целью оптимизации условий его проведения с помощью алгоритмов, используемых для решения обратных задач (п. п. 1,2). Разработка и тестирование алгоритмов и программ математического планирования траекторных измерений и моделирования интерферограмм.

Методы исследования.

Экспериментальная часть работы основана на физическом моделировании сверхзвукового движения в газах баллистическим методом с применением различных методов оптической регистрации и диагно-

стики течений. Получение конечных результатов—аэродинамических характеристик исследуемых объектов и параметров газа около них— связано с решением обратных задач математической физики. Решение проводится известными;в принципе методами (методы подбора, методы с разложением в ряды) с привлечением методов математической статистики, адаптированных к конкретной физической задаче с целью получения достоверных и устойчивых решений на основе максимального использования априорной информации об объекте исследования.

Научная новизна.

Предложена новая модификация методики определения аэродинамических характеристик летящего объекта по траекторным данным для случая существенно нелинейных и немонотонных зависимостей аэродинамических коэффициентов в широком диапазоне углов атаки. Впервые проведено статистическое оценивание параметров нелинейных моделей АДХ, найденных по траекторным данным, а также распределений плотности газа, полученных на основе интерференционно-томографических измерений. Построены доверительные интервалы окончательных результатов.

Разработаны новые методики математического планирования баллистического эксперимента с целью предварительной оценки ожидаемых погрешностей определения аэродинамических характеристик объекта и плотности газа при выбранном плане эксперимента (число и расположение постов регистрации траекторных данных, состояние газовой среды, настройка интерферометра) и заданных погрешностях измерений траекторных данных и оптической разности хода. Предложены новые подходы к оптимизации условий определения силовых аэродинамических характеристик и распределений плотности газа.

Практическая ценность работы.

Методические результаты исследований могут найти применение при разработках математического обеспечения систем обработки данных баллистического эксперимента и оптических измерений в газодинамике. Отличительной особенностью предлагаемого подхода является применение статистических методов оценивания параметров как на

промежуточных этапах (оценка значимости и доверительных интервалов искомых параметров математических моделей), так и для оценки доверительных интервалов окончательных результатов. Аналоги такого подхода к решению рассмотренных задач в имеющейся литературе отсутствуют.

Внедрение результатов.

1.Методические разработки, представляемые в настоящей работе были переданы для внедрения в виде научно-технических отчетов в отраслевой институт (НИИХСМ, Московская область), где создавался крупнейший баллистический испытательный комплекс. Для этого полигона специально разрабатывались системы диагностического оборудования и методики математического сопровождения экспериментальных исследований. Результаты использования переданных материалов не получены в связи с приостановкой работ по вводу комплекса в эксплуатацию. Отработка методик и алгоритмов проводилась на модельных задачах и с применением данных, полученных на баллистической установке ФТИ. Некоторые отчетные материалы, составленные в ходе сотрудничества с НИИХСМ, депонированы в ВИНИТИ [1].

2.Интерес к проводимым разработкам проявлен в Китайском аэродинамическом исследовательском центре (China Aerodynamic Research and Development Centre). В соответствии с соглашением о сотрудничестве между ФТИ и Китайским Центром стороны произвели обмен оборудованием и математическим обеспечением обработки экспериментальных данных. В ноябре-декабре 1997 г. в Институте разработок оборудования Китайского Центра были проведены томографические исследования обтекания конуса под углом атаки в сверхзвуковой аэродинамической трубе. В работе приняли участие представители ФТИ, в частности, автором диссертации были внедрены в практику исследований Центра прикладные программы реконструкции плотности газа по наборам интерференционных проекций трехмерного течения.

Основные положения, выносимые на защиту.

На защиту выносятся следующие новые научные результаты, полученные автором в процессе решения поставленных задач:

1.Разработанная методика определения аэродинамических характеристик летящего объекта по траекторным данным позволяет определять нелинейные зависимости аэродинамических коэффициентов от угла атаки. Впервые проведено статистическое оценивание параметров нелинейных моделей АДХ, искомых по траекторным данным. Для экспериментов с острым конусом получены точности (то есть доверительный интервал искомых параметров) в единицы процентов (демпфирование - 28% вследствие малой длины трассы). Вариант этой же методики с применением сплайнов обеспечивает сходимость для более сложных (существенно нелинейных, немонотонных) случаев, что продемонстрировано на модельных данных, отражающих реальные зависимости аэродинамических характеристик от условий движения.

2.Показано, что предложенная методика реконструкции плотности газа с выделением газодинамических разрывов и областей сильных градиентов плотности позволяет минимизировать необходимое число интерференционных проекций и максимально адекватно отразить структуру течения. По данным эксперимента впервые получены распределения плотности воздуха в течение около сверхзвукового конуса под углом атаки при обработке 5 проекций.

3.Впервые проведено статистическое оценивание параметров аппроксимации плотности газа, реконструируемой по интерференционно-томографическим измерениям. Это позволило контролировать точность математических моделей и обеспечило оценку погрешностей окончательных результатов. В частности, полученная точность результатов определения плотности воздуха в течение около сверхзвукового конуса под углом атаки (оценена как 1 ..5%) позволяет применять их для верификации методов численного моделирования течений. Показано, что использованная методика обладает устойчивостью и быстрой сходимостью даже в условиях сильной зашумленности исходных данных.

4.Разработанные приемы математического планирования измерений траекторных данных и оптической разности хода позволяют оптимизировать условия определения силовых аэродинамических характеристик и распределений плотности газа, получать искомые параметры с требуемой точностью при меньших объемах физического моделирования.

Апробация работы.

Основные положения и результаты диссертационной работы обсуждались на отечественных и международных конференциях. Доклады были представлены на Международный симпозиум по вычислительной томографии (Новосибирск, 1993), III и IV Межгосударственные научно-технические конференции "Оптические методы исследования пото-ков"(Москва, 1995 и 1997), на международный Азиатский симпозиум по визуализации течений (Пекин, 1996). Сделаны доклады на научных семинарах лаборатории физической газодинамики ФТИ им. А.Ф.Иоффе и Китайского аэродинамического центра (1997).

Публикации.

Реферируемые публикации автора по теме диссертации включают статьи в ЖТФ [2,3] и журнале Измерительная техника [4], депонированную в ВИНИТИ рукопись [1].

Личный вклад автора.

Диссертационная работа отражает личный вклад автора в исследования, выполненные авторским коллективом. Общая постановка задач исследования принадлежит научному руководителю. Участие коллег в проведении экспериментов и в теоретических обсуждениях отражено в соавторстве работ [1-5].

Структура и объем диссертации.

Диссертация содержит введение, четыре главы и заключение. Общий объем работы составляет 141 страницу, включая 23 рисунка и список литературы из 44 наименований.

Содержание работы.

Во введении охарактеризована актуальность темы, проведена общая постановка задач, которые стоят перед автором в рамках темы работы, кратко указаны цели, достижение которых составило существо диссертации и сформулированы положения, выносимые на защиту. Здесь же

представлена логическая структура излагаемого ниже материала. А именно, вначале рассмотрению последовательно подвергаются две обратные некорректные задачи баллистического эксперимента, имеющие общую математическую природу: измеряемые функции отклика связаны с искомыми функциями интегральными операторами. Соответственно, ряд приемов, используемых в процессе поиска решений оказывается общим. Затем анализируются возможности применения развитых методик для математического планирования эксперимента с целью оптимизации условий его проведения. Критический разбор основных методов решения.названных задач, предлагавшихся и применявшихся ранее, также представлен во введении. Первая глава диссертации посвящена методикам решения обратной задачи, возникающей при обработке траекторных измерений с целью определения аэродинамических сил и моментов, действующих на объект. Суть этой задачи состоит в том, что в эксперименте получают дискретные сведения о траектории объекта, т.е. его координаты в определенные моменты времени, в то время как для описания траектории в распоряжении экспериментатора имеется лишь система нелинейных дифференциальных уравнений движения, в которые наряду с производными координат входят искомые аэродинамические коэффициенты. Большинство авторов стремится связать системой алгебраических уравнений в точках плана эксперимента искомые аэродинамические коэффициенты либо с найденными численно производными координат, либо с самими координатами, прибегая к формальной записи решения в виде интегралов с текущим верхним пределом с последующим приближенным их вычислением (под интегралами оказываются дискретно заданные функции). Подобные методы способны дать лишь достаточно грубую оценку искомых коэффициентов и не позволяют оценить допускаемую при этом погрешность аппроксимации. В данной работе мы следуем подходу Чепмена-Кирка [6]: решение ищется путем численного интегрирования дифференциальных уравнений движения, причем в качестве первых приближений искомых параметров могут быть использованы только что упомянутые грубые оценки. Подбор решения ведется путем минимизации расстояния (по квадратичной метрике) модельной траектории объекта от траектории, зарегистрированной экспериментально.

Поскольку выражение для целевой функции-остаточной суммы квадратов отклонений модельной траектории от реальной-оказывается нелинейным по отношению к искомым параметрам, приходится прибегнуть к линеаризации путем представления функций отклика многомерными рядами Тейлора по искомым параметрам и сохранению в выражениях только линейных членов ряда (метод Гаусса-Ньютона). Для решения системы уравнений, являющихся условиями минимума целевой функции, относительно приращений искомых коэффициентов, позволяющих уменьшить отклонения модельной траектории от реальной, необходимо найти первые производные функций отклика по искомым параметрам, входящие в линеаризованное выражение целевой функции. Для этого уравнения движения дифференцируют по искомым параметрам и в результате получают уравнения чувствительности—в данном случае обыкновенные дифференциальные уравнения ~г.о числу искомых параметров. Совместное численное интегрирование уравнений движения и уравнений чувствительности позволяет найти необходимые первые производные функций отклика в точках плана, после чего из уравнений, полученных из линеаризованного выражения для целевой функции находят поправки к принятому приближению искомых параметров.

Параметрическая линеаризация целевой функции не позволяет найти ее минимум в один прием и порождает итерационный процесс Таким образом, исходная нелинейная задача сводится к последовательности линейных регрессионных задач. Как показал оньи, характер уравнений движения и априорная информация о начальном приближении вектора параметров модели в большинстве случаев обеспечивает быструю сходимость итерационного процесса даже при довольно грубом выборе начальных приближений искомых параметров: начальное приближение коэффициента момента достаточно оценить по основной гармонике колебаний (линейное приближение), а коэффициенты сопротивления и подъемной силы можно взять постоянным и линейным соответственно, из области их реальных средних значений. Поскольку поиск параметров ведется методом последовательных приближений, оказывается возможной частичная декомпозиция системы уравнений движения. Декомпозиция системы трех уравнений плоского движения тела (двух проекций уравнения движения центра масс и урав-

нения углового движения по тангажу) основана на ограничении взаимосвязи уравнения углового движения с уравнениями движения центра масс, именно, уравнение углового движения интегрируется изолированно, а входящие в него члены, обусловленные движением центра масс, вычисляются либо с использованием начальных приближений коэффициентов сопротивления и подъемной силы на первом шаге итераций, либо по их значениям, найденным на предшествующих шагах. Уравнения движения центра масс, естественно, интегрируются с учетом решения уравнения углового движения. При таком подходе уменьшается число частных производных функций отклика (угла тангажа, координат х или^) по искомым параметрам, необходимым для построения поправок к этим параметрам в процессе итерационного подбора методом Гаусса-Ньютона, что уменьшает размерность матриц и, следовательно, улучшает устойчивость процесса.

В работе [6], где впервые был применен изложенный подход, ничего не говорится о технике построения адекватной математической модели, описывающей анализируемое движение. Нам представилось весьма важным применение методов статистического оценивания подбираемых аппроксимаций. Поскольку итерационная процедура метода Гаусса-Ньютона состоит из последовательности решений линейных регрессионных задач, можно использовать для отыскания статистических характеристик оценок параметров в точке минимума целевой функции дисперсионную матрицу, построенную по упоминавшейся выше матрице частных производных [7]. По ее элементам оцениваются доверительные интервалы коэффициентов разложения АДХ и контролируется их значимость. Проверка значимости проводится для каждого коэффициента при "наращивании" модели (увеличении числа членов полинома) в процессе поиска наилучшего приближения. Кроме того, поскольку дисперсионная матрица содержит дисперсии и ковариации искомых параметров разложений аэродинамических коэффициентов, это позволяет оценить доверительные интервалы функций, описывающих эти коэффициенты

Однако даже при выполнении необходимого условия значимости коэффициентов разложения искомой функции, вопрос об адекватности модели решается на основании оценок дисперсий аппроксимации траектории (т.е. линейных и угловых координат), статистически одинако-

вые значения которых могут соответствовать разным математическим моделям, описывающим движение. Таким образом, следует отдавать отчет в том, что адекватность модели достигается лишь в рамках реализованного плана эксперимента и только в смысле уравнивания (по статистическим критериям) дисперсии аппроксимации траектории с дисперсией измерений координат.

В первой части главы 1 рассматривается полиномиальная регрессия аэродинамического момента на угол атаки. Приводятся результаты обработки трех пусков острых конусов с углом 30 градусов при вершине. По траекторным данным реконструированы нелинейные момент-ные характеристики конуса. Сравнительный анализ этих результатов с имеющимися в литературе данными измерений и расчетов (конус-одно из наиболее изученных тел) свидетельствует о высокой точности полученных экспериментальных данных и позволяет считать остаточные дисперсии аппроксимаций траекторных данных достоверными оценками дисперсии измерений.

В следующих далее параграфах первой главы идет речь о баллистических объектах, обладающих более сложной формой зависимостей аэродинамических коэффициентов от угла атаки. Хотя АДХ, как правило, описываются гладкими нелинейными функциями, они, например, могут быть существенно немонотонными. В подобных случаях можно предположить неэффективность описания модели движения объекта с использованием отрезков степенных рядов как формы регрессии искомых функций. С увеличением числа членов ряда ухудшается обусловленность матриц метода наименьших квадратов, и доверительный интервал для суммы отрезка ряда в конце интервала аппроксимации многократно увеличивается за счет погрешностей коэффициентов при высоких степенях независимой переменной. Кроме того, поскольку степенной базис не является ортогональным, введение новых членов аппроксимации искомой функции изменяет величины коэффициентов регрессии при младших степенях независимой переменной. Также возможно появление нефизичных осцилляций. Все это склоняет искать иные формы представления искомых функций при подборе решения. В качестве варианта было предложено разбивать диапазон изменения независимой переменной на несколько субинтервалов и строить регрессию из отрезков степенных рядов с малым числом членов, "сшитых" на грани-

цах интервалов по величине и первой производной. Особенности вычислительной процедуры при этом определяются различной записью уравнений движения на субинтервалах. Поскольку на разных интервалах угла атаки на целевую функцию по-разному влияют коэффициенты регрессии (какие-то—непосредственно, какие-то—через посредство своего влияния на предыдущих участках), вычисление коэффициентов уравнений чувствительности производится также в соответствии с принадлежностью к тому или иному интервалу. Тем не менее, из вычисленных таким образом производных строится единая матрица нормальных уравнений метода наименьших квадратов—ведь она относится к единому уравнению, задающему движение объекта, и все коэффициенты, привлеченные для описания искомой функции,оказываются корре-лированы.

В качестве примера рассмотрено применение квадратичных сплайнов для описания статического аэродинамического момента условного объекта, траектория которого была смоделирована численно. Варьируя количество и положение границ интервалов, можно достичь приемлемых результатов определения коэффициента момента. Практическим путем было установлено, что хорошие результаты в плане эффективности и точности дает назначение границ в точках экстремумов и перегибов искомой функции, что, впрочем, ясно и из общих соображений. Так как в случае обработки траекторных данных реального объекта форма искомой функции момента неизвестна, выбор границ интервалов придется производить последовательно. В конце главы делается следующее заключение о применении предложенного алгоритма определения АДХ по траекторным измерениям. Подбор начального приближения в той форме, которая предполагается при сплайновой форме регрессии, нереально осуществить, располагая лишь первичными данными конкретного эксперимента. Поэтому целесообразно начинать обработку экспериментальных результатов, например, с помощью оригинального алгоритма Чепмена-Кирка. Получив представление об искомых функциях, можно перейти к новому алгоритму и провести сравнительную оценку решений, найденных двумя способами по их адекватности (насколько о ней можно судить вообще, как об этом говорилось выше) и погрешностям. Выявленные в ходе аппроксимаций по Чепмену-Кирку особенности искомой функции

помогут при построении сплайнов.

Во второй главе диссертации рассматривается другая обратная задача—реконструкция плотности газа в трехмерном течении путем обработки набора интерферограмм исследуемого объекта в различных ракурсах (под известными углами наблюдения) методами реконструктивной томографии. Математически существо данной задачи близко к рассмотренной в главе 1, поскольку искомая величина—плотность газа-должна быть вычислена по значениям интегралов, заданных таблично. В отличие от многих других приложений томографического синтеза, баллистический эксперимент ограничен, как правило, малым количеством проекционных данных, что делает нереальным использование распространенных алгебраических методов. В настоящей работе проведено рассмотрение зонного метода томосинтеза газодинамического объекта с существенным использованием информации о газодинамических особенностях объекта.

Обработке подвергаются отдельные сечения неоднородное™, таким образом трехмерная задача расщепляется на двумерные. Расчетная область разбивается сеткой в виде кольцевых зон с учетом г еометрии рассматриваемого сечения. Реконструкция плотности газа зонным методом (он может быть отнесен к типу "методов разложения в ряды" по классификации [8]) предполагает замену реального распределения пгютности дискретизированным: таким образом исходная некорректная задача оказывается преобразована к последовательности регрессионных задач для каждой зоны. Используется ступенчатая ¿широкаша-ция искомой функции: плотность газа в каждой зоне полагают постоянной в радиальном направлении и изменяющейся только в азимутальном. Для аппроксимации распределений плотности в азимутальном направлении использовались отрезки четных рядов Фурье (предполагается плоскостная симметрия объекта), наиболее удобные для функций, меняющихся плавно по угловой координате. Понятно, что при наличии в течении областей, резко отличающихся от смежных с ними по характеру поведения плотности, необходимо это учитывать при разбиении сечения на кольцевые зоны, то есть границы расчетной сетки в сечении должны назначаться в соответствии с границами газодинамических особенностей (по следам ударных волн, контактных разрывов, границ резких градиентов плотности).

Определение интенсивности головного скачка производится по алгоритму [9]. Последовательное "удаление" зон, плотность в которых уже определена (т.е. вычитание вклада текущей внешней зоны из остаточной ОРХ ) позволяет применять тот же алгоритм для всех встречающихся внутренних разрывов, поскольку каждый из них на определенном шаге окажется "внешним".

В соответствии с изложенным подходом реконструкция плотности газа внутри газодинамического объекта начинается с описания его геометрии. Контуры границ газодинамических особенностей в сечении аппроксимируются методом наименьших квадратов по измеренным координатам их проекций отрезками четных рядов Фурье. При построении сетки кольцевых зон выбор их количества проводится эмпирически. Слишком малое число, естественно, не дает подробного описания исследуемого объекта. Чрезмерное увеличение числа зон может привести к увеличению погрешностей определения плотности во внутренних зонах, что связано с уменьшением пути лучей в них (накопленная на этих лучах ОРХ может стать сравнимой с погрешностью ее измерений). Границы зон проводятся таким образом, чтобы, в соответствии с выбранным количеством зон в каждой из областей течения, они равномерно располагались между границами этих областей. Применение тригонометрических полиномов для аппроксимации плотности в зоне позволяет с помощью алгебраических преобразований перейти от исходного интегрального уравнения типа (!) к системе «лгсбраических уравнений для просвечивающих лучей. Построение аппроксимирующих полиномов здесь также ведется итеративно. В вопросе о число членов полинома решение принимается при помощи тех же статистических приемов, о которых говорилось в первой главе: при наращивании математической модели проверяется значимость полпномичльных коэффициентов и адекватность описания по остаточной сумме квадратичных невязок.

Контроль статистических свойств найденных оценок плотности и остаточной ОРХ в рамках данного метода важен тем более, что восстановление плотности проводится последовательно по зонам, начиная с внешней, таким образом5на каждом шаге необходимо знать статистические характеристики остаточной ОРХ. Поскольку определение коэффициентов полиномов плотности осуществляется последовательностью

линейных регрессионных задач, можно применить для отыскания статистических характеристик оценок параметров дисперсионную матрицу, как это делалось в первой главе. Оценки дисперсий параметров разложений, полученные из элементов ковариационной матрицы, позволяют с помощью распределений Фишера и Стьюдента, проверить адекватность найденной модели плотности и значимость параметров ее разложения.

Далее в главе приводятся результаты реконструкции плотности воздуха около сверхзвуковых конусов под углами атаки. Рассматриваются эксперименты с метанием острого 30-градусного конуса на баллистической трассе и обтекание притуплённого конуса в аэродинамической трубе. Результаты представлены в виде таблиц плотности газа с оценками погрешности реконструкции и могут быть использованы для верификации численных методов газодинамического расчета. Отметим, что распространенное предубеждение против зонного метода, который в силу последовательного характера процедуры вычислений якобы может привести к катастрофическому накоплению вычислительных ошибок по мере приближения к центру сечения неоднородности, на самом деле преувеличивает опасность. Действительно, с увеличением числа зон оценки дисперсии плотности газа возрастают, однако основной причиной этого роста оказывается сокращение пути лучей в зонах (накопленная в узкой зоне ОРХ может в конце концов оказаться сравнимой с погрешностью ее измерения), в то время как нарастание дисперсии остаточной ОРХ в результате операций со случайными числами оказывается незначительным, благодаря отрицательному ковариационному члену в выражении для дисперсии. Так, при обработке экспериментов, упомянутых выше, нарастание дисперсии остаточной ОРХ к центру сечения не превысило 20% при 18 зонах. Третья и четвертая главы диссертации посвящены обсуждению применения алгоритмов, разработанных при решении обратных задач, для математического планирования эксперимента с целью поиска оптимальных условий его проведения.

В третьей главе рассмотрены вопросы математического планирования траекторных измерений.

Погрешности определения аэродинамических характеристик по траек-торным данным объекта зависят не только от погрешностей измерения

координат, но и от многих других факторов, к которым относятся параметры баллистической установки (ее длина, расположение постов регистрации и их число^параметры газа в измерительной барокамере, геометрические и инерционные характеристики модели объекта. Важнейшим фактором успешного определения нелинейных аэродинамических сил и моментов является возможность совместной обработки нескольких пусков модели объекта с разными амплитудами колебаний, поскольку, как это следует из теории квазилинейных колебаний, форма нелинейных механических колебаний мало отличается от синусоидальной, в то время как существенным свойством оказывается их неизохронность, то есть зависимость периода (или длины волны) от амплитуды. Из сказанного вытекает, что рациональная организации траек-торных измерений может иметь решающее значение для успешного определения аэродинамических характеристик. Естественным путем планирования эксперимента является его математическое моделирование вначале с использованием общих представлений об ожидаемых результатах, а затем последовательное планирование на основе уточненных характеристик, найденных из эксперимента. Для этой цели могут быть использованы алгоритмы, разработанные для решения обратной задачи.

Необходимым этапом траекторных измерений является метрологическая аттестация измерительных систем баллистической установки, в результате которой должны быть получены оценки дисперсий измерения координат и регистрации времени. Аттестация может быть проведена путем регистрации траекторий тел простой геометрической формы в вакууме, либо хорошо изученных объектов (сфера, острый конус), аэродинамические характеристики которых известны заранее, что позволяет исключить погрешность их аппроксимации и рассматривать невязки при аппроксимации траектории исключительно как ошибки измерений.

В качестве иллюстрации к сказанному в главе приводятся примеры оценок влияния некоторых факторов на точность определения нелинейных АДХ. Показано, как уменьшается погрешность нелинейного коэффициента момента с увеличением числа совместно обработанных пусков; как влияет размещение постов регистрации на баллистической трассе на погрешность определения коэффициента сопротивления ша-

ра. Далее описывается метрологическая аттестация баллистической трассы с помощью тех же средств регрессионного анализа. Основной результат работы по аттестации трассы—выяснение соответствия выборочной дисперсии координат тестового объекта (шара) и гипотетической, которую должно обеспечивать измерительное оборудование, а также нахождение возможных источников систематической ошибки измерений на станциях регистрации снаряда.

В конце главы формулируются выводы о целесообразности применения описанных приемов последовательного планирования эксперимента при дальнейшем развитии баллистических исследований для оптимизации условий метания, а также о необходимости проверки юстировки систем регистрации координат движущихся объектов на баллистических трассах с помощью разработанных средств численного моделирования для обеспечения надежности экспериментальных данных (измерений и значений их гипотетической дисперсии). В четвертой главе предлагается метод совершенствования экспериментальной практики интерференционных измерений путем численного построения (моделирования) интерферограмм. Имея дело с разрывным сверхзвуковым течением, необходимо понимать характер поведения оптической разности хода на его газодинамических особенностях, поскольку выявление этих особенностей важно для разбиения расчетного сечения на области с «гладким» поведением плотности газа. Другой важный фактор—число полос в представляющем интерес сечении, от количества которых зависит детальность описания функции ОРХ, поскольку точками отсчета ОРХ (в рамках принятого метода) являются только экстремумы освещенности. Поскольку картина полос на интерферограмме определяется не только физической природой объекта, но и настройкой оптического интерферометра, последняя может быть выбрана таким образом, чтобы изменение суммарной ОРХ порождало приемлемое число полос в рассматриваемом сечении. Подобрать подходящую настройку можно математическим моделированием, если предварительно получено некоторое представление о поведении плотности газа.

Кроме того, полученные наборы отсчетов оптической разности хода могут служить в качестве исходных данных для проверки работоспособности вычислительной схемы реконструкции плотности газа приме-

нительно к рассматриваемому ее распределению. В процессе решения названной обратной задачи оператор имеет возможность контролировать адекватность принимаемых аппроксимаций распределений ОРХ и плотности заданным при моделировании распределениям. Известны методы моделирования интерферограмм на основе решения уравнения интерференции двух волн, фазовые поверхности которых вычислены в соответствии с заданным пространственным распределением показателя преломления. Этот подход используют для "компьютерной визуализации" результатов своих расчетов специалисты по вычислительной газодинамике. Большой объем вычислений, сопряженных с выполнением такого рода построений, не соответствует задаче математического сопровождения экспериментального исследования. Здесь более удобны простые (быстродействующие и нересурсоемкие) алгоритмы моделирования интерферограмм. Один из них рассмотрен в четвертой главе. Для примера выбрано построение фрагмента интерферограммы типа Маха-Цендера осесимметричного сверхзвукового течения.

При выборе алгоритма моделирования интерферограмм было сделано предположение, существенно снижающее требования к предварительному знанию распределений плотности газа в окрестности рассматриваемого сечения, именно, принято допущение об автомодельности течения на небольшом участке вдоль его оси. Эго позволяет задать распределение плотности лишь в одном сечении и получить, тьи не менее, небольшой участок интерферограммы, даюший.предстапление о поведении полос в его пределах и точно отражающий положение полог в рассматриваемом сечении. При рассмотрении участка интерферограммы, имеющего небольшую протяженность вдоль оси течения5таксе допущение не представляется слишком грубым. Предусмотрена возможность задания кусочно-полиномиальных распределений плотности газа для четырех интервалов рассматриваемого сечения. Это позволяет рассматривать до пяти особенностей течения: внешнюю ударную волну, внутренние ударные и простые волны и границу обтекаемого объекта. На интервалах между особенностями плотность газа в зависимости от радиальной координаты может быть задана степенными полиномами общего вида не выше третьей степени. По заданным распределениям плотности газа оптическая разность хода

находится интегрированием уравнения Абеля на задаваемой сетке по радиальной координате,причем шаг сетки в пределах каждого интервала может быть выбран оператором. Затем результат представляется в виде функции безразмерной хорды сечения для устранения бесконечной производной на сильных разрывах, чтобы облегчить интерполирование в дальнейшем. К заданным или вычисленным распределениям оптической разности хода прибавляются значения разности хода, обусловленные настройкой интерферометра. Эти значения вычисляются интерполированием линейной функции двух переменных в плоскости снимка, задающей взаимное положение двух интерферирующих плоских волновых поверхностей, формируемых воображаемым интерферометром—рабочей и референтной. Далее интерполированием сеточной функции ОРХ находим аргументы целочисленных и полуцелочисленных значений оптической разности хода в нескольких сечениях рассматриваемого фрагмента интерферограммы. Очевидно, последние представляют таблицы возможных отсчетов координат светлых и темных интерференционных полос в выбранных сечениях, а первые-только, допустим, темных (это вопрос соглашения).

В пяти сечениях производится выборка полуцелочисленных значений ОРХ. К найденным путем интерполирования "точным" полуцелочисленным значениям по желанию оператора могут быть прибавлены случайные числа, имитирующие погрешности измерений с задаваемым нормальным распределением. Построенные таким образом таблицы полуцелочисленных значений ОРХ с соответствующими координатами могут быть использованы для тестирования программ, предназначенных для обработки результатов интерференционных измерений с целью реконструкции плотности. Целочисленные значения ОРХ отбираются на более густой сетке и используются для графического построения картины полос. Соответственно, на график наносятся силуэты только темных полос по их средним линиям (светлые полосы при этом "просматриваются" автоматически). Такое схематическое представление интерферограмм достаточно удобно для восприятия наблюдателем при визуальном анализе поведения полос и позволяет экономно использовать вычислительные ресурсы.

Приводимые в главе иллюстрации показывают влияние настройки интерферометра на вид интерференционных полос и демонстрируют

возможность выбора наиболее выгодной настройки при заданном распределении плотности газа.

В заключении к главе формулируются следующие выводы. Численное моделирование интерферограмм дает возможность наглядно представить поведение интерференционных полос на слабых и сильных разрывах и, в частности, показывает, что найти границу слабой волны на интерферограмме практически невозможно; для определения границы слабой волны было бы полезно получить одновременно теневой снимок с визуализирующей диафрагмой. Разработанный алгоритм является полезным инструментом для последовательного планирования интерференционного эксперимента; данные численного моделирования оптической разности могут также быть использованы для тестирования программ реконструкции плотности газа по данным интерференционных измерений.

В заключении указывается, что основной чертой предложенного развития методик математического сопровождения газодинамического баллистического эксперимента является внедрение методов статистического оценивания параметров нелинейных моделей. Сформулированы следующие основные результаты работы.

1.Представлена методика определения АДХ летящего объекта по траекторным данным; впервые проведено оценивание статистической значимости параметров и контроль адекватности математической модели АДХ. Результативность методики иллюстрируется примером обработки экспериментальных данных острого конуса, полученные силовые и моментные характеристики приводятся с оценкой их погрешности. Предложено дальнейшее усовершенствование методики с помощью сплайнов: этот вариант позволяет получать более т очные в смысле доверительных интерпалов параметров сведения о существенно нелинейных, немонотонных АДХ в широком диапазоне углов атаки, что показано на примере решения модельной задачи.

2.Представлена методйка реконструкция плотности газа по интерференционно-томографическим измерениям в условиях весьма ограниченного объема проекционных данных. Использование имеющихся данных о пространственной структуре объекта исследования (то есть положении границ газодинамических разрывов) позволяет преодолеть сложности, связанные с неполнотой проекционной информации и

обеспечивает адекватное отражение особенностей течения в окончательных результатах. Здесь также используются методы математической статистики, аналогичные внедренным в обработку траекторных данных, что позволяет вести контроль значимости параметров и адекватности выстраиваемой математической модели. Для иллюстрации приводятся результаты определения плотности воздуха в течении около острого конуса под углом атаки в движении на баллистической трассе. Высокая точность полученных результатов позволяет применять их для верификации методов численного моделирования течений. Устойчивость методики иллюстрируется примером обработки данных обтекания затупленного конуса под углом атаки на сверхзвуковой аэродинамической трубе, Результаты получены в условиях сильной зашумленности исходных данных.

З.На основании применения статистических алгоритмов, разработанных при решении названных выше задач, предожены новые подходы к математическому планированию баллистического эксперимента. Во-первых, оказывается возможной предварительная оценка ожидаемых погрешностей определения аэродинамических характеристик объекта при том или ином плане эксперимента и заданных точностях измерения траекторных данных. Параллельно предложено решение вопроса о фактической точности измерений на баллистической трассе-этому вопросу до сих пор уделялось неоправданно малое внимание. Во-вторых, разработаны новые методики оптимизации условий измерений оптической разности хода для реконструкции распределений плотности газа в течениях. Последовательное планирование интерференцонно-томографического эксперимента на основе математического моделирования интерферограмм позволяет повысить точность измерений и, соответственно, снизить погрешности окончательных результатов восстановления плотности. При этом можно избежать повторения эксперимента в случае выбора неудачной настройки оптического прибора.

Литература

1. Менде Н.П., Подласкин А.Б. Методика получения, первичной и математической обработки интерферограмм сверхзвуковых газодинамических объектов.-Л.,1994,- 101 с. - Деп. в ВИНИТИ, 1994, №1385-В94.

2. Менде Н.П., Подласкин А.Б. Распределение плотности воздуха около сверхзвукового конуса под углом атаки.// ЖТФ. - 1994. -Т.64.В.6. -С.9-20

3. Подласкин А.Б. Определение нелинейных аэродинамических характеристик по траекторным данным объекта: модификация метода для сложных случаев. //ЖТФ. - 1998. -Т.68.В.6. - С.32-36.

4. Менде Н.П., Подласкин А.Б. Математическое моделирование интер-ферограмм осесимметричных течений для оптимизации экспериментальных исследований. II Измерительная техника. - 1996. - №1. — С. 1517.

5. Подласкин А.Б., Сахаров В.А. Математическое моделирование сдвиговых интерферограмм. //1УМежгос. научно-техн. конф. "Оптические методы мсследования потоков": Тезисы докладов - М.,1997. - С.117-118.

6. Чэпмен, Кирк. Метод определения аэродинамических характеристик по данным аэробаллистических испытаний. // Ракетная техника и космонавтика. - 1970. -Т.8, №4. — С. 182-188.

7. Себер Дж. Линейный регрессионный анализ: Пер. с англ. - М.,Мир, 1980.- 456 с.

8. Луис А.К., Наттерер Ф. Математические проблемы реконструктивной вычислительной томографии. // ТИИЭР. - 1983. -Т.71, №3. - С. 111123.

9. Казанджан Э.П., Сухоруких B.C. Установление соответствия полос на интерференционной картине в монохроматическом свете // Оптические методы исследований в баллистическом эксперименте. / Под ред. Г.И.Мишина - Л.,Наука,1979. - С.158-170.

0. введение.

0.1 Актуальность темы.

0.2 Постановка задач.!.

0.2.1 Траекторный эксперимент.

0.2.2 Интерференционный эксперимент.

0.3 Обзор существующих подходов.

0.3.1 Траекторный эксперимент.

0.3.2 Интерференционно-томографический эксперимент.

0.4 Цель работы.

0.5 Структура диссертации.

0.6 Основные положения, выносимые на защиту.

1. разработка алгоритма оценивания аэродинамических характеристик по траекторным данным с использованием кусочной (сплайновой) аппроксимации аэродинамических коэффициентов.

1.1 Базовый подход.:.

1.2 Результаты оценивания аэродинамических характеристик острого конуса.

1.3 Модификация методики определения АДХ для сложных случаев.

1.4 Алгоритм сплайновой аппроксимации АДХ.

1.5 Особенности работы программы.

1.6 Результаты оценивания аэродинамических характеристик с использованием сплайновой аппроксимации коэффициентов.

1.7 Выводы.

2. интерференционные измерения и томографический подход к реконструкции плотности газа в трехмерном течении.

2.1 Интерференционные измерения.:.

2.2 Восстановление истинной ОРХ.

2.2.1 Определение параметров настройки интерферометра и учет вклада настройки в измеренную оптическую разность хода.

2.2.2 Идентификация полос в окрестностях изображений сильных газодинамических разрывов.

2.2.3 Основные принципы.

2.2.4 Формулировка задачи.

2.2.5 Восстановление геометрии объекта.

2.2.6 Реконструкция плотности.

2.2.7 Процедура удаления внешней зоны.

2.3 Определение плотности воздуха около сверхзвуковых конусов под углами атаки

2.3.1 Исследование обтекания острого конуса на баллистичекой установке.

2.3.2 Исследование обтекания затупленного конуса на аэродинамической трубе.

2.4 Выводы.

3. математическое планирование баллистического эксперимента.

3.1 Общие посылки.

3.2 Используемые алгоритмы.:.

3.3 Результаты использования метода и перспективы.

3.3.1 Моделирование нелинейного движения.

3.3.2 Метрологическая аттестация координатных систем.

4. математическое моделирование интерферограмм.

4.1 Общие посылки.

4.2 Используемые алгоритмы.,.

4.3 Результаты использования метода и перспективы.

0.1 Актуальность темы

Развитие аэрокосмической техники ставит перед исследователями разнообразные газодинамические задачи, решение которых должно обеспечивать функциональное совершенство изделий. Среди перспективных форм, аэродинамика которых является предметом изучения в настоящее время, можно назвать спускаемые модули космических аппаратов (включая межпланетные, например, для посадки на Марс), гиперзвуковой самолет, снаряды, формируемые и метаемые взрывом. Оптимизация формы объектов, анализ правильности инженерных решений при конструировании должны проводиться с учетом физических условий движения. Изучение движения и обтекания объектов ракетно-космической техники при высоких (обычно сверхзвуковых) скоростях часто оказывается целесообразно проводить на баллистической установке, оснащенной комплексом аппаратуры для измерений и регистрации быстропротекающих процессов. Достоинством, отличающим баллистический метод, является то, что в нем реализуется движение модели в покоящемся газе (прямое моделирование движения); это обеспечивает минимум искажений физической картины явлений, сопровождающих полет модели. При этом имеется возможность исследования как суммарных аэродинамических характеристик тел сложной формы, так и определение локальных параметров течения в относительно простых случаях. Дополнительную актуальность придает работе сделанный акцент на изучение движений с большими углами атаки: моделирование такого рода обтекания на трубах считается более затруднительным, чем в свободном полете моделей [I]. Следует отметить, что баллистические испытания все же составляют небольшую долю в общей совокупности аэродинамических исследований, что с учетом их достоинств придает особую ценность получаемым результатам. В то же.время получение этих результатов сопряжено с решением некорректных обратных задач, требующих индивидуального подхода, поэтому совершенствование методов решения подобных задач не утрачивает актуальности.

В последнее время бурное развитие методов численного моделирования позволяет широко применять их для исследования различных газодинамических процессов, в том числе сопровождающих сверхзвуковое движение. Численное моделирование дает , в принципе, полное описание исследуемого явления, то есть превосходит эксперимент в смысле объема получаемых параметров и характеристик. Однако при разработке новых алгоритмов и расчетных схем необходимо удостовериться в их работоспособности, в отсутствии артефактов и иных ошибок моделирования. Для верификации численных методов необходимо использование высокоточных экспериментальных данных, и это придает актуальность совершенствованию экспериментальных методик.

0.2 Постановка задач.

Задачи нахождения функциональных величин по известным их интегралам встречаются во многих отраслях науки и техники. Общая постановка таких задач может быть записана в виде ь = , (1) а где г^)-искомая функция, и(х) - результаты экспериментальных измерений, а К -ядро интегрального преобразования. Кратко то же записывается в операторной форме как

А г= и. (2)

Решение этого уравнения относительно г осложняется тем, что далеко не всегда удается построить обратный оператор Ал. Если оператор необратим, существует несколько решений уравнения (2). Если же обратный оператор существует, но не является непрерывным, решение будет неустойчиво, то есть малое отклонение исходных данных и(х) приведет к существенному изменению решения z(s). Задачи такого рода называются некорректными. Дополнительными усложняющими факторами в практических приложениях являются погрешности эксперимента (шумы) и ограниченные объемы исходных данных. Тем не менее, на настоящий момент выработано большое разнообразие методов, позволяющих так или иначе преодолевать перечисленные трудности и решать некорректные задачи [2]. Наименее формальным является метод подбора, позволяющий привлекать априорные соображения о некоторых физических особенностях исследуемого объекта.

В настоящей работе внимание концентрируется на двух физических задачах, возникающих перед исследователем, ведущим эксперимент на баллистической установке. Рассмотрим их постановку.

0.2.1 Траекторный эксперимент.

На баллистической установке проводят изучение движения тел в покоящемся газе с помощью внешних по отношению к летящему телу средств наблюдения. При проведении исследований такого рода, сведения об условиях движения и обтекания объекта (его линейных и угловых скоростях, угле атаки, общей картине течения) могут быть получены путем регистрации мгновенных его положений вдоль траектории. Такой подход является исторически первым (если не иметь в виду картину течения) и наиболее распространенным по сей день, поскольку применение телеметрии в условиях лабораторного баллистического эксперимента сопряжено с серьезными трудностями и ограничениями. Аппаратные и методические аспекты организации экспериментального исследования на баллистической трассе подробно описаны в [3,4].

Получаемая информация первоначально представляет собой, как правило, набор фотографий летящего объекта на фоне координатных сеток постов регистрации. Эти снимки позволяют определить положение проекций центра масс объекта и его угловую ориентацию в фиксируемые моменты времени фотографирования. Поскольку системы координат каждого из снимков привязаны к единой лабораторной или земной системе координат, результаты измерений являются траекторными данными объекта.

Полученные таким образом дискретные пространственно - временные зависимости (траекторные данные) предстоит подвергнуть математической обработке с целью определения линейных и угловых скоростей и ускорений объекта. Знание скоростей необходимо для описания условий обтекания; ускорения позволяют оценить силы воздействия газовой среды на движущийся объект.

Из сказанного ясно, что задача обработки траекторных данных сводится к двукратному численному дифференцированию табличных зависимостей линейных и угловых координат от времени. Вполне очевидно, что данная задача - типичный пример математически некорректной задачи, и результаты будут зависеть от принятой математической модели движения.

В формулировке (2) применительно к данной задаче и(х)-х - вектор измеряемых координат, а г - вектор функций искомых аэродинамических коэффициентов и условий движения. Явное выражение для интегрального оператора А здесь не может быть полученов общем виде: уравнения движения тела в полете - система нелинейных дифференциальных динамических уравнений Эйлера, где аэродинамические характеристики (АДХ) летящего объекта входят в выражения коэффициентов при производных координат. Эта система в общем виде аналитически не обращается. Имея в виду дальнейшее развитие изложения применительно к методу подбора, весьма важно уяснить, что, с одной стороны, адекватность той или иной математической модели движения может быть оценена лишь по отклонениям траектории, рассчитанной с использованием выбранной модели, от измеренных в эксперименте значений координат, а с другой стороны, измеренные координаты не доставляют никаких сведений о виде модели.

Математическую модель движения приходится выбирать, руководствуясь общими физическими соображениями и конкретными априорными сведениями об исследуемом объекте. Ясно, что выбор модели может быть осуществлен не единственным образом и заключение об ее адекватности означает лишь, что она адекватно описывает имеющиеся траекторные данные с точки зрения принятых статистических критериев и полученных на их основе оценок.

0.2.2 Интерференционный эксперимент.

Рассмотрим постановку исследования локальных параметров обтекания модели на баллистической трассе. Движение в покоящемся газе дает преимущество баллистической методике по сравнению с экспериментами в аэродинамических и ударных трубах, не способных обеспечить однородность набегающего потока. Отсутствие в баллистическом эксперименте державок, на которых крепится модель в аэродинамических трубах, также уменьшает возможные искажения физической картины явлений. С другой стороны, как уже отмечалось, использование датчиковой аппаратуры на модели в баллистическом эксперименте практически невозможно. Получить информацию о локальных параметрах течения позволяет применение оптических методов визуализации обтекания объекта с последующей математической обработкой данных.

Оптические методы, то есть методы визуализации газодинамического объекта и скоростной фоторегистрации, предоставляют исследователю широкий спектр возможностей [5]. Просвечивание не вносит искажений в исследуемый объект или процесс, то есть оптические методы являются бесконтактными. Оптические методы являются практически безынерционными, что является важным обстоятельством при исследовании быстропротекающих процессов. Поскольку часто используется просвечивание объектов широкими световыми пучками, говорят о возможности получения информации обо всей области исследования одновременно. Развитые методики быстрой регистрации оптических изображений дают возможность анализа изображений, полученных с высоким временным и пространственным разрешением. Причем речь может идти не только о качественном анализе общей картины течения , но и об извлечении количественной информации об объекте. В этом отношении, как правило, наиболее результативен интерференционный метод , поскольку он позволяет регистрировать сигнал - оптическую разность хода - который интегрально связан непосредственно с плотностью газа, в отличие от шлирен-метода (измеряется оптическая плотность изображения, которая через углы отклонения зондирующих лучей интегрально связана с производной плотности газа по направлению) или теневого метода (плотность изображения связана со второй производной плотности газа).

Интерференционная картина возникает в интерферометре за счет оптической' разности хода (ОРХ) световых лучей двух когерентных пучков, образованных интерферометром. При взаимодействии двух волн происходит изменение освещенности поля интерференции в зависимости от разности фаз (разности хода) интерферирующих волн, которая изменяется по полю из-за начальной ориентации этих волн, а также под влиянием неоднородностей зондируемой прозрачной среды. Эта разность хода S(x,y), которую можно непосредственно измерять на интерферограмме, связана с показателем преломления п исследуемого объекта следующим уравнением:

3(х,у)= \(п(х,у,2)-п0^, (3) где по - постоянный показатель преломления невозмущенной среды, Ь - геометрический путь лучей света через неоднородность. Между показателем преломления п среды и ее плотностью р существует связь (плотность - единственный газодинамический параметр, который возможно определить на основе одних лишь интерференционных измерений). Вообще названная связь описывается формулой Лоренц-Лорентца, которая учитывает межмолекулярные взаимодействия, но для не слишком сжатого и нагретого газа и при отстройке длины волны X зондирующего излучения от его линий поглощения может быть представлена упрощенно, и в таком виде известна как формула Гладстона -Дейла: п-\ = К-р- (4) здесь К - константа, характерная для данного газа; правая часть аддитивна для газовых смесей. Базирующаяся на Лоренцовой электронной теории, эта формула не адекватна для случаев с эффектами возбуждения. Для сильно нагретого и сильно сжатого газа следует пользоваться более сложными формулами.

Очевидно, что для восстановления распределения п(х,у,1) трехмерного (несимметричного) объекта одного направления Ь недостаточно. Восстановление . пространственного распределения по набору его двумерных проекций называется томографическим подходом. Как указано в работе [6], (в соответствии с теоремой Котельникова) количество проекций, требуемое для надежного описания искомой трехмерной функции, определяется ее удвоенной пространственной частотой. Это означает, что для часто встречающихся в баллистическом эксперименте разрывных объектов и объектов с непрозрачными включениями требуется бесконечное число проекций. Чтобы решать такие некорректные задачи, необходимо применять методы, позволяющие использовать априорную информацию об исследуемом объекте.

Таким образом, формальная запись (2) для данной задачи имеет тот смысл, что и - матрица снятых с интерферограмм отсчетов ОРХ по лучам Ь, г - матрица искомых значений плотности, а оператор А , определяемый интегральным уравнением вида (3), называется оператором Радона, или - для осесимметричного случая - оператором Абеля.

Вообще говоря, при изучении нестационарных процессов томографический подход требует одновременной регистрации всех проекций, что для условий баллистической трассы эквивалентно необходимости построения томографа -комплекса из нескольких систем визуализации (интерферометров) с импульсными источниками света и системами фоторегистрации, смонтированных, съюстированных и синхронизованных в одном поперечном сечении трассы, - что составляет отдельную инженерную проблему.

0.3 Обзор существующих подходов.

В ходе развития газодинамических исследований на баллистических трассах был накоплен опыт применения различных методов обработки экспериментального материала с привлечением разного математического аппарата.

0.3.1 Траекторный эксперимент.

К сожалению, как уже говорилось, фактически не встречаются частные случаи движения, для которых возможно получение явной алгебраической записи оператора А.

Например движение по короткой трассе с постоянным углом атаки, с постоянным коэффициентом торможения и подъемной силы и тому подобные допущения позволяют разрешить уравнения движения относительно искомых коэффициентов, как это сделано в [7]. Но там же и отмечены трудности, возникающие при реализации требуемого типа движения в эксперименте. Соответственно, обычно нет речи и о получении аналитического выражения для обратного оператора Ал.

Можно обозначить два основных пути, по которым проводится определение аэродинамических коэффициентов в общем случае. Первый основан на замене производных в уравнениях Эйлера конечными разностями, которые строятся непосредственно по экспериментальным точкам [8], или на приближенном нахождении этих производных после аппроксимации исходных траекторных данных каким-либо аналитическим выражением [8]. Очевидный недостаток таких способов состоит в неконтролируемых ошибках окончательной аппроксимации АДХ, которые могут оказываться особо значительными в случае разреженных узлов плана эксперимента. Близкий по идеологии вариант, предложенный в [9], состоит в формальном интегрировании модельных уравнений движения. В результате этого получается выражение, содержащее одно- и двукратные интегралы с переменным верхним пределом, которые могут быть найдены численным интерполированием по экспериментальным точкам. Если точность приближенного интегрирования и превышает несколько точность приближенного дифференцирования, этот способ все же не свободен от указанных выше недостатков, и потому справедливо охарактеризован в [10] как метод получения начального представления об искомых коэффициентах.

Другой путь нелинейного оценивания аэродинамических характеристик состоит в решении некорректной задачи (2) методом подбора. Существенный прогресс на этом пути был достигнут в работе Чепмена и Кирка [10], которые при решении рассматриваемой задачи первыми применили метод Гаусса-Ньютона для поиска минимума нелинейной по параметрам целевой функции - остаточной суммы квадратов отклонений измеренных координат объекта от рассчитанных с помощью анализируемой математической модели (авторы [10] назвали свой подход "методом дифференциальной коррекции"). Строя свой алгоритм, авторы [10], следуя Мерфи [12], приняли во внимание выводы теории квазилинейных колебаний Крылова-Боголюбова [11] о том, что нелинейность колебаний в первую очередь проявляется в их неизохронности (т.е. в зависимости длины волны или периода от амплитуды) и лишь во втором приближении сказывается на их форме (то есть на отличии колебаний от синусоидальных; отсюда, кстати, следует вывод о малой эффективности, чтоб не сказать - тщетности, попыток поиска производных , входящих в уравнения Эйлера, в тех случаях, когда аэродинамические характеристики нелинейны ). Имея в виду это обстоятельство, Чепмен и Кирк построили алгоритм, допускающий совместную обработку произвольного числа экспериментов с одним и тем же объектом при разных амплитудах колебаний, но одинаковых прочих условиях движения. Таким образом , подбираемая математическая модель должна одновременно удовлетворять экспериментам, в которых существенно проявляется неизохронность колебаний. Кроме этого, алгоритм Чепмена-Кирка позволяет сколь угодно улучшать соотношение между числом точек плана эксперимента и числом искомых параметров, поскольку каждый новый эксперимент, включаемый в обработку, привносит в число искомых параметров лишь начальные условия движения (по два на каждое дифференциальное уравнение).

Рассмотрение общего случая движения модели в пространстве приводит к весьма сложным для решения системам уравнений. Так Мерфи [12], вводя в рассмотрение систему уравнений шестого порядка, содержащую 60 производных углов и угловых скоростей, приходит к необходимости ограничить модель, наложив условия ее частичной симметрии, и таким образом сократить число вычисляемых производных (до

И).

Анализируя подходы разных авторов, можно выделить две тенденции. Одна из них предполагает построение наиболее общей математической модели, позволяющей обрабатывать любые эксперименты, что привлекательно, если иметь в виду во многом случайный характер начальных условий движения, реализующихся при разделении исследуемой модели и деталей поддона, с помощью которого модель устанавливается в стволе пушки. При другом подходе требуются специальные усилия для надлежащей организации эксперимента с тем, чтобы реализовать движение, описываемое простой математической моделью - ведь уравнения пространственного движения нелинейны уже в силу присущей задаче кинематики даже при линейных аэродинамических коэффициентах. Следуя традиции исследовательской группы, в которой работает автор, ограничим дальнейшее рассмотрение рамками плоского движения. Естественно, такой подход позволяет изучать только тела вращения.

0.3.2 Интерференционно-томографический эксперимент.

Как и для задач предыдущего параграфа, далеко не всегда возможно получение явной алгебраической записи обратного оператора Ал. Фундаментальные принципы решения некорректной задачи восстановления функции по набору ее проекций (интегралов) разработаны Радоном [13].

В большой степени современное развитие аналитического аппарата восстановления пространственного распределения некоторого физического параметра объекта по совокупности проекций связано с медицинской рентгеновской или ЯМР-томографией. Для этой задачи характерны большие объемы проекционных данных, что обеспечивает возможность эффективного решения методами интегральных преобразований (МИП) [14], принципиально основанными на обращении преобразования Радона. Решение до конца проводится в непрерывном виде, и лишь конечные формулы дискретизируются для реализации алгоритмов на ЭВМ.

Однако, как уже отмечалось, для задач газовой динамики, которые исследуются на баллистических трассах, характерна неполная наблюдаемость, т.е. ограниченность набора ракурсов и, зачастую, наличие непрозрачных включений в исследуемой области. Для такого случая более целесообразно применение алгебраических методов, или методов с разложением в ряды (МРР) [15], основанных на предварительной дискретизации исследуемого объекта. Применение МРР позволяет перейти от исходного интегрального уравнения (2) к системе алгебраических уравнений. Таким образом, классифицировать МРР как тот или иной из канонических типов решения некорректных задач (2) было бы неправильно. В дальнейшем изложении акцентируются методические моменты, общие для данной задачи и задачи траекторного эксперимента.

В условиях, когда бессмысленно описание распределений искомых величин гладкими функциями, МРР более соответствуют природе исследуемого объекта. Более того, если проводить дискретизацию рассматриваемой области в соответствии с имеющейся информацией о границах содержащихся в ней газодинамических особенностей, можно избежать их размытия в восстановленных распределениях, причем такое разбиение (рассматривается ниже, раздел 2.2.3) обеспечивает меньшую размерность матриц, чем при универсально применяемой реконструкции на сетке в виде многоугольников (т.е. сравнительно с [15]). Аппроксимация искомых распределений конечными отрезками рядов на областях разбиения, соответствующих границам газодинамических разрывов, снимает также жесткость условия о количестве проекций объекта, которое упоминалось в пункте 0.2.2. Назначение таких ограничений -"множества условий" в терминологии [15] - носит характер регуляризации решаемой некорректной задачи [16]

0.4.Цель работы.

Целью данной диссертационной работы является развитие методики определения аэродинамических характеристик по траекторным данным, полученным на баллистической установке, а также совершенствование интерференционной диагностики состояния газа около сверхзвукового объекта. Эти два направления исследования реализуются здесь параллельно, так как они являются взаимодополняющими в смысле изучения процессов, сопутствующих сверхзвуковому движению тел в газах, а кроме того их объединяет общность применяемого математического аппарата.

Для достижения поставленной цели в работе решаются следующие частные задачи.

1. Анализ имеющихся методов решения обратной задачи определения аэродинамических характеристик (АДХ) на основе измерений траекторных данных летящего объекта, поиск путей возможного их усовершенствования. Разработка и тестирование нового варианта методики, пригодного для случаев сложных зависимостей АДХ от угла атаки и исследование вопроса о статистическом контроле получаемых решений.

2. Построение методики трехмерной реконструкции плотности по интерференционным измерениям, гарантирующей адекватное представление особенностей разрывного сверхзвукового течения и также обеспечивающей статистический контроль получаемых решений.

3. Исследование возможности математического планирования эксперимента с целью оптимизации условий его проведения с помощью алгоритмов, используемых для решения обратных задач. Разработка и тестирование алгоритмов и программ математического планирования траекторных измерений и моделирования интерферограмм.

0.5 Структура диссертации.

Материал, входящий в настоящую работу, сгруппирован в соответствии со следующей логикой изложения. Сперва рассматриваются предлагаемые методы решения обратных задач баллистического эксперимента, а именно, нахождения нелинейных АДХ по траекторным данным и интерференционно-томографическая реконструкция полей плотности газа, а затем анализируются возможности полезного применения алгоритмов решения обратных задач для целей планирования эксперимента. Таким образом, первая глава диссертации посвящена методикам определения аэродинамических коэффициентов, развиваемым автором на основе метода дифференциальной коррекции Чепмена - Кирка. Показано, что, будучи снабжен аппаратом статистического оценивания искомых параметров, данный метод во многих практических случаях позволяет подбирать решения задачи (2) на классе степенных полиномов с высокой эффективностью. Для случаев более сложного поведения аэродинамических коэффициентов, предлагается вариант программы подбора решения в форме сплайна. Работа описываемых алгоритмов иллюстрируется примерами обработки реальных и модельных траекторных данных.

Во второй главе излагается метод получения распределений плотности газа в поперечном сечении газовой неоднородности - основной акцент сделан на рассмотрении трехмерного обтекания баллистических объектов. Изложены соображения относительно получения "фазовых карт" - дискретных наборов значений оптической разности хода, полученных по измерениям на интерференционных проекциях исследуемого течения. Предложена методика построения решения задачи (2) в виде тригонометрических полиномов на сетке в виде вложенных колец, геометрия которых соответствует внутренней структуре исследуемого сечения неоднородности. Широкое привлечение априорной информации и контроль доверительных интервалов искомых параметров по ходу итераций подбора позволяет эффективно находить решения в условиях малых объемов проекционных данных (число проекций меньше 10, число отсчетов порядка 30 на проекцию). Подтверждением этого служат приводимые в главе примеры реконструкции полей плотности сверхзвукового обтекания острого и затупленного круговых конусов на баллистической трассе и аэродинамической трубе.

В третью главу вошли некоторые результаты привлечения разработанных алгоритмов решения обратных задач для планирования эксперимента. Рассмотрены приемы, позволяющие выяснить, какую предельную точность определения искомых параметров можно достичь для объекта заданного типа на данной экспериментальной базе или, иначе говоря, возможно ли определить нелинейные аэродинамические характеристики снаряда при данных условиях. Во-вторых, можно найти наиболее благоприятные условия для определения интересующих аэродинамических характеристик с приемлемой точностью. Здесь же предложен алгоритм метрологической аттестации баллистической установки (полигона), дающий оценку фактической точности измерения координат объекта на основе обработки траекторий простых тел (шар, острый конус) с известными характеристиками. Оценка проводится на основе анализа отклонений фактических измерений траекторных данных от траектории, рассчитанной по известным АДХ объекта. Проводится анализ применения названных алгоритмов, реализованных в виде пакетов прикладных программ, при. подготовке баллистических экспериментов.

Четвертая глава содержит изложение принципов моделирования интерферограмм. Глава включает описание программы и примеры построенных картин для случая имитации интерферометра Маха-Цандера.

0.6.Основные положения, выносимые на защиту

На основе проделанной автором работы и полученных результатов, на защиту выносятся следующие положения.

1. Разработанная методика определения аэродинамических характеристик летящего объекта по траекторным данным позволяет определять нелинейные зависимости аэродинамических коэффициентов от угла атаки. Впервые проведено статистическое оценивание параметров нелинейных моделей АДХ, искомых по траекторным данным. Для экспериментов с острым конусом получены точности (то есть доверительный интервал искомых параметров) в единицы процентов (демпфирование - 28% вследствие малой длины трассы). Вариант этой же методики с применением сплайнов обеспечивает сходимость для более сложных (существенно нелинейных, немонотонных) случаев, что продемонстрировано на модельных данных, отражающих реальные зависимости аэродинамических характеристик от условий движения.

2. Показано, что предложенная методика реконструкция плотности газа с выделением газодинамических разрывов и областей сильных градиентов плотности позволяет минимизировать необходимое число интерференционных проекций и максимально адекватно отразить структуру течения. По данным эксперимента впервые получены распределения плотности воздуха в течении около сверхзвукового конуса под углом атаки при обработке 5 проекций.

3. Впервые проведено статистическое оценивание параметров апроксимации плотности газа, реконструируемой по интерференционно-томографическим измерениям. Такое оценивание позволило контролировать точность математических моделей и обеспечило оценку погрешностей окончательных результатов. В частности, полученная точность результатов определения плотности воздуха в течении около сверхзвукового конуса под углом атаки (оценена как 1.5%) позволяет.применять их для

20 верификации методов численного моделирования течений. Показано, что использованная методика обладает устойчивостью и быстрой сходимость даже в условиях сильной зашумленности исходных данных.

4. Разработанные приемы математического планирования измерений траекторных данных и оптической разности хода позволяют оптимизировать условия определения силовых аэродинамических характеристик и распределений плотности газа таким образом, чтобы получать искомые параметры с требуемой точностью при меньших объемах физического моделирования.

В заключение можно сформулировать следующие выводы. В диссертационной работе предложено развитие методик математического сопровождения газодинамического баллистического эксперимента, главным образом на основе внедрения методов статистического оценивания параметров нелинейных моделей. В известных работах других исследователей по близкой тематике вопросы контроля достоверности и точности получаемых решений не получали достаточного освещения. Однако эти вопросы являются весьма важными в силу математической некорректности задачи нахождения неизвестной функции по набору измеренных ее интегралов, будь то определение силовых аэродинамических характеристик по траекторным данным или реконструкция плотности по интерференционным проекциям газодинамического объекта. В настоящей работе показано, как обоснованное статистическое оценивание параметров на всех этапах построения моделей способствует эффективной сходиаости методик, причем однотипные алгоритмы работают в задачах разной физической природы. К тому же оказывается возможной оценка точности окончательных результатов. Итак:

1. В работе представлена методика определения АДХ летящего объекта по траекторным данным. В рамках данной методики впервые проведено оценивание статистической значимости параметров и контроль адекватности математической модели АДХ. Результативность методики иллюстрируется примером обработки экспериментальных данных острого конуса, полученные силовые и моментные характеристики приводятся с оценкой их погрешности. Для аэродинамических форм с более сложными, чем у конуса, характеристиками предложено дальнейшее усовершенствование методики с помощью сплайнов. Этот вариант позволяет получать более точные в смысле доверительных интервалов параметров сведения о существенно нелинейных, немонотонных АДХ в широком диапазоне углов атаки, что показано на примере решения модельной задачи.

2. Представлена методика реконструкция плотности газа по интерференционно-томографическим измерениям в условиях весьма ограниченного объема проекционных данных. Использование имеющихся данных о пространственной структуре объекта исследования (то есть положении границ газодинамических разрывов) позволяет как преодолеть сложности, связанные с неполнотой проекционной информации, так и обеспечивает адекватное отражение особенностей течения в окончательных результатах. В.этой методике также используются методы математической статистики, аналогичные внедренным в обработку траекторных данных, что позволяет вести контроль значимости параметров и адекватности выстраиваемой математической модели. Для иллюстрации приводятся результаты определения плотности воздуха в течении около острого конуса под углом атаки в движении на баллистической трассе. Сделанные оценки погрешности полученных результатов позволяют сделать вывод об их высокой точности, достаточной для их применимости при верификации методов численного моделирования течений. Устойчивость методики иллюстрируется примером обработки данных обтекания затупленного конуса под углом атаки насверхзвуковой аэродинамической трубе, Результаты получены в условиях сильной зашумленности исходных данных.

3. На основании применения статистических алгоритмов, разработанных при решении названных выше задач, предожены новые подходы к математическому планированию баллистического эксперимента. Во-первых, оказывается возможной предварительная оценка ожидаемых погрешностей определения аэродинамических характеристик объекта при том или ином плане эксперимента (число и расположение постов регистрации траекторных данных, состояние газовой среды, характеристики модели объекта) и заданных точностях измерения траекторных данных. Параллельно предложено решение вопроса о выяснении фактической точности измерений на.

1. Beyers М.Е. 1.terprétation of experimental high-alpha aerodynamics implications for flight prédictions: AIAA Paper -1994. - №0166. - 22p.

2. Тихонов A.H., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. — М.:Наука, 1979, — 228 с.

3. Мишин Г.И., Менде Н.П. Герметизированная баллистическая установка. // Аэрофизические исследования сверхзвуковых течений. / Отв.ред. Ю.А.Дунаев. M.-JI.: Наука, 1967. - С. 163-168.

4. Бекетова А.К., Дементьев И.М. Теневые методы визуализации и регистрации движения объектов на баллистических установках. // Оптические методы исследований в баллистическом эксперименте. / Отв.ред. Г.И.Мишин. JL: Наука, 1979. - С. 16-31.

5. Merzkirch W. Flow visualization. NY.-L.: Academic Press, 1974. - 250 p.

6. Луис A.К., Наттерер Ф. Математические проблемы реконструктивной вычислительной томографии. // ТИИЭР. -1983. т.71, №3. - С. 111 - 123.

7. Менде Н.П. Об одном методе определения нелинейных аэродинамических сил и моментов. // Физико-газодинамические баллистические исследования. / Под ред. Г.И. Мишина. Л.:Наука, 1980. - С. 200-224.

8. Бедин А.П., Мишин Г.И., Чистякова М.В. Исследование аэродинамических характеристик тел затупленной формы в воздухе. // Физико-газодинамические баллистические исследования. / Под ред. Г.И. Мишина. Л.: Наука, 1980. - С. 9-24.

9. Boissevain A.G., Intrieri P.F. Détermination of Stability Derivatives from Ballistic Range Tests of Rolling Aircraft Models. / NASA. 1961. - TM X-399.- 94p.

10. Чэпмен, Кирк. Метод определения аэродинамических характеристик по данным аэробаллистических испытаний. // Ракетная техника и космонавтика. 1970. -т.8, №4. — С. 182—188.

11. Крылов Н.М., Боголюбов Н.Н. Введение в нелинейную механику. Киев: изд. АН УССР, 1937. - 366 с.

12. Мерфи. Исследование движения симметричных снарядов по тангажу и рысканию под действием нелинейных моментов. //Вопросы ракетной техники. 1958. -№2-С. 3-15.

13. Радон И. Об определении функций по их интегралам вдоль некоторых многообразий. //Хелгансон С. Преобразование Радона. М.: Мир, 1983. - С. 134-148.

14. Луитт P.M. Алгоритмы реконструкции с использованим интегральных преобразований! // ТИИЭР, 1983. - т.71, №3, - С. 125 - 147.

15. Ценсор Я. Методы реконструкции изображений, основанные на разложении в конечные ряды.//ТИИЭР. 1983. - т.71, №3. - С. 148 - 160.

16. Herman G.T., Lent A., Hurwitz Н. A storage-efficient algorithm for finding the regularized solution of a large inconsistent system of equations. //J. Inst. Math. Appl. -1980.-v.25,№4-pp.361-366.

17. Колмогоров A.H., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука, 1976. — 542 с.

18. Планирование эксперимента в исследовании технологических процессов: Пер. с нем. / Под ред. Э.К.Лецкого. М.: Мир, 1977. - 5.52 с.

19. Артонкин В.Г., Леутин П.Г., Петров К.П., Столяров Е.П. Аэродинамические характеристики острых и притуплённых конусов при дозвуковых и сверхзвуковых скоростях. //Труды ЦАГИ, вып. 1413. М.,1972. - 93с.

20. Beyers М.Е. Implementation of experimental high-alpha aerodynamics -implications for flight prediction. (Invited paper). AIAA Paper, 1994, №0166. - 22p.

21. Себер Дж. Линейный регрессионный анализ. М.,Мир, 1980. - 456 с.

22. W.H.Press, B.P.Flannery, S.A.Teukolsky et al. Numerical recieps in Pascal. The Art of Scientific Programming.- Cambridge University Press, 1989. 759p.

23. Ермаков С.M., Жиглявский A.A. Математическая теория оптимального эксперимента: Учебное пособие М.: Наука, 1987. - 320 с.

24. Менде Н.П. Обратная задача нелинейной баллистики. 4.1. Плоское движение: Препринт ФТИ №1326 Л.,ФТИ,1989.

25. Комиссарук В.А., Менде Н.П. Обработка сдвиговых интерферограмм. // Оптические методы исследований в баллистическом эксперименте. / Отв.ред. Г.И.Мишин. Л.: Наука, 1979. - с. 178-194.

26. Lanen Т. Digital Holographie Interferometry in Compressible Flow Research: PhD Thesis, Technische Universiteit Delft Delft, 1992. - 154 p.

27. Губчик A.A., Казанджан Э.П., Сухоруких B.C. О выявлении поверхностей сильного и слабого разрыва в газодинамических течениях по данным оптического эксперимента. // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1970. - №1. - С. 169-173.

28. Казанджан Э.П., Сухоруких B.C. Установление соответствия полос на интерференционной картине в монохроматическом свете // Оптические методы исследований в баллистическом эксперименте. / Отв.ред. Г.И.Мишин. Л.,1979.-С.158-170.

29. Комиссарук В.А., Менде Н.П. К изучению осесимметричных разрывных течений интерференционным методом. // Журнал ПМТФ. 1983. - №2. - С. 72-75.

30. ЗЬКомиссарук В.А., Менде Н.П., Попов JI.H. Оптическая томография аэродинамического объекта. Реконструкция плотности. // Препринт ФТИ / Физико-технический институт им. А.Ф.Иоффе АН СССР. 1989. № 1349. — 37 с.

31. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: в 3 т. M.-JI.: ОГИЗ-Гостехиздат, 1947. т. 1.- 692 с.

32. Менде Н.П. Вычислительная томография: о накоплении ошибки разности хода в методах с послойным расщеплением объекта. // Препринт ФТИ / Физико-технический ин-т им. А.Ф.Иоффе АН СССР. 1989. №1350. 33 с.

33. Себер Дж. Линейный регрессионный анализ. М.: Мир, 1980. - 456 с.

34. P.I.Kovalev, V.A.Komissaruk, N.P.Mende. A System Combining Several Interferometers To Investigate Spatial Gas-Dynamic Phenomena And High-Speed Photography Of Axisymmetric Processes //Optics and Laser Technology. 1983,- v.15, №3. -pp.141-144.

35. Бачманова H.C., Лапыгин В.И., Липницкий Ю.М. Исследование сверхзвукового обтекания круговых конусов на больших углах атаки. // Изв. АН СССР, сер. МЖГ. 1973,- №6 - с. 79-84

36. Комиссарук В.А., Менде Н.П. Опыт применения дифракционного и поляризационного интерферометров в баллистическом эксперименте. // Оптические методы исследований в баллистическом эксперименте. / Отв.ред. Г.И.Мишин. Л.: Наука, 1979.-с. 91-113.

37. Веренинов А.А. Физическая томография малоракурсных объектов. // Препринт ФТИ / Физико-технический ин-т им. А.Ф.Иоффе АН СССР. 1988. № 1237 -29 с.

38. Кронберг Е.Р.,Менде Н.П., Самсонов А.В., Седельников А.И. Обратная задача нелинейной баллистики. 4.2. Планирование баллистического эксперимента. II141

39. Препринт ФТИ / Физико-технический ин-т им. А.Ф.Иоффе АН СССР. 1989. №1465 -32 с.

40. Бедин А.П., Менде Н.П. Юстировка оптического оборудования баллистической установки. //Аэрофизические исследования сверхзвуковых течений. / Отв.ред. Ю.А.Дунаев. M.-JL: Наука, 1967 - С. 178-184.

41. Y.Tamura, K.Fujii. Visualization for Computational Fluid Dynamics and the Comparison with Experiments.//AIAA Paper 90-3031, 1990. -24 p.

42. Афанасьев В.О.,Ершов И.В. Интерференционный метод восстановления распределений показателя преломления при исследовании сложных оптических неоднородностей // Оптика и спектроскопия,-1989.- т.67,- вып.4.- С.882-885

43. А.Б.Подласкин, В.А.Сахаров. Математическое моделирование сдвиговых интерферограмм. //IV Научно-техническая конференция "Оптические методы исследования потоков": Тез.докл . М.,1997. - С. 117-118.

44. Комиссарук В.А., Менде Н.П. Обработка сдвиговых интерферограмм. // Оптические методы исследований в баллистическом эксперименте. / Отв.ред. Г.И.Мишин. Л.: Наука, 1979. - с. 178-195.