Спектральные задачи для приближения уравнений переноса методом сферических гармоник тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ргб оа

б ДЕК 1996

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

На правах рукописи . УДК 517.43

ТЕМИРБУЛАТОВ Нурлан Сершасалиевич

СПЕКТРАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПРИБЛИЖЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА МЕТОДОМ СФЕРИЧЕСКИХ ГАРМОНИК

01.01.01 — математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва — 1996

Работа выполнена на кафедре теории функций и функционального анализа механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.

Научный руководитель . — доктор физико-математических наук,

профессор А. А. Шкаликов

Официальные оппоненты — доктор физико-математических наук.

профессор В. В. Жиков

— кандидат физико-математических наук В. Е. Подольский

Ведущая организация — Московский Энергетический Институт

Защита диссертации состоится " 1Н » тгМФЛ _ 1996 г. в 16 час. 05 мин. на заседании диссертационного совета Д.053.05.04 при Московском государственном университете имени М. В. Ломоносовапо адресу: 119899, Москва, Воробьевы горы, МГУ, механико-математический факультет, ауд. 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (14-й этаж).

Автореферат разослан " " ЩУЛ&рЛ'_1996 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.053.05.04 при МГУ, доктор физико-математических наук, профессор

Т. П. Лукашенко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность темы.

Линейные уравнения переноса возникают в связи с проблемами диффузии нейтронов, переноса излучения, в теории плазмы, в атмосферной оптике и в других областях.

С развитием атомной науки и техники задачи теории переноса были подвергнуты разносторонним исследованиям.

Одной из важных проблем является анализ спектральной задачи отвечающей уравнению переноса. Первые строгие результаты по спектральным задачам для уравнения переноса были получены в серии работ Ж.Ленера и М.Винга (1955-1962). Ими была исследована следующая задача

{«(0, //) = 0 при ц > О

(2)

и(1, ¡г) = 0 при ^ < О,

где х, ц - независимые переменные, аа - физическая константа, а Аспектральный параметр.

После появления этих работ резко возрос интерес к математическим аспектам линейной теории переноса. Из последующих работ следует выделить работы К.Иоргенса, С.Альбертони и Б.Монтанини, а также С.Б.Шихова, в которых исследуются более общие уравнения.

Прогресс в вычислительной технике способствовал развитию приближенных методов решения кинетических уравнений. Одним из эффективных алгоритмов численного решения уравнений переноса является метод сферических гармоник (МСГ). Среди приближенных методов МСГ выделяется теоритической разработкой и широким использованием при решении прикладных задач, становится особенно очевидным, если принять к сведению Необходимо также отметить, что классическая диффузионная'модель есть частный случай общего метода сферических гармоник.

В разработке метода сферических гармоник принимали участие С.Чандрасекар, Р.Маршак, Б.Дэвисон, Г.И.Марчук, В.С.Владимиров, У.М.Султангазин, В.В.Смелов, Г.Я.Румянцев и другие.

В этой связи совершенно естественно возникает задача о спектре соответствующих приближений уравнения переноса (так называемых Р„ - приближений). Эти задачи ранее не исследовались, им-и посвящена настоящая диссертация.

Цель работы.

1. Спектральный анализ приближений уравнения переноса и исследование вопросов полноты, минимальности и базисности собственных и присоединенных функций (СПФ) этих приближений.

2. Изучение вопросов сходимости собственных значений (СЗ) и собственных функций (СФ) приближения к СЗ и СФ исходной задачи с ростом порядка приближения.

Общая методика.

Спектральные задачи для приближений МСГ уравнения переноса сводятся к задачам для самосопряженного квадратичного пучка в специально выбранном гильбертовом пространстве и применяются методы спектральной теории операторных пучков. В работе широко используются методы теории возмущений линейных операторов, методы теории эллиптических краевых задач.

Новизна результатов.

Как уже отмечалось, ранее спектральные задачи связанные с приближениями МСГ уравнения переноса не исследовались. Все результаты работы являются новыми и основные из них следующие:

1. Получена запись в виде квадратического пучка спектральных задач для приближений, а также для самого уравнения переноса.

2. Исследовано распределение спектра приближений.

3. Доказана сходимость СЗ из правой полуплоскости и соответствующих им СФ Р„ - приближений к СЗ и СФ исходной задачи при п —» оо.

4. В связи с тем, что Рд -приближение очень часто используется в

практических расчетах, а также совпадает с классическим уравнением диффузии, отдельно исследованы соответствующие им спектральные задачи в случаях п.лоскопараллелыюй и трехмерной областей. Получены теоремы о полноте, минимальности и базисности СПФ.

Приложения. Полученные результаты и развитые методы могут использоваться о дальнейших исследованиях спектральных задач, возникающих в уравнениях переноса. В частности, они могут использоваться специалистами математического института им. В.А.Стеклова, Московского Физико-Техннческого Института, Казахского Государственного Университета и других математических центров и университетов.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященной 95 -летиго со дня рождения И.Г.Петровского в 1996 году, на 7-ой Крымской осенней математической школе-симпозиуме по спектральным и эволюционным задачам (Крым, Севастополь, 1996 год), на научных семинарах по спектральной теории кафедры теории функции и функционального анализа мех-мат. факультета МГУ, руководимых А.Г.Костюченко, А.А.Шпаликовым и С.А.Степиным.

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в работах автора, приведенных в конце автореферата.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы из 40 наименований. Общий обьем работы 81 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ.

Во введении дается краткая историческая справка по кругу вопросов, имеющих отношение к теме диссертации и излагается содержание работы.

Первая глава состоит из пяти параграфов и посвящена спектраль-

ному анализу Рп - приближений МСГ краевой задачи для уравнения переноса в плоскопараллелыюи области. Случай п — 1 важный, он выделен и рассмотрен отдельно.

Ри - приближение (п — 2к — 1) спектральной задачи (1)-(2) методом сферических гармоник имеет вид

\ , дУ1 п

Ауо + ^--ОеУО = О

ах

ЗАу1 + --1-2 —

ах а

= О

+ + + + =0, / = 0,1,...,",

. ЭУн

со , / ,,Эуп_2 , дуп

(2п - 1)Хуа-1 + {п - 1)—— = 0

ах их

ах

}

'=° о

?

= 0, = (2г + 1) / Рг(м)р2т+1(/^)Ф,

¿=0 ^

г = 0,1,.. . ,гг, т = 0,1,..., к — 1.

Данная спектральная задача сводится к задаче для квадратического пучка операторов. А именно, справедлив следующий результат.

Теорема 1. Спектр задачи, соответствующей Рп - приближению уравненил перепоса, совпадает со спектром самосопряженного квадратичного операторного пучка

Ь„(А) = АПА2 + В„А + Сп =

У

0 А2 + Е А + И

0 Е -О

действующего в пространстве

Н„ = ¿£[0,1] х С2к,

<

состоящего из элементов

У» = Ы-т),

с нормой

•/о

Оператор 3 определяется равенством

Ну»II?/ = / \у\2сЬ + \а\2 + \Ь\ ./о

,2

^Уп = .7{?у(.г),з/(0),у(1)} = {у"(-1), у'(1)}

на области

ъу) = {уп 6 н„|у„ = М.*),!/(0).г/(Ш.гМ е (и/|[о, I])4},

а б, О - числовые к х к - матрицы, коэффициенты которых выражаются -через <75 м выписанные ранее числа ат{ и Ьт{. При этом ^ Е, —2? >0, С > где I тождественная матрица.

Указанные свойства операторных коэффициентов позволяют доказать следующую теорему о спектре пучка Ь,1(Л), а тем самым, и спектре рп - приближений .

Теорема 2. Спектр пучка Ь„,(А) дискретен, симметричен относительно вещественной оси, расположен в полуплоскости 11еА <

Собственные . положительного типа и у соот-

ветствующих им СФ нет присоединенных.

Далее рассматривается вопрос о сходимости СЗ и СФ рп - приближения к собственной паре исходной задачи (1)-(2) при п —>■ со.

Получена запись задачи (1)-(2) в виде квадратичного пучка операторов. Верна

Теорема 3. Спектр задачи (1)-(2) для уравнения переноса совпадает со спектром самосопряженного квадратичного операторного пучка

~ 2

и на отрезке

конечное число вещественных СЗ.

ь(л) = ал2 + вл + с =

о

о

-£Г4 / <//*

о

/О

Л +-

/о

действующего в пространстве

Н = 12([0,1]х[0,1])х£|([6,1]),

состоящего из элементов

Ъ =

с нормой

11 1 1

0 0 о о

Оператор 7о определяется равенством

с>2г(г,/|) дг(0,ц)

на области

дх2 ' дх ' д.

'А- /

Т>ш = [г £ Н| 2 = {2(1,^)^(0,^,2(1,^)}, г(х) £ ^|(0,1)}.

С привлечением результатов Г.Вашшкко, О.Карма о сходимости собственных пар семейства голоморфных оператор функций в области фредгольмовости доказана следующая

Теорема 4. Пусть ст(Ь) и сг(Ьп) - спектры задачи (1)-(2) и ее Рл -приближений, соответственно. Тогда справедливы следующие утверждения:

1. Для каждого А £ ПС+ (здесь <С+ открытая правая полуплоскость) существует последовательность {Ап} £ а(Ьи), такая что А„ —> А при п —> оо.

2. Если {А„} £ сг(Ьп), А„ -> А £ С+ при п в /V' С N, тг оо, то .А € ст(Ь).

3. Если (Аи,у„) - собственная пара приближения, ||уп|| = 1, А„ А £ <С+ при п -> оо, то существуют Л/7 С N и вектор г £ Н, ||г|| = 1, такие что ||уп — Рп%\\ —> 0, при п £ Ы', п оо, причем г - СФ задачи (!)-(&).

В заключительном параграфе первой главы рассматривается Р] - приближение. Задача, отвечающая Р) - приближению имеет вид

' Л2у(х) - а$Ху(х) - 1-у"(х) =; О < - = 0 (3)

В этом случае удается вычислить асимптотику СЗ, оценить количество вещественных СЗ и получить теорему о базисности производных цепочек Келдыша.

сгя 1

Введем обозначения а = —, а = - и пусть во = 0, &1,

2 3

4 ав

корни трансцендентного уравнения --на интервале |0,+оо)

а

пронумерованные по возрастанию. Справедлива следующая

Теорема 5. Спектральная задача для Р1 - приближения уравнения переноса частиц б плоскопараллельной области имеет счетное число комплексных СЗ с асимптотикой

Л/с = § - 4= 1а{7 + 4ч/3) + г4=Ьг + 0(}), к £ Ъ. ь уЗ \/3 к

и конечное число вещественных СЗ, лежащих на интервале [0,сг5).

Относительно количества вещественных СЗ можно сказать следующее:

— если 0 < а < ку/а, то имеется только одно вещественное СЗ Л =0;

— если 7Ту/а < а < 2ж у/а, то имеется либо одно, либо три вещественных СЗ (при п\/а < а < 9\ - одно, при #1 < а < 2жу/а - три);

— если 2тгу/а. < а < Зпу/а, то имеется ровно три СЗ;

— если Зяу/а < а < Алгу/а,, то имеется либо три, либо пять СЗ (при 37гу/а < а < в2 ~ три, при в? < а < 4ъу/а - пять) и.т.д.

При стремлении а = —> +оо, количество вещественных СЗ тоже стремится к бесконечности.

Задачу (3) перепишем в следующем виде относительно вектор функций V = {г>о, }

Д{"о,«1} = {г'г.аг'о + а2гЛ)} = /¿{г>о,1>1}> д = Л - а,

их : ы(0) + ащ(0) - 2аь'о(0) = 0,

и2: п(1) -Ьат0(1) + 2а^(1) = 0. •

При целых к > 0 рассмотрим следующие функциональные пространства:

= {«К» = {г'о,1'1} б И72+1 х Ж* и удовлетворяют

и^Т-) = 0, и,(Н-?)=0,..., иЛНк*)=0, з = 1,2}.

Теорема 6. Производные по Келдышу цепочки, построенные по канонической системе СПФ задачи (3) образуют базис Рисса о пространствах и > г = 0,1,...

Напомним, что в случае простых собственных значений Ль производные по Келдышу цепочки имееют вид у^ — {ук,^ьук}, где уь СФ задачи (3).

Вторая глава состоит из четырех параграфов и посвящена спектральному анализу Р1 - приближения МСГ краевой задачи для уравнения переноса в трехмерной области.

Система уравнении Р1 - приближения уравнения переноса в трехмерной области С имеет следующий вид:

^ + У01 + (Тофо = о

ОТ

^ + ^Чфо + спф! =0, ся 3

{2фг)п ~фо=0 на дв,

здесь фо -скаляр, = (фх, ф2, фз) -вектор.

Соответстующая этой системе спектральная задача сводится к квад-ратическому пучку. Для этого задача записывается в виде

-аДу(х) + (Л2 - а2)у(х) = 0

где а = а = -у-; (7S — физический параметр, ¡j -• спектральный параметр.

Верна следующая

Теорема 7. Спектр задачи, соответствующей Pj - приближению уравнения переноса, совпадает со спектром квадратичного операторного пучка

L (fi) = A¿Í2 + В/Л-C + R действующего в пространстве

Н = L2(G) х L2(8G),

состоящего из элементов

у = {у(х)>Ф(х)}-> у(х)еыо, ф(х)еь2(дс)

с нормой

нуИЯ = (bwiii(G) + 2og))1'2-

Операторные коэффициенты пучка имеют следующие свойства: Оператор С неотрицателен и существенно самосопряжен, причем (С +1)-1 б ар при р > 1, где С замыкание оператора С. Операторы А, В, R - ограниченные самосопряженные в пространстве Н.

Каждой цепочке СПФ у0, у1,... ,ур задачи (4), отвечающей СЗ lio соответствует цепочка СПФ у0,у1,... ,ур пучка Ъ(ц), отвечающая тому же СЗ fio , при этом. Qys = ys, s~0,...,p. (Здесь Q ортопроектар на первую компоненту L2(G) в пространстве Н.)

Затем показывается, что задача является эллиптической с параметром в смысле Аграяовича-Вишика и доказывается следующая теорема о локализации спектра.

Теорема 8. Спектр задачи Рх - приближения дискретен, симметрично расположен относительно вещественной оси. В полуплоскости Re Л > ^ СЗ задачи лежат на отрезке ("тр"7«] > опи положительного типа и у соответствующих СФ нет присоединенных. В полуплоскости ReA < за исключением конечного числа точек,.

находятся в произвольно малых углах, примыкающих к оси ReA =

Используя результаты работ А.АЛИкаликова и А.В.Шкреда получена полнота и минимальность производных цепочек по Келдышу рассматриваемой задачи в соответствующих произведениях пространств. А именно, справедлива

Теорема 9- Система всех элементов

где - каноническая система СПФ задачи (4), полна и минимальна в пространстве

Н1 (О х Ь2(С).

Система

У* = {УЬ = {У1 Ук\ес, +

полна и минимальна в пространстве

иф) х ЩОв) х £2(0 = Н х Ь2(С).

В заключение я искренне благодарю доктора фиэико - математических наук, профессора А. А.Шкаликова за постановку задач, плодотворное их обсуждение и постоянное внимание к работе, а также кандидата физико - математических наук, доцента Казахского ГУ А.Ш. Акишева, за неоднократные консультации.

Работы автора по теме диссертации

1. Темирбулатов Н. С. Спектральная задача, связанная с Р\ - приближением по сферическим гармоникам для нестационарного односко-ростпного уравнения переноса //Математические заметки 59 (1996), вып. 3. стр. 472 - 476.

2. Темирбулатов Н. С. Спектральная задача для уравнения переноса (краткое сообщение) //Успехи матем. наук 51 (1996), по 5.

3. Темирбулатов Н. С. Спектральная задача для Рп - приближения уравнения переноса //Математические заметки 60 (1996), вып. 4. стр. 627 - 630.