Спутниковые методы планетной гравиметрии

Кащеев, Рафаэль Александрович

Спутниковые методы планетной гравиметрии тема автореферата и диссертации по астрономии, 01.03.01 ВАК РФ

Кащеев, Рафаэль Александрович АВТОР

доктора физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Казань МЕСТО ЗАЩИТЫ

2000 ГОД ЗАЩИТЫ

01.03.01 КОД ВАК РФ

Диссертация по астрономии на тему «Спутниковые методы планетной гравиметрии»

Автореферат диссертации на тему "Спутниковые методы планетной гравиметрии"

РГВ од

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИЕ^£сШкг.¡ПЛ . имени М.В.ЛОМОНОСОВА

На правах рукописи УДК: 523.3/4:528.2

КАЩЕБВ Рафаэль Александрович

СПУТНИКОВЫЕ МЕТОДЫ ПЛАНЕТНОЙ ГРАВИМЕТРИИ

Специальность 01.03.01 - астрометрия и небесная механика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

МОСКВА — 2000

Работа выполнена в Казанском государственном университете

Официальные оппоненты:

доктор физ.-мат. наук, профессор Ю.Г.МАРКОВ доктор физ.-мат. наук Н.А.ЧУЙКОВА доктор техн. наук, профессор С.Н.ЯШКИН

Ведущая организация: Институт астрономии РАН

заседании диссертационного совета Д 053.05.51 Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова по адресу: 119899, Москва, Университетский проспект, 13.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Государственного астрономического института им. П.К.Штернберга

2000 г. в

¿часов на

Автореферат разослан

2000 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физ.-мат. наук

Л.Н.БОНДАРЕНКО

Общая характеристика работы

Составляющая основу планетной гравиметрии проблема исследования гравитационных полей тел Солнечной системы носит комплексный характер и представляет собой сферу приложения интересов различных областей науки и техники. Наиболее эффективными экспериментальными методами решения этой проблемы являются методы, основанные на анализе динамики движения искусственных спутников в зоне притяжения исследуемых гравитирующих масс.

Классическая схема оценивания параметров гравитационного поля небесного тела опирается на интегрирование дифференциальных уравнений возмущенного движения искусственного спутника этого тела, связывающих изменения элементов спутниковой орбиты с характеристиками возмущающих сил. Однако, следуя этой методике, не удается построить достаточно подробные многопараметрические модели потенциала, что вынуждает обратиться к методам, не связанным со сглаживающей процедурой интегрирования на значительных временных интервалах.

Для Земли решение задачи достигается привлечением результатов иных видов измерений, получаемых методами наземной гравиметрической съемки и спутниковой альтиметрии. Применительно к другим небесным телам аналогичная потребность в детализации моделей поля также ведет к поиску альтернативных источников дополнительной наблюдательной информации. Наиболее перспективными в этой связи представляются дифференциальные методы, использующие искусственный спутник в качестве пробного тела, слежение за поведением которого доставляет детальные сведения о структуре внешнего гравитационного поля.

Речь идет об измерениях относительных дальностей и скоростей КА в системе близких коорбитальных спутников, измерениях относительных лучевых скоростей и ускорений в системе спутников, обращающихся по разновысоким орбитам, а также бортовых градиенто-метрических измерениях вторых производных потенциала силы притяжения. Предварительные оценки позволяют надеяться, что именно перечисленные виды измерений в самом недалеком будущем станут

источником ценнейшей информации о подробностях структуры гравитационных полей ближайших к Земле тел Солнечной системы. Основанием к тому служит высокая ожидаемая точность и чувствительность измерений такого рода к региональным особенностям поля и его локальным аномалиям, открывающая возможности определения параметров потенциала в широком диапазоне частот.

Прообразом этих методов можно назвать многократно и весьма успешно реализованное в рамках различных планетных программ наземное допплеровское радиослежение за искусственными спутниками Луны, а также Марса и Венеры, с целью определения лучевой компоненты вектора спутниковых ускорений.

Все перечисленные методы, следуя [1], возможно объединить под общим названием методов дифференциальных измерений в системах с изменяемой геометрией расположения элементов. Указанные системы могут быть реализованы как в виде пробных масс, находящихся внутри искусственного спутника, так и в виде группы спутников (в том числе субсателлитов-мишеней), образующих ту или иную орбитальную конфигурацию.

С учетом сказанного выше основные цели диссертации сформулируем следующим образом:

• установление теоретических принципов и построение унифицированных алгоритмов обработки разнородных наблюдательных данных, доставляемых спутниковыми методами дифференциальных измерений в системах с изменяемой геометрией расположения пробных масс;

• поиск наивыгоднейших орбит и условий проведения спутниковых измерений, обеспечивающих максимальную точность оценивания параметров модели гравитационного поля исследуемого небесного тела (на примере Луны и Марса);

о исследование зависимости качества решения задач планетной гравиметрии от вида и состава привлекаемых наблюдений, а также влияния случайных и систематических ошибок различной природы.

Актуальность работы обусловлена двумя важными обстоятельствами:

- разработкой новых спутниковых методов получения гравиметрической информации по измерениям в системах с изменяемой геометрией расположения пробных масс;

- долгожданным возрождением интереса к осуществлению новых космических программ исследований Луны, Марса и других тел Солнечной системы.

Научная новизна и практическое значение исследований состоят в достижении следующих результатов:

• Исходя из анализа особенностей современного этапа изучения тел Солнечной системы, сформулирована основная задача планетной гравиметрии и показана целесообразность поиска путей ее решения на основе привлечения интегративных методов геодезии и гравиметрии.

• Разработаны универсальные методы и алгоритмы определения параметров моделей гравитационных полей небесных тел по данным разнородных спутниковых измерений.

• На основе развития теории обработки спутниковых измерений в системах с изменяемой геометрией расположения пробных масс получены уравнения наблюдений для вторых производных гравитационного потенциала, относительных лучевых скоростей в системе близких коорбитальных спутников и относительных лучевых ускорений в системе искусственных спутников, обращающихся по разновысоким орбитам.

• Разработана методика проведения численных имитационных экспериментов с целью поиска условий, обеспечивающих достижение максимальной точности оценивания параметров гравитационных полей небесных тел. Для каждого из перечисленных выше спутниковых методов выполнена серия численных экспериментов, имитирующих процедуру определения искомых параметров потенциала силы притяжения Луны и Марса. Проведены эксперименты по совместной обработке разнородных наблюдательных данных спутниковой градиентометрии и межспутникового слежения. По результатам вычислений высказан ряд рекомендаций по

выбору оптимальных орбитальных характеристик и условий натурных измерений.

• Разработана методика оценки влияния случайных и систематических ошибок различной природы на величины гармонических коэффициентов, получаемых по материалам разнородных бортовых измерений. Проведен комплекс численных экспериментов, иллюстрирующих эффективность применения этой методики при вычислении параметров селено- и ареопотенциалов.

• Созданы рабочие алгоритмы и вычислительные программы, предназначенные для априорного анализа эффективности использования различных орбитальных построений КА, проводящих измерения с целью уточнения параметров внешних гравитационных полей тел Солнечной системы.

Достоверность научных результатов и обоснованность выводов подтверждается их непротиворечивостью в сравнении с представлениями, сложившимися в данной области знаний, а также с результатами исследований других авторов.

Апробация работы. Основные результаты, опубликованные в 30 статьях и тезисах выступлений [88 - 112] и [255 - 257], неоднократно докладывались на различных Международных, Всесоюзных и Всероссийских симпозиумах, конференциях и совещаниях. В их числе: астрометрические конференции СССР и РФ (Москва, 1981; С.Петербург, 1993); конференция "Селенодезия и динамика Луны" (Киев, 1987); совещания Рабочей группы "Луна" АС АН СССР (Москва, 1982; Львов, 1989; Зеленчук, 1991); конференции "Современные методы физической геодезии и спутниковой геодинамики" (С.-Петербург, 1992), "Общепланетарные проблемы исследования Земли" (Казань, 1994), "Физика и динамика Луны" (Харьков, 1994), "Стохастические методы и эксперименты в небесной механике" (Архангельск, 1995); симпозиумы по классической и небесной механике (Великие Луки, 1996 и 1998); конференция "Результаты и перспективы исследования планет" (Ульяновск, 1997) и др. Доклады автора также были представлены на съезде .ШМАМ-95 (Италия, 1995); XX и XXIII Генеральных Ассамблеях ЕСБ (Германия, 1995 и Франция, 1998), 3-ей Международной конференции по освоению Луны (Россия, 1998) и др.

На защиту выносятся:

• Формулировка основной задачи планетной гравиметрии и обоснование эффективности применения интегративного подхода к поиску ее решения.

• Методы и алгоритмы реализации интегративных принципов определения параметров гравитационных полей небесных тел по разнородным измерениям в системах с изменяемой геометрией расположения элементов.

• Теоретические основы получения уравнений спутниковых наблюдений для вторых производных гравитационного потенциала, относительных лучевых скоростей в системе близких коорбиталь-ных искусственных спутников и относительных лучевых ускорений в системе спутников, обращающихся по разновысоким орбитам.

• Постановка и результаты численных имитационных экспериментов, ориентированных на поиск орбитальных характеристик движения искусственных спутников и условий измерений, обеспечивающих максимальную точность оценивания параметров моделей селено- и ареопотенциалов.

• Постановка и результаты численных имитационных экспериментов по исследованию в рамках каждого из рассматриваемых спутниковых методов влияния ошибок различной природы на точность оценивания параметров гравитационных полей тел Солнечной системы на примере Луны и Марса.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.

Объем диссертации без библиографии составляет 240 страниц. В работе содержатся 45 рисунков и 5 таблиц. Список литературы включает 319 наименований.

Содержание и основные результаты работы

Во введении сформулированы главные цели исследования, аргументирована их фундаментальность и актуальность, раскрыта научная новизна и практическая значимость решения поставленных задач, перечислены основные положения работы, выносимые на защиту.

Впервой главе диссертации очерчен круг проблем планетной гравиметрии, а также описана последовательность их решения на основе интегративного подхода, обладающего наибольшей универсальностью как с точки зрения обработки массивов разнородных наблюдательных данных, так и с точки зрения применения к различным телам Солнечной системы.

Параграф 1.1 посвящен изложению интегративных принципов и версий их реализации при совместной обработке результатов геодезических, гравиметрических и астрометрическмх измерений. В параграфе 1.2 нами в наиболее общей форме сформулирована основная задача планетной гравиметрии, состоящая в определении фигур и внешних гравитационных полей небесных тел по данным разнородных наблюдений, выполненных в различных точках пространства. Эта формулировка основывается на учете следующих особенностей современного этапа и будущих перспектив исследования тел Солнечной системы:

• проведение измерений в различных точках пространства (с поверхности Земли, с орбиты ИСЗ, с орбиты искусственного спутника исследуемого небесного тела, с поверхности самого тела и т.п.);

• преимущественное использование дистанционной спутниковой наблюдательной информации;

• разнородный характер имеющихся и планируемых измерений;

• высокая точность и большой объем измерительной информации;

• значительные различия в размерах, массах, форме, рельефе поверхности и внутреннем строении небесных тел.

Для планет земной группы наиболее употребительной формой численно-аналитического описания поля силы притяжения являет-

ся разложение гравитационного потенциала У(Х) в ряд объемных сферических (шаровых) функций:

ОМ й " /а\" - '

У(Х) =-[1 + Е Е - (Сптсозт\ + 5птзттХ)Рпп[зт^)],

Г п=2т=0\г/

(1)

набор гармонических коэффициентов {Спт,5пт} которого задает модель гравитационного поля рассматриваемого небесного тела. В (1) обозначено: С?- кавендишева гравитационная постоянная,'М, а - полная масса и средний радиус гравитирующего тела, г, уз, А - барицентрические сферические координаты точки X, N - размерность модели: максимальный порядок суммирования по индексу п, Рпт - присоединенные функции Лежандра.

Важную роль при этом играет выбор подробности модельного разложения, определяемой значением N. Главными критериями выбора N должны быть, на наш взгляд, точность проводимых для оценивания значений {Спт,5пт} измерений, а также предполагаемое предназначение создаваемой модели. Так в прогностическом варианте, добиваясь удовлетворительной аппроксимации движения КА на спутниковых высотах, возможно надеяться на проявление внутренней согласованности большого числа параметров модели - размерность ее в этом случае, помимо точности измерений, лимитируется, в основном, вычислительными возможностями исследователя. При необходимости геофизической интерпретации стоксовых постоянных к точности каждого отдельного параметра предъявляются много более строгие требования, чем в задачах аппроксимации и прогноза движения. Исходя из этого, возможно утверждать, что современная ситуация с моделями селено- и ареопотенциалов свидетельствует в пользу необходимости сосредоточения усилий не столько на наращивании числа определяемых гармонических коэффициентов, скрлькона повышении точности оценивания их значений.

В последующих параграфах первой главы обсуждаются этапы решения главной задачи ^планетной гравиметрии на основе интегра-тивных алгоритмов, разрабатываемых применительно к Земле для совместной обработки наземных геодезических, гравиметрических, астрометричёских и спутниковых наблюдений [5 - 9] и др.

Отправной точкой поиска решения служит получение уравнения наблюдений, связывающего результат измерения Ь с искомыми пара-

метрами модели гравитационного поля. Представим L в виде нелинейного функционала на потенциале силы тяжести W:

L = F(X,W), (2)

где X £ Ek - вектор положения одной или нескольких точек, участвующих в измерении L, Ек - эвклидово пространство размерности к, W = V + ^{Х2 + Y2), V 6 Н, V - потенциал силы притяжения во внешнем пространстве, Н - гильбертово пространство гармонических функций. Таким образом, функционал F отображает произведение пространств Ek и Н в пространство Е\ действительных чисел:

F ■. Еп х Н —> L Е Е\. (3)

Обозначив через Z = Еп х Н = (X,V), прямое произведение пространств Ек и Н, линеаризуем функционал F(Z) в окрестности точки Z* = {X*, V*), где V* = U - f{X2 + У2), a U - нормальный (рефе-ренцный) потенциал силы тяжести. Можно показать, что тогда

ЯР

dL = L — F(Z*) = — dX + ЭКГ, (4)

дХ

где dX = Х-Х*, и Т = W-U = V-V*. Второе слагаемое в (4) обозначает результат действия линейного дифференциального оператора •ft на возмущающий потенциал Т.

Укажем в этой связи на важное обстоятельство, упрощающее применение интегративных методов в планетной гравиметрии. Однократный характер дистанционных спутниковых наблюдений предполагает использование модельных представлений потенциала, вследствие чего (2) возможно переписать в виде

L = F(X,V{C;2,Snm}). (5)

Тогда неизбежное на практике усечение ряда (1) максимальным значением N индекса степени п обеспечивает возможность проведения всех дальнейших операций в конечномерном пространстве векторов. При этом линеаризация (5) приводит к уравнению поправок:

dL = L-F{X\V{C:m,S:m}) = OF _ dF

= — dX + JZ

OX n,m

d{Cnm i 'S'nm}

с неизвестными поправками ¿X в приближенно известное на мо мент наблюдения £ значение вектора состояния Л" и поправками ¿{Спт,Зпт} в параметры референцией (нормальной) модели потенциала. В зависимости от условий конкретной задачи последние могут быть либо поправками в приближенно известные значения коэффициентов референцной модели, либо неизвестными коэффициентами старших по сравнению с ней степеней и порядков.

С другой стороны, вектор ¿X может быть интерпретирован как ошибка вектора состояния X, допущенная при осуществлении координатной привязки КА. Указанной ошибкой возможно пренебречь,

если потребовать выполнение условия

< ,

\gradF\тах

гарантирующего, что влияние ошибки позиционирования на результат измерения Ь не превысит среднеквадратического значения т(Ь) ошибки измерения. Задавшись рациональным значением последней для конкретного вида наблюдений, приходим к величине максимально допустимой ошибки навигационной привязки КА, выполняющего наблюдения рассматриваемого вида.

В этой связи важное значение приобретает проблема установления системы отсчета, в которой происходит позиционирование КА. Содержание параграфа 1.6 составляет выполненный на примере Луны конспективный обзор источников наблюдательной информации, используемых при построении лунной (планетной) системы координат, а также возможный инт^гративный метод решения этой задачи по данным разнородных измерений. Предложенный способ создания сводного каталога координат опорных точек селенодезической сети основан на методе "искусственных измерений". В качестве таких "измерений" выбираются длины лунных хорд, обладающие инвариантностью к несовпадению центров и рассогласованию ориентации базисных осей каждого из объединяемых каталогов.

Использование интегративных методов обработки данных приводит к системе уравнений поправок, соответствующих измерениям различной размерности и точности. Задача установления весов для разнородных уравнений, входящих в общую систему, обсуждается в параграфе 1.7. Поиск решения ее осуществляется на основе градиентного

метода, в согласии с которым элементы записываемого в п-мерном эвклидовом пространстве вектора-градиента функционала выступают в системе уравнений поправок в роли коэффициентов при элементах гг-мерного вектора неизвестных. Нормализация каждого из уравнений системы путем деления его на модуль градиента приводит к системе однородных по размерности, но неравноточных уравнений поправок, назначение весов которым проводится далее обратно пропорционально нормализованным ошибкам наблюдений.

Заключительному этапу решения главной задачи планетной гравиметрии посвящен параграф 1.8, в котором представлен обзор методов оценивания параметров математической модели по результатам измерений.

Описанная выше методика использована нами для исследования ряда дифференциальных спутниковых методов планетной гравиметрии, опирающихся на измерения в системах с изменяемой геометрией расположения пробных масс.

Вторая глава посвящена спутниковой градиентометрии - одному из наиболее перспективных методов определения параметров гравитационных полей тел Солнечной системы по бортовым измерениям вторых производных потенциала силы притяжения. Как показано в параграфе 2.1, измерение вторых производных гравитационного потенциала инструментально сводится к измерению компонент вектора относительного ускорения двух (или более) пробных масс одновременно с измерением компонент вектора их относительного положения.

Содержание параграфа 2.2 составляет процедура вывода уравнений наблюдений для каждого из элементов матрицы вторых производных в различных системах координат.

Уравнения наблюдений для измеряемых компонент тензора вторых производных гравитационного потенциала в прямоугольной го-ризонтной спутникоцентрической системе координат Бхуг (ось г - к центру масс планеты, ось х - к северу, ось у - к востоку) имеют вид (7). Производные потенциала К(5) по сферическим планетоцентри-ческим координатам вычисляются дифференцированием ряда (1).

Vxx — 2 Vr'

1 T t tan^,,

= 1---ñLVv+-Vr,

r¿COS¿tp r¿ г

Vzz = vrr, (7)

vyz = —l—vXr + ^—vx,

r eos <p r¿ eos <p

Va = Vyy — Vxx = -^—V\\--ñVpp —1—•

rl eos2 <p r¿ rl . ■ . \

Вычисление элементов тензора вторых производных в прямоугольной орбитальной спутникоцентрической системе координат Svwz (ось л -к центру масс планеты, ось v - по вектору линейной скорости спутника) может быть проведено по формулам:

Vvv = Vxx cos2 в + 2Vxy cos в sin 9 + Vyy sin2 в

Vww = Vxx sin2 9 — 2Vxy eos 9 sin в + Vyy eos2 в

V2Z = Vzz

Vvw = — Vxx eos 9 sin# + 2VTycos9 sin0 + Vyy eos 9 sin0 (8)

Vvz = Vxz eos 9 + Vyz sin 9

Vw, = -Vxz sin 9 + Vyz eos 9

VD = Vww - Vvv = (Vyy - V„) eos 29 - 2Vxy sin 29,

где 9 - угол между осями х \л v.

Переход от уравнений наблюдений к уравнениям поправок осуществляется в каждом случае путем линеаризации уравнений наблюдений в окрестности априорно заданной приближенной (референцной или нормальной) модели поля, описываемой набором гармонических коэффициентов {C*m,5*m}. Тогда для некоторого измеренного значения второй производной V„ уравнение поправок имеет вид:

dV„(S) = £ d{Cnm, Snm}, (9)

n,m \Gnm, Опт J

где dVtt(S) = Vtt(S) — V®t(S) есть разность измеренного и референц-ного значения второй производной.

Получение уравнений наблюдений и уравнений поправок в системах координат Бху: и втиг позволяет приступить к проведению численных экспериментов для Луны и Марса. Прежде, однако, в параграфе 2.3 подробно обсуждаются результаты моделирования полей различных вторых производных на селено- и ареоцентрических орбитах. Вычисление производных осуществляется на спутниковых высотах в спутникоцентрической горизонтной системе координат Бхуг, выбранной нами с целью достижения максимальной наглядности в процессе геофизической интерпретации.

Для Луны поведение радиальной производной Угг силы притяжения, характеризующей кривизну уровенной поверхности ее потенциала, качественно согласуется с картой высот селеноида. Для Марса поле этой же второй производной отличается регулярным субширотным простиранием изолиний, демонстрирующим подавление локальных аномалий глобальной длинноволновой компонентой.

Кривизна силовой линии поля силы притяжения (отвесной линии) в плоскостях меридиана и первого вертикала определяется вторыми производными \гхг и Ууг соответственно. И для Луны, и для Марса поведение этих производных сильно различается: если поведение производной \гу: уверенно коррелирует с основными элементами макрорельефа, то в поведении производной Ухг практически отсутствует сколько-нибудь заметное согласие с деталями физической поверхности. Представленные карты хорошо отражают асимметрию видимой и обратной стороны Луны; асимметрия северного и южного ее полушарий выражена в меньшей степени.

Целью проводимых далее численных экспериментов, описанию постановки которых посвящается параграф 2.4, является поиск наивыгоднейших условий выполнения спутниковых градиентометриче-ских измерений, обеспечивающих достижение максимальной точности оценивания параметров гравитационных потенциалов Луны и Марса.

Измерения вторых производных моделировались в точках семейства 12-ти равноотстоящих друг от друга по долготе круговых селено-и ареоцентрических орбит при различных для различных семейств значениях их наклонения и высоты над поверхностью небесного тела. Уравнения поправок записывались для (2N + l) неизвестных гармонических коэффициентов фиксированной степени N. Измеряемая

составляющая свободного члена уравнения поправок моделировалась по полному набору гармонических коэффициентов исходной модели псевдореального поля и возмущалась случайным нормально распределенным шумом, имеющим смысл ошибки измерения. В качестве исходных моделей поля использованы модель (ВР) Биллза, Феррари [3] для Луны и модель (ВМ\/) Бальмино и др. [2] для Марса.

Референцная компонента свободного члена уравнения поправок включала все низкочастотные гармоники разложения потенциала степеней тг < N. В гармонические коэффициенты, используемые для вычисления референцной составляющей, были включены систематические ошибки, имитирующие неизбежно присутствующие в реальном случае ошибки параметров референцной модели поля.

Количественная оценка качества каждого сценария производилась путем сопоставления восстановленных в результате его реализации гармонических коэффициентов с соответствующими коэффициентами модели псевдореального поля, используемой для моделирования измерений. Другими словами, в каждой точке двумерной области "высота - наклонение орбиты" вычислялся выбранный в качестве максимизируемого критерия безразмерный коэффициент гы:

Е С^тСут + £ ЗмтЗ.^т

= 1"П=°2 2 ~2 • (10) \/ ¿„(Слгт + Е (Сдгт + 5д-т)

V т=0 т=0

Здесь {Спт,5пга} - набор гармонических коэффициентов исходной модели гравитационного потенциала, (Спт,5пт} - набор оценок гармонических коэффициентов, полученный в результате решения системы уравнений поправок. Критерий (10) имеет смысл коэффициента корреляции гармонических коэффициентов степени Лг, взятых из двух различных (с тильдой и без нее) моделей гравитационного потенциала. Выбор критерия основывается на заявленном выше принципе достижения максимальной точности оценивания каждого искомого параметра. Важно подчеркнуть, что, если аналогичные по постановке задачи исследования обычно используют для оценки качества решения ковариационную матрицу ошибок неизвестных, характеризующую внутреннюю точность получаемых результатов, то выбранный нами критерий Гд, дает внешнюю ее оценку по степени близости полученной модели потенциала к модели исходного поля.

Предварительные вычисления показали, что каждому значению Лт для каждого небесного тела соответствует собственный коридор высот, обеспечивающий оптимальные условия определения искомых параметров. Ширина коридора примерно одинакова для каждой из рассматриваемых производных, но может быть значительно расширена при одновременном измерении и дальнейшей совместной обработке двух различных вторых производных. В этом случае также существенно ослабляется установленная нами для отдельных производных сильная зависимость точности решения от наклонения орбиты. Таким образом, главный вывод параграфа 2.4 состоит в том, что используемые в спутниковой градиентометрии измерительные устройства должны обеспечивать возможность измерения нескольких различных вторых производных гравитационного потенциала.

Более подробно вопросы выбора наиболее предпочтительных орбит и состава градиентометрических измерений рассмотрены нами в параграфе 2.5. Учитывая установленные выше преимущества объединения наблюдений различного вида, поиск спутниковых орбит, обеспечивающих максимальную точность оценивания параметров селено-и ареопотенциалов, проводился для случая совместных измерений двух и трех различных вторых производных и дальнейшей совместной обработки этих измерений.

Выбор оптимальных условий осуществлялся путем комбинации координатного и градиентного методов поиска максимальных значений гк в двумерной области изменения наклонений и высот. Исследовалась полная структура фазовых пространств в указанных фазовых переменных для каждого N = б, 7, 8, ... 14 и комбинаций вторых производных (Кг, К,*), (Кг, Кг). (К,г,Кг). (Уд, Кг), (К„, К2). а также (К,,Кг)К>г) как для Луны, так и для Марса.

Результаты численных экспериментов позволяют утверждать, что с увеличением степени оцениваемых гармонических коэффициентов возрастает избирательность метода к параметрам орбит искусственных спутников. При этом для каждого набора измеряемых вторых производных существует общий для всех рассматриваемых значений N диапазон наклонений, доставляющий максимальную точность решения. В случае измерения трех производных (К,Кг,К>г) он оказывается наиболее широким (г = 35° — 90°). Примечательно также, что эти диапазоны наклонений почти одинаковы для Луны и Марса.

В отличие от диапазонов наклонений, выделить общий приоритетный для всех N коридор высот не представляется возможным. Каждому значению N соответствует собственный диапазон оптимальных высот, почти не зависящий от вида измеряемых производных. В связи с этим для спутниковой градиентометрии, возможно, следует использовать слабоэллиптические орбиты, определяя гармонические коэффициенты различных степеней по измерениям в оптимальных для данной степени коридорах высот.

Что касается зависимости точности решения задачи от состава измерений, то наиболее информативной, т.е. обеспечивающей наиболее точное решение оказывается комбинация трех вторых производных Далее по степени убывания информативности следуют комбинации производных (Уи>г,Уг1) И

В параграфе 2.6 проведено исследование влияния ошибок различной природы на точность оценивания параметров гравитационных полей Луны и Марса по бортовым измерениям вторых производных. При этом влияние случайных ошибок измерений моделировалось аддитивным наложением на результаты измерений случайного шума, а влияние систематических ошибок априорных данных - мультипликативным искажением параметров модели референцного поля.

Использована следующая модель ошибок свободного члена левой части уравнения поправок (9). Запишем моделируемую измеряемую компоненту V« в виде:

+ £ ^„(5) + ^, (11)

п=0 п=Л'+1

а референцную - в виде

К°(5) = (1 -а)ЛЕад, (12)

п=0

где VI - случайная ошибка измерения, числовой безразмерный коэффициент 0 < а < 1 есть мера систематической погрешности референцией составляющей, а N - максимальная степень гармонических коэффициентов используемой модели. Тогда

4=0 п=ЛЧ1

Правая часть уравнений поправок вида (13) записывалась для входящих в Zn(S) {2И + 1) неизвестных гармонических коэффициентов фиксированной степени N. Тем самым предпоследнее слагаемое в (13), включающее коэффициенты старших по сравнению с N степеней N + 1 < п < выступало в качестве не учитываемого в правой части уравнения поправок, но в реальном случае неизбежно присутствующего возмущающего фактора, влияние которого в нашем случае суммировалось со случайной ошибкой измерений.

Качественная картина систематического влияния неточности ре-ференцного поля с одной стороны и случайных ошибок измерений - с другой, почти не зависит от вида измеряемых производных, но сильно различается у Луны и Марса. Марс оказывается много более чувствительным к точности референцной модели, Луна сильнее реагирует на рост ошибок измерений. Природа этого эффекта заключена, на наш взгляд, в большей неоднородности гравитационного поля Луны в сравнении с более регулярным полем Марса, основная часть влияния неоднородностей которого сосредоточена в области низких частот. И случайные, и систематические ошибки по мере их увеличения приводят к сужению диапазонов оптимальных наклонений и снижению коридоров оптимальных высот.

Параграф 2.6 завершается обсуждением результатов численных экспериментов по оценке влияния погрешностей позиционирования искусственного спутника в момент градиентометрических измерений. Оценки производились по схедое, изложенной в параграфе .1.5, в согласии с которой вычислялись компоненты вектора, получаемого в результате действия оператора градиента на уравнения наблюдений для различных вторых производных. Результаты вычислений корректируют выводы об оптимальном составе измерений, поскольку измерение производных Ущ'.Ууу, Угг оказывается непродуктивнЬну! .вслед-" ствие нереализуемости возникающих при этом требований к обеспечению координатной привязки градиентометра на субметровом уровне точности. Это означает, что наибольшая точность.оценивания искомых гармонических коэффициентов в спутниковой градиентомётрии может быть достигнута совместным измерением Двух Кйг-) или

Г V

трех (Ур^цУ-ии) вторых производных гравитационного потенциала исследуемого тела. ' ' ' \ '.

Содержание третьей главы составляет исследование методов

и условий решения основной задачи планетной гравиметрии по данным межспутникового слежения в системе двух близких коорбиталь-ных искусственных спутников 51 и 5г- Основным видом наблюдений в такой системе является относительная лучевая скорость представляющая собой проекцию вектора относительной линейной скорости на направление 5^2.

Рис.1. Спутникоцентрическая система координат С^гхг?

Для получения точной формулы уравнения наблюдений введем вращающуюся орбитальную систему координат Qrxq (см. рис. 1), начало которой совместим с серединой отрезка прямой длины во, соединяющей точки и 5® расположения спутников на опорной (номинальной) круговой орбите радиуса Я. в начальный момент Ось х устремим по направлению б1!^, ось г - от центра гравити-рующего тела в плоскости опорной орбиты перпендикулярно оси х. Придадим системе фгггд вращение в орбитальной плоскости с постоянной угловой скоростью и, равной круговой скорости на расстоянии 05° = 05° = Я от центра вращения О. Пусть также в момент измерения I спутник 51 находится в точке с координатами ((7?о + /'0, ( — у + г'1),91). а спутник 5г - в точке с координатами ((Яо+гъ), (^+.т2), г/2),3десь Я0 - длина отрезка прямой, соединяющей точки О и б}, а «о - длина отрезка ^^^• Тогда разность кинетических

энергий спутников единичной массы

I ¿щ

. Л ''1 + »'21 80 Г2 . г1 . XI . Х2

¿Щ ¿Щ Щ ло ло .по

+ + ^ + + ^ + 2^ +*)} (14) будет в согласии с законом сохранения энергии равна разности ньютоновских потенциалов У\ и У^ в точках и

\М?-^\ = [у1-У2). (15)

В (14) обозначено: Дг = — п, Дя = х2 — Д<7 = Я2~ <71, Дг = 7*2 — ?'ь Да; = ¿2 — Дд = <Ь — <71- Равенства (14) и (15) позволяют далее не только перейти к уравнению наблюдений

и соответствующему ему уравнению поправок, но и с необходимой строгостью оценить влияние сделанных при этом упрощений.

В параграфе 3.2 рассматривается постановка и результаты численного имитационного эксперимента по межспутниковому слежению в цепочке двух близких искусственных спутников Луны и Марса с целью установления параметров спутниковых орбит и условий натурных измерений, обеспечивающих максимально точное оценивание параметров гравитационных потенциалов этих небесных тел.

Постановка численных экспериментов осуществлялась по схеме, аналогичной схеме численных экспериментов по спутниковой гради-ентометрии в окрестности Луны и Марса. Конфигурация точек орбит, в которых моделировались межспутниковые измерения, повторяла конфигурацию, описанную выше. Система уравнений поправок составлялась и решалась отдельно для каждого N (./V = б, 7., 8, ... 14) в узловых точках трехмерного фазового пространства, выбираемых с постоянным шагом по каждой из фазовых координат: "высота - наклонение - межспутниковое расстояние".

Расчеты показали, что для межспутникового слежения так же, как и для спутниковой градиентометрии, с ростом N возрастает избирательность метода к выбору параметров спутниковых орбит.

И для Луны, и для Марса для всех N оптимальные наклонения практически всегда превышают 45°, а максимальные значения критерия гы достигаются на близполярных орбитах, что делает их наиболее предпочтительными для проведения межспутниковых измерений. Поскольку коридоры оптимальных высот для различных N достаточно широки и слабо сужаются с увеличением N. измерения целесообразно выполнять на круговых орбитах.

Сопоставление относительных дальностей, обеспечивающих максимум критерия Гд,, с разрешающей способностью гармоник тех же степеней свидетельствует о том, что движение цепочки низких коор-битальных спутников оказывается наиболее чувствительным к влиянию гравитационных аномалий, простирание которых в 1.5 - 2 раза превышает величину межспутникового расстояния.

Анализ влияния случайных и систематических ошибок различного происхождения позволяет утверждать, что возрастание их величин во всех случаях приводит к сужению диапазонов оптимальных высот и наклонений. Еще более настоятельным становится при этом использование близполярных орбит. Сужение коридоров оптимальных высот сопровождается уменьшением абсолютных значений самих высот.

Обращает на себя внимание сильная зависимость точности решения от уровня систематических ошибок. При этом Марс реагирует на систематические возмущения референцной модели поля заметно острее, нежели Луна. Сравнение результатов численных экспериментов по спутниковой градиентометрии и межспутниковому слежению на селено- и ареоцентрических орбитах позволяет сделать вывод о том, что метод межспутникового слежения предъявляет по сравнению с методом спутниковой градиентометрии много более строгие требования к точности референцной модели гравитационного поля.

В заключение параграфа 3.3 проведена оценка корректности упрощений, предпринятых при выводе уравнения наблюдения для относительных лучевых скоростей. Показано, что использование для вывода уравнения наблюдения закона сохранения энергии требует в дальнейшем привлечения дополнительной измерительной информации об относительном положении спутников, точность которой должна удовлетворять достаточно жестким требованиям.

В параграфе 3.4 рассмотрена постановка и результаты комплексного численного эксперимента по определению параметров селено1 и

ареопотенциалов путем совместной обработки разнородных бортовых измерений, выполненных методами спутниковой градиентометрии и межспутникового слежения на одном временном интервале. По результатам расчетов возможно сформулировать два основных вывода. Во-первых, совместная обработка данных спутниковой градиентометрии и межспутникового слежения при рациональном назначении весов позволяет добиться увеличения значений критерия гы на несколько процентов по сравнению с раздельным уравниванием того же объема однородных измерений. Статистические оценки показывают, что полученные результаты почти всегда противоречат гипотезе о незначимости указанных различий в значениях критерия. Во-вторых, комбинация разнородных измерительных данных обеспечивает существенное расширение диапазонов наклонений и высот спутниковых орбит, доставляющих максимально точные результаты определения параметров гравитационных полей Луны и Марса.

В параграфе 3.5 исследована кинематическая схема относительного движения пары искусственных спутников, выведенных на круговую орбиту с небольшими нарушениями их коорбитальности. Соответствующие соотношения получены во вращающейся системе координат (¿гл-у, использованной выше при выводе уравнения наблюдений. Показано, что нарушающая устойчивость системы почти коорбитальных спутников 5] и Бч вековая составляющая эволюции орбитальной конфигурации возникает лишь вследствие начальных расхождений по радиусу-вектору и/или в скорости по направлению ¿^г-

Вчетвертой главе рассматриваются методы и условия решения главной задачи планетной гравиметрии по наблюдениям в системе искусственных спутников, обращающихся по орбитам, существенно различающимся по высоте. Геометрическая картина измерений такого рода аналогична схеме наземного допплеровского радиослежения •за искусственными спутниками ближайших к Земле небесных тел.

Представим потенциал силы притяжения в точке 5г внеш-

него пространства в виде суммы референцного потенциала и

неизвестного аномального потенциала ДУХ^г). Предположим также, что движение высокого спутника 51 вследствие его значительной удаленности от гравитирующего тела происходит под действием лишь референцной составляющей гравитационного потенциала. Тогда

1^(50 = ^(5,), К(52) = УЧ52) + ДУ(52). (17)

Введем вращающуюся орбитальную спутникоцентрическую систему координат Б\хуг (ось х - вдоль направления 52^1, ось 2 - по нормали к плоскости, проходящей через точки 5|, 52 и точку О - центр масс гравитирующего тела). Поскольку лучевое ускорение есть не что иное, как производная по направлению 5]5г разности гравитационных потенциалов в точках 5г и

г = -¿[то - ^(5,)] = - Уф(5,)] - (18)

Отмеченная выше аналогия между измерениями в системе разновысоких КА и описанным в параграфе 4.1 наземным радиослежением за искусственными спутниками позволяет, используя предложенный Броваром [4] алгоритм дифференцирования гравитационного потенциала по произвольному направлению, выразить последнее слагаемое в правой части (18) через гармонические коэффициенты разложения потенциала в ряд объемных сферических функций, начиная с некоторой степени N1

3 СМ м

АУ(Б2) = (-) [2С;0со8А'2Рп+,д(8т^)+дп], (19)

где

Яп = Ё {[С;рсо8(р + 1)А'2 + 5;ряп(р + 1)А'2]Рп+1,р+1(8т -

р= 1

-{п-р+1){п-р + 2)х (20)

х[Спрсо8(р - 1)А'2 + 5;1р8т(р - 1)АУРп+1,р_,(8т^)}.

Здесь {С'пр, 5^р} - совокупность гармонических коэффициентов модели потенциала, соответствующей промежуточной барицентрической системе координат ОХ'У^', оси которой ориентированы по направлению осей системы Бххуг. Необходимую для формирования системы уравнений поправок трансформацию указанных коэффициентов в жестко связанную с исследуемым небесным телом систему координат ОХУХ проведем по методике Леви [10], опирающейся на инвариантность формы записи интегралов уравнения Лапласа к повороту базисной тройки векторов вокруг начала координат. Параграф 4.3 содержит изложение математических процедур получения искомого уравнения поправок относительных лучевых ускорений.

С. другой стороны, нами показано, что в системе координат значение лучевого ускорения может быть получено в результате дифференцирования по времени значения измеренной лучевой скорости Л.г, предварительно исправленной для перехода в невращающуюся систему отсчета поправкой — и^'У/:

, (21)

где Д.г - относительная лучевая скорость спутников, и>з - апликата вектора угловой скорости вращения спутника 5].

Таким образом, лучевые ускорения не являются непосредственно измеряемыми величинами. Измерения же лучевых скоростей, во-первых, относятся к дискретным моментам, а, во-вторых, отягощены неизбежной ошибкой, в.силу чего операция численного дифференцирования приобретает некорректный характер. Обсуждению путей решения задачи о гладком восполнении функции, определенной в узлах сетки с некоторой ошибкой, посвящен параграф 4.4.

В параграфе 4.5 рассматриваются условия взаимной видимости двух КА, обращающихся вокруг центрального планетного тела по произвольным круговым орбитам. Результаты моделирования свидетельствуют о том, что для получения одинаковых объемов измерительной информации продолжительность измерений в системе разновысоких спутников должна быть в несколько раз больше, чем в системе коор-битальных аппаратов.

В следующем параграфе 4.6 обсуждаются результаты численных экспериментов, имитирующих получение параметров гравитационных полей Луны и Марса по межспутниковым измерениям в системе искусственных спутников, круговые селено- и ареоцентрические орбиты которых существенно различаются по высоте, а также наклонению и долготе восходящего узла. Постановка численного эксперимента в основном повторяла схему, описанную выше. В ходе вычислений для Луны и Марса осуществлялся поиск максимальных для каждого IV значений критерия гк на множестве узловых точек фазовой плоскости "высота низкого КА - наклонение низкого КА" при фиксированных значениях высоты и наклонения орбиты высокого КА.

Результаты расчетов позволяют говорить о высокой избирательности исследуемого метода к наклонению орбиты низкого искусственного спутника. Предпринятый в ходе численного эксперимента пере-

ход к новому знамению наклонения орбиты высокого спутника вызвал смещение диапазона наивыгоднейших наклонений i-, низкого КА примерно на величину разности между новым и прежним значениями i\. Изменения же высоты Н\ приводят к незначительным изменениям диапазонов величин ¿2 и

Большой интерес с практической точки зрения представляет сопоставление рассмотренных версий метода межспутникового слежения. Предварительное согласование точностей измеряемых величин показало, что с.к.о. = 0.005 мм/сек измерений относительных лучевых скоростей пары коорбитальных КА соответствует с.к.о. = 0.02 мГал относительных лучевых ускорений разновысоких искусственных спутников. С учетом этого сравнение точностей оценивания гармонических коэффициентов в каждой из версий позволяет говорить о некотором преимуществе наблюдений в коорбитальной-системе.

Сравнение рассмотренных в настоящей работе методов планетной гравиметрии с точки зрения перспектив их применения для изучения гравитационных полей тел Солнечной системы позволяет сделать вывод о приоритете метода спутниковой градиентометрии перед методом межспутникового слежения. Реализация метода межспутникового слежения оказывается существенно'более сложной в организационном плане, поскольку требует формирования в окрестности исследуемого небесного тела системы нескольких КА, образующих в процессе движения номинальную пространственную конфигурацию. Отметим также более высокие требования, предъявляемые этим методом к точности референцной модели поля и точности данных о положениях и скоростях входящих в систему искусственных спутников.

Цитируемая литература

1. Тараканов Ю.А. Сочетание методов геодезии и гравиметрии: 1. Методы измерения совокупности гравитационных аномалий. - Изв. вузов. Геод. и аэрофот., 1997, No 2-3, 35 - 47.

2. Balmino G., Moynot В., Vales N. Gravity field model of Mars in spherical harmonics up to degree and order eighteen. - J. Geophys. Res., 1982, v.87, No B12, 9735 - 9746.

3. Bills B.G., Ferrari A.J. A harmonic analysis of lunar gravity. - J Geophys. Res., 1980, v.82, No B2, 1013 - 1025.

4. Brovar V.V. Determining the gravity potential by means of a force component in a constant direction. - Stud. Geophys. et Geod., 1970, v.14, part 2, 242 - 250.

5. Hein G.W. A contribution to 3d-operational geodesy. Part 1: Principle and observational equations of terrestrial type. - Deutsche Geod. Komiss.,

1982, R.B, Nr. 258/6, 31 - 64.

6. Hein G.W. A contribution to 3d-operational geodesy. Part 2: Consepts of solution. - Deutsche Geod. Komiss., 1982, R.B, Nr. 258/6, 65 - 85.

7. Hein G.W. Integrated geodesy - state of the art. - In: Mathemat. and numerical techniques in phys. geodesy (ed. H.Sunkel), Springer-Verlag, 1986, 505 - 548.

8. Hein- G.W., Eisfeller B. A contribution to 3d-operational geodesy. Part 4: The observation equations of satellite geodesy in the model of integrated geodesy. - Schriftenreiche Univer. der Bundeswher Munchen, 1986, Heft 17, p.190.

9. Hein G.W., Landau H. A comtribution to 3d-operational geodesy. Part 3: OPERA - A multi-purpose programm for operational adjustment of geodetic observations of terrestrial type. - Deutsche Geod. Komiss.,

1983, Nr. 264, 1 - 98.

10. Levie S.L. Transformation of potential function under coordinate rotations. - J. Astronaut. Sci., 1971, v.18, No 4, 217-235.

Результаты исследований, представленные в диссертации, опубликованы в следующих работах:

1. КАЩЕЕВ P.A. О перспективах уточнения модели селенопотен-циала по данным слежения за низкими ИСЛ. В кн.: Проблемы астрометрии. М., МГУ, 1984, 315 - 318.

2. КАЩЕЕВ P.A. Гравитационное поле Луны: точность некоторых моделей. - Труды Каз. гор. АО, 1986, вып. 50, 130 - 136.

3. КАЩЕЕВ P.A. О вычислении высокочастотных гармоник селе-нопотенциала. - Труды Каз. гор. АО, 1986, вып. 50, 137 - 141.

4. КАЩЕЕВ P.A. О преобразовании лучевых ускорений ИСЛ. - Труды Каз. гор. АО, 1988, вып. 51, 94 - 98.

5. КАЩЕЕВ P.A. Метод хорд в задаче объединения селенодезиче-ских каталогов. - Кинемат. и физика небес, тел, 1988, т.4, No 5, 84-87.

6. KASCHEEV R.A. Lunar gravity parameters from line-of-sight acceleration data. - Earth, Moon and planets, 1988, v.41, 89 - 94.

7. КАЩЕЕВ P.A. Гравитационное поле Луны: использование разнородных спутниковых наблюдений. - Труды Каз. гор. АО, 1989, вып. 52, 83 - 95.

8. КАЩЕЕВ P.A. Перспективы интегративного подхода в селенодезии. - В кн.: Селенодезия и динамика Луны. Киев, Наукова думка, 1990, 127 - 130.

9. КАЩЕЕВ P.A. Новый метод установления лунной системы координат по наземным и орбитальным данным. - В кн.: Селенодезия и динамика Луны. Киев, Наукова думка, 1990, 130 - 132.

10. КАЩЕЕВ P.A. Алгоритмы единой геодезии. - Рук. деп. в ВИНИТИ, 3939-в90, 1990, 30 с.

11. КАЩЕЕВ P.A. Перспективы решения задач планетной геодезии по разнородным спутниковым наблюдениям. - Тез. докл. междунар. конф. "Общепланетарные проблемы исследования Земли", Казань, 1994, 27 - 28.

12. КАЩЕЕВ P.A. Исследование гравитационных полей Луны и планет методом спутниковой градиентометрии (результаты численного эксперимента). - Тезисы конф. "Физика Луны и планет", Харьков, 1994, 53 - 54.

13. КАЩЕЕВ P.A. Моделирование распределения вторых производных гравитационных потенциалов Луны и Марса на спутниковых высотах. - Кинемат. и физика небесн. тел, 1994, том 10, No 5, 29 - 34.

14. КАЩЕЕВ P.A. Численный эксперимент по спутниковой гради-ентометрии Луны и Марса. - Изв. вузов. Геод. и аэрофот., 1995, No 5-6, 94 - 102.

15. КАЩЕЕВ P.A. Результаты численных экспериментов по выбору орбит для спутниковой градиентометрии Луны и Марса. - Тез. докл. межд. конф. "Стохастические методы и эксперименты в небесной механике", Архангельск, 1995, с.35.

16. KASCHEEV R.A. A simulation of satellite gradiometry experiment neat Moon and Mars in terms of integrated planetary geodesy. - Ann. Geophys. Suppl. to vol. 13, 1995. 1 p.

17. КАЩЕЕВ P.A. О выборе орбит для спутниковой градиентометрии Луны и Марса. - Изв. вузов. Геод. и аэрофот., 1996, No 4, 42 - 50.

18. КАЩЕЕВ P.A. Результаты численных экспериментов по спутниковой градиентометрии и межспутниковому слежению для Луны и Марса. - Тез. докл. 2-го межд. симпозиума по классической и небесной механике, Великие Луки, 1996, 39 - 40.

19. КАЩЕЕВ P.A. Спутниковые методы определения гравитационных полей небесных тел. - Тез. докл. межд. конф. "Геометризация физики 3", Казань, 1997, с. 53.

20. КАЩЕЕВ P.A. Численный эксперимент по межспутниковому слежению в системе коорбитальных искусственных спутников Луны и Марса. - Изв. вузов. Геод. и аэрофот., 1997, No 1, 49 - 55.

21. КАЩЕЕВ P.A. Проблемы и перспективы планетной гравиметрии. - Тез. докл. межд. конф. "Результаты и перспективы исследования планет", Ульяновск, 1997, 43 - 44.

22. КАЩЕЕВ P.A. О точности решения задач планетной гравиметрии методами спутниковой градиентометрии и межспутникового слежения. Изв. вузов. Геод. и аэрофот., 1997, No 4, 90 - 98.

23. КАЩЕЕВ Р.А. Межспутниковое слежение в задачах планетной гравиметрии. - Тез. докл. конф. "Новые теоретические результаты и практические задачи небесной механики", Москва, 1997, 47 - 48.

24. КАЩЕЕВ Р.А. Определение гравитационных полей небесных тел по разнородным спутниковым данным. - Изв. вузов. Геод. и аэ-рофот., 1998, No 3, 80 - 89.

25. КАЩЕЕВ Р.А. Исследование гравитационных, полей небесных тел по данным об относительном движении их искусственных спутников. - Тез. докл. 3-го межд. симпозиума по классической и небесной механике. Великие Луки, 1998, 82 - 83.

26. KASCHEEV R.A. On the use of satellite gradiometry for determing gravity parameters. - Ann. Geophys. Suppl. to vol. 16, 1998, C1030.

27. KASCHEEV R.A. A simulation of satellite-to-satellite tracking mission near Moon and Mars. - Ann. Geophys. Suppl. to vol. 16, 1998,

28. KASCHEEV R.A. Advanced satellite technique for the lunar gravity analysis. - Abstr. 3-.rd Int. Conf. of Exploration of the Moon, Moskva, 1998, p. 89.

29. KASCHEEV R.A. Planetary geodesy: the integrated approach. -Proc. Int. Conf. "Geometrization of Physics 4", Kazan, 1999, 149 - 154.

30. KASCHEEV R.A. Lunar gravity analysis by the satellite-to-satellite tracking method. - Abstr. 30-th Int. Braun-Vernadsky working meeting, Moskva, 1999, 2 p.

C1030.

Содержание диссертации автор исследовательской работы: доктора физико-математических наук, Кащеев, Рафаэль Александрович

Введение

1 Интегративные принципы планетных исследований

1.1 Интегративные алгоритмы геодезии и гравиметрии.

1.2 Задачи планетной гравиметрии и особенности их решения.

1.3 Общий вид уравнений наблюдений и уравнений поправок в небесной системе координат

1.4 Уравнения наблюдений и уравнения поправок в планетной системе координат.

1.5 Задача навигационной привязки КА.

1.6 Интегративный подход к построению лунной (планетной) системы координат

1.7 Вычисление весов при совместной обработке разнородных наблюдений.

1.8 Оценивание параметров гравитационного поля по разнородным наблюдательным данным.

1.9 Итоги и выводы.

2 Определение параметров гравитационного поля методом спутниковой градиентометрии

2.1 Спутниковая градиентометрия: бортовые измерения вторых производных гравитационного потенциала

2.2 Уравнения наблюдений и уравнения поправок спутниковой градиентометрии.

2.3 Поля вторых производных гравитационных потенциалов Луны и Марса на спутниковых высотах

2.4 Постановка численного эксперимента по спутниковой градиентометрии Луны и Марса

2.5 Выбор спутниковых орбит и состава измерений для определения параметров гравитационных полей Луны и Марса.

2.6 Влияние ошибок различной природы на точность оценивания параметров гравитационного потенциала

2.7 Итоги и выводы.

3 Межспутниковое слежение в системе коорбиталь-ных искусственных спутников

3.1 Задача определения гравитационного поля по данным об относительном движении искусственных спутников

3.2 Межспутниковое слежение: уравнение наблюдений и уравнение поправок для лучевых скоростей

3.3 Численный эксперимент по межспутниковому слежению в системе коорбитальных искусственных спутников Луны и Марса.

3.4 Влияние ошибок различной природы на точность оценивания параметров гравитационного потенциала

3.5 Комплексный эксперимент по межспутниковому слежению и спутниковой градиентометрии в окрестности Луны и Марса.

3.6 Кинематика относительного движения и устойчивость системы почти коорбитальных спутников

3.7 Итоги и выводы.

4 Определение параметров гравитационного поля по лучевым ускорениям искусственных спутников

4.1 Лучевые ускорения и их использование в планетной гравиметрии

4.2 Уравнение наблюдений для лучевых ускорений искусственного спутника

4.3 Межспутниковое слежение в системе разновысоких спутников: уравнение наблюдений и уравнение поправок

4.4 Задача трансформации дискретных измерений путем повышения порядка производной.

4.5 Выбор орбитальной конфигурации для проведения межспутниковых измерений

4.6 Численный эксперимент в системе разновысоких искусственных спутников

Луны и Марса.

4.7 Итоги и выводы.

Введение диссертация по астрономии, на тему "Спутниковые методы планетной гравиметрии"

Детальная и достоверная информация о гравитационных полях тел Солнечной системы необходима для решения различных научных и прикладных задач. В их числе прежде всего следует назвать фундаментальную проблему изучения внутреннего строения небесных тел, а также геологической истории их формирования и эволюции. Весьма важными представляются астрометриче-ские и геодезические вопросы установления основных направлений и отсчетных поверхностей, используемых для координатно-временной привязки космических экспериментов. Наконец, движение космических аппаратов (КА) в сфере гравитационного действия исследуемого небесного тела не может быть удовлетворительным образом предсказано и описано в отсутствии сведений о действующих на них силах, в ряду которых сила притяжения играет доминирующую роль. Задача установления параметров модели гравитационного поля приобретает в указанном контексте небесномеханический смысл, поскольку решение ее обеспечивает баллистические и навигационные потребности определения движения К А.

Таким образом, составляющая основу планетной гравиметрии проблема исследования гравитационных полей небесных тел носит комплексный характер и представляет собой сферу приложения интересов различных областей науки и техники.

Наиболее эффективными экспериментальными методами решения этой проблемы являются методы, основанные на анализе динамики движения искусственных спутников в зоне притяжения исследуемых гравитирующих масс.

Классическая схема оценивания параметров модели гравитационного поля опирается на интегрирование дифференциальных уравнений возмущенного движения искусственного спутника этого тела, связывающих изменения элементов спутниковой орбиты с характеристиками возмущающих сил. Однако, следуя этой методике, не удается построить достаточно подробные многопараметрические модели потенциала, что вынуждает обратиться к иным методам, не связанным со сглаживающей процедурой интегрирования на значительных временных интервалах.

Для Земли решение задачи достигается привлечением данных иных видов измерений, получаемых методами наземной гравиметрической съемки и спутниковой альтиметрии. Применительно к другим небесным телам аналогичная потребность в детализации моделей поля также ведет к поиску альтернативных традиционным дополнительных источников наблюдательной информации. Речь идет о перспективах применения дифференциальных методов спутниковой гравиметрии, использующих искусственный спутник в качестве пробного тела, слежение за поведением которого доставляет детальные сведения о структуре внешнего гравитационного поля.

Это измерения относительных дальностей и скоростей КА в системе близких низкорбитальных спутников, измерения относительных лучевых скоростей и ускорений в системе спутников, обращающихся по разновысоким орбитам, а также бортовые гра-диентометрические измерения вторых производных потенциала силы притяжения. Предварительные оценки позволяют надеяться, что именно перечисленные виды измерений в самом недалеком будущем станут источником ценнейшей информации о подробностях структуры гравитационных полей ближайших к Земле тел Солнечной системы. Основанием к тому служит высокая ожидаемая точность и чувствительность измерений такого рода к региональным особенностям поля и его локальным аномалиям, открывающая возможности определения параметров потенциала в широком диапазоне частот.

Все перечисленные методы, следуя [179], возможно объединить под общим названием методов дифференциальных измерений в системах с изменяемой геометрией расположения элементов. Указанные системы могут быть реализованы как в виде пробных масс, находящихся внутри искусственного спутника, так и в виде группы спутников (в том числе субсателлитов-мишеней), образующих ту или иную орбитальную конфигурацию.

С учетом сказанного выше, основные цели диссертации сформулируем следующим образом:

• установление теоретических принципов и построение унифицированных алгоритмов обработки разнородных наблюдательных данных, доставляемых спутниковыми методами диффепенциальных измерений в системах с изменяемой геометрией расположения пробных масс;

• исследование зависимости качества решения задач планетной гравиметрии от вида и состава привлекаемых наблюдений, а также влияния случайных и систематических ошибок различной природы.

Актуальность работы обусловлена двумя важными обстоятельствами: •

Отметим в этой связи, что проблемы планирования, обеспечения и управления космическими экспериментами в рамках программ планетных исследований вследствие их сложности, неоднозначности и наличия взаимоисключающих ограничений на функционирование используемых КА, как правило, не могут быть разрешены в общем виде. Реальные измерения перечисленными выше методами в настоящее время еще невозможны, поскольку соответствующая аппаратура находится в стадии разработки. В такой ситуации наиболее естественным и экономичным способом исследования эффективности применения рассматриваемых методов спутниковой гравиметрии становится анализ различных альтернативных сценариев решения задачи путем проведения серии численных имитационных экспериментов на ЭВМ. Заметим в этой связи, что, благодаря развитию возможностей современных средств вычислительной техники и эффективных методов прикладной математики, численные эксперименты получили широкое распространение в различных областях знаний, предваряя, дополняя, а в ряде случаев и вытесняя привычные натурные эксперименты.

Научная новизна и практическое значение исследований состоят в достижении следующих результатов:

• Исходя из анализа особенностей современного этапа изучения тел Солнечной системы, сформулирована основная задача планетной гравиметрии и показана целесообразность поиска путей ее решения на основе привлечения интегратив-ных методов геодезии и гравиметрии.

• Разработана методика оценки влияния случайных и систематических ошибок различной природы на величины гармонических коэффициентов, получаемых по материалам разнородных бортовых измерений. Проведен комплек численных экспериментов, иллюстрирующих эффективность применения этой методики при вычислении параметров селено-и ареопотенциалов.

• Созданы рабочие алгоритмы и вычислительные программы, предназначенные для априорного анализа эффективности использования различных орбитальных построений КА, про-водяющих измерения с целью уточнения параметров внешних гравитационных полей тел Солнечной системы.

Достоверность научных результатов и обоснованность выводов подтверждается их непротиворечивостью в сравнении с представлениями, сложившимися в данной области знаний, а также результатами исследований других авторов.

Апробация работы. Основные результаты, опубликованные в 28 статьях и тезисах выступлений [88 - 112] и [255 - 257], неоднократно докладывались на различных Международных, Всесоюзных и Всероссийских симпозиумах, конференциях и совещаниях. В их числе: астрометрические конференции СССР и РФ (Москва, 1981; С.-Петербург, 1993); конференция "Селенодезия и динамика Луны" (Киёв, 1987); совещания Рабочей группы "Луна" АС АН СССР (Москва, 1982; Львов, 1989; Зеленч^с, 1991); конференции "Современные методы физической геодезии и спутниковой геодинамики" (С.-Петербург, 1992), "Общепланетарные проблемы исследования Земли" (Казань, 1994), "Физика и динамика Луны" (Харьков, 1994), "Стохастические методы и эксперименты в небесной механике" (Архангельск, 1995); симпозиумы по классической и небесной механике (Великие Луки, 1996 и 1998); конференция "Результаты и перспективы исследования планет" (Ульяновск, 1997) и др. Доклады автора также были представлены на съезде JENAM-95 (Италия, 1995); XX и XXI11 Генеральных Ассамблеях EGS (Германия, 1995 и Франция, 1998), 3-ей Международной конференции по освоению Луны (Россия, 1998) и др.

На защиту выносятся:

• Формулировка основном задачи планетной гравиметрии и обоснование целесообразности применения интегративного подхода к поиску ее решения.

• Теоретические основы получения уравнений спутниковых наблюдений для вторых производных гравитационного потенциала, относительных лучевых скоростей в системе близких коорбитальных искусственных спутников и относительных лучевых ускорений в системе спутников, обращающихся по разновысоким орбитам.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.

Заключение диссертации по теме "Астрометрия и небесная механика"

Заключение

Настоящая диссертация посвящена разработке обобщенной методики решения главной задачи планетной гравиметрии, сформулированной нами как определение фигур и внешних гравитационных полей небесных тел по совокупности разнородных измерений, выполненных в различных точках пространства. Основное внимание в работе уделено исследованию дифференциальных спутниковых методов измерений в системах- с изменяемой геометрией расположения элементов, а также поиску путей достижения максимальной эффективности применения этих методов, привлекающих внимание специалистов ожидаемой высокой точностью и возможностями детального разрешения подробностей структуры гравитационных полей тел Солнечной системы.

Унифицированный алгоритм исследований предусматривает выполнение серии численных экспериментов, имитирующих процесс бортовых измерений тех или иных характеристик относительного движения элементов орбитальной системы, и последующую обработку получаемой измерительной информации с целью определения искомых параметров гравитационного потенциала небесного тела. Оценка точности конкретного сценария производится при этом путем сопоставления вычисляемых в ходе численного эксперимента значений гармонических коэффициентов со значениями параметров соответствующих степеней и порядков априорно заданного псевдореального поля, используемого для моделирования результатов измерений. Минимизация величины рассогласования указанных совокупностей коэффициентов на множестве возможных орбитальных конфигураций элементов спутниковой системы позволяет установить приоритетные условия проведения измерений, обеспечивающие достижение максимальной точности оценивания искомых параметров модели поля.

Предложенная методика использована нами для исследования ряда дифференциальных спутниковых методов планетной гравиметрии, опирающихся на измерения в системах с изменяемой геометрией расположения пробных масс.

О Метод спутниковой градиентометрии.

Метод основан на измерении бортовыми средствами вторых производных гравитационного потенциала центрального тела, обладающих высокой чувствительностью к локальным особенностям исследуемого поля. В соответствии с используемым алгоритмом, первым шагом к получению искомых параметров потенциала небесного тела является вывод уравнения наблюдений. Это уравнение представляет собой математическое равенство, устанавливающее функциональную связь результата измерения с набором подлежащих определению величин. В диссертации в удобной форме получены уравнения наблюдений для различных компонент тензора вторых производных гравитационного потенциала в спутникоцентрических прямоугольных горизонтной и орбитальной системах координат. В каждом случае путем линеаризации уравнения наблюдений в окрестности априорно заданной приближенной референцной модели поля осуществлен переход к уравнениям поправок.

Для Луны и Марса проведено моделирование и последующий анализ распределения полей различных вторых производных потенциала на спутниковых высотах, отражающее ряд специфических деталей внутреннего строения и эволюции недр исследуемого небесного тела.

С целью поиска наивыгоднейших условий градиентометриче-ских измерений разработана методика проведения и выполнена серия численных имитационных экспериментов, ориентированных на достижение максимальной точности оценивания гармонических коэффициентов разложения в ряд объемных сферических функций гравитационных потенциалов Луны и Марса.

Установлено, что бортовые измерительные устройства, обеспечивающие возможность измерения нескольких различных вторых производных потенциала, позволяют повысить точность и в значительной степени ослабить избирательность метода спутниковой градиентометрии к значениям высот и наклонений спутниковых орбит. Показано, что для каждого набора измеряемых производных при всех рассмотренных значениях степеней оцениваемых гармоник существует общий диапазон наклонений, доставляющих максимальную точность решения задачи.

Влияние ошибок различной природы на результаты экспериментов изучено в предположении аддитивности случайных погрешностей измерений при систематическом мультипликативном возмущении параметров модели референцного поля. Выяснено, что и случайные, и систематические ошибки по мере их увеличения ведут, главным образом, к сужению диапазонов оптимальных наклонений орбиты. При этом Марс оказывается по сравнению с Луной более чувствительным к точности референцной модели, Луна сильнее реагирует на рост случайных ошибок измерений. Также проведена оценка влияния ошибок позиционирования КА и исследована зависимость точности решения задачи от состава градиентометрических измерений.

О Метод межспутникового слежения в системе близких коорбитальных искусственных спутников.

Исходя из закона сохранения энергии, получено уравнение наблюдений для относительных лучевых скоростей спутников, позволяющее проанализировать корректность упрощений, сопровождающих процедуру вывода этого уравнения.

Проведена серия численных имитационных экспериментов по определению параметров гравитационных полей Луны и Марса на основе результатов межспутниковых измерений лучевых скоростей.

Установление параметров спутниковых орбит, обеспечивающих наиболее точное оценивание гармонических коэффициентов разложения потенциалов исследуемых небесных тел, проводилось путем поиска экстремума целевой функции в трехмерном фазовом пространстве, задаваемом координатами "высота орбиты - наклонение орбиты - межспутниковое расстояние".

Показано, что наиболее предпочтительными для проведения межспутниковых измерений в системе двух близких коорбиталь-ных спутников являются круговые близполярные их орбиты. При этом движение КА оказывается наиболее чувствительным к влиянию гравитационных аномалий, простирание которых в 1.5-2 раза превышает величину расстояния между спутниками.

Возрастание величин случайных и систематических ошибок во всех случаях приводит к сужению диапазонов оптимальных высот и наклонений, сопровождающемуся уменьшением абсолютных значений самих высот. Вывод о том, что метод межспутникового слежения предъявляет по сравнению с методом спутниковой градиентометрии много более строгие требования к точности ре-ференцной модели поля, обосновывается сильной зависимостью точности решения от уровня систематических ошибок. При этом Марс реагирует на систематические возмущения референцного потенциала заметно острее, нежели Луна.

Оценка влияния упрощений, предпринятых в ходе вывода уравнения наблюдений, свидетельствует о том, что измерения относительных лучевых скоростей спутников должны сопровождаться достаточно точными измерениями относительных положений КА. Кардинальное решение проблемы может быть в этом случае достигнуто посредством слежения за спутниками коорбитальной пары с искусственного спутника, обращающегося по орбите с существенно большей высотой.

Выяснилось, что при проведении совместной обработки комплексных бортовых измерений, выполненных методами спутниковой градиентометрии и межспутникового слежения на одном временном интервале, возможно добиться заметного расширире-ния диапазонов высот и наклонений спутниковых орбит, доставляющих максимально точные результаты оценивания параметров селено- и ареопотенциалов.

Установлено также, что при небольших нарушениях коорби-тальности пары КА и нарушающая устойчивость системы вековая компонента эволюции орбитальной конфигурации возникает вследствие начальных расхождений в положении спутников по радиусу-вектору и/или в относительной скорости по направлению 5162 (лучевой скорости).

О Метод межспутниковых измерений в системе искусственных спутников, обращающихся по произвольным орбитам.

При выводе уравнений наблюдений для межспутниковых измерений в системе разновысоких КА использование закона сохранения энергии оказывается малопродуктивным. В то же время геометрическая картина измерений такого рода аналогична схеме наземного допплеровского радиослежения за искусственными спутниками ближайших к Земле небесных тел. Согласно этой методике, измеряемые наземными средствами лучевые скорости КА аппроксимируются далее кубическими сплайнами, дифференцирование которых по времени дает возможность перейти на интервале измерений к лучевым ускорениям искусственных спутников. Можно напомнить, что эффективность указанной схемы многократно подтверждена результатами реальных экспериментов, которым мы обязаны наиболее детальными сведениями о структуре полей силы притяжения Луны, Марса и Венеры.

Для этого случая получено уравнение наблюдений, связывающее лучевое ускорение КА с гармоническими коэффициентами разложения гравитационного потенциала в ряд объемных сферических функций. Трансформация выведенного соотношения во вращающуюся спутникоцентрическую систему координат позволяет, в свою очередь, перейти к уравнению наблюдений для относительных лучевых ускорений двух спутников, обращающихся вокруг небесного тела по произвольным орбитам, существенно различающимся по высоте. Подробно обсуждены также пути решения некорректной вследствие дискретности и конечной точности измерений задачи формирования массива лучевых ускорений по данным об относительных лучевых скоростях космических аппаратов. Выполнен анализ необходимых для осуществления межспутниковых измерений условий взаимной видимости КА.

Для Луны и Марса при различных значениях высоты и наклонения высокоорбитального искусственного спутника проведена серия численных экспериментов с целью поиска элементов орбиты низкого КА, доставляющих максимальную точность оценивания параметров гравитационного потенциала небесного тела. Результаты расчетов свидетельствуют о том, что главную роль в достижении оптимальных решений при межспутниковых измерениях в системе двух разновысоких КА играет величина угла между плоскостями орбит спутников, которая должна составлять 30° — 50°. Избирательность метода к значениям высот спутников системы оказывается гораздо слабее.

Сравнение рассмотренных в настоящей работе методов планетной гравиметрии с точки зрения перспектив их применения для изучения гравитационных полей тел Солнечной системы позволяет сделать вывод о приоритете метода спутниковой градиенто-метрии перед методом межспутникового слежения. Главным препятствием для проведения измерений вторых производных гравитационного потенциала в настоящее время являются трудности изготовления высокоточных измерительных устройств, обеспечивающих ошибку единичного измерения не более тысячных долей этвеша. Реализация метода межспутникового слежения оказывается неизмеримо более сложной в организационном плане, поскольку требует формирования в окрестности исследуемого небесного тела системы нескольких КА, образующих в процессе движения номинальную пространственную конфигурацию. Отметим также более высокие требования, предъявляемые этим методом к точности референцной модели поля и точности данных о положениях и скоростях входящих в систему искусственных спутников.

Таким образом, рассмотренная методика определения параметров внешних гравитационных полей небесных тел по данным бортовых градиентометрических измерений и межспутникового слежения в системах различной конфигурации подтвердила свою эффективность в ходе численных экспериментов, имитирующих процесс спутниковых измерений в окрестности Луны и Марса и последующую обработку полученной наблюдательной информации.

Заметим в этой связи, что одним из важнейших достоинств имитационных экспериментов является возможность разделения влияния различных факторов, позволяющее исследовать воздействие их независимо' друг от друга. В то же время каждая из используемых моделей ошибок определяет лишь одно из бесконечного числа вероятных состояний данной системы, что создает известные трудности для интерпретации и теоретического обобщения итогов испытаний искаженных моделей, рассматриваемых в ходе вычислений. Вместе с тем, получение результатов, представляющих несомненный интерес с точки зрения планирования будущих космических экспериментов вселяет обоснованный оптимизм в отношении перспектив продолжения исследований в данной области.

В заключительных строках, пользуясь правом диссертанта, выражаю глубочайшую признательность и безграничную благодарность своим учителям: профессорам Шаукату Таиповичу Ха-бибуллину, Марату Усмановичу Сагитову и Всеволоду Владимировичу Бровару - выдающимся корифеям науки и замечательным наставникам, сыгравшим неоценимую роль в формировании профессиональных качеств автора диссертации.

С самыми искренними словами благодарности обращаюсь к профессору Нашло Абдулловичу Сахибуллину, постоянная заинтересованность и требовательная настойчивость которого во многом способствовали своевременному завершению исследований.

Всех своих коллег благодарю за дружескую поддержку в процессе выполнения работы.

Список источников диссертации и автореферата по астрономии, доктора физико-математических наук, Кащеев, Рафаэль Александрович, Казань

1. АБАЛАКИН B.K. Использование лазерных светолокационных наблюдений Луны при решении некоторых задач небесной механики и геодинамики. -Труды ИТА, 1978, вып. 17, 82 - 133.

2. АДЛЕР Ю.П., МАРКОВА Е.В., ГРАНОВСКИЙ Ю.В. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий. М., Наука, 1971, 283 с.

3. АКИМ Э.Л. Определение поля тяготения Луны по движению искусственного спутника Луны " Луна-10". Доклады АН СССР, 1966, т. 170, No 4, 799 - 802.

4. АКИМ Э.Л., БАЖИНОВ И.К., ПАВЛОВ В.П., ПОЧУКАЕВ В.Н. Поле тяготения Луны и движение ее искусственных спутников. М., Машиностроение, 1984, 288 с.

5. АКСЕНОВ Е.П. Специальные функции в небесной механике. М., Наука, 1986, 320 с.

6. АЛЕКСАШИН Е.П., НЕПОКЛОНОВ Б.В., ТИМОФЕЕВ Ю.С.,ТЮФЛИН Ю.С. Методы построения селеноцентрической системы координат опорных точек по наблюдениям произвольного вида и состава. В кн.: Картографирование Луны и Марса. - A4., Недра, 1978, 3 - 15.

7. АЛЕКСАШИН Е.П., НИКОНОВ В.А.Сравнение систем координат независимых селенодезических.каталогов. В кн.: Селенодезия и динамика Луны. Киев, Наукова думка, 1990, 104 - 109.

8. АЛЕКСАШИН Е.П., НИКОНОВ В.А., КОВАЛЕНКО В.А. Моделирование построения единой системы координат на поверхности Луны. В кн.: Проблемы астрометрии, М., МГУ, 1984, 302 - 306.

9. АЛЕКСАШИН Е.П., ТИМОФЕЕВ Ю.С., ШИРЕНИН А.М. Селеноцентрическая система координат "Зонд-8". Методы построения и каталог координат опорных точек. М., ЦНИИГАиК, 1989, 216 с.

10. АЛЕКСАШИН Е.П., ТИМОФЕЕВ Ю.С., ШИРЕНИН A.M. Каталог координат опорных точек Луны в электронном виде. Тез. докл. конф. "Современные проблемы астрометрии и геодинамики", С.-Петербург, 1996, 166 - 167.

11. АЛЕКСИДЗЕ М.А. Решение некоторых основных задач гравиметрии. -Тбилиси, Мецниереба, 1985, 412 с.

12. АЛЕШКИНА Е.Ю., ВАСИЛЬЕВ М.В., КРАСИНСКИЙ Г.А. Анализ наблюдений лазерной локации Луны 1970 1995 годов с использованием системы ЭРА. - Тез. докл. конф. "Современные проблемы и методы астрометрии и геодинамики", С.-Петербург, 1996, с.94.

13. АНТОНОВ В.А. ТИМОШКОВА Е.И., ХОЛШЕВНИКОВ К.В. Введение в теорию ньютоновского потенциала. М., Наука, 1988, 272 с.

14. АППАЗОВ Р.Ф., СЫТИН О.Г. Методы проектирования траекторий носителей и спутников Земли. М., Наука, 1987, 440 с.

15. Атлас планет и их спутников. М., МИИГАиК, 1992, 208 с.

16. АХИЕЗЕР Н.И., ГЛАЗМАН И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. Т.1. Харьков, ХГУ, 1977, 315 с.

17. БАБАЕВ И.О., КРАСИНСКИЙ Г.А. Разложение силовой функции несферического тела в произвольной системе координат. Бюлл. ИТА, 1978, т.14, No 6, 334 - 341.

18. БАЖИНОВ И.К., АЛЕШИН В:И., ПОЧУКАЕВ В.Н., ПОЛЯКОВ B.C. Космическая навигация. М., Машиностроение, 1975, 352 с.

19. БАЖИНОВ И.К., ПОЧУКАЕВ В.Н. Оптимальное планирование навигационных измерений в космическом полете. М., Машиностроение, 1976, 288 с.

20. БАЛЬМИНО Д. Представление потенциала Земли с помощью совокупности точечных масс, находящихся внутри Земли. В кн.: Использование искусственных спутников для геодезии. М., Мир, 1975, 178 - 183.

21. БАРИНОВ К.Н., БУРДАЕВ М.Н., МАМОН П.А. Динамика и принципы построения орбитальных систем космических аппаратов. М., Машиностроение, 1975, 232 с.

22. БАХШИЯН БД., НАЗИРОВ P.P., ЭЛЬЯСБЕРГ П.Е. Определение и коррекция движения (гарантирующий подход), М., Наука, 1980, 360 с.

23. БОЙКО В.Н. Проблема использования лазерных светолокационных наблюдений Луны. Тез. докл. конф. "Современные проблемы и методы астрометрии и геодинамики", С.-Петербург, 1996, 82 - 83.

24. БОЙКО В.Н., ФУРСЕНКО М.А., ШИРЯЕВ A.A. Результаты обработки лазерных светолокационных наблюдений Луны. В .кн.: Селенодезия и динамика Луны. Киев, Наукова думка, 1990, 24 - 27.

25. БОЙКО Е.Г., КЛЕНИЦКИЙ Б.М., ЛАНДИС И.М., УСТИНОВ Г.А. Использование ИСЗ для построения геодезических сетей. М., Недра, 1977, 376 с.

26. БОЛЬШАКОВ В.Д., МАРКУЗЕ Ю.И., ГОЛУБЕВ В.В. Уравнивание геодезических построений. Справочное пособие. М., Недра, 1989, 413 с.

27. БРАГИНСКИЙ В.Б., МАНУКИН А.Б. Измерение малых сил в физических экспериментах. М., Наука, 1974, 151 с.

28. БРАНДИН В.Н., РАЗОРЕНОВ Г.Н. Определение траекторий космических аппаратов. М., Машиностроение, 1978, 216 с.

29. БРАУНЛИ К.А. Статистическая теория и методология в науке и технике. М., Наука, 1977, 407 с.

30. Б Р Ж Е 3 О В С К И Й A.B., ЖАКОВ В.И., ПУТИЛОВ В.А., ФИЛЬЧАКОВ В.В. Синтез моделей вычислительного эксперимента. С.-Петербург, Наука, 1992, 231 с.

31. БРОВАР В.В. Стоксовы постоянные масконов. В кн.: Современные проблемы позиционной астрометрии, М., МГУ, 1975, 318 - 323.

32. БРОВАР В.В., ГАНИФАЕВА Н.Г. Об одном методе определения потенциала Луны. Астрон. журнал, 1974. т.51, No 5, 1072-1078.

33. БРОВАР В.В., ГАНИФАЕВА Н.Г. О смешанной краевой задаче для определения потенциала Луны. В кн.: Современные методы позиционной астрометрии, М., МГУ, 1975, 264 - 265.

34. БРОВАР В.В., ЧЕСНОКОВА Т.С. Аппроксимация гравитационного поля планет точечными массами на примере Земли. В кн.: Проблемы астрометрии. М., МГУ, 1983, 312 - 315.

35. БРОВАР В.В., ЧЕСНОКОВА Т.С., ТАДЖИДИНОВ Х.Г. Гравитационное поле над видимой стороной Луны. В кн.: Проблемы комплексного исследования Луны, М., МГУ, 1986, 80 - 108.

36. БРОВАР В.В., ЮЗЕФОВИЧ А.П. Параметры лунных масконов. В кн.: Современные проблемы позиционной астрометрии, М., МГУ, 1975, 303 - 312.

37. БРУМБЕРГ В.А. Разложение пертурбационной функции в спутниковых задачах. Бюлл. ИТА, 1967, т. 11, No 2, 73 - 83.

38. БЫВШЕВ В. А. Разработка устойчивых алгоритмов решения конечномерных и бесконечномерных некорректных задач геодезии. Автореферат дисс. на соиск. уч. степ, доктора тех. наук. М., 1989, 47 с.

39. БЫВШЕВ В.А. Точностные расчеты при интерполировании геофизических полей дифференциальными сплайнами минимальной кривизны. Изв. ВУЗов. Геод. и аэрофот., 1997, No 2-3, 3 - 22.

40. БЫВШЕВ В.А., БУЙ КУАНГ ЧУНГ. К методике линеаризации геодезических функционалов. Изв. ВУЗов. Геод. и аэрофот., 1986, No 4, 25 - 33.

41. ВАЙНИККО Г. Методы решения линейных некорректно поставленных задач в гильбертовых пространствах. Тарту, Изд-во Тартус.ГУ, 1982, 110 с.

42. ВАЛЕЕВ С.Г. Новые опорные сети на Луне в зоне фотосъемок с AMC серии "Зонд". В кн.: Проблемы астрометрии. М., МГУ, 1984, 294 - 295.

43. ВАЛЕЕВ С.Г. Регрессионное моделирование при обработке наблюдений.- М., Наука, 1991, 272 с.

44. ВАЛЕЕВ С.Г. Оптимизация математических моделей обработки данных и информационные технологии. Вестник УлГТУ, 1997, 119 - 130.

45. ВАЛЕЕВ С.Г., ДЬЯКОВ В.И. Автоматизированная система для моделирования мегарельефа и гравитационных полей планет. Изв.ВУЗов. Геод. и аэрофот., 1998, No 4-5, 45 - 49.

46. ВАЛЕЕВ С.Г., ВЕЛЬМИСОВ П.А., БУЛЫЖЕВ Е.М. Регрессионный анализ данных технологического процесса. Ульяновск, 1989, 28 с.

47. ВИГНЕР Е. Теория групп и ее применения к квантовомеханической теории атомных спектров. М., Физматгиз, 1961, 443 с.

48. ВИЛЕНКИН Н.Я. Специальные функции и теория представлений групп.- М., Наука, 1965, 588 с.

49. ГАВРИЛОВ И.В., КИСЛЮК B.C., ДУМА A.C. Сводная система селе-нодезических координат 4900 точек лунной поверхности. Киев, Наук.думка, 1977, 171 с. .

50. ГЕТМАНСКИЙ С.Б., КАМЕНСКИЙ К.К. Методы спутник-спутник и спутниковой градиентометрии в ииследовании гравитационных полей Луны и Земли. В кн.: Селенодезия и динамика Луны. Киев, Наук, думка, 1990, 54 - 58.

51. ГЛУШКОВ В.В. К вопросу выбора оптимальных условий определения параметров орбиты СКА по измерениям между BKA и СКА. Изв. ВУЗов. Геод. и аэрофот., 1996, No 4, 27 - 35.

52. ГЛУШКОВ В.В. О точности определения положения СКА по измерениям между BKA и СКА. Изв. ВУЗов. Геод. и аэрофот., 1996, No 4, 36 - 41.

53. ГЛУШКОВ В.В. О точности орбитального метода космической геодезии с измерениями между КА. Изв. ВУЗов. Геод. и аэрофот. 1997, No 2-3, 90 - 95.

54. ГОНЧАРСКИЙ A.B., РОМАНОВ С.Ю., ЧЕРЕПАЩУК A.M. Конечнопа-раметрические обратные задачи астрофизики. М., МГУ, 1991, 192 с.

55. ГОНЧАРСКИЙ A.B., ЧЕРЕПАЩУК A.M., ЯГОЛА А.Г. Некорректные задачи астрофизики. М., Наука, 1985, 352 с.

56. ГРУШИНСКИЙ Н.П. Теория фигуры Земли. М., Наука, 1976, 512 с.

57. ГУБАНОВ B.C. О применении метода коллокации в астрометрии. В кн.: "Изучение Земли как планеты методами астрономии, геофизики, геодезии". Труды 3 Орловской конференции. Киев, 1993, 277 - 278.

58. ГУБАНОВ B.C., ПЕТРОВ С.Д., РУСИНОВ Ю.Л. Исследование алгоритма объединения рядов ПВЗ методом средней квадратической коллокации. Тез. докл. конф. "Современные проблемы и методы астрометрии и геодинамики", С.Петербург, 1996, с. 172.

59. ГУБЕРМАН Ш.А. Неформальный анализ данных в геологии и геофизике. М., Недра, 1987, 261 с.

60. ДЖАНКИНС Д.Л. Исследование конечно-элементных представлений потенциала поля тяготения Земли. Ракетная техника и космонавтика, 1976, т. 14, No 6, 123 - 131.

61. ДМИТРИЕВСКИЙ A.A., ИВАНОВ Н.М., ЛЫСЕНКО Л.Н., БОГОДИСТОВ С.С. Баллистика и навигация ракет. М., Машиностроение, 1985, 312 с.

62. ДРОЖИНЕР А. Некоторые замечания о разложении геопотенциала в ряд выборочных функций. Набл. ИСЗ., 1974, No 13, 51 - 59.

63. ДРОНИН A.A. Общая схема использования градиентометрии на спутниковых высотах для определения характеристик гравитационного поля на поверхности Земли. Изв. ВУЗов, Геод. и азророфот., 1986, No 4, 70 - 73.

64. ДРОНИН A.A. Общая методика использования спутниковой градиентометрии для определения характеристик гравитационного поля на поверхности Земли. Изв.ВУЗов. Геод. и аэрофот., 1988, No 3, 72 - 74.

65. ДРОНИН A.A. Возможности градиентометрического метода в определении характеристик гравитационного поля Земли. Изв.ВУЗов. Геод. и аэрофот., 1990, No 4, 49 - 59.

66. ДРОНИН A.A. Точность вывода элементов гравитационного поля Земли на ее поверхности при различном составе используемых гравиметрических и спутниковых градиентометрических данных. Изв. ВУЗов. Геод. и аэрофот., 1990, No 6, 50 - 56.

67. ДУБОВСКИЙ В.Б., /КОЛОБОВ В.М. и др. Возможности регистрации микроускорений на борту К А. В кн.: Измерение силы тяжести, М., Наука, 1981, 84 - 92.

68. ДУБОШИН Г.Н. Небесная механика. Методы теории движения искусственных небесных тел. М., Наука, 1983, 352 с.

69. ЕГОРОВ В.Б. Новости зарубежной науки и техники. Геод. и картограф., 1992, No 6, 59 - 64.

70. ЕЛЬКИН А-В. Гравитационный потенциал и фигуры гидростатически равновесных небесных тел. Дисс. на соиск. уч. ст. кандидата физ.-мат. наук, С.-Петербург, 1997, 155 с.

71. ЕФИМОВ A.B., ЗОЛОТАРЕВ Ю.Г., ТЕРПИГОРЕВА В.М. Математический анализ (специальные разделы), ч. 2. М., Высш. школа, 1980, 295 с.

72. ЖАРКОВ В.Н. Внутреннее строение Земли и планет. М., Наука, 1978, 192 с.

73. ЖАРКОВ В.Н., ГУДКОВА Т.В. Модели Юпитера и Сатурна с однородным распределением гелия. Письма в Астрон. журнал, 1993, т. 19, No 2, 153 -159.

74. ЖАРКОВ В.Н., ГУДКОВА Т.В. О параметрах равновесной фигуры Марса. Астрон. вестник, 1993, т. "27, No 2, 3 - 11.

75. ЖАРКОВ В.Н., КОШЛЯКОВ Е.М., МАРЧЕНКОВ К.И. Состав, строение и гравитационное поле Марса. Астрон. вестник, 1991, т. 25, No 5, 515 - 547.

76. ЖАРКОВ В.Н., ПАНЬКОВ В.Л., КАЛАЧНИКОВ A.A., ОСНАЧ А.И. Введение в физику Луны. М., Наука, 1969, 311 с.

77. ЖАРКОВ В.Н., ТРУБИЦЫН В.П. Физика планетных недр. М., Наука, 1980, 448 с.

78. ЖДАНЮК Б.Ф. Основы статистической обработки траекторных измерений. М., Сов. радио, 1978, 384 с.

79. ЖУРКИН И.Г., НЕЙМАН Ю.М. Методы вычислений в геодезии. М., Недра, 1988, 304 с. .

80. ЗАГРЕБИН Д.В. Введение в теоретическую гравиметрию. Л., Наука, 1976, 292 с.

81. ЗОНДЕК Б. Улучшение оценки орбиты по показаниям градиентометров, установленных на борту спутника. Ракетная техника и космонавтика, 1979, т. 17, No 9, 140 - 146.

82. ИВАНОВ Н.М., ПОЛЯКОВ B.C. Наведение автоматических межпланетных станций. М., Машиностроение, 1987, 312 с.

83. ИВАХНЕНКО А.Г., ЮРАЧКОВСКИЙ Ю.П. Моделирование сложных систем по экспериментальным данным. М., Радио и связь, 1987, 120 с.

84. КАМБАРОВ Н.Ш., ПРИХОДЬКО В.А., ТАРАКАНОВ Ю.А. Интерпретация гравитационных аномалий. Спутниковая гравиметрия. М., МГУ, 1987, 151 с.

85. КАМЕНСКИЙ К.К., ЛУКША С.В. Представление селенопотенциала с помощью функций гиперкомплексного переменного. В кн.: Селенодезия и динамика. Луны. Киев, Наукова думка, 1990, 49 - 53.

86. КАЩЕЕВ P.A. Вероятностный подход к анализу точности описания гравитационного поля Луны. Труды Каз. гор. АО, 1979, вып. 45, 75 - 80.

87. КАЩЕЕВ P.A. Определение параметров селенопотенциала по данным слежения за низкими ИСЛ. Дисс. на соиск. уч. степени канд. физ.-мат. наук, Казань, 1983, 130 с.

88. КАЩЕЕВ P.A. О перспективах уточнения модели селенопотенциала по данным слежения за низкими ИСЛ. В кн.: Проблемы астрометрии. М., МГУ, 1984,315 318. •

89. КАЩЕЕВ P.A. Гравитационное поле Луны: точность некоторых моделей. Труды Каз. гор. АО, 1986, вып. 50, 130 - 136.

90. КАЩЕЕВ P.A. О вычислении высокочастотных гармоник селенопотенциала. Труды Каз. гор. АО, 1986, вып. 50, 137 - 141.

91. КАЩЕЕВ P.A. О преобразовании лучевых ускорений ИСЛ. Труды Каз. гор. АО, 1988, вып. 51, 94 - 98.

92. КАЩЕЕВ P.A. Метод хорд в задаче объединения селенодезических каталогов. Кинемат. и физика небесных тел, 1988, т.4, No 5, 84 - 87.

93. КАЩЕЕВ P.A. Гравитационное поле Луны: использование разнородных спутниковых наблюдений. Труды Каз. гор. АО, 1989, вып. 52, 83 - 95.

94. КАЩЕЕВ P.A. Перспективы интегративного подхода в селенодезии. В кн.: Селенодезия и динамика Луны. Киев, Наукова думка, 1990, 127 - 130.

95. КАЩЕЕВ P.A. Новый метод установления лунной системы координат по наземным и орбитальным данным. В кн.: Селенодезия и динамика Луны. Киев, Наукова думка, 1990, 130 - 132.

96. КАЩЕЕВ P.A. Алгоритмы единой геодезии. Рук. деп. в ВИНИТИ, 3939-в90, 1990, 30 с.

97. КАЩЕЕВ P.A. Перспективы решения задач планетной геодезии по разнородным спутниковым наблюдениям. Тез. докл. междунар. конф. "Общепланетарные проблемы исследования Земли", Казань, 1994, 27 - 28.

98. КАЩЕЕВ P.A. Исследование гравитационных полей Луны и планет методом спутниковой градиентометрии (результаты численного эксперимента). -Тезисы конф.'"Физика Луны и планет", Харьков, 1994, 53 54.

99. КАЩЕЕВ P.A. Моделирование распределения вторых производных гравитационных потенциалов Луны и Марса на спутниковых высотах. Кинемат. и физика небесных тел, 1994, том 10, No 5, 29 - 34.

100. КАЩЕЕВ P.A. Численный эксперимент по спутниковой градиентометрии Луны и Марса. Изв. ВУЗов. Геод. и аэрофот., 1995, No 5-6, 94 - 102.

101. КАЩЕЕВ P.A. Результаты численных экспериментов по выбору орбит для спутниковой градиентометрии Луны и Марса. Тез. докл. межд. конф. "Стохастические методы и эксперименты в небесной механике", Архангельск,1995, с.35. •

102. КАЩЕЕВ P.A. О выборе орбит для спутниковой градиентометрии Луны и Марса. Изв. ВУЗов. Геод. и аэрофот., 1996, No 4, 42 - 50.

103. КАЩЕЕВ P.A. Результаты численных экспериментов по спутниковой градиентометрии и межспутниковому слежению для Луны и Марса. Тез. докл.2.го межд. симпозиума по классической и небесной механике, Великие Луки,1996, 39 40.

104. КАЩЕЕВ P.A. Спутниковые методы определения гравитационных полей небесных тел. Тез. докл. межд. конф. "Геометризация физики 3", Казань,1997, с. 53.

105. КАЩЕЕВ P.A. Численный эксперимент по межспутниковому слежению в системе коорбитальных искусственных спутников Луны и Марса. Изв. ВУЗов. Геод. и аэрофот., 1997, No 1, 49 - 55.

106. КАЩЕЕВ P.A. Проблемы и перспективы планетной гравиметрии. Тез. докл. межд. конф. "Результаты и перспективы исследования планет", Ульяновск, 1997, 43 - 44.

107. КАЩЕЕВ P.A. О точности решения задач планетной гравиметрии методами спутниковой градиентометрии и межспутникового слежения. Изв. ВУЗов. Геод. и аэрофот., 1997, No 4, 90 98.

108. КАЩЕЕВ P.A. Межспутниковое слежение в задачах планетной гравиметрии. Тез. докл. конф. "Новые теоретические результаты и практические задачи небесной механики", Москва, 1997, 47 - 48.

109. КАЩЕЕВ P.A. Определение гравитационных полей небесных тел по разнородным спутниковым данным. Изв. ВУЗов. Геод. и аэрофот., 1998, No 3, 80- 89.

110. КАЩЕЕВ P.A. Исследование гравитационных полей небесных тел по данным об относительном движении их искусственных спутников. Тез. докл.3.го межд. симпозиума по классической и небесной механике. Великие Луки,1998, 82 83.

111. КИС ЛЮК B.C. Геометрические и динамические характеристики Луны.- Киев, Наукова думка, 1988, 184 с.

112. КИСЛЮК B.C. Комплексное изучение динамики системы Земля Луна с помощью наземной и космической астрометрии. - В кн.: Астрономические аспекты освоения Луны и поиск внеземных ресурсов. М., МГУ, 1993, 136 - 144.

113. КОЗАРЕНКО Б.И. Фотографирование Луны среди звезд на широкоугольном астрографе АФР-1. Сообщения ГАИШ, 1962, No 121, 25 - 68.

114. КОХ K.P. Использование модели потенциала простого слоя в космической геодезии. В кн.: Использование искусственных спутников для геодезии. -М., Мир, 1975, 158 - 162.

115. КОШЛЯКОВ Е.М., ЖАРКОВ В.Н. О гравитационном поле Марса. -Астрон. вестник, 1993, т.27, No 2, 12 22.

116. ЛИДОВ М.Л., ТЕСЛЕНКО Н.М. Оптимизация решения некоторых задач управления полетом космических аппаратов методом спуска по параметру. В кн.: Математическое обеспечение космических экспериментов. М., Наука, 1978, 112 - 141.

117. ЛУНДКВИСТ С.А., ДЖАКАЛИЯ Дж.Е.О. Представление геопотенциала с помощью выборочных функций. В кн.: Использование искусственных спутников для геодезии. М., Мир, 1975, 184 - 192.

118. ЛЮБУШИН A.A. О некоторых параметрах конструкции спутника, свободного от сноса. В кн.: Приборы для гравитационных измерений. М., Наука, 1978, 51 - 67.

119. МАКСИМОВА Т.Г., ЧУЙКОВА H.A. О распед^лении силы тяжести и уклонений отвеса на поверхности Марса. Вестн. МГУ, Физика, астрономия, 1984, вып. 25, 64 - 69.

120. МАРКУЗЕ Ю.И. Уравнивание и оценка точности плановых геодезических сетей. М., Недра, 1982, 191 с.

121. МАРКУЗЕ Ю.И. Способ временной фиксации неизвестных при уравнивании геодезических сетей со свободными блоками. Изв. ВУЗов, Геод. и аэрофот., 1986, No 4, 13 - 24.

122. МАРЧУК Г.И. Методы вычислительной математики. М., Наука, 1980, 536 с.

123. МАШИМОВ М.М. Уравнивание геодезических сетей. М., Недра, 1989, 280 с.

124. МАШИМОВ М.М. Методы математической обработки астрономо-геоде-зических измерений. М., Изд-во ВИА, 1990, 510 с.

125. МЕЩЕРЯКОВ Г.А. Задачи теории потенциала и обобщенная Земля. -М., Наука, 1991, 216 с.

126. МЕЩЕРЯКОВ Г.А., ЗАЗУЛЯК П.М., КИРИЧУК В.В. О сравнительной оценке моделей гравитационного поля Луны. Геод., картограф, и аэрофот., Львов, 1980, вып. 32, 101 - 106.

127. МЕЩЕРЯКОВ Г.А., МАРЧЕНКО А.Н. О многоточечных моделях потенциала. В кн.: Изучение Земли как планеты методами астрономии, геофизики и геодезии. Киев, Наукова думка, 1982, 121 - 131.

128. МЕЩЕРЯКОВ Г.А., ЦЕРКЛЕВИЧ А.Л. Гравитационное поле, фигура и внутреннее строение Марса. Киев, Наукова думка, 1987, 237 с.

129. МИХАЙЛОВИЧ К. Геодезия. М., Недра, 1984, 448 с.

130. МОЖАЕВ Г.В. Синтез орбитальных структур спутниковых систем. Теоретике групповой подход. - М., Машиностроение, 1989, 304 с.

131. МОРИЦ Г. Современная физическая геодезия. М., Недра, 1983, 392 с.

132. МОРИЦ Г. Фигура Земли: теоретическая геодезия и внутреннее строение Земли. Киев, Наукова думка, 1994, 240 с.

133. МОРОЗ В.И. Физика планеты Марс. М., Наука, 1978, 352 с.

134. МОРОЗОВ В.А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. М., Наука, 1987, 240 с.

135. МУДРОВ В.И., КУШКО В.Л. Методы обработки измерений. М., Сов. радио, 1976, 191 с.

136. НАЗАРЕНКО А.И., СКРЕБУШЕВСКИЙ Б.С. Эволюция и устойчивость спутниковых систем. М., Машиностроение, 1981, 284 с.

137. НЕЙМАН Ю.М. О регуляризации краевой задачи Молоденского. Изв. ВУЗов. Геод. и аэрофот., 1975, No 3, 57 - 64.

138. НЕЙМАН Ю.М. Вариационный метод решения дискретных задач физической геодезии. Изв.ВУЗов. Геод. и аэрофот., 1977, No 1, 21 - 27.

139. НЕЙМАН Ю.М. Вариационный метод физической геодезии. М., Недра, 1979, 200 с.

140. НЕЙМАН Ю.М.,БЫВШЕВ В.А. Геодезические приложения основ функционального анализа. Текст лекций. М., МИИГАиК, 1986, 46 с.

141. НЕЙМАН Ю.М., БЫВШЕВ В.А. Обработка результатов измерений методом коллокации. Текст лекций. М., МИИГАиК, 1989, 52 с.

142. НЕЙМАН Ю.М., САЛИН Н.В. О совместном уравнивании геодезических и гравиметрических измерений в трехмерном пространстве. Изв. ВУЗов. Геод. и аэрофот., 1985, No 6, 3 - 12.

143. НИКОЛЬСКАЯ Т.К. Метод коллокации и его применение к решению систем условных уравнений в спутниковой геодезии. Бюлл. ИТА, 1976, т. 14, No 4, 229 - 233.

144. НИКОНОВ В.А. Динамические системы координат. В кн.: Проблемы комплексного исследования Луны. М., МГУ, 1986, 29 - 42.

145. НИКОНОВ В.А. Развитие опорной системы селенодезических координат по данным КК Аполлон. Труды ГАИШ, 1986, т.58, 168 - 196.

146. НИКОНОВ В.А. Точность преобразования систем селенодезических координат с применением различных геометрических алгоритмов. В кн.: Селенодезия и динамика Луны. Киев, Наукова думка, 1990, 109 - 118.

147. ОГОРОДОВА Л.В., ЮЗЕФОВИЧ А.П., БОБКОВ Г.Н. Представление аномального гравитационного поля Луны полем точечных масс. В кн.: Современные проблемы позиционной астрометрии. М., МГУ, 1975, 312 - 317.

148. ОСТАЧ О.М., АГАЕВА И.Н. Аппроксимация внешнего гравитационного поля Земли моделью гравитирующих точечных масс. В кн.: Изучение Земли как планеты методами астрономии, геофизики и геодезии (Труды 2 Орловской конф.). Киев, Наукова думка, 1982, 106 - 114.

149. ПАНКРУШИН В.К. Системные принципы геодезии. Изв. ВУЗов. Геод. и аэрофот., 1985, No 3, 34 - 41.

150. ПАНКРУШИН В.К. Моделирование геодинамической системы "Земная поверхность и гравитационное поле Земли" по результатам пространственно-временных рядов разнородных наблюдений. Изв. ВУЗов. Геод. и аэрофот., 1991, No 4, 54 - 68.

151. ПАНФИЛОВ В. А. Оценка точности определения коэффициентов геопотенциала поданным спутниковой градиентометрии. В кн.: Современные геофизические исследования. (Матер. 3 конф. молод, ученых, апрель 1986, Суздаль), ч.2, 15 - 26.

152. ПЕЛЛИНЕН Л.П. Исследование гравитационных полей и формы Земли, других планет и Луны по наблюдениям космических аппаратов. ВИНИТИ, 1972, 180 с.

153. ПЕЛЛИНЕН Л.П., НЕЙМАН Ю.М. Физическая геодезия. Итоги науки и техники ВИНИТИ. Геодезия и аэрофотосъемка, т. 18, ВИНИТИ, 1980, 132 с.

154. ПЕТРОВСКАЯ М.С. Представление гравитационного потенциала Земли в виде рядов, сходящихся во всем пространстве. В кн.: Изучение Земли как планеты методами астрономии, геофизики и геодезии (Труды 2 Орловской конф.). Киев, Наукова думка, 1982, 115 - 120.

155. ПОРФИРЬЕВ А.Ф., СМИРНОВ В.В., КУЗНЕЦОВ В.И. Аналитические оценки точности автономных методов определения орбит. М., Машиностроение, 1987, 280 с.

156. ПРОХОРЕНКО В.И. Программная система для расчета навигационной информации о положении ИСЗ. В кн.: Математическое обеспечение космических экпериментов. М., Наука, 1978, 248 - 255.

157. РАО С.Р. Линейные статистические методы и их применение. М., Наука, 1968, 548 с.

158. РАХИМОВ Jl.И. Фигура краевой зоны Луны. Автореферат дисс., пред-ставленой на соиск. уч. степени канд. физ.-мат. наук, С.-Петербург, 1996, 15 с.

159. РАХИМОВ Л.И., РИЗВАНОВ Н.Г. Исследование селенодезических каталогов по фотографическим наблюдениям Луны со звездами. В кн.: Селенодезия и динамика Луны. Киев, Наукова думка, 1990, 118 - 121.

160. РЕШЕТНЕВ М.Ф., ЛЕБЕДЕВ A.A., БАРТЕНЕВ В.А. и др. Управление и навигация искусственных спутников Земли на околокруговых орбитах. М., Машиностроение, 1988, 336 с.

161. РИЗВАНОВ Н.Г. Система координат 264 опорных кратеров по крупномасштабным снимкам Луны со звездами. Труды Казан, гор. АО, 1985, т. 49, 80 - 110.

162. САГИТОВ М.У. Лунная гравиметрия. М., Наука, 1979, 432 с.

163. САГИТОВ М.У. Гравитационное поле Земли, Луны и планет и их сравнительный анализ. В кн.: Изучение Земли как планеты методами астрономии, геофизики и геодезии (Труды 2 Орловской конференции). Киев, Наукова думка, 1982, 63 - 78.

164. САГИТОВ М.У., ТАДЖИДИНОВ Х.Г., МИХАЙЛОВ Б.О. Модель гравитационного поля Фобоса. Астрон. вестник, 1981, т. 15, No 3, 142 - 153.

165. САВРОВ Л.А. Представление гравитационного поля Земли в виде разложения в ряд по эллипсоидальным функциям Ламе. Автореферат дисс. на соискание учен, степени канд. физ.-мат. наук, М., МГУ, 1972, 5 с.

166. САЗОНОВ В.В., КОМАРОВ М.М. и др. Оценка квазистатической компоненты микроускорения на борту ИСЗ. Препр. ИПМ РАН, 1995, Н 45, 30 с.

167. САЛЫЧЕВ О.С. Скалярное оценивание многомерных динамических систем. М., Машиностроение, 1987, 216 с.

168. Справочное руководство по небесной механике и астролдинамике. (Ред. Г.Н.Дубошин.) М., Наука, 1976, 864 с.

169. СТАРОСТЕНКО В.И. Устойчивые численные методы в задачах гравиметрии. Киев, Наукова думка, 1978, 228 с.

170. ТАДЖИДИНОВ Х.Г. Обобщенная модель гравитационного поля Луны.- Астрон. вестник, 1983, т. 17, No 4, 195 201.

171. ТАДЖИДИНОВ Х.Г. Аппроксимация гравитационных полей Луны и Земли совокупностью точечных масс. В кн.: Проблемы астрометрии. М., МГУ, 1984, 333 - 337.

172. ТАРАКАНОВ Ю.А. Сочетание методов геодезии и гравиметрии: 1. Методы измерения совокупности гравитационных аномалий. Изв. ВУЗов. Геод. и аэрофот., 1997, No 2-3, 35 - 47.

173. ТАРАКАНОВ Ю.А. Сочетание методов геодезии и гравиметрии: 2. Система уравнений гравитационной томографии. Изв. ВУЗов. Геод. и аэрофот., 1997, No 2-3, 47 - 60.

174. ТАРАКАНОВ Ю.А. Сочетание методов геодезии и гравиметрии: 3. Физическая природа различия нормальных фигур планет земной группы и Луны.- Изв. ВУЗов. Геод. и аэрофот., 1997, No 4, 46 61.

175. ТАРАКАНОВ Ю.А. Сочетание методов геодезии и гравиметрии: 4. Метод разделения полей как третья основа гравитационной томографии. Изв. ВУЗов. Геод. и аэрофот., 1997, No 4, 62 - 72.

176. ТАРАКАНОВ Ю.А., ПРИХОДЬКО В.А., УВАРОВА О.М. Сочетание методов геодезии и гравиметрии: 5. Численное моделирование гравитационной томографии. Неоднородности в разных телесных углах на одной глубине. Изв. ВУЗов. Геод. и аэрофот., 1997, No 5, 24 - 39.

177. ТАРАКАНОВ Ю.А. Сочетание методов геодезии и гравиметрии: 6. Эффективность использования реальных нормальных фигур Земли, Луны, Венеры и Марса. Изв. ВУЗов. Геод. и аэрофот., 1997, No 6, 67 - 85.

178. ТАРАКАНОВ Ю.А. Эффективность интерпретации совокупности компонент гравитационных полей Земли, Луны, Венеры и Марса. Изв. ВУЗов. Геод. и аэрофот., 1998, No 2, 68 - 88.

179. ТАРАКАНОВ Ю.А. Древние равновесные фигуры Венеры, Марса, Луны и превращение верхней мантии Земли в литосферу. Изв. ВУЗов. Геод. и аэрофот., 1998, No 4-5, 49 - 60.

180. ТАТЕВЯН С.К. Использование методов космической геодезии для современной геодинамики. Дисс. на соиск. уч. степ, доктора тех. наук, М., 1998.

181. ТИТОВ O.A. Оценивание параметров вращения Земли методом сред-неквадратической коллокации. Тез. докл. конф, "Современные проблемы и методы астрометрии и геодинамики", С.-Петербург, 1996, 138 - 139.

182. ТИХОНОВ А.Н., АРСЕНИН В.Я. Методы решения некорректных задач. М., Наука, 1979, 285 с.

183. ТИХОНОВ А.Н., УФИМЦЕВ М.В. Статистическая обработка результатов экспериментов. М., МГУ, 19S8, 174 с.

184. ТИХОНРАВОВ М.К., БАЖИНОВ И.К., ГУРКО О.В. и др. Основы теории полета и элементы проектирования ИСЗ. М., Машиностроение, 1974, 332 с.

185. ТЮФЛИН Ю.С. Космическая фотограмметрия при изучении планет и спутников. М., Недра, 1986, 247 с.

186. УРМАЕВ М.С. Орбитальные методы космической геодезии. М., Недра, 1981, 256 с.

187. УРМАЕВ М.С., СТАРОРУССКАЯ Г.Г. О математической обработке сетей космической фототриангуляции, построенных орбитальным методом. Изв. ВУЗов. Геод. и аэрофот., 1988, No 1, 81 - 91.

188. ФОРВАРД Р.Л. Геодезия с гравиметрическими градиометрами. В кн.: Использование искусственных спутников для геодезии. М., Мир, 1975, 339 - 345.

189. ХАТСОН В., ПИМ Д. Приложения фукционального анализа и теории операторов. М., Мир, 1983, 432 с.

190. ХАБИБУЛЛИН Ш.Т. Развитие теории физической либрации Луны и селеноцентрические системы координат. Кинемат. и физика неб. тел, 1988, т.4, No 1, 35 - 42.

191. ХАБИБУЛЛИН Ш.Т. О редукции положений кратеров к различным системам координат в пространстве триэдра осей инерции Луны. Кинемат. и физика неб. тел, 1990, т.6, No 4, 9-16.

192. ЦЕРКЛЕВИЧ А.Л., ДЕЙНЕКА Ю.П, КАМЕНСКИЙ К.К. Определение горизонтальных неоднородностей плотности в теле Луны и планет и многоточечные модели их гравитационных полей. В кн.: Селенодезия и динамика Луны. Киев, Наукова думка, 1990, 59 - 64.

193. ЧЕРКАШИНА C.B. Определение предварительных орбит космических объектов по бортовым измерениям. Автореферат дисс. на соиск. уч.степени канд. тех. наук, М., 1992, 24 с.

194. ЧИКМАЧЕВ В.И. Результаты аналоговой обработки снимков автоматических станций "Зонд". В кн.: Проблемы комплексного исследования Луны. М., МГУ, 1986, 42 - 56.

195. ЧУЙКОВА H.A. Геометрическая фигура Луны, представленная в виде разложения по сферическим и выборочным функциям. Астрон. журнал, 1975, т. 52, вып. 6, 1279 - 1292.

196. ЧУЙКОВА H.A. Представление гравитационных полей на поверхностях Луны и планет. В кн.: Селенодезия и динамика Луны. Киев, Наукова думка, 1990, 43 - 48.

197. ЧУЙКОВА H.A. Гравитационные поля на поверхностях планет. Автореферат дисс. на соиск. уч. степени доктора физ.-мат. наук, М., 1991, 18 с.

198. ШВАРЦ Л. Анализ. Том 1. М., Мир, 1972, 824 с.

199. ШЕВЧЕНКО В.В. Современная селенография. М., Наука, 1980, 288 с.

200. ШЕХМАНОВ В.Н. О возможности создания гравитационного градиентометра для измерений с подвижного основания. В кн.: Приборы для гравитационных измерений. М., Наука, 1978, 44 - 50.

201. ЭЙСМОНТ H.A. Об управлении движением пары спутников, предназначенных для зондирования магнитосферы. В кн.: Математическое обеспечение космических экспериментов, М., Наука, 1978, 142 - 145.

202. ЭЛЬЯСБЕРГ П.Е. О состоятельности оценок параметров движения космических объектов: Космические исследования, 1974, т. 12, вып. 2, 171 - 178.

203. ЭЛЬЯСБЕРГ П.Е. Влияние мешающих параметров на решение задачи совместного определения фигуры и внешнего гравитационного поля Земли. -Препринт ИКИ АН СССР, Д-221, 1975, 16 с.

204. ЭЛЬЯСБЕРГ П.Е. Определение движения по результатам измерений. -М., Наука, 1976, 416 с.

205. ЭЛЬЯСБЕРГ П.Е. Об устойчивости характеристик точности определения орбит по результатам измерений. Космические исследования, 1978, т. 16, вып. 5, 643 - 650.

206. ЭНГЕЛЬС Р.К., ДЖАНКИНС Д.Л. Локальное представление геопотенциала с помощью взвешенных ортонормированных полиномов. Ракетная техника и космонавтика, 1980, т.18, No 6, 173 - 181.

207. ЯШКИН С.Н. Теоретические основы спутниковой градиентометрии и систем "спутник спутник". - Изв. ВУЗов. Геод. и аэрофот., 1998, No 1-, 38 - 48.

208. ANANDA М.Р. Lunar gravity: a mass point model. J. Geophys. Res., 1977, v.82, No 20, 3049 - 3064.

209. ARGENTIERO P., LOWREY B. On estimating gravity anomalies a comparision of least squares collocation with conventional least squares techniques. -Bull, geod., 1977, v.51, No 2, 19 - 126.

210. BALMINO G., MOYNOT В., VALES N. Gravity field model of Mars in spherical harmonics up to degree and order eighteen. J. Geophys. Res., 1982, v.87, No B12, 9735 - 9746.

211. BILLS B.G., FERRARI A.J. A harmonic analysis of lunar gravity. J. Geophys. Res., 1980, v.82, No B2, 1013 - 1025.

212. BINDER A.B. Lunar Prospector polar orbit mapping mission. Ann. Geophys. Suppl.3 to v.16, 1998, СЮ28.

213. BINDER A.B. Prospector update. Abstr. Workshop New views of the Moon, 1998, 18-20 Sept., Houston, Texas.

214. BORDERIES N., BALMINO G., et al. Stady of Mars dynamics from lander tracking data analysis. Moon, 1980, v.22, No 2, 191 - 200.

215. BROVAR V.V. Determining the gravity potential by means of a force component in a constant direction. Stud. Geophys. et Geod., 1970, v.14, part 2, 242 - 250.

216. CALAME 0. Free librations of the Moon determined by an analysis of laser range measurements. Moon, 1976, v.15, No 3/4, 343 - 352.

217. CHRISTENSEN E.J., BALMINO G. Development and analysis of a twelfth degree and order gravity model for Mars. J. Geophys. Res., 1979, v.84, No В14, 7943 - 7953.

218. CHRISTENSEN. E.J., WILLIAMS J.G. Mars gravity field derived from Viking-1 and Viking-2: the navigation result. J. Guid. and Control, 1979, v.2, No 3, 179 - 183.

219. COFFEY Sh.l., DEPRIT A., DEPRIT E. Frozen orbits for satellites close to an Earth-like planet. Celest. Mech. and Dynamical Astron., 1994, v.59, 37 - 72.

220. COLOMBO O.L. The convergence of the external spherical harmonics expansion of the gravitational potential. Boll. geod. e sci. affini, 1983, v.42, No 2, 221 - 238.

221. COLOMBO O.L. The global mappimg of gravity with two satellites. Pabl. Geod. Neth. Geod. Commis., 1984, v.7, No 3, 1 - 253.

222. COLOMBO O.L. Notes on the mapping of the gravity field using satellite data. In: Mathemat. and numerical techniques in phys. geodesy (ed. H.Sunkel), Springer-Verlag, 1986, 261 - 315.

223. DANIELS L.F., TOLSON R.H. Spherical harmonic representation of the gravity field of Mars. AIAA, 1976, 76-823, p.9.

224. DAVIES M.E., BATSON R.M. Surface coordinates and cartography of Mercury. J. Geophys. Res., 1975, v.80, 2417 - 2430.

225. DAVIES M.E., COLVIN T.R., MEYER D.I. A unified lunar control network: the near side. J. Geophys. Res., 1987, v.92, No B13, 14177 - 14184.

226. DICKEY J.O., BENDER P.L., et al. Lunar laser ranging: a continuing legacy of the Apollo program. Science, 1994, v.265, 482 - 489.

227. EDWARDS C.D., KAHN R.D., et al. Mars planetary geodesy using Earth-based observations of Mars landers. AIAA-92-4567 CP, 1992, 611 -618.

228. FERRARI A.J. Lunar gravity: harmonic analysis. J. Geophys. Res., 1977, v.82, No 20, 3065 - 3084.

229. FERRARI A.X, SINCLAIR W.S., et al. Geophysical parameters of the Earth-Moon system. J. Geophys. Res., 1980, v.85, No 7B, 3939 - 3951.

230. FLOBERGHAGEN R., BOUMAN J., et al. Régularisation of lunar gravity field solutions GLGM-2 and Lan60d. Abstr. 32nd Scient! Assembl. of COSPAR, 12-19 July, 1998, Nagoya, Japan, p.75.

231. FREEDEN W. Basis systems and their role in the approximation of the Earth's gravitational field. Gerlands Beitr. Geophysik, 1985, v.94, No 1, 19 - 34.

232. GIACAGLIA G.E.O. New method for the reduction of satellite data applicable to geodesy. Veroff. Dtsch. geod. Komiss. Bayer. Akad. wiss., 1982, R.B, Nr. 258/4, 45 - 54.

233. GOTTLIEB P., et al. Lunar gravity over large craters from Apollo 12 tracking data. Science, 1970, v.168, No 3930, 477 - 479.

234. HABIBULLIN Sh.T., CHIKANOV Yu.A., KISLYUK V.S. Relative deformations of selenodetic nets of coordinates. Moon, 1972, v.3, No 4, 371 - 385.

235. HABIBULLIN Sh.T., RIZVANOV N.G., BYSTROV N.F. Star-calibrated lunar photography by method of separate plates for a determination of the coordinates of lunar control points. Moon, 1974, v.ll, No 2, 125 - 136.

236. HECHIER M., LAUER M. Approach navigation for the delivery of smoll landers to the surface of Mars. AIAA-92-45S7 CP, 1992, 456 -464.

237. HEIN G.W. A contribution to 3d-operational geodesy. Part 1: Principle and observational equations of terrestrial type. Deutsche Geod. Komiss., 1982, R.B, Nr. 258/6, 31 - 64.

238. HEIN G.W. A contribution to 3d-operational geodesy. Part 2: Consepts of solution. Deutsche Geod. Komiss., 1982, R.B, Nr. 258/6, 65 - 85.

239. HEIN G.W. Integrated geodesy state of the art. - In: Mathemat. and numerical techniques in phys. geodesy (ed. H.Sunkel), Springer-Verlag, 1986, 505- 548.

240. HEIN G.W., EISFELLER B. A contribution to 3d-operational geodesy. Part 4: The observation equations of satellite geodesy in the model of integrated geodesy.- Schriftenreiche Univer. der Bundeswher Munchen, 1986, Heft 17, p.190.

241. HEIN G.W., LANDAU H. A comtribution to 3d-operational geodesy. Part 3: OPERA A multi-purpose programm for operational adjustment of geodetic observations of terrestrial type. - Deutsche Geod. Komiss., 1983, Nr. 264, 1 - 98.

242. HEIN G.W., LANDAU H., et al. Torben Krarup's idea on an integrated data processing is realized. Medd. Geod. Inst. Univ. FAF Munich, 1989, No 58, 173 - 212.

243. ILK K.H. High-low versus low-low satellite-to-satellite tracking? A numerical investigation. - Proc. Symp. Figure and dynamics of the Earth, Moon and planets. 15 - 20 Sept. 1986, Prague, 1053 - 1073.

244. JAMES R.W. Transformation of spherical harmonics under change of reference frame. Geophys. J. Roy. .Astron. Soc., 1969, v.17, No 3, 305-316.

245. JANKINS J.L. Investigation of finite-element representations of the geopotential.- AIAA Journal, 1976, v.14, No 6, 803 808.

246. KAWANO N., OCE M., NAMIKI N. Selenodesy from differential VLBI, relay satellite and laser altimeter experiments. Ann. Geophys. Suppl.3 to v.16, EGS, 1998, C1030. .

247. KASCHEEV R.A. Lunar gravity parameters from line-of-sight acceleration data. Earth, Moon and planets, 1988, v.41, 89 - 94.

248. KASCHEEV R.A. A simulation of satellite gradiometry experiment near Moon and Mars in terms of integrated planetary geodesy. Ann. Geophys. Suppl. to vol. 13, 1995.

249. KASCHEEV R.A. On the use of satellite gradiometry for determing gravity parameters. Ann. Geophys. Suppl. to vol. 16, 1998, C1030.

250. KASCHEEV R.A. A simulation of satellite-to-satellite tracking mission near Moon and Mars. Ann. Geophys. Suppl. to vol. 16, 1998, C1030.

251. KING R.W., COUNSELMAN C.C., SHAPIRO I.I. Lunar dynamics and selenodesy: results from analysis of VLBI and laser data. Proc. Symp. "Scient. applicat. of LLR", 8-10 June 1976, Austin, Texas, 51-52.

252. KISLYUK V.S. Orientation of the Moon's ellipsoid of inertia. Manuscr. Geod., 1990, v.15, 179 - 186.

253. KLOSKO S.M., WAGNER C.A. Spherical harmonic representation of the gravity field from dynamic satellite data. Planet, and Space Science, 1982, v.30, No 1, 5 - 28.

254. KOCH K.-P. Least squares adjustment and collocation. Bull, geod., 1977, v.51, No 2, 127 - 135.

255. KRARUP T. Integrated geodesy: Boll. geod. e sci. affini, 1980, v.39, 315 -330.

256. KRYNSKI J. Improvement of the geoid in local areas by satellite-to-satellite tracking. Bull, geod., 1979, v.53, No 1, 19 - 36.

257. KUNZE A.W.G. Direct conversion of LOS acceleration data to vertical gravity anomalies: a new approach. The Moon and the planrts, 1983, v.28, No 3, 259 - 265.

258. KUNZE A.W.G. Local harmonic analysis of planetary doppler gravity data. Earth, Moon and planets, 1985, v.32, No 2, 173 - 181.

259. LAUER M., HECHLER M. Targeting of several Mars landers. AIAA Journal, 1992, 92-4588-CP, 465 - 473.

260. LAUTENSCHLAGER U., et al. Experimental satellite trajectory analysis using decision-based robust design. J.of Guid.,Control and Dynamics, 1995, v. 18, No.5, 1126 - 1132.

261. LEVIE S.L. Transformation of potential function under coordinate rotations. J. Astronaut. Sci., 1971, v.18, No 4, 217-235.

262. MATSUMOTO K., HEKIK., ROWLANDS D.D. Lunar gravity field estimation in the SELENE project. Abstr. of 32nd Scientific Assem. of COSPAR, 12-19 July, 1998, Nagoya, Japan, p.78.

263. McDONALD H., SCOTT HABBARD G. First results from the Lunar Prospector discovery mission. ibid, p.76.

264. METRIS G., et al. Long period variations of the motion of a satellite due to non-resonant tesseral harmonics of a gravity potential. Celest. Mech. and Dynamical Astron., 1993, v.57, 175 - 188.

265. METRIS G. Computation of the derivatives of the gravity potential with respect to rectangular coordinates and applications. Abstr. of 32nd Scient. Assemb. of COSPAR, 12-19 July, 1998, Nagoya, Japan, p.485.

266. MILANI A., LUISE M., SCORTECCI F. The lunar sub-satellite experiment of the ESA MORO mission. Proc. Worksh. "Gravimetry, geodesy and geophys. of the Moon", 8-10 June 1995, Pisa, Italy, 1-17.

267. MIZUTANI H., FUJIMURA A., et al. The japanise lunar mission: LUNAR-A. Ann. Geophys. Suppl.3 to v. 16, EGS, 1998, C1031.

268. MONTI C., SANSO F. Applicazioneclel metodo della collocazione all'analisi dell'errore di graduazione del cerchio di un teodolite. Boll. geod. e sci. affini, 1977, v.36, No 2, 215 - 234.

269. MORITZ H. The rule of geodetic nets in integrated geodesy. Veroff. Dtsch. geod. Komiss. Bayer. Akad. Wiss., 1982, B, No 258/1, 50 - 64.

270. MORITZ H., SCHWARZ K.-P. On the computation of spherical harmonics from satellite observations. Boll. geod. e sci. affini, 1973, v.32, No 3, 185 - 200.

271. MORRISON F. Comments of paper by Milo Wolff "Direct measurements of the Earth's gravitational potential using satellite pair". J. Geophys. Res., 1970, v.75, No 11, 2142 - 2143.

272. MULLER P.M., SJOGREN W.L. Mascons: lunar mass concentrations. -Science, 1968, v. 161, No 3842, 680 684.

273. MULLER P.M., SJOGREN W.L., et al. Lunar gravity Apollo 15 doppler radio tracking. Moon, 1974, v.10, No 1, 195 - 205.

274. NORMILE D. The Moon looms large in Japan's plans. Science, 1996, v.274, No 1 Nov., 712 - 713.

275. NOZETTE S., RUSTAN P., et al. The Clementine mission to the Moon: scientific overview. Science, 1994, v.266, 1835 - 1839.

276. Techniques for local geoid determination. Proc. of session G7 EGS XXI General Assembly, Hague, 6-10 May, 1996, p.187.

277. RUMMEL R. A model comp&rision in least squares collocation. Bull, geod., 1976, v.50, No 2, 181 - 192.

278. RUMMEL R. Determination of short-wavelength components of the gravity field from satellite-to-satellite tracking or satellite gradiometry. Manuscripta Geod., 1979, v.4, 107 - 148.

279. RUMMEL R. The satellite gradiometry. In: Mathemat. and numerical techniques in phys. geod. (ed. H.Sunkel), Springer-Verlag, 1986, 317-363.

280. RUMMEL R., SCHWARZ K.-P. On the nonhomogeneity of the global covariance function. Bull, geod., 1977, v.51, No 2, 93 - 103.

281. SAUNDERS R.S. NASA Mars surveyor programm 2001 mission. Abstr. 32nd Scient. Assembl. of COSPAR, 12-19 July, 1998, Nagoya, Japan, p.84.

282. SCHIMERMANN L.A., CANELL W.D., MEYER D.L. Relationship of spacecraft and Earth-based selenodetic systems. Proc. 15th Gen. Ass. IAU, 1973, Sydney, Australia, 21-30.

283. SCHMIDT H.F. Sampling function and finite element method representation of the gravity field. Rev. Geophys. and Space Physics, 1981, v.19, No 3, 421 - 436.

284. SCHWARZ K.-P. Capabilities of airborne gradiometry for gravity estimation. Boll. geod. e sei. affini, 1977, v.36, No 2, 195 - 214.

285. SCHWARZ K.-P., KRYNSKI J. Improvement of the geoid in local areas by satellite gradiometry. Bull, geod., 1977, v.51, No 3, 163 - 176.

286. SEAMEN C.H., SONNABEND' D. Semi-drag free gravity gradiometry. -J.Astronaut.Sci., 1985, No 4, 353 365.

287. SEHNAL L., POSPISHILOVA L., et al. MIMOSA a satellite measuring orbital accelerations caused by non-gravitational forces. - Abstr. 32nd Scient. Assembl. of COSPAR,12-19 July, 1998, Nagoya, Japan, p.483.

288. SINCLAIR W.S., et al. Determination of lunar gravitational harmonic coefficients from combined orbiter doppler and laser ranging data. Bull. Amer. Astron. Soc., 1977, v.9, No 3, 501-510.

289. SJOBERG L. On the recovery of geopotential coefficients using satellite-to-satellite range-rate data on a sphere. Bull, geod., 1982, v.56, No 1, 27 - 39.

290. SJOGREN W.L. Venus gravity field: status and outlook. Abstr. 43d Congr. Int. Astronaut. Fed. (IAF), 28 Aug.-5 Sept. 1992, Washington.

291. SJOGREN W.L., et al. Apollo 15 gravity analysis from S-band transponder experiment. Moon, 1972, v.4, No 3/4, 411-418.

292. SJOGREN W.L., et al. Lunar gravity via Apollo 15 and 16 subsatellites. -Moon, 1974, v.9, No 1/2, 115-128.

293. SJOGREN W.L., et al. Lunar gravity: Apollo 16. Moon, 1974, v.11, No 1/2, 35-40.

294. SJOGREN W.L., et al. Lunar gravity: Apollo 17. Moon, 1974, v.11, No 1/2, 41-52.

295. SJOGREN W.L., GOTTLIEB P., et al. Lunar gravity via Apollo 14 doppler radio tracking. Science, 1972, v.175, No 4018, 165-168.

296. SMITH D.E., LERCH F.J., et al. Developing an improved higher resolution gravity field for Mars. EOS Trans. Amer. Geophys. Union, 1990, v.71, No 43, p. 1427.

297. SMITH D.E., LERCH F.J., et al. Mars Observer: Mars gravity field error analysis from simulated radio-tracking of Mars Observer. J. Geophys. Res., 1990, v. B95, No 9, 14155 - 14167.

298. SMITH D.E., BILLS B.G., et al. A comparative analysis of the gravity fields for the Earth, Mars and Venus. Abstr. 43d Congr. Int. Astronaut. Fed. (IAF), 28 Aug.-5 Sept., 1992, Washington.

299. SMITH D.E., LERCH F.J., et al. An improved gravity model for Mars: Goddard Mars Model 1. J. Geophys. Res., 1993, v. 98, No Ell, 20671 - 20889.

300. TSCHERNING C.C. A note on the choice of norm when using collocation for tile computation of approximations to the anomalous potential. Bull, geod., 1977, v.51, No 2, 136 - 146.

301. TSCHERNING C.C. Comparision of some methods for the detailed representation of the Earth gravity field. Rev. Geophys. and Space Phys., 1981, v.19, No 1, 213 - 221.

302. TSURUDA K., YAMAMOTO T. Planet-B: mission to Mars. Abstr. 32nd Scient. Assembl. of COSPAR, 12-19 July, 1998, Nagoya, Japan, p.84.

303. TYLER G.L., BALMINO G., et al. Radio science investigations of gravity and atmosphere with Mars Global Surveyor. Abstr. 32nd Scient. Assembl. of COSPAR, 12-19 July, 1998, Nagoya, Japan, p.83.

304. VINCENT M.A., BENDER P.L. Orbit determinations and gravitational field accuracy for a Mercury transponder satellite. J. Geophys. Res., 1990, v.95, No 13, 21357 - 21361.

305. VISSER P., FLOBERGHAGEN R. Gravity field determination with GOCE and GRACE. Abstr. 32nd Scient. Assembl. of COSPAR, 12-19 July, 1998, Nagoya, Japan, p.486.

306. WAGNER C.A. Gravitational spectra from the tracking of planetary orbiters. J. Geophys. Res., 1979, v.84, No B12, 6891-6908.

307. WILLIAMS J.G., et al. Lunar physical librations and laser ranging. Moon, 1973, v.8, No 4, 469 - 483.

308. WILLIAMS J.G. Present scientific achievments from lunar laser ranging. -Proc. Symp. "Scient. appl. of LLR", 8-10 June, 1976, Austin, Texas, 35 50.

309. WNUIv E., JOPEK T. Satellite orbit calculations using geopotential coefficients up to high degree and order. Adv. Space Res., 1994, v.14, No 5, (5)35 - (5)42.

310. WOLFF M. Direct measurements of the Earth's gravitational potential using satellite pair. J. Geopys. Res., 1969, v.74, No 22, 5295 - 5300.

311. WONG L., BUECHLER G., et al. A surface-layer representation of the lunar gravitational field. J. Geophys. Res., 1971, v.76, No 26, 6220 - 6236.

312. ZUBER M.T., SMITH D.E., et al. The shape and internal structure of the Moon from Clementine mission. Science, 1994, v.266, 1839 - 1843.