Спектральный анализ двух несамосопряженных краевых задач механики жидкости и газа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ЧАСТЬ I. Несамосопряженная задача, описывающая вертикальную структуру колебаний атмосферы

§ I. Постановка краевой задачи, моделирующей колебания атмосферы; энергетическая форма <£ ./2,

§ 2. Собственные значения краевой задачи {/.So) - С/. 10.): вещественность и простота . £

§ 3. Операторный пучок задачи (й-1) - (1.3) базисность системы собственных и присоединенных элементов

ЧАСТЬ II. Краевые задачи, моделирующие малые колебания капиллярной вязкой жидкости в областях с разделением переменных

§ 4. Постановка задачи о малых колебаниях капиллярной вязкой жидкости .Si

§ 5. Модельная скалярная задача .5Т

§ 6. Собственные значения векторной краевой задачи (4.0 - (У- "3) в кольце .%

§ 7. Шаровой слой капиллярной вязкой жидкости: спектр частот нормальных колебаний .9ZT

Современные математические исследования по механике сплошной среды характеризуются активным использованием методов функционального анализа и, в частности спектральной теории. В числе основных направлений таких исследований - изучение евойств нормальных колебаний и спектров их частот. Среди основополагающих в этой области отметим работы Н.Г.Аскерова,С.Г.Крей-на ж Г.И.Лаптева , А.Г.Костюченко и М.Б.Оразова t^l ; изложению результатов последних лет посвящен ряд монографий и обзоров /см. [ 3 J и имеющуюся там библиографию/.

Оказывается, что целый класс задач механики сплошной среды сводится к рассмотрению несамосопряженных краевых задач на собственные значения. В связи с исследованием устойчивости колебаний оеоьое значение имеют вопросы о числе невещественных собственных значений и полноте системы собственных функций таких задач. На некоторые из них удается ответить с помощью техники, основанной на изучении энергетических Форм /квадратичной формы кинетической энергии, формы скорости диссипации энергии/ и применении теории операторных пучков.

В диссертации рассмотрены две несамосопряженные краевые задачи на собственные значения, возникающие из механики жидкости и газа. Использование упомянутого подхода позволяет выяснить структуру спектра и установить свойства соответствующих колебательных режимов.

Содержание первой части составляет спектральный анализ краевой задачи, описывающей вертикальную структуру малых колебаний атмосферы /газовой среды, заполняющей полупространство/ относительно положения равновесия. Случай атмосферы конечной высотш был изучен ранее Л.А.Диким [^J .

В § I приводится постановка задачи о малых колебаниях и изложено сведение её к сингулярной несамосопряженной краевой задаче на собственные значения:

Ц-Ya - -* м 2 ум f a^si ~ ^ум - о рассматриваемой на полуоси Г ) с условием затухания на бесконечности х) О hp и ос —> ОО .

Здесь 5 - спектральный параметр, ^ - параметры задачи; предполагается, что функция И > О начиная с некоторого значения аргумента неограниченно и монотонно растет,

JL' н

- Сее-{)^ -+- ©р^ -77- > о - ограничена. Далее в § I вводится форма

Оо д О обсуждаются её энергетический смысл и некоторые свойства.

Цель следующего параграфа - установить вещественность и определить кратность собственных значений задачи (4) - • Это удается сделать посредством изучения формы S и использования специфики рассматриваемой задачи /в частности особенности вхождения спектрального параметра А как в уравнение ft) так и в граничное условие ^С?) /. При этом оказывается, что все собственные значения - простые, за исключением собственного значения 0io ~ в случае, когда параметры t и ое связаны соотношением

Jf Ч(ъ)К-exp (jJ(1-НМ к=

В § 3 выполнено сведение задачи (J) - (Ъ) к задаче на собственные значения для операторного пучка

Jcv где I/ и V - компактные положительные операторы в /- С & 00) /и принадлежащего тем самым классу пучков КрейнаоС '

Лангера/. Применение техники и результатов теории операторных пучков позволяет уточнить информацию о кратности собственного значения ^ ~И Устаношть св°йства двукратной полноты и базисности системы собственных и присоединенных элементов пучка ^fO) , а стало быть и задачи Основные результаты первой части содержатся в следующих двух предложениях.

Теорема 3.7-. При произвольных к > о и <эе > о все собственные значения задачи С*) ~~ С3 ) вещественные и, за исключением -, простые. Собственное значение 0(о — кратное в том и только том случае, когда параметры к" и эе связаны соотношением to ^ )[к(х-)К - £]*{(*) exf [г J (1 - ft ft) K)d+)Sx ~ о i при этом кратность равна двум.

Теорема 3. 2. Система собственных и присоединенных Функций задачи ~ ) обладает свойством двукратной полноты и базисноети в гильбертовом пространтеве ^tiA с нормой

Do о

Замечание. Гильбертов© пространство $f/^ состоит из элементов у для которых (£> <" /это согласуется с тем, что задача fi) -(3) рассматривается в конечно-эжергетичееком

KJIgIC О •

Результаты первой части работы дают возможность применения метода Фурье в задаче о колебаниях атмосферы и исследования устойчивости этих колебаний в линейном приближении.

Предмет второй части диссертации - спектральные свойства краевых задач, описывающих малые колебания капиллярной вязкой жидкости в сосуде. Жидкость заполняет область Л/, , ограниченную твердой стенкой и равновесной свободной поверхностью /~\ Предполагается, что свободная поверхность жидкости не имеет общих точек со смоченной поверхностью сосуда; такая ситуация вполне возможна в условиях, близких к невесомости, при этом жидкость в сосуде в положении равновесия занимает область типа шарового слоя /см. [3 J /. Малые колебания вязкой жидкости описываются линеаризованным уравнением Навье-Стокса и уравнением непрерывности в области . Граничные условия на свободной поверхности Г таковы: касательные напряжения равны нулю, нормальное напряжение определяется капиллярными силами в соответствии с формулой Лапласа. На неподвижной твердой стенке выполняется условие прилипания.

В § 4 излагается постановка задачи о малых колебаниях капиллярной вязкой жидкости и для описания нормальных колебаний, т.е. зависящих от времени по закону -eac-p f- 3 ■&) > ставится соответствующая краевая задача на собственные значения. Существенной особенностью последней является то обстоятельство, что спектральный параметр У входит как в уравнение внутри области, заполненной жидкостью, так и в граничное условие на свободной поверхности; задача содержит параметр о? > о , измеряющий отношение сил поверхностного натяжения и сил внутреннего трения /вязкости/. В этом же параграфе вводится в рассмотрение Форма ЕС*1*,*1*) » гДе ^ ~ поле скоростей в жидкости, характеризующая скорость диссипации энергии. При этом каждое собственное значение А задачи удовлетворяет уравнению

Q Jlvlbtffl -£(v,v) + J- f ЯЧ ^ °> Л Г где <K - соответствующее собственное поле скоростей, его нормальная компонента на Гу ~ ~ ) * ^Г 3 > ^ ~ шавные кривизны Г , - оператор Лапласа

Бельтрами на свободной поверхности.

Интерес к структуре спектра задачи о нормальных колебаниях капиллярной вязкой жидкости стимулирован гипотезой /см. [з J /, согласно которой имеется лишь конечное множество невещественных собственных значений. В работе г <7 Н.Д.Копачевским рассмотрена модельная задача, сохраняющая все особенности задачи о нормальных колебаниях капиллярной вязкой жидкости: л 'tt = Oi *2/ в области -i2 у - ol Л на границе Г = ^bSl .

В ряде случаев с помощью детальной информации о собственных Функциях удается получить ответ на вопрос о числе невещественных собственных значений. В частности оказывается, что двумерная модельная задача в круге имеет конечное множество невещественных собственных значений, причем для достаточно малых о?>0 весь спектр - чисто вещественный. Существенная черта модельной задачи /как, впрочем, и исходной - о нормальных колебаниях капиллярной вязкой жидкости/ состоит в том, что в уравнении и граничном условии содержатся дифференциальные операторы одного порядка. Это обстоятельство существенно влияет на структуру спектра и создает значительные трудности на пути применения известных результатов и методов спектрального анализа краевых задач; в частности оказывается, что получающийся здесь по известной схеме /см. Г^З / операторный пучок не является пучком Крейна-Лангера. В этой ситуации естественным образом возникает вопрос о спектре краевой задачи для уравнения

- Дк = , содержащей в граничном условии оператор произвольного порядка.

В § 5 изучается модельная задача на собственные значения в единичном круге: At/ = i U (5■) t*1 1 где Эе о - порядок оператора в граничном уелбвии, oi -неотрицательный параметр. Уравнение С^) в круге решается методом разделения переменных: г л

Явный вид собственных функций позволяет получить соотношения, из которых определяются собственные значения задачи (s) - t отвечающие гармонике ае

Используя свойства функций Бесселя удается исследовать корни уравнения (?) и, тем самым, изучить строение спектра задачи (S)-C6).

Теорема 5^/5" Круговая задача (5) -(£) при а? > ? имеет бесконечно много невещественных собственных значений. Если О < эе < 3 j то множество невещественных собственных значений - конечно; кроме того, для <U € % ) спектр -чисто вещественный. В случае, когда ов = 3 задача имеет бесконечное множество невещественных собственных значений при ol > ; однако для U £ [oJ % ) невещественных собственных значений вообще нет. Если а? = О } то серия невещественных собственных значений конечна, причем для любых ot>0 спектр задачи содержит не менее одной пары комплексно сопряженных собственных чисел.

В заключительных двух параграфах /§§ 6-7/ изучен спектр частот нормальных колебаний кольца и шарового слоя капиллярной вязкой жидкости. При этом на внешней границе области /окружности или сфере/ ставится условие прилипания, в то время как внутренняя представляет собой свободную поверхность жидкости. Разделение переменных позволяет э(!фективно исследовать соответствующее уравнение (4/) ; основным инструментом здесь являются различные оценки энергетической формы Е.

Главные результаты §§ 6-7 - утверждения о конечности множества невещественных собственных значений задач о нормальных колебаниях кольца и шарового слоя капиллярной вязкой жидкости /теоремы СЛ^ £.<о и Ф. 7 /. Выяснено также какие именно колебательные режимы могут возбуждаться при фиксированном значении параметра о^ ; в частности, для достаточно малых Ы > о /с предъявлением явных оценок/ доказано, что спектры обеих задач - чисто вещественные. Полученные результаты позволяют сделать следующие выводы: при фиксированном поверхностном натяжении и относительно большой вязкости все нормальные движения жидкого шарового слоя /кольца/ являются апериодически затухающими; при произвольных значениях коэффициентов вязкости и поверхностного натяжения жидкий шаровой слой /кольцо/ имеет конечный набор собственных колебательных режимов. Сформулированные выше свойства спектра нормальных колебаний ранее были известны лишь в случае круга и шара /см. Г /.

Нумерация предложений и замечаний - своя и притом сквозная в пределах каждого параграфа; то же самое относится к нумерации формул. Ссылки на предложения /замечания, формулы/ из других параграфов производится так: сначала указывается номер параграфа, затем номер предложения /соотв. замечания, формулы/. Ссылки же в рамках одного параграфа даются без указания его номера.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах - ЗоЗ .

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору А.Г.Костюченко за постановку задач и внимание к работе.

§ I. Постановка краевой задачи, моделирующей колебания атмосферы; энергетическая форма &

Речь пойдет о малых колебаниях атмосферы /т.е. газовой среды, заполняющей полупространство/ относительно положения равновесия. Предполагается, что атмосферный газ - гидродина-мич ески идеальный /коэффициенты вязкости и теплопроводности равны нулю/ и совершенный: адиабаты задаются уравнением р где у? - давление, ^ - плотность газа, Зе > i - показатель адиабаты. Будем считать, что атмосфера находится в поле тяжести и ускорение ^ свободного падения направлено вертикально вниз. При этом в положении равновесия поле скоростей в атмосфере - нулевое, а температура 7~о , давление и плотность зависят лишь от одной координаты - высоты J* . Эти три термодинамические величины связаны уравнением состояния идеального газа л р = *т. и условием статического равновесия

JPo

Таким образом, равновесное состояние атмосферы однозначно определяется зависимостью температуры 7~0 от высоты /т.н. температурная стратификация/. При сделанных предположениях атмосферные движения описываются системой, составленной из уравнения Эйлера где У - вектор скорости, уравнения неразрывности

Qp

J— + V) - О и условия адиабатичности

L - it - „ d* ~f it ' 0 ■

Для изучения малых колебаний атмосферы рассмотрим линеаризованную систему. В декартовых координатах ^ рj запишем линеаризованное векторное уравнение Эйлера в виде системы : = J- Ъ-' ъ-t ^ >

ЪгГ 1 О - '

Ъ-6 f* '

Qur <f/ ~ ~ & * $ " ^ fo ; здесь 'tfj и?" - компоненты вектора скорости У 9 р ' и ^ ' - отклонения давления и плотности от их равновесных значений. Уравнение неразрывности после линеаризации принимает вид: f у „ где ^ - дивергенция скорости. Линеаризуя условие адиабатичности, получим ^ f. { * tur

Преобразуем последнее уравнение е помощью уравнения статичес-кого равновесия —- —^^о и линеаризованного уравнения неразрывности; в результате будем иметь : л где обозначено С = ——— /величина с носит назвауе> ние адиабатической скорости звука/. Всюду в дальнейшем штрихи при р и (Ъ будут опускаться.

Линеаризованная система допускает отделение экспоненциального временного множителя € . В результате для решений зависящих от времени по закону е получается следующая система :

-f °А

- - -г ifur = dL , X r

T = fj*^- /

Используя уравнение статики, из и исключаем давление: - — ( йиГ ч- ч. /01 Ф

7 С \ О (Г *> далее отсюда с помощью ('Vj исключается плотность:

Л/ ^ ~ c*-<)fi -с/^.

В то же время, подставив соотношения О) и №) в формулу для дивергенции скорости, получим:

J^ 2* последнее соотношение в виде: где А - - -у- - • перепишем, используя уравнение fs) Z

Теперь из уравнений и С?-) исключим , для чего предварительно применим к обеим частям (7-) диФференциаль

2 Ъ ное выражение - ^ т В результате получается следующее уравнение для дивергенции ^ ;

С8)

Jc*где - (ee-t)^ ч- —— > о - так называемый коэффициент статической устойчивости.

Изложенный выше метод последовательного исключения переменных используется в теории приливов /ем. Г /.В задаче об атмосферных колебаниях этот метод применялся I.А.Диким в модели сферической земли и атмосферы конечной высоты /см. [Д] / Однако, как отмечено в Г^Д , в физически правильной постановке необходимо решать задачу до бесконечной высоты с условием затухания решения.

Заметим, что единственная характеристика стратификации атмосферы, входящая в уравнение СЮ это с"*- - -эе $ 1~0 . Следуя [-6] вместо Свведем в рассмотрение температурную функцию ff s C/dQ^ • В модели так называемой стандартной атмоеФеры приеимается, что функция Н имеет два локальных минимума и начиная с некоторого значения аргумента неограниченно и монотонно растет /см. рис. 1 /, при этом функция ограничена.

Далее в уравнении СВ) проведем замену переменных, уничтожающую член с первой производной по высоте: ос г / * о / - е* Y(S;tx)

В новых переменных будем иметь:

О* Г

Я»

Теперь сделаем преобразование Фурье по переменным £ и :

- Оо -Аз

- /яг после чего уравнение Св) преобразуется к виду:

I л

Наконец, обозначая спектральный параметр - Д , волновое J aJ число к - А + ъ , получим для ^ уравнение в окончательной форме:

Заметим, что сюда входят лишь приведенная высота ос и температурная функция ff , характеризующая вертикальную стратификацию; таким образом, уравнение Of о) описывает вертикальную структуру колебаний стратифицированной атмосферы.

Выведем соответствующие физической постановке задачи граничные условия для уравнения /V). При !> = ° /т.е. на твердой поверхности/ вертикальная компонента скорости иГ обращается в нуль; отсюда будет получено граничное условие для /у. Прежде всего проведем замену переменных

V = е 9 *) и сделаем преобразование Фурье:

Oo ~0o

В результате уравнения (6) и С9-) принимают вид:

Ah+h

Исключая из этих двух уравнений <f/ , получим: и, стало быть, если л -ф ^ к. , то краевое условие на твердой поверхности очевидно эквивалентно условию

Случай, когда у » будет разобран отдельно. Задачу (fe) — (41) » как уже отмечалось, следует рассматривать на полуоси fo&>') , причем на бесконечности ставится условие затухания решения: сс.) —1> о лрл/ йС оо . (f<s)

Заметим, что спектральный параметр входит в уравнение (*fo) дробнолинейным образом и, кроме того, граничное условие в нуле содержит ^ . Ввиду этого поставленная задача казывается несамосопряженной, в связи с чем возникает нетривиальный вопрос о вещественности ее спектра /вопрос этот принципиально важен для исследования устойчивости колебательных движений атмосферы/.

Специфика рассматриваемой задачи - несамоеопряженмость и сингулярность - требует привлечения энергетических соображений для анализа структуры спектра. В этом плане вееьма полезной является форма оо е> О представляющая собой /ем. [#] / с точностью до множителя кинетическую энергию вертикального столба воздуха, площадь сечения которого равна единице. При этом первое слагаемое в выражений для (р (у) отвечает кинетической энергии горизонтальной составляющей колебаний, второе - вертикальной составляющей. Подробнее об энергетическом смысле формы (£ см. [j] .

Заметим, что форма (о обращается в нуль на элементе лишь в том случае, если ^ удовлетворяет каждому из двух уравнений: fa z i. л f+7 0

Отсюда вытекает соотношение л л (ос) = -^- и, стало

Л*2 <1. быть, А - ^ /с , в то время как, выписанные уравнения тождественно совпадают. Непосредственной проверкой убеждаемся что их решения, отвечающие значениям ^ = ± ^с , удовлетворяют уравнению (4о) и граничному условию (4/). Однако, условию затухания на бесконечности выполнено только для решения, соответствующего ^ = . Таким образом, рассматриваемая задача имеет собственное число /\t> - , не зависящее от функции И , т.е. от стратификации; соответствующая собственная Функция является решением уравнения

Эта собственная функция возникает именно в задаче на полуоси и впервые была обнаружена Пекерисом UCJ в случае модели изотермической атмосферы / Н = Сол$-(~ /. Отметим, что на всех остальных собственных функциях задачи форма £ строго положительна.

Прежде чем перейти к исследованию спектра задачи (&)-(&) акцентируем то обстоятельство, что эта задача рассматривается в классе конечноэнергетических решений и, стало быть , (£ <г со /только такие решения имеют физический смысл/.

1. Аскеров Н.Г., Крейн С.Г., Лаптев Г.И. Задача о колебаниях вязкой жидкости и связанные с ней операторные уравнения.-1ункц. анализ и его прилож.,' 1968, т.2, вып.2, е.21-31.

2. Костюченко А.Г., Оразов М.Б. Задача о колебаниях упругого полуцилиндра и связанные с ней самосопряженные квадратичные пучки,- В км.: Труды семинара им. И.Г.Петровского, М.: Изд-в© МГУ, 1981, вып.6» с.97-146.

3. Копачевский Н.Д,, Крейж С.Г., Нго Зуй Кан Операторные методы в линейной гидродинамике.- М.: Наука, 1989.

4. Дикий Л.А. О двукратной полноте системы собственных функций возникающей в одной задаче математической физики,- Функц. анализ и его прилож., 1967, т.1, вып.З, с.24-32.

5. Копачевский Н.Д. О колебаниях капиллярной вязкой жидкости /модельная задача/.- В кн.: Труды зимней школы по матем. программир. и смежн. вопросам /Дрогобыч, 1973/, вып. Функц. анализ ж его применения, М.; ЦЭМИ АН СССР, 1975, с.197-214.

6. Аскеров Н.Г., Крейн С,Г.» Лаптев Г.И. Об одном классе нееа-моеопряженных краевых задач.- ДАН СССР, 1964, т.155, № 3, с.499-502.

7. Бабский В.Г., Копачевский Н.Д., Мышкис А.Д., Слобожанин Л.А., Тюпцов А.Д. Гидромеханика невесомости, М.: Наука, 1976.

8. М. W. dsc(£(ab'6>n4 o-f -the. ^

9. Дикий Л.А, Теория колебаний земной атмосферы,- Л.: Гидромет-издат, 1969.

10. Келдыш М.В, 0 собственных значениях и собственных функциях некоторых классов несамосопряженных уравнений.- ДАН СССР, 1951, т.77, В I, с.11-14.

11. Березим Ф.А., Шубин М.А. Уравнение Шредимгера.- М.: Изд-во МГУ, 1983.

12. Коетюченк© А.Г., Саргеян И.С. Распределение собственных значений.- М.: Наука, 1979.

13. Маркус А.С. Введение в спектральную теорию полиномиальных операторных пучков.- Кишинев: Штиинца, 1986.

14. Азизов Т.Я., йохвидов Й.С. Основы теории линейных операторов в пространствах с индефинитной метрикой.- М.: Наука, 1986.

15. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика,- М.: Наука, 1986.

16. Крейы М.Г., Лангер Г.К. О некоторых математических принципах теории демпфированных колебаний континуумов.- В кн.: Труды междунар. симпоз. по применению теории функций комплексного переменного в механике сплошной среды, М.: Наука, 1965, с.283-322.

17. Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций, ч. I. ИЛ, 1949.

18. Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики, т. I. -ИЛ, 1958.

19. Янке E., Эмде Ф., Лёш Ф. Специальны© функции,- М.: Наука, 1964.

20. Гельфанд И.М., Минлое Р.А., Шапиро З.Я. Представления группы вращения и группы Лоренца.- Физматгиз, 1958.

21. Бергман Й. О методе приведения несамосопряженных краевых задач к операторному пучку.- Вестник МГУ, сер. Матем. Механика, 1972, № 2, с.71-78.

22. Трубачев А.В. Некоторые спектральные задачи, связанные с разрешимостью эволюционных уравнений механики сплошной среды.- Автореф. дис. на соискание уч.ст. канд. физ.-мат. наук. М.: МГУ, 1990.

23. Крейн С.Г. О колебаниях вязкой жидкости в сосуде.- ДАН СССР, 1964, т.159, J6 2, е.262-265.

24. ChositlbeL-texkAh, 6U (А'лсгМ lijusd } Pwc. loncUn /ИМ. <^>CV tr. 9} л/ ЗЪ,

25. RjU'd №. /У, е>4сШй&оп4 of л. trt'SUruSПубликации автора по теме диссертации

26. Степин С.А. Спектральный анализ сингулярной краевойзадачи, моделирующей колебания атмосферы.- Функц. анализ и его прилож., 1990, т.24, вып.4, с.90-91.

27. Степин С.А. Вертикальная структура колебаний атмосферы: двукратная полнота собственных функций задачи.- УМН, 1990, т.45, вып.6, е.143-144.