Восстановление кривых и поверхностей с сохранением формы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

шшстерство то ímm науки, вшам вяолы

н технической полижи pcficp Ловоснбирскай государственный ушшрсатет им. Левкнского комсомола

На правах руг.шися

ЯЦЕНКО СэргеЭ Алексввдрович

УДК 519.651+519.652.3+517.510.855

ВОССТАНОВШШ КРЯВШС H ПОВЕРХНОСТЕЙ С СОХРАНЕНИЕМ СОРШ

Спецяальцосты 01.01.07 - шчясяительная натематакв

АВТОРЕФЕРАТ диссертации и« соискание ученой степени кандидата физико-ыатвматаческих наук

Новосибирск - 1992

Работа шшхшеня в Институте Теоретическое я Прикладной Механики СО РАН

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ! кандидат фазико-ывтеыатическнх вяук,

доцент Е.И.Квасов

ОФВДИАЛЫШ ОШСШШШ! доктор «¡иаико-ыатеывтических наук,

профессор Ю.С.Завьялов

доктор фкззко-ыагештгческнх наук, профессор В.К.Воакобовянкоа

НВДУЩШ ОЕГАНИЗДЦЕЯ»' Вычислительный Центр Широкого

отделения РАН

Защита состоится ..... /¿Г. ...........1992 года

.час. ев звсвдвнии.специализированного совета

К 063.96.04 при Новосибирском государственной университете

по адресу:

630090, Новосибирск-90, ул. Пирогова. 2.

С диссертацией ыохно ознакомиться а библиотеке Новосибирского государственного университета

Автореферат разослан .........1992г.

Учёний секретарь специализнрованкогл совета К 063.98.04 < доктор физико-ыатеиатических наук

В.В.Капитонов

общая характеристик! рабом

ЖШПЛССГЪ. В настоящее время в вычислительной математике для решения задачи математического описания кривых и поверхностей наибольшее распространение получил вшврат теории сплайнов: Р. С.Завьялов, Б. И.Квасов,В.Л.Мирошниченко "Метода сплайн-функций". Для приближения функций широко используется . кубические и бикубические сплайны класса гладкости о2. Однако в раде случаев поведение кубических сплайнов не согласуется с качественными характеристиками исходных данных. Визуально это проявляется в присутствии выбросов, осцилляция» различных отклонений, не характерных для исходного набора точек, а математически шкет бнть выравеяо как немонотонность и наличие точек перегиба на участках монотонности я выпуклости исходных данных.

ЦЕЛЫ) ДИССЕРТАЦИИ является разработка эффективных методов и алгоритмов восстановления кривых и поверхностей по дискретному набору исходных точек на основе использования кубических сплайнов и их обобщений. Основные требования-, предъявляемые к таким алгоритмам следунцие: соответствие восстанавливаемых кривых и поверхностей с исходными данными в смысле геометрии; достаточная гладкость результирующего сплайне или сплвйновой поверхности; возмоаность а$фективвой реализации на ЭВМ.

Общая идея диссертации состоит в разработке алгоритмов управления поведением, вообще говоря, обобщенного сплайна путЭм выбора значений его свободных параметров, при котором улучшается соответствие между геометрией сплайна и. геометрией дискретного ьабора исходных данных.

ОБЩАЯ МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ. Поставленные задачи решались на основе общих методов вычислительной математики, математического анализе, программирования.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Введён класс функций с изогеомэтряей и исследованы его свойства. Разработан и обоснован алгоритм решения задачи изогеометрзлеской интерполяции для произвольного набора данных. Впервые получено явное представление рациональных В-сплайнов, обобщающих стандартные кубические В-сштйцц. Исследованы свойства также сплайнов. Найдены

формулы перехода от кусочно-рационального представления к представлению через В-сплайны. Приведбн алгоритм вычисления значений В-сплайнов. Разработана, и обоснованы одномерные и двумерные алгоритмы построения иэогеометрических аппроксими-руодих кривых и поверхностей класса С2. Разработан и обоснован новый алгоритм параметризации при интерполяции параметрическими кубическими сплайнами класса О2. Алгоритм обобщен на случай параметризации поверхностей.

Практическая ценность полученных результатов заключается в разработке комплексов программ, реапизушцих предложенные алгоритма. Внедрение этих программ позволит улучшить точность описан:»: геометрии физических тел при выполнении расчетов на ЭВМ, а следовательно, повысить качество реализации математических моделей.

Практическое внедрение результатов исследований, выполненных в данной работе, осуществлено в виде пердачи комплексов программ в лаборатории вычислительной аэродинамики Института Вычислительных Технологий СО РАН, на факультете ШиУ Московского' университета, в отделе 7 института НИХТИ г. Москва.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Основные результаты исследований докладывались и обсувдались на семинарах проф. А.М.Блохина в НГУ, проф. D.O.Завьялова в ИМ СО РАН, проф. А.Н.Коновалова в ВЦ СО РАН, проф. В.М.Фомине в ИИШ СО РАН.

Школе-с ..шнаре "Теория приближений и задачи вычислительной математики", Москаа, декабрь 1986 г.

IV Школе молоды- математиков Сибири и Дальнего Востока. Новосибирск, апрель 1987 г.

Второй межвузовской конференции "Теория приближений и задачи вычислительной математики", Лег/лнград,_ февраль /1989г.

III Всесоюзном совещании по проблемам построения сеток для решения задач математической физики. Свердловск, сентябрь 1990 г.

Го тема диссертации опубликовано В научных работ.

Структура диссертации. Структурно диссертационная работа состоит из введения, трЭх глав, заключения, списг.з литературы и приложения, всего 113 страницы.

Автор выражает иокреннию признательность руководству и сотрудникам института "СИБГИПРОШАХТ" (г.Новосибирск) за оказанную подчеркну при выполнении диссертации.

КРАТКОЕ СОДЙР1А1Ш '

Во ВВЭД9НШ кромв общей характеристики раОоти яриведбн краткий обзор литературы.

По-видимому, впервые задача гостроения одномерных сплайнов а заданными геоматрическиш характеристиками была формализована в работах А.И.Гребенникова. Ф.Н.Фрич и Р.Е.Карлсон дали решение задачи построения монотонной кривой о помощью армитового кубического сплайна. О.Пруесс решал задачу изогеометрической интерполяции о помощью сплайнов о дополнительными узлами переменного порядка класса гладкости о2. В.Л.Мирошниченко получил достаточные условия, гарантирующие сохрЕЛвние кубическими сплайаами класса О2 и их обобщениями свойств монотонности к выпуклости исходных данных. Однако этот алгоритм работает только на участках монотонности и/ши выпуклости исходных данных, не охватывая случай произвольных данных.

Для данных в узлах прямоугольной сетки а.и.Гребенников формализовал задачу изогеометрической аппрок^имагди функций двух переменных и разработал ,алгоритм изогеометрической аппроксимации класса- с2,2. Р.Е.Нарлсон и Ф.Н.Фрич на основе одномерного алгоритма разработали алгоритм построения интерполяционного бикубического сплайна класса О1'1, который сохраняет свойства монотонности исходных данных.

Форма кривой зависит как от метода решения задачи интерполяции, так и от . выбора параметризации. Влияние способа параметризации на поведение сплайна менее -изучено. Общий глэтод решения задачи эрмитовой интерполяции при выборе в качестве параметра длины дуги искомой интерполяционной кривой разработал В.К.Исаев. Для равномерной параметризации В.П.Васильев указал ' условия сохранения интерполяционными парематри-19сними сплайнами второй и .третьей степеней свойств выпуклости исходных точек. . .■

Глава I.ИЭОГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ РАЦИОНАЛЬНЫМИ СПЛАЙНАМИ. В первой главе рассмотрена одномерная задача

интерполяции о сохранением геометрии походных данных.

Формализовано понятие функции с изогеометрией (ФИ), отличное от использовавшегося в работе А.И.Гр9бэнникова "Метод сплайнов и решение некорректных задач теории приближений". • Доказана теореме о необходимых и достаточных условиях существования ФИ. На основе рациональных сплайнов с дополнительными узлами класса С2 разработан и обоснован алгоритм решения задачи нзогеометрической интерполяции для произвольного набора данных. Алгоритм позволяет не только сохранять свойства выпуклости и монотонности исходных данных, но в выделяет участки прямолинейности, углы и изломы. В качестве началь.гьго этапа применяется построение стандартного интерполяционного кубического сплайна, но могут быть использованы и другие способы задания начального приближения. Обоснована инвариантность алгоритма относительно преобразований тип& сдвига и масштабирования.

$1. Класс функций с изогеоматрней. Пусть на плоскости и2

вадан набор точек у^;, 1=о,1,...таких, что

определена сетка Д:а =х0<х.,<.. =ь. Обозначим через

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Множество функций 1(У) называется классом функций с изогеометрией, если для любой г(зс)е1(т) выполнены условия:

1). *(1.с-С2[а,Ъ];

г) Н1,...,н;

3) ^(х)А^В «ри Л^О И £'(х)=0 при ¿¿=0 для всех, «[х^г^ ], 1=0,1,к-1;

4) Г" (х)в^О, ¿=д.Д+1 при

и имеет.не. более одно?

точки точки перегиба х на интервале ) при

■©^©^<0, тичем 1"(х)0^0 для ¿с[х£,х], а количество точек перегиба на интервала ) не превосхо-

дат числа перемен знака в последовательности ,

(при подсчёте числа перемен знпка в последовательности н',ли пропускаются).

Доказаны взломогательные утверждения, характеризующие

- б -

свойства ФИ.

ЛИМА 1. При Для изогеомэгрии функции Цх)

необходимо, чтобы )•*<)•

ЛЕММА г. При 0^=0 и единственной функцией с

изогеометрией на отрезке ,xi+1] является прямая,

проходящая через точки pi_i»pi,I>i+'! •

СЛЕДСТВИЕ 1. При единственной функцией о.

изогеометрией на отрезке fxi_i»xi+2' яшляется прямая, проходящая через точки ,i,i+i,1+2.

ЛЕША 3. При 0±=Ю и 0l_10i+1<0 для того, чтобы t(x)€l(V) необходимо наполнение одного из условий: 1) ru^o^ > 1п{х±) ш oj

a) i'(x) - f"(x) - о для всех xet*1M,x1+t].

ЛЕША 4. Пусть -и f"(xi)X"(*)>0 при всех

xe[z1,z2]t z^zgeixj^.x^j. Тогда для того, чтобн i(x)el(V), необходимо выполнение одного из условий: 1) г (я,) < \ < t'(z2) для 0± > о, г) > Az > f (аг) длк Oi < О,

3) i"(x) = » О для всех x€tz1,z2],

где Az = (f(z2)-r(z1))/(z2-z1).

СЛЕДСТВИЕ 2. При и t'U.j)*^, j=i,i+1 ДЛЯ

того, чтобы f(x)ei(v). необходимо выполнение 1словий

i,(xi)0i < л1°1 < f,(xi+i)0r

СЛЕДСТВИЕ 3. При О^О^О и OjO^MJ для йзо-

геоматрии f(г) необходимо выполнение неравенств

min(Al_1,Al) $ i'(x1) < пахСД^.Д^. .

ЛИМА 5. При i'(xi)"0 для изогеометрии f(x) необходимо выполнение условий Г'Чх^Д.^ > о, I"щ о.

Основным результатом главы является следующее утверждение.

ТЕОРША 1. 'Для существований функции с изогеометрией необходимо и достаточно, чтобы не выполнялись следующие условия:

1) А^А^О, А^хО, О^в^О, 6^=0, i=3,...,N-1;

г) А^А.ф, al * о, з1+1=о, i=i.....n-з;

Э) Ol_1=Oi+1-Ot О^^О, 5c=i-2,i+2, i=3,...,N-3.

Конструктивный алгоритм построения ФИ содержится в доказательстве- достаточности теоремы 1. Вначалч выделяются'

участки линейности ФИ, В. узлах cqtim Л (не лежащих не участках линейности) производные функции под-

чиняются ограничениям, согласованным с условиями опреде- . лония 1, лемм 1-5 и следствий 1-3.

. Задача построения ФИ f(x) сводится к решению на [xitxi+1]

задачи аргоновой интерполяции по заданным значениям f г=0,1,2;j=i,t+l с дополнительными: ограничениями

mlnCi!,«^ ) < < max(f!,q+1), A.f^ »0.

> О, > 0, j=i,i+1.

52.Решение задачи врштовой интерполяции с ограничения!®.

Локальное построение ФМ выполняется с помощью рациональных

сплайнов вида . , ,

с. t3 Dj ('-t)

3(^,^)^.1 + ^(1-1) + + Д qit

при xelx^x^b где i«=(r-xl)/(si+1-xi), o$Pi>qt<«. Вводится дополнительный узел xi1e(xi,xi+1) - точка склейки рационального сплайна. Свободные параметры p^.q^.p^,сплайна

{5(хгх^х±л) , " при «[х^х^),

S^.x^, ,xlf1 ) -при xeUj^, ,xi+1l используются для удовлетворения условий . изогеомэтрии, упрощения расчетных формул и минимизации - погрешности приближения.

В результате находим рациональный сплайн s(x), являющийся монотонной и выпуклой на отрезке' ] функцией.

(3. Числовой алгоритм построения ФИ. Бнэчения первой и. второй производных сплайна в узлах сетки Д, удовлетворяющих ограничениям из §1, предлагается определять с помощью интерполяционных многочленов Лагранжа второй, третьей и четвёртой степеней с корректировкой в соответствии с определением д. Дополнительные точки перегиба "находятся с помощью эрмитова кубического многочлена.

Основные этапы олгоритма построения рационального сплайна Б(х) с изогеометрией:

Шаг 1. Построение по иехаднш данным на сетке А сплайна S(к) класса с2[а,Ъ]. Это может быть стандартный кубический сплайн или какой-либо иной способ задания начального приближения.

Швг 2. Корректировка вначоний первсй к второй прэЕввод-

ных сплайна s<x) а узлах сетки Л , исходя из требований кзогеометрии. Выбор. расширящих сетку Л дополнительных узлов, являющихся точками перегиба функции е изогеометриэй.

Шаг 3. ^Проверка условий монотонности и выпуклости hp подотрез;;ах, где значения производных не менялись (для кубических сплайнов - услоЕия Фрйча и Карлсона)'. При невыполнении отах условий, в тзшко в случае корректировки концевых значений производных построение на соответствующих • подотрезиах рациональных сплайнов.

$4. Инвариантные свойства алгоритма изогеометрической интерполяции. „

ЛЕША б. Интерполяция рациональными пплайяштг, сохраняющими изогеометрюо, инвариантна относительно преобразования масштаба и одеигв.

}5. Прогрчшзная реализация влгорития. Алгоритм изогео-мотричепкой интерполяции реализован в вида комплекса программ, который позволяет вычислять значения рационального -сплайна о изогеомзт'жэй и его первых двух производных. В случае выполнения условий теоремы существования строящийся сплайн будет принадлежать классу с®[а,Ы. 3 тех узлах, где условия этой теоремы не выполнены, иптарполянт будет ишть разрыв первой производной. .

56. Численные примеры. Списанный алгоритм изогеометри-ческой интерполяции апробирован на ряде тестовых примеров. Полученные правили рационального сплайна, сохраняющего свойства интеряолиру«уш данных, характеризуют . прецлагЕЭМчЯ алгоритм как достаточно универсальный. ;

Глава П\аЛГОРЙТМЫ И30ГЕ0МЕТРЯЧЕСК(»: ¿ППРОЕСйМАЦШ РАЩО-Н&ЛЬНЫЩ СПЛАЙНАМИ. Во - второй тлвзэ рассмотрена задача аппроксимации кривых к позерхшстой с сохранение:« геометрта исходных данных., . . • '

51. Постановка одномерной задачи. Определения. Пусть нп отрезке {s,bj з узлах сетки : Д заданы, приближённые "зиа^отт некоторой Фз'нкции fix): f.,i--0,...,ll и ■ наНор.. интервалов

f i^-e^, f j+s^], 1=0,...,(e.>0 - ¡заданные зшдае. вел'дчи -

ны). Предполагается, что У^п для i-O,...,N-1.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Множество функций I(Д ,F) называется классом функций с изогеоматрией, воли для любой функции S(x)6l(A,F) выполняются условия: 1) 8(х)еСг[а,Ъ]; г) SiXj^)^, 1=0,...,N;

3) s(x) монотонна на [xl,xi+1 ], 1»1,...,n-2 при Д^Д^о,

з(х) монотонна на [х0,х11 при Д0Д.,>0 и на [xIi_1 .Xjj] при >0; s' имеет перемену знака

на [х^ ,и-1 при число перемен

ананв функции 3'(х) на [а,ъ] совпадает с числом перемен анька в последовательности Д0,Д1,..: ,ДИ_1;

4) > о, i»1,2,...,N-1; число перемен знака функции S"(x) для xefa.bj совпадает с числом перемен

- знака в последовательности 01,02,...,0М_1 (в периодическом случае и рассматривается последовательность 00,©1.,6N). Задачей изогеоматрической аштроксимации (НА) будем называть задачу отыскания функции- Б(г:)е1(Д,Р). Решение задачи ИА ищется в классе рациональных сплайнов на основе . методов локальной аппроксимации.

{2. Рациональные В-сшшйны. Получено явное представление рациональных В-сплайнов:-

i+1

вЛхМу«..'-у*.) У ——- «

*f;H - Qi VU^.Jd^l.x-^l},

где Fj=3/(3+3Pj+Pj), Qj=3/,(3J3qj+<jj), 7rhJ-lpJ-rhiaj'

.wk(y)=(y-yK:)(y-y]i.+1)(y-yk+2); <р[з1Ра2] -разделбнная разность

функции ср(а)=[та^(с.г)]3 по значениям

ЛЕША 7. Рациональные сялайны з^(х>, i=-.i,... ,N+1 облада-^ щ .следующими саойотзамр: для ле(х, B^xjso -

для х^х^.х^у. - ' , v ,г- _ , ' ; }... (<

TjPpEjjMA '2. Оункщш'в/(х>'»1="1,...,JI+1 ликеШго нзгатсимы ?

и образуют базио в пространстве рациональных сплайнов. Найдены формулы перехода от кусочно-рационального представления к представлению через В-сплайны, когда N+1

S(x)=£ b^fx), х€[а,Ы. (1)

i=-1

В частности (при v^O)

bi==s(xi> ~ 5hi QiS"(xt),i=o(...fH. (г)

§3. Одномерные алгоритмы изогеоыетраческой локалыюв аппроксимации рациональными сплайнами. На основами формул (1), (2) построены одно- и трбхточэчшэ схема локальной аппроксимации с изогеометрией.

АЛГОРИТМ 1: b^f^i-O,. Коэффициенты Ь_.,, bN+1 находятся использованием одного из сладуплта краевых условий:

I. si=o,N.

II. S"(x1)=fj, i=o,N.

III. Периодическая задача: hjj+i^» fjj+i=f 1 для всех i.

IV. S(xi)=fi, i=o,N.

Параметры рациональности p_-.q^ выбираются из условий заданного уклонения в узлах сетки Д. lS(xi)-fi|<ei, i=o,...,N и требований изогеомегрии определения 2. . 'ГЕОРЕМА 3. При выполнении ограничений

o)i5i>0' foV0' (iN~Vl )0N-1>0' (3)

fftS^o, rjp^o (4.)

построенный по алгоритму 1 локвльно-аппроксимационный рациональный сплайн s(x) является функцией с изогеометрией.

АЛГОРИТМ 2; bi^fi-(nl_1+hl)"1h|QiOi/3f i=i,...,N-l. Коэффициенты biti=-1 находятся из краевых условий типа I-IV и дополнительных условий, интерполяции R приграничных. узлах. На исходные дашше налагаются лгранглэшя: • -„ •,, .

в1 (А0^)>i^i.e,/h0, t^о, • ;*; v*. .''

t . * , ь 1 - p)''1

\<y.. Vl I^K-1 • <«N

ТЕОРЕМА' 4. При выполнении ограничений* (4)4(6*Ц цсютрй^-' шй по алгоритму -э ^.локально--'1плрок;тимациЬыа.г{|

i ■ . „ ; ■ д * g - - - • - Л : ' ? . >> ." .

сплайн s (х) яблявгся функцией с изогеоыетриой.

(4. Двумерная иаогеоштрическая аппроксимация рациональными сплайнами. В двумерном случае считается, что начальные даяние определены поточечно как система непересекаицихся,' вообще говоря, криволинейных сечений трёхмерного тела. По-• строение кводаозначной поверхности выполняется с помощью введения стандартной параметризации: 1

x^^w.u), y=Sy(w,u), z=sz(w,u),

. гда ' ' N+1 -

3(я,и) » У Ь.(Ц)В. iw):

' ■•'■ ^ . ■ • "• . • ■

Функции ъ^и), i—1 являются обобщением формул ло-

кальной аппроксимации (алгоритм 1,2) как линейные комбинации одномерных топерполяцьонных ипогеометричэских сплайнов. По,. вэрхность обладает свойствами адекватности характеру доведения исходных данных.

. (5. Программная реализация алгоритма. Алгоритмн IIA реализованы в виде, комплекса программ по описанию неоднозначной .. поверхности в трёхмерном пространстве.

■.. ' Глава III. МОНОТОа/ЗЧРШЦАЯ ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ ДЛИ КУБИЧЕСКИХ СПЛАЙНОВ. Б третьей глзве рассмотрена задача построения ■ 'сетки. паршетризации при интерполяции кубическими сплайна,',. ма класса о2.

.! 'V J1. Постановка задачи. Пусть на плоскости УХ задан набор - попарно различных точек Pj-fx^.y ), i=o,i,...,N. Для прове-, дения через ати точки кривой необходим построить сетку Л: . a^t0<t1<...<^tJ=b и задать на ней непрерывную Еектор-функцию ö^)=CQJC<t),cy(t)), te[a,b] тскую, что cx<fci>=xii Gy(t1)=yi>. i-<0.1.....H. -

Будем говорить, что кривая C(t) согласована по.монотонно-

1 >к,-вела.

для

сти о исходными данными на отрезке Itj.,tj],

ci(t>' (Ä5+1-Xj)>0' cy(t)'(yj+r^>° при всех j-k,... ,1-1.

• §2, Вспомогательные результата. Показана кньариеиткооть многочлено:: Лагранаш и штерголящюнных сшшйьов произвольной стегана (обобщение ранее известного свойства кубических 'сплаяноь; относительно линейного нрэобрззоващад • паракетря-

чеокого пространства.

$3. Параболическая параметризация. Привед8н новый алгоритм параметризации, который основан на выборе положения узлов 3=1,1+1,1+2 для параболы ,¿{t), проходящей через точки (^.--¡Ь ¿=1,1+1,1+2 и согласованной по монотонности о исходными данными. Обозначим через

АЛГОРИТМ: 1) Р.>0: 2> у1*0:

- произвольно при =*1+21 аА=е при

и а±=1 -е при • где е>0 - малое число; з) ^<0:

<*1=Л1 -е± | ±|+I11+2-*1 . Сетка А однозначно

определена набором параметров о^.сц ,... »аи_2 и величинами Ид или 1гя_1. ;

Сетка Д для кривой с (-к) строится по двум найденным сеткам для функций 0%{Ь) и Су^).

54. Параметризация для кубических сплайнов. Рассматриваются кубические сплайны в (1;) класса гладкости о2^,^] с узлами на сетке Д, удовлетворяициа условиям интерполяции -1=0,1,...,N и краевым условиям

1-0,N. (7)

Предполагается, что )>0.

Будем говорить, что сплайн в(1;) сохраняет строгую монотонность исходных данных, если в* (-Ь )>0, при ^«.^...сГд и B,(t)<0, te[t0,tмI при Г0>11>...>ГИ. На основании достаточных условий монотонности кубических сплайнов, установленных В.Л.Ыирошничвнко доказано следующее утвераде-нке. *.•■_■.

ТЕОРИЫА 5. Пусть исходные данные строго монотонны. Кубический сплайн в(1;) о краевыми условиями (7) сохраняет строгую монотонность исходных данных на сетке с параболи- > ческой параметризацией, если выполнены неравенства

Б }5 алгоритм параболической параметризации обобщен на случай построения поверхностей по заданному дискретному набору точек з рамках глава XI.

В звключение можно сделать следующие выводи. В дассер-

тацни содержится новое решение актуальной научной задачи в теории .сплайн-функций, состоящей в разработке методов и алгоритмов восстановления кривых и поверхностей сложной формы с сохранением геометрии.

ПутВм введения класса функций о изогеометрией формализовано требование соог^чтствия поведения интерполянта характерным геометрическим свойствам исходных данных (монотонность, выпуклость I т.д.)- Содеркател?яость предложенного в первой главе определения класса функций о изогеометрией подтверждаемся доказанной теоремой о необходимых и достаточных условиях с/шествования таких функций и разработанным на основе рациональных сплайнов о дополнительными узлами класса о2 алгоритмом решения задвчи изогеометрической интерполяции для произвольного набора данных. Указанные в теореме условия на исходные данные позволяют ьэ только сохранять свойства выпуклости и монотонности исходных данных, но и выделять участки прямолинейности, углы и изломы. Существенным преимуществом алгоритма является использование стандартных кубических сплайнов с локальной корректировкой на участках несоответствия их поведения геометрии исходных данных.

В пространстве рациональных сплайнов существует базис из функций с конечным носителем. Эти Оазисные функции, называемые рациональными В-сплайнами, являются обобщением стандартных кубических В-сплайнов и содержат их как частный случай. Базис из рациональных. В-сплайнов позволяет строить алгоритмы локальной аппроксимации рациональными сплайнами, выбором параметров которых можно получать аппроксимации с сохранением свойств Еыпуклости и монотонности исходных данных при одновременном выполнении ограничений на отклонение сплайна в узлах исходной сетки. Такой подход позволяет строить поверхности класса с2,2 со свойствами адекватности сплайна (по монотонности и выпуклости) характеру поведения исходных даннчх..

За-счЭт выбора сетки параметризации можно устранить или существенно ослабить визуальное несоответствие кривой и исходных данных/ . Кроме того, . предложенный новый алгоритм параметризации обеспечивает сгущение сетки в обл^чтях боль-

пшх градиентов. При интерполяции однозначной функции имеет место однозначное соответствие мевду осью абсцисс и точками • кривой.Существенным достоинством алгоритма является простота его реализации и использование явных формул для выделения узлов сетки.

Публикации по теме диссертации

1. КввсовБ.И.,Яценко С.А. Изогеомэтрическал интерполяция рациональными сплайнами // Аппроксимация сплайнами.- Новосибирск, 1937.- Вып. 121: Вычислительные системы. - 0.11-36.

2. Квасов Б.И., Яценко С.А. Решение задачи изогеометриче-ской интерполяции в классе рациональных сплайнов. - Новосибирск, 1988. - бОо. - (Препринт/ АН СССР. СиО,отд. Ин-т теорет. и прикл. механики; S 3-03).

3. Kvaeov D.I..Yptsenko S.A. Conservative interpolation by rational Bplines // Approximation theory VI: Proceedings оt the Sixth International SympoBiua on Approximation Theory/ Eds. by O.K.Chui, L.l.Sohumaker, J.D.Ward. - Beaton: Aoademio Press, 1989. - ?.365-367.

4. Яценко С.А. Рациональные В-сплайны// Моделирование в механике. - Новосибирск, 1989. - Т.3(20), J6 6. - С. 91-101.

5. Квасов Б.И., Яценко С.А. Алгоритмы изогеомэтрической аппроксимации рациональными сплайнами. - Новосибирск, 1990.

- 35о. - (Препринт/ АН СССР. Оиб.огд. Ин-т теорет. и прикл. механики? А 9-90).

6. Kvasov B.I..Yatsenko S.A. 2-D conservative approximation by rational epiinea // The 1990 Conference-on Numerical Solution oi Ordinary Differential Equations. - Helsinki, Finland, June 18-2?, 1990.

7. Квасов Б.И., Яценко С.А. ТрЭхмбрная изогеомэтричеекая аппроксимация рациональными В-сплайнами // Конструирование алгоритмов и решение задач математической флзики: Сб. науч. тр. /Под ред. Г.П.Воскресенского и А.В.Забродпяа.-М., 1991,

- с.112-116,

8. Яцрнко С.А., Квасов Б.Я. Выбор параметризации для кубических сплайнов // Моделирование в механике.- Новосибирск, 1991 .- Т.5(2.2), * 5. - 0.118-135. '