Стандартные базисы и распознаваемость свойств алгебр, заданных к представлениям тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

) и 1«

-.(Гг.

' московский государственный университет имени

м.в.ломоносова

Механико-математический факультет

На правах рукописи

Иыуду Наталья Куставна

удк 512.552, 512.54.05, 519.712.3

стандартные базисы и распознавамость свойств алгебр, заданных копредставлением.

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел.

автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

москва - 1996

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры механико-математического факультета Московского государственного университета им.М.В.Ломоносова

Научный руководитель — профессор В.Н.Латышев Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук А.А.Нечаев, кандидат физико-математических наук А.А.Михалев.

Ведущая организация

Московский государственный педагогический университет.

Защита диссертации состоится ' с ^ " / 1996 г.

в 16 час. 05 мин. на заседании диссертационного совета Д.053.05.05 при МГУ по адресу: 119899, Москва, Ворбъевы горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математическогс факультета МГУ (14 этаж).

С л

Автореферат разослан "

1996 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.053.05.05 при МГУ доктор физико-математических

наук, профессор В.Н.Чубариков

Общая характеристика работы.

Актуальность темы. Вопросы об алгоритмической распознаваемости свойств алгебраических объектов первоначально возникли в теории групп и полугрупп. Хорошо известны три фундаментальные алгоритмические проблемы, поставленные Дэном для конечно определённых групп еще в 1912 г.: проблема равенства слов (проблема вхождения), проблема сопряженности, и — изоморфизма. Положительное решение проблемы равенства было получено (Магнус, 1932 г.) для групп с одним определяющим соотношением, для двух соотношений уже неизвестно, разрешима ли проблема равенства, хотя группа с неразрешимой проблемой равенства существует (С.П.Новиков 1955 г., Бун 1959 г.). Трудность проблем в этом списке существенно возрастает, например, существуют конечно определенные группы с разрешимой проблемой равенства слов, но неразрешимой проблемой сопряженности. Параллельно (даже с некоторым опережением) изучались фундаментальные и другие алгоритмические проблемы для полугрупп, где тоже получено (Мар-

ков и Пост 1947 г.) отрицательное решение общей проблемы равенства слов, поставленной Туэ в 1914 г., более, того, существует пример Матиясевича полугруппы с тремя соотношениями и неразрешимой проблемой равенства. Неразрешимость проблемы равенства для конечно определенных алгебр Ли, поставленной Ширшовым, доказана Бокутем, самим же Ширишовым доказана её разрешимость для алгебр Ли, заданных одним соотношением.

Такова, очень кратко, предыстория развития алгоритмических проблем в группах и полугруппах. Подобные вопросы ставились и в ассоциативных алгебрах. Имеется ряд отрицательных результатов 1 относящихся, например к разрешимостям в многообразиях алгебр. Пусть А — ассоциативная алгебра, представленная как фактор свободной ассоциативной алгебры к(Х) ранга |уТ| , над полем к : А~к(Х)/1, по идеалу / порожденному соотношениями {М,Ч=п, О С N. Такое задание алгебры, следуя полугрупповой традиции, мы называем копредставлением. Оно явля-

'Л.А.Бокуть.Г.П.Кухин Неразрешимые алгоритмические проблемы для полугрупп, групп и колец // Итоги науки и техники. Алгебра.Топология.Геометрия, т.25, с.3-66, М.ВИНИТИ, 1987.

ется вполне конструктивным, поэтому интересен вопрос о положительном решении алгоритмических проблем в классах алгебр, определяемых по типу ¡«представления. Результаты в этом направлении, например(для мономиальных алгебр (т.е. алгебр, заданных соотношениями вида и = О, где и — элемент свободной полугруппы) получены в работе 2 Мощной техникой для решения алгоритмических проблем в ассоциативных алгебрах является техника стандартных базисов, поэтому некоторые основные результаты работы посвящены её созданию в изучаемых классах алгебр. Первоначально стандартный базис (базис Грёбнера) был определен в идеалах свободных коммутативных алгебр А:[а:|___arrf]

(Бухбергер, 1965 3, а также 1970 4 ). На самом деле, понятие стандартного базиса в ¿[X] появилось раньше, в 1964 году в знаменитой работе Хиронака 5 приводилось некон-

'Gateva-lvanova Т., Latyshev V. On the recognizable properties of associative algebras/JSC 1988 N6 p.237-254.

3Buchberger B. An algorithm for finding a bases for the residue class ring of a zero-

diinentional polinomial ideal // Ph.D. thesis.— 1965. — Univ. of Innsbruck, Math. Inst.

4Guchberger B. An algoritlimical criterion for the solvability of algebraic systems of

equations // Aequationes Math.— 1970. — V. 4. — N 3. — p.374-383.

Mlironaka H. Resolution of singularities of an algebraic variety over a field ofcliarac-

структивное доказательство существования для этих базисов,

В 19G2 году А.И.Ширшов предложил конструкцию стандартных базисов в свободных алгебрах Ли 6. В 1978 году Бергман доказал "Diamond" лемму, чем распространил понятие базиса Грёбнера на свободные ассоциативные алгебры 7. Весфеннинг и Кандри-Роди ввели понятие базиса в, так называемых, алгебрах разрешимого типа 8. Наиболее общая конструкция, содержащая все вышеупомянутые;изложена В.Н.Латышевым 9. Она позволяет строить стандартный базис в идеале произвольной алгебры, градуированной вполне упорядоченной полугруппой своих нормальных мономов. Интерес к стандартным базисам подтверждается

teristic zero: 1,11// Ann.Matli. — 1964. — V. 79. — р.109-326.

6Шнршов А.И. Некоторые алгоритмические проблемы для алгебр Ли// Сиб. мат.

жури.— 1962. — Т.З. — Т 2. — с. 292-296.

'Bergman G. The diamond lemma for ring theory // Adv.Malh. — 1978. — V. 29.

— N 2. — c. 178-218.

'Kandri - Rody A. Wiespfenning V. Non-commutative Grobner bases in algebras of

solvable type // JSC — 1990. — N 9. — p. 1-26.

9Латышев B.H. Комбинаторная теория колец. Стандартные базисы, — М.: Изд-по

МГУ, 1988.

публикацией в последнее время целого ряда статей, посвященных их обобщениям, применениям и изучению с самых разных точек зрения.

Цель работы. Распространить технику стандартных базисов на алгебры, градуированные односторонне упорядоченной полугруппой, и получить положительное решение ряда алгоритмических вопросов в слабо редуцируеемых и других алгебрах, заданных ¡«¡представлением.

Методы исследования. Техника стандартных базисов в тех классах алгебр, где она разработана, общие методы теории колец, гомологической алгебры, комбинаторные методы.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми и заключаются в следующем:.

1. доказано существование стандартного базиса (базиса Греб-нера) в идеалах слабо редуцируемых алгебр и произвольных алгебр, градуированных право упорядоченной полугруппой;

2. построена система порождающих модуля сизигий произвольной системы элементов слабо редуцируемой алгебры;

3. доказана конечность построенных базисов в главных идеалах слабо редуцируемых алгебр, чем решается соответствующая проблема вхождения; получена распознаваемость делителей нуля в слабо редуцируемых алгебрах;

4. доказано совпадение радикалов Бэра, локально нильпо-тентного, Кетэ и Джекобсона в слабо редуцируемых алгебрах;

5. доказан ограниченный алгоритм для распознавания ниль и локальной нильпотентности в алгебрах, заданных произвольными однородными соотношениями.

Практическая и теоретическая ценность. Диссертация имеет теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в теории ассоциативных колец и при создании систем компьютерной алгебры.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинарах "Теория колец" и "Избранные во-

просы алгебры" кафедры алгебры механико-математического факультета МГУ, на III Международной конференции по алгебре памяти М.И.Каргаполова, Красноярск 1993.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [1],[2],[3],[4], перечисленных в конце настоящего автореферата.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, трех глав,включающих в себя восемь параграфов и списка литературы, содержащего 28 наименований. Общий объем диссертации составляет 73 страницы.

Содержание диссертации.

Во введении дается обзор результатов по исследуемым проблемам и кратко формулируются основные результаты диссертации.

Результат параграфа 1 главы I состоит в распространении конструкции стандартного базиса в идеале алгебры,

градуированной вполне упорядоченной полугруппой, на алгебры, градуирующая полугруппа которых лишь односторонне упорядочена.

Определение. Алгебру А=к(х\,..., х*^)//, назовем слабо редуцируемой, если идеал I порождается соотношениями вида XiXj = aijXiXk, aij £ к\0, удовлетворяющими условию Li П — 0, L\ П R-i = 0, где L\ - множество всех начал левых частей соотношений, Ь? - всех концов левых частей соотношений, i?i - всех начал правых частей соотношений, i?2 ~ всех концов правых частей соотношений. Подобные соотношения рассматривались Л.А.Бокутем в цикле работ 60-ых годов 10, там же ставился вопрос об описании делителей нуля в таких алгебрах.

Заметим, что слабо редуцируемые алгебры являются право упорядоченными, поэтому, основываясь на результатах параграфа 1 главы I, мы можем говорить о стандартных базисах в их правых идеалах. В параграфе 2 главы I доказы-

10Бокуть Л.А. Некоторые примеры колец без делителей нуля // Алгебра и логика — 1964. —N5-6. —с.5-28.; Бокуть Л.А. Факторнзационные теоремы для некоторых колец без делителей нуля // Алгебра и логика — 1965. — N 4. — с.25-52.; Бокуть Л.А. О сложении колец в тела Ц ДАН СССР — 1967. — Т. 175. — с.755-758.

Бается конечность базисов в главных идеалах слабо редуцируемых алгебр. Это даёт положительное решение проблемы вхождения в такие идеалы слабо редуцируемых алгебр. Приведена оценка для степени элементов базиса. В параграфе 1 главы II рассмотрен вопрос о конструктивной разрешимости линейных уравнений над слабо редуцируемой алгеброй. Определение. Модулем сизигий 5д системы элементов {/ь-ч/м} С А, назовем правый А-модуль решений уравнения /уд 1 + ... + /„<7,, = 0. Используя построенный в п. 1 главы I базис Гребнера, удаётся доказать аналог утверждения о системе порождающих для модуля сизигий, известного в коммутативной алгебре.

Теорема 3.1.2 Пусть А слабо редуцируемая алгебра. Для произвольного уравнения £ = 0 правый модуль сизигий вд системы коэффициентов Р = {/ь...,/„} С А порождается строками матрицы

где С? = {</1,...,#„,} С А — базис Гребнера правого идеала в А, порожденного системой Р , X и У матрицы

перехода между системами F и G : gY = /, JX = g, R — матрица, строки которой соответствуют всем неопределенностям системы G: г1- = (с/,^,..., — г<,..., (¡¡ц + v,..., q-,jk), для s-полинома gi * и — gj * v = Е gk * 4ijk-

В параграфе 2 главы II на основе вышеупомянутых результатов явно выписано условие на элемент /, необходимое и достаточное для того, чтобы он был делителем нуля, дающее тривиальный алгоритм распознавания этого свойства. Дана верхняя оценка на минимальную степень элементов ан-нулятора /. Кроме того, попутно описана структура конечного базиса Грёбнера главного идеала, порожденного /. В параграфе 3 гл.II, используя некоторые идеи работы мы доказываем равенство: В(А) = L(A) = К{А) = J{A) = О для радикалов Бэра, Левицкого, Кёте и Джекобсона в слабо редуцируемых алгебрах и, более того, отсутствие квазирегулярных элементов. Таким образом, мы сводим вопросы о принадлежности элемента алгебры радикалам Бэра, локально нильпотентному, Кёте и Джекобсона, а также о ква-

"Galeva-lvanova Т., Latyshev V. On the recognizable properties of associative algebras/JSC 1988 N6 p.237-254

зирегулярности элемента к вопросу о сравнимости элемента с нулем. Последний же разрешим в слабо редуцируемых алгебрах в силу их однородности. В параграфе 4 главы II отмечена рациональность ряда Гильберта слабо редуцируемых алгебр и приведена явная формула его гг-ого члена.

Глава III посвящена вопросам, связанным с проблемой Куроша: А=к(Х)/1 - конечно-порожденная ассоциативная алгебраическая алгебра, верно ли, что она конечномерна над к. Одна из форм этого вопроса, известная как проблема Левицкого, — является ли ннльпотентной конечно-порожденная нильалгебра А — подробно изучалась и были получены положительные ответы при различных дополнительных ограничениях: ограничение степени нильпотентности элементов, Р7-свойство, стандартная конечно-определенность и др. В днестровской тетради 12 сформулирована проблема В.Н.Латышева о нильпотентности конечно-определенной ннль-алгебры, попытки решения которой предпринимались автором, но положительное решение было получено лишь в очень частных случаях: d = 2,3 и к ф 3,4,5, общая же проблема

,2Днестровская тетрадь: нерешенные задач» теории колец. Новосибирск, 1976

до сих пор остается открытой. Отрицательное решение проблемы Куроша дает пример Голода-Шафаревича 13. В этом единственно известном примере алгебра имеет экспоненциальный рост, поэтому естественным кажется вопрос, поставленный в 14 : является ли нильпотентной всякая нильалге-бра полиномиального роста. Мы получим положительное решение этого вопроса для алгебр с линейным ростом.

Алгоритмическим следствием указанного результата является слабая распознаваемость ниль-свойств и локальной нильпотентности конечно порожденных градуированных алгебр.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, профессору В.Н.Латышеву за постановки задач, постоянное внимание и всестороннюю помощь в работе, а также всем, с кем обсуждались результаты работы.

13Голод Е.С. О нильалгебрах и финитно аппроксимируемых р-группах// Изв. АН

СССР — сер. мат.— 1964.—Т.28.—с.273-276,

14Уфиаровский В. Комбинаторные и ассимптотическне методы в алгебре // ИНТ.

Современные проблемы математики.Фундаментальные направления/ ЦИНН'ГИ.—

1990.— 157.—с.5-172.

Список работ по теме диссертации.

1. Иыуду Н.К. Алгоритмическая разрешимость проблемы распознавания делителей нуля в одном классе алгебр // Фун-дам. и прикл. мат. - 1995 - Т. 1 - N 2 - с.541-544.

2. Иыуду Н.К. Ниль и нильпотентность в некоторых алгебрах полиномиального роста// Вестник МГУ - сер. мат.мех. - 1994, N 4 - С. 16-18.

3. Иыуду Н.К. Симплификаторные свойства слабо редуцируемых алгебр// Фундам. и пршсл. мат. - 1996 - Т. 2 - N 1. - с.133-146.

4. Иыуду Н.К. Ниль и нильпотентность в алгебрах полиномиального роста// В сб.: III Международная конференция по алгебре, Красноярск: КГУ, ИМ СО РАН, 1993, С. 137-138.