Спектр и рассеяние для оператора Шредингера в магнитном поле тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

003452520

Галимов Артур Нилович

СПЕКТР И РАССЕЯНИЕ ДЛЯ ОПЕРАТОРА ШРЕДИНГЕРА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ

01.01.01 - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Уфа - 2008

003452520

Работа выполнена на кафедре математического анализа ГОУ ВПО "Башкирский государственный университет"

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор Муртазин Хайрулла Хабибуллович

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

Защита диссертации состоится "28" ноября 2008 г. в 16 ч. 00 м. на заседании диссертационного совета Д002.057.01 при Институте математики с ВЦ Уфимского научного центра РАН по адресу: 450077, г. Уфа, ул. Чернышевского, 112

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики

профессор Голичев Иосиф Иосифович

- доктор физико-математических наук, профессор Хабибуллин Булат Нурмиевич

Ведущая организация - Физико-технический институт

Уральского отделения РАН (ФТИ УрО РАН)

с ВЦ УНЦ РАН.

Автореферат разослан

II

п

октября 2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физ. -мат. наук

Попенов С.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Результаты, полученные в области спектральной теории дифференциальных операторов, находят многочисленные применения при исследовании задач математической физики. В частности, в задачах квантовой механики часто рассматриваются операторы Шредингера, используемые в теории рассеяния. При этом одним из основных является вопрос о свойствах решения задачи теории рассеяния в зависимости от спектрального параметра, а также - задача разложения по спектру этого оператора.

Известно, что при а(х) = 0, т.е. отсутствии магнитного потенциала, оператор Н хорошо изучен и уравнением Липпмана-Швингера называется интегральное уравнение

ф, Х,ш) + А. I А, и)ёу = (1)

№

где X - вещественный параметр, и> £ Б2. Первые результаты о разложениях по собственным функциям оператора Шредингера с электрическим потенциалом получил А Я. Повзнср в работе1, связь этих разложений с теорией рассеяния установлена им же в работе2. В дальнейшем этой теме было посвящено большое количество работ Т.Икэбе, Л.Д. Фаддеева, Д М. Эйдуса, С.Куроды и других авторов. Итоги этих исследований подведены в книге5. В частности, в этой книге изучается условие Ролышка:

|х-у\-2У(х)У(у)еЬ(Ж% УеЫЕ3). (2)

Введем однородное уравнение

] + К{ X)) = о, (3)

где К{X) - интегральный оператор с ядром

е'А|х-»|

уравнения (1). Изучение особенностей по параметру А решения уравнения (1) сводится к исследованию множества£ тех А, при которых однородное уравнение (3) имеет нетривиальное решение, а также асимптотическое поведение самих решений }(х) В теореме XI.41 из работы3 было доказано, что в классе вещественных потенциалов (2) множество £ ограничено, замкнуто и имеет лебегову меру нуль

гПовзнер А Я О разложениях произвольных функций по собственным функциям оператора — Д +с -Матем сб , 1957, Т 32, №1, С 109-156

2Повзнер А Я О разложениях по собственным функциям, являющихся решениями задачи рассеяния - ДАН СССР, 1955, Т 104, С. 360-363

3М Рид, Б Саймон Методы современной математической филики Т. 3 Теория рассеяния М , 1982 443 С

Далее, в работе4 (теорема 2.4, с.51) было доказано, что для потенциалов Рольника (2) множество £, на самом деле, конечно и если А 6 £ \ {0}, то А2 - собственное значение оператора Шредингера конечной кратности. Кроме того, в той же работе (см. теорему 2.5, с.53) для данного класса потенциалов установлено, что при каждом 5 > 0 для А € М имеет место неравенство

эир I \У(х)\\ф(х,\,и)\2с1х < оо, 1А|><5, т ./

КЗ

где ш € 52.

Цель работы.

1) Получить интегральное уравнение теории возмущений при наличии магнитного поля;

2) исследовать множество £ особенностей при наличии магнитного потенциала;

3) изучить поведение решения ¡р(х, А,ш) по параметру А в окрестности вещественной ненулевой особенности;

4) изучить свойства резольвенты и разложения по собственным функциям

Научная новизна.

1) Существенно развиты методы теории возмущений для уравнения Липп-мана - Швингера с магнитным потенциалом.

2) Найден метод регуляризации однородного интегрального уравнения Липпмаиа - Швингера для случая а(.т) Ф 0.

3) Найдена техника доказательства отсутствия ненулевых особенностей решения задачи теории рассеяния.

Методика исследования. Методы теории возмущений линейных операторов, комплексного анализа и теории специальных функций математической физики.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты диссертации могут быть использованы в теории дифференциальных уравнений, в ядерной физике, квантовой механике и квантовой химии.

Апробация работы. Основные результаты докладывались на Международной Уфимской зимней школе конференции по математики и физике для студентов, аспирантов и молодых ученых (Уфа, 2005); Международной научной конференции "Студент и научно-технический прогресс. Математика". (Новосибирск, 2006); Региональной школе - конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике, физики и химии (Уфа, 2006), Лобачевские чтения (Казань 2006); Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов" (Москва, 2007); в Башкирском государственном университете - на научных семинарах под руководством проф. Х.Х. Муртазина и Я.Т. Султанаева.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 13 работ. Список публикаций приводится в конце автореферата!

4Муртазин X X , Садовничий В.А Спектральный анализ многочастичного оператора Шредингера Изд-во МГУ, 1988, 229 С

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы. Диссертация изложена на 74 страницах. Список литературы насчитывает 37 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

В первой главе изучается оператор Шредингера в пространстве Ь2 (Н3)

з

Я(а, !/) = £>* +а*)2

Ь=1

где ■рк — г^д/дхь, а(х) = (а!(х),а2(а;),аз(х)) и У(х) - соответственно магнитный и электрический потенциалы, причем аь(х) (к — 1,3) и У{х) - вещественные функции, удовлетворяющие следующим условиям:

(г) |Ф(х)| € Ь(Ш3), \а(х)\ 6 Ь{Ж3), где Ф(х) = а2(х) + ^(х) + гсКу а(х), з

а2(х) = £ аЦх);

(гг) для всех 5 > 0 функции

fs(x)= J |Ф(у)||®-у|-1йу,

д*{х) = J \а{у)\\х - y\~2dy

\х-у\<s

ограничены в К , причем

равномерно в I (гг?.)

lim/j(r) = lim <7л(.г-) = О Л\0 i\0

lim sup

■'N.OieR3 J

\x-y\<5

В §1 исследуется интегральное уравнение теории возмущений. Если выполнено условие (г), то оператор И — П(а, V) записывается в виде суммы Н = Н0 + IV, где Н0 = -Л,

W = 2Y,PkUk + Ф = 2]Г а^ + Ф-

(4)

к=1

к=1

Хороню известно, что если а*(ж) (к = 1,3) и V(x) достаточно гладкие ограниченные функции, то операторы Н0 и H самосопряжены в L2(R3) с общей областью определения И^2(К3), а для резольвент R0{z) — (Я0 — г)-1 и R(z) = (Я — z)_1 при Imz ^ 0 справедливо уравнение

R(z) + R0(z)WR(z) = ВД, (5)

которое принято называть уравнением теории возмущений. Если выполнены условия (г) — (гг), то оператор Я определяется в смысле квадратичных форм.5 Пусть /¿(х) пробегает множество Со°(К3). Положим

Л) = (Д(Л2) Л)(х), «о(х, Л) = (До(Л2) /1)(х), (6)

считая, что в (5) г — Л2, /шА > 0. Учитывая, что при всех к = 1,3 операторы Рк перестановочны с Д0(г) (во всяком случае при 1т\ ф 0) и пользуясь тем, что Я0(А2) есть интегральный оператор с ядром

согласно (5)-(6), для и(\) = и(х, А) получим неоднородное уравнение

и(\) + К(Х)и(\) = и0{\), (7)

где 1£0(Л) = и0(х, А), К{А) есть интегральный оператор с ядром

л ^

А'(®. у, А) = 60(1, г/, А)Ф(у) + 2г-1 V С?0(х, г/, А)а*(у) -

(4тт|г - у|)~1е,А|а:~!'|[Ф(у) + 2(А|* - г/Г1 + г\х - у\~2)х

х(х -у,а{у))}, (8)

где {х - у,а(у)) - скалярное произведение в Е3, Ф(х) — а2(х)+У(х)+1<Иу а(х), з

а2(я) = Е 4(х)-к=1

Основным результатом этого параграфа является

Лемма 1.1. Если выполнены условия (?) — (гг), то оператор А"(А) компактен в С(К3) для всех А, 1т\ > 0, непрерывен по А в равномерной операторной топологии и аналитичен по А в полуплоскости 1т\ > 0 в той же топологии.

Лемма 1.1. позволяет к неоднородному уравнению (7) применить теорию Фредгольма, согласно которой уравнение (7) при 1т\ > 0 имеет единственное решение в С(Е3), если в этом пространстве соответствующее однородное уравнение

¡ + К{ А)/ = 0, (9)

имеет только пулевое решение. Поэтому возникает задача изучения множества £ тех точек А из полуплоскости 1т\ > 0, для которых однородное уравнение (9) имеет нетривиальное решение в С(К3). Ниже будут изучены подмножества множества £, определяемые условиями

£1 = £ п {А|/тА > 0}, £2 = £\£Д{0}.

5Цикон X., Фррчс Р , Кирхи В , Саймон Б Операторы Шредингера с приложениями в квантовой механике и глобальной геометрии М , 1990, с 11.

В §2 исследуются множества £i. Основные результатами §2 являются следующие утверждения:

Лемма 2.3. Пусть выполнены условия (г) — (гг). Тогда если А 6 £i, то

А = гг, г > 0, а решение /(х) уравнения (9) принадлежит И^М3) и допускает оценку

sup(l + |x|)eT'z'|/(x)| < оо.

I6R3

При этом А2 = — т2 есть собственное значение оператора Я конечной кратности.

Лемма 2.4. Пусть выполнены условия (г) — (гг) и дополнительно известно, что

lim sup [ JtM-dy = 0. •5\0 I J \x-y\ \x-y\<6

Тогда множество £,х ограничено.

Теорема 2.1. Пусть выполнены условия (г) — (гг). Тогда множество £1 не имеет конечных предельных точек. Если же дополнительно выполнены условия леммы 2.4, то Е\ состоит из конечного числа точек

В §3 изучаются множества £г- Основным результатом §3 является следующее утверждение:

Теорема 3.1. Пусть выполнены условия (г) — (гг). Тогда множество £2 не имеет конечных предельных точек. При этом, если А 6 £2, то А2 есть собственное значение оператора Н конечной кратности, а соответствующая собственная функция f(x) удовлетворяет оценке

sup(l+ |x|)2|/(x)i < 00.

ieR3

Следуя (1) и (7), обозначим <p(x,A,uj) решение уравнения Липпмана -Швингера

р(х, X,OJ) + J K(x,y,XMy,X,uj)dy = e^'uK (10)

R3

где uj 6 S2, A £ R, а ядро K(x,y, А) задано равенством (8).

В главе II изучаются свойства решения уравнения Липпмана - Швингера (10) и разложения по собственным функциям

В §4 доказывается отсутствие ненулевых вещественных особенностей решения уравнения Липпмана - Швингера (10).

Основной результат §4 сформулирован в следующей теореме: Теорема 4.1. Пусть выполнены условия (г) - (гг) и дополнительно известно, что при некотором д~ > 0

Jа2(х)(1 + |x|)3+,!dx < 00,

R3

и Ас ф- О, А0 € £2. Тогда существует предел

¡р(х, \0,ш) = Нт <р(х,\,ш), А-»А0

равномерный по х 6 К3 и ш € 52.

В §5 изучается вопрос об аналитическом продолжении функции ¡р(х,Х,ш) по параметру А в верхнюю полуплоскость 1т\ > 0. Основной результат §5 состоит в следующем:

Теорема 5.1. Пусть потенциалы удовлетворяют условиям (г) — (т). Тогда решение задачи теории рассеяния <р(х, А, и) представляется в виде ¡р(х, А,ш) = е'х(х^-ф(х,\,и]), где функция тр(х, \,и>) для всех А ^ {0} и £1 и для всех и € 52 принадлежит классу С'1^®3), непрерывна по и по норме пространства С^(П$3), аналитична по всем А,1тА > 0, А £ {0} и £1 и непрерывна вплоть до вещественной прямой по норме пространства С'1'(К3). Кроме того, в точках А € £1 ф(х, А, и) имеет простые полюсы.

В §6 изучены свойства резольвенты, и разложение по собственным функциям для оператора Шредингера в магнитном поле.

Здесь предполагается, что потенциалы удовлетворяют условиям (г) и (пг). Согласно доказанным в §§2 — 3, оператор Н = На + IV имеет конечное число отрицательных собственных чисел. Пусть Н имеет пг отрицательных собственных чисел А^ (к = 1,т), причем А^ < А2 < •. - < А~ < 0, и РЦ~ -ортогональный проектор на собственное подпространство, соответствующее собственному значению А^. Обозначим через положительные собственные числа пронумерованные в порядке роста, - ортогональные проекторы па соответствующие собственные подпространства Отметим, что собственные числа А^ не имеют конечных предельных точек, но их число может быть бесконечным. Тогда справедлива следующая теорема:

Теорема 6.1. Пусть Н(х) € тогда справедливо следующее

разложение

т оо

к=1 к=1

оо

У А2(I ¿(А.и/МхЛи'ЫмММА. (12)

О 52

где к(\,ш) = / к(у)1р(у,\,ш)с1у, ¡р(х,\,ш) - решение уравнения Липпмана-

КЗ

Швингера (10), причем правая часть (12) сходится в ¿2(К3).

В заключение автор считает своим приятным долгом выразить глубокую благодарность своему научному руководителю, д ф - м н , профессору Х.Х. Муртазину, за постановку задач и постоянное внимание к работе.

Публикации автора по теме диссертации

[1] А.Н. Галимов. Особенности резольвенты оператора Шредингера в трехмерном магнитном поле. // Международная Уфимская зимняя школа - конференция по математике и физике для студентов, аспирантов и молодых ученых: Тезисы докладов. - Уфа: РИО БашГУ, 2005, С. 15-16.

[2] А.Н. Галимов. Особенности резольвенты оператора Шредингера в трехмерном магнитном поле. // Международная Уфимская зимняя школа - конференция по математике и физике для студентов, аспирантов и молодых ученых: Том I - МАТЕМАТИКА. Уфа: РИО БашГУ, 2005, С. 133-141.

[3] Х.Х. Муртазин, А.Н. Галимов. Спектр и рассеяние для операторов Шредингера с неограниченными коэффициентами. // ДАН, 2006, т. 407, №3, С. 313-315.

[4] А.Н. Галимов. Об отсутствие ненулевых вещественных особенностей решения задачи теории рассеяния. // Дополнительный сборник. Материалы ХЫУ международной научной конференции "Студент и научно-технический прогресс". Математика. - Новосибирск, 2006 С. 10-11.

[5] А.Н. Галимов. О задаче рассеяния в магнитном поле. //VI региональная школа - конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике, физики и химии. Тезисы докладов Уфа, БашГУ, 2006, С. 16-17.

[6] А.Н. Галимов. Задача рассеяния для оператора Шредингера в магнитном поле. //VI региональная школа - конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике, физики и химии. Сборник трудов. Том II. Математика. Уфа: РИЦ БашГУ, 2006, С. 15-20.

[7] А.Н. Галимов. Задача рассеяния для оператора Шредингера. // Труды математического центра имени Н.И. Лобачевского. Том 34. Лобачевские чтения - 2006 Казань, 2006, С 45-47.

[8] А.Н. Галимов. О конечности точечного спектра возмущенного бигармо-нического оператора. Материалы ХЬУ международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс". Математика. - Новосибирск, 2007. С. 34-35.

[9] А. Н. Галимов. О полноте волновых операторов для оператора Шредингера. Материалы докладов XIV Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов". Том. II. Москва, 2007, С. 86.

[10] А.Н. Галимов. Х.Х. Муртазин. О полноте волновых операторов для оператора Шрёдингера. Вестник Башкирского университета, 2007, т. 12, №2, С. 3-4.

[11] А.Н. Галимов Об особенностях решения задачи рассеяния в магнитном поле. Уфимская международная математическая конференция поев, памяти А Ф.Леонтьева Сборник материалов. Т.1. ИМ с ВЦУНЦ РАН. Уфа. 2007. С. 60-61.

[12] А.Н Галимов. Отсутствие ненулевых вещественных особенностей решения задачи теории рассеяния. Международная конференция, посвященная памяти И Г Петровского (XXII совместное заседание ММО и семинара имени Петровского): тезисы докладов. М.: Изд-во МГУ. 2007. -95 С.

[13] X X. Муртазин, А.Н Галимов. Спектр и рассеяние для оператора Шредингера в магнитном поле. // Мат. заметки, 2008, т83, №3, С 402-416-

Галимов Артур Нилович

СПЕКТР И РАССЕЯНИЕ Д ЛЯ ОПЕРАТОРА ШРЕДИНГЕРА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Лицензия на издательскую деятельность ЛР№ 021319 от 05.01.99 г.

Подписано в печать 21.10.2008 г. Формат 60x84/16. Усл. печ. л. 0,69. Уч.-изд. л. 0,72. Тираж 100 экз. Заказ 718.

Редакционно-издательский центр Башкирского государственного университета 450074, РБ, г. Уфа, ул. Фрунзе, 32.

Отпечатано на множительном участке Башкирского государственного университета 450074, РБ, г. Уфа, ул. Фрунзе, 32.

Введение.

Глава I. Исследование особенностей резольвенты.

§1. Интегральное уравнение теории возмущений.

§2. Исследование множества £1.

§3. Исследование множества £2.

Глава II. Свойства решения уравнения Липпмана-Швингера и разложения по собственным функциям.

§4. Отсутствие ненулевых вещественных особенностей решения уравнения Липпмана-Швингера.

§5. Аналитическое продолжение функции <р(х, А, а;).

§6. Свойства резольвенты и разложение по собственным функциям.

Результаты, полученные в области спектральной теории дифференциальных операторов, находят многочисленные применения при исследовании задач математической физики. В частности, в задачах квантовой механики часто рассматриваются операторы Шредингера, используемые в теории рассеяния. При этом одним из основных является вопрос о свойствах решения задачи теории рассеяния в зависимости от спектрального параметра, а также - задача разложения по спектру этого оператора.

Известно, что при а{х) = 0, т.е. отсутствии магнитного потенциала, уравнением Лигшмана-Швингера называется интегральное уравнение р(х,\,и,) + ±. I = (0.1) л3 где Л - вещественный параметр, и £ Б2. Первые результаты о разложениях по собственным функциям оператора Шредингера с электрическим потенциалом получил А.Я. Повзнер в работе [11], связь этих разложений с теорией рассеяния установлена им же в работе [12]. В дальнейшем этой теме было посвящено большое количество работ Т.Икэбе [23], Л.Д. Фад-деева [16], Д.М. Эйдуса [18], С.Куроды [24] и других авторов з с достаточно полной библиографией можно ознакомиться в [2], [9],[13]-[15],[19]-[22]). Итоги этих исследований подведены в книге [14]. В частности, в этой книге изучается условие Роль-ника: х - у\~2У{х)У(у) £ Ь(Ш6), V е ЦШ3). (0.2) Введем однородное уравнение + *-( А)/ = 0, (0.3) где К(А) - интегральный оператор с ядром егХ\х-у\

К{Х'У'А) = уравнения (0.1). Изучение особенностей по параметру А решения ср(х. А, о;) уравнения (0.1) сводится к исследованию множества £ тех А, при которых однородное уравнение (0.3) имеет нетривиальное решение, а также асимптотическое поведение самих решений /(ж). В теореме XI.41 из работы [14] было доказано, что в классе вещественных потенциалов (0.2) множество £ ограничено, замкнуто и имеет лебегову меру нуль. Далее, в работе [10] (теорема 2.4, с.51) было доказано, что для потенциалов Рольника (0.2) множество £, на самом деле, конечно и если А £ £ \ {0}, то А2 - собственное значение оператора Шре-дингера конечной кратности. Кроме того, в работе [10] (см. теорему 2.5, с.53) для данного класса потенциалов установлено, что при каждом S > 0 для Л Е М имеет место неравенство sup / \V(x)\\(p(x, A, co)\2dx < оо,

Л|><5, А££ J

R3 где uj G S2.

В настоящей диссертации мы изучаем в L2(R3) спектр и задачу рассеяния для оператора Шредингера з fc=i где рк = i~ld/dxkl а(х) = (ai(®), а2(а;), а3(ж)) и V(x) - соответственно магнитный и электрический потенциалы, причем

А; = 1,3) и V{x) - вещественные функции, удовлетворяющие следующим условиям: г) |Ф(х)| G L{R3), \а(х)\ е L(R3), где Ф(х) = a2(x) + V(;ж) + з idiv a(x), а2(х) = ^ к=i гг) для всех ó > 0 функции fs(x) = [ |Ф(»)||х- - у\-Чу, х-у\<5

9s{x)= j \а(у)\\х-y\~2dy x-y\<S ограничены в М3, причем lim/Дж) = Ит^(ж) =0 д\0 о \*J равномерно в М3; т)

Нт вир х - у\~2{Иу)\ + ЩуШу = о. х-у\<5

Заметим здесь, что условие на /¿(ж) означает, что функция Ф(х) принадлежит классу Като (см. [17], с. 16).

Результаты работы могут быть использованы в теории дифференциальных уравнений и квантовой механике.

Диссертация состоит из введения, двух глав (§1 — §3 и §4 — §6 соответственно) и списка литературы. Нумерация теорем и лемм единая и сплошная в каждом параграфе. Диссертация изложена на 74 страницах. Список литературы насчитывает 37 наименований, из которых 5 на иностранных языках.

1. Вере Л., Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производными. - М.: Мир, 1966.

2. Березанский Ю.М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов. Из-во "Наукова думка". Киев, 1965.

3. Губайдуллин М.Б., Муртазин Х.Х. // ТМФ. 2002. Т.126. №3. с.443-454

4. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. 181 С.

5. Данфорд Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы. Спектральные операторы. М.: Мир, 1974.

6. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967.Г "1

7. Иоргенс К., Вайдман И. Спектральные свойства гамиль-тоновых операторов. М.: Мир, 1976.

8. Като Т. Теория возмущения линейных операторов. Из-во Мир. Москва, 1972.

9. Костюченко А.Г., Саргсян И.С. Распределение собственных значений. М.: Наука, 1979.

10. Муртазин Х.Х., Садовничий В.А. Спектральный анализ многочастичного оператора Шредингера. Изд-во МГУ, 1988,229 С.

11. Повзнер А.Я. О разложениях произвольных функций по собственным функциям оператора — А +с.- Матем. сб., 1957, Т.32, М, С. 109-156.

12. Повзнер А.Я. О разложениях по собственным функциям, являющихс51 решениями задачи рассеяния. ДАН СССР, 1955, Т.104, С. 360-363.

13. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т.2. Гармонический анализ. Самосопряженность. М.: Мир, 1978.

14. Рид М, Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 3 Теория рассеяния. М., 1982. 443 с.15| Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т.4. Анализ операторов. М.: Мир, 1982.

15. Фадеев Л.Д. О разложении произвольных функций по собственным функциям оператора Шредингера. Вестник ЛГУ, 1957, т. 7. С. 164-172.

16. Цикон X., Фрезе Р., Кирхи В., Саймон Б. Операторы Шредингера с приложениями в квантовой механике и глобальной геометрии. М., 1990, 406 с.

17. Эйдус Д.М. Принцип предельный амплитуды. УМН, 1969, т.24, С. 91-156.

18. Шноль И.Э. О поведении собственных функций уравнения Шредингера. Матем. сб. 1957. Т.42(84). №. С. 273-276.

19. Agmon S. Spectral properties of Schrodinger operators. -Ppoc. Int. Cong. Math., v.2, p. 679-684, Paris: Gauthier-Villars, 1971.

20. Agmon S. Spectral properties of Schrodinger operators and scattering theory. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa II, 1975, v. 2, p. 151-218.

21. Froese R., et al. L2 exponential lower bounds to solutions of the N-body Schrodinger equation. - Commun. Math. Phys., 265-286 (1982).

22. Ikebe T. Eigenfunction expansions associated with .the Schrodinger operators and their applications to scattering theory.- Arch. Rat. Math. Anal., 1960, v.5, p.1-34.

23. Kuroda S. Scattering theory for differential operators, I, II.- J. Math. Soc. Jaran, 1973, v.25, p. 75-104; 222-234.Публикации автора

24. Галимов A.H. Особенности резольвенты оператора Шредингера в трехмерном магнитном поле. // Международная Уфимская зимняя школа-конференция по математике и физике для студентов, аспирантов и молодых ученых: Тезисыдокладов. Уфа: РИО БашГУ, 2005, С. 15-16.

25. Муртазин Х.Х., Галимов А.Н. Спектр и рассеяние для •операторов Шредингера с неограниченными коэффициентами. // ДАН, 2006, т. 407, №3, С. 313-315.

26. Галимов А.Н. Об отсутствие ненулевых вещественных особенностей решения задачи теории рассеяния. // Дополнительный сборник. Материалы ХЫУ международной научной конференции "Студент и научно-технический прогресс". Математика. Новосибирск, 2006. С. 10-11.

27. Галимов А.Н. О задаче рассеяния в магнитном поле. // VI региональная школа конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике, физики и химии. Тезисы докладов. Уфа, БашГУ, 2006, С. 16-17.

28. Галимов А.Н. Задача рассеяния для оператора Шредингера в магнитном поле. // VI региональная школа конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике, физики и химии. Сборник трудов. Том II. Математика. Уфа: РИЦ БашГУ, 2006, С. 15-20.

29. Галимов А.Н. Задача рассеяния для оператора Шре-дингера. // Труды математического центра имени Н.И. Лобачевского. Том 34. Лобачевские чтения 2006. Казань, 2006, С. 45-47.

30. Галимов А.Н. О конечности точечного спектра возмущенного бигармонического оператора. Материалы ХЬУ международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс". Математика. Новосибирск, 2007. С. 34-35.

31. Галимов А. Н. О полноте волновых операторов для оператора Шредингера. Материалы докладов XIV Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов". Том. II. Москва, 2007, С. 86.

32. Галимов А.Н. Муртазин Х.Х. О полноте волновых операторов для оператора Шредингера. Вестник Башкирского университета. Научный журнал 2007, т. 12, №2, С. 3-4.

33. Галимов А.Н. Об особенностях решения задачи рассеяния в магнитном поле. Уфимская международная математическая конференция поев, памяти А.Ф.Леонтьева. Сборник материалов. Т.1. ИМ с ВЦ УНЦ РАН. Уфа. 2007. С. 60-61.

34. Муртазин Х.Х., Галимов А.Н. Спектр и рассеяние для оператора Шредингера в магнитном поле. // Мат. заметки, 2008, т.83, №3, С. 402-416.