Специальные автоморфизмы простых конечных групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

«§ §

С5 ^ УДК 512.54

- "V

ЛЕЩЕВА Светлана Викторовна

СПЕЦИАЛЬНЫЕ АВТОМОРФИЗМЫ ПРОСТЫХ КОНЕЧНЫХ ГРУПП

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат диссертации на соискание ученой степени Кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 1998

Диссертация выполнена на кафедре «Высшая математика» Нижегородского государственного технического университета

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор В.М. Галкин Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

профессор H.A. Вавилов доктор физико-математических наук, профессор М.И. Кузнецов Ведущая организация - Российский государственный педагогический

Университет имени А.И.Герцена

Защита состоится «/Л ¿'¿Ле&ё 1998 г. в /¿Г часов на заседании диссертационного совета К 063.S7.45 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук в Санкт-Петербургском государственном университете ( адрес совета: 198904, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Библиотечная пл., 2, математико-механический факультет Санкт-Петербургского государственного университета).

Защита будет проводиться по адресу: 191011 Санкт-Петербург, наб. р, Фонтанки, 27, ауд.311 (помещение ПОМИ РАН).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке имени А.М. Горькогс Санкт-Петербургского государственного университета. Автореферат разослан «/#» ¿?&cZstpj> 1998 г.

Ученый секретарь диссертационного Совета К 063.57.45

P.A. Шмидт

Общая характеристика работы.

Актуальность темы. Проблематика диссертации вытекает из теории конечных леводастрибутивных квазигрупп. Первой работой по леводистрибутивным (конечным) квазигруппам следует считать работу Бурстина и Май ера [3], появившуюся в 1929 году. Они поняли, что изучение таких объектов требует больших усилий, чем в элементарной теории групп, по-видимому, это обстоятельство вынудило их потребовать выполнение и правой дистрибутивности, т.е. они изучали так называемые дистрибутивные квазигруппы. Отмеченное ими фундаментальное отличие от групп состоит в том, что все элементы равноправны по своим свойствам.

В 1962 году появилась замечательная работа Б.Фишера [4], центральным результатом которой является доказательство разрешимости групп трансляций дистрибутивной квазигруппы. Работы Фишера впервые продемонстрировали эффективность теоретико-групповых методов при изучении леводистрибутивных квазигрупп.

В начале 80-х В.М.Галкиным была выдвинута гипотеза о разрешимости конечных леводистрибутивных квазигрупп [1]. Там же она была сведена к чисто теоретико-групповой гипотезе о непростоте так называемых ср-групп. Привлекательность данной гипотезы заключается в том, что она включает в себя такие на первый взгляд далекие друг от

друга утверждения, как упомянутая выше теорема Фишера, теорема

3

Фейта-Томп сона о разрешимости групп нечетного порядка, а также гипотезу о разрешимости групп с регулярными автоморфизмами. В.М. Галкин привел доказательство гипотезы для всех спорадических групп, серий знакопеременных групп.. К настоящему моменту закончено исследование групп в?, ^, унитарной группы Ц,.

Цель работы. Продолжить доказательство вышеуказанной гипотезы, а именно исследовать на предмет несуществования нетривиального автоморфизма <р следующие простые группы симплектические группы в четной и симплектические группы малых размерностей в нечетной характеристике, проективную группу ЬпСч) , а также группы Р4(ф, ^(я).

Общая методика исследования. Применяются методы теории групп, в частности, подход Шевалле, методы теории квазигрупп.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми.

Практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Утверждения, доказанные в ходе разработки аппарата исследования, имеют самостоятельное значение и могут найти применение в теории групп, а также в квазигрупповой теории.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на

расширенном заседании кафедры алгебры МГУ, посвященном памяти

4

А.Г.Куроша (Москва, 1996);

международной алгебраической конференции, посвященной памяти Д.К.Фаддеева (Санкт-Петербург, 1997);

алгебраических семинарах ННГУ, НГТУ (Нижний Новгород, 19961998)

Публикации. По теме диссертации опубликовано 10 работ.

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 90 страницах, состоит из Введения и шести глав. Список литературы содержит 34 названия, в том числе и работы автора, написанные в соавторстве.

Содержание работы.

Во ВВЕДЕНИИ обосновывается актуальность выбранного направления исследования, приводится краткий исторический обзор решаемой проблемы, а также коротко излагаются полученные в диссертации результаты.

ПЕРВАЯ глава является вводной. В ней собраны сведения о леводистрибутивных квазигруппах^ и их свойствах, которые необходимы для постановки проблемы и ее решения. Вводится понятие ср-группы, т.е. группы П с выделенным автоморфизмом ф, удовлетворяющим условию: х(р(х"')е эТэ"1 => хеТ=<уеП | <р(у)=у>. Условие, налагающееся на автоморфизм ср, позволяют гарантировать квазигрупповую структуру на

однородном пространстве П/Т (Т - подгруппа ^неподвижных этементов) относительно операции х«у=ху"'х(то<1Т). Представление вНЛ/Т заданной квазигруппы С неоднозначно, однако, каждое представление может быть редуцировано к так называемому "минимальному". В конце главы приведены арифметические свойства подгруппы Т, а также теорема, широко используемая в гл.5,6, переформулированная для <р-групп следующим образом: в случае <р2=1 группа разрешима.

Непосредственно задача ставится в ГЛАВЕ 2. В этой части формулируется гипотеза о разрешимости конечных леводистрибутивных квазигрупп: ГРУППА ЛЕВЫХ ТРАНСЛЯЦИЙ Ь (в) И ЕЕ КОММУТАНТ Ь'(0) ДЛЯ КОНЕЧНОЙ ЛЕВОДИСГРИБУТИВНОЙ КВАЗИГРУППЫ РАЗРЕШИМЫ.

Проводится сведение ее к чисто теоретико-групповой гипотезе о непростоте ср-групп [1]. Таким образом, для решения проблемы необходимо исследовать все известные простые группы на несуществование в них нетривиального автоморфизма <р.

Интерпретация простых классических групп в терминах групп

е

Шевалле облегчает их исследование и придает наглядность изложению материала, поэтому ГЛАВА 3 содержит необходимые сведения из теории групп Шевалле.

При разработке методов исследования и применения их к конкретным группам проведено доказательство ряда вспомогательных

утверждений. Для удобства изложения эти сведения выделены в отдельную ГЛАВУ 4. Заметим, что некоторые факты , доказанные в процессе исследования групп при проверке гипотезы, имеют самостоятельное значение и дают новые сведения об элементах простых групп.

В ПЯТОЙ ГЛАВЕ предложены результаты исследования гипотезы для симплектических групп в четной характеристике, а также групп Е«(я), 2Р«(я). При рассмотрении последних оказалось необходимым разобрать группы ЗрДц), Бр^) в нечетной характеристике. В основе метода доказательства лежит сведение проблемы к случаю <р2=1, при котором группа разрешима [1].

Проверка проводится для случая |Т|*1 (случай |Т|=1 исключен в [2]) и реализуется следующим образом: Доказывается сопряженность элементов простого порядка со своими обратными. Откуда выводится заключение о четности порядка .А это указывает на наличие инволюции в Т. Индуктивные рассуждения относительно централизаторов инволюций приводят к заключению ф2=1 , а это возможно лишь для разрешимых групп.

б ГЛАВА посвящена доказательству гипотезы для простой проективной группы Ц(я). В начале отвергаем регулярность автоморфизма ср. Затем, рассматривая подгруппу Т*(1), предусматриваем классификацию

элементов на полупростые и унипотенты, через рассмотрение которых приходам к наличию в Т инволюции. Изучение строения централизатора инволюции и применение метода индукции приводят к ф-тривиальносги исследуемой группы L„(q). Начальный шаг индукции требует отдельного рассмотрения группы Lj(q).

Цитированная литература

1. Галкин В.М. Леводистрибугивные квазигруппы./ Докторская диссертация. - Горький,1986.

2. Горенстейн Д. Конечные простые группы. Введение в классификацию. -М.:Мир,1985.

3. Burstin С., Mayer W. Distributive Gruppen von endlicher Ordnung.-J. Reine

undangew. Math.,1929,160,111-130.

4. Ficher В. Distributive Quasigruppen endlicher Ordnung. Math.

Zeitschr.,1964,83,s.267-303.

Работы автора по теме диссертации. 1. Галкин В.М., Лещева C.B., Суворова О.В. О проективной группе Ln(q). Международная алгебраическая конференция памяти Д.К.Фаддеева. Тезисы докладов, С.-Петербург, 1997, с. 186.

2. Лещева C.B. Группы F4(q), 2F4(q) и их специальные автоморфизмы. Деп. В ВИНИТИ 04 апреля 1997 №1096-В97.

3. Лещева C.B. О ф-струкгуре на группе гА„. Международная алгебраическая конференция памяти Д.К.Фаддеева. Тезисы докладов, С.-Петербург, 1997, с.234-235.

4. Лещева C.B., Суворова О.В. О ({»-структуре на проективной группе

Lî(q).// Математические заметки,т.63, №5, 1998.

5. Лещева C.B., Суворова О.В. Специальные автоморфизмы унитарной

группы U„(q) в нечетной характеристике. Деп. В ВИНИТИ 31 декабря 1997 № 3852-В97.

6. Лещева C.B., Суворова О.В. Специальные автоморфизмы унитарной

группы U„(q) в четной характеристике. Деп. В ВИНИТИ 31 декабря 1997 №3851-В97.

7. Лещева C.B., Суворова О.В. Специальные автоморфизмы группы 3D4. Деп. В ВИНИТИ 19 марта 1997 № 843-В97.

8. Лещева C.B., Суворова О.В ср-сгрукгура симплекгаческнх групп малых размерностей в нечетной характеристике. Деп.в ВИНИТИ 04 апреля 1997 №1095-В97.

9. Лещева C.B., Суворова О.В О <p-crpyKiype на группе Sp^iq) в четной

характеристике. Деп. В ВИНИТИ 19 марта 1997 №844-В97.

Ю.Лещева С.В., Суворова О.В. Группа и3 (я) и ее специальные автоморфизмы. Деп.в ВИНИТИ 7 апреля 1997 №1150-В97.

Подл. *печ25.05.98. Формат 60x84 '/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Уч.-издл. 0,75. Тираж 50 экз. Заказ 278.

Типография НГТУ. 603600, Нижний Новгород, ул.Мшшна, 24.