Совместные диофантовы приближения элементами регулярных систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК БЕЛАРУСИ -7

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

На правах рукописи

ИЙ ИГОРЬ РОМУАЛВД)ВИЧ " ' "

СОВМЕСТНЫЕ ДИОФАНТОВЫ ПРИБЛИЖЕНИЯ ЭЛЕМЕНТАМИ РЕГУЛЯРНЫХ СИСТЕМ

01,01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

^диссертации на соискание .ученой степени кандидата физико-математических наук

{ / \ )

; / ^

Минск - 1991

Работа выполнена в Институте математики АН Беларуси

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

старший научный сотрудник БЕИЖ Василий Иванович

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

старший научный сотрудник ВОРОНИН Сергей Михайлович

кандидат физико-математических наук, доцент ЧИРСКИЙ Владимир Григорьевич

Ведущее учреждение - Московский государственный педагогический университет

Зашита состоится "Д," 1992 г. в часов

на заседании специализированного Совета Д 006.19.01 в Институте математики АН Беларуси по адресу: 220072, Минск, ул. Сурга-нова, II.

С(диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики АН Беларуси.

Автореферат разослан Я -3 " .

Ученый секретарь специализированного совета,

доктор физико-математических наук А.С.РАПШШК

ОБЩА? ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы и состояние вопроса. В дг.яной диссертации в терминах меры Лебега и размерности Хаусдорфа ¡тссло/угп'си ряд вопросов теории диофантовьгх пр;;бд;~с;г>;й.

Определение. Пусть М - тскестъ о топок некоторого метрического пространства. Для любого ¿"> О определим

t (M,f, Г)- ¿rvf Т. (ли^гп J¿ )f

где точная нижняя грань рассматривается fio всевоямокнкм последовательностям шаров J¡ l Jñ¡ ,, , * сО ítm- J¿ ¿¡ ¿T t образующих покрытие множества , Положи

Тогда число f *• О

i * (ß: & называется размерностью Хоусдорфа кнсгхестса

И

и обои-ачаелся

dim М

Размерность Хаусдорфа, с момента применения её ?рниион н Везиковичем (1929, 1931),для описания множества действительных чисел имеющих заданный порядок аппроксимация рациональными ста» новится ваяого инструментом метрической теории чисел. Это объло-няется прежде всего тем, что для различения шс-яеств, удовлетворяющих определённом диофантовцм условиям мора Лебега сказывайся слишком грубой. Различные множества зачастую имею? одну и ту же меру Лебеге. В таких случаях для описания их метрических свойств удобно использовать размерность Хаусдорфа.

Значительные продвижения с применением размерности Хаусдорфа к вопросам метрической теории чисел быян получены ёрником ' при обобпении своих ке результатов на случай совместных приближений, P.C. БэЯкером*^ при рассмотрении задачи о приближении

11-1---

Jarnik V. aber die simultanen diophantiohen Approximationen//

Math. J. 1931. Bd. 33. S. 505 - 543.

Baker R.C. Singular n-tuples and Hausdorff dimension// Math. Proc. Cambr. Phil. Зое. 1978. Vol. 83. 37 - 59.

нуля значениями линейной формы с независимыми над (£/ кооффи-циенталт, Бови и Додсоком , а затем в более общем случае Ю.Кун-pvîj *' при определении размерности Хаусдорфа исключительных множеств, возникатских в задачах с произведением совместных приближений и произведением линейных форм. Последние результаты интересны еще и тем, что наили применение при анализе устойчивости гамильтоиовых систем в теории Колмогорова - Арнольда - Moзера.

Как правило, при определении значения размерности Хаусдор-фа множеств, вогижапцих^теории дисфзнгових приближений, главную трудность составляет проведение оценки размерности этих множеств еилсу.

В 1970 г. А.Бэйкер и В.Шмидт^ предложили метод, позволивший с едюшх позиций взглянуть на получение оценок снизу. Он основал на понятии регулярной система (см. (2)). Сами Вэйкер и Шмидт применили этот метод при получении нижней оценки размерности Хдусдор$а множества действительных, хорояо приближаемых алгебраическими ограниченной степени. '

Пользуясь методом Бэйкера - Шмидта, удалось построить регулярные систеш к получить оценки размерности Хвусдорфа для множеств, возникающих при приближении действительных чисел нулями гледиих фудаиий (Р.С.Бэйкер), при изучении диофантовых

Bovoy J.D., Do¿eon M. 1st. ïhe fractional dimension of sets whoße eiraultsneoua rational approximations have errors with small Produkt// Bull. london Math. Soo, 1978. Vol. 10. P. 213 - 218. ^ Yi Krunii. Hausdorff dimension and simultaneous rational approximation// J. London Math. Soc. 1?81. Vol. 24. 7. 79 - 84. 5^ Baker A., SchmidtW. Diophantine approximation and Hausdorff dimension// irac. London x/ath. Soc. (3), 1970. - Vol. 21. -Ï. 1 - 11.

приближений на окружности (Ю.В.Мелъничун), при приближениях нуля значениями целочисленных, а также целочисленных в р многочленов (В.И.Верник, И.Л.Мороцкал) и ряда других (см.5).).

Заметим сднако, что для многомерных диофантлвих приближений большинство результатов в терминах размерности Хаусдорфа подучены лишь тогда, когда путём определённых преобразований рассматриваемый случай можно свести к одномерной задаче. Поэтов рассмотрение с точки зрения Хеусдорфа совместных приближаю^ элемент аш[ регулярных систем с покоординатно различии.1»!« показателями аппроксимации (сутаеетвеш:о многомерный, не сводник* к одномерному случай) является естественной и назревшей задачей»

Цель»,данной работы является развитие методов нахождения размерности Хаусдорфа и их применение к диофалтпвым приближениям.

Методы иссл&дованчя. Для получения метрической тесрела главы П используется модификация метода существенных и несущественных областей, предложенного В.Г.СпрннпАуиом<'^. Результаты главы Ш основаны на использовании схемы метода ЕоГжера, -Шмидта для проведения оценок размерности Хауедор.^а снизу.

Научная новизна. В диссертации разработан метоп получения оценок снизу размерности Хаусдорфа для исилячительнт множеств, возникающих в задачах совместных диофантопых приближений с задай яам порядком аппроксимации. Метод даёт возможность производить точные оценки при покоординатно различных порядках аппроксимации, то-есть в случае не сводимом гс известной лемме Еойкера-- Шмидта.

Ряд примеров, в которых удалось подучить точное значение размерности Хаусдорфа, возникающих в теории диофантоЕых приближений множеств, илюстрирует действие метода.

Наряд' с результатами о размерности'Хаусдорфа получен такие метрический результат относительно приближений нуля значениями многочленов специального вида. Приближения многочленами такого вида обобщают традиционно встречающиеся в теории диофантоЕых приближений понятие совместных приближений.

^Бернии Г.И., Мельничук Ю.В. Диофантовы приближения и размерность Хаусдорфа. - Минск: Наука и техника, 1988. - 144 с. '^Сприндаук В.Г. Проблема Малера в метрической теории чисел. -Минск: Наука и техника, 1967. - 184 с.

- 5 -

Оснорянс положения, выносимые на защиту:

I. Изучешл метрические характеристики совместных приближеиий

нуля многочлене».*,. вида (I). 2» Поручен аналог лею,к Вэйкера -^Шмидта для оценки снизу размерности Хаусдорфа точек из $ » имеющих заданный порядок цппрачснмаии" элементами регулярных систем.

3. Определено точное значение размерности Хаусдорфа множества точек , имеяких высокий, покоординатно различный порядок аппроксимации вентарат из Р^ о алгебраическими координатами .

4. Проведены опенки размерности Хдусдосфа одного класса множеств, аозникаших в связи с исследованием поведения тригонометрических суки по простым числам.

5. Разработан метод опенок снизу размерности Хаусдорфа множеств, хорошо приближаемых елементауи регулярных систем в .

Твд^тотзская^Фактическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Её результаты могут быть использованы при опенке размерности Хаусдорфа различных, возникающих и теории дао'^актозых приблккений множеств.

Релуаьтать диссертации тшеке могут быть использованы для описания класса некорректных задач при исследовании ряда задач математической $из.<*.кк, разрешимость которых связана с проблемой малых знаменателей.

Апробация работы. Результата диссериши докладавались на Всесоюзной школе "Конструктивные метода и алгоритмы теории чи-к сел" (Минск, 1939), республиканской конферендо"« "Теория чисел и её приложения" (Ташкент, 1990), на, математическом семинаре Западного нд-чного иентра (Львов), а также неоднократно на семинаре "Теория чисел" (Минск, 1927-1990).

Публикепии. Основные результаты диссертации опубликованы в работах 1-6 ♦

Структура и обтьЗм работа. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка литературы, содержащего 52 наименования. Общий объём работы 104 страниш.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Со введении приводится обзор результатов по тс-,«.е диссерта- ' пин, обосновывается актуальность тематики и фор?.<улируотел основные результаты её.

Первая глава работы носит вспомогательный характер. Оиа состоит из двух частей, в первой из которых вводится ряд стандартных определений и лемм метода суаестпсшгих и нссущестзешшх областей В.Г. Сприимука и проводится необходимая яодготосчтильняя работа для доказательства метрической теоре.и глаз« П. ^оказо-тельства некоторых из приведённых: лемм содержат незначительную модификацию на сдучай приводимых полиномов по сравнению с екало-гичными леммами из работ В.Г. Сприндауна7^ и В.И. Бериика^.

Во второй части -.ало определение регулярно., систети.

Опред еле! и е. Счётное ыноаество Г шх чисел вместе с полоаителыюзначноИ функцией N , определённой на Г называя? регулярной системой (Г, /V} , если для любого интервала J существует полокат^-льноо (.У)

такое, что для любого К

найдутся элементы ^ , ^ иэ Р такие, что для любых I 4 / »

I, ] ¿-Ь имееи

^ -т * к'1 ;

I * с, \ Л К >

Где

сI - с1{Г) .

о \

Здесь же кратко описана схема метода Байкера. - Шмидта ' для проведения нижних опенок размерности Хеусдорфа, а также приведено естественное обобаение понятия регулярной системы для точек на плоскости и дян ряд примеров регулярных систои точек на плоскости.

а\

'Берлин П.И. Метрическая теорема о совместном приближении нуля значениями целочисленных многочленов // Изв. АН СССР, сер. матем. - 1980. - Т. 44, № I. - С. 24-35.

Во второй гдсве «пучатся совместные приближения нуля целочисленными полиномами специального вида. В метрической теории чисел задача оценки стелен« аппроксимации нуля целочисленными многочлзноми возникает в связи с классификацией действительных чисел, предложенной Малером. Доказывая известную гипотезу Малера, В.Г.Сприклжук^ показал, что точная верхняя грань \Х/ > О » для которых неравенство

■1РМ1

для почти всех 6. имеет бесконечное число решений в целочисленных полином;« р(Х) 1 степени и высоты Н, равна Ц .

На случай совместных приближений этот результат Лш обобщен В.И.Ьерникоы®^. Он в частности, нашел точную верхнюю грань теК Ъ£у> О » для котоРих бесконечное число решений в целочисленных полиномах Р(х) « ДО51 почти всех Со- [(а){>

^ i» JVIС i JUL/

^ [Rn ,:меет }!еРазснстЕо

!1IP(CJJI^H

Главным результатом главы П является следующая теорема: Теорема I. Пусть

Р(х}= ah*n+~. ta^x^a^'l.- ^ + civ

(i)

целочисленные полилог порядка ft . и высоты Н; СО = (O^l> ) ~ веиестЕеин"й вектор. Пусть, далее W$liü) - точная верхняя грань тех W> О . Для которых неравенство

-W

1Р{и),)1!0(и)*)1'Н.

имеет бесконечное число релений в парах полиномов (2 (к) * ^огДа» почти всех 6 ¡R

Ws ft5J = 2n-S

- а -

Результаты отой теоремы будут существенно использованы в главе Ш при построении регулярной систеш на плоскости для оценки размерности Хаусдорфа шопе ^тва п,$ ($1 Теорема I имеет такие самостоятельное значение так как приближения многочленами вида (I) можно рассматривать как обобщение понятия совместных приближений.

В монографии б) поставлен вопрос о размерности Хцусдорфа множества п - тех (£„|г) 6 ^ ,

для которых система неравенств

I §г - ¿г! < Н ^ ^ + п+1

имеет бесконечное число решений в алгебраических с1 ^ , <?С 2 степени не выше /г и являющиеся корнями одного и того же целочисленного неприводимого многочлена высоты ^ .

Вопросам общего репения поставленной, а также других подобных задач посвящена глава Ш данной работы. В ней рассматриваются приближения элементами' регулярных систем на плоскости с покоординатно различными показателями аппроксимации, В этом случае сначала доказываются леммы I:, 16, 17, являющие■собой двумерный аналог леммы Бэйкера - Шмидта, а потом на основе этих лемм оцениваются! снизу размерности различных множеств. Нолример, для множества ¡^ п при

подучено (теорема 2)

сИпгМ^ф--! . &

п + 1

> . >

Подобны» образом получено точное значение размерности Хаусдорфа множества § , £ 2 ) тех % ~ > № '

для которых покоординатная аппроксимация с порядкамг и £>2 производится корнями и 9 многочленов Р(х) и О (к) соответственно, рассмотренных в главе П. Согласно теореме 3,при

ßitßz и J>t^ßz> 2(n^i)~ s

oUmMn>s iphfi)-

* <

L Л

To, что вторые части формул для размерности в обоих рассмотренных выше случаях зависят только от одного параметра ß ¿ , может на первый взгляд показаться странным, но является лишь отражением факта перехода от фрактального множества с размерностью между двойкой и единицей к фрактальному множеству с размерностью между единицей и нулем.

Хорошо, известно, что оценка сверху тригонометрической

сумм;

S (//)=£ еыиР ,

где суммирование ведется по простым числам р ) d - фиксированное действительное число, oL & (Р, 4) зависит от характера аппро? симации числа оС ■ рациональными дробями.

В 9) рассматривается вопрос о размерности Хаусдорфа мно-жесгва тех ci é (Ot / ) , для которых

SW) «K(A/) (fn A/)sM'f,

у

где

| ; ЛШ) - число простых с условием {¿-P é N • При этом естественным образом возникает за-

дача определения размерности Хаусдорфа множества (Y t ß J которое определено ниве. ^

Для любых действительных чисел tftß ,' 0 ¿ ft ß через £f (jftji) обозначим множество тех (0,J),

^ PoLlicott М. // Israel Jornal of Math. - 19в6. - V. 55 -Р. 199 - 213.

которых существует бесконечно много натуральных чисел /\/ таких, что для любых целых чисел (X , удовлетворяющих условиям. .^ л*, /V-0 • . ' шполня-ется неравенство ' »

I d " ' > уг .

В главе Ш диссертации о множество ( Y ß ) установлено следзутаее и /

Теорема 4. Е , ß) = g^ß •

Этот результат подучен автором диссертации совместно с В.Г.Вильчинским. 'Автору принадлежит оценка c^-tWi В ( Ц', fi) снизу.

Большое число приложений, которые имеют'лемма Бэйкера -Шмидта и диофаптовы приближения элементами регулярных систем, является серьезным стимулом для создания их аналогов в д -мерном случае. Этой задаче посвящена четвертая глава данной работы. В ней вводится понятие регулярной системы ^ f Д/у ^ J\/fX) в (R° . Рассматривается множество ^ ) * ~ тех

^е для которых система неравенств •'

* * к

7i l-ffrt

имеет бесконечное число решений в ¿'.■6 (Г', М^,..., ) при Д/у - •.»•■=• ¡Vп • Теорема 5 дает оценку снизу размерности Хаусдорфа этого множества. В случае /г из теоремы 5 можно извлечь ту же икфср иште для кридожений, которая была извлечена из леммы Бэйкера - Шмидта во всех вышеприведенных примерах. В случае пp^извольного П она может послужить орудием для получения оценки снизу размерности Хаусдорфа, например, для множества М ( 1 у? п ) » построенного наподобии

В заключении обсуждается одна гипотеза выдвинутая в 6), а также другие развития и приложения, которые могут иметь результаты данной диссертации.

Автор искренне признателен своему научному руководителю доктору физшсо-матеиатических наук Берннку В.И., а также кандидату зик о-математич<з ских наук Мелышчуку D.B. за постановку ряда задач, постоянное внимание и помощь.

Работы, опубликованные по теме диссптадин

1. Домбровский И,Г. Совместные приближения нуля многочленами с целыми рациональными коэффициентами // Тезины докладов всесоюзной конференции "Новые подходы к решению дифференциальных уравнений" (Дрогобыч, 30 мая 1989 г.). - Дрогобич, 1989. - с/59.

2. Домбровский И.Р. Совместные приближения действительных чисел алгебраическими числами ограниченной степени // Докл. АН БССР. - I9B9. - Г. 33, » 3. - С. 205-200.

3. Донбровский И.Р. Приближения нуля значениями целочисленных многочленов с заданным числом совпадающих коэффициентов // Тезисы докладов Всесоюзной школы "Конструктивные методы и алгоритмы теории чисел". - Минск, 1989. - С. 49.

4. Домбровский И.Р. Метрические характеристики совместных приближений нуля значениями многочленов с заданным числом совпадающих коэффициентов. - Мн., 1990. - 43 с. - (Препринт / All БССР, Ин-т математики; № 9 (409)).

5. Домбровский И.Р. Множества типа конторовского и хорошо аппроксимируемые векторы в ¡$П U Тезисы докладов республиканской конференции "Теория чисел и ее приложения". - Toai- -кент, 1990. - С. 35

6. ВильчинскиЙ В.Т., Домбровский И.Р. Размерность Хаусдорфа и оценки тригонометрических суш по простым числам // Изв. АН БССР, сер. фио.-мат. наук. - 1990. - № I. - С. 3-6.