Спектральный подход к асимптотическим задачам диффузии со сносом тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Владимирский государственный педагогический университет

На правах рукописи

Александрова Ирина Александровна

Спектральный подход к асимптотическим задачам диффузии со сносом

Специальность: 01.01.02. - дифференциальные уравнения

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Владимир 1996

Работа выполнена на кафедре алгебры Владимирского государственного педагогического университета.

Научный руководитель — доктор физико-математических наук, профессор

В.В. Жиков

Официальные оппоненты — док тор физико математически* наук, профессор

Ю.А. Алхутов , кандидат физико-математических наук, ст. научи, сотр. А.Ю. Беляев

Ведущая организация - Механнко - Математический факультет МГУ

Защита диссертации состоите! 1996 г.

В часов на заседании диссертационног о совета К. 1)3.31.01 при Владимирском государственном педагогическом университете но адресу: 600024, Владимир, пр-т Строителей, д. 11, ауд. 236.

С диссертацией можно ашакомитъея в библиотеке Владимирского государственного педагогичного университета.

Автореферат разослан Л. 1996 г.

Ученый секретарь диссертационного совета К. 113.31.01 при Владимирском государственном педагогическом университете кандидат физико-математических наук, доцент

С.Е.Степанов

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Известно, что параболическое уравнение

Ou/dt = (Hv(n(.r)Vu) — h(x)Vu

с периодическими коэффициентами описывает разнообразны?' нестационарные процессы п переменных ( (»мах. Представляет интерес асимптотическое поведение решения задачи Кошн для этого уравнения при i —> оо. Имеются дпр основные задачи об асимптотике при большом времени /. Речь идет о стаби тн-запии и нейтральном предельной теореме. Этим задачам посвящена обширная литература, причем, главным образом изучался глума!! дивергентного или неднвергентного уравнени? без младших членов. Основными методами изучения были методы теории усреднения, а для центральной предельно!! теоремы применялись и вероятностные методы.

Между тем, до пол ь г го давно в физической и математической литературе была замечена связь между усреднением и структурой блоховского спектра п нуле. В работе Жнкова B.D. (Дифф. ур. 1989г., т.25, N1, с.44 - 50) с помощью спектрального подхода было изучено дивергентное уравнение без младших членов, получена подходящая асимптотика для фундаментального уравнения при t оо и на основе этих результатов дано решение асимптотических задач диффузии. В этой же работе поставлен вопрос об обосновании спектрального метода в случае уравнения диффузии с младшими членами.

Цель работы.

Распространение спектрального метода на случаи уравнения диффузии с младшими членам!!, получение асимптотики для фундаментального решения .тгого уравнения и рассмотрение на этой основе асимптотических задач диффузии : усреднения, равностабшшзацин, централь-нон предельной теоремы.

Общая методика исследования.

В диссертации используются методы и результаты спектральной теории, теории блоховского спектра, теории возмущений, теории эллиптических и параболических уравнений.

Научная иооизна.

D диссертации получены следующие результаты:

1. Найдена асимптотика для фундаментального решения уравнения дш}м)>у:шн с младшими членами и периодическими коэффициентами.

2. Из полученной асимптотики не только выведены теоремы усреднении, рашюстабнлнзации, центральная предельная теорема, но и даны оценки остатков d соответствующих утверждениях.

3. Доказана оценка Нзша - Аронсона для фундаментального решения параболического уравнения с младшими членами и периодическими коэффициентами.

Теоретическая и практическая ценность.

Результаты, полученные в диссертации, и развитый в ней спектральный метод носят теоретический характер и могут быть использованы в математической физике, и спектральной теории операторов, а также для чтения спецкурсов в тех высших учебных заведениях, где ведется работа по близкой тематике.

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались на научно - исследовательском семинаре механики - математического факультета МГУ по спектральной теории под руководством проф. А.Г. Костюченко и проф. A.A. Шкаликоаа (1996), на Воронежской весенней математической школе по современным методам в теории краевых задач (Воронеж 199G), на семинарах по дифференциальным уравнениям иод руководством проф. Жпкова В.В. во Владимирском государственном педагогическом университете (1993 - 1995).

Публикации автора.

Основные результаты диссертации опубликованы и работах антора

[1)-[3].

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы из 54 наименований, включая работы автора. Объем диссертации составляет 84 страниц машинописного текста.

Содержание работы

По введении дан краткий otbop работ, посвященных асимптотическим задачам диффугши, а также полагаются основные результаты диссертаЦИИ.

Ппрвая глава посвящена оценке фундаментального решения следующего уравнения диффузии го сносом

^ - tliv (n(rWu) -f h(x) Vu — П. (1)

ut

Здесь a(í) - гладкая симметрическая на ¡R"' матрица, удовлетворяющая условиям эллиптичности и ограниченности

i/, I < л(х) < !>г i (//, > 0, v2 > 0),

Ь(х) - достаточно гладкое векторное поле. Предполагается, что а(.г) н Ь(х) периодичны с периодом I по каждому аргументу .r¡,... ,.гга , О = {.г € П1"\ ¡Xjl < 1/2, j ~ 1,..., m} - ячейка периодичности. Пусть К (г., у, /.) - фундаментальное решение уравнения (t), a h'n(r. у, t.) -фундаментальное решение уравнения

Ли0

Lnun = ~r- àiv (aaVn°) = 0

с некоторой постоянной матрицей а" ,

Я„(*,!М) = (2тгt)-'2 (rlcta*1)-"2 exp (-(г - г/)(ап)-'(* ~ v)/'U) ■

Основная оценка имеет следующий вид: Теорема 1.1. Найдутся

(i) постоянная симметрическая положительно определенная матрица а0 , нанимаемая усредненной,

(ii) постоянный вектор /3 6 ПГ" ,

(т) гладкая периодическая положительная функция р(т). такие, что при t > 1 справедливы оценки:

|К(х + 0t,V,t)-р{у) К„(х,». 01 < С Г'" 2)

(V.r е ir ,v?; 6 Я", С > 0)

/«- \K(* + ßt,V,t)-r(y) K0(xty,t)\dy < C(6) r"2+' . .

(V^ 6 Л-, V<5 > ü, C(<S) > 0). K '

Доказательство это» теоремы проводится спектральным методом. Пер-пым шагом о этом направлении является блоховское представление фундаментального решения K(x,y,t). Речь идет о выражении I\'(x,y,t) и виде интеграла

(2*)" K(x,y,t) = [ t'kb-*>G(ktr,y,t)dk, (4)

Ja•

где G(k,x,y,t) - функция Грнна периодической задачи ^ = -А(к)и, ы|1=0 = «u(j),

А[к) и = -е"'*' [ div(a(x)V(e,k' и)) - b(s)V(e,kr и)] ,

О' = {к £ ИГ, < rr, j = 1,2,...,ш } -

сопряженная к □ ячейка;

Оператор А(к) является производящим оператором аналитической полугруппы и поэтому функцию Грина G(k,x,y,t) удается представить в виде интеграла от резольвенты по подходящему контуру, охватывающему все собственные значения оператора А(к). Следовательно, для получения асимптотики функции Грина G(k, г, у, t) необходимо изучить спектр оператора А(к) н его резольвенту.

Оператор А(к), рассматриваемый как неограниченный оператор в 1г(Щ с областью определения /Я, (□), является секториальным, причем его спектр лежит в правой полуплоскости внутри некоторой параболы, содержащей вещественную ось.

Очевидно, что при к — 0 оператор Л(0) имеет простое собственное значение Ац(0) = 0, а соответствующую собственную функцию -константу.

Дальнейшие сведения о блоховском спектре дают следующие леммы. Лемма 1.2. При достаточно малых к оператор А(к) имеет простое собственное значение Хо(к), при этом для него и соотьетству• югцих собственной функции if0(k,x) оператора А(к) и собственной

функции íp"ü(k,x) сопряженного оператора A'(k) имеют место разложения

X0(k) = т + alkX + о(\к\Л) ip0(k,x) = l + iN1(x)k}+o(\k\i) (5)

еде а0 - усредненния матрица, ¡i =< (b(x) — р(х) > - по-

стоянный вектор, N,(x) - некоторая периодическая функция, р(х) * периодическое решение уравнения

div(a(x)Vp(x)) + div(b(x)p(x)) =0, < р >= 1

Лемма 1.3. Существуют такие положительные числа /'о, ¿о " С i , что

(%) при < Го, к 6 О", для простого собственного значения Хц(к) справедлива оценка

Re Ао(*) > Ctk' ,

о J.tx остальных собственных значений A}(k), j = 1,2,... выполнено неравенство

fíe \¡(k) > S0 >0 ;

(«У при |fc| > r0, А; £ О*, все собственные значения оператора А(к) удовлетворяют неравенству

ReX(k)>óa>Q.

Эти леммы дают возможность разделить спектр оператора А(к) на две части: первая часть содержит лишь A0(Jb), а вторая - все остальные собственные значения.

Далее с помощью интеграла Данфорда-Тейлора получаем асимптотику функции Грина:

G(k,x1y,t)=¡^(k,x)^0(k,y)e-x'^+O(e—,)t <v> 0 (6)

которая равномерна по х 6 у € О, к £ □*.

Используя полученное разложение (6) и блоховское представление фундаментального решения (4), имеем

(2тг)т l\(x,y,t) = [ e^"^e-^^k^a(k,xШk,y)dk + 0(e-"^), Со > О

Заменив A0(fc), <pa(k,x), fo(k,y) их приближенными значениями из (5) и оценив соответствующую погрешность, мы получаем первую основную оценку (2) нз теоремы 1.1. Для вьтода второй оценки (3) необходима оценка Нэша-Аронсона, которая доказывается во второй главе.

Из теоремы 1.1 несложно получить теоремы усреднения, равноста-бнлизации, центральную предельную теорему. Следствие 1. Усреднение Пусть u'(xyt) - решение задачи Коши

L,H' = 0 ,не|,=0 = у(т) G C0=°(IR"),

в которой

о

L, = — - <1п>(а(£-*x)V) + е~х b(rlx)V. at

Тогда из оценки (2) при ечО и фиксированном t > 0 имеем соотношение

Их + е-'/Й, t) -р(е~*у) un(x,0| eOfsr'"^"), в котором u°(x,t) - есть решение усредненной задачи Коши

¿О«° = 0, «°|1=0 = Ф).

К настоящему Бремени имеется огромная литература по теории усреднения. Этому предмету посвящены монографии В.А. Марченко, E.JI. Хруслова , Н.С. Бахвалова, Г.Г. Панасенко , В.В. Жикова, С.М. Козлова, O.A. Олейник.

Следствие 2. Равиостабилизация Пусть u(x,t) - решение задачи Коши

Lu = О, «|1=0 = x(x)6Loo(fim),

a u°(.r,i) - решение задачи Коши

L0u° = 0, ы°|,=о = Р(г)х(-г)

Тогда из оценки (3) получаем

|п(.г 4- ßtj) - I < C(<5)r<1/2)+ä 8ирп» X(V)

(Vx€Rm, VS> 0)

Задаче о стабилизации посвящено много исследований. Критерий поточечной стабилизации для уравнения теплопроводности был получен В.Д. Репниковым и С.Д. Эйдельманом. Цикл интересных работ по стабилизации решений параболических уравнений с переменными коэффициентами выполнен А.К. Гущиным н В.П. Михайловым, В.В. Жиковым, Ф.О. Порпером и С.Д. Эйдельманом, К В. Валнковым, А.Г. Сорокиной, В.И. Денисовым. Связь между стабилизацией и усреднением установлена B.D. Жиковым.

Следствие 3. Центральная предельная теорема Через обозначим случайную величину с плотностью распределения Л'(х, (), t). Тогда из оценки (1) легко следует, что случайная величина (£' +pt)t~1'2 сходится по распределению при £ —> оо к случайной величине, распределенной по нормальному закону с плотностью распределения Л'о(х,0,1).

Вопросы, связанные с центральной предельной теоремой рассматривались многими авторами, в том числе А. Бенсуссаном, Ж. JIjiohcom, Г. Папаннколау, В.В. Жиковым, С.М. Козловым, O.A. Олейник.

Вторая глава посвящена доказательству оценки типа Кэша - Арон-сона для уравнения диффузии (1). Доказано, что найдутся положительные константы С0, С > 0 такие, что

О < K(* + ßW) < СГexp (^Y^)

Vi, у £ HT, t > 0.

Здесь р - вектор эффективного сноса, участвующий в теореме 1.1.

Оценка Нэша - Аронсона существенно используется в теореме' о рац-ногтабнлнзацнн.

В заключении автор выражает благодарность научному руководителю профессору Жикову В.В. за постановку задачи, руководство и постоянное внимание к работе.

Список работ автора по теме диссертации:

[1] Александрова И.А. Оценка фундаментального решения параболического уравнения второго порядка с периодическим» коэффициентами. // Деп. в ВИНИТИ. 05.07.94, N 1663 - ВЭ4.- 28 с.

[2] Александрова П.А. Спектральный метод в асимптотических задачах диффузии со сносом. // Мат. заметки. -1996.- N5.-768-770

[3] Александрова И.А. Оценка фундаментального решения уравнения диффузии со сносом. // Тезисы докладов Воронежской весенней математической школы. - 1996. - с.12

СПЕИТРАЛЫШЙ ПОДХОД Л АСИШПШИЧЕМИМ ЗАДАЧАМ ДИФФУЗИИ СО СНОСОМ

Подписано к печати 13.05.96 Формат 60x84 1/16

Уч'« изд. л. 0,6 Усл.п.л. 0,50 Тираж 100 экз.

Заказ \ •

Отпечатало -»а ротапринте ВГЛУ Владимир, пр-т Строителей, П-а