Спектроскопия легких и тяжелых мезонов в потенициальной кварковой модели тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ



академия наук республики узбекистан институт ядерной фиоикн

На правах рукописи

жураев обид мумпновйч

УДК 539.12S.17; 539.126.17

СПЕКТРОСКОПИЯ ЛЁГКИХ И ТЯЖЁЛЫХ МЕЗОНОВ В ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ КВАРКОВОЙ МОДЕЛИ.

01.04.02 — теоретическая фпзиха

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата фотихо-м&тематическнх наух

ташкент -19»

Работа выполнена в Институте ядерной физики Академии Наук Республики vзбeкиcтaн

Научные руководителя- кандидат физико-математических

наук H.A. САРИКОВ

кандидат физико-математических наук И.В. АМИРХАНОВ

Официальные оппоненты- доктор физико-математических

наук,профессор М.М. ИУСАХАНОВ

- доктор физико-математических наук, профессор Е.П.ШКОВ

Ведущая организация- Институт Теоретической Фигики

им. Н.Н.Боголюбова (г. Киев)

Защита диссертации состоится ¿УУ 199-^ г.

в (Ц час мин< на заседании специализированного Совета Л 015.15.21 в Институте ядерной физики АН РУз по адресу: 702132 г.Ташкент пос.Улугбек, Институт ядерной физики АН РУз.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Института ядерной физики АН РУз.

Автореферат разослан " 133 г.

Ученый секретарь специализированного сове*.' <

доктор физико-математических наук, профессор Е.И. ИСМАТОВ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность. Исследование свойств мезонов в рамках составных кварковых иоделей является важной задачей физики элементарных частиц. В настоящее время накоплен больвой экспериментальный материал по массам основных и возбужденных состояний тяжелых кваркониев и легких мезонов. Описание мезонов в рамках кварковых моделей зависит от рассматриваемой области энергий или импульсов передачи (расстояний). В области больиих переданных импульсов имеет место асимптотическая свобода, а в области низких энергий адроны и их взаимодействия обладают таким» нетривиальными свойствами, как конфайнмент и спонтанное нарушение ки-ральной симметрии (СНКС), которые не могут быть трактованы с помощью теории возмущений. Для описания спектроскопии и взаимодействия адронов при низких ьнергиях в КХД приходится использовать дополнительные предположения, заменяющие неизвестные механизмы непертурбативных явлений феноменологическими моделями. Существует .-тожество феноменологических подходов к описанию составных адронов.' Наиболее популярными являются потенциальные модели. Модели адронов, основанные на принципах КХД, должны удовлетворять калибровочной и лоренц инвариантности.Такие модели долины быть способными единым образом описать спектроскопию и взаимодействия адронов, причем в пределах больших и малых расстояниях воспроизвести эффективные киральные лагранжианы и партонную модель, соответственно. Очевидно, для удовлетворения этим требованиям модель должна основываться на полевой теории. Именно в полевой теории обеспечивается связь между областями больших и малых энергий посредством обобщенных волновых функций (фоховского пространства), которые передают физическую информацию микропричинным способом. В таком подходе результат зависит от степени точности определения волновой функции из КХД.

Для списания связанных состояний применяется у авнение Еете -Салпитера (БС). Ба практике используемся его трехмерная форма (обычно называемая уравнением Салпитера), которая допускает вероятностную интерпретацию волновой функции связанного состояния. Одночастичные энергии составлявших частиц кварка и антикварка в уравнении ЕС является решениями уравнения Швингера-Дайсона (ЕД) через которые учитывается эффекты СНКС.

Целью настоящей диссертации являются попытка описания спектра масс и волновых функций путем решения системы уравнений ЕД для массивных кварков и БС для связанных состояний кварка

и антикварна, получаемых из эффективного гамильтанкана КХЛ с четырехкварковым мгновенным взаимодействием, для которого используется приближенный потенц ад, состоящий из кулоновского и осцидляторного членов. Осцкдляторяый потенциал выбран главным образом с точки зрения г:;эстоты решения уравнений, хотя общеизвестно, что в области легких {безмассовых) кварков это приближение дает довольно хорошее качественное описание спектра масс мезонов. Кроме того, часть материала диссертации посвящена разработке математического численного алгоритма реоения нелинейных уравнений, которыми являются уравнения ШД и БС.

Научная новизна. Впервые получены следующие результаты:

1. Получены уравнения И для кварка имеющего ненулевую массу и позволяющие вычислить энергию кварка в рамках потенциальной кварковой модели. Исследован эффект СНКС в осциллятор-ном плюс кулоновском потенциале взаимодействия. Эффект СНКС исчезает при массе токового кварка превышающей значение постоянной осциллятоного потенциала.

2. Разработана вычислительная схема для решения неликеГ-ого интегро-дифференциального уравнения типа sir-Gordon (уравнение 0Л) на основе непрерывного аналога метода Ньютона. В случае малых масс токового кварка динамическая масса значительно отличается от токовой благодаря доминирующему вкладу осцилляторнсго члена потенциала взаимодействия. Лля белее тяжелых кварков разность между динамической и токовой массами кварка мала.

3. Найдены узловые решения уравнения ШЛ для и-,<5~ и в-кварков, что соответствует возбужденным состояниям кварка. Вычислены значения кваркового конденсата, который характеризует спонтанное нарушение киральной симметрии при различных массах

.токового кварка.

4. Разработана вычислительная схема нахождения реиений уравнения БС б потенциале осциллятор плюс кулон. Вычислены спектр масс, волновые функции и их возбужденные состояния псевдоскалярных мезонов. В киральном пределе компоненты волновой фу-i гц и и мезона удаляются друг от друга, а по мере увеличения массы составных кварков эти функции сближаются.

5. Разработан комплекс прикладных программ, позволяющий согласованно находить решения уравнений ЕЛ и БС при зачислениях спектра масс и их волновых функций связанных состояний мезонов.

6. Вычислены константы лептонных распадов мезонов являющихся важным критерием для проверки найденых загиовых функций.

Птактаческая значимость. Развитие в диссертации идеи и полученные результата могут быть использованы для описания спектроскопии мезонов к нахождения но них не обнаруженных состояний аезошми С помощью найденных волновых функций иохнс рассматривать различные распада зезоков, что является важным в исследования* экспериментальной физика.

Результаты выносимые на заииту-

йайдены численные реиения аелинейкых интегро-лкфференциаль-ных уравнений ал и системы уравнений БС с помощью разработанного комплекса программ на основе непрерывного аналога мегода Бьвтона. Достоверность найденных реиекий подтверждается различными тестами, а такэсе в режимах проверки устойчивости численных реиений с произвольным изменением параметров модели.

Вычислений собственные значения уравнения Л в 1Б0 канале и сделана оценка масс псевдоскалярных мезонов.. Сравнение найденных значений спектра масс мезонов с имеющимися экспериментальными данными показало хороиее согласие.

Построена зависимость отноиеняя вычисленных значений констант распадов и масс "мезонов* от параметра кулоновского потенциала взаимодействия, при фиксированных значениях масс "токовых" кварков. Путем сравнения этого отношения с его экспериментальным значением определены значения коасганта кулоновского -потенциала.

Построена зависимость кваркового конденсата от массы "токового" кварка з пренебрежении кулоновского потенциала взаимодействия. При малых массах "токового" кварка имеется рост в области отрицательных значений кваркового конденсата.

Публикации. Основные результаты работы изложены в 7 публикациях.

Дпптюбация работы. Основные положения диссертационной работы долохены на йеадународных конференг"Ях: "КХД при конечной температуре и дина», ка связанных состояний" 1-ая конференция 25-27 мая 1992 Г. (г.Дубна), П-ая конференция 22-23 ная 1223 г. (г.Дубна); йа научных семинарах :

кафедры теоретической физики физфака МГУ им. М.Б.Ломоносова (г.Москва,1332г.), лаборатории теоретической физики и лаборатории вычислительной техники и автоматизации ОМ (г.Лубйа, 1990г.) Института Физики Высоких Энергий (г.Серпухов, 1991г.), отдела ядерной физика Института Ядерной Физики АН РУз.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит т Введения» трех Глав, заключения и трех приложений. Ее объем составляет 32 машинописных страница» в: шчавдие 16 рисунков, 2 таблицы в сгшсск льгаератда из бЭ наавашй.

осбовюе аштшш ршт

Во Введении раскрыта проблема современного состояния потенциальных кварковнх моделей. Предлагается в качестве единного описаю® спектроскопии мезонов испльзовать релятивистскую потенциальную модель основанную на нахождении решений уравнений Si для кварка (антикварка) и уравнения ЕС на связанное состояние кварк-антикварк. Согласованное реяение этих уравнений позволяет находить спектр масс везонов к их волновые функции-

В Главе i рассматривается собственная энергия кварка в поле эффективного потенциала, т.е. кварк внутри "адрока".

Энергия кварка внутри адрока описывается уравнением ИЛ, полученного из гашш>таниана КХЛ з низшем порядке по гзюошваг поля« вид которого в системе покоя "адрона* соответствует ку зековской калибровке. Получены численные реиения уравнения ШЛ с помощью предложенного в настоящей диссертации математического алгоритма.

В §1.1. рассматриваются эффекте СККС для кварков в оецил-ляторкои потенциале. В этом потенциале уравнение ШЛ представляет собой дифференциальное уравнение типа sin-Gordon с неоднородным членом, содерааашм "токовую" массу кварка (.

Р>+ (РК-Ц,з1п££<?(3-5 Г

2psin С2ф( pJl+^ccigi р} =0 (1)

с граничными условиями ср(0)= J-, =0. Полутени численнуе решения уравнения- Ш с помоев алгоритма {изложенного в Главе 3).

Показано, что эффективное, действие КХЛ с р лтущки потенциалом приводит к СНКС, и эффект этого явления сущесг^зн в области легких кварков и исчезает для тяжелых кварков при "токовой" массе кварка презшаздг 1 значение постоянной осикллят-оркогс

л Т/3

-j-vt

В 51.2. рассматривается собственная ^.»ергкя кеарка, когда к осцилдяторнсад потенциалу добавлен кулокозский член, эффективно учятнваедий однеглюонкый обмен кварков. Тогдг. уравнение Cli будет инезь интегральный член и примет следувний вид

2 а г ч г о

ЯзКрП №у {^(р^ГвадчЬ-гГо) Зсоад(л) -

д

" гШ

- МР'ЧИсов^ч)--^ ]гапф(р) <2)

где

Мр^?**«! ~-1, -г{д)=/ д2 +(я°)2'.

1 Р ~ Ч 1 2 1

Энергия кварта определяется как

Б(р)= Е0СЦШ + , (3)

Еосц{.р) = РСОБф{р)+я0з111ф(р)-4-Сф*(р)Зг--^соз;г$(р} ,

р

-^2(Р.д)ЕСО8ф{0)--у^ Зсовф(р)]-

Построена зависимость решений уравнения (2),(3) от параметра кулоновского потенциала а .

Показано, что г области ¡.млнк пасс кварков вклад кулоновского потенциала взаимодействия в СЕКС неЭ5чителен, тогда как для тяжелых кварков становится более значительным.

Глаза 2 посвящена решению трехмерного уравнения ЕС для связанных состоян'Ч кварк-актикваша в 1Б канале, Яежкзаяковый

^ - О

потенциал выбран в виде сушы осцилляторного и кулоновского членов. Это уравнение решается с помощью численного алгоритма изложенного в настоящей диссертации (Глава 3). С помощь» полученных резений сделана оценка масс и констант лелтонных распадов псевдоскалярных мезонов, которые сравниваются с экспериментальным?. данными. 'Изучена зависимость решений от "1оковах" касс кварков и параметров потенциала.

В §2.1. сформулирована краевая задача для решения трехмерного уравнения БС с потенциалом, состоящий из кулоновского к осцилляторного членов, которое принимает вид интегро-дифференциального уравнета.

со

о

здесь Я -собственное значение» V. собственные функция»

V

1 . эффективные потенциалы (z)

и подинтетрадыме ¡upa

a * Er(q)=E1(q)4E2(q) -энергии кварков (1 и 2) поду-

ченные из решения интегро-дифференциального уравнения ШД. Обозначения

S(_)«I)= -sin<p(_$q) , c(_3(q)=cos9(_j{q),

ф-(Q) ¿ f9(q)

B(+)(q)= cosf(+{q), c(+J(q)=sÍTKp(+)(q), <J¡(±)(q)= —-g—^-.

Граничные условия Я , (0)=0 , tí . (®)= о. Даны условия норми-d) (h ровки и теоремы Голдстоуна для собственных функций.

В 52.2. получены собственные значения уравнения ЕС (4) я "'з канале и сделана оценка масс псевдоскалярных мезонов. Вычесанные значения спектра масс мезонов в Таблице 1 сравкиь-ются с экспериментальными данными.

Яезонк КАССА i

Vo а =0.2 f? ! ! ! Эксперимент )

* 230.8 133.5 i 13? i

К 499.1 443.6 | 4S6 1

В 2073.8 1336.S ; «ос~ i i :

%' 1606.2 1483.6 I 1300 1

г 1653.2 1520. i 24S0 1

Ü' 2753. 24У0. J j 1 i

Таблица 1. Масса мезонов при кассах токовых кваркоЕ «аВ, я^=58 Нэй, ®°=3445 йэЕ

все величины даются в МоВ-ах.

Построена зависимость собственных значений от "токово"" кассы кварков параметров потенциала. Путем сравнения б^оузловых собстаешшх.значений с основными состояния«» хвзенов фиксированы свободные параметры потенциальной модели

Г А -»1/3 с , ,1/3

[-3^ =289 йэБ, ав=0.2, я°=я°=0.021 [ -§- Уо] =6.1 МэВ,

-0.02(-§-^7о]1/3=5В МЭВ , = 5'"=1445 М^

В §2.3. рассматриваются собственные функции уравнения БС. Изучена зависимость этих функций от свободных параметров модели.

В 52.4. с использованием полученных репений уравнении БС сделана оценка констант лептснных распадов псевдоскалярных мезонов. Рассмотрены асимптотические поведения этих констант в нерелятивистКом пределе. Построена зависимость отношения вычисленных значений констант распадов и касс "мезонов" от константы кулоновского взаимодействия при фиксированных значениях масс "токовых" кварков (рис. 1). Путем сравнения ¿того отнонения с его экспериментальным значением определены значения константы кулоноЕског ■ потенциала.

10.5

7.5

0.0

4.5

3.0 н

1.5 4

0.0

0.2

0.6

ОЙ

Ркс. 1- Зависимость отношений й/Р от а. ппи -паэлнчйых кассах тсковкх кварков. Сплошная линия значен?.?, эксперимента 11/7=1.5; пунктирная линяя яф»0.007, 021;линия ггтрих тире с^=0.С21, я£=0.С217 дивия тире две точки соответствует случаю

zt.-G.2i Кассы токовах кегркс-г даются в безразметг.ед. | 4-\'| =1

- ' л. ^ О}

В §2.5. рассматривается кварковый конденсат в штенциадь-шй кварковой шдели. Вычислены значения кваркового конденсата в пренебрежении кулонавским взаимодействием для безузловых(п=0) и узловых СтиЮ) ревений уравнения И.

<од> = - 0И1(п(-§-\) = <- 138 13В)5 1в=0)

<<щ> = - 0.0312|-§"?о] = <- 91 ^зв)3 (П=Т)

- <ад> = - 0.0043[-|-Voj = (- 47 J3B)J (Tt=2)

В случае когда г,=0 вычисленные значения <qq> совпадают с результатами работ других авторов. Построена зависимость значений кваркового конденсата от массы "токового" кварка.

В Главе 3 разработаны алгоритмы и вычислительные схемы для численного реиения интегро-дифферевцильных уравнений ЕЩ и БС. Лано описание схемы вычислительного процесса основанной на ньютоновских итерациях и методе продолжения по параметру для решения нелинейных задач. ■

В §3.1. итерационная схема непрерывного аналога метода Ньютона примененяется для уравнения ШД. Приводится нелинейное икте-гро-днфференакальное уравнение 1Д с граничны-ш условиями на конечном интервале. Бри численном решении уравнения ЕД учитываются асимптотические решения на границах.

В 53.2. приведена разностная схема для уравнения ЕД. Описывается алгоритм итерационного процесса непрерывного аналога v.-зтода Ньютона. Используется метод ""нечных разностей, который является одним из универсальных методов численного реаенив рассматриваемых уравнений (2),(4).

3 §3.3. приводится алгоритм выбора шага ньютоновских итераций »который позволяет значительно расширить область сходимости итераций от достаточно хороших начальных приближений.

В §3.4. рассматривается уравнение БС в - атричном виде, удобном для разработки численного метода. Ериводятсв граничные ус-.эвия с учетом асимптотических решений на границе. Громоздкие обозначение изложены в Гтилохеник,

В 53.5. разработана ньютоновская итерационная схема для системы уравнений БС. Приводится разностная схема дле уравнений БС. Построена процедура итерационного процесса сословием кг проверку сходимости при достижении требуемой точности искошу. решений уравнения ЕС.

В §3.6. разработан иетод продолгения по параметрам как вс^-мояность расаиреняя области сходимости кспльзуемого итерационного процесса.

Систему уравнений И и БС коано рассматривать как уравнение с (физическими) параметромв . Тогда решение исходной задачи

S

для заданного значения параметра (аа-к и ж°=31) найдек следующим образом. Выполним разбиение исследуемого интервала 0 < as< А и О < а°< а узловыми точками íagj. ,J=l,2,... J, <xs1=0 , asJ=A

и я| 2,.../{, , }. Решаем граничную задачу

для различных значений r<°,«3J~ Вычисления начинаются от известных реиений (например, найденных при as=0 ) и заканчиваются, когда будет найдено решение по условию сходимости

при а =А • и°-5Е . s

выводы

Получено решение уравнения ЯЛ для кварка с "токовой" массой, составляющей связанное состояние в осциллятором и куло-нозсксм потенциалах. Вычислена собственная энергия составных кварков. Построены зависимости репеяия от массы кварков (ж°) к константа взаимодействия кулоневского потенциала (аа) .

Показано, что при т.е. когда имеется явное нарусение

киральной симметрии, эффект CHIC убывает с ростом я0 к становится принебрелгао малым при массе "токового** кварка превызаявей

г л ")1/э

значение константы осцилляторнсго потенциала а°> I -3-V.J

Зависимость решений уравнения 5Л от ав яоказ^ает, что в области малых "токовых" масс кварков вклад кулоноЕ кого потенциала з эффект СЕКС незначителен.

Получены реиения трехмерного уравнения БС в приблигении одновременности взаимодействия на связанное состояние кварк-антикварк. МеккЕзрковсе взаимодействие выбиралось в виде комбинации осцилляторного и кулоновского потенциалов.

Сделано сравнение собственных значений « собственных функций уравнений БС со спектром глее и волновыми функциями псевдоскалярных ьегонов и их радкзльно возбужденных состояний.

Показано, что спектр касс псевдоскалярных мезоноЕ дает хсposee согласие с экспериментальными данмыми.

Сделано предполоявние об идентификации недавно обнаружен-

вето очарованного незонного состояния (с массой 2460 йзв спин и четность которого еде не спределеш) с первый радаадьво возбу-«еннвв очароааншн Л-иезонои-

Ой^ша сщеша lacc B KcmcTain^ j^TQHKii распадов псендо-скаляршх мезонов, кото v je сравниваться с экспериментальными данными, Изучена зависимость ревени! уравнения БС от "токовых" иасс кварков * параметров потенциала.

Разработаны вычислительные схеад основанные на непрерывном аналоге метода Вьвтона для реаениг нелинейной граничной задачи уравиений типа sin-Gordon и уравнений на собственное значение.

Разработан алгоритм в программы численного анализа нелинейных сингулярных задач на. собственные значения (уравнения БС) и граничной задачи (уравнения И) для интегро-дифференциальных уравнений второго порядка, зависящих от физических параметров.

Разработан метод продолжения по параметру (используются только физические параметры л° и ав) как способ последовательного получения достаточно хороших начальных приближений при движении по параметрам.

Результаты опубликованы в следующих,работах:

1. Амирханов Й.В., Жураев О.Ы., Хадлис В., Лервускк В.й., йузынин IL В., Сариков H.A., Стриж Т.А./КБарконий в КХД с растущим потенциалом. //Сообщ. Сбъед. йк-тз Ядер.Иселед., Дубна.- 1983 Р11-88-506.-12с.

2. Amirkhanov I.V.,Juraev O.K..Pervushin V.U.,Puzynin I.V., Sarikov B.A./Pion as relativistic bound- state in oscillator potential.// Прелр. Обгед. «ш-та ядер, иселед., Дубна.-1989.~ J6 Е2-89-583.- 12с.

3. Aairkhancv I.V., Juraev о.М., Pervustiin V.35., Puzynin I.V., Sarikov H.A./ Instantaneous approximation for QCD and the

, properties of юезспз tx, %', X, К*).// Препр. Обгед. ин-та ядер, исслед., Дубна.-1950.- Jfc Е2-90-414.- Юс.

4. Asnirkftanov I.V., Juraev O.a.., Pervusftin V.H., Puaynin I.V., Sarikov H.A./ Bewtonian iterative scheme for solving Schwin-ger-Eyson equation for a quark.// Сообщ. Объед. ин-та ядер, всслед. Дубна.- 1991 Eti-?i-ics.- 15с.

5. Амирханов И.В., Жураев О.Н., Первушин H.H., Пузынин И.В., Сариков S.A./Численный метод решения кр :вой задачи для системы уравнений (Уравнение Бете-Салпитера}// Сообщ. йО'ьСД. ин-та ядер, исслед., Дубка.- 1991.-» Ptl-9i-m.-18с.

6. Sarikov К.A-, Pusynln I.V., Pervusfiin V.E., Juraev O.K., Amirfchaiiov I.V./Parameters of low-energy physics radial properties of ¡recoils (%,%', K, K',D, D').// Сообщ. Зъед. ин-та ядер, исслед., Дубна.- 1991.- » Е2-91-262. - 14с.

7. Жураев O.K. Нарувеииекиральной симметрии и квартовый конденсат .// Узбеке. Физ. Журн.-1993.- Ш.

КВАРК ПОТЕНЦИАЛ ИО.ШИ АСОСИДА ЕВГИЛ ВА ОПвР МЕЗОНЛАРБИНГ СПЕКТРОСКОПИЯ®,

ЕУРАКВ от кодвович

Осциллятор ва кулон ¿ютенияалларкивг йигиндисидан иборат булган узаро таъсир потенциалига зга булган Шзингер-Лайсок (И) ва Бете-Салпитер (БС) релятивистик-ковариант тенгламалари системаси курилган. Танланган потенцкалда ШД чизик»ли булмаган интегро-дифференциал тенгламасини эчкш усули таклиф ^илинган. Икки кваркли богланган ^одатни тавсифловчи БС тенгламаси чега-равий масаласини ечишникг алгоритма ишлаб чицилган. Тажрибавий ва назарий аюпушган пионнинг массаси ва унинг лептон парчаланиш доимийлиги ^ийматларини солиптириш йули билан ок,им кваркларнинг массалари ва танланган потенциалнинг пара-метрлари аки^анган.

Осциллятор ва кулон потенциалида боглш$ з^олатни ташкил зтувчи "о^им" массага эга булган кварклар учун ШЛ тенгламаси-нинг ечими топилган. Кваркларни "о^им" массаси ^иймати осцил датср потенциалдаги доимилик ^ийматидан катта булганда г ¿. ч1/3

я°> IУо| кирал симметриясининг бузилкши куколиши курсатилган.

Кварк-антккварк богланган холат учун уч улчовли БС тенгламасини узаро таъсир я^инлгшишида ечими ол;:нган.£С текгда-маси хусусий функциялари псевдоскаляр мезонлар ва уларнинг массалар спектрлари ва тулк,ин функциялари билан солизтирилган. Псевдоскаляр мезонларнинг массалар спектрлари скфат дарахасида тагрибавий натигаларига я^иклаииии аниклангак.

"О^им" кварклар массаларининг белгиланган ¡^кйматлармда ¡^исобланган парчаланиш доимилиги ^ийматининг "мезон"лар тсс&* ларига нисбатининг кулон потенциала параметрларига богланивг; акик^анган. Бу нисбат ^ийматининг талрибада анш^акган дар билан солиптириш йули сражали кулон потешка "чшйг гъхжш?*. ^иймати топилган.

-fS-

THE BJASS SPECTRUM OF LIGHT AND HEAVY HESOHS IS QUAHX POTENTIAL MODEL

JURAEV OBID HUMIKOVICH

The system of relativistic-covariant Schwinger-Dyson <SD) and Bete-Salpeter (BS) equations with an interaction potential taken in form of oscillator and coulomb terms is considered. We proposed the method for solving nonlinear integro-differen-tial. SD equation with chooeed potential. Also the algorithm for numerical solving a boundary value problem for two-quark bound states describing by the BS equation have been • orked out. The current quark mass and potential parameter are estimated by comparing of pion and its leptonic decay constant (Fx).

The solution of SD equation for current quark masses, which composes bound state in oscillator and coulomb potential was obtained. Se show, the breaking of chiral syn-

r, r a ")1/3

metry for of oscillator potential is disappeared a°> I -§-VJ

The solution three dimensional BS equation on bound state quark-antiquark in approximation instantaneous interaction is obtained. The eigen values and eigen functions of BS equation is compared to the mass spectrum and wave functions of pseudoscalar mesons and its radial excitations of states. We show that the mass spectrum of pseudoscalar meson on the qualitatively level are in agreement with the experimental data.

A dependence oi relation of calculated decay constant values and the mass of "mesons" on current quark masses is found. The value of coulomb potential constants was defined by comparing this relations to experimental vulue.

Отпечатало на ротапринте Шй АН ?Уз. 702132 п.Улугбекского р-на г. Тапкег-э Позпйсано в печать 20.1С.23, У-;.-:яа.л. 1,8 Зякзч ? 402 Тигя» ЮС.