Спектральные задачи для приближений уравнения переноса методом сферических гармоник тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

На правах •рукописи

УДК 517.43

ТЕМИРБУЛАТОВ Нурлан Сериккалиевич

СПЕКТРАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПРИБЛИЖЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА МЕТОДОМ СФЕРИЧЕСКИХ ГАРМОНИК

01.01.01 — математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва — 1996

Работа выполнена на кафедре теории функций и функционального анализа механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.

Научный руководитель . — доктор физико-математических наук,

профессор А. А. Шкаликов

Официальные оппоненты — доктор физико-математических наук.

профессор В. В. Жиков

— кандидат физико-математических наук В. Е. Подольский

Ведущая организация — Московский Энергетический Институт

Защита диссертации состоится » §М " ^РЯб^^лИ- 1996 г. в 16 час. 05 мин. на заседании диссертационного совета Д.053.05.04 при Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: 119899, Москва, Воробьевы горы, МГУ, механико-математический факультет, ауд. 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (14-й этаж).

«М " ШРЛ^гЛ-

Автореферат разослан » НЛ " UAJxbUti&y 1996 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.053.05.04 при МГУ, доктор физико-математических наук, профессор

Т. П. Лукашенко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность темы.

Линейные уравнения переноса возникают в связи с проблемами диффузии нейтронов, переноса излучения, в теории плазмы, в атмосферной оптике и в других областях.

С развитием атомной науки и техники задачи теории переноса были подвергнуты разносторонним исследованиям.

Одной из важных проблем является анализ спектральной задачи отвечающей уравнению переноса. Первые строгие результаты по спектральным задачам для уравнения переноса были получены в серии работ Ж.Ленера и М.Винга (1955-1902). Ими была исследована следующая задача

ди а$ , ,

У иКх^)с1И =-ли, (1)

!и(0,/х) = 0 при /х > О

(2)

и(1,ц) = 0 при ц < 0,

где х, /1 - независимые переменные, ав - физическая константа, а А.- спектральный параметр.

После появления этих работ резко возрос интерес к математическим аспектам линейной теории переноса. Из последующих работ следует выделить работы К.Иоргенса, С.Альбертони и Б.Монтанини, а также С.Б.Шихова, в которых исследуются более общие уравнения.

Прогресс в вычислительной технике способствовал развитию приближенных методов решения кинетических уравнений. Одним из эффективных алгоритмов численного решения уравнений переноса является метод сферических гармоник (МСГ). Среди приближенных методов МСГ выделяется теоритической разработкой и широким использованием при решении прикладных задач, становится особенно очевидным, если принять к сведению Необходимо также отметить, что классическая диффузионная 'модель есть частный случай общего метода сферических гармоник.

В разработке метода сферических гармоник принимали участие С.Чандрасекар, Р.Маршак, Б.Дзвисон, Г.И.Марчук, В.С.Владимиров, У.М.Султангазпн, В.В.Смелов, Г.Я.Румянцев и другие.

В этой свяли совершенно естественно возникает задача о спектре соответствующих приближений уравнения переноса (так называемых Рп - приближений). Эти задачи ранее не исследовались, им-и посвящена настоящая диссертация.

Цель работы.

1. Спектральный анализ приближений уравнения переноса и исследование вопросов полноты, минимальности и базисности собственных и присоединенных функций (С'ПФ) этих приближений.

2. Изучение вопросов сходимости собственных значений (С'З) и собственных функций (СФ) приближения к СЗ и СФ исходной задачи с ростом порядка приближения.

Общая методика.

Спектральные задачи для приближений МСГ уравнения переноса сводятся к задачам для самосопряженного квадратичного пучка в специально выбранном гильбертовом пространстве и применяются методы спектральной теории операторных пучков. В работе широко используются методы теории возмущений линейных операторов, методы теории эллиптических краевых задач.

Новизна результатов.

Как уже отмечалось, ранее спектральные задачи связанные с приближениями МСГ уравнения переноса не исследовались. Все результаты работы являются новыми и основные из них следующие:

1. Получена запись в виде квадратического пучка спектральных задач для приближений, а также для самого уравнения переноса.

2. Исследовано распределение спектра приближений.

3. Доказана сходимость СЗ из правой полуплоскости и соответствующих им СФ Р„ - приближений к СЗ и СФ исходной задачи при п —> оо.

4. В связи с тем, что Р1 -приближение очень часто используется в

практических расчетах, я также совпадает с классическим уравнением диффузии, отдельно исследованы соответствующие им спектральные задачи в случаях плоскопараллельной и трехмерной областей. Получены теоремы о полноте, минимальности и базисности СПФ.

Приложения. Полученные результаты и развитые методы могут использоваться в дальнейших исследованиях спектральных задач, возникающих в уравнениях переноса. В частности, они могут использоваться специалистами математического института им. В.А.Стеклова, Московского Физико-Технического Института, Казахского Государственного Университета и других математических центров и университетов.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященной 95 -летию со дня рождения И.Г.Петровского в 1996 году, на 7-ой Крымской осенней математической школе-симпозиуме по спектральным и эволюционным задачам (Крым, Севастополь, 1996 год), на научных семинарах по спектральной теории кафедры теории функции и функционального анализа мех-мат. факультета МГУ, руководимых А.Г.Костюченко, А.А.Шкаликовым и С.А.Степиным.

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в работах автора, приведенных в конце автореферата.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы из 40 наименований. Общий обьем работы 81 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ.

Во введении дается краткая историческая справка по кругу вопросов, имеющих отношение к теме диссертации и излагается содержание работы.

Первая глава состоит из пяти параграфов и посвящена спектраль-

ному анализу Р„ - приближений МС'Г краевой задачи для уравнения переноса в плоскопараллелыюй области. Случай п = 1 важный, он выделен и рассмотрен отдельно.

Рп - приближение (» = 2к — 1) спектральной задачи (1)-(2) методом сферических гармоник имеет вид

Эх дуо ,

\ , п

Ауо + --osy0 = О

3:1:

ЗА У1 + 2= О а. г ах

{2i + 1)Лу,+?^1 + (»'+!)

ду

¿+1

дх

= 0, ?' = 0,1,

(2?г - l)Ay„_i + [п - 1)—— + ?7—— = О

ах дх

(2п + 1)Ауп + — 0,

дх

Г

^QmiViW = О, Ûmi = (2i + 1) / PiUl)p2m+l(t-l)dn,

i=0 {

°

^6mij/,(l) = о, 6mi = (2г + 1) / pi{n)p2m+\{p)dn, i=0

г — 0,1 m = 0,1,..., к — 1.

Данная спектральная задача сводится к задаче для квадратического пучка операторов. А именно, справедлив следующий результат.

Теорема 1. Спектр задачи, соответствующей Рп - приближению уравнения переноса, совпадает со спектром самосопряженного квадратичного операторного пучка

Ln(A) = А„А2 + В„А + С„ =

'F G 'D

0 а2 + Е а + D J,

0 Е -D

действующего о пространстве

Н„ = [0,1] х С2<\

<

состоящего из элементов

у п = {у(:г),п,ь},

с нормой

Ну»Н5/ = Г \у\2сЬ + \а\2+\Ь\\ J о

Оператор J определяется равенством

Jyn = J{y(.r),y(0),y(l)} = {y"(.i:),y'(0),J/'(l)}

на области

D(J) = {yn 6 Н„|у„ = {у (.т-),у(0),у(1)},у{х) в (ÍV22[0,1])*},

а F, G, Е, D - числовые к ~х к - матрицы, угоэффициенты которых выражаются через as и выписанные ранее числа a,mi и bmi■ При этом F, Е, —D >0, G > —asI, где I тождественная матрица.

Указанные свойства операторных коэффициентов позволяют доказать следующую теорему о спектре пучка Ln(A), а тем самым, и спектре Р„ - приближений .

Теорема 2. Спектр пучка Ln(A) дискретен, симметричен относи-

as

тельно вещественной оси, расположен в полуплоскости Re А < —

и на отрезке ("^"i0^]' гс'е лежит конечное число вещественных СЗ.

Собственные значения из положительного типа и у соот-

ветствующих им СФ нет присоединенных.

Далее рассматривается вопрос о сходимости СЗ и СФ Р„ - приближения к собственной паре исходной задачи (1)-(2) при п оо.

Получена запись задачи (1)-(2) в виде квадратичного пучка операторов. Верна

Теорема 3. Спектр задачи (1)~(2) для уравнения переноса совпадает со спектром самосопряженного квадратичного операторного пучка

L(A) = АА2 + ВА + С =

о

о

л2 +

-ов /г/// о

Л +

действующего в пространстве

Н = £,2([0,1]х[0,1])х^([0,1]), состоящего из элементов

с нормой

11 1 1

ы2„ = у л-у + у Ы1>)\2Ф,.+у ы,^2^.

0 0 о о

Оператор 7о определяется равенством

д2г(х,ц) дг(0,ц) дг(1,ц)

30ъ = 7о{2(а;,/4),г(0,/0.г(1,/х)} =

на области

дх2

дх

дх

С привлечением результатов Г.Вайникко, О.Карма о сходимости собственных пар семейства голоморфных оператор функций в области фредгольмовости доказана следующая

Теорема 4. Пусть сг(Ь) и сг(Ьп) - спектры задачи (1)-(2) и ее Р„ -приближений, соответственно. Тогда справедливы следующие утверждения:

1. Для каждого А 6 сг(Ь) П С1" (здесь С+ открытая правая полуплоскость) существует последовательность {Ап} £ а(Ъп), такая что Ап —> А при п оо.

2. Если {А„} £ сг(Ь„), Ап А € С+ при п £ Nl С п оо, то Леа(Ъ).

3. Если (Ап,уп) - собственная пара приближения, ||уп|| = 1, А„ —¥ А € С+ при п —> оо, то существуют Ы' С N и вектор г €Е Н, ||г|| = 1, такие что ||уп — Рпъ\\ 0, при п £ И', п -> оо, причем ъ - СФ задачи (1)-(2).

о

В заключительном параграфе первой главы рассматривается Р| - приближение. Задача, отвечающая Р[ - приближению имеет вид

' Х2у(х)-аАу(х)-1-у"(х)=,0 < |а.У(0) - |т/'(0) = 0 (3)

В этом случае удается вычислить асимптотику СЗ, оценить количество вещественных С'3 и получить теорему о базисности производных цепочек Келдыша.

Введем обозначения а = —, а = - и пусть во =0, в\, в-г,---

^ ^ О

корпи трансцендентного уравнения Ьцв =--на интервале [0,+со)

а

пронумерованные по возрастанию. Справедлива следующая

Теорема 5. Спектральная задача для Р) - приближения уравнения переноса частиц в плоскопараллельноЛ области имеет, счетное число комплексных СЗ с асимптотикой

= 1п(7 + 4%/3) + ¿4=Ь- + к е 2.

^ \/3 V 3 л

и конечное число вещественных СЗ, лежащих на интервале [0,ст5).

Относительно количества вещественных СЗ можно сказать следующее:

— если 0 < а < ж^/а, то имеется только одно вещественное СЗ А = 0;

— если тг^/а < а < 2жл/а, то имеется либо одно, либо три вещественных СЗ (при тг^/а. < а < вх - одно, при д\ < а < 2тт^/а. - три);

— если 27Гл/я < а < Зжу/а, то имеется ровно три СЗ;

— если 37r^/o < а < Атг^/а, то имеется либо три, либо пять СЗ (при Ъ-п^/а < а < 9-2 - три, при #2 < а < Атгу/а - пять) и.т.д.

При стремлении а = —> +оо, количество вещественных СЗ тоже стремится к бесконечности.

Задачу (3) перепишем в следующем виде относительно вектор функций V = {^cbV]}

H{v0,vi) = {vi, CIVQ + a2i>0} = ß{vo,Vi}, ß = А - а,

Ux : vi(0) + avo(0) - 2аи£(0) = 0, U2: г>] (1) + cu>o(l) + 2av'0(\) = 0. "

При целых к > 0 рассмотрим следующие функциональные пространства:

W-2 у = {€>|f> = {w0, г;,} е И^+1 х W2k и удовлетворяют

Uj(v) = 0, Uj(Hv) = 0,..., Uj(Hkv) = 0, j = 1,2}.

Теорема 6. Производные по Келдышу цепочки, построенные по канонической системе СПФ задачи (3) образуют базис Рисса в пространствах W-2 у, г = 0,1,...

Напомним, что в случае простых собственных значений Хк производные по Келдышу цепочки имееют вид у к — {Ук,^кУк}, где xjk СФ задачи (3).

Вторая глава состоит из четырех параграфов и посвящена спектральному анализу Pi - приближения МСГ краевой задачи для уравнения переноса в трехмерной области.

Система уравнений Pi - приближения уравнения переноса в трехмерной области G имеет следующий вид:

дфп

+ V0J + о0фо = 0

dt

dt 3 (201 )п — Фо = 0 на 8G, здесь фо -скаляр, фх — (ф\, ф-j, фз) -вектор.

Соответстующая этой системе спектральная задача сводится к квад-ратическому пучку. Для этого задача записывается в виде

-аАу(х) + (А2 - а2)у(х) = 0

1 О» ,

где а = а = —-; а, - физическим параметр, ¡1. - спектральный

о ¿. параметр.

Верна следующая

Теорема 7. Спектр задачи, соответствующей Р1 - приближению уравнения переноса, совпадает со спектром квадратичного операторного пучка

= А//2 + Ъц + С + Е.

действующего в пространстве

Н = £2(0) х £2(ас?), состоящего из элементов

у = {у{х),ф{х)}, у{х) £ Ь2(С), ф{х)£Ь2{дС)

с нормой

Цу|1я = (!1»(х)Щя(о) +

Операторные коэффициенты пучка имеют следующие свойства: Оператор С неотрицателен и существенно самосопряжен, причем (С + 1)-1 € ор при р > 1, где С замыкание оператора С. Операторы А, В, К - ограниченные самосопряженные в пространстве Н.

Каждой цепочке СПФ у0,у1,- • • задачи (4), отвечающей СЗ (щ соответствует цепочка СПФ у0,у1,...,у" пучка отве-

чающая тому же СЗ ¡мз , при этом <2у* =у", 5 = 0,... ,р. (Здесь <3 ортопроектор на первую компоненту в пространстве №.)

Затем показывается, что задача является эллиптической с параметром в смысле Аграновича-Вишика и доказывается следующая теорема о локализации спектра.

Теорема 8. Спектр задачи Р1 - приближения дискретен, симметрично расположен относительно вещественной оси. В полуплоскости ЛеЛ > ^ СЗ задачи лежат на отрезке ("тр*7»] > опи положительного типа и у соответствующих СФ нет присоединенных. В полуплоскости Не А < за исключением конечного числа точек,.

находятся в произвольно малых углах, примыкающих к оси ЯеА =

Используя результаты работ А.А.Шкаликова и А.В.Шкреда получена полнота и минимальность производных цепочек по Келдышу рассматриваемой задачи в соответствующих произведениях пространств. А именно, справедлива

Теорема 9. Система всех элементов

где - каноническая система СПФ задачи (4), полна и минимальна в пространстве

Я1 {в) х Ь2(С).

Система

у£ = М, + у£-1} = {»£, унк\эо, + г/£'1}

полна и минимальна е пространстве

Ь2{в) х 12{дв) х = Н х ¿2(С).

В заключение я искренне благодарю доктора физико - математических наук, профессора А.А.Шкаликова за постановку задач, плодотворное их обсуждение и постоянное внимание к работе, а также кандидата физико - математических наук, доцента Казахского ГУ А.Ш. Акишева, за неоднократные консультации.

Работы автора, по теме диссертации

1. Те мир булат о в Н. С. Спектральная задача, связанная с Р\ - приближением по сферическим гармоникам для нестационарного односко-ростного уравнения переноса //Математические заметки 59 (1996), вып. 3. стр. 472 - 476.

2. Темирбулатов Н. С. Спектральная задача для уравнения переноса (краткое сообщение) //Успехи матем. наук 51 (1996), по 5.

3. Темирбулатов Н. С. Спектральная задача для Рп - приближения уравнения переноса //Математические заметки 60 (1996), вып. 4.

гтр 627 - 630