Спектральная асимметрия и некоммутативный вычет тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

ВЕДЕНИЕ

ЛАВА I

§ I. Основная теорема

§ 2. Топологически разложимые операторы

§ 3. Действие группы диффеоморфизмов

ЛАВА П

§ 4. Канонический Q -класс

§ 5. Леммы о переклейке.

§ б. Доказательство предложения А

ЛАВА Ш

§ 7. Четномерный случай

§ 8. Нечетномерный случай

ЛАВА 1У

§ 9. Псевдодифференциальныб проекторы

§10. Некоммутативный вычет

§11. Алгебры Ли дифференциальных операторов

ЛАВА У

§12. Алгебра l"°°

§13. "Пуассоновская алгебра" главных символов.

Симплектический вычет

§14. Доказательство теоремы о коммутанте

1РИЛ0ЖЕНИЕ I

1РИЛ0ЖЕНИЕ И.

1РИЛ0ЖЕНИЕ Ш. •

ШТЕРАТУРА.

В ряде вопросов современной алгебры, теории чисел, римановой геометрии, статистической физики и квантовой теории поля возникают инварианты, выражаемые в терминах вычетов, значений, либо производных дзета-функций типа s ;А) = Тг A"s , <» где А - автоморфизм некоторого (чаще всего бесконечномерного) векторного пространства V . В большинстве указанных вопросов Л является эллиптическим псевдодифференциальным оператором (ПДО). Так, например, известно, что дзета-функция Дедекинда произвольного числового поля к является комбинацией конечного набора дзета-функций типа (I), отвечающих специальным ПДО на вещественном компактном торе размерности [k.-<Q] (см. [зз] ).

Определение (I) требует, вообще говоря, указания ветви функции ar^ А , по которой строятся комплексные степени A S Если ¿lm V < °° , то очевидно значения £(s; А) в целых точках (именно они играют основную роль) от выбора ветви не зависят. Ситуация резко меняется, если перейти к бесконечномерному случаю. В случав, когда А является псевдодифференциальным оператором, для которого определены комплексные степени, (I) обычно имеет смысл лишь в некоторой полуплоскости. Существование аналитического продолжения до мероморфной функции во всей комплексной плоскости не тривиально, и уже составляет задачу. Для операторов на замкнутых многообразиях эта задача решена (см. работу Р.Сили [32] ). В частности, известно, что £(0;А) всегда конечно. Но точка s = 0 во всех случаях лежит вне -полуплоскости сходимости ряда Дирихле s у .j

Тт А = Z А , поэтому нет а рт1от1 причин, чтобы

Л € Spec Л \ {0} значение в нуле не зависело от выбора ветви аргумента.

В серии из четырех работ fl2]-fl5] М.Ф.Атья, В.К.Патоди и И.М.Зингер, занимаясь спектральной асимметрией самосопряженных эллиптических ПДО доказали следующее утверждение: для произвольного самосопряженного ПДО положительного порядка А на замкнутом нечетномерном многообразии эта -- функция, которая при Res »0 определена сходящимся рядом Дирихле

-s

7 (s; А) = 2 sl3n 4*1 ,

Л € Spec А \ f oj регулярна в нуле.

Доказательство использует серьезный аналитический аппарат и ряд соображений из теории бордизмов и К -теории. Само значение в нуле *][0;А) ; известное под названием ^-инварианта ответственно за целый ряд интересных явлений в римановой геометрии (см. [12] - [15], [19] , [31] ), геометрии модулярных многообразий Гильберта и арифметике тотально вещественных полей (см. [Ю],[П]), а также в квантовой теории поля. Упомянем здесь только, что у-инвариант различает все 28 экзотических семимерных, и 992 одиннадцатимерных сферы (см.[19] ).

Имеет место следующая элементарная формула, выражающая эта -- функцию в терминах дзета-функций:

17TS -IJTS

7(s;a) =-111- t i.(s;A). ^ 4 2Islnлs l 2tsmJts t '

Здесь f (s;A) , f (s;А) дзета-функции,определенные по ветвям: t l / 1 . и соответственно: - < о.гаЛ < — л

Отсюда немедленно вытекает, что

Б = 0

Таким образом, упомянутая теорема АДЗ утверждает равенство значений в нуле дзета-функций определенных по разным ветвям функции лг^Л , для самосопряженных ПДО на нечбтномерных многообразиях. Четномерный случай, несмотря на усиления, оставался открытым; соответствующее утверждение называется гипотезой Атьи--Патоди-Зингера.

Одной из целей настоящей работы является доказательство следующего, гораздо более сильного, чем гипотеза Атьи-Патоди-Зингера, результата:

Теорема (см* 1.3). Значение в нуле дзета-функции эллиптического ПДО на произвольном замкнутом многообразии не зависит от выбора ветви аг0 Л .

Главы 1-Ш диссертации посвящены доказательству этого утвержде ния. Опишем вкратце их содержание. В § I мы вводим класс ЕИ™. . операторов порядка т>0э главный символ которых имеет спектр, лежащий в двух непересекающихся секторах, скажем и Ъ" , спектральной плоскости (см. 1.1). Для таких операторов естественно определять комплексные степени с помощью разреза в одной из компонент связности дополнения к и Ъ" . Разность значений в нуле соответствующих дзета-функции обозначается через р и задает корректно определенный инвариант ПДО из класса • После этого формулируется основная теорема 1.3 об обращении в нуль инварианта ^ . Утверждение проверяется для т.н. р а з л о-ж и м ы х операторов (см. 1.7)• В заключение параграфа привогася пример ПДО, для которого совпадение значений в нуле дзета-функ-№ определенных: по разным разрезам не локально (см. 1.11).

В § 2 вводится подкласс в £11™,^ т.н. тополог и-ески разложимых35^ операторов, и доказывается, что обой такой оператор приводится к некоторому разложимому оператору помощью простых операций сохраняющих значение инварианта ^ (точ-[Ю формулировку см. в 2.5). Отсюда вытекает, что ^=0 для шологически разложимых операторов. Топологически разложимые опе-1Торы определяют на ЕЦ™, а соотношение эквивалентности, и

Ъ ! $ ютветствующве множество классов эквивалентности отождествляется группой К ( Б*Х) / тг* К ( X) , где л-. $*Х—»X расслоение косфер замкнутого многообразия. Следовательно наш ин-1риант факторизуется через К-теорию.

В § 3 рассматривается действие группы диффеоморфизмов на /тг*К(Х) индуцированное сопряжением операторов класса т II . # с помощью диффеоморфизмов. В § 4 мы вводим некоторые К -тео-этические классы, которые, как позже окажется, играют роль "обра-гющих" для инварианта у . Соответствующие редукции к этому слу-ш проведены в §§ 7-8. Многократно используется локальность р.

§ 5 содержит технические построения, связанные с совместными фейтройками ПДО вместе с многообразиями и векторными расслоениями 1 расслоении косфер. Результаты этого параграфа неоднократно ис по льготе я в дальнейшем. В работах [35],[37] они называются топологически тривиальными ораторами, а разложимые - операторами с тривиальной спектральной шмметрией, или, просто, тривиальными операторами.

В § 6 мы доказываем обращение в нуль инварианта j> на обра-¡ующих, введенных в § 4- и тем самым завершаем доказательство теоремы !.3. Перечислим существенные моменты в доказательстве: ввиду спектральности (см, 1.6), у постоянно на орбитах присоединенного действия группы диффеоморфизмов многообразия на К ($*Х)/эг*К(х; ; производя, если надо, сферические перестройки, нечетномерное ориентируемое многообразие можно наделить диффеоморфизмом обращающим ориентацию; образующие из § 4 ведут себя хорошо при сферических перестройках; j> явйяется локальным инвариантом.

Замечание. Независимое доказательство частного (самосопряженного) ¡лучая опирающееся на совершенно другую технику дано недавно Джилки см. [22] ).

В § 9 функционал А •-> £ (о-Л)+Ь (Л)? определённый на

0 ' о икрытом подмножестве пространства U ellт (X е) "аналит>0 ' ически продолжается11 на операторы любых, близких к вещественным, юрядков. У так продолженного функционала на "дивизоре" операторов юрядка нуль появляется простой полюс. Его вычет наследует обычные ¡войства значения дзета-функции в нуле, хотя сама дзета-функция в этом случае не существует. В частности, независимость этого вычета >т выбора ветви аргумента равносильна утверждению теоремы 1.3. G Фугой стороны, асимметрия вычета для операторов типа Q = 2P-I •де Р - проектор, переписывается в виде интеграла по многообразию nf-плотности

3)

I — а.um /\ J I

11 = 1 определено яо ветви 0-2-я < < л ■ L, (Д) •■= XlmКегА йй нбдвббйббши лшбулаам и и.ОЛО)^. Вшшашод шдаш бба факта; и то, что выражение (3) определяет 1-плотность, и то, что эта плотность является полным дифференциалом. Оказывается, что первый из указанных фактов имеет место для произвольных ПДО.Это мы доказываем в § 10. Интеграл плотности (3) в этом общем случае мы назовём некоммутативным вычетом оператора, по аналогии с одномерным случаем, где это понятие появилось в связи с теорией интегрируемых систем (см., например, [I],[3]4[9],[27] ).

Чисто алгебраическую интерпретацию второго из указанных фактов даёт следующая

Теорема о коммутанте (см. 10.10). Коммутант алгебры псевдодифференциальных операторов целых порядков, действующих в сечениях фиксированного векторного расслоения на замкнутом многообразии, состоит в точности из операторов с нулевым вычетом.

Тем самым доказанная нами раньше независимость значения дзета-функции в нуле от ветви аргумента оказывается эквивалентной следующе му утверждению: порядка 4 0

Любой идемпотент/алгебры ПДО лежит в коммутанте этой алгебры.

Обратим внимание на следующее обстоятельство. Алгебра ПДО - это "проквантованная" алгебра эндоморфизмов расслоения. Но в самой алгебре эндоморфизмов никакой ненулевой идемпотент не может лежать в коммутанте!

Остальная часть работы посвящена доказательству теоремы 10.10 в более сильной, чем приведённая выше, формулировке. Из этой формулировки вытекает,например, что алгебра ПДО квази-совершенна, т.е. её

Р • (х<$) означает компоненту полного символа оператора Р, порядка однородности , в карте с локальными координатами {хс] коммутант совпадает со своим коммутантом, и что длина любого элемента коммутанта универсально ограничена числом определенным в терминах расслоения и самого многообразия. Таким образом максимальная длина элементов в коммутанте является новым инвариантом векторных расслоений на многообразиях. Было бы очень интересно выяснить природу этого инварианта. Сейчас лишь известна упомянутая выше грубая оценка сверху.

Перечислим вкратце содержание следующих параграфов.

В § II в качестве более простой модели разбирается случай алгебр дифференциальных операторов. Аналогом теоремы о коммутанте служит Теорема 11.1.

В § 12 выясняются необходимые для дальнейшего подробности строения алгебры операторов с гладким ядром. В следующем,13 параграфе вводится формализм "симплектического" вычета, разработанный автором под влиянием интересной работы В.Гийемина [24-] . Последний, 14 параграф содержит собственно доказательство теоремы о коммутанте. Оно состоит из трёх частей. В первой из них утверждения теоремы доказываются на уровне главных символов. Здесь применяются результаты § 13. Во второй части с помощью итерационной процедуры указанные утверждения доводятся до уровня полных символов.

Чтобы дотянуть до случая настоящих операторов, необходимо: воспользоваться известными результатами Хельтона-Хоу о следах поликоммутаторов (см. [25]), затем доказать существование операторов с гладким ядром и ненулевым следом, которые притом лежат в коммутанте алгебры ПДО (1), и , наконец, применить нужную информацию о строении алгебры операторов с гладким ядром, которая получена в § 12. Это составляет последнюю часть доказательства.

Работа заканчивается тремя, не претендующими на оригинальность риложениями, которые содержат вспомогательный материал.

В заключение несколько слов об обозначениях , принятых согла-ениях, и о явлениях, тесно связанных с изложенными результатами, но оторые выходят за рамки настоящей работы.

В тексте обычно различаем между тривиализуемыми тривиальными, расслоениями. Эти последние всегда пред-олагают выбранную тривиализацию. Каноническое тривиальное векторное асслоение ранга к на пространстве X обозначается •

Если не указано иначе, то группы когомологий Н*(Х) рассмат-йваются с рациональными коэффициентами, а символом К(Х) обозначатся обычный (комплексный) к -функтор пространства x .

Символом С!т ( X ,Е) обозначаются ПДО порядка т , действую-ие в сечениях векторного расслоения е на многообразии x , символом С5т(Х,Б) - полные символы таких операторов. Через сг(х,е) = и сГ(х.е) г свчх.е) = и cs4x.it) тб2 те2 бозначаются соответствующие фильтрированные алгебры Ли. Имеет место ороткая точная последовательность алгебр Ли:

О -» 1~°°( Х(Е)->а,(Х1Е)^-С5'(Х(Е) — оМ де °°(х,е) - это стандартное обозначение для идеала операторов гладким ядром. Обычно вопрос топологии на упомянутых алгебрах не удет нас интересовать, укажем лишь, что а'(Х,Е) превращается полную локально-выпуклую алгебру Ли, если наделить её т.н. тополо-ией полного символа, которая значительно сильнее стандартной хёрман-еровской топологии. Топология полного символа на индуцирует эбычную локально-выпуклую топологию пространства С00 ( X *Х , Е в (Е*а \A\)^j , а на CS* - естественную индуктивно-проективную топологию пространства полуконечных справа последовательностей со значениями в С°°( 5*Х , л*End Е) (здесь л : S*X—>Х -естественная проекция расслоения косфер).

Первое из явлений,окоторых хотим упомянуть связано с эллиптическими нормальными ПДО положительного порядка. Для таких операторов удается расширить обычную дзета-функцию до мероморфной функции со значениями в квазипериодических гиперфункциях на вещественной прямой "направлений":

Z (s; а) = е"2я1Ч (М) , (e<R'). е+2тг ' 9

Можно показать, что значение в нуле является периодической обобщенной функцией и вообще может рассматриваться, как обобщенная функция на единичной окружности в комплексной плоскости.

Обозначим через ZА с S* = £ z | |z|=i) - множество лучей, содержащих собственные значения главного символа оператора >4 . Имеет место включение

Sing stipp С (0 ; А) <= £ д , и для любого б 4 Т. д £ (0; А) совпадает со значением в нуле обычной дзета-функции оператора А , определенной по разрезу arg А =

0+2*ik (keZ).

Из теоремы 1.3 вытекает, что £ (о- A) i 1 = const .

А f

Но отсюда отнюдь не вытекает, что £(0;А) вообще не зависит от 0 ] Нетрудно предъявить пример, в котором sing supp £ (0;А) = U^ - одна точка, и £ (0; а) ф const.

Другого рода явление связано с ПДО порядка нуль. Пусть К = Spec ess Q ~ существенный спектр (в смысле алгебры Калкина) таратора Ф порядка нуль. Теорема 1.3 вместе с результатами § 9 даёт зледующее утверждение; дифференциальная 1-форма со0 ={ге5(<?-д) | ¿\ ортогональна к любому классу из лг., (р*(с)\ к , °о) , и стало быть со = ¿F для некоторой голоморфной функции F:P(c)\K (5) —> С .

Значение FfA) совпадает с введённой в § 9 величиной Z (Q) В действительности утверждение (5) остается справедливым, если оо заменить на любую другую точку однако для ограниченных компонент связности в А1(с)\К нет канонических первообразных.

Следующее, о чем хотим упомянуть, это существование одномерного зе тривиально го центрального расширения у алгебры полных символов

CS"(X,Е) , которое в одномерном случае связано с расширениями, привлекающими внимание специалистов из нескольких областей математики С напр. теории интегрируемых систем, теории аффинных алгебр Ли, статистической физики, (cM.,Hanp.,[S5j ,п.5)). В существовании указанного рас лирения можно убедиться, если истолковать теорему о коммутанте (см. [0.10) в терминах группы H2(CS'(X,E)) . Спектральная последовательность Хохшильда-Серра расширения (4) с тривиальными коэффициентами порождает точную последовательность когомологий алгебр Ли; hvs'.h'u-^^hvcl')-^ н" (cs-f Haccse, Hea—))6) здесь мы для краткости опускаем символы X , Е ; X предполагается Зыть замкнутым). в силу теоремы 10.10 H\cs't h°(l"°°)) h1(cl') (-c-reSj зсли dim. X > 1 и X связно), а из Предложения 12. вытекает, что H'(CS\ HUl-00)) = с-Т-г • Следовательно следующая последовательность точна;

Трансгрессия следового функционала на L~°° как раз и даёт наше

- 12а центральное расширение. Можно показать, что на непрерывных когомолориях стрелка Н* 4 (СБ")->н2 (О.') имеет не более чем одномерное коядро.

Обоснованным кажется предположение, что для некоммутативного вычета адекватным языком являются когомологии (или гом.ологии) алгебр Ли, и, возможно, циклические когомологии А.Конна (см. [18]). На это указывает также гомологический характер обнаруженных недавно б симплектической ситуации "высших" вычетов (см. п.13.22 настоящей работы). Обсуждение имеющихся на этот счёт проблем и гипотез увело бы нас далеко в сторону, и поэтому здесь не приводится.

- 13

1.Г.,Соколов В.В., Алгебры Ли и уравнения типа Корте-вега-де Фриза, Современные проблемы математики - новейшие достижения (Итоги науки и техники), ВИНИТИ, 24 (1984), 81-180.

2. Каруби М., К-теория. М.: Мир, 1981.

3. Манин Ю.И., Алгебраические аспекты нелинейных дифференциальных уравнений, Современные проблемы математики (Итоги науки и техники), ВИНИТИ, П (1978), 5-152.

4. Рид М., Саймон Б., Методы современной математической физики, т.1, М.: Мир, 1977.

5. Спеньер Э., Алгебраическая топология. М.: Мир, 1971.

6. Стонг Р., Заметки по теории кобордизмов. М.: Мир, 1975.

7. Федосов Б.В., Аналитические формулы индекса эллиптических операторов, Труды ММО, т.30 (1974), 159-242.

8. Шубин М.А., Псевдодифференциальные операторы и спектральная теория. М.: Наука, 1978.

9. Atiyah M.F., Patodi V.K.,Singer I.M., Spectral asymmetry and Riemannian geometry, Bull.London Math.Soс. ¿(1973), 229-234.

10. Atiyah M.F., Patodi V.K., Singer I.M., Spectral asymmetry and Riemannian geometry I, Math. Proc.Camb.Philos.Soc.,77 (1975), 43-69).

11. Avez A., Diaz-Miranda A., Lichnerovricz A., Sur l'algebrt) des au-tomorphismes infinitésimaux d'une variété symplectique, J.Diff. Geometry £ (1974), 1-40.

12. Oalabi E., On the group of automorphisms of a symplectic manifold, Problems in analysis, A Symposia in Honoijrof S.Bochner, Princeton Univ. Press , Princeton, 1970, 1-26.

13. Gonnes A., Non-commutative differential geometry.Chapter I.The Chern character in K.-homology,0ctobee 1982»preprint IHES/M/82/53.

14. Donnelly K., Spectral geometry and invariants from differential topology,Bull.London Math.Soc.7 (1975), 147-150.

15. Duistermaat J.J., Singer I.M., Order preserving isomorphisms between algebras of pseudo-differential operators, Commun.Pure Appl.Math.22 (1976), 39-48.

16. Gilkey P.B., The residue of the local eta-function at the origin, Math.Ann. 240 (1979), 183-189.

17. Gilkey P.B., The residue of the global rrj -function at the origin, Advances Math. 40 (1981), 290-307.

18. Gilkey P.B., Smooth invariants of a Riemannian manifold, Advances Math. 28 (1978), I-IO.

19. Guillemin V., A nevr proof of Weyl's formula on the asymptotic distribution of eigenvalues, Adv.Math, (to appear).

20. Helton J.W., Howe R.E., Traces of commutators of integral operators, Acta Math. I3£ (1975), 271-305.

21. Hempel J., 3-manifolds,Annals of Math. Studies 86,Priceton Univ. Press, Princeton, 1976.

22. Lebedev D.R., Radul A.O., Generalized internal long waves equations: Construction, Hamiltonian structure, and Conservation Laws, Comm. Math. Phys. (1933), 543-555.

23. Lichneîowicz A., Sur l'algebre de Lie des champs de veoteurs, Comment.Math. Helv. 51 (1976), 343-368.

24. Mather J.N., Commutators of diffeomorphisms, Comment.Math. Helv. 42 (1974), 512-528.

25. Mather J.N., Commutators of diffeomorphisms.il, Comment.Math. Helv. 50 (1975), 33-40.

26. Millson J.J., Closed geodesies and the ^-invariant, Ann.Math. 108 (1978), 1-39.

27. Seeley R.T., Complex povrers of an elliptic operator,Proc. Sym-pos. Pure Math. 10 (1967), 288-307.

28. Shintani T., A remark on zeta functions of algebraic number fields,in "Automorphic forms, Representation theory and Arithmetic", Proc. of Colloquium held in Tata Institute of Fundamental Research Bombay, January 1979, p.255-260.

29. Urwin R.W., Lie algebras which determine a symplectic manifold, preprint.

30. Verdier J.-L., Les representations des algebres de lie affines: applications a quelques problèmes de physique (d'après E.Date, M.Jimbo, M.Kashivrara, T.Mivra), Sém.Bourbaki 1981/82,exp.596.

31. Wodzicki M., Spectral asymmetry and zeta functions, Invent.Math. 66 (1982), 115-135. 37 Wodzicki M., Local invariants of spectral asymmetry, Invent. Math. 75 (1984), 143-177.