Сплайн-решение задачи N тел тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

КАЗАХСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. АЛЬ-ФАРАБИ

На правах рукописи

АБДЕШОВ ХАМИТ УРИСТЕНОВИЧ

СПЛАЙН-РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ N ТЕЛ Специальность 01.02.01 - Теоретическая механика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Алма-Ата - 1992

Работа выполнена в Институте механики и машиноведения Академии наук Республики Казахстан

Научные руководителя:-академик АН Республики Казахстан, доктор технических наук, профессор Я.С. Ержанов, -член-коор. Петровской АНИ, доктор физико-математических наук, профессор А.А. Калыбаев Официальные оппоненты:-доктор физико-математических наук, прсх|ессор А.Г. Сокольский, -кандидат физико-математических наук, доцент А.К. Дуйсекоь Ведущая организация: Московский государственный университет , им. М.В. Ломоносова

Защита состоится /¿/¿^ ^ 1992 г. в часов на

'заседании Специализированного созэта К.058.01.09 Казахского ордена Трудового Красного Знамени государственного университета им. Аль-гФараби по адресу: 480012, Алма-Ата, ул. Масанчм 39/47, вуд. (.¿¿Х- Я&Л -

С диссертацией мокно ознакомиться в библиотека университета.

" . 1992 Г.

Автореферат разослан

Ученый секретарь специализированного соьэта, кандвдат фнэ.-мат, наук угр/е***^ ¿.к. Томилин

е/Дг^ а.к.

^таци^ Задача п тел принадлежащая к числу акту-

альных и наиболее важных задач механикиI состоит в определении движения системы свободных материальных точек, взаимно притягивав вдих друг друга по закону Ньютона, при-произвольно заданных начальных условиях в инерциальной системе координат. В то Бремя как задача дву$ тол решается в квадратурах ггри пХЭ возникает неимоверные трудности, связанные интегрированием большого числа нелинейных дифференциальных уравнений движения.

Невозможность точного и полного интегрирования дафферянии-альных уравнений движения при современном соотоянии матаматичос-кой науки, о одной стороны и развитие аналитической теории дифференциальных уравнений с другой стороны привел! к возникновению новой трактовки проблемы интегрирования задачи п тел. Повтому целью аналитических методов стало нахождение приближенного рентная атой задачи в буквенном виде, т.е. предотааченио искомых функций: координат, их производных, элементов орбит и у.п.; приближенными математическими формулами, содержащими, по вовмокноо-ти, конечное число простых математических действий. Именно этим

определяется актуальность Теми диссертации.

»

Ц§ль_11ссл|дова1щя1 Рассматривается йядача определения двиае-ния системы п материалишх точек, взаимно притягивающих друг друга по закону Ньютона при произвольных заданных начальных условиях, отнесенных к некоторой фиксированной системе координат.Цель« исследования я&ляэтея получение аналитикесшгх выражений дик определения приближенного решения задача « Тал а пидо кубичепют: сплайнов, условий оувестаованпя п 9дкнотвэнноста такого приближенного решения.

Научная..новизна, На основании метода сплайн-коллокации дифференциальных уравнений построен алгоритм получения приближенного (аналитического) решения задачи п тел в виде кубических, сплайнов. Получены условия при которых представление решения задачи п тел в виде хубичоских сплайнов возможно и единственно. Получены оценки погрешности аппроксимации точного решения задачи п тел построенным приближенным решением. На основе численного счета показана устойчивость предложенного алгоритма.

Практическая ценность. Построенный алгоритм может быть использован для создания численных моделей движения естественных и ' ■ искусственных небесных тел. На защиту выкосятсяг

- формулиройкч задачи сплайн-коллокации системы дифференциальных 'уравнений второго порядка, описывающих движение гравитиругацей си-'стемы п материальных точек (задачи п тел);

- алгоритм определения решения задачи п тел. в виде кубических сплайнов й аналитические выражения для нахождения параметров построенного кубического сплайна;

- тооремы существования и единственности решения задачи п тел в гаде кубических сплайнов;

- оценки уклонения полученного .'решения от точного;

т устойчивость предложенного алгоритма построения решения задачи п тел'в,виде кубического сплайна. в

' Апробация робота. Основные научные результаты диссертации докладывались и обсуждались:

- на республиканской научно-технической конференции молодых ученых АН'РН (Алма-Ата, 1986 г.);

- ка 1'отсошэм сьвещании "Динамика гравитирущих систем и методы

аналитической .небесной механики" (Алма-Ата, 1987 г.);

- на всесоюзной школе "Системы аналитических вычислений на ЭВМ и их приложения в механике" (Москва, 1987 г.);

- на республиканской конференции по _ проблемам вычислительной математики и автоматизации научных исследований (Алма-Ата, 1988 г.); „

- на IX республиканской межвузовской научной конференции по математике и механике (Алма-Ата, 1989 г.);

- на всесоюзном совещании "Алгоритмы и программы небесной механики" (Ленинград, IS9Q г.);

- на • научной конференции "Моделирование слокных механических систем" (Ташкент, 1991 г.);

- на научном семинаре по механике Института механики и машиноведения АН РК (Алма-Ата, 1991 г.).

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит на введения, 3 глав, основных выводов, списка литературы из 53 наименований, I приложения и содершт 69 страниц машинописного текста.

Диссертация является составной частью плановых исследований

4

Института теоретической и прикладной математики АН РК по теме 03.03.Н2 "Исследовать устойчивость Bpaaieteffl Земли во взаимодействии с Луной, Солнцем и планетами; разработать ее деформационную модель для изучения сейсмог&шшх структур в литосфере" (roo. регистрация Л 01870031604).

Краткой содератяе работы..

?Н?_вввдчши укп-'fiM'i пктуплчюсть теми, аформули]У>вчп<» ц«ль »

научная новизна исследования, отмечена практическая ценность работ и кратко изложена содержание глав диссертации.

В первой главе изложена постановка задачи исследования в рамки определения движения системы п свободных материальных точек: введена гаюрциальная прямоугольная система координат Охцг и рассмотрен^ гравитирувдая система Сп: п материальная точек ¿/(, Иг, .... Мп о массами я,, гяг, тп соответственно, взаимно

притягивающих друг друга по закону Ньютона. Пусть всюду на действительной оси времени -со < г < ю имеет место условие несоударя-емости тел системы 0п , т.е. взаимное' расстояние г^ точек М( и Ы} для каждого момента времени I удовлетворяет условию

> 0, 1 < I < J К п.

Известно, что во.введенной инерциальной прямоугольной системе ' координат Охуг движение системы Оп описываются системой Зп дифференциальных уравнений второго порядка

т <Згу1 СЮ <32гг ви йХг Тх* ¡Й5"*. * ЙГ2 " Лг,

(I)

1*1,2, п

с начальными условиями

У1<1С>*У10, М«0>-*10,

¡иго>-«1о, К(го> -Ко, **

Здесь I, - прямоугольные координаты точки И,. ( -

»(зависимая переменная (время), V -- силовая фунуция система Сп и выражается формулой

(2)

1 ™ mi.

U * - G ) ) -LJ- .

2 L-. L. д,,

- - V2 * - V2; ie» - V*'- .

где Q - постоянная тяготения, д - взаимное расстояние между

v

точками l't и И^.

Здесь же дан обзор работ, в которых описываются метода (аналитические, качественные и численные) решения задачи п тал, сформулированы задачи исследования.

Во второй главе приведены основные свойства кубических интерполяционных сплайнов и сформулирована задача сшшйн-коллокации системы дифференциальных уравнений второго порядка,аналогом которых являются уравнения (I) с условиями (2). Построено приближенное решение задачи п тел (1),(2) в виде кубических шлейнсв, доказаны теоремы существования и единственности такого рзаокаа .и получены оценки его уклонения от точного.

Для Формулировки указанных результатов введем некоторые обозначения и определения. Пусть f(x) е Cta.bl, a,b i И, а < Ь и на отрезке (а,Ы задана сетка '

4 : а = tQ < t j t ...< tn * t>. (3)

Определение I. Функция SJt) называют 1 кубическим сплШШ дефектч v (и - целое число, О s v z J) с узлшя на спчка л, : ясли на каждом отрезке J{ • [t{,tl + 1J р.-эзбиепия Л функция Sv(t) jffiifl-втся кубичоским кногочлопом, т.ч.

а) в^г) - £ а]° а - г,;' для всех г <

£ » 0,1,...,Я~1;

б) ¿'„а) с сп~"(а,Ъ).

Определение 2. Интерполяционным кубическим сплайном 3(/;г) называется сплайн, удовлетворяющий условиям

-/4, .....н,

тле •= /П<^ значение функции /а) в узлах сетки (2.1).

Пусть задана система п обыкновенных дифференциальных уравне-нуй второго порядка

- /„'«г.«*.....V' 0 < * < <4>

1 1 • к - 1,2, ...» я

с начальными условиями

и1(а) » ; « , « . 1,2.....т, (Б)

■ "I

где фуюядии 'непрерывны на множестве <} *

((и{,иг.....|ил| < й « 1,2, ..., я) и удовлетворяют уо-

ловию Липшица по перемеяямм и{,иг,...,аш *

п

- ?к(йгйг,...,йп)\ $ ъ £ |игй{|, (6)

I»»

Приближенное» рзшгтие задачи (4) - (5) строится следующим об-

- э -

разом: на каждом подотразке J « {tt,t^+t}, £ <* 0,1 ,...,11-1 рязси-01Ш (3) отрезка (а,Ъ1 приблязгмшоэ роаэкга задачи (4) - (5) за-

пксиваотся ц виде кубичосхпс смеЯнсз ^ ( { ^ '

= ".....,?м; п я .....(7)

»0

о неизвестными коэффициентами I: »> ;т; J я 0,1,2,3

определяемыми из условия коллоксции в точках г{ и £ (^, и пачаль-!шх условия

л ■» г,г.....п,

где =

Таким образом задача сведена к решении слэдущеЯ снотемы нелинейных уравнения.

2г 1,2, ... ,п,

из которой для опрзд-элогоя пзпзвэотпах пэргкэчтрвз кубгтюсяого сплайна (7) получены:

а) аналитически?» варажокая для (( а 2,

«С

Р. «

¿7) система яеишэйшлс влгоораичепап уравнений относительна -^" .....т} тща

В<»а<1> ш ?'1}(а<1)) - Р '/«>. (Ю)

Здеаь Ви) - матрица левой части (2.11) после исключения

а11о' 4!г'а1,Ц11»вд

671 0 . . . 0 • 0

0 6Л . . . 0 0

0 0 . . . 671 0

0 • 0 . . . 0 б?1

где аа) » '-^э' - вектор столбец неизвестных коэффициентов; « ..............

.....ЛУ«" .....

Получена следущиэ теоремы, определяющие условия существования и единственности представления решетя задачи п тел в виде

кубических сплайнов и порядок уклонения приближенного решения от точного.

Теорема I. Если система уравнений (4) удовлетворяет условию

Липшица (6) по простракствешшм переменным и(, и2_____ кп для всех

I на отрезке [а,Ь1 и для разбиения (3) отрезка (о,Ы выполнено .условие Л < (б/Ь)1/г, то приближенное решети "й(-г) (4) - (5) в виде кубического сплайна (7) существует п определяется однозначно • на всем отрезке (а,Ы.

Теорема 2. Пусть П «« 1, иа) е С4(а,Ы и разбиение Л (3) удовлетворяют условию П с (6/1)1/2. Тогда порядок приближения-приблипишого реаешя 3({) к точно;,7 розэкгаэ и(1) равен 0(Пг).

В третьей главе алгоритм сгмаПп-репешя задачи п тел реализован для модельных задач Солнечной с:ото"!: рассмотрены задачи п тел при п « 2, 3, 4, 6, а, 9, 10. Для этого введена гелиоцентрическая прямоугольная система коордязат, уравяокпя движения и их первые интеграла ьыплстм по введенной слете:,координат, приведет числовые зяачешш прямоугольных координат и составляющих скоростей планет Солнечной скстма па тлзмэзгт Л523328.Б (30 декабря оо'Т 1949 г.) нообходяшэ для счета а качестве начальных условий и система плана'пгых масс.

Путем численного иптэгркросат урогязглЯ двпкепия для систем Сг, 06 и О)0 показана устсЯтаесоть построенного алгоритма оярэдолэния репзпая задата п тол в гаде яуйпзского сплайна (7).

а

В качество оценил устойчивости рассглэтраэдась модуль разности двух векторов полозеппгг тола ¿г я а^2 + + &2г},,/г, полученных прямил и обратным ¡штегрирсскксм урсвяошз дгашяпм снеема С . При обратном интегрирования тлучэгамэ з конце интервала координата и состаздягаг-э скоростей тел брались за начальные и ш-

тегрирование уравнения движения системы Сп проводилось назад.

В качестве системы 0п приняты:

а) при п 2 Солнца ц планета Солнечно.! системы;

0) при п = 6 Солнце и планеты Солнечной системы - Солн-цо, &г - Юпитер, ¡¡э - Сатурн, В4 - Уран, Il5 - Нептун, - Плутон ) ;

б) при п » 10 Солнечная система (И0 - Солнце, - Меркурий, U2 - Банера, М3 - Земля, М4 - Ыарс, 115 - Юпитер, М& - Сатурн, l'r - Уран, if - Нептун, Ilç - Плутон).

Уравнения якжешш численно проинтегрированы для системы 02 ' на интервале 65 лот, для скстеш вг - ИОО лет и для система G)0 -100 лет.

В расчатах использовала слздухдая система единиц:

а) единица длина - астрономическая единица;

О) единица масса - масса Солнца;

б) единица времени - средшю солнечные сутки.

Накапливание озибки интегрирования в положении каздой из

планет в конце интервала иллюстрируют: для системы аг графики Igt г для плакат КэркургЛ, Бгмля, Юпитер и Плутон при h «= 0.1 с.с. (рис. I) к при h « 4 o.e. (рис. 2), для систем G6 и GJ0 таблицы I и 2 соответственно.

Кроме _ того для контроля результатов численного интегрирования использована первые кнтегрли уравнений движения (4) системы Gn. о этой цельв вычислялось отклонение постоянных первых интегралов от их значений в начальный комэнт времени. Выяснилось, что максимальное отклонение даэт кптвграл энергии и оно к конце интервала интегрирования равно:

lüät*

-ю-

í>

N

-12-{-•ггтгт-ггттгтг-п-T-r-rr-T-rn-r-T-f-rrr-i-rr rг:гп rrrrnrrn О 5000 10000 1ÍM50 20000 20000

Рис Л. Оценка точности положения планета на орбите при

h « 4 o.e. в задачах: а) Солнца - Меркурий; О) Солнце - Земля; ñ) Солнце - Юпитер; s) солнце - Плутон,

-1 J -! т fr г "П ПЧ ) VTI )' I ГГ ПТТ'ПТПЧЧ 1"| I Г I М l'ri rfci'Trr ГТ'ГГ

5000

10000

15000

20000

ñoo

Рис.2. Оценка точности положения пленэты На орбите при

Л » 0.1 с.с. в задачах: а) Солнце - Меркурия; б) Солнце - Земля; в) Солнце - Юпитер; е) Солнца - Елутои.

а) для G6 IИ - И01 - 4*Ю~В;

б) для 0(О - Н01 » 4*Ю~В.

Таблица I.

Дг (а,е.) в конечной точке

Планета п.....................1 • Дг — ---------, Планета Дг

Юпитер 8*10"9 Нептун 2*10-'°

Сатурн 5*10-'° Плутон 4*10",0

Урсн 1 2*10"" •

Таблица ?,

Дг (а.э.) в конечной точке

i 1 • 1

Планета Дг Планета ДГ

Меркурия 2*10"® Сатурн 3*10",3

Венера 4*10"п Ураи 8*10"14

Земля 1 Луна 3*10",г Нептун 8*10"ы

Мэре ' 4*10"ы Плутон 4*10""'

Юпитер г*ю'п

Сравнением положении планеты в задачах двух и десяти тел irлюлялос! время в сутках, в течение которого задачу десяти тел mcw> а^яить задачей двух тел.

Ш результатам численного иятегрирорания уравнений движения w.'smh </п iqw ¡1 •■ 2, 3. 4, 6, 8, ICI на примере Земли игследован У'.чг-'ог: влрянии гвккх плттт необходимо учитывать и влиянием

каких планет можно пренебречь.

Также сравнивались результаты численного интегрирования уравнения движения для систем Од и С(£). Для ■ каждой из девяти планет Солнечной системи выяснялся ответ на вопрос: исключение к/, кой планеты из задачи десяти тел дает наибольиоа и наименьшее отклонение положения планеты от ее положения в задаче десяти тел. Результаты исследования приведены в таблице 3.

Таблица 3.

-1--1--

Наименьшее отклонение Наибольшее отклонение

--1----,-,------

Планета Задача Дг з конце интервала Задача ¿г в конце интервала

Меркурий 09( 9) 2*10"'° Сд(5) 3*10~4

Венера С9(Э) 6*10"'° Сд(5) 1*10~6

Земля С9(Э) 1*10"9 С9(5) 2*Х0~5

Марс 5*Ю~9 <У5> ' МО-4

Юпитер <У9) , Ы0~э 5*Ю~б

Сатурн 3*10"° С9(б) 2*Ю~6

Уран С„(Э). 8*10'® 09(б) 2*ю~4

Нептун С, (9) 2*10~г с9(б) 3*Ю~4

Плутон 09(Э) 2*10"7 ■ 0&(5) 4*1<Г4

Наиболее существенно сказывается исключение из Солнечной системы Шитера и наименее ощутима исключение Плутона.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ.

1. Поставлена и решена задача сплайн-коллокации системы дифференциальных уравнений второго порядка, описывающих дешшнш гравитирувдой систош п материальных точек (задачи п тел).

2. Построен алгоритм определения решения задачи п тел в виде кубических сплайнов и получены аналитические выражения для нахождения параметров построенного кубического сплайна.

3. Получены услоеия существования и единственности представления решения задачи п тал в виде кубических сплайнов.

4. Получены оценки уклонения полученного решения от точного.

5. Путем численного интегрирования уравнений движения разумных вариантов гравитирующей системы G ( п = 2; 3, 4, 6 и 10) показана устойчивость предложенного алгоритма построения решения задачи п тел в виде кубических сплайнов.

- Сравнением результатов численного интегрирования уравнений движения G/0 и различных вариантов гравитирущей системы £?n ( п = 2, 3, 4. 6, 8, и 9) в приложении к Солннечной системе исследовано влияние сил взаимного тяготения тел системы G на их движения.

1Х

Основные положения диссертации изложены в следующих работах:

1. Калыбаев A.A., Абдеиов Х.У. Решение задачи многих тел в сгушйн-функциях.//Вопросы небесной механики и звездной динамики, Алма-Ата, Наука, 1990, с. 66-70.

2. Абдешов Х.У. Сплайн-приближение поступательного движения задачи многих тел.//Теоретические и прикладные вопросы математического моделирования., Алма-Ата, 1990, с. 64-72.

3. Абдесюв Х.У. Peiwrae задачи трех тел с помощь» кубических

сплайнов.//Молодежь и научно-технический прогресс., Алма-Ата, 1986, с.136.

4. Калыбаев A.A., Абдешов Х.У. Агоритм исследования основной задачи небесной механики.//Проблемы вычислительной математики и автоматизации науных исследований., Алма-Ата, 1988, T.I, с. 59.

б. Абдешов Х.У., АЛдияров К.Т., Баймухаметов A.A., Егоров Ал.К.,Калыбаев A.A. Глобальные и локальны® движения алиментов модели Земли в рамках Солночной системы.//Математика п механика. Ч.З, Алма-Ата, 1989, 0. 4.

6. Абдеиов Х.У., Калыбаев A.A. Метод сплайн-аппроксимации решения основной задачи небесной механики и астродинамики. //Всесоюзное совещание "Алгоритмы и программы небесной механики", Ленинград, 1990, С. 19-20.

7. Калыбаев A.A., Абдешов Х.У. Динамический принцип отбора Еоасг-*еяэ0мых движений гравитиругадей сястеш п тел. //Тезисы докладов "Моделяроваляэ сложных механических систем", Ташкент, 1991, С. GS-69.