Спектральные свойства волн в сверхрешетках с двумерными неоднородностями тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

На правах рукописи

>~е

0050110°''

Цикалов Денис Сергеевич

СПЕКТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ВОЛН В СВЕРХРЕШЕТКАХ С ДВУМЕРНЫМИ НЕОДНОРОДНОСТЯМИ

01.04.07 - физика конденсированного состояния

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 С ОЕВ 2012

Красноярск - 2011

005011690

Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Институте физики им. Л.В. Киренского СО РАН.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Маньков Ю.И.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Медведев М.В.

доктор физико-математических наук, профессор Исхаков P.C.

Ведущая организация: Институт физики металлов УрО РАН,

. Екатеринбург. .

Защита состоится« » 2012 г. в часов на заседании дис-

сертационного совета Д 003.055.02 при Институте физики им. Л.В. Киренского СО РАН по адресу: 660036, г. Красноярск, Академгородок, Институт физики им. Л.В. Кяренского СО РАН.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Института физики им. Л.В. Киренского СО РАН.

Автореферат разослан« » 20,12 г. .

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук

Втюрин А.Н.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В настоящее время широко исследуются многослойные пленочные структуры (одномерные сверхрешетки), которые представляют собой периодически чередующиеся слои двух или большего числа материалов с отличающимися физическими свойствами. Известно, что спектр волн любой природы в периодических системах имеет зонную структуру. На краях зон Бриллюэна сверхрешетки происходит снятие вырождения и появление в спектре волн щелей (запрещенных зон). В реальных многослойных материалах периодичность в расположении слоев выдерживается лишь приближенно. Всегда имеются случайные отступления от периодичности, обусловленные природными или технологическими факторами. Возникает интерес к тому, как меняются спектральные свойства свсрхрешеток (БЬ) при переходе от идеально периодических к случайно стохастизованным системам. Эта проблема является одной из актуальнейших областей современных исследований, так как подобные материалы широко используются в различных устройствах высоких технологий, таких как резонаторы, фильтры, зеркала и т.п., для записи и обработки информации, преобразования и детектирования спиновых, упругих и электромагнитных волн. С другой стороны, важность этой проблемы обусловлена тем, что такие исследования стимулируют появление новых математических методов и подходов в быстроразвивающейся области физики, которая характеризуется нарушением трансляционной симметрии среды. К настоящему времени влияние одно (Ш) - и трехмерных (30) фазовых неоднородностей (то есть, неоднородностей геометрической структуры БЬ) на спектральные свойства БЬ достаточно хорошо изучено (см., например, [1,2,3]), в то время как влияние двумерных (20) фазовых неоднородностей исследовано недостаточно.

Нель работы: развитие теории влияния на спектральные характеристики спиновых и электромагнитных волн в БЬ 20 неоднородностей границ между слоями (интерфейсов) БЬ и 30 неоднородностей материала слоев.

Научная новизна работы:

1) Впервые показано, что присутствие в сверхрсшетке 20 фазовых неоднородностей, в отличие от Ш и 30 фазовых неоднородностей, приводит к резкой асимметрии пиков восприимчивости и асимметрии плотности состояний на краях 1-ой и всех последующих нечетных запрещенных зон спектра волн в 8Ь.

2) Показано, что эффект асимметрии этих спектральных характеристик является прямым следствием особенностей закона сохранения энергии падающей и рассеянной волны, характерных только для фазовых 20 неоднородностей.

-1) Исследована зависимость предсказанного эффекта асимметрии спектральных характеристик от величин среднеквадратичных флуктуаций и корреляционных радиусов 20 фазовых неоднородностей и 30 амплитудных неоднородностей материала слоев БЬ.

Научная и практическая ценность. Научная ценность заключается в предсказании эффекта асимметрии спектральных характеристик волн (динамической восприимчивости и плотности состояний) на краях нечетных запрещенных зон, которая характерна только для 20 фазовых неоднородностей, моделирующих взаимные корреляции между неоднородностями интерфейсов БЬ. Практическая ценность полученных результатов заключается в том, что они являются теоретической основой развития радиоспектроскопических и оптических методов идентификации присутствия взаимных корреляций между неоднородностями различных интерфейсов в ЭЬ.

Достоверность результатов определяется корректностью использования математического аппарата, контролируемостью применяемых приближений, а также правильностью предельных переходов к известным результатам.

Положения, выносимые на защиту:

1) Предсказание эффекта асимметрии динамической восприимчивости и плотности состояний спиновых и электромагнитных волн в БЬ под действием двумерных фазовых неоднородностей, моделирующих синфазные шероховатости интерфейсов.

2) Обоснование того, что этот эффект является прямым следствием особенностей закона сохранения энергии падающей и рассеянной волны, характерных только для двумерных фазовых неоднородностей.

3) Расчет зависимостей функций, характеризующих эффект асимметрии динамической восприимчивости и плотности состояний от величин среднеквадратичных флуктуаций и корреляционных волновых чисел как двумерных фазовых, так и трехмерных амплитудных неоднородностей, моделирующих неоднородности материала слоев БЬ.

4) Обсуждение условий обнаружения, предсказанного в диссертации, эффекта асимметрии.

Апробация работы. Основные результаты данной работы были доложены и опубликованы в трудах конференций: Moscow International Symposium on Magnetism (Moscow, 2008), XXI Международная конференция «Новое в магнетизме и магнитных материалах» (Москва, 2009), Euro-Asian Symposium «Trends in MAGnetism» Nanospintronics (Ekaterinburg, 2010), а также доложены на научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых - физиков НКСФ-XXXVI (Красноярск, 2007), НКСФ-XXXVII (Красноярск, 2008), на конференции молодых ученых КНЦ СО РАН (Красноярск, 2009, 2010) и научных семинарах Института физики им. Л.В. Киренского СО РАН.

Публикации. Основные результаты диссертации изложены в 7 печатных работах, из них 4 статьи в рецензируемых журналах из перечня ВАК, 3 - в тезисах докладов и трудах международных конференций и симпозиумов.

Отдельные этапы, работы выполнялись при поддержке гранта N3818.2008.3 Президента РФ по программе «Государственная поддержка научных исследований, проводимых ведущими научными школами Российской Федерации», гранта Программы N27.1 Президиума РАН, Государственного контракта N02.740.11.0220 по Федеральной целевой программе и грантов РНП N2.1.1/3498 Целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы» за 2009, 2010 и 2011 гг.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из Введения, четырех глав, Заключения и списка литературы. Содержание работы изложено на 105 страницах, включая 35 рисунков и списка литературы из 140 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Петая Глава посвящена краткому экскурсу в историю развития теории периодических структур (сверхрешеток). Сделан обзор основных работ, связанных с исследованием волн различной природы (спиновых, упругих и электромагнитных) в таких структурах. Также изложена теория спиновых волн в тонких пленках и SL. Приведены экспериментальные измерения обменных спиновых волн (методом спин-волнового резонанса) и бегущих магнитостатических волн (методом Бриллюэн-Мандельштамовского рассеяния света). Далее

следует обзор работ, посвященных волнам в БЬ с неоднородностями. Перечислены основные направления исследований. Особое внимание уделено 20 и 30 фазовым неоднородносгпям (соответственно, коррелированным и некоррелированным шероховатостям интерфейсов БЬ). Описаны эффекты, к которым приводят такие неоднородности структуры БЬ при их исследовании методом малоуглового рассеяния рентгеновских лучей [4].

Вторая Глава посвящена исследованию динамической восприимчивости (функции Грина) спиновых волн в изначально синусоидальной одномерной БЬ при наличии в ней 20 фазовых неоднородностей, моделирующих коррелированные шероховатости интерфейсов БЬ. В приближении Бурре найдено аналитическое выражение для усредненной функции Грина синусоидальной БЬ с 20 фазовыми неоднородностями. Для волн, распространяющихся в направлении оси БЬ, обнаружено своеобразное поведение мнимой части функции Грина, заключающееся в существенном различии между пиками, соответствующими краям запрещенной зоны в спектре волн. Амплитуда пика, соответствующего краю зоны с меныией частотой, возрастает при росте среднеквадратичных флуктуаций 20 неоднородностей, при этом ширина пика не меняется, в то время как пик, отвечающий краю запрещенной зоны с большей частотой, расширяется и резко уменыиается по высоте. Оба пика смещаются к центру щели. Эти эффекты объясняются своеобразием законов сохранения энергии падающей и рассеянной волны для 20 неоднородностей в одномерной БЬ.

Как периодическую зависимость материального параметра вдоль оси БЬ г, так и случайную пространственную модуляцию этого параметра описывает функция р(х), которая, в общем случае может быть функцией всех трех координат: {х, у, г} ■ Функция р(х) имеет вид

где ¿/ = 1,2,3 - размерность неоднородностей. Синусоидальная БЬ может рассматриваться как частный случай многослойной структуры с очень плавными границами раздела слоев. Для 213 неоднородностей случайная модуляция и2 зависит только от векторов хх = {х,у}, лежащих в плоскости ху . Используя метод случайной пространственной модуляции (Г1БМ) [1], была найдена корреляционная функция К(г) БЬ с 21) фазовыми неоднородностями в виде

(1)

К(г) = со8(7/гг )ЛГ2 (г± ), -6-

где убывающая часть корреляционной функции ЛГ2(г1) определяется выражением

/С2(гЛ) = ехр[-б2(г±)/2]. (3)

Здесь (г±) - безразмерная структурная функция ЭЬ

£>2(г) = 4/2 {Е, (к2г±) + Ык2гхС) + ехр{-к2гх) -1}, (4)

где у2 - среднеквадратичная флуктуация 20 неоднородностей, к2 - корреляционное волновое число этих неоднородностей. Подстановка выражения для 02 (г) в виде (4) в (3) приводит к слишком сложному выражению для корреляционной функции К(г) . Поэтому, исходя из асимптотик точной корреляционной функции, мы аппроксимировали спадающую часть корреляционной функции ЛГ2 (г , ) простым выражением

(5)

Волновое уравнение записывается в виде

' У2т + [у-(А/^2)р(х)]т = 0, ' (6)

где выражения для переменной т и параметров у и А различны для волн различной физической природы (V сс со - ш0, где сод - частота ФМР, для спиновых волн, V сс со2 для электромагнитных волн, параметр Л пропорционален глубине модуляции профиля БЬ). Образ Фурье усредненной функции Грина для уравнения (6) имеет следующий вид

Цу, к) = —^--------------------------------------, (7)

(2л) у-к -М(у,к)

где М(у, к) - классический аналог массового оператора, который в приближении Бурре [5], может быть представлен в виде [2]

М(у,к) = ехр [- ¿(кг + л/у 1 г |)1/г • (8)

■’ | г |

Массовый оператор представляется в виде суммы двух слагаемых М(у,к)-М~(у,\С) + М+(у,\С). Было найдено аналитическое выражение для массового оператора МТ(у,к) в случае 20 неоднородностей

= , >(и+)> (9)

4 с1 Г2' /г ~

Рис. 1. Влияние 20 фазовых неоднородностей на функцию Грина 0"(у) на границе первой зоны Бриялгоэна к, = /с, / -ч/Д =1.5, Уг / Л = 2.5 .

где 5 у(и_,) - функция Ломмеля, и} -{е/ Ск2)с±, с± = л](кТд)1 -V . Показано, что эффект отсутствия затухания в первой зоне Бриллюэна БЬ и возникновение его во второй зоне, предсказанный в работе [1], имеет место при любой форме спада корреляционной функции 20 фазовых неоднородностей.

На рис. 1 показана динамическая восприимчивость С'{у) на границе первой зоны Бриллюэна БГ при k~kr=q/2 для различных значений среднеквадратичных флуктуаций 20 фазовых неоднородностей у2 при постоянном значении корреляционного волнового числа этих неоднородностей к2 (к2 = кг /А112 =1.5). Видно, что с ростом у1 появляется и возрастает асимметрия в поведении низкочастотного и высокочастотного пиков на краях щели. На рис. 1 видно резкое уменьшение правого пика и его смещение к центру запрещенной зоны. К центру щели смещается и левый пик. Ширина левого пика при этом не меняется, так как она определяется только величиной затравочного затухания; амплитуда этого пика возрастает. Проведенное нами исследование показало, что имеется два режима поведения высокочастотного пика при возрастании у], которые зависят от величины корреляционного волнового чис-

Рис. 2. Схематический вид функции Грина С'(у) в окрестности запрещенной зоны 8Ь в присутствии 2В неоднородностей.

ла к2. При малых значениях к2 правый пик практически не смещается с ростом у2, когда происходит уменьшение его амплитуды и возрастание ширины. При к2 > 1 с ростом у2 происходит как уменьшение величины правого пика, так и его смещение к центру щели. Левый и правый пики сближаются и сливаются в один пик.

Исследовалась также динамическая восприимчивость для различных значений корреляционного волнового числа неоднородностей К2 при постоянном значении у2 . Показано, что эффект возрастания асимметрии величин пиков восприимчивости на краях запрещенной зоны имеет место и в этом случае. Показано, что кривые зависимостей С (у), для которых значения произведения к2У2 одинаковы, качественно соответствуют друг-другу. На первый взгляд, эта закономерность не является тривиальной, так как параметры у\ и входят в выражение для массового оператора функции Грина (9) существенно различным образом, у2 входит в индексы функции Ломмеля, а к2 ~ в аргумент.

На рис. 2 показан пространственный вид мнимой части функции Грина ! С\у,к) в окрестности щели между первой и второй зонами Бриллюэна. Ко-

нечность амплитуды С в первой зоне Бриллюэна обусловлена введением затравочного затухания уг / А = 0.03- Из рис. 2 видно, что амплитуда С {у,к) при данных параметрах (у^к2 / 2Л1/2 = 0.1) с ростом к в первой зоне Бриллюэна лишь незначительно уменьшается к краю зоны к-кг Во второй зоне амплитуда С" {у, к) при к ~кг значительно меньше, чем в первой зоне и возрастает с ростом к . Из рисунка видно, что эффект асимметрии максимумов функции Грина под действием 20 неоднородностей проявляется четко лишь при точной настройке волнового числа к на границу зоны Бриллюэна кг. При к<кг амплитуды пиков С"(у, к) сначала выравниваются, а затем амплитуда высокочастотного пика начинает превосходить амплитуду низкочастотного пика. При к > к эффект асимметрии увеличивается, но это явление уже не свидетельствует о наличии именно 20 фазовых неоднородностей: оно будет происходить для неоднородностей любой размерности.

Полученный в работе эффект асимметрии ширин и амплитуд пиков функции Грина, возникающий под действием 20 фазовых неоднородностей, удобнее обсудить, если использовать представление массового оператора функции Грина М{у,к) через спектральную плотность Б (к). В этом случае в приближении Бурре

В рассматриваемых здесь процессах рассеяния волн на неоднородностях должен выполняться закон сохранения энергии падающей и рассеянной волны, а закон сохранения импульса отсутствует. Тем не менее, на абсолютную величину импульса налагаются ограничения, следующие из закона сохранения энергии падающей и рассеянной волны и закона дисперсии рассеянной волны. В терминах частоты падающей волны у и волнового вектора рассеянной волны кх закон сохранения энергии в элементарном процессе рассеяния соответствует полюсу на действительной оси к5 в подынтегральной функции выражения (10), определяющему затухание падающей волны.

Рассмотрим, какие ограничения на выполнение закона, сохранения энергии налагает размерность неоднородностей. Для 30 неоднородностей интегрирование в выражении (10) проводится по всем направлениям и величинам вектора к., следовательно, для любой частоты у закон сохранения имеет вид

(10)

к2 = У. Таким образом, на любой частоте у возникнет затухание, обусловленное рассеянием на неоднородностях. В случае Ш неоднородностей, то есть случайных смещений границ между слоями ЭЬ, случайная фаза ц] зависит только от координаты г и спектральная плотность в выражении (10) принимает вид

5(к-к,) = 5^ -ка)8{кх -ка)8(ку-/сч). (11)

Подставляя это выражение в (10) и интегрируя по кхх и к^у, получаем, что для волны, распространяющейся вдоль оси г, закон сохранения энергии в элементарном процессе рассеяния принимает вид к], = V. В таких процессах участвуют только волны, рассеянные либо вдоль направления падающей волны, либо в противоположном направлении. Однако, интегрирование в (10) проводится по всем величинам кчг, что снова приводит к возможности выполнения соотношения к], = V для любой частоты у.

Совершенно иная картина наблюдается в присутствии 20 неоднородностей. В этом случае для волны, распространяющейся вдоль оси г, спектральная плотность имеет вид

5(к-к,) = ^2(кх -к„,ку-КуШк2-кгг -<?) + 5(к2-ка + ?)]• (12)

В окрестности правой границы 1 -ой зоны Бриллюэна второй 8 -функцией в квадратных скобках можно пренебречь. Это соответствует двухволновому приближению, в котором М(у,к) после подстановки выражения (12) в (10) и интегрирования по к принимает вид

4 -1 У-{К-д)2-(к2а+к1)

а закон сохранения энергии имеет вид к2х + к2у = у-(к_ -д)2. Присутствие в энергетическом соотношении вектора обратной ЯЬ q может свидетельствовать о том, что в этом случае мы имеем дело с одним из видов процессов переброса; точная идентификация типа процесса затруднительна ввиду отсутствия закона сохранения импульса. На границе зоны Бриллюэна при к =кт ~ д/2 закон сохранения энергии принимает вид

к1+к2у = У-Уг- (14)

где у = к2 - частота, соответствующая центру запрещенной зоны в идеальной БЬ. Этот закон может быть выполнен только для частот у > уг . Для частот у<уг рассеяние волн запрещено. В частности, затухание будет возни" - 11 -

кать в области правого пика невозмущенной функции Грина при у = V 4- Л / 2 и будет отсутствовать в области левого пика, соответствующего у = уг — А / 2 -Таким образом, резкая асимметрия затуханий для нижней и верхней ветви собственных частот и, соответственно, асимметрия ширин и амплитуд левого и правого пиков функции Грина при рассеянии волн на 20 фазовых неоднородностях, является прямым следствием закона сохранения энергии падающей и отраженной волны.

Третья Глава посвящена исследованию динамической восприимчивости другой периодической структуры - слоистой системы, которая более адекватна реальным структурам, при наличии в ней 20 фазовых неоднородностей. Показано, что эффект асимметрии пиков мнимой части функции Грина на границе первой зоны Бриллюэна, обусловленный 20 фазовыми неоднородностями, имеет место на всех нечетных границах зон Бриллюэна такой БЬ. Эти эффекты, первоначально обнаруженные на границе первой зоны Бриллюэна синусоидальной 5£, объясняются, как и ранее, своеобразием законов сохранения энергии падающей и рассеянной волны в с 20 фазовыми неоднородностями. Показано, что с увеличением номера зоны Бриллюэна уменьшается значение относительных среднеквадратичных флуктуаций 20 фазовых неоднородностей, при котором происходит исчезновение пика на краю щели с большей частотой.

На основе предложенного в работе [3] описания БЬ с Ш и ЗБ неоднородностями, запишем функцию р(х) в виде бесконечного ряда

Корреляционная функция К(г) 8Ь с 20 фазовыми неоднородностями была представлена в виде

где убывающая часть была аппроксимирована простой формулой, ко-

торая обобщает на случай многослойной системы моделирующее выражение для синусоидальной БЬ (5)

/>(*) = 7 Ет^7с05{(2 т +1)[?(2 - и2(х±)) + у,}} • (15)

А^02т + \

00

(16)

Рис. 3. Влияние 2D фазовых неоднородностей на функцию Грина G”(v) на границе третей зоны Бриллюэна сверхрешетки. кг ~ 0.45, vn / А = 20.

Было получено выражение для функции Грина на границах нечетных зон Брил-люэна ( k = krp = pq / 2, р = 1,3,5,...).

Для SL с прямоугольным профилем модуляции при отсутствии неоднородностей ширины всех нечетных зон р пропорциональны А/р, т.е. определяются первой степенью А. Поэтому частотная зависимость динамической восприимчивости на границах всех нечетных зон может быть найдена в приближении Бурре. Результаты расчетов для мнимой части функции Грина на границе первой зоны Бриллюэна с большой точностью повторяют графики на рис. 1 при замене в последнем нормировки с А на А, = 2-JlA / л ■ Такое соответствие обусловлено тем, что в разложении в ряд Фурье функции, описывающей идеальную SL с прямоугольным профилем, первая гармоника (т~ 0) с периодом / имеет наибольшую амплитуду, в результате чего основной вклад в G{v) на границе первой зоны Бриллюэна дает слагаемое близкое к функции Грина для синусоидальной SL.

На рис. 3, представлены результаты расчетов для мнимой части функции Грина на границе 3-й зоны Бриллюэна. Видно, что пик на краю запрещенной

зоны в спектре волн с меньшей частотой возрастает при росте среднеквадратичных флуктуаций 2В неоднородностей у2, при этом ширина пика не меняется, в то время как пик, отвечающий краю запрещенной зоны с большей частотой, расширяется и резко уменьшается по высоте. Оба пика смещаются к центру щели. Таким образом, качественно поведение пиков динамической восприимчивости на границах 1-й и 3-й зон Бриллюэна совпадает. Однако, на границе 3-й зоны правый пик исчезает при значительно меньшей величине у2. С ростом номера зоны этот эффект проявляется при все более малых значениях среднеквадратичных флуктуаций неоднородностей. Как и для синусоидальной БЬ, этот эффект является следствием особенностей закона сохранения энергии падающей и рассеянной волны характерных только для 2В неоднородностей.

Четвертая Глава посвящена исследованию динамической восприимчивости и одномерной томности состояний электромагнитных волн в изначально синусоидальной БЬ с одновременным присутствием 20 фазовых неоднородностей, моделирующих коррелированные шероховатости интерфейсов БЬ, и 30 амплитудных неоднородностей материала слоев БЬ. Показано, что эффект возрастания асимметрии величин пиков динамической восприимчивости на границе зоны Бриллюэна БЬ при увеличении среднеквадратичных флуктуаций 20 неоднородностей, проявляется также и в асимметрии формы функции плотности состояний. Показано, что 30 амплитудные неоднородности материала слоев БЬ для спиновых волн приводят к частичному подавлению эффекта асимметрии, а для электромагнитных волн - к постепенной смене асимметрии, обусловленной 20 фазовьши неоднородностями, асимметрией, вызываемой в этом случае 30 амплитудными неоднородностями.

Зависимость диэлектрической проницаемости БЬ от координат ¿'(х) представляется в виде

£(х) = £ + А £ара(х) + Агррр(х), (18)

где £ - средняя величина параметра, Аеа и Ае - амплитудные и фазовые среднеквадратичные отклонения, соответственно. Была рассмотрена БЦ имеющая синусоидальную зависимость диэлектрической проницаемости £ от координаты г в исходном состоянии, когда случайные неоднородности отсутствуют. Функция рр(х) представляется в форме (1).

Для электромагнитных волн в скалярном приближении волновое уравнение в SL может быть представлено в виде

V2E + v[l - (Asa / е)ра{х) - (/ е)рр (х)]Б = 0, (19)

где v-a(colcf И с - скорость света в вакууме. Образ Фурье усредненной функции Грина для уравнения (18) имеет следующий вид

' 1 1 G(fi>,k) =

(20)

' (2тг)3 v-k2 -Ма(о)Л)~Мр{со,к) где м (со, к) и Мр{со,к) - массовые операторы соответственно амплитудных и фазовых неоднородностей, имеющие вид (8) с соответствующей заменой Л на -У2Д£(£у/ с)2 ■ Массовый оператор Ма для случая 3D изотропных амплитудных неоднородностей в приближении Бурре был получен в работе [6]. Массовый оператор Мр Для 2D фазовых неоднородностей представляется в виде суммы двух членов Мр (со, к) = Мр (со, к) + Мр (со, к), которые имеют вид (9).

В случае электромагнитных волн функция Грина принимает вид

/ Л „ Л2 ' '

G(a>, к) =

1

(2х)3

Afp

У. £

(Р.+Р-)

v-k2

(21)

где 7з = Ае !е, а Ра, Р+ и Р_ - функции от V и к, описывающие влияние 30 амплитудных и 20 фазовых неоднородностей, соответственно

Р =

1

1

P=-~u\^S

.2

2 Ї2

(22)

Ф-їкіа)2-к1

Для электромагнитных волн, в отличие от спиновых волн, методы непосредственного измерения формы функции Грина не разработаны. Поэтому, кроме функции Грина, мы исследуем характеристику, которая может быть непосредственно вычислена из усредненной функции Грина и сопоставлена с результатами оптических экспериментов - одномерную плотность состояний [7]

д(со) = -\0"(о),к)с1к- (23)

*0

На рис. 4 показаны динамическая восприимчивость С"(со) (а) и плотность состояний(Ь) на границе первой зоны Бриллюэна при к-кг =д/2 для различных значений среднеквадратичных флуктуаций 20 фазовых неоднородностей у2 при постоянном значении корреляционного волнового числа этих

неоднородностей кг (к2=к2/^(Аа>/с) = 1.5). Видно, что первоначальная асимметрия пиков, которая характерна для электромагнитных волн в идеальной БЬ (правый пик больше левого), исчезает, как и для случая Ш и 30 неоднородностей, при очень малых значениях у2. С дальнейшим ростом у2 появляется и возрастает такая же асимметрия в поведении низкочастотного и высокочастотного пиков на краях щели как и та, что была предсказана для спиновых волн во второй Главе: рост амплитуды левого пика и уменьшение амплитуды правого.

Из рис. 4Ъ видно, как с ростом у2 сужается и деформируется щель в плотности состояний. При этом на зависимости <¿{(0) также проявляется эффект асимметрии: если левый край щели остается практически вертикальным при уменьшении ширины и глубины щели, то правый край приобретает наклонную форму. Как и для случая спиновых волн, асимметрия в поведении пиков возрастает не только с ростом у2, но и сростом корреляционного волнового числа к2. Как и в случае спиновых волн, для различных, но не очень малых значений величин к2 и у] , графики динамической восприимчивости, соответствующие одной и той же величине произведения к2у\, близки друг к другу как качественно, так и количественно.

На рис. 5 показано влияние роста среднеквадратичной флуктуации 30 амплитудных неоднородностей на динамическую восприимчивость (а) и плотность состояний (Ь) БЬ, в которой присутствуют также 20 фазовые неоднородности. Величина этих флуктуаций характеризуется параметром &за ~ ■ кривые при 5За — 0 на обоих рисунках соответствуют отсут-

ствию ЗБ неоднородностей и описывают эффект асимметрии, обусловленный 20 фазовыми неоднородностями с неизменными характеристиками (У2 ~ 0.51,к2 — 0.3). Видно, что рост флуктуаций 30 неоднородностей £^ при постоянном значении корреляционного волнового числа этих неоднородно-стеи кЪа (кЪа=кЪа!Л(Аа)1 с) = 1.0), приводит к уменьшению амплитуды обоих пиков динамической восприимчивости и к уменьшению глубины щели в плотности состояний. Однако, эффект асимметрии по-прежнему четко проявляется как на динамической восприимчивости, так и на плотности состояний. Было также исследовано влияние 30 амплитудных неоднородностей на динамическую восприимчивость и плотность состояний электромагнитных волн в БЬ, в

(ю- оЯ/ А со

Рис. 4. Влияние 2В фазовых неоднородностей на функцию Грина С (б)) (а) и плотность состояний ^(<у) (¿) электромагнитных волн в БЬ. Тонкая линия на рис. (Ъ) соответствуют g(co) для однородной диэлектрической среды в отсут-| ствии БЬ. к2 = к2 / у[ё(Аа>/с) —1.5; сог IА со = 2.5 •

(со- сор/ А со

Рис. 5. Влияние ЗВ амплитудных неоднородностей на функцию Грина С>"(а>) (а) и плотность состояний g(&) (Ъ) электромагнитных волн в БЪ, содержащей 2В фазовые неоднородности. Тонкая линия на рис. (Ъ) соответствуют g(co) для однородной диэлектрической среды в отсутствии ЭЬ. к2 =0.3, =0.3, кЪа =/г3п/л/^(Ай)/с) = 0.3; а>г/ Аго = 2.5.

- 18-

Рис. 6. Влияние ЗЭ амплитудных неоднородностей на функцию Грина С"{со) электромагнитных волн в 8Г. = кЪа /л[е(Асо!с) = 0.3 ■

Рис. 7. Влияние ЗБ амплитудных неоднородностей на функцию Грина С"{со) спиновых волн в содержащей 215 фазовые неоднородности. лг2 = 0.3, у\ = 0.51, кЪа =1.0. .

которой отсутствуют какие-либо другие неоднородности. Оказалось, что такие неоднородности сами по себе приводят к эффекту асимметрии как в амплитудах пиков восприимчивости, так и в форме плотности состояний. Однако, зависимость этой асимметрии от у\ для 2D неоднородностей (рис. 4) и от £3 для амплитудных неоднородностей (рис. 6) существенно различна.

В связи с обнаруженным эффектом асимметрии, возникающим в спектральных характеристиках электромагнитных волн под действием только 3D амплитудных неоднородностей, было проведено исследование таких неоднородностей на динамическую восприимчивость спиновых волн. Было показано, что такие неоднородности приводят как к симметричному уменьшению по амплитуде, так и симметричному расширению пиков функции Грина. На рис. 7 показано влияние 3D амплитудных неоднородностей на динамическую восприимчивость спиновых волн в SL, содержащей 2D фазовые неоднородности с неизменными характеристиками. Видно, что увеличение среднеквадратичной флуктуации 3D неоднородностей, в отличие от случая электромагнитных волн (рис. 5), приводит к подавлению эффекта асимметрии, обусловленного 2D фазовыми неоднородностями.

Постановка целенаправленных экспериментов по обнаружению исследованных эффектов способствовала бы развитию радиоспектроскопических методов идентификации присутствия 2D неоднородностей в SL. Такие эксперименты желательно проводить комплексно с экспериментами по исследованию малоуглового рассеяния рентгеновского излучения на тех же образцах. При наличии 2D неоднородностей, радиоспектроскопическими методами будет наблюдаться появление дополнительного затухания во 2-ой зоне Бриллюэна SL, асимметрия пиков восприимчивости на границе зоны Бриллюэна SL, а методами малоуглового рассеяния - хорошо исследованные теоретически резонансные эффекты в диффузной области спектра рассеяния и характерное распределение полос интенсивности на плоскости кхк волновых векторов.

1) Предсказан эффект асимметрии амплитуд и ширин пиков динамической восприимчивости (функции Грина) на краях 1-ой запрещенной зоны спектра спиновых волн в синусоидальной сверхрешетке, возникающий под действием фазовых ТО неоднородностей, моделирующих случайные синфазные деформации интерфейсов сверхрешетки.

2) Показано, что этот эффект является прямым следствием особенностей закона сохранения энергии падающей и рассеянной волны, характерных только для фазовых 20 неоднородностей.

3) Показано, что эффект асимметрии возрастает как при увеличении среднеквадратичной флуктуации, так и корреляционного волнового числа фазовых 20 неоднородностей.

4) Показано, что эффект асимметрии амплитуд и ширин пиков динамической восприимчивости под действием 20 фазовых неоднородностей имеет место для всех нечетных запрещенных зон спектра спиновых волн в мультислойной структуре (сверхрешетке с прямоугольным профилем изменения материального параметра). С ростом номера зоны, этот эффект проявляется при все более малых значениях среднеквадратичных флуктуаций неоднородностей.

5) Для электромагнитных волн в оптических сверхрешетках рассчитано проявление эффекта асимметрии, обусловленного 20 фазовыми неоднородностями, как в амплитудах и ширинах пиков динамической восприимчивости, так и форме функции плотности состояний.

6) Показано, что 30 амплитудные неоднородности материала слоев сверхрешетки для спиновых волн приводят к частичному подавлению эффекта асимметрии, а для электромагнитных волн - к постепенной смене асимметрии, обусловленной 20 фазовыми неоднородностями, асимметрией, вызываемой в этом случае 30 амплитудными неоднородностями.

7) Обсуждены возможности и условия экспериментального наблюдения предсказанного эффекта асимметрии спектральных характеристик волн в сверхрешетках.

1. Игнатченко В.А., Маньков Ю.И., ЦикаловД.С. Высокочастотная восприимчивость сверхрешетки с двумерными неоднородностями. // ЖЭТФ. -2008.-Т. 134.,Вып.4.-С. 706-715.

2. Маньков Ю.И., Цикалов Д.С. Высокочастотная восприимчивость многослойной ферромагнитной системы с двумерными неоднородностями. // ФТТ. - 2010. - Т. 52., Вып. 3. - С. 505-513.

3. Игнатченко В.А., Цикалов Д.С. Спектральные свойства волн в сверхрешетках с двух- и трехмерными неоднородностями. // ЖЭТФ. - 2011. - Т. 140., Вып. 2.-С. 268-281.

4. Ignatchenko V.A. and • Tsikalov D.S. Combined effects of 2D and 3D inhomogeneities on the dynamic susceptibility of superlattices. // Solid State Phenomena. - 2011. — V. 168-169. - P. 97-100.

5. Ignatchenko V.A., Mankov Yu.I., and Tsikalov D.S. High-frequency susceptibility of superlattices with two-dimensional inhomogeneities. // Book of Abstracts. Moscow International Symposium on Magnetism (MISM-2008). - June 20-25. -2008. - Moscow, Russia. - P. 113-114.

6. Маньков Ю.И., Цикалов Д.С. Высокочастотная восприимчивость слоистой структуры с двумерными неоднородностями. // Труды конференции. XXI Международная конференция «Новое в магнетизме и магнитных материалах» (НМММ-2009). - 28 июня - 4 июля. - 2009. - Москва. - С. 904-906.

7. Ignatchenko V.A. and Tsikalov D.S. Combined effects of 2D and 3D inhomogeneities on the dynamic susceptibility of superlattices. // Abstract Book. Euro-Asian Symposium «Trends in MAGnetism» Nanospintronics (EASTMAG-2010). - June 28 - July 2. - 2010. Ekaterinburg, Russia. - P. 327.

Список цитируемой литературы

[1] Ignatchenko V.A. and Mankov Yu.I. Spectrum of waves in stochastically modulated superlattices. // Phys. Rev. B. - 1997. - V. 56., N. 1. - P. 194-205.

[2] Ignatchenko V,A., Maradudin A.A., and Pozdnaykov A.V. Spin-wave susceptibility of partially disordered multilayers. // Phys. Met. Metallogr. -2001. -V. 91., N. 1- P. 69-73.

[3] Ignatchenko V.A., Mankov Yu.I., and Maradudin A.A. The spectrum and damping of waves in partially randomized multilayers. // J. Phys.: Condens. Matter. -1999.-V. 11.-P. 2773-2790.

[4] Holy V. and Baumbach T. Nonspecular x-ray reflection from rough multilayers. // Phys. Rev. B. - 1994. - V. 49., N. 15. - P. 10668-10676.

[5] Bourret R.C. Propogation of randomly perturbed fields. // Nuovo Cimento. -1962 - V. 26. - P. 1; Canad.' J. Phys. - 1962. r V. 40. - P. 782-790.

[6] Игнатченко B.A., Исхаков P.C. Спиновые волны в случайно-неоднородной

анизотропной среде. // ЖЭТФ. - 1977. - Т. 72. _

[7] MaderK.A. and WangL.-W. Electronic consequences of random layerthickness fluctuations in AlAs/GaAs superlattices. // J. Appl. Phys. - 1995. -V. 78., N. 11. -P. 6639-6657.

Подписано в печать 10.01.2012.

Формат 60x84/16. Уч.-изд. л. 1.

Уел. печ. л. 1.5. Тираж 70. Заказ № 1.

Отпечатано в типографии Института физики СО РАН. 660036, Красноярск, Академгородок, ИФ СО РАН.

61 12-1/1013

УЧРЕЖДЕНИЕ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК ИНСТИТУТ ФИЗИКИ им. Л.В. КИРЕНСКОГО СИБИРСКОГО ОТДЕЛЕНИЯ РАН

На правах рукописи

Цикалов Денис Сергеевич

СПЕКТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ВОЛН В СВЕРХРЕШЕТКАХ С ДВУМЕРНЫМИ НЕОДНОРОДНОСТЯМИ

01.04.07 - физика конденсированного состояния

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: д.ф.-м.н., проф. Ю.И. Маньков

Красноярск - 2011

Содержание

Введение 4

Глава 1. Волны в многослойных структурах 8

1.1 Волны в идеальных сверхрешетках..........................9

1.2 Спиновые волны в тонких пленках и сверхрешетках ... 12

1.3 Волны в сверхрешетках с неоднородностями.......18

Глава 2. Спиновые волны в синусоидальной сверхрешетке с двумерными фазовыми неоднородностями 27

2.1 Модель и корреляционная функция сверхрешетки .... 28

2.2 Функция Грина и массовый оператор для случая двумерных фазовых неоднородностей.............32

2.3 Одно- и трехмерные фазовые неоднородности ......39

2.4 Двумерные фазовые неоднородности............41

2.5 Корреляционная функция и закон сохранения энергии . 46

2.6 Выводы к Главе 2 ......................50

Глава 3. Спиновые волны в многослойном ферромагнетике с двумерными фазовыми неоднородностями 53

3.1 Модель и корреляционная функция............54

3.2 Динамическая восприимчивость..............59

3.3 Закон сохранения энергии......................................66

3.4 Выводы к Главе 3 ......................68

Глава 4. Спектральные свойства электромагнитных волн в сверхрешетках с двумерными фазовыми и трехмерными амплитудными неоднородностями 70

4.1 Модель и метод........................71

4.2 Функция Грина и плотность состояний ..........73

4.3 Одно- и трехмерные фазовые неоднородности ......75

4.4 Двумерные фазовые неоднородности............78

4.5 Двумерные фазовые и трехмерные амплитудные неоднородности ..........................80

4.6 Выводы к Главе 4 ......................86

Заключение 88

Литература 91

Введение

В настоящее время широко исследуются многослойные пленочные структуры (одномерные сверхрешетки), которые представляют собой периодически чередующиеся слои двух или большего числа материалов с отличающимися физическими свойствами. Известно, что спектр волн любой природы в периодических системах имеет зонную структуру. На краях зон Бриллюэна сверхрешетки происходит снятие вырождения и появление в спектре волн щелей (запрещенных зон). В реальных многослойных материалах периодичность в расположении слоев выдерживается лишь приближенно. Всегда имеются случайные отступления от периодичности, обусловленные природными или технологическими факторами. Возникает интерес к тому, как меняются спектральные свойства сверхрешеток при переходе от идеально периодических к случайно стохастизованным системам. Эта проблема является одной из актуальнейших областей современных исследований, так как подобные материалы широко используются в различных устройствах высоких технологий, таких как резонаторы, фильтры, зеркала и т.п., для записи и обработки информации, преобразования и детектирования спиновых, упругих и электромагнитных волн. С другой стороны, важность этой проблемы обусловлена тем, что такие исследования стимулируют появление новых математических методов и подходов в быстроразвивающейся области физики, которая характеризуется нарушением трансляционной симметрии среды.

Диссертация состоит из Введения, четырех глав, Заключения и списка литературы. Содержание работы изложено на 105 страницах, включая 35 рисунков и списка литературы из 140 наименований.

Диссертация построена следующим образом:

Глава 1 посвящена краткому экскурсу в историю развития теории периодических структур (сверхрешеток). Сделан обзор основных работ, связанных с исследованием волн различной природы (спиновых, упругих и электромагнитных) в таких структурах. Также изложена теория спиновых волн в тонких пленках и сверхрешетках. Приведены экспериментальные измерения обменных спиновых волн (методом спин-волнового резонанса) и бегущих магнитостатических волн (методом Бриллюэн-Мандельштамовского рассеяния света). Далее следует обзор работ, посвященных волнам в сверхрешетках с неоднородностями. Перечислены основные направления исследований. Особое внимание уделено двумерным и трехмерным фазовым неоднородно-стям (соответственно, коррелированным и некоррелированным шероховатостям интерфейсов сверхрешетки). Описаны эффекты, к которым приводят такие неоднородности структуры сверхрешетки при их исследовании методом малоуглового рассеяния рентгеновских лучей.

Глава 2 посвящена исследованию динамической восприимчивости, изначально синусоидальной одномерной сверхрешетки при наличии в ней двумерных фазовых неоднородностей, моделирующих коррелированные шероховатости интерфейсов сверхрешетки. В приближении Бурре найдено аналитическое выражение для усредненной функции Грина синусоидальной сверхрешетки с двумерными фазовыми неоднородностями. Для волн, распространяющихся в направлении оси сверхрешетки, обнаружено своеобразное поведение мнимой части функции Грина, заключающееся в существенном различии

между пиками, соответствующими краям запрещенной зоны в спектре волн. Амплитуда пика, соответствующего краю зоны с меньшей частотой, возрастает при росте среднеквадратичных флуктуаций двумерных неоднородностей, при этом ширина пика не меняется, в то время как пик, отвечающий краю запрещенной зоны с большей частотой, расширяется и резко уменьшается по высоте. Оба пика смещаются к центру щели. Эти эффекты объясняются своеобразием законов сохранения энергии падающей и рассеянной волны для двумерных неоднородностей в одномерной сверхрешетке.

Глава 3 посвящена исследованию динамической восприимчивости другой периодической структуры - слоистой системы, которая более адекватна реальным структурам, при наличии в ней двумерных фазовых неоднородностей. Показано, что эффект асимметрии пиков мнимой части функции Грина на границе первой зоны Бриллюэна, обусловленный двумерными фазовыми неоднородностями, имеет место на всех нечетных границах зон Бриллюэна такой сверхрешетки. Эти эффекты, первоначально обнаруженные на границе первой зоны Бриллюэна синусоидальной сверхрешетки, объясняются, как и ранее, своеобразием законов сохранения энергии падающей и рассеянной волны в сверхрешетке с двумерными фазовыми неоднородностями. Показано, что с увеличением номера зоны Бриллюэна уменьшается значение относительных среднеквадратичных флуктуаций двумерных фазовых неоднородностей, при котором происходит исчезновение пика на краю щели с большей частотой.

Глава 4 посвящена исследованию динамической восприимчивости и одномерной плотности состояний электромагнитных волн в изначально синусоидальной сверхрешетке с одновременным присутствием двумерных фазовых неоднородностей, моделирующих коррелированные шероховатости интерфейсов сверхрешетки, и трехмерных амплитудных неоднородностей ма-

териала слоев сверхрешетки. Показано, что эффект возрастания асимметрии величин пиков динамической восприимчивости на границе зоны Бриллюэна сверхрешетки при увеличении среднеквадратичных флуктуаций двумерных неоднородностей, проявляется также и в асимметрии формы функции плотности состояний. Показано, что трехмерные амплитудные неоднородности материала слоев сверхрешетки для спиновых волн приводят к частичному подавлению эффекта асимметрии, а для электромагнитных волн - к постепенной смене асимметрии, обусловленной двумерными фазовыми неоднород-ностями, асимметрией, вызываемой в этом случае трехмерными амплитудными неоднородностями.

В Заключении приводятся основные результаты, полученные в ходе диссертационного исследования.

На защиту выносятся следующие основные положения:

1. Предсказание эффекта асимметрии динамической восприимчивости и плотности состояний спиновых и электромагнитных волн в сверхрешетках под действием двумерных фазовых неоднородностей, моделирующих синфазные шероховатости интерфейсов.

2. Обоснование того, что этот эффект является прямым следствием особенностей закона сохранения энергии падающей и рассеянной волны, характерных только для двумерных фазовых неоднородностей.

3. Расчет зависимостей функций, характеризующих эффект асимметрии динамической восприимчивости и плотности состояний от величин среднеквадратичных флуктуаций и корреляционных волновых чисел как двумерных фазовых, так и трехмерных амплитудных неоднородностей, моделирующих неоднородности материала слоев сверхрешетки.

4. Обсуждение условий обнаружения, предсказанного в диссертации, эффекта асимметрии.

Глава 1

Волны в многослойных структурах

Глава посвящена краткому экскурсу в историю развития теории периодических структур (сверхрешеток). Сделан обзор основных работ, связанных с исследованием волн различной природы (спиновых, упругих и электромагнитных) в таких структурах. Также изложена теория спиновых волн в тонких пленках и сверхрешетках. Приведены экспериментальные измерения обменных спиновых волн (методом спин-волнового резонанса) и бегущих магнитостатических волн (методом Бриллюэн-Манделъштамовского рассеяния света). Далее следует обзор работ, посвященных волнам в сверхрешетках с неоднородностями. Перечислены основные направления исследований. Особое внимание уделено двумерным и трехмерным фазовым неод-нородностям (соответственно, коррелированным и некоррелированным шероховатостям интерфейсов сверхрешетки). Описаны эффекты, к которым приводят такие неоднородности структуры сверхрешетки при их исследовании методом малоуглового рассеяния рентгеновских лучей.

1.1. Волны в идеальных сверхрешетках

В настоящее время физика кристаллов достигла впечатляющих результатов. Этому способствовало развитие теории кристаллических материалов, которое началось с исследования простейших моделей, обладающих трансляционной инвариантностью. В частности, исследовались периодические многослойные одномерные структуры [1-6] и поведение в них электронов, а так же волн различной природы.

По мере развития физики кристаллических сред, исследователи все чаще встречались с ситуацией, когда в материале помимо периодичности, обусловленной кристаллической решеткой, существует изменение одного или нескольких физических параметров с периодом, превосходящим в десятки раз решеточный параметр Исследование таких структур, получивших название сверхрешеток, интенсифицировалось, когда возникла возможность их изготовления и открылись перспективы их технического применения. Оказалось, что теоретические модели, использовавшиеся на заре развития физики кристаллов, непосредственно могут быть использованы для исследования сверхрешеток. Последнее относится и к распространению различных волн (электромагнитных, упругих, спиновых и т.д) в таких структурах, чему посвящено много исследований, основные результаты которых нашли отражение в монографиях [7-10] и обзорах [11,12].

Дополнительная периодичность (помимо обусловленной кристаллической решеткой), которая характеризуется периодом сверхрешетки I и вектором обратной сверхрешетки q = д = 2к/1) приводит в сверхрешетке к образованию зонной структуры в длинноволновой области спектра волн. На границах зон Бриллюэна при величине волнового вектора к = щ/2 происходит снятие вырождения и появление в спектре запрещенной зоны или щели Ашп. Ее ширина определяется параметром сверхрешетки Л (относительной величиной изменения физических параметров соседних слоев) и номером зоны п. Закон дисперсии волн в сверхрешетке, и, в частности, ширина

запрещенной зоны, в сильной степени определяется геометрической структурой профиля модуляции материального параметра сверхрешетки. В теоретических исследованиях часто рассматриваются две модели пространственной модуляции этого параметра, допускающие точные решения задачи распространения волн в сверхрешетках. Наиболее простой, с математической точки зрения, является модель с прямоугольным профилем модуляции (кусочно постоянная сверхрешетка). Для элементарных возбуждений в такой структуре решение имеет вид плоских волн в каждом слое, а соотношения между амплитудами волн определяется из условий их сшивки на границах между слоями и из условия периодичности. В результате получается трансцендентное уравнение для нахождения закона дисперсии и (к) (уравнение Кронига-Пенни [5]). В такой модели требуется знать граничные условия. Для электрона в сверхрешетке используют граничные условия БенДаниэля-Дюка [13] (см. так же [14, 15]). В случае ферромагнитной сверхрешетки (магнонного кристалла), используются граничные условия Гоффманна [16] (см. так же [17-20]). Аналогичные граничные условия сформулированы и для упругих волн. Модель с прямоугольным профилем модуляции широко использовалась при исследовании в сверхрешетках электронов [14,15], электромагнитных [21-27], упругих [28-33] и спиновых [34-48] волн. В сверхрешетке с прямоугольным профилем, сформированной слоями с разными значениями величины параметра анизотропии, при А 1 на границах нечетных зон Бриллюэна ширина щели в спектре спиновых волн Асоп ~ А/п, а на границах четных зон Ашп ~ (А/п)2 [46,52-54]. На рис. 1.1 показан схематический вид спектра спиновых волн в ферромагнитной сверхрешетке с прямоугольным профилем модуляции величины параметра анизотропии.

В другой модели сверхрешетки, позволяющей найти точное решение волнового уравнения, используется синусоидальная модуляция материального параметра. В этой модели волновое уравнение приводится к уравнению Матье, при этом ширина щели в спектре волн определяется собственными значениями этого уравнения (см., например, [46,49]). В частности, в ферро-

60 50 ^ 40

о

О

& 30

ад

3 20 10

о

Рис. 1.1. Спектр спиновых волн в схеме расширенных зон для ферромагнитной сверхрешетки с прямоугольным профилем модуляции величины параметра анизотропии.

магнитной синусоидальной сверхрешетке с неоднородным параметром анизотропии при А <С 1 (предел узких запрещенных зон) на границах зон Брил-люэна Асип ~ Хп. Степенная зависимость от А при малой величине этого параметра дает возможность при исследовании спектра волн в синусоидальной сверхрешетке в окрестности границы первой зоны Бриллюэна пренебречь запрещенными зонами на границах всех остальных зон Бриллюэна. Волны в синусоидальной сверхрешетке были исследованы в работах [46,50,51].

Рассматривались также и другие профили модуляции. В работе [52] была предложена модель сверхрешетки, в которой зависимость материального параметра описывается эллиптическим синусом Якоби. Существуют модели сверхрешетки с линейным [55] и синусоидальным [56] изменением материального параметра на границе слоев, внутри которых величина параметра постоянна.

В эксперименте исследуются либо стоячие обменные волны (метод спин-волнового резонанса - СВР, см., например, [57-61]), либо бегущие магнитостатические волны (метод Бриллюэн-Манделыптамовского рассеяния света, см. [62-70]).

1.2. Спиновые волны в тонких пленках

и сверхрешетках

Обменные стоячие спиновые волны рассмотрим на простейшем примере идеальной ферромагнитной сверхрешетки у которой величина анизотропии периодически зависит от координаты. Плотность феноменологического гамильтониана имеет вид

П = ^(УМ)2 + ^(х)(М1)2 - НМ + ^НтМ, (1.1)

¿Л ¿1 £

где М = М(х, Ь) - намагниченность, х = {х,у, г}, а - константа обмена, /3 - константа анизотропии, 1 - орт легкой оси анизотропии, Н - внешнее магнитное поле, Нш - магнитодипольное поле, связанное с намагниченностью уравнениями Максвелла. Уравнением движения намагниченности является уравнение Ландау-Лифшица

М + д [М х НеЯ] =0, (1.2)

где д - гиромагнитное отношение

Здесь е - заряд электрона, т - его масса покоя, с - скорость света в вакууме, д3 - фактор спектроскопического расщепления и Ней - эффективное поле, которое находится следующим образом

н* = -^4- 8 т м 4Л

/шу [ }

\dxij

/

н

р2 Р1 р2 р

м

о

ш

Рис. 1.2. Ферромагнитная сверхрешетка, составленная из слоев с различной величиной параметра анизотропии (3.

Не® = Н + /3(х)М1 - 4тгМ + скУ2М. (1.5)

Направления внешнего магнитного поля Н, постоянной составляющей намагниченности Мо и оси магнитной анизотропии 1 совпадают с направлением оси сверхрешетки г (рис. 1.2). Представим /3(х) в форме

/3(х) = /3 + Д/3/9(х),

(1.6)

где (3 - средняя величина параметра, А(3 - его отклонение; Л = А(3/(3. Функция р(х) - центрированная ((р(х)) = 0) и нормированная ((/?2(х)) = 1) периодическая функция.

После обычной линеаризации уравнения (1.2) и преобразования Фурье получаем волновое уравнение

Л

v

т = Мх + гМу, V =

и — СОо

т = 0,

Л

у^А/З

(1.7)

(1.8)

~ осдМо а

где и - частота, сио = д[Н + (¡3 — 47г)Мо] - частота однородного ферромагнитного резонанса. Отметим, что для случая упругих волн в скалярном при-

ближении в сверхрешетке с неоднородной плотностью среды р(х), мы имеем

fu\2 А л/2и2 Ар и=(-),Л = --зЛ 1.9

V s J ps¿

где