Совместное использование лучевого и модового подходов при описании полей в неоднородных волноводах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.06 ВАК РФ

Введение

1. Лучевое и модовое представления поля точечного тонального источника в плоскослоистом многомодовом волноводе

1.1. Интегральное представление решения уравнения Гельмгольца.

1.1.1. Преобразование Ханкеля.

1.1.2. Приближение ВКБ.

1.2. Лучевое представление.

1.3. Модовое представление поля

1.3.1. Общие соотношения.

1.3.2. Собственные числа в волноводах с параболическим и билинейным профилями показателя преломления

1.4. Поле бесконечно тонкой нити.

1.4.1. Интегральное представление поля

1.4.2. Лучевое представление поля.

1.4.3. Модовое представление поля.

1.5. Волновод Пекериса.

1.5.1. Точечный источник.

1.5.2. Источник в виде бесконечно тонкой нити.

2. Связь между лучами и модами дискретного спектра в плоскослоистом волноводе

2.1. Формирование луча группой конструктивно интерферирующих мод

2.2. Параметр сг и его физическая интерпретация.

2.3. Разрешение лучей и мод в волноводе с помощью линейной синфазной антенны.

2.4. Разрешение мод и луней в спектре сигнала, регистрируемого равномерно движущимся приемником.

2.5. Структура поля, формируемого небольшой группой мод

2.6. Статистический аналог гибридного представления поля.

2.6.1. Статистическое описание интенсивности поля в детерминированном волноводе

2.6.2. Индекс мерцаний в приближении "статистически независимых" мод или лучей.

2.6.3. Расчет индекса мерцаний в рамках гибридного описания поля.

2.6.4. Индекс мерцаний модовой компоненты.

2.6.5. Индекс мерцаний лучевой компоненты.

2.6.6. Выводы.

3. Лучи и моды дискретного спектра в волноводах с объемными и поверхностными неоднородностями

3.1. Дифракция на непрозрачном экране

3.1.1. Зоны Френеля на цилиндрически-симметричной поверхности

3.1.2. Зоны Френеля на плоскости.

3.1.3. Лабораторный эксперимент по дифракции на непрозрачном экране.

3.2. Аналоги метода плавных возмущений и метода геометрической оптики для мод.

3.3. Флуктуации амплитуд мод в океаническом волноводе

3.4. О возможности использования детерминированной модели среды для расчета интенсивности поля в реальном флуктуирующем океане

3.5. Структура поля в окрестностях каустики в случайно-неоднородном волноводе

3.6. Зоны Френеля для мод при анализе дифракции на поверхностных неоднородностях

3.7. Модовая структура поля в волноводе с квазисинусоидальной границей

4. Лучи и моды непрерывного спектра 148 4.1. Связь между лучами и модами непрерывного спектра.

4.2. Аналог метода геометрической оптики для мод непрерывного спектра в неоднородном волноводе.

5. Лучевой подход для описания модовой структуры поля в неоднородном по трассе волноводе

5.1. Формулировка геометрической оптики в терминах гамильтонова формализма.

5.1.1. Переменные "координата - импульс".

5.1.2. Переменные "действие - угол".

5.1.3. Эйконал и амплитуда луча.

5.2. Лучевые формулы для амплитуд мод в переменном по трассе волноводе

5.3. Лучи и моды в переменном по трассе волноводе Пекериса.

6. Лучевой подход для описания волнового поля, сглаженного по угловым и пространственным масштабам

6.1. Сглаженная функция Вигнера.

6.2. Расчет сглаженной функции Вигнера в приближении геометрической оптики.

6.3. Сглаженная функция Вигнера в приближении ВКБ.

6.4. Сглаженная функция Вигнера в каноническом гидроакустическом волноводе.

7. Импульсные сигналы

7.1. О влиянии случайных неоднородностей показателя преломления на "модовые" и "лучевые" импульсы.

7.2. Общие свойства последовательностей времен приходов лучей

Метод нормальных волн (модовый подход) и метод геометрической оптики (лучевой подход) играют очень важную роль при анализе полей в волноводах различной физической природы. Среди многочисленных приложений этих методов отметим исследования распространения коротких радиоволн в ионосфере [1], звуковых волн в океане [2]-[5], световых волн в волоконных световодах [6, 7], сейсмических волн [8, 9] и т.д. Математическому формализму для описания лучевых и модовых структур поля в однородных и неоднородных средах посвящено множество статей и книг. В качестве примеров укажем известные монографии [10]-[19].

Столь широкая популярность рассматриваемых подходов в значительной мере обусловлена тем, что в рамках каждого из них сигнал представлен в виде суммы относительно простых слагаемых. Более того, для ряда практически важных задач удается получить приближенные аналитические соотношения, связывающие вариации комплексных амплитуд лучей и/или мод, вызванные неоднородностями волновода, с параметрами данных неоднородностей (см., например, [20]-[23]). По этой причине анализ модовой и лучевой структур поля представляет большой интерес с точки зрения решения не только прямых, но и обратных задач распространения волн. В частности, в подводной акустике, начиная с пионерской работы Манка и Вунша [24], активно разрабатываются различные схемы акустической томографии для мониторинга температурных полей океана [22]-[27]. Во многих из этих схем восстановление температурных неоднородностей предлагается проводить либо по измеренным параметрам лучей, например, времен пробегов звуковых импульсов вдоль лучевых траекторий [22, 23, 24, 26], либо по измеренным параметрам мод [22, 23, 27].

Каждый из двух подходов, о которых идет речь в данной работе, имеет свои сильные и слабые стороны. Основным преимуществом лучевого подхода является относительная простота как соответствующего математического формализма, так и физической интерпретации полученных результатов. Наиболее эффективен он на коротких трассах, где поле в каждой точке формируется лишь несколькими наиболее "энергонесущими" лучами. К сожалению, применимость геометрооптических формул нарушается на каустиках. Это существенно затрудняет использование лучевого подхода в волноводных задачах, где роль каустик, как правило, велика. Более того, лучевое представление поля в принципе является высокочастотным приближением и результаты расчетов, выполненных в его рамках, даже вдали от каустик содержат ошибки, величины которых к тому же трудно оценивать.

Модовый подход, имея гораздо более широкую область применимости, требует использования громоздкого математического формализма и уступает лучевому в простоте и физической наглядности. Последний недостаток особенно сильно проявляется при анализе распространения волн в переменных по трассе волноводах. Тем не менее на очень длинных трассах, где растущее с дистанцией число лучей, попадающих в точку наблюдения, чрезвычайно велико, модовое представление имеет преимущество. Ведь количество распространяющихся мод всегда конечно и с увеличением длины трассы, как правило, не растет, а даже, наоборот, уменьшается из-за сравнительно быстрого затухания мод высоких номеров.

Несмотря на то, что модовое и лучевое представления формально вводятся независимо друг от друга [3, 16], между ними существуют тесные связи. Изучение этих связей и разработка на их основе простых и эффективных методов анализа модовой и лучевой структур поля является главной задачей диссертации.

Все изложение в данной работе ведется применительно к проблемам подводной акустики. Прежде всего имеются ввиду задачи дальнего распространения звука в океане на частотах от нескольких десятков до нескольких сотен герц [20, 24]. Однако большинство из полученных здесь результатов носят общий характер и могут быть использованы при исследовании волновых явлений в других средах.

Вопрос о связи между модами и лучами первоначально рассматривался для наиболее простого случая плоскослоистого волновода. Среди довольно большого числа работ по данной тематике отметим монографии и статьи [2, 4],[28]-[36]. Итоги многолетних исследований суммированы в замечательных работах Фел-сена [35] и Гао и Шенга [36], где сформулирована картина взаимосвязи лучевого и модового представлений поля точечного тонального источника в плоскослоистом волноводе, которая на наш взгляд и на сегодняшний день остается наиболее полной и физически ясной. В работах по этой тематике также рассматривались конкретные примеры, разрабатывались более строгие математические формулировки, обсуждались вопросы использования полученных результатов для создания эффективных численных методов расчетов поля [37]-[42]. Остановимся подробнее на основных результатах, полученных для плоскослоистого волновода.

Заранее ясно, что суммарный вклад в волновое поле всех лучей, приходящих в точку наблюдения, равен суммарному вкладу всех мод, поскольку обе суммы1 выражают одну и ту же величину — комплексную амплитуду поля. Однако между рассматриваемыми представлениями этой величины существует и гораздо более тонкая связь. Ее суть поясним, приняв во внимание, что приходы и отдельных лучей, и отдельных мод означают приходы квазиплоских волн (для мод - это так называемые волны Бриллюэна [43]). Суммарный вклад волн, приходящих в точку наблюдения с направлений, принадлежащих заданному угловому интервалу, разумеется, не должен зависеть от способа описания. Поэтому наряду с "интегральным" соответствием между лучами и модами (сумма по всем лучам равна сумме по всем модам), между ними существует еще и "дифференциальное" соответствие (фрагменты суммы по модам равны фрагментам суммы по лучам). Типичной является ситуация, когда справедливо еще более сильное утверждение: для волн, приходящих в точку наблюдения с одних направлений, вклады отдельных лучей формируются группами конструктивно интерферирующих (то есть складывающихся в фазе) мод, а для волн, приходящих с друг их направлений, группы конструктивно интерферирующих лучей формируют вклады отдельных мод. Интересная и важная особенность интерференции мод заключается в том, что моды с соседними номерами складываются в фазе вдоль траекторий геометрооптических лучей и поэтому на не слишком длинных трассах лучи " образованы" кластерами конструктивно интерферирующих мод. Комбинированное представление поля основано на описании сигналов, приходящих из разных угловых интервалов, в рамках разных подходов. При этом, по выражению авторов [36], каждый раз выбирается более "экономный" подход: волны, принимаемые с тех направлений, откуда приходят группы конструктивно интерферирующих мод (лучей), описываются на лучевом (модовом) языке. Тем самым число слагаемых, которые надо суммировать для расчета полного поля, заметно уменьшается.

В качестве основного приложения комбинированного подхода в [35], как и в других работах на эту тему, рассматривалось сокращение объема вычисле

Их можно преобразовать друг в друга с помощью формулы суммирования Пуассона [2, 3, 16, 31, 35] ний путем уменьшения числа слагаемых. Прогресс в развитии вычислительной техники неуклонно обесценивает это достоинство комбинированного описания поля. С другой стороны, не теряет своего значения возможность использования данного описания при анализе физических эффектов в ситуациях, когда сигнал на выходе приемного устройства формируется вкладами волн, пришедших из сравнительно узкого углового интервала, то есть вкладами всего лишь нескольких мод или лучей. Это имеет место при использовании распределенных приемных или излучающих систем, а также при работе с импульсными сигналами. В последнем случае волны, принимаемые с разных направлений, разрешаются во времени.

В таких ситуациях - ряд соответствующих примеров рассмотрен в диссертации - возможность замены группы мод (лучей) одним лучом (одной модой) не только упрощает численные расчеты, но, что особенно важно, позволяет получать простые аналитические оценки. В данной работе показано, что с помощью таких оценок можно легко прогнозировать условия разрешения мод и лучей в экспериментах с линейной синфазной антенной в многомодовом волноводе, а также при регистрации поля с помощью равномерно движущегося приемника. В качестве еще одного приложения комбинированного описания рассмотрен статистический подход для анализа сложного пространственного распределения интенсивности поля в многомодовом плоскослоистом детерминированном волноводе.

Другой группой задач, при решении которых использование аналогий между лучами и модами оказывается полезным, являются задачи управления полями в волноводах [44]-[47]. На основе исследования особенностей интерференции небольшой группы мод в диссертации получены оценки, позволяющие судить о возможности создания узкого волнового пучка и управления его структурой с помощью вертикальной антенны, возбуждающей небольшую группу мод с близкими номерами. Эти результаты могут быть использованы при анализе поля так называемого параметрического излучателя в многомодовом волноводе (такой излучатель обычно возбуждает лишь небольшую группу мод) [48].

Большинство работ по исследованию связи между лучами и модами относятся к плоскослоистым волноводам. Ряд авторов занимались обобщением этих результатов на случай волноводов, плавно меняющихся по трассе (адиабатически или почти адиабатически) [49]-[51]. Можно, однако, показать, что аналогии между лучами и модами простираются далеко за пределы данных моделей. Установлению таких аналогий и их использованию при решении конкретных задач посвящена большая часть диссертации. Основные усилия здесь сосредоточены на создании приближенных аналитических методов, позволяющих описывать эволюцию модовой структуры поля в переменном по трассе волноводе с помощью простых лучевых формул.

В подводной акустике анализ флуктуаций амплитуд мод вследствие рассеяния на случайных неоднородностях океанического волновода обычно проводится следующим образом: уравнения для статистических моментов амплитуд мод (чаще всего для первых двух, реже - для четвертого) приближенно решаются после упрощения либо с использованием приближения стохастических фаз, либо путем введения процедуры сглаживания по пространственным масштабам, превышающим максимальный масштаб интерференционной картины [52]-[62]. Несмотря на то, что, действуя таким образом, удается получить интересную и важную информацию о перераспределении энергии между модами вследствие рассеяния на неоднородностях и о некоторых других характеристиках модовой структуры, данный подход имеет свои ограничения. Приближения, используемые при выводе и решении уравнений для моментов, приводят к полной или частичной потере информации о тонкой интерференционной структуре. Уравнения же, которые описывают и тонкую интерференционную структуру поля, решаются только численно. Получение аналитических результатов в этом случае практически невозможно. Кроме того, данный подход, будучи статистическим, не позволяет получать необходимые для решения обратных задач аналитические соотношения, связывающие вариации поля с влиянием отдельных реализаций неоднородностей.

Между тем аналитические соотношения такого типа очень важны для разработки методов акустического мониторинга неоднородностей среды по измеренным параметрам модовой структуры поля. В большинстве работ по данной тематике для описания амплитуд мод (см., например, [63]-[65]) их получают в рамках адиабатического приближения [3, 66, 67]. Однако в последнее время методами численного моделирования с использованием программ для решения параболического уравнения показано, что адиабатическое приближение плохо пригодно для описания распространения волн в реальном флуктуирующем океане [68, 69].

В отличие от работ по вычислению статистических моментов нашей целью является получение приближенных решений исходных динамических уравнений для амплитуд мод, то есть, в конечном итоге, приближенного решения уравнения Гельмгольца. Эта задача решается здесь без использования адиабатического приближения. Развиваемые методы основаны на соотношениях, выражающих взаимосвязь между модовым и лучевым представлениями поля.

Получены аналоги метода геометрической оптики и обобщающего его метода плавных возмущений Рытова [15, 20] для мод. В рамках развиваемого здесь нового подхода амплитуды мод выражаются с помощью геометрооптических формул, аналогичных тем, которые используются при расчете амплитуд лучей. Показано, что при описании дифракционных эффектов могут быть введены понятия зон Френеля для мод, аналогичные обычным зонам Френеля лучей.

Решения, полученные с помощью разработанного формализма, удобны для выполнения статистического усреднения. Полученные при этом статистические характеристики амплитуд мод часто выражаются через те же самые величины и функции, которые фигурируют в известных формулах для статистических характеристик амплитуд лучей [20]. Таким образом, для анализа модовой структуры поля можно воспользоваться готовыми результатами.

Хотя описание амплитуд мод в нашем подходе ведется с помощью лучевых формул, полученные выражения применимы не только в регулярных точках волновода, но и на каустиках. Для подводной акустики это важно, так как каустики играют принципиальную роль в формировании зон конвергенции [3].

Для многих приложений знания мелких деталей волновых полей в много-модовых волноводах не требуется. К тому же расчет их (особенно, если речь идет о волноводах естественного происхождения) далеко не всегда возможен из-за недостаточно подробного знания профиля показателя преломления, параметров границ и т.п. По этой причине в теории распространения волн довольно большое внимание уделяется разработке методов вычисления характеристик полей, усредненных по большим пространственным масштабам [3],[82]-[85]. Такие величины менее чувствительны к неточностям модели среды, а, кроме того, для их расчета могут быть использованы простые приближенные методы. Во многих случаях удается ввести даже аналитическое описание усредненных характеристик.

В диссертации исследованию этого вопросу посвящена отдельная глава. Здесь обсуждается приближенный метод расчет так называемого локального спектра поля (выраженного функцией Вигнера), сглаженного по угловым и пространственным масштабам. В отличие от большинства других методов, где усреднение обычно ведется по пространственным масштабам, превышающим длину цикла луча, то есть максимальный масштаб интерференционной структуры, наш подход позволяет анализировать более детальную структуру поля. Здесь показано, что величина сглаженного спектра может быть выражена как сумма вкладов лучей, причем полученные формулы применимы и в окрестностях каустик. Хотя указанный результат выражен в терминах чисто лучевого подхода, при выводе основных формул использован формализм, который обычно применяется при анализе взаимосвязи модового и лучевого представлений поля.

Несмотря на то, что высокий уровень развития вычислительной техники и численных методов делает возможным расчеты полей в разнообразных переменных по трассе волноводах [14, 70, 71], включая даже моделирование распространения звука во флуктуирующем океане с неоднородностями показателя преломления, обусловленными случайными внутренними волнами [68, 69, 72], развиваемые в диссертации подходы для приближенного аналитического описания модовой и лучевой структур поля представляются весьма актуальными.

Возможность аналитического (хотя подчас и грубого) описания имеет большое значение при планировании натурных экспериментов и интерпретации полученных в их ходе данных. Дело в том, что в волноводах естественного происхождения - ионосферных волноводах, океанических подводных звуковых каналах и т.д. - профиль показателя преломления зачастую точно неизвестен. Кроме того, он существенно зависит от места и времени проведения измерений. Например, профили скорости звука в океане испытывают сезонные изменения и к тому же качественно различаются на разных акваториях [3]. Использование простых оценок позволяет прогнозировать изменение структуры принимаемого сигнала при вариациях параметров волноводов и предвидеть последствия изменений условий проведения экспериментов. Наличие таких оценок представляет интерес также и с точки зрения развития методов обработки сигналов [73].

Кроме того, как уже говорилось выше, наличие простых аналитических формул, связывающих неоднородности среды и вызванные ими вариации параметров поля, имеет большое значение при решении большинства обратных задач. Определенный интерес они представляют и с точки зрения решения задач управления полями в многомодовых волноводах.

В последнее время наметилось еще одно интересное направление в теории распространения волн, для которого анализ взаимосвязи между модами и лучами также актуален. Это так называемая проблема волнового хаоса - ее квантовомеханический прообраз называется проблемой квантового хаоса [74]. Суть этой проблемы заключается в следующем. Известно [75], что в переменных по трассе детерминированных волноводах траектории лучей часто ведут себя столь сложным образом, что их практически можно считать случайными функциями. В последние годы в ряде работ продемонстрировано, что такая ситуация (ее обычно называют лучевым хаосом - аналогом динамического хаоса в классической механике) является типичной для подводной акустики [77]-[81]. Проблема волнового хаоса состоит в исследовании проявления такого поведения лучевых траекторий в структуре волнового поля. Выражающий связь между лучами и модами формализм, в котором вариации амплитуд мод представлены через параметры лучевых траекторий, очевидно, может быть полезен при исследовании данного вопроса.

Цель работы.

1) Провести анализ модовой и лучевой структур поля точечного тонального источника в плоскослоистом многомодовом волноводе на основе использования комбинированного описания поля для а) установления критериев разрешения мод и лучей при некоторых типичных способах регистрации сигналов, б) разработки статистического описания сложного пространственного распределения интенсивности в детерминированном волноводе, в) изучения возможности управлением полем антенны, возбуждающей заданную небольшую группу мод.

2) Обобщить результаты исследований связи между лучами и модами, полученные для плоскослоистого волновода, на случай переменного по трассе волновода. На этой основе создать аналитические методы описания вариаций модовой структуры поля под влиянием неоднородностей показателя преломления и неровностей границы, которые по своей простоте и физической прозрачности были бы сопоставимы с методами геометрической оптики и плавных возмущений. Рассмотреть конкретные приложения новых методов для задач акустики океана.

3) Разработать приближенный способ расчета лучевой интенсивности поля, сглаженной по пространственным и угловым масштабам.

Методы исследований. При решении поставленных задач использованы методы теории распространения и дифракции волн в неоднородных средах, статистической радиофизики, некоторые разделы теории дифференциальных уравнений и математического анализа.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1) С точки зрения взаимосвязи лучевого и модового представлений поля дана интерпретация разрешения мод и лучей при регистрации сигнала точечного тонального источника: а) с помощью линейной синфазной антенны; б) путем спектрального анализа выходного сигнала равномерно движущегося приемника. Показано, что часть лучей такими способами разрешить в принципе нельзя. Получены соответствующие оценки.

2) Разработан метод статистического описания сложного пространственного распределения интенсивности поля в многомодовом волноводе, в рамках которого вклады отдельных мод и лучей рассматриваются как случайные величины. Выяснено при каких условиях эти величины можно считать некоррелированными.

3) Исследованы возможности управления полем антенны, возбуждающей заданную небольшую группу мод с близкими номерами.

4) Введены понятия зон Френеля для мод. Показано, что, подобно обычным зонам Френеля для лучей, они могут быть использованы для анализа искажения амплитуд мод вследствие дифракции на объемных и поверхностных неоднородностях.

5) Получены аналоги метода геометрической оптики и методы плавных возмущений Рытова для описания вариаций амплитуд мод в неоднородном по трассе волноводе.

6) Разработанный подход использован для анализа дифракции на непрозрачном экране в волноводе, для расчета статистических характеристик амплитуд мод во флуктуирующем океане, для описания поля в окрестности каустики в многомодовом волноводе.

7) Развит простой лучевой подход для расчета характеристик поля, сглаженных по угловым и пространственным масштабам.

8) Установлены общие свойства последовательностей времен приходов лучей в подводных акустических волноводах.

Таким образом, в диссертации разработаны теоретические положения, совокупность которых можно рассматривать как новое крупное достижение в развитии перспективного направления теории распространения волн в многомодовых волноводах — разработке методов анализа структуры волнового поля на основе использования взаимосвязи медового и лучевого представлений.

Практическая ценность. Полученные в диссертации результаты могут найти приложения для создания оптимальных методов регистрации и обработки сигналов в многомодовых волноводах, разработки теории управления полями в волноводах, планирования экспериментов по дальнему распространению звука в океане и интерпретации полученных данных. Приведенные в дисссертации простые аналитические соотношения, связывающие неоднородности среды и вызванные ими вариации амплитуд мод, могут быть использованы при создании методов акустического мониторинга океана, разработке которых в настоящее время уделяется большое внимание. Предложенный метод расчета сглаженного локального спектра может послужить основой для создания алгоритмов быстрого численного расчета характеристик поля, сглаженных по угловым и пространственным масштабам. Развитый в диссертации математический формализм, выражающий связь модовой и лучевой структур поля в переменном по трассе волноводе, представляют собой удобный аппарат для исследовании ряда аспектов проблемы волнового хаоса. Результаты работы могут быть использованы в научно-исследовательских организациях, занимающихся изучением распространения волн в многомодовых волноводах, в частности, в Акустическом Институте РАН, Институте океанологии РАН, Институте прикладной физики РАН, Институте общей физики РАН, Нижегородском государственном университете и других.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, семи глав и заключения. Общий объем работы - 224 страницы, включая 172 страницы основного текста, 38 рисунков и список литературы из 163 наименований на 15 страницах.

Основные результаты диссертации и следующие из них практические выводы могут быть сформулированы следующим образом:

1. Получены простые оценки, позволяющие судить о возможности разрешения лучей в плоскослоистом многомодовом волноводе с помощью линейной синфазной антенны и путем спектрального анализа сигнала, регистрируемого равномерно движущимся приемником. Указан класс лучей, которые нельзя разрешить такими способами.

2. Получено приближенное аналитическое описание поля вертикальной антенны, возбуждающей небольшую группу мод с близкими номерами. Показано, что поле в данном случае представляет собой узкий пучок, локализованный в окрестности опорного луча. Выяснено влияние изменения фаз коэффициентов возбуждения на форму пучка. Найдена оценка предельной длины трассы в волноводе, на которой пучок, сформированный вертикальной антенной конечной апертуры, может распространяться без существенного расплывания.

3. Предложен статистический подход для описания сложного пространственного распределения интенсивности поля в многомодовом плоскослоистом детерминированном волноводе. В его рамках поле в точке наблюдения формируется суммой статистически независимых случайных величин, часть которых задается вкладами лучей, а часть - вкладами мод.

4. Для описания искажений амплитуд мод вследствие дифракции на объемных и поверхностных неоднородностях волновода введены понятия зон Френеля для мод. Их использование продемонстрировано на примере задачи о дифракции на непрозрачном экране в многомодовом волноводе.

5. Показано, что аналитическое описание вариаций амплитуд мод в многомодовом волноводе со слабыми неоднородностями может быть выполнено с помощью простых формул, аналогичных тем. которые используются в методе плавных плавных возмущений Рытова для анализа амплитуд лучей. В предельном случае, когда размеры неоднородностей много больше радиусов первых зон Френеля мод, данный метод представляет собой аналог геометрической оптики. Полученные формулы удобны для статистического усреднения.

6. Аналог метода геометрической оптики для мод использован для расчетов средних значений амплитуд мод и межмодовых корреляций в типичном океаническом подводном волноводе с флуктуациями показателя преломления, вызванными случайным полем внутренних волн. На основе этих расчетов сделаны оценки, показывающие условия применимости детерминированной модели среды при расчете усредненной по некоторой области пространства интенсивности поля в реальном флуктуирующем океане.

7. В рамках того же метода проанализирована структура поля в окрестности каустики в волноводе со случайными неоднородностями показателя преломления.

8. В приближении метода малых возмущений получены аналитические выражения для описания изменений вдоль трассы амплитуд мод в волноводе с неровной границей. Показано, что для описания дифракционных эффектов здесь также могут быть использованы понятия зон Френеля для мод. Выяснен резо-насный характер рассеяния мод на поверхностных неоднородностях: наиболее сильное воздействие на моду оказывают неоднородности лежащие в местах отражения модовых лучей, то есть лучей, вышедших из источника под углами скольжения, равными углам скольжения волн Бриллюэна, формирующих данную моду. Полученные соотношения выражают амплитуды мод с помощью простых лучевых формул удобных для статистического усреднения.

9. Для мод непрерывного спектра найдено преобразование, переводящее мо-довое представление поля в лучевое в плоскослоистом волноводе. Этот результат обобщен на случай волновода с крупномасштабными неоднородностями показателя преломления. Показано, что вариации амплитуд мод непрерывного спектра под влиянием неоднородностей среды могут быть описаны с помощью соотношений, аналогичных формулам геометрической оптики.

10. Путем проектирования решения уравнения Гельмгольца, полученного в приближении геометрической оптики, на локальные моды (моды волновода сравнения) разработан приближенный метод расчета амплитуд мод в переменном по трассе волноводе. В рамках этого метода амплитуды мод выражены с помощью простых лучевых формул. Показано, что амплитуда моды формируется вкладами нескольких лучей, переменные действия которых с точностью до одинакового для всех мод постоянного множителя равны номеру моды. Эффективность предлагаемого подхода проиллюстрирована на конкретном примере.

11. Предложен метод приближенного вычисления сглаженного локального

209 спектра (функции Вигнера) поля в многомодовом волноводе. Несмотря на то, что данный подход является лучевым, он применим не только в регулярных точках волновода, но и на каустиках.

12. Найдена простая приближеная формула, связывающая разности времен приходов лучей в адиабатически меняющемся по трассе волноводе с адиабатическими инвариантами лучевых траекторий. С помощью этой формулы разности времен приходов лучей можно оценивать, минуя процедуру решения лучевых уравнений. Установлены общие свойства последовательностей времен приходов лучей, справедливые для широкого класса волноводов. В частности, выяснен характер эволюции таких последовательностей при изменении длины трассы.

Заключение

1. Гуревич A.B., Цедилина Е.Е. Сверхдальнее распространение коротких радиоволн. М.: Наука, 1979. - 246 с.2 345 679 10 [Н [12

2. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. М.: Наука, 1973. 343 с.

3. Бреховских Л.М., Лысанов Ю.П. Теоретические основы акустики океана. Л.: Гидрометеоиздат, 1982. 302 с.

4. Толстой И., Клей К.С. Акустика океана. Пер. с англ. М.: Мир, 1969. -318 с.

5. Акустика океана. /Под. ред. Де Санто Дж. М.: Мир, 1982. 232 с.

6. Введение в теорию оптических волноводов. Пер. с англ. М.: Мир, 1984. -512 с.

7. Унгер Х.-Г. Планарные и волоконные оптические волноводы. М.: Мир, 1980. 656 с.

8. Аки К., Ричарде П. Количественная сейсмология. Теория и методы. Т.1. Пер. с англ. М.: Мир, 1983. 520 с.

9. Аки К., Ричарде П. Количественная сейсмология. Теория и методы. Т.Н. Пер. с англ. М.: Мир, 1983. 360 с.

10. Фелсен Л., Маркувиц Н. Излучение и рассеяние волн. Т. 1. М.: Мир, 1978.- 547 с.

11. Фелсен Л., Маркувиц Н. Излучение и рассеяние волн. Т. 2. М.: Мир, 1978.- 555 с.

12. Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухорукое А.П. Теория волн. М.: Наука, 1979. -- 384 с.

13. Кравцов Ю.А., Орлов Ю.И. Геометрическая оптика неоднородных сред. М.: Наука, 1980. 304 с.

14. Jensen F.B., Kuperman W.A., Porter М.В., Schmidt H. Computational ocean acoustics. New York: American Institute of Physics, 1994. 612 p.

15. Рытов C.M., Кравцов Ю.А., Татарский В.И. Введение в статистическую радиофизику. 4.2. Случайные поля. М.: Наука, 1978. 463 с.

16. Распространение волн и подводная акустика. /Под ред. Дж.Б. Келлера и Дж.С. Пападакиса. М.: Мир, 1980. 230 с.

17. Исимару А. Распространение и рассеяние волн в случайно-неоднородных средах. Т.1. Однократное рассеяние и теория переноса. М.: Мир, 1981. -280 с.

18. Исимару А. Распространение и рассеяние волн в случайно-неоднородных средах. Т.1. Многократное рассеяние, турбулентность, шероховатые поверхности и дистанционное зондирование. М.: Мир, 1981. 317 с.

19. Басс Ф.Г., Фукс И.М. Рассеяние волн на статистически неровной поверхности. М.: Наука, 1972. 424 с.

20. Распространение звука во флуктуирующем океане. /Под ред. С.Флатте. Пер с англ. М.:Мир, 1982. 336 с.

21. Wunsch С. Properties for inverse analysis of sound propagation in simple oceanic waveguides. J. Marine Res. 1980. V. 38. P. 413-433.

22. Munk W., Wunsch C. Ocean acoustic tomography: Rays and modes. Geophys. Space Phys. 1983. V.21. P. 777-793.

23. Гончаров В.В., Зайцев В.Ю., Куртепов В.М., Нечаев А.Г., Хилько А.И. Акустическая томография океана. Институт приклажной физики РАН: Нижний Новгород, 1997. 255 с.

24. Munk W., Wunsch С. Ocean acoustic tomography: A scheme for large scale monitoring. // Deep-Sea Res. 1979. Y.26. P. 123-161.

25. Spiesberger J.L., Metzger K. Basin-scale tomography: A new tool for studying weather and climate. // J. Geophys. Res. 1991. V.96. P. 4869-4889.

26. Cornuelle B.C., Howe B. High spatial resolution in vertical slice ocean tomography. // J.Geophys.Res. 1987. V.92. P.11680-11692.

27. Shang E.C. Ocean acoustic tomography based on adiabatic mode theory. // J. Acoust. Soc. Am. 1989. V.85. P. 1531-1537.

28. Краснушкин П.Е. Метод нормальных волн в применении к проблеме дальних радиосвязей. М.: Изд. МГУ, 1947. 57 с.

29. Weston D.E. Sound focusing and beaming in the interference field due to several shallow-water modes. // J. Acoust. Soc. Am. 1968. V. 44. N 6. P. 17061712.

30. Weston D.E. Propagation of sound in shallow water. // Radio and electronic engineer. 1963. V. 26. P.329-337.

31. Batorsky D.V., Felsen L.B. Ray-optical calculation of modes excited by sources and scatterers in a weakly inhomogeneous duct. // Radio Science. 1971. V.6. N10. P. 911-923.

32. Кудряшев B.M. Геометроволновой способ вычисления акустических полей в волноводе. // Акустический журнал. 1976. Т. 22. N5. С. 724-728.

33. Tindle С.Т., Guthrie К.М. Rays as interfering modes in underwater acoustics. // J.Sound.Vib. 1974. V.34. P. 291-295.

34. Guthrie K.M., Tindle C.T. Ray effects in the normal mode approach to underwater acoustics. J.Sound.Vib. 1976. V.47. N3. P. 403-413.

35. Felsen L.B. Hybrid ray-mode fields in inhomogeneous waveguides and ducts // J. Acoust. Soc. Am. 1981. V. 69. N2. P. 352-361.

36. Gao Т., Shang E.C. The transformation between the mode representation and the generalized ray representation of a sound field // J.Sound.Vib. 1982. V. 80. N1. P.105-115.

37. Kamel A., Felsen L.B. On the ray equivalent of a group of modes //J. Acoust. Soc. Am. 1982. V.71. N6. P. 1445-1452.

38. Ozaki S. A relation between normal mode and rays in underwater sound field. // J. Acoust. Soc. Jpn.(E). 1982. V.3. N1. P.27-32.

39. Gao Т., Shang E.C. Effect of the branch-cut on the transformation between modes and rays. // J. Acoust. Soc. Am. 1983. V. 73. N5. P. 1551-1555.

40. Beilis A. Convergence zone positions via ray-mode theory. J. Acoust. Soc. Am. 1983. V. 74. N1. P. 171-180.

41. Булдырев B.C., Явор М.И. Комбинированный метод представления поля точечного источника в подводном волноводе и асимптотическое суммирование нормальных волн. // Зап. научн. сем. ЛОМИ. 1981. Т. 104. С. 66-83.

42. Исследование асимптотического поведения нормальных волн при расчете звукового поля в подводном волноводе. // Акустический журнал. 1982. Т. 28. N1. С. 120-124.

43. Шендеров Е.Л. Волновые задачи гидроакустики. Л.: Судостроение, 1972.- 348 с.

44. Даргейко М.М., Кравцов Ю.А., Петников В.Г., Петросян А.С., Самойлен-ко Ю.И., Славинский М.М. Особенности фокусировки полей излучения в многомодовых волноводных каналах. // Изв. вузов Радиофизтика. 1984. Т. 27. N6. С. 746-752.

45. Таланов В.И. О синтезе антенн в многомодовых волноводах. // Изв. вузов- Радиофизика. 1985. Т. 28. N 7. С. 872-879.

46. Городецкая Е.Ю., Малеханов А.И., Таланов В.И., Фикс И.Ш. Синтез и анализ акустических полей в океане. // В сб. "Формирование акустических полей в океанических волноводах". Интститу прикалдной физики РАН: Нижний Новгород, 1991. С. 9-31.

47. Данилов В.Я., Кравцов Ю.А., Наконечный А.Г. Математические аспекты управления гидроакустическими полями. // В сб. "Формирование акустических полей в океанических волноводах". Интститу прикалдной физики РАН: Нижний Новгород, 1991. С. 32-54.

48. Гурбатов С.Н., Костерин А.Г., Прончатов-Рубцов Н.В. К теории параметрических излучателей звука в рефракционных акустических волноводах. // Акустический журнал. 1989. Т. 35. N5. С. 809-817.

49. Rutherford S.R. An examination of multipath processes in a range dependent ocean environment within the context of adiabatic mode theory. //J. Acoust. Soc. Am. 1979. V66. N5. P. 1482-1486.

50. Arnold J.M., Felsen L.B. Rays and local modes in a wedge-shaped ocean. // J. Acoust. Soc. Am. 1983. V. 73. N4. P. 1105-1119.

51. Kamel A., Felsen L.B. Spectral theory of sound propagation in an ocean channel with weakly slopin bottom. //J. Acoust. Soc. Am. 1983. V. 73. N4. P. 11201130.

52. Dozier L.B., Tappert F.D. Statistics of normal mode amplitude in random ocean. // J. Acoust. Soc. Am. 1978. V. 63. N2. P. 353-365.

53. Колер В., Папаниколау Дж.К. Распространение волн и подводная акустика. // В сб.: Распространение волн и подводная акустика. /Под ред. Дж.Б. Келлера и Дж.С. Пападакиса. М.: Мир, 1980. С. 126-179.

54. Моисеев A.A. О расчете функции когерентности поля в случайно-неоднородном волноводе. // Докл. АН СССР. 1984. Т. 279. N6. С. 13391344.

55. Долин Л.С., Нечаев А.Г. Кодовое описание интерференционной структуры акустического поля в волноводе со статистически неровной стенкой. // Изв. вузов радиофизика. 1981. Т. 24. N 11. С. 1337-1345.

56. Зайцев В.Ю., Раевский М.А. О трансформации пространственно-временного спектра поля в волноводе со случайной границей. // Изв. вузов Радиофизика. 1985. Т. 28. N 1. С. 65-74.

57. Нечаев А.Г. Акустическое поле в подводном волноводе со случайными неоднородностями. // Акустический журнал. 1985. Т. 31. N3. С. 358-364.

58. Сазонтов А.Г., Фарфель В.А. К расчету затухания звука в океане при рассеянии на внутренних волнах. // Акустический журнал. 1986. Т. 32. N4. С. 492-498.

59. Артельный В.В., Кукушкин В.Д., Раевский М.А. Об энергетических и корреляционных характеристиках акустических волн в подводных звуковых каналах. // Акустический журнал. 1986. Т. 22. N5. С. 591-597.

60. Артельный В.В., Раевский М.А. О статистических характеристиках нормальных мод в волноводе с объемными неоднородностями. // Изв. вузов Радиофизика. 1984. Т. 27. N9. С. 1142-1150.

61. Вдовичева Н.К., Сазонтов А.Г., Хилько А.И. Коротковолновая дифракция акустического поля на жестком рассеивателе в волноводе со взволнованной поверхностью. // Акустический журнал. 1998. Т. 44. N4. С. 443-450.

62. Сазонтов А.Г. Квазиклассическое решение уравнения переноса излучения в рассеивающей среде с регулярной рефракцией. // Акустический журнал. 1996. Т. 42. N4. С.551-559.

63. Krolik J.F., Narasimhan S. Performance bounds on acoustic thermometry of ocean climate in the presence of mesoscale variability. //J. Acoust. Soc. Am.1996. V. 99. No. 1. P. 254-265.

64. Traykovski P. Travel-time perturbations due to internal waves: equivalence of modal and ray solutions. //J. Acoust. Soc. Am. 1996. V.99. N2. P. 822-830.

65. Shang E.G. Ocean acoustic tomography based on adiabatic mode theory. // J. Acoust. Soc. Am. 1989. V. 85. P. 1531-1537.

66. Кацнельсон Б.Г., Петников В.Г. Акустика мелкого моря. М.: Наука, 1997. 191 с.

67. Extension of the method of normal modes to sound propagation in almost-stratified medium. // J. Acoust. Soc. Am. 1965. V. 37. P. 19-27.

68. Colosi J.A., Flatte S.M., Bracher C. Intrmal-wave effects on 1000-kin oceanic acoustic pulse propagation: Simulation and comparison with experiment. // J. Acoust, Soc. Am. 1994. V. 96. P.452-168.

69. Colosi J.A., Flatte S.M. Mode coupling by internal waves for multimegameter acoustic propagation in the ocean. // J. Acoust. Soc. Am. 1996. V. 100. N6. P.3607-3620.

70. Кряжев Ф.И., Кудряшев B.M. Дальнее распространение звука в Арктическом бассейне. // Акустический журнал 1997. Т. 43. N2. С. 203-210.

71. Кудряшев В.М. Звуковое поле в волноводе с наклонным дном. // Акустический журнал. 1987. Т. 33. N1. С. 55-59.

72. Simmen J., Flatte S.M., Wang G.-Y. Wavefront folding, chaos, and diffraction for sound propagation through ocean internal waves. // J. Acoust. Soc. Am.1997. V. 102. N1. P. 239-255.

73. Подводная акустика и обработка сигналов. / Под ред. JI. Бьёрнё. Пер с англ. под ред. Ю.Ю. Житковского. М.: Мир, 1985. 484 с.

74. Quantum chaos. Cambridge University press: Cambridge, 1995.

75. Абдуллаев С.С., Заславский Г.М. Классические нелинейная динамика и хаос лучей в задачах распространения волн в неоднородных средах. // УФН. 1991. Т. 161. N8. С. 1-43.

76. Заславский Г.М. Стохастичность динамических систем. М.: Наука, 1984. 271 с.

77. Palmer D.R., Brown M.G., Tappert F.D., Bezdek H.F. Classical chaos in nonseparable wave propagation problems. // Geophys. Res. Lett. 1988. V. 15. N 6. P. 569-572.

78. Smith K.B., Brown M.G., Tappert F.D. Acoustic ray chaos induced by mesoscale ocean structure. //J. Acoust. Soc. Am. 1992. V. 91. N4. Pt.l. P. 1950-1959.

79. Brown M.G., Tappert F.D., Goni G. An investigation of sound ray dynamics in the ocean volume using an area preserving mapping. // Wave motion. 1991. V. 14. P. 93-99.

80. Smith K.B., Brown M.G., Tappert F.D. Ray chaos in underwater acoustics. // J. Acoust. Soc. Am. 1992. V.91. N1. Pt.l. P. 1939-1949.

81. Tappert F.D., Tang X. Ray chaos and eigenrays. //J. Acoust. Soc. Am. 1996. V. 99. N1. P. 185-195.

82. Бреховских JI.M. Усредненное поле в подводном звуковом канале. // Акустический журнал. 1965. Т. 11, N2. С. 148-159.

83. Бородин В.В., Журавлев В.А., Кобозев И.К., Кравцов Ю.А. Усредненные характеристики акустических полей в океанических волноводах. // Акустический журнал. 1992. Т. 38. С.601-608.

84. Вировлянский A.JI. Использование взаимосвязи лучевого и модового представлений поля при анализе пространственно-временных структур сигналов в многомодовых волноводах: Дис. .канд. физ.-мат. наук. -Горький, 1986 147 с.

85. Zhang R., Wang Q. Range and depth-averaged fields in ocean sound channels // J. Acoust. Soc. Amer. 1990. V.87. N2. P. 633-638.

86. Вировлянский A.Jl. К вопросу о границах применимости геометрической оптики в плоскослоистых волноводах. // Изв.вузов Радиофизика. 1984. Т. 27. N12. С. 1592-1594.

87. Вировлянский А.Л., Саичев А.И., Славинский М.М. О спектре сигнала, принимаемого движущимся приемником в подводном звуковом канале. // Акустический журнал. 1985. Т. 31. N1. С. 22-26.

88. Вировлянский А.Л., Малахов А.Н., Славинский, М.М. О возможности различения лучей в волноводе по углам их приходов с помощью линейной антенны. // Изв.вузов-Радиофизика. 1985. Т. 28. N7. С. 889-895.

89. Вировлянский А.Л., Саичев А.И., Славинский М.М. Проявления модовой и лучевой структур в спектре сигнала, регистрируемого движущимся приемником. // Изв.АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1985. Т. 21. N8. С. 888-890.

90. Вировлянский А.Л. О временах пробегов звуковых импульсов в океане. // Акустический журнал. 1985. Т. 31. N5. С. 664-667.

91. Вировлянский А.Л. О временной структуре импульсного сигнала в подводном звуковом канале. // Акустический журнал. 1985. Т. 31. N 6. С. 790792.

92. Вировлянский А.Л., Костерин А.Г. О доплеровском уширении спектра тонального сигнала в многомодовм волноводе. // Акустический журнал. 1987. Т. 33. N3. С. 416-423.

93. Вировлянский А.Л., Костерин А.Г. Метод плавных возмущений для описания полей в многомодовых волноводах. // Акустический журнал. 1987. Т. 33. N4. С. 599-605.

94. Вировлянский А.Л., Кириллов С.А., Шерешевский И.А. О структуре поля группы мод в многомодовом волноводе. // Изв.вузов Радиофизика. 1988. Т. 31. N6. С. 725-732.

95. Вировлянский А.Л., Костерин А.Г., Малахов, А.Н. Флуктуации мод в каноническом подводном звуковом канале. // Акустический журнал. 1989. Т. 35. N 2. С. 229-235.218

96. Вировлянский A.JI., Костерин А.Г., Малахов А.Н. О рассеянии мод в волноводе с неровной границей. // Изв.вузов Радиофизика. 1989. Т. 32. N 8. С.979-984.

97. Вировлянский A.JL, Костерин А.Г. Френелевские объемы мод в многомо-довых волноводах. // Изв.вузов Радиофизика. 1989. Т. 32. N4. С. 478486.

98. Вировлянский A.JI. Корреляции между модами в волноводе с крупномасштабными случайными неоднородностями. // Изв.вузов Радиофизика. 1989. Т. 32. N7. С. 832-838.

99. Virovlyansky A.L., Kosterin A.G., Malakhov A.N. Fresnel zones for modes and analysis of field fluctuations in random multimode waveguides. // Waves in Random Media. 1991. V. 1. P. 409- 418.

100. Вировлянский A.JI., Костерин А.Г. О структуре поля в окрестности каустики в случайно-неоднородном волноводе. // Акустический журнал. 1992. Т. 38. N2. С. 270-276.

101. Вировлянский A.JI. О трансформации амплитуд мод в многомодовом волноводе с квазисинусоидальной границей. // Изв.вузов Радиофизика. 1992. Т. 35. N5. С. 440-450.

102. Virovlyansky A.L. On description of mode amplitude fluctuations in the ocean.// Journal de Physique IV, Colloque C5, supplement au Journal de Physique III. 1994. V.4. P.C5-1129 C5-1131.

103. Virovlyansky A.L. On general properties of ray arrival sequences in oceanic acoustic waveguides. // J. Acoust. Soc. Am. 1995. V. 97. N5. P. 3180-3183.

104. Вировлянский A.JI. Взаимосвязь лучевого и модового представлений поля в регулярном и случайно-неоднородном волноводе. // Изв.вузов Радиофизика. 1995. Т. 38 N 1-2. С. 115-121.

105. Вировлянский A.JI. Аналог метода геометрической оптики для описания флуктуаций амплитуд мод непрерывного спектра в волноводе. // Акустический журнал. 1996. Т. 42. N1. С. 40-45.

106. Вировлянский A.JL, Курин В.В., Прончатов-Рубцов Н.В., Симдянкин С.И. Проявление лучевой структуры поля в спектре сигнала, регистрируемого движущимся приемником в волноводе. // Акустический журнал. 1996. Т. 42. N4. С. 563-565.

107. Virovlyansky A.L., Kurin V.V., Pronchatov-Rubtsov N.V., Simdyankin S.I. Fresnel zones for modes. // J. Acoust. Soc. Am. 1997. V. 101. P. 163-173.

108. Вировлянский A.JI., Курин В.В., Лебедев О.В., Прончатов-Рубцов Н.В., Симдянкин С.И. Об использовании понятия зон Френеля для мод при описании дифракции на экране в волноводе. // Акустический журнал. 1997. Т. 43. N1. С. 31-41.

109. Будников Д.Н., Вировлянский А.Л. Флуктуации поля в детерминированном плоскослоистом волноводе. // Акустический журнал. 1997. Т. 43. N6. С. 754-761.

110. Вировлянский А.Л., Окомелькова И.А. Лучевой подход для расчета сглаженного по угловым и пространственным масштабам локального спектра поля в волноводе. // Изв. вузов Радиофизика. 1997. Т. 40. N 12. С. 15421554.

111. Вировлянский А.Л., Лебедев О.В. Модовая структура поля в переменном по трассе волноводе Пекериса. // Акустический журнал. 1998. Т. 44. N4. С. 451-455.

112. Virovlyansky A.L., Zaslavsky G.M. Wave chaos in terms of normal modes. // Phys. Rev. E. 1998. V.59. N2. P. 1656-1668.

113. Вировлянский А.Л. О соотношениях между временами пробегов звука вдоль различных лучей в подводном звуковом канале. // Препринт ИПФ АН СССР N69. Горький, 1983. 24 с.

114. Вировлянский А.Л. Управление полем небольшой группы мод в плоскослоистом многомодовом волноводе. // Препринт ИПФ АН СССР N120. Горький, 1985. 20 с.

115. Вировлянский А.Л. Лучевой подход для описания характеристик сглаженного волнового поля. // Препринт ИПФ АН СССР N.305. Нижний Новгород, 1992. 17 с.

116. Вировлянский А.Л. Связь времен приходов лучей и лучевых инвариантов в подводном звуковом канале. // В сб.: "Труды IV всесоюзной конференции "Мировой океан" (Секция N 2)". Владивосток. 1983. С. 128-130.

117. Вировлянский А.Л., Костерин А.Г. О введении понятий зон Френеля мод в многомодовых волноводах. //X Всесоюзный симпозиум по дифракции и распространению волн (СДВ-10). Винница 1990. В сб.: "Волны и дифракция 90." Москва. 1990. Т. 3. С. 210-213.

118. Вировлянский А.Л., Прончатов-Рубцов H.B., Симдянкин С.И. Зоны Френеля для мод в задаче о рассеянии звука на неровной границе волновода. // Труды IV Всероссийской школы-семинара "Волновые явления в неоднородных средах". Москва. 1996. С. 47-48.

119. Градщтейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит-ры, 1962. 1100 с.

120. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М.: Наука, 1973. 832 с.

121. Справочник по специальным функциям. / Под ред. М. Абрамовича и И. Стиган. М.: Наука, 1979. 830 с.

122. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. М.: Наука, 1977. 342 с.

123. Ладсберг Г.С. Оптика. М.: Наука, 1976. 926 с.

124. Горская Н.В., Николаев Г.Н., Рычова Т.А., Салин Б.М. Спектральный анализ при исследовании полей гармонических источников в акустических волноводах // Акустический журнал. 1981. Т. 27. N2. С.202-205.

125. Елисеевнин В.А. О работе горизонтальной антенны в водном слое // Акуст. журн. 1979. Т. 25. N2. С. 277-283.

126. Галкин О.П. О структуре звукового поля в глубоком океане. // В сб.: Акустика океана. Современное состояние. М.: Наука, 1982, С. 92-106.

127. Chapman D.M.F. A simple estimate of propagation loss fluctuations due to modal interference // J. Acoust. Soc. Am. 1989. V. 85. N3. P. 1097-1106.

128. Galaktionov M.Yu. Estimation des fluctuations de l'intensite du son dans I'ocean a l'aide de l'approximation geometrique et de la methode de l'intensite moyenne. Rapport, IFREMER, DIT1/SM/ASM, 1993.

129. Galaktionov M.Yu., Aviloff C.V., Ivanitskaya L.A. Computer system for simulation of underwater sound propagation. //In.: Proc. of the UDT'94 Conference. London,1994.

130. Борн M., Вольф Э. Основы оптики. M.: Наука, 1973. 719 с.

131. Munk W.H., Zachariasen F. Sound propagation through a fluctuating stratified ocean theory and observation. //J. Acoust. Soc. Am. 1976. V. 59. N 4. P. 818838.

132. Курин В.В., Лебедев О.В., Прончатов-Рубцов Н.В. Экспериментальные исследования распространения звука в слабонеоднородных по трассе волноводах // Акустический журнал. 1994. Т. 40. N3. С. 486-487.

133. Отнес Р., Эноксон Л. Прикладной анализ временных рядов. Основные методы. М.: Мир, 1982. 428 с.

134. Костерин А.Г., Шолин Д.В. Межмодовые корреляции в многомодовом рефракционном волноводе с объемными флуктуациями показателя преломления. // Акустический журнал. 1992. Т. 38. N3. С. 556-559.

135. Костерин А.Г. Шолин Д.В. Статистические характеристики амплитуд мод в волноводах с объемными случайными неоднородностями. // Акустический журнал. 1991. Т. 37. N5. С. 956-964.

136. Костерин А.Г., Малахов А.Н., Шолин Д.В. Описание волнового поля распределенного источника в многомодовых волноводах с крупномасштабными неоднородностями. // Изв.вузов Радиофизика. 1991. Т. 34. N 7. С. 774-783.

137. Кляцкин В.И. Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах. М.: Наука, 1980. 336 с.

138. Dashen R., Flatte S.M., Reynolds S.A. Path-integral treatment of acoustic mutual coherence function for rays in a sound channel. //J. Acoust. Soc. Am. 1985. V. 77, N5. P. 1716-1722.

139. Garrett C., Munk W.H. Space-time scales of internal waves. // Geophys. Fl. Dyn. 1972. V.3. P. 225-229.

140. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. М.: Наука, 1978. 228 с.

141. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика. М.: Наука, 1973. 208 с.

142. Маслов В.П. Асимптотические методы и теория возмущений. М.: Наука, 1988. 310 с.

143. Лебедев О.В. Прончатов-Рубцов Н.В., Симдянкин С.И. Численное моделирование распространения звука в неоднородном поглощающем волноводе. // Изв. вузов радиофизика. 1995. Т. 38. N 1-2. С. 134-138.