Спектральные характеристики операторов Лапласа-Бельтрами в пространствах Лобачевского тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи УДК 515.12

ПАРНОВСКИЙ ЛЕОНИД БОРИСОВИЧ

СПЕКТРАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ОПЕРАТОРОВ ЛАПЛАСА-БЕЛЬТРАМИ В ПРОСТРАНСТВАХ • ЛОБАЧЕВСКОГО

01.01.01 - математический аьализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1991

работа выполнена на кафедре теории функций и функционального анализа механико-математического факультета Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор А.Б.Венков, доктор физико-математических наук, профессор В.Н.Чубариков.

Ведущая организация - Харьковский физико-технический институт низких температур АН Украины.

в 16 час. 05 пин. на заседании специализированного совета Д.053.0; при МГУ по адресу: 119899, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ /14 этаж/.

Научный руководитель-у дэ:-:тэр п>:з::ко-:,:гтз"акг-:аск;;х':наук, профессор Б.М.Левитан

Защита диссертации состоится

Автореферат разослан

н п/1о - уш^ра

1991 г.

Ученый секретарь специализированного совета Д.053.05.04 при МГУ доктор физико-математических наук

Т.П.Лукашенко

,' ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

;Г~.м^|иссертадия посвящена спектральной теории операторов.Еельтра-ш-Жпласа, рассматриваемых на фундаментальных областях действия дискретных групп движений л-мерного гиперболического пространства (пространства Лобачевского) H .

Актуальность темы. Вопрос об изучении спектров операторов Лапласа-Бель траыи А • на римановых многообразиях актуален уае давно.Сдлн из часто встречающихся случаев здесь - многообразия постоянной отрицательной секционной кривизны. Каждое такое многообразие/предстзЕ-ляет собой гиперболическое пространство Ип, профакторизованное по действии дискретной гругшн Г изометрий H . Поэтому

возникает вопрос об изучении спектра оператора А с областью определения, состоящей из функций, определенных на и-автоыорфных относительно действия какой-либо дискретной группы Г.

Поскольку явное вычисление собственных значений операторов А как правило, невозможно, особый интерес приобретают асимптотические методы изучения дискретного спектра. Заметим, что в случае, когда . .ЛУ^ГкомпактнОг-оператор—é— строго -эллиптичен,- а его спектр чисто дискретен, поэтому этот случай изучался в первую очередь.

В 1956 году вышла знаменитая работа А.Сельберга Cil, в которой выводится формула следа, выражающая, в случае п. = 2 , регуляризо-вэееый след оператора л через некоторые геометрические характеристики группы Г *. Затем, используя эту формулу, удается достроить эффективные оценки ряда Дирихле специального вида, так называемой дзета-функции Сельберга.

Данные оценки имеют множество применений: с их помощью получаются, например, асимптотичееки дискретного спектра и норм классов сопряженности гиперболических элементов. Данная схема часто использовалась в дальнейших исследованиях (в работах С2] и _[3] рассматри-

[1] À.Stlterg. Harmonic analysis and discontinuons groups in uriaHy Symmetric. Riemannian ■spaces ui-lh appUtaiiona io iïiricA/ê/ Stries//j] ¡M. math. Sck. - тв.-/20- Р.Л7-8?.

[2] Дх.Эльстродт, Ф.Грвневальд, Дж.Меннике. Непрерывные группы в трехмерном гиперболическом пространстве: Аналитическая теория и арифметические приложения// УМН, 1983,- Т.38, вып.1.- C.II9-I47

[3] R. OcungollL. lata-funeiion& of Selëtrg's iyp* -for Compcczi spact ■forms, of Sy/nmilrib Spac*i of rank ooe//litinois J. Tfioih.- ■/$??.-V. 2/. - p. ¿.-42.

J

заются соответственно кокомшктные грушш без кручений и кокоыпакт-ные группы, действующие в//3). Первая глава настоящей работы посвящена получению аналогичных результатов в наиболее общем случае.

Еще одиш следствием из формулы следа является возможность получения теорем типа Хубера [4],.характеризующие свойства изоспект-ральнкх групп Г . Так, в работах [4] и [3] (для случаев П = 2 и -п - 3 соответственно) было доказано, что у изоспектральных групп совпадают спектры длин (в случае групп без кручений - длины замкнутых геодезических на Н"/П и эллиптические числа. Аналогичный результат (вместе с определением эллилтиче'ских'чиселУ для произвольного доказывается в диссертации.

Еще один круг вопросов, рассматриваемых в работе, касается асимптотики дискретного спектра задачи Дирихле, рассматриваемой на регулярных многогранниках (т.е. фундаментальных многогранниках для групп, порожденных отражениями; отметим, что рассматриваемые многогранники не обязаны быть компактными). Ранее в работах Венкова [5, 6] и Кузнецова [7] данный вопрос рассматривался в случае п = 2 (наиболее интересном случае). В работе [6] с помощью построения соответствующей дзета-функции удалось получить три члена асимптотики N(X) - считавшей функции дискретного спектра. В диссертации с помощью метода волнового уравнения тайке получено три члена асимптотики //(Я) (отметим, что третий член имеет более ясный геометрический смысл, чем в [б] - это регуляризованный периметр многоугольника). В случае л » 3, а также для многоугольников, лежащих в евклидовых пространствах JR* , в работе получено всего два члена асимптотики Н{А), а также л членов асимптотики усреднения ¡/(Л) по Риссу.

[4] H.HuScr. Sur- ahaiy'iiSo^en Théorie. hyper-êolîscAer Яаит/е&пепД Woih.ann.- m9.-y.m.-Ff-sô-c&oi,- v.rfz-p &p-m.

[5] A.Б.Венков. Формула следа Сельберга е неевклидовые колебания бесконечной мембраны// ДАН СССР, 1978.- Т.240, й 5.- C.I02I-I024

[6] А.Б.Венков. Спектральная теория автоморфных функций// Тр. МИАН, 1981.- Т.153.- C.I-I72

[7] Н.Б.Кузнецов. Распределение норм примитивных классов модулярной группы и асимптотические формулы для собственных значений оператора Лапласа-Бельтрамп на фундаментальной области модулярной грушы// ДАН СССР, 1978.- Т.42, К I.- С.40-43

Дель работа. Вывести формулу следа Сельберга для произвольных кокомпактных груш двинений л ' в наиболее явной виде, исследовать с ее помощью аналитические свойства дзета-функции Сельберга и спек-тральтральные асимптотики оператора Лапласа-Бель траки, с автоморфны-ыз граничными условиями. Исследовать асимптотики дискретного спектра задач Дирихле и Неймана .рассматриваемых на регулярных многогранниках (быть могет, с бесконечноудалеиными вершинами).

Научная новизна. Основные результаты диссертации состоят в следующем.

1. Получена формула следа Сельберга для произвольных ко компактных групп двиаений Нп, явно вычислены вклады в эту формулу от всех классов элементов группы.

2. Доказана теорема о равенстве спектров длин и эллиптических' чисел у изопериметрических кокомпактных ipynn." ~

3. Изучены аналитические свойства дзета-функции Сельберга.

4. Получены асимптотические формулы для функций распределения дискретного спектра и норм классов сопряженности локсодромических элементов.

57"Получены 'асимптотические формулы" для функции распределения дискретного спектра задачи Дирихле, рассматриваемой на регулярном многограннике, лежащем в пространствах Евклида и Лобачевского.

На защиту выносятся следующие результаты.

1. Формула следа Сельберга для кокомпактных групп.

2. Аналитические свойства дзета-функции Сельберга.

3. Асимптотика функции распределения собственных значений задачи Дирихле на регулярном многоугольнике в плоскости Лобачевского.

Практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты мо1ут применяться в спектральном анализе операторов Нашшса-Еальтрами в гиперболических пространствах.

Апробация работ. Результаты диссертации докладывались автором на Всесоюзных и международных конференциях и сколах, в той числе на Международной конференции, посвященной 90-летяв со дня рогдения акад. И.Г.Петровского ('<37, 1991 г.), на конференциях в г.Москве (IS87 и 1990г.г.),в Черноголовке (1989 г.), на семинарах в МГУ (руководители прсф.Б.М.Левитан, проф. А.Г.Костшенко, проф. А.А.Шкаликов).

Публикзгши. Основные результаты диссертации опубликованы в двух работах автора, они приведены в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертация состоит из взедения, двух глав, вклтапцих семь параграфов, и сшска литературы, содержащих 22 наименования, объем диссертации страниц.

СОДЕРЕАБИЕ РАБОТЫ

Зо введении кратко изложена история вопросов, рассматриваемых в диссертации, сформулированы ее основные результаты, а такке сообщены необходимые общие сведения.

3 первой глазе содержится вывод формулы следа Сельберга для произвольных кокомпакткых групп,, действующих в Н , а такке различии? приложения этой'формулы. п

*Лы рассматриваем модель Пуанкаре для Н в виде верхнего полупространства = ¡2=fa,,...,хпч f у) 6R"I} с метрикой

ds3= £ + del, -с/у') ' (I)

Пусть ГС SOt (/у п) - дискретная группа собственных движений Нп такая, что И"/Г компактно. Ыы изучаем спектр оператора Лагааса-Бель-трами, порожденного метрикой (I), область определения которого состоит из звтоморфных относительно действия Г функций.ббозначим через 0-хо<- А, спектр А . Положим = ¡^Лк -

Б §1 гл.1 выводится формула типа Сельберга, выражающая регуля-ризозанный след ЕЛ(^) (где - преобразование Фурье гладкой

финитной функции) в терминах норм классов сопряженности локсодромических элементов Г и некоторых величин, характеризувдих эллиптические элементы Г (т.наз. эллиптических чисел Г ). В формулу входит очень много новых величин, определяемых в работе, поэтому, в связи с недостатком места мы лишены возможности цривести ее здесь.

В §2 гл.1 формула следа Сельберга применяется для доказательства теоремы Хубера в нашем случае:

Теорема I.2.I. а) пусть Г^ и - две кокомпактные группы, спектры которых созпадаэт за исключением, быть может, лишь конечного числа собственных значений. Тогда спектры, спектры длин и эллиптические числа групп Г, и Гг совпадают;

б) пусть /Г и Л> - две кокомпактные группы, спектра длин которых совпадают за исключением, быть может, лишь конечного числа элементов. Тогда спектры, спектры длин и эллиптические числа групп Г, и /о созпадз2т.

3 §3 гл.1 определяется дзета-функция типа Сель брега для нашего гя и исследуется ее аналитические свойства с помоаью формулы

Пусть Г -коксмпзктная группа движений Hn,SSi . •

Положил

т- т-'

if J-логе n<fj

(здесь суммирование ведется по всем классам сопряженности локсодромических элементов, Т/^) означает норму, /0 - любой примитивный локсодромический элемент, соответствующий / , 2C(f) - количество таких примитивных элементов, • С* (/) - некоторая явно выписываемая ограниченная константа).

С помощью формулы"следа удается доказать, что Q(S) - меро-морфная функция, причем, существует такое натуральное число А (если п нечетно, то J = I), что вычеты во всех полюсах (которые являются простыми)AQ($) целые. Поэтому следующее определение корректно: $

Определение 1.3.1. Z($)= e#p[j2ASQ(S) olS] называется дзета-функцией типа Сельберга группы Г.

Теорема I.3.I. !(&)- мероморфеая (целая, если п нечетно) функция на всей комплексной плоскости. В точках ±1ге расположены нули 2(S) (нетривиальные нули), кратность каждого такого нуля равна кратности соответствующего собственного значения, умноженного на А (Г)- В случае нечетного п этими нулями исчерпываются все нули 2(S>) • В случае четного п 3($) может иметь в точках {- ^ J (Къо) как нули (тривиальные нули), так и полюса, причем при n^-0fmod4) число тривиальных нулей конечно, а при 2(modM') конечно число полюсов.

Если - целая функция (например, если п нечетно, или

п з 2. (mod4) , и Г не тлеет кручений), то она имеет порядок п и конечный положительный тип.

В §4 гл.1 полученные оценки используются для получения асимптотики М'(Я):

Теорема Г.4.1. При Х — оо справедлива следующая асимптотическая формула:

N(X):=L ■/ = \HVr\cn\n/'+0(AJ¥)

(здесь ¡.| обозначает гиперболический n-мерный объем, Сп = (<? s • «Ot- п!1.)'1 при нечетных п , и С„= п//')~J при четных п ).

В §5 гл.1 результаты §3 используются для асимптотики функции распределения классов локсодромических элементов Otfc).

Определение 1.5.1. Положим и^лзГЩГ (сУ^Р023226

производится по всем классам сопряженности локсодромических элементов с нормой, не превосходящей X ).

Теорема 1.5.1. При —- справедлива следующая асимптотическая формула: п /

п ^ Л +

где $>0 произвольно, М:=тах[/<1&гк*0}, = .

Во второй главе исследуется асимптотика функций распределения собственных значений задачи Дирихле на регулярном многограннике. Определение 2.1.1. Назовем многогранник Г, лежащий в //п или > регулярным многогранником, если все его двугранные углы имеют вид {КбТ , или ).

Данное-определение-в точности эквивалентно тому, что группа Г порожденная отражения,га относительно сторон Г, дискретна, а Г является фундаментальной областью для Г. Это позволяет нам применить технику волнового уравнения для вычисления нужной асимптотики. Заметим, что, даже если /* содераит бесконечно удаленные вершины, спектр

— задачи-Дирихле чисто дискретен.------ ■ ■- .............

Б §1 гл.2 рассматривается случай многогранников (многоугольников)/' , лежащих в И2. Расположим Г таким образом, чтобы какая-либо бесконечноудаленная вершина Т"7 тлела координату °° , а примыкащие. к ней стороны Г тлели вид и

соответственно (такого всегда можно добиться с помощью гиперболических движений Нг).

Определение 2.1.2. Существенной длиной сторон, примыкающих к бесконечноудаленной вержне (и емэещих бесконечную длину), назовем - ¿ч у» и соответственно. Существенной длиной всех остальных

сторон назовем их обычную длину. Существенным периметром (Рс) многоугольника Г назовем сумму существенных длин всех его сторон,

Теорема 2.1.1. Для функции распределения собственных значений задачи Дирихле справедлива следующая асимптотика при Л -*■ ;

¿п! -

где 1г| означает неевклидову площадь Г , а т - это число вершин р , лежащих на бесконечности.

В §2 гл.2 рассматривается случай, когда РСН"[п^.з), или /£!<$?

Теорема 2.2.1. При сцраведлива следующая асимптотика:

лМ-И СоХ^дг^х^1* о(хп"),

ГД8 ]/*| и|аГ| - п-мерный объем Г и {1- •/) -мерный объем его границы ЗУ соответственно, ^-(е^^0^ п!!)'\ '

»Эт1"'*1 (п-1)Ц)~1 ([•] означает целую часть).

Теорема 2.2.2. При А—«» справедлива следующая (п-членная) асимптотика усреднения -У/^) по Риссу:

¿Г'-ф^СьИ*'-

• £ к'к'> «Г**-"";..

Л, сг

где последнее суммирование проходит по всец (/г-у' )-мерным граням ГА(, \А{ | - ) -мерный объем Л* , С* - зависит лишь от угла при А^ , - (сш.1вол Кронекера) для многогранников Р ,

лежащих в , в противном случае ^¿^ .зависят лишь от п .

Автор глубоко признателен своему научному руководителю профессору Б.М.Левитану за постоянное внимание к работе и помощь.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах автора:

1. Пзрновский Л.Б. Об асимптотике дискретного спектра задач 1ирзхлв и Неймана на фундаментальной области кристаллографической группы// Мат.заметет, 1989.- Т.45, вып.5.- С.63-69.

2. Левитан Б.М., Парновский Л.Б. Об асимптотике дискретного :пектра задач Дирихле и Неймана для оператора Лапласз-Бельтрами на -зегулярном многограннике в пространстве Лобачевского// £ункциональ-шй анализ и его приложения, 1990",- Т.24, вып.1.- С.21-28.