Спектральные свойства некоторых многочастичных операторов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

5 2

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ЛАКАЕВ Саидахмат Норжигитович

УДК 517.984

СПЕКТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА НЕКОТОРЫХ МНОГОЧАСТИЧНЫХ ОПЕРАТОРОВ

Специальность: 01.01.03 — Математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 1992

Работа выполнена в Московском и Ташкентском государственных университетах.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Г. М. Жислин; член-корреспондент АН СССР, академик АН УССР Л. А. Пастур; доктор физико-математических наук Ю. А. Куперин.

Ведущая организация — Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова.

Защита диссертации состоится 1992 г. в

15.30 на заседании Специализированного совета Д 063.57.15 по защите диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук при Санкт-Петербургском ордена Ленина и ордена Трудового Красного Знамени государственной университете по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского государственного университета.

Автореферат разослан « О-^Уг^ 1992 г.

Ученый секретарь Специализированного совета, профессор

А. Н. Васильев

""■) ОВЦАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА" РАБОТЫ.

I

-" -Актуальность ■ теш. В течении последних шестидесяти лет наиболее популярным и традиционным объектом для математической физики служит нерелятивистская квантовая механика, точнее -оператор Шредингера. Более того сам облик математической физики в значительной мере сформировался при изучении этого оператора. По сути дела вся атомная и молекулярная, я значительная часть ядерной физики, физики плазмы и твердого тела состоит в изучении оператора Шредшгера (ОШ). Этой области посвящено огромное число работ, наиболее полный обзор которых содержится в "энциклопедии" современной математической физики - четырехтомнике М.Рида и Б.Саймона и в монографии С.П.Меркурьева я Л.Д.Фад-деева. ■

В последние года, однако, заметно определенное."насыщение" традиционным ОШ, но, поскольку по понятным причинам покидать столь удобную и разработанную область не хочется, взор людей, занимающихся ОШ, постоянно перемещается на аналогичные, но более экзотические объекты - операторы Шредингера на решетке, г.е. дискретные операторы Шредингера (ДСШ). Задачи на решетке амеют существенные математические отличия, как упрощающие, так к усложняющие их исследования.

ДОШ появляется наиболее естественным образом в задачах физики твердого тела [1]. Кроме того, многие задачи квантовой теории поля [2], статистической физики [3-4] , сризики твердого тела [1],[5], гидромеханики [б] и теории марковских случайных прокосов [7] приводит к изучению спектральных свойств обобщенной «атркчнозначной модели Фридрихса а дискретного оператора Шредин-'ера. . '

Этим определяется актуальность диссертационной работы.

Цель работы. Целью диссертационной работы являются: I) Иау-[енкя спектральных свойств и резонансов обобщенной матрично-1Н8ЧН0Й модели Фридрихса; 2) Исследование связанных состояний. [ резонансов дискретного оператора Шредингера, Гамильтониана дномагнонной спин-поляронной системы и двухчастичного кластер-:ого оператора; 3) доказательство бесконечности (эффект Ефимо-1а) трехчастичных связанных состояний системы трек произвольных одинаковых) квантовых частиц взаимодействующих с помощью пар-

них контактных потенциалов притяжения.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Они состоят в следующем.

1. Доказано, что для любого натурального П, существует обобщенная модель Фрвдрихса, имеющая по крайней мере резонан-сов.

2. Для обобщенной магричнозначной модели Фрдцрихса установлено, что:

а) ее непрерывный спектр состоят,из конечного числа отрезков?

б) число собственных значений, лежащих как вне непрерывного спектра, так и на непрерывном спектре, конечно;

в) резонансы могут появлятся в окрестностях особых точек непрерывного, спектра или собственных значений, лежащих на непрерцв-ном спектре;

г) при изменении "ядра" обобщенной модели Фрядрихса ее собственные значения исчезает, "поглощаясь" непрерывным спектром или появляются, "испускаясь" из непрерывного спектра, при этом пог-

> лощаясь непрерывным спектром собственные значения'превращаются в резонансы;

д) при малых возмущениях в некоторой малой окрестности края непрерывного спектра или же собственного значения, лежащего на непрерывном спектре, общее число собственных значений и резонан-сов не меняется.

3. Для случая N -частичного дискретного оператора Шрединге-ра о $ -частичным потенциалом взаимодействие:

а) доказано существование связанных состояний и реэонансов;

б) исследованы зависимость связанных состояний и резонансов от квазиимпульса системы и константы связи; показано, что при изменения константы связи иди квалиимпульса связанные состояние исчезают, "поглощаясь" непрерывным спектром, к превращаются в резонансы;

в) найдены условие на размерность пространства при которых резонанс является физическим и ширина физического резонанса;

г) показано, что край непрерывного спектра может быть овяэавшш состоянием ш "виртуальным уровнем".

- 4. Дохаэаны существование и единственность связанного состояния иле резонанса одномерного двухчастичного дискретного оператора Шредингера 'при достаточно малых значениях константы свя-

зи и исследованы их зависимость от квазиимпульса системы:

5. Доказано существование связанных состояний и розонансов гамильтониана одномагнонной спин-поляронной системы; исследована зависимость связанных состояний и резонансов этой системы от квазиимпульса, размерности пространства и других параметров.

6. Доказано существование резонанса двухчастичного кластерного оператора и исследована зависимость этого резонанса от квазиимпульса и параметра кластерности. Вычислен порядок ширины физического резонанса.

7. Установлено существование бесконечного числа трехчастич-ных связанных состояний (эффект Ефимова) системы трех произвольных ( одинаковых) трехмерных решетчатых квантовых частиц взаимодействующих с помощью контактных потенциалов притяжения. Исследована зависимость числа трехчастичных связанных состояний от квазиимпульса системы.

Методы исследования. Результаты первой и второй главы диссертации получены с помощью аналитического продолжения определителя Фредгольма некоторого вспомогательного интегрального оператора вместе с изучением нулей этого продолжения. При этом подробно исследуется ветвления и особенности в особых точках непрерывного спектра.

Насколько автору известно,такой метод исследования этих задач был применен им впервые.

Результаты третьей главы диссертации, в частности существование эффекта Щимова, доказаны с помощью полученного, р диссертации симметризованного интегрального уравнения Фаддевского типа и аналитического продолжения определителя двухчастичного дискретного оператора Шредингера. Частично использованы схема рассуждений, предложенная Д.Р.Яфаевым при доказательстве существования эффекта Ефимова.

Практическая и теоретическая ценность. В диссертации изучаются вопросы, возникающие в задачах квантовой механики, теории поля и статистической физики,-физики твердого тела и гидродинамики. Полученные результаты могут быть использованы е теории марковских случайных процессов, комплексном анализе и различных областях физики.

Апробация работа. Материалы диссертационной работы доклады- • вались на Наедународных симпозиумах по теории информации (г.Тбилиси, 1979г., г.Ташкент, 1984г.), на Координационном совещании по теории многокомпонентных систем и приложения ее в физике и кибернетике (г.Тюмень, 1982г.), на Международной конференции по операторам Шредингера (г.Дубна, 1985г., 1990г.), на ХХП Всесоюзной школе по теории операторов в функциональных пространствах (г.Новгород, 1989г.), на Всесоюзной школе молодых ученых "Функциональные метода в прикладной математике и математической физике" (г.Ташкент, 1938г.), на Школе-Семинаре "Актуальные вопросы комплексного анализа" (г.Ташкент, 1989г.), на Мевдународной конференции "Дифференциальные уравнения я смежные вопросы" (г.Москва, 1991г.), на ХХ1У Всесоюзной конференции по теории операторов в функциональных пространствах (г.Нижний-Новгород, 1991г.), на семинарах проф. А.Г.Коствченко и проф. Б.М.Левитана (МГУ), проф. Р.А.Минлоса (МГУ), академика С.П.Меркурьева и проф.Б.С.Павлова (СПбУ), чл.-корр.АН Республики Узбекистан, проф. Ш.А.Алимова (ТашГУ), чл.-корр. АН Республики Узбекистан, проф. Ш.А.Ашова (Институт математики АН Республики Узбекистан),

Структура и обьем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Каждая глава разбита на параграфа, а отдельные параграфы разбиты на пункты.' Объем работы 228 страницы, включая II страниц цитированной литературы. В списке литературы 109 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Зо введении содержится постановка-задачи, краткая история вопроса и точная формулировка результатов диссертации.

В первой главе исследуются спектральные свойства обобщенной матрячнозначной модели Фридрихса (непрерывный спектр, появления собственных значений и резонансов, их зависимость от "ядра" оператора, конечность собственных значений и их слияние с резонансами на непрерывном спентрэ), к которой приводят физические системы с несохраняадимся ограниченным числом кваэичас-тиц на решетке [5].

" Одаэтяы, что спектральные свойства модели Фридрихса изучались в работах К.Фрадрихса, 0.Д.Ладыженской, Л.Д.Фаддеева, Б,С. Павлова, В.С.Буслаейа, С.Н.Набоко, П.Рейто, С.В.Петраса, С.И.

1ковлева и других.

Введем обозначения: ^ - V -мерная решетка; Tv - V -чэрний тор; с" - ¡f -мерное комплексное гильбертово пространно; (2v,)m= z^x-'-x 2V - декартова степень z* »(Tv)m=. T'J« ■ ■■ * Tv - декартова степень » . - гиль-

бертово пространство квадратично-суммируемых функций, определен-:ых на (Zv)m оо значениями в С1 ; Дд, ((T^J"1) ~ гильбе-iroBo пространство квадратично-интегрируемых функций, определен-:ых на (Tv со значениями в ; СЫФ /^¿(l"1, С*)

- прямая сумма гильбертовых пространств с" и С^Т", С") . где ¿¿¿(Т^, <С) ~ гильбертово простран-

тво квадратично-интегрируемых функций, определенных на гр*' со начениями в <CV .

В дальнейшем интегрирование в интегралах происходит по Tv • ели не указана область интегрирования.

Пусть Н: ИСд>У) ~ ограниченный самосопряженный оператор обобщенная матричнозначная иодета Фридрихса), действувдий в-ильбертовом пространстве ЗД до формуле

fh

41 fcx)J~[y8(x)i0 + u(x)flic) tjjK(x,y)S(y)dg

;есь для любых 6 Tv матрицы А ~ ¡Ац} . 8 = { ß{j(x)J , к(у^) симметричные вещественные матрица порядка W • эедположим, что для любого от е Tv матрицы А = {An }% и i(x) = {u.ij(x)J диагональны, т.е. Aij = ^Aj • ULjCx) =

6Ij Uj (x) и матричные элементы Uj(x) , ߣJCx) и ,

,J = 1,2,..., M являются вещественно-аналитическими функция-i на т^ -и T^x Т-11 » соответственно.

Пусть flijs mm Rji*) , Mi = max Uj C=Oj j= i,z,-j №. диссертации установлено, что

Г(Нв) = (|5 {Aj})U(Uf [mhMj), GeiHi(He)=U[n>j, MJ^JH),

ß Ha~ H(o,o)(& = o> K = o) . Кроме того показано, что при ex д ё Gcont^^ существует детерминант Фредгольма

Л (г) г Д Сг; 8, К) = ¿е I [I *(Н- Н.) Иг (Н,)]

оператора ( Н- И.) ГДе I - единичный оператор. При

атом число £е <£* ЯЕЛЯе™ собственным значением кра-

тности (П тогда и только тогда, когда оно есть нуль порядка т функции АС2),

Точка а. £ Г(п;, Г-у называется критическим значением функции и^ , если гессиан функции Ц^ отличен от нуля в её критических точках из (а). Число критических значений функции^ , ¿ = 1,2,...,^ конечно. Точку а.£1ос.оп*(Н) назовем особой точкой непрерывного спектра оператора Ц • если Мя некоторого ¡= 1,иг.,ы

она является критическим значением функции ц • Множество всех особых точек непрерывного спектра оператора Н обозначим чораз" Г . Точки множества б^л^НДг назовем регулярными точками непрерывного спектра оператора Н •

Пусть р = {сц < их< • ■ ■ < 0-1 } - множество особых точек непрерывного спектра оператора н и Щ(6)С С' (б'г &Сел*(Н))

- комплексная £ -окрестность множества. Обозначим через

£

\Л/& (6") = У/г (€) \ ( и - "выколотую" & -окрест-

ность множества <о , а через УУ/ С й* ((Ц^

её верхнюю (нижнюю) "полуокрестность", к которой добавлен интервал (ак; т.е.

W£± (ак> = (с1 иЯ1)П

О {IУс (ак,ак+,)\ Цлк-е,лк]и[акФ1г а.^+ £])}>

где С^ (С1) - верхняя (нижняя) полуплоскость.

Обозначим через Д"(2) полное аналитическое продолжение функции А (Я) по любой кривой, лежащей в области (б) . Функцию Д* (2)(А~к(1))> к =1.£ - определим как элемент многозначной функции I являющийся непосредственным одно-

значным аналитическим продолжением элемента { Д ("г)/с! } }) через кривую, пересекающую интервал

■Сак, ак*0 • » (а*,а**,) (№7(а*, а*,). Для

любого Д6 г обозначим через (г) (ДЯ (2)) многозначную аналитическую функцию, которая получится продолжением элемента

но всем кривим, лежащим в некоторой вшсолотой окрестности точки £ = а .

■ Определение. Нули A*(Z) • не совпадающие с нулями, исходной функции Д (Z) назовем резонансами оператора Ц . При этом резонанси, являющиеся также нулями функция ) назовем верхними (нижними) резонансами, Резонанси, являющиеся нулями функции Д* (£) (Д"к (2.)) . К = •1,2.....I назовем верхними (нижними)

физическими резонансамя.

Пусть НО>Г)=

Теорема I.I. Пусть для любого ¿я 1,2,...,$ все критические значения функции UjCx) являются невырожденными. Тогда: а)при всех j},y е R1 оператор Н(РзГ) mes'r л™1» конечное число собственник значений и каждое собственное значение имеет коночную кратность;

б) при V->3 и достаточно малых fi^tfeR1 спектр (5 Г Н(М)) оператора H(fi>f) совпадает со спектром

нв) оператора Н0 •

Хорошо известно, что собственные значения оператора Н .лежащие вне его непрерывного спектра, устойчивы относительно малых его возмущений. В следующей теореме показано, что собственные значения оператора ■ лежащие на ого непрерывном спект-

ре при достаточно малых возмущениях превращаются в физические резонанси.

Теорема 1.2, Пусть регулярная точка непрерывного спектра оператора Н , & £ беогц(Н) является т -кратным собственным значением оператора Н(?»>Г°) при нек°Т0Рых £о>У» б Я1. Тогда для любого достаточно малого £ > о существует <Г> о такое, что при всех J, е + и fe T„tS) оператор H(p>f) имеет ровно in -нижних и ровно т -верхних физических резонансов, лежащих в £ -окресйюсм VV£ ■ ¡zee1: l2-al<e} точки Z = a. .

Теорема 1.3 говорит о расположении физических резонансов оператора HfP>JT) при достаточно малых |js| и 1з*| .

Теорема 1.3. а) Для любого достаточно малого В > о существует ¿Г? о такое, что при всех jS>f6 (-S)£) физические резо-нансы оператора Н (p-,Y) > лежащие в комплексной £ -окрестности We(&4>ni(H)) непрерывного спектра (jcani(H) оператора Н, такие лежат в £ -окрестностях особых точек непрерывного спектра

или собственных значений оператора Но » вложенных в его непрерывный спектр.

б) Пусть V* 3 и для любого je {hz,..., N} все критически значения функции ц, являются невырожденными. Тогда для шобоп £>о существует />о такое, что при всех >\f\<S'

физические резонансы оператора H (£>Г) лежат только в £ -окрестностях собственных значений вложенных в непрерывней спектр оператора Н0 •

Следующая теорема утверждает, что общее число собственных значений и резонансов, лежащих в некоторой достаточно малой окрестности непрерывного спектра оператора H(p>J") не меняется при малых возмущениях.

Теорема 1.4. б) Цусть V - нечетное число. Тогда для любого достаточно малого f >о существует 8" > о такое, что при всех fe r1, Ifi-fiel < (Г, |у-г0|<<Г общее число собственных значений и резонансов, лежащих в Wi(GC0„i(H)) , не зависят от / * Г .

В случае У= 1 показано (утверждение а), Теорема 1,4 главы I), что при достаточно малых fi и у общее число собственных значений и резонансов оператора » лежащих в некоторой

окрестности точки а . равно общему числу невырожденных критических точек 0С51,) функции Uj , в которых =

Теорема 1.6 диссертации утверждает, что для любого К существует оператор Н (>>Г) • имеющий по крайней мере резонансов.

Во второй и третьей главах диссертации решаются ряд задач, касающихся дискретного оператора Шредингера, аналогичных в некотором смысле классическим проблемам, изучаемым для случая непрерывного оператора Шредингера (появления связанных состояний и зависимость их от квазиимпульса, конечность или бесконечность связанных состояний и их слияния с резонансами на непрерывном спектре, виртуальные уровни для системы двух частиц и эффект Ефимова для системы трех частиц)«

Изучению спектральных свойств непрерывного оператора Шредингера посвящены многочисленные работы Л.Д.Фаддеева, С.П.Мер-. курьава, М.Ш.Бирмана, Б.С.Павлова, Г.М.Жислина, Л.А.Пастура, Б.Саймока, Р.А.Минлоса, Е.Балслева, Д.Р.Яфаева, Ю.А.Куперина.С. А.Вугальтера и других известных ученых.

В первом параграфе второй главы диссертация изучаются связанные состояния и резонансы М -частичного дискретного опера-гора Шредингора (ДОЮ с У -частичным потенциалом Бзаимодейст-зии.

А

В координатном представлении N -частичный ДОШ Нд действует в гильбертовом пространстве ((3?)11) по формуле

Ид/(иц....,*>„) = 2Ц. ¿«Св^Ят^.т.,..., + - +

^ Л Л

+ ЛИ, ,+ 5„) + % (т,,... ,т„)*

s!l£Z «

.....

да функции и У,у - соответственно определены на ?? ¡¡(х*)" I удовлетворяют следующим условиям:

1ля некоторых й>0 а С > о , Кроме того функция у11 является 'рансляционно-шваряантной, т.о. для лпбого вектора ¡С вы-юлкяется равенство

В импульсном представлений /у -частичЕшй дискретный опера-ор Шредангзра На действует в гильбертовом пространстве формуле

= (¿Ь £/к,)>Кк„...,к„) +

десь _ ,

ж

V,-, С*,.-, !<„.,)»(**)"* .....

к ехг —

где С^к,)^ я' - к/^ТГ

V -мерная " £Г -функция" Дирака. Выдели полный квазиимпульс К =¿11 ^ системы, мы как обычно разложим оператор в прямой интеграл

Л

где оператор Нх(Ю унитарно эквивалентен самосопряженному оператору, действующему в Ту)""1) по формуле

Н*(кШк,.....+ ^^(КчУ + ^Ск-ЁЬ,))*

о/Сн

Определение. Сообственные функции оператора Н^К) называются связанными состояниями.

В первом параграфе главы 2 исследуются связанные состояния, виртуальные уровни и резонансы, их связь я зависимость от константы связи ^ е К1 и квазиимпульса Ке Т1* оператора На (К) • Всвду в дальнейшем предположим, что функция Е^(к^) имеет единственный навыровдешша минимум в точке к"'« Т^ и

Ко - '¿1 И* е . Введем обозначения;

1 ' ' х) Д'СШК-.Я.К), Г^я-к)»-55--

.К), /«1,*. УГ1(Кс)*{к*и/(К,)--Р.()<) = о}.

Теорема 2.1. Существует ^ > 0 такое, что дяя любых

и К е оператор Н^СК) ' имеет лишь конеч-

ное число собственных значений, лежащих левее точки тк .

Пусть N=2, «В теоремах 2,2 и 2.3 диссертации изучены зависимость связанных состояний оператора (-^(К) 01 константы звязи % е Я1 и квазикмпульса К 6 Т^ для размерностей и 2. Теорема 2.2. Пусть 1 и Ц(о)< 0 . Тогда существует о такое, что для любого К€ (/¿(К,) :

а) при достаточно малых %>0 оператор Цд ("К)' имеет единственное собственное значение Ек(^) > причем Е

б) при достаточно малых Д < о оператор Нд£Ю имеет единственный резонанс Як (> ) . причем Шц .

При этом существует регулярная в некоторой окрестности точки % = 0 функция такая, что

(Я))* при ^ > о ,

оОк (Л) = (1Г)К- 2к при Ж о .

Следующие теоремы посвящены теории возмущений собственных значений и реэонансов двухчастичного трехмерного ДОШ.

Теорема 2.4. Пусть \/=3 и А®1 некоторых р,1 и КеТ9 выполняются условия: „

р,(яо,к0) = о, < о „

Тогда существует £>о такое, что

а) для любого я е (Лв>Я„ + £) существует =

и при всех к £ оператор Нд(Ю имеет единственное соб-

ственное значение (Л) • причем £^ (л) < ,

б) для любого ) существует я при всех Кё и^(К0) оператор Н%(К) имеет единственный ¿бэонанс

. причем .

Теорема 2.5. Пусть V = 3 для некоторого К» 6 Т3 выполняются условия:

Ра(Ко)=0 . ^7Ро(Кол ^(МХ) .

Тогда существует р>о такое, что

а) при всех к £ С+= { К еТ3, I К-К.1 (РР,(Ю,К-К.) >о} оператор (-(^(К) имеет единственное собственное значение £к , причем Ек < тк ;

б) при всех КбС"= (КеТ3,1К-К.|^>(РР.(Ю,К-К.)<о}

оператор Н^К) имеет единственный резонанс , прячем

в) при всех К ё УК1 «0 оператор Н<(К) имеет виртуальный уровень на левом крае непрерывного спектра,

В теоремах 2,6 и 2,7 изучено существование собственных значений, физических резонансов и их зависимость от квазиимпульса и константы связи.

Теорема 2,6, Пусть для некоторого К„6ТУ ( V (К-О >'5 ) выполняются условия:

Тогда для любого £ > о существует в > о такое, что

а) при всех к £ / К е Т*1, | К-К»| < р, (7Р„(Ю,К-)0 оператор Н,(к) имеет единственное собственное значение £к . Это собственное значение £ « лелит в интервале (УПц-Ь, и оно дифференцируемо на С?1" ;

б) при всех Кб [ке 1К-К„и р , (7Г0(Ю, К-К„)«го } , оператор Н^ОО имеет единственный верхний (нижний) физический резонанс 2 к • Этот резонанс лежит в (Шк) и дифференцируем на <2" . Для ширины Згп резонанса справедливо неравенство

Теорема 2.7, Пусть для некоторых и К„б Tv выпол-

няются условия: .

Тогда для любого £>0 существует ^ такое, что

а) для любого де (X-j&i Л) существует jS^ Д Л) >°

и при всех к £ Vj^Ko) оператор Нд(Ю имеет единственное собственное значение Ek(Ji) и ЕцСЛ) 6 ^к) J

б) для любого Л 6 ( Ас > За*существует £<¡>0 и при всех Кб С/, (К0) оператор На (Г К) имеет "единственный резонанс Я« (Л) € We (Шк) = ¡2 е <С; \Z- m«! <g] .

Во втором параграфе второй главы изучаются связанные состояния и реэонансы оператора анергии одиомагношюй спии-полярояной системы,

В этом параграфе доказано, что существует'однсчастичное состояние сиий-полярора при произвольных значениях параметров зада-

Fo(Ko) = 0 , <7 F(,(K0) Ф о

и F1(K»)>0'

чи л размерностей V= 1.2 • Показано, что в одномерном случае существует единственный физический резонанс при произволышх значениях параметров системы, а при малых Афо и любой размерности v найден порядок ширины физического розонагюа. В случае у изучена связь между связанными состояниями и физическими резонансами.

Рассмотрим одномагнонную сшш-поляранную систему с гамильтонианом

Н- 8JEI—, а* - (Тт>

(5 5т)г,г1 araramr W.I)

m, у. Г1

Здесь (OJ^j.)- оператор рождения (уничтожения) электрона в узле m со спином f и j. : Sm - оператор атомного спина величины s = Vz находящегося в узле m ; f*y,

- тройка матрицы Паули; £> - блоховский интеграл переноса; \

- интеграл обменного взаимодействия электрона проводимости а локализованного атомного спина; обменный интеграл мезду ближайшими соседними атомами; % - суммирование по единичным ортам

t , 1¿J ¿V .

Изучение связанных состояний и резонансов гамильтониана (O.I) сводится к исследованию собственных значений и резонансов семейства самосопряженных операторов Н (Я) = Н(МА, В, 7)

- действующих в гильбертовом пространстве w г <г1® (Tv) по формуле

íía \ -f(B £(Ю ^ А/Ч ^ к ~ АА ^ b(p)dp ) н(к} \ $J ~ {- аа h + £*($)ъсг)* Ал Hi(p)dF> J

Здесь K=(K1,..,KV) - полный квазяшшульс,

Будем предполагать, что £ к ) ф ccnsi , для этого достаточно требовать, чтобы ¿ /g | £ у . Обозначим через

■ Н,<к) (£) = )>

где ьк= В£(Ю+% .

Легко проверить, что оператор Н1СК ) = Н ("К )- Н0(К) 0 является оператором ранга два. Поэтому абсолютно непрерывный спектр оператора Н(К) совпадает с абсолютно непрерывным спектром оператора Но (К) , т.е. состоит из отрезка [ гпк, Мк"5 • где тк= п^п £«(£), мк= тах

Основные результаты этого параграфа о собственных значениях и рвзонаысах оператора НС К) собраны в следующей теореме. Теорема 2.8. а) Пусть. V = 1> 2. . Тогда для любых к £ Т^ Афо оператор Н(К) имеет единственное собственное значение Е = Е(К,А> В ) , лежащее левее уп к при / < о , правев М к при ,4 > о .

б) Пусть V» 3 • Тогда существует Ак= А (!<.■,&, 2)<о

и >о такие, что оператор И (К) имеет единственное собственное значение Е к - Е ( К, А, В> V) < ет« для любого Л <4к и единственный резонанс 2 к для любого ' Л 6 (Ак> Aк+f). При V > 5 этот резонанс является физическим.

в) Цусть у= 4 . Тогда для любых К 6 Т^ и А 4 о оператор Н(К) имеет единственный физический резонанс Д = 2 (К,А, В,0)

и он непрерывно зависит от параметров к » А , 6 , V .

г) Пусть для некоторого к0 б Т,>' « V = 1,2, • • •

В £ (Ко) £ (мКс, Мк„) ♦ Тогда существует (Г -окрестность точки К=К0и <^>о такие, что при всех Кб и?(Кв) и Л, 0<1Аи < оператор Н (К) имеет единственный физический резо-

нанс, причем ширина резонанса (>(**)■ при /4-»о .

Третий параграф второй главы посвящен доказательству существования резонансов двухчастичного кластерного оператора.

Пусть - совокупность двухточечных подмножеств в V

-мерной решетке ТУ ; ^ ( С^) - гильбертово пространство квадратично-суммируемых функций определенных на С^у , т.е. ыаоааство функций, удовлетворяющих условию

¡¿СТ)\Х<~.

тесг<

. Рассмотрим двухчастичный кластерный оператор И .действующий в ( Cjj v ) по формуле

Здесь т={ i,,^} , T'={i'ui;} , i,,it e

u) (Si, 5г) - вещественнозначная симметричная функция переменных Si , , удовлетворяющая условию её Cst > % ) = сО¡¡1Sz) ; GL(r,T') - веществеинозначная симметричная функция от пары подмножеств т ,7' & С^? • удовлетворяющая условию Q(r+i,r'+i)= а(т,т') для лхкЗого t е Zv (T+i - сдвиг множества Т "а вектор t ). Изучение спектральных свойств оператора Н сводится к исследованию ¿аязанннх состояний и резонансов семейства самосопряженных операторов Н(К) , К 6 Т1' , действующих в (Т^) по формуле

Здесь >

сОк и>К)0 (*) ■+ JicOKl1

Q Сх>Ц) = -сОкСх) - сО к (у) f (хж)~91 и) к U)ctt -t

t §к(х>р>

SK(x'V) = fi SK,o(*>?) + к, 1

Предполагается, что и>к,о(х)* (x>$>fi ) . sx,o и 1 Cx,^;/) - вещественно-аналитические функции по совокупности переменных Ц , х , у & Tv и j3> о - малый параметр. Для любого Кб Tv функция и)к (ж) положительна, а S к (х, у ) удовлетворяют условию

SS/((x,y)Jx = ; SK(X,y)tif =» £7

Теорема 2.9. а) Пусть v= 1 и точки -x^xf,..., xmeTv прообразы В С> Мк,) при отображении сОк, • Предположим, что нулями функции сО'Кс (х) являются только две точки ат*, oct , прячем и)"Кс > о и

Тсгда существуют и ¿Г> <? такие, что при всех /бС^Д,)

и КС оператор н(К)имеет единственный резонанс

2(К,£) , лежащий в У/^СВ) . "

б) Пусть V-? 3 и все критические значения функции сОк(х) являются невыровденны.ли. Тогда для любого достаточно малого ■ £ > о существует ¿Г> о такое, что при всех £ б (ооператор Н(К) не имеет физических резонансов, лежащих в £ - окрестности отрезка [тк>Мк]-

В третьей главе диссертации изучается вопрос о числе трех-чаотичных связанных состояний системы трех одинаковых к трех произвольных трехмерных квантовых решетчатых частиц взаимодействующих с помощью парных контактных потенциалов,

В 1970 г. В.Н.Ефимов теоретически предсказал следующий не-ожвданный эффект: если в системе трех произвольных частиц, взаимодействующих с помощью парных короткодействующих потенциалов, все три двухчастичные подсистемы не имеют связанных состояний с отрицательной энергией, ко по крайней мэре две из них имеют "виртуальный уровень" в нуле, то у трехчасгичной системы существуют бесконечное число трехчастичных связанных состояний с отрицательными энергиями, накапливающихся к нулю.

Существование или отсутствие эффекта Ефимова для системы трех непрерывных частиц установлены в работах Д.Р.Яфаева, Ю.Н.Овчинникова и И.М.Сягала, Х.Тамури, С.А.Вугальтера и Г.М.Еислина.

В моделях физики твердого тела [I], а таете квантовой решетчатой теории поля и статистической физики [8], возникают операторы, являющиеся решетчатым аналогом обычного трехчастичкого ОШ, в непрерывном пространстве. Для таких операторов также естественно ожидать появление эффекта Ефимова, поскольку, как показывает тщательный анализ этого эффекта, за него ответственна "длинноволновая часть" спектра ОШ одинаковая в обоих случаях - решетчатом и непрерывном.

В первом параграфе установим конечность или бесконечность (эффект Щимова) трехчастичных связанных состояний системы трех одинаковых частиц (бозонов) взаимодействующих с помощью парных контактных потенциалов притяжения.

Во втором параграфе получен аналогичный результат для систе-

мы .грех произвольных частиц взаимодействующих с помощью парных • контактных потенциалов притяжения.

В координатном представлении гамильтониан системы грех одинаковых частиц (бозонов) на трехмерной решетке действует в пространстве ((по формуле

% €

+ + у<п,,п4) п3+5)] -

Здесь £ СБ), з= $а>> 3вещественнозначная функция, определенная на , зависящая только от )з{,,| , |5и>| , |5а)|и удовлетворяющая неравенству

1£(5)1 ¡= О елр{-Я(5|| > |= 1 в'1'! + 15Ш| + | Б"1)

для некоторых чисел О. >0 , с >0 I /ОО - энергия взаимодействия; ¿'та - символ Кронакера.

Пусть Ь\((Г>)*) с Ьц((Т*)г) - подпространство'Гильбер-

тового пространства ¿.¿((Т3)3), состоящее из функций ^¿кцкх, к,) симметричных относительно перестановки любых двух переменных-,

В импульсном представлении гамильтониан системы трех одинаковых частиц действует соответственно в гильбертовом пространстве Л] ((Тг)ъ) по формуле

ИучК^.к*, 1с.) е(М)НМ»»к,)-

- 'У ) + кг к>- к'г) Ик\, ^, к',) *

* ¿к!г , «<■ * } ^ X >-^><Г - ,'а>3-

Здесь <Г(к) - трехмерная дельта функция Дирака,

век)* 22 ёа )**р{Н1с,*)}

Из свойств £ оледует, что функция £ является аналитической в некоторой комплексной окрестности тора т3 и удовлетворяет условию £(к)- €(-к) , для любого кбТ3 •

Пусть К - к, ч |<а^Т3 полный квазиндюульс системы трех частиц, а ?

Гк= { (кцкцк») € (т3)3; К = к, 1 кг + к, }. "

шестимерное многообразие. Обозначим через (Р/с) гильбертово пространство всех квадратично-интегрируемых функций, определенных на и удовлетворяющих условиям:

Пк,,^, к-к,- к,) = ' •

= £ (к,, К-к,-к*, к») = ИК-к-гк*, к^кл)

Пространство /Д ((Т*)5) представляется в ваде прямого интеграла

Поэтому оператор Н^ч разлагается в прямой интеграл

Н^ - 5® Н,ц(к)о1к>

где ограниченный самосопряженный оператор Цм(К) действует

в ¿Ъ'СРк') :

ЯКРП-*'/Р>*') + * 4 2 > Г)] с1р ' '

где •

Предположил, что функция £ (р) имеет единственный невырожденный минимум в точке ро £ Тг. Обозначим

ß0 = min. j4£p) , Ujs(K0)= {кеТ3: 1К-КИ

Пусть "VCК) — вещественно-аналитическая функция определенная на некоторой J5 - окрестности Up (К.) точки К„£Т3 и

= VfK)=^i},ViKO= win V(K),

KeUßiK.)

где Jk >0 .

Теорема 3.1. Пусть J4(2P0)= min jH(p) . Тогда существуют некоторая jS -окрестность Uß ( К0) точки К„ = - 3 Po б Т3 и определенная на ней вещественно-аналитическая функция V(K) такие, что

а) для любого Кб ffl (fto) оператор Hj4e(K) имеет бесконечное число собственных значений Et (К), Е«,(к),--- - При этом

im Е„(К) = emln(K)=rmn £К(Р>£) ;

б) дал любых К б- Up (К,) и J4 < У(К0) оператор Н/ч(Ю имеет лишь конечное число собственных значений, лежащих левее точки Emen (К).

В заключении отметим некоторые особенности спектральных свойств операторов на решетка по сравнению с непрерывном оператором Шредингера (Olli), вытекающие из результатов второй и третьей глав диссертации.

В случае оператора Шредингера из полного гамильтониана можно выделить энергию .движения центра масс N" - частиц и изучить оставшуюся часть так, что - частичные связанные состояния, виртуальные уровни и резонансы суть "собственные" векторы оператора энергии с отделенным полным импульсом (при этом такой оператор фактически не зависит, т.е. зависит тривиальным образом от значений полного импульса).

Поэтому связанные состояния, виртуальные уровни и резонансы ОШ не зависят от значений полного импульса. В частности, эффект Щшмова для трехчастичного оператора Шредингера (ОШ) имеет место или же не имеет место при всех значениях полного импульса.

На решетке "выделению движения центра масс" системы отвечает реализация гамильтониана как "расслоенного оператора", т.е. "прямого интервала" семейства операторов Н(К) ■ зависящих от. значений полного квазиимпульса К£ Tv ( Tv - - мерный тор), Пооэтому в этом случае "связанное состояние" есть собственное

значение оператора Ц(к) для некоторого Кб Т^ > в типичном случае непрерывно меняющееся при изменении КбТ^ •

Таким образом, непрерывный спектр, связанное состояние, виртуальные уровни и резонансы ДОШ и их числа существенно зависят от значений полного квазиимпульса в том смысле, что нащж-мер непрерывный спектр превращается в бесконечнократное собственное значение; свяэанные состояния и резонансы ДОШ существуют на некоторых множествах значений квазиимпульса; виртуальные уровни для двухчастичного ДОШ на краю его непрерывного спектра существуют только при тех значениях квазиимпульса £ Т^, которые лежат на некотором многообразии ТС1С Т^ коразмерности -I, Это приводит к тому, что эффект Ефимова для трехчастичного ДОШ имеет место при тех значениях К€ которые лежат на этом многообразии.

Кроме того, эффект Ефимова в непрерывном случае имеет место в системе трех частиц, если отсутствуют все двухчастичные связанные состояния, энергии которых лежат левее непрерывного спектра, Для ДОШ эффект Вфиыова имеет место даже в том случае, когда имеются двухчастичные связанные состояния.

Это обстоятельство связано с тем, что в непрерывном случае двухчастичная и трехчастичная ветви непрерывного спектра заполняют полуось [о>4 оо) и поэтому пересекаются, а в случае решетки двухчастичная и трехчастичная ветви непрерывного спектра состоят из конечных отрезков и поэтому они могут не пересекаться.

Результаты диссертации опубликованы в работах автора, список которых приводится ниже. В работе [16] автору принадлежат результаты § I,? п.з§3.

Автор приносит глубокую благодарность профессору М1У Р.А.Минлосу и чл.-корр.АН Республики Узбекистан, профессору Ш,А.Алимову за консультации по теме диссертации, помощь и поддержку. .

ЛИТЕРАТУРА

1. Mattis D. The few-body problem on a lattice. Rew. Mod.Phya.-1986. V.58. Ho.2. P.361-379.

2. Фридрихе К. Возмущения спектра операторов в гильбертовом пространстве. М.: Мир. 1972.

3. Минлос Р.А., Синай Я.Г. Исследование спектров стохастических операторов, возникающих в решетчатых моделях газа. Тео-рет, и матем. физика. 1970. Т.2. Л 2. С.330-243.

4. Лакаев С.Н., Минлос Р. А. О связанных состояниях кластерного оператора. Теорет. и матем.физика. 1979. Т.39. С.83-92.

5. Mogilner A.I. Hamiltoniana of solid atate physics aa few-particle discrete Schrodinger Operators: problems and results. Advances of Soviet Mathematics. 1991. V.5.

P.

6. Лаврентьев M.A., Шабат Б.В. Проблемы гидродинамики и их ма- -тематические модели. М.: Наука. 1977.

7. Boldrighini С., Min}os Я.A., Pellegrinotti. Central limit theorem to the random walk of two particles in a random enviroment, Carr reports in mathematical Phyaica. Preprint Ho.4/91. february 1991.

8. Malyshev 7.A., Minlos H.A. Invariant subspaoes of claste-ring Operators. J.Stat. Phys. 1979. V.21. P.231-242.

Работы автора по теме диссертации.

9. Лакаев С.Н. 0 дискретном спектре обобщенной модели Фрадрихса. ДАН УзССР.З 4. С.Э-10.

10.. Лакаев С.Н. Дискретный спектр я резонансы одномерного оператора Шредингера. Теорет. и ыатем.физика. 1980. Т.43. Л 3. С. 381-386.

11. Лакаев С.Н, 0 резонансах в обобщенной модели Фродрихса. Математические модели статистической физики. Тюмень. 19ь2.

12. Лакаев С.Н. О структуре резонансов обобщенной модели фридрихса. Функ.анализ и его приложения. 1983. Г.17, Вып.4. С.88-89.

13. Лакаев С.Н. Некоторые спектральные свойства обобщенной модели Фридрихса. Труды семинара им.И.Г.Петровского. 1986. Вып. II. С.210-238.

14. Lakoev S.H. Discrete spectrum-of operator valued Fried-richa modela. Commentationea mathematicae universitatis carolinae 1906. 27. P.341-357.

15. Lakaev S.N. A reault about embedded eigenvalues in the operator valued Friedricha model. Commentationea mathe-& maticae universitatia carolinae. 1986. 27 (3). P.479-490.

16. Abdullaev J»I., Lakaev S.H. On the Spectral Properties of the 1,'atrix-valued Friedricha IJodel. Advances of aoviet Mathematics. 1991. V.5. P.1-37.

17. Лакаев C.H. О резольвенте двухчастичного оператора. Тезисы докл. шестого Международного симпозиума по теории информации. Москва-Ташкент. 1984. С.123-124.

18. Лакаев С.Н. Теория возмущений связанных состояний и резонан-сов дискретного двухчастичного оператора Шредингера. Тезисы докл. Школы-семинара "Актуальные вопросы комплексного анализа". Ташкент. 1989. С. 66.

19. Лакаев С.Н, Связанные состояния и резонансы дискретного двухчастичного оператора Шредингера при малых константах связи. Тезисы докл. Х1У школы по теории операторов в функциональных пространствах. Новгород. 1989. С. 51.

20. Лакаев С.Н. О бесконечном числе трехчастичных связанных состояний системы трех квантовых решетчатых частиц. Теорет. и матем.фяз. 1991. Т.89. » I. C.94-I04.

21. Лакаев С.Н. О бесконечном числе связанных состояний трехчас-тичного дискретного оператора Шредингера. УМН. 1991. Т.46. Вып.6. С.201.

22. Лакаев О.Н. Связанные состояния и резонансы N -частичного дискретного оператора Шредингера. Теорет. и матем.физ. 1992. Т.91. » I. С.51-65.