Критерии отсутствия двухчастичных связанных состояний операторов Шредингера тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК —!Р ЕСПУБЛИКИ АЗЕРБАЙДЖАН г! ¡ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И - ' МЕХАНИКИ

На правах рукописи

ШЗАЕВ Максим Касимович

УДК 517.43

КРЛТЕРИЙ ОТСУТСТШЯ ДВУХЧАСТИЧНЫХ СВЯЗАННЫХ ' СОСТОЯНИЙ ОПЕРАТОРОВ ШРКЦИНГЕРА

(специальность 01.01.01 - математический анализ)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

БАКУ - 1992 г.

Работа выполнена на кафедре теории функций и функционального анализа ыеханико-^зтематического факультета Московского государственного университета им. М.В.Ломояосова

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ - доктор фрико-математических наук.

профессор Шнлос P.A.

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ- доктор физико-математических наук»

ВЮТЕБ НАУЧНОЕ УЧР&ДЗЗИЕ - Ташкентский государственный университет, Республика Узбекистан

в Институте математики и механики АЯ Республики Азербайджан (370602, Баку, ГСП, ул. Ф.Агаева, квартал 553, ,д. Э)

С диссертацией моздо ознакомиться в библиотеке ИШ АН Республики Азербайджан.

профессор Костюченко А.Г. ; кандидат физико-математических наук, ст.н.с. Гасанов М.Г.

часов, на заседании

Зашита состоится

Автореферат разослан

/

Ученый секретарь специализированного совета доктор физ.-мат.наук

ОЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Развитие теория поля в последнее время вызывает новый интерес к исследованиям спектральнцх свойств операторов Шредингера, а также подобных им оперзторов. При исследования бесконечночастичных систем в статистической физике выкристаллизовался некоторый общий класс линейных операторов, названных в научной литературе кластерным операторами. Математически кластерные операторы обладают рядом замечательных . свойств, заслуживающих самостоятельного изучения уже вне какого-либо физического контекста. К кластерным операторам относятся широкий класс операторов: резольвенты многочастичных опзраторов Шредингера, псевдодифференциальные оператрры, многомерные теп-лицевы матрицы и т.д. При исследования перечисленных операторов приходится исследовать спектральные свойства операторов, аналогичных операторам Шредингера. В частности, исследовать дискретный спектр одно- и двухчастичных операторов Шредингера. Данная диссертационная работа посвящена дальнейшему развитию и углублению этой тематики.

Цель работы. Цель» работы является исследование дискретного спектра одночастичного оператора Шредингера и. получение оценок относительно потенциала, обеспечивающих пустоту множества его собственных чисел: получение условий, обеспечивающих отсутствие двухчастичных связанных состояний у двухчастичного оператора • Шредингера с потенциалом взаимодействия частиц и с внешними полями и доказательство существования для ядра этого оператора представления, аналогичного представлению ядра самого оператора,

заданного в импульсном пространстве.

Методы исследования. В работе используются некоторые методы теории функций действительного и комплексного переменных, компактных операторов, обобщенных функций, интегральных уравнений и сингулярных интегралов. '

Научная новизна. В работе получены следующие новые результаты: а) определены условия на потенциалы, при выполнении которых дискретный спектр одночастичного оператора Шредингера пуст, а у двухчастичного оператора Шредингера отсутствуют двухчастичные связаннее состояния ;

•б) исследована резольвента двухчастичного оператора Шредингера во внешнем поле, заданного в импульсном представлении. Для ее ядра получено конкретное представление, имеющее такую же структуру, что и само ядро исходного оператора.

Практическая и теоретическая.ценность. Результаты диссертации могут быть использованы в дальнейших теоретических исследованиях спектральных свойств операторов Шредингера, кластерных операторов и некоторых других операторов математической физики: при решении- интегральных уравнений для выяснения вопроса существования их решений. В прикладных вопросах при вычислении дискретного спектра результаты работы могут быть применены для предварительного выяснения их наличия.

Апробация. Основные результаты диссертации использовались при чтении спецкурсов, докладывались на итоговых научных конференциях и на объединенном семинаре математического факультета ДГУ им. В.И.Ленина, на семанарах кафедры ТФФА. механико-математического факультета ШУ им. М.В.Ломоносова, на первой и третьей

Сеьеро-К.-..чзскпх региональных конференциях по функционалыю-днфЬфом^алышм уравнениям и их приложениям, на П Всесоюзном семинаре "Мапштные разовые переходы и критические явления", состоявшихся в городе Махачкале соответственно в 1986, 1990 и 1991 годах.

Публикации. Осноглшв результаты- диссертации опубликованы в работах, список которых приводится в конце реферата.

Структура и объем работ». Диссертация состоит из введешя, двух глав и списка литературы. Диссертация изложена на 79 машинописных страницах. Библиография содержит 56 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ В работе рассматриваются операторы Шредингера

заданные соответственно б гильбертовых пространствах [^(В?) и с обычным скалярными произведениями. Здесь

/7?, и являются массами соответствующих частиц в каждом из случаев, - радиус-векторы частиц,

А^ - обычные операторы дифференцирования Лапласа соответственно по переменным ^ }

Первым слагаемым в (I), (2) - операторам Лапласа - соответствует чисто" непрерывный спектр. Потенциалы ^¿¿(к), 1 являются возмущениями и большой интерес представляет ^следование спектра приведенных операторов Шредингера в зависимости от степени воздействия данных возмущений.

Операторы (I), (2) исследуются в импульсном представлении, в импульсном пространстве. Для удобства ми сохраняем-привычные обозначения. Поэтому в дальнейшем 'Щх), ^¿(к), ^(х,) и '¡¿¡¿(к) являются преобразованиями &урье соответственно функций

<%(х) и ^¿(х) . Как нетрудно заметить, образы Фурье ^(к) переобозначены, .т.е. переставлен«, местами, что сделано для удобства изложения материала.

о

Введем обозначения: %(<*>*)=

в (3), (4) К = где

а (Г - обычная дельта-функция Дирака,

Тогда в импульсном представлении операторы (I), (2) принимают следующий в%ц:

- . т.

где

< оо

I _

(я/

Операторы (5), (6) определены на множествах

Ы (и

I (НУ ...

Для ядра ^¿(я,^) оператора -¡-¡д^ , как нетрудно убедиться, имеет место следующее представление

1-0

Каздая из функций ^-х), Щ(х), ^(х) и удовлетворя-

ет условиям: , , Л У . ,1-«^

где с_ - постоянная,

¿>>з,

В работе приняты такяЗ следующие обозначения:

щЛ ' ¿А

Л

(8)

л

^/¿М при £

Ч

при

! случае двухчастичного оператора предполагаются:

А

V

/з ¿ч - у^^л/^г^Г.

Кк -

к

г--1,1; ^ %к ;

^ при при

где К-1.А.З.

л

Через обозначается корень уравнения

^[ф.Х] О)

при предположении, что прямая часть по абсолютной величине меньше единицы. Если вместо параметров Си Й в (9) стоят

Л А

соответственно параметры С и С ,, , 'то решение обозначим

Л "V ^ *

через

Суакции и определяются с помощью равенств

где ¿С - вещественное число.

Через ^ обозначим единственный корень уравнения

, Л/А ги . ' ч

3 " К ~ 1, Я 6 + оо) . ■<:—-' Г) I

есть комплексная плоскость С^ с разрезом по полога-тельной части вещественной оси. По кмпудьсг.м-координатам У. £ В^ & вводятся следующие переменные.

=

I

'V . при

при

/я,

при ¿'=3.

V

у. = -I

¿

при г - У, при г-

Оператор' С?^ определяется равенством í

где функция удовлетворяет условиям (7). Заметим, что

оператор задается на множестве ЯМ-

Определение. Вещественное число Х< О • при котором оператор £ + необратим, называется особой точкой оператора. Остальные точки называются регулярными.

В .§ I первой главы приводится испульсное представление одно-частичного оператора Ередянгера, постаноькэ задачи об исследования неположительного дискретного его спектра. Этот параграф фактически является введением к первой главе.

Все утверждения первой главы содержатся во втором параграфе. В начале этого параграфа показывается, что особые точки оператора СЦ^) , я, быть мояет, точка Д= О .и только она являются точками неположительного дискретного спектра одночастично-го оператора Шредингера . Подтверждается, что неполохитель-

ный дискретный спектр этого оператора при его существовании располагается на сегменте [-СК, где параметр С^ определяется из (8).

Далее приводится следующая оценка, существенно используемая нами во всех последующих утверждениях и представляющая также и самостоятельный интерес как математическое утверждение. Теорема I. Пусть -4 > О и

11

Где = (гу^/тГСУ^г-Ю],

/>2- - постоянное число, а функция удовлетворяет услови-

ям (7) при . <¿0 и

0о >у/Л- . Тогда при всех и

■3-/-2 ^ О справедливо неравенство

/ч

А А

где постоянные С0 и С^ определяются из соотношений (8).

При исследовании отрицательного спектра оператора ^ мы исходим от интегрального уравнения

[Е+.аФЗ^ = ао)

которое эквивалентно, как показано в работе, уравнению

Согласно методу Фредгольма решения интегральных уравнений, решение уравнения [Е + К(2)] ^ = Б • если оператор является ядерным, представляется в следующем надо

jw*¿ю-*

где являются соответственно детерминантом

и минором Фредгольма. Нули и только нули детерминанта Фредгольма являются точками дискретного спектра оператора ]\(2) • Так как оператор O(i) не является ядерным, то мы регулири-зуем интегральное уравнение (10) или, что то'see самое, оператор

Q(i) , и к полученному уравнению применяем метод Фредгольма решения интегральных уравнений. Для детерминанта регулирязован-ного уравнения получен ряд оценок и утверздений, опираясь на которые и на теорему I, доказывается следующее основное утверждение первой главы.

Теорема 2. Пусть функция удовлетворяет условиям (7) и имеют место неравенства:

г.. ЛЯ%(Л-<

если имеет мосто хотя бы одна из систем неравенств: а / -f

а) 5 i i,

. "» * «

:»> 4 < ). eii

VV< A

если имеет место хотя бы одна из систем неравенств:

л л У

д) -дх> J,

если имеет место система неравенств

Тогда дискретный спектр оператора //, пуст.

В § I второй главы приводится постановка задач;!, ресаемой в втором параграфе данной «с главы, приводятся некоторые обозначения. Поэтому § I слунмт введением к этой глава.

В § 2 второй главы доказывается следующее основное Утверждение о ядре У; импульсного представления двухчастичного оператора Шрецингера во внешнем поле.

Теорема 3. Пусть функции при К = I, 2 и 12 удовлетво-

ряют условиям (7) и имеют место неравенства:

1. .

если имеет место хотя бы одна из систем неравенств:

Л , Л 4

б) 4,* * А

2. < £

если имеэт место хотя бы одна из систем неравенств:

если имеет место система неравенств

Тогда для ядра К^^^У,-?) резольвенты Кд/*) импульсного представления оператора при любом Л0 • кроме, быть может, конечного числа действительных чисел, имеет место представление

4 у. {'Х.,^ ъ)

где

« = Ъ), %), еЯ3.

Функции V? при I = 1,2,3 удовлетворяют неравенствам:

(И)

| <р. 2+А?-, г МО- У, О и

При ]1е $ < справедливо неравенство

I ъ

Функция Чц удовлетворяет неравенству

'Ы^НХг&У'Ц+МУ' (13)

Функция Уо тоадественно равна единице.

В неравенствах <11)-(14) числа О > ^ и ^ малы и

сколь-угодно близки соответственно к ifjl , J40 a -¡'/U I Q/tff}

2* = 1-4 - постоянные, зависящие от исходных параметров и растущие не быстрее конечной степени /¿7 .

Публикации по теме диссертация

1. Ризаев М.К. О резольвенте одного интегрального оператора.

- I Северо-Кавказская региональная конференция по функционально-дифференциальным уравнениям и их приложения. Тезисы докладов. Махачкала, 1986. с. 178-179.

2. Ризаев М.К. Об отрицательном спектре одночастичного оператора Шредингера, заданного в импульсном представлении.

- П Всесоюзный семинар "Магнитные фазовые переходы и критические явления". Тезисы докладов, г. Махачкала, 1989. с. 147-148.

3. Ризаев М.К. Об устойчивости непрерывного спектра двухчастичного оператора Шредингера относительно, возмущений. -Рукопись деп. в ШШТМ. № 5305-Б90, 1990, 15 с.

4. Ризаев М.К. О малых возмущениях трехчастичного оператора Шредингера. Ш Северо-Кавказская региональная конференция по функционально-дифференциальным уравнениям и их приложениям. Тезисы докладов, г. Махачкала, 1991. с. 137.

5. Ризаев М.К. Спектр и теория рассеяния одного гамильтониана квантовой механики. - Функционально-дифференциальные уравнения и лх приложения. Межвузовский научно-тематический ^орник. г. Махачкала, 1991. с. 133-140.

Размножено в типографии МСХ и П ДССР зак.ЮТЗ тир.130