Статистические свойства оценок сигналов и изображений при пороговой вейвлет-обработке в моделях с аддитивным шумом тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова Факультет вычислительной математики и кибернетики

На правах рукописи

737

00460

Маркин Артём Васильевич

СТАТИСТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОЦЕНОК СИГНАЛОВ И ИЗОБРАЖЕНИЙ ПРИ ПОРОГОВОЙ ВЕЙВЛЕТ-ОБРАБОТКЕ В МОДЕЛЯХ С АДДИТИВНЫМ ШУМОМ

01.01.05 - теория вероятностей и математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 9 ДПР

2010

Москва - 2010

004601737

Работа выполнена на кафедре математической статистики факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор каф. матем. статистики факультета ВМК МГУ Ушаков Владимир Георгиевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

ведущий научный сотрудник ИПИ РАН Борисов Андрей Владимирович

Защита состоится 14 мая 2010 г. в 11 часов на заседании диссертационного совета Д 501.001.44 в Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, МГУ, второй учебный корпус, факультет ВМК, аудитория 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета ВМК МГУ. С текстом автореферата можно ознакомиться на официальном сайте факультета ВМК МГУ Шр://^тог«г,стс.тзи.ги в разделе «Наука» - «Работа диссертационных советов» - «Д 501.001.44».

кандидат физико-математических наук, доцент каф. матем. статистики и случ. процессов механико-математического факультета МГУ

Прохоров Александр Владимирович

Ведущая организация: Нижегородский государственный универ-

ситет им. Н. И. Лобачевского

Автореферат разослан « » апреля 2010 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета профессор

Н. П. Трифонов

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Теория вейвлет-прсобразования является одним из молодых и активно развивающихся направлений современной математики. Термин «вейвлет» (wavelet) можно перевести, как «маленькая волна», он был введен А. Гроссманом и Ж. Морлс, которые занимались изучением сейсмических сигналов. Название отражает главное отличие вейвлстов от тригонометрических функций, используемых в классическом преобразовании Фурье - их локальность по времени. Поэтому если преобразование Фурье вычисляется с помощью растяжений единственной функции, то вейвлет-преобразование использует растяжения и сдвиги базового вейвлета. Поначалу в отечественной литературе не было единства терминологии, наравне с «вейвлетами» употреблялся термин «всплески». Но можно утверждать, что сейчас термин «вейвле-ты» является общепринятым.

Фундаментальные теоретические результаты были получены в 80-90-х годах прошлого столетия. Тогда же была разработаны основные численные алгоритмы вейвлет-преобразования. Эти результаты связаны с именами И. Мейера, И. Добеши, С. Малла, Р. Койфмана, А. Коэна и других ученых. На сегодняшний день вейвлет-анализ является мощным математическим аппаратом. Одной из первых монографий, посвященной теории вейвлетов и построения вейвлет-базисов, является книга И. Мейера «Ondelettes et Opérateurs», вышедшая в 1990 году на французском языке (ее английский перевод1 был издан два года спустя). И. Добеши предложила метод построения вейвлетов с компактным носителем. С. Малла разработал алгоритм вейвлет-преобразования асимптотически более быстрый, чем быстрое преобразование Фурье2. Ряд вероятностных аспектов теории вейвлет-разложения рассмотрен в уже упомянутой книге С. Малла, а также в монографиях Б. Видаковича3, В. Хардла4 и книге А. А. Ко-роновского и А. Е. Храмова5.

Основные задачи, решаемые с помощью вейвлетов, заключаются в сжатии сигналов, удалении шумов (случайных и неслучайных), получении временнбй

1 Мсуст Y. Wavelets and operators. — Cambridge University Press, 1992.

2 Малла С. Вейшюты и обработке сигналов. — М.: Мир, 2005.

3 Vidakovic В. Statistical modeling by wavelets. — John Wiley & Sons, 1999.

4 Hardie W., Kerkyacharian G-, Picard D., Tsybakov A. Wavelets, approximation and statistical applications // Lecture notes iu statistics. — 2000. — Vol. 129.

5 Короцовский А. А., Храмов A. E. Непрерывный веавлстшлй анализ и его приложения. — М.: Физ-ыатлит, 2003.

и частотной информации о сигнале. Например, ФБР использует вейвлеты для анализа и хранения отпечатков пальцев; вейвлет-разложение составляет основу стандарта сжатия изображений JPEG2000.

Главным инструментом сжатия сигналов и удаления шума является пороговая обработка вейвлет-коэффициентов. Основополагающие результаты в этой области получены американскими математиками Д. Донохо и И. Джон-стоном, а также Р. Койфманом, Д. Пикардом, Дж. Керкячарианом, В. Хард-лом, А. Цыбаковым. Было предложено несколько стратегий выбора порога, в том числе, обладающих хорошими асимптотическими свойствами. Позднее эти идеи были развиты в работах Р. Аверкампа, К. Удре, Й. Элдар, X. Гао, Т. Дай, JI. Брауна, Г. Нэйсона, Я. Ванга и других.

При теоретическом обосновании того или иного порога внимание уделялось свойствам ошибки (или риска в моделях со случайным шумом) пороговой обработки с исследуемым порогом. Сам риск неизвестен, т. к. на практике неизвестен чистый исходный сигнал. Но это не мешает получить асимптотические свойства риска и показать, что теоретически результат обработки в среднем должен быть близок к оригинальному незашумленному сигналу.

По наблюдаемым данным возможно построить оценку риска. Для вычисления одного из порогов (SureShrink) используется минимизация этой оценки, которая при определенных условиях является несмещенной. Представляют теоретический и практический интерес асимптотические свойства этой оценки риска, ее способность оценивать неизвестный теоретический риск как меру ошибки пороговой обработки. Ранее при изучении оценки риска дисперсия шума полагалась известной, что, во-первых, заметно упрощает выкладки, а во-вторых, влияет на структуру оценки (см. работы Д. Донохо и И. Джонстона6,7, а также упомянутые выше монографии С. Малла, Б. Видаковича, В. Хардла). В практических же задачах дисперсия шума всегда оценивается, причем зачастую но самому исследуемому сигналу. Поэтому необходимо учитывать и асимптотику оценки дисперсии шума, и характер зависимости этой оценки от наблюдаемого сигнала. Изучение свойств оценки риска пороговой обработки при оцениваемой дисперсии шума является основной задачей данной диссертации.

Вейвлет-анализ нашел успешное применение, в том числе в медицине. На-

6 Donoho D. L., Johnstoae I. М. Adapting to miknown sniootbness via wavelet shriniage // Journal of the American Statistical Association. — 1995. — Vol. 90. — P. 1200-1224

7 Johnstone I. M. Wavelet shrinijage for correlated data and inverse problems: adaptivity results // Statistica Sinica. - 1999. — Vol. 9, по. 1. — Pp. 51-83

пример, в обработке кардиосигналов - электрокардиограмм (ЭКГ) и ритмо-грамм. Существует ряд количественных и качественных методик для диагностики различных сердечных заболеваний по этим сигналам. Т. к. типичная ЭКГ содержит от нескольких сотен тысяч до нескольких миллионов значений, то вычислительный аспект при обработке ЭКГ является весьма важным. Аппарат вейвлетов предоставляет сверхбыстрые алгоритмы прямого и обратного преобразования и при этом обеспечивает весьма высокое визуальное качество обработки.

С помощью пороговой обработки коэффициентов разложения можно эффективно удалять шум из ЭКГ, упрощая качественный анализ. Риск пороговой обработки неизвестен, но можно построить и вычислить его оценку. Используя масштабное свойство вейвлетов, возможно организовать автоматический поиск различных волн в ЭКГ. По ЭКГ строится производный кардиосигнал - ритмо-грамма, основная задача обработки которой заключается в оценке спектральных характеристик. При этом в ритмограмме обычно присутствуют паразитные импульсы, и для правильной оценки спектра необходимо либо удалить эти импульсы, либо использовать методы, устойчивые к выбросам.

Вейвлеты находят применение и в задачах обращения ряда линейных однородных операторов, когда по косвенным наблюдениям требуется восстановить исходную функцию. Например, в задаче обращения оператора Радона (называемой также задачей томографии или задачей восстановления томографических изображений). Задача обращения этого оператора относится к т. н. некорректным задачам, и как следствие, для решения требует специальных подходов, получивших название методов регуляризации. Д. Донохо предложил решать задачу томографии с использованием вейвлетов и специальных функций - вейгле-тов (vaguelettes). При этом регуляризация производится с помощью пороговой обработки коэффициентов разложения. Такой подход зарекомендовал себя как эффективный метод восстановления томографических изображений и впоследствии был развит в работах Э. Колашика, Н. Ли, Б. Люсьера, Ф. Абрамовича, Б. Сильвермана, Дж. Калифа, С. Малла, И. Джонстона и других. Здесь тоже возникает задача нахождения ошибки пороговой обработки с помощью оценки риска. Кроме того, стоит выяснить, как влияют на свойства оценки риска асимптотические свойства оценки дисперсии шума и некорректность задачи томографии.

Объектом исследований являются нелинейные вейвлет-оценки сигнаг

лов и изображений в моделях со случайными шумами.

Целью диссертационной работы является изучение асимптотических свойств оценки риска пороговой обработки вейвлет-коэффициентов при прямом и косвенном наблюдении объекта.

Задачи диссертационной работы.

1. Выяснить, обладает ли оценка риска свойством состоятельности и асимптотической нормальности.

2. Проанализировать, как влияют свойства оценки дисперсии шума на асимптотику оценки риска.

3. Исследовать асимптотики оценки риска пороговой обработки в задаче томографии.

4. Применить полученные результаты для решения прикладных задач в области обработки кардиосигналов.

Методы исследования. В работе использованы аналитические методы математического анализа, неравенства и предельные теоремы теории вероятностей, аппарат математической статистики. Кроме того, использована теория преобразования Радона и метод преобразования Фурье, адаптированный для неравномерной временной сетки.

Научная новизна и основные результаты. Все основные результаты диссертации являются новыми и заключаются в следующем.

1. Обоснованы свойства состоятельности и асимптотической нормальности оценки риска при пороговой обработке вейвлет-коэффициентов в случае прямого наблюдения одномерного объекта.

2. Изучено влияние на свойства оценки риска использование оценки дисперсии шума. Рассмотрен случай оценивания дисперсии шума как по независимой выборке, так и по коэффициентам исследуемого сигнала.

3. Получены асимптотические свойства оценки риска при оцениваемой дисперсии шума в задаче обращения оператора Радона.

4. В задаче обработки кардиосигналов вычислены значения оценок риска, проведено сравнение полученных результатов с теоретическими значени-

ями. Предложен метод очистки кардиосигналов от нежелательных выбросов.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты диссертации носят как теоретический, так и практический характер. Они могут быть использованы при решении таких практических задач, как сжатие и очистка от шумя и паразитных импульсов сигналов и изображений.

Личный вклад автора. Все основные результаты диссертации получены лично автором или при его непосредственном участии.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на научном семинаре «Теория риска и смежные вопросы» под руководством профессора В. Е. Бснинга. профессора В. Ю. Королёва и стар. преп. А. А. Кудрявцева, на научном семинаре «Современные методы обработки сигналов и изображений» под руководством доцента О. В. Шестакова и науч. сотр. Т. В. Захаровой, на XXVIII международном научном семинаре по проблемам устойчивости стохастических моделей (31 мая - 5 июня 2009 г., Закопане, Польша), на X Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (1-8 октября 2009 г., Сочи - Дагомыс).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 6 печатных работах, из них 4 статьи [1, 3-5] в журналах, входящих в список ВАК «Перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени доктора и кандидата наук», 2 работы в сборниках трудов конференций [2, 6].

Структура и объем диссертации. В работе принята двойная нумерация формул, определений, теорем и рисунков. Первое число указывает на номер главы, а второе - на порядковый номер соответствующего объекта в главе. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на разделы, заключения и списка литературы, включающего в себя 115 наименований. Общий объем работы составляет 104 страницы.

Благодарности. Автор глубоко признателен профессору В. Г. Ушакову и доценту О. В. Шестакову за постоянное внимание к работе, плодотворные обсуждения и поддержку. Автор благодарит профессора В. Ю. Королёва и науч. сотр. Т. В. Захарову за разностороннюю помощь, оказанную во время исследований и работы над диссертацией.

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показана теоретическая и практическая значимость полученных результатов, в кратком виде изложено содержание глав диссертации.

В первой главе получены асимптотики оценки риска при пороговой обработке вейвлет-коэффициентов в случае прямого наблюдения одномерного объекта.

Наблюдается сигнал X = £ + е, состоящий из отсчетов полезного неслучайного сигнала / и некоррелированного гауссовского шума £ с дисперсией о1. Имеется неоднородный вейвлет-базис {фо,к, Ф^к} на основе вейвлета с компактным носителем. Назовем j уровнем разложения, а 2~-7 - масштабом. После двоичного вейвлет-преобразования (ДВП) имеется набор из N = вейвлет-коэффициентов ХцгЩ — /и'Н +£и'М> I = 1, Л'- Здесь совершен переход от двойного индекса (у, к) к одиночному г = 2-' + к + 1. Если= 0, ,/ — 1, А; = 0, 2-> — 1, то г = 2, N. Коэффициент с индексом г = 1 соответствует коэффициенту (/, фор).

К вейвлет-коэффициентам применяется пороговая обработка с пороговой функцией р(х,Т),в качества порога выбран универсальный порог Для мягкой и жесткой пороговой обработки функция р соответственно равна

Рз(х,Т) = -

х - Т при х > Т, (

, тч | х при |я| > Т. х + Т при х<-Т, и рн{х, Т) = {

\0 при^КТ. О при |а;| ^ I 4

Риск пороговой обработки определяется следующим образом8:

N

г(/, Г) = £ - р[Х„[г], Г)}2. (1.9)

г=1

Оценивая неизвестные (/и'И)2, как (Х\уЩ)2 — с2 или (Х;у[г])2 - а2, где а1 -оценка дисперсии шума, получаем такие оценки риска:

г(/,Т) = ¿Ф (М)2) , г(/,Т) = •

¿=1 1=1

8 Нумерация формул, теорем и рисунков в автореферате соответствует их нумерации в диссертации.

Ф(х) для мягкой и жесткой пороговой обработки соответственно равна

т . . I х-а2 при х < Т2, „ , , \х -а2 при х < Т2. [а2 + Т2 при х > Т2, [<г2 при х > Т2,

Ф§(а;) и <1'н(х) получаются заменой в ФйОе) и $н(х) дисперсии шума а2 на ее оценку а2, а порога Т на Т = \/2сг21пN. Соответствующие мягкой и жесткой пороговой обработке риски обозначим и гя, оценки риска при известной дисперсии шума - г я и гя, оценки риска при оцениваемой дисперсии шума -Г5 и гя-

В теоремах 1.1-1.7 предполагается, что функция / кусочно регулярна на [0,1], т. е. отрезок [0,1] разбивается па конечное число отрезков, на каждом из которых функция / равномерно регулярна по Липшицу с некоторым показателем регулярности, а минимальный показатель равномерной регулярности равен а >

В случае, когда дисперсия шума полагается известной, выражение для оценки риска представляет собой сумму независимых случайных величин, для которых выполнено условие Линдеберга. Теорема 1.1. Для любого а > 0 при N —У ос

Ы/,Т)-г3(/,Т) р

N<¡+1/2

Замечапие. В теореме 1.1 не делается предположений о виде порога, он может быть произвольным, но не случайным.

При использовании жесткого порога оценка риска является смещенной, однако при делении на Д'а+1/2 и N —оо ее смещение стремится к нулю. Теорема 1.2. Для любого а > 0 и Т = о л/21п Аг при N —> оо выполнено

гнУ,Т)-гн(1,Т) р

ДГа+1/2

Замечание. В отличие от теоремы 1.1 вид порога принципиален. Например, при пороге

Т = сг\/ЫпЛ утверждение теоремы 1.2 неверно. Теорема 1.3. При мягкой и жесткой пороговой обработке с порогом Т = оу/2 1п N

имеет место сходимость по распределению: при N —> оо

\fla4J

Замена дисперсии шума на ее оценку в выражении для оценки риска существенно влияет на асимптотику оценки риска. Оценка риска становится суммой зависимых случайных величин, и эту зависимость необходимо учитывать. Теорема 1.4. Пусть а2 - оценка дисперсии, Ест2 = <т2+о(1) и Da2 = О(N~B), (3 > 0. Пусть выбран порог Т = ¿V21n N, тогда при N оо выполнено

fs(f,f)-rs(f,T) р N

Замечание. Если порог случаен, то в отличие от теоремы 1.1 он не может быть произвольным. Построен пример порога, при котором утверждение теоремы 1.4 неверно.

Теорема 1.5. Пусть а2 - оценка дисперсии, Ест2 = сг2 + о(1) и Dа1 — О(N~P), /3 > 0. Пусть выбран порог Г = ¿>/21 п N, тогда при N —* оо выполнено

гя(/,Т)~гя(/,Г) р

N

Замечание. Если используется оценка а стандартного отклонения, и выполнено Ест = сг + о(1), Da = 0(7V_/3), /? > 0, то утверждения теорем 1.4 и 1.5 останутся справедливыми.

Если повысить требования на оценку а2, то порядок знаменателя в утверждениях теорем 1.4 и 1.5 можно понизить.

Теорема 1.6. Пусть а2 - оценка дисперсии, Ест2 = а2 4- О (N~v) и Da2 = О (JV-Д v > 0, ¡в > 0, а константа с — min и,■ Пусть выбран порог Т = оу/2\Ш. Тогда для любого 6 > 0 и любого а > | — с при мягком и жестком пороге и N —Ь оо выполнено

г(/,Г)-г(/,Г) р

N<1+1/2

При этом предельное распределение определяется предельным распределением

м-^-

Теорема 1.7. Пусть о2 - состоятельная оценка дисперсии шума, не зависящая от Xw[i], и выполнено \/N (сг2 — а2) =Ф N (0, Е2). Пусть выбран порог Т = <т\/21п N. Тогда при мягком и жестком пороге и N оо выполнено

Замечание. В теореме 1.7 ограничения на моменты а2 не накладываются, а оценка дисперсии шума делает вклад в дисперсию предельного распределения (ср. с Т. 1.3).

При оценивании дисперсии шума по коэффициентам Xw[i] на уровне J — 1 (обозначим их Zi,.... Z^/2) рассмотрены три популярные оценки: S2 (df), ин-терквартильный размах (¿"2) и абсолютное медианное отклонение от медианы [MAD, ¿3):

n N/2 med ¡Zi - med ZA

Tm2 > _ ZN/2,3/4 ~ ¿ЛГ/2,1/4 д _ _J_j

Ь 2~-^-' -^-'

где Z - выборочное среднее, Zjv/2,7 ~ выборочная квантиль порядка 7, <"7 -квантиль порядка 7 стандартного нормального распределения. Теорема 1.8. Пусть функция / задана на [0,1] и равномерно регулярна с показателем регулярности а > Пусть дисперсия шума оценивается по вейвлет-коэффициентам на последнем уровне разложения (j = J — l)c помощью оценки а~. Пусть выбран порог Т = ал/2 In N, применяется мягкая или жесткая пороговая обработка и N -> оо. Если использована оценка а2 на основе S2, то

Если использована оценка &2 на основе интерквартильного размаха или MAD, то

¿ur)-r(/,r) __J_\

V^AT V '{4Сз/4^(Сз/4)}7'

ip - плотность стандартного нормального распределения.

Результаты первой главы опубликованы в работах [1, 2, 5]. Во второй главе рассмотрены асимптотические свойства оценки риска пороговой обработки в задаче томографии.

Наблюдается двумерный сигнал X = IZi + с, состоящий из отсчетов радо-новского образа 7Zf двумерного полезного неслучайного сигнала / и некоррелированного гауссовского шума е с дисперсией а2. Имеется неоднородный двумерный вейвлет-базис построенный по одномерному вейвлет-ба-зису на основе вейвлета ф, jo,j € Z, k = (ki, «2) € Z2, j ^ jo, jo фиксировано, А = 1,3. Задача томографии решается с помощью функций специального вида,

названных вейглетами: ^ = X где X - оператор Рисса. По построеншо

[к/, $]=</, V® и '

Ъ» = [х, ~Я (</, 4,) , =

Предполагается, что вейвлет ф имеет компактный носитель и удовлетворяет условиям регулярности, обеспечивающим существование вейглетов.

Мягкая пороговая обработка, применяемая к коэффициентам деталей (/, , выполняет задачу регуляризации. В качестве порога используется порог Колашика = Риск г(/) такой пороговой обработки определяется, как

кя = Е Е Е ЕЕ {(/- - р* ([х, «а. ь]' Ч }2 > (2-13)

}=]м Л=1 к1=0к2~0

где Зм - уровень разложения, с которого начинается пороговая обработка. Оценки риска при известной (а2) и оцениваемой (о-2) дисперсии шума соответственно равны

т - Е 5>#. • ^ = ЕЕ^(|[Х' «]|2 .

Мм А,к 4 ' Мм Л,к 4 '

х — 4,- при X < Т14

при х >

ж — при X ^

при X > 7'Д,

где 7ду = 1п2=У, а^ - 0||1 «

Цх,Тх») = ТХ[]) =

В теоремах 2.1-2.4 предполагается, что функция / задана на квадрате [0,1] х [0, 1] и является равномерно регулярной по Липшицу с показателем a>0,íljмZ¿-vL = 22J.

Теорема 2.1. В задаче томографии при известной дисперсии шума и Ь —> оо г-(/)-г(/) ^(0|1)> гдеб2 2 2 ¿^2(40+40+40) 2 -1 15

Замечание. По сравнению с теоремой 1.3 порядок знаменателя вырос на что является следствием роста дисперсии коэффициентов при уменьшении масштаба.

По аналогии с теоремами 1.4,1.6,1.7 формулируются и доказываются теоремы 2.2-2.4 для случая, когда в выражения для оценки риска и порога вместо дисперсии шума ст2 подставляется ее оценка а2. При этом порядок знаменателя в утверждениях теорем повышается на

Теорема 2.2. Пусть а2 - оценка дисперсии, Ест2 = сг2 + о(1) и Dc2 = = Q(L~P), (5 > 0. Тогда при L оо выполнено

(2-20)

Теорема 2.3. Пусть о2 - оценка дисперсии, Ест2 = ст2 + 0(L~V) и Da2 = v, (3 > 0. Тогда при любом а > | — с, с = min-||,u, || и L оо выполнено , , ч

Hf)-r(f) Р

La+1

Теорема 2.4. Пусть о1 - оценка дисперсии, Ест2 = ст2 + 0{L~V) и Dст2 = 0(l"/3), v > 0, /3 > j. Пусть ст2 не зависит от Ух-jmm " vt (ст2 - ст2) Л/* (0, Е2) при L -> оо, тогда

m-r(f) ' 1+ Ko+4o+4o)2s2\

Ь^Ко + ^о + ^о) V' ^ + +

2 2 J _ 2(23-1)2 _ 98 где 62 = 21ГТ = 15' = 2^—1 ~ -

15-

Замечание. Если функция / равномерно регулярна с параметром а ^ а Зм ^ то в теореме 2.4 можно ослабить требования на ст2. Достаточно потребовать только состоятельность, асимптотическую нормальность и независимость ОТ Улу.к-

Замечание. Если функция / равномерно регулярна с показателем а > то пороговую обработку и суммирование в (2.13) и выражениях для оценок риска можно начинать с произвольного = Ль 0 ^ ¿о < .7 — 1, утверждения теорем этой главы останутся справедливыми.

Результаты второй главы опубликованы в работе 14]. В третьей главе рассмотрены приложения вейвлет-анализа и робастных процедур к задачам обработки электрокардиограмм (ЭКГ) и ритмограмм. При-

менены результаты первой главы для оценки риска пороговой обработки вейв-лет-коэффициентов ЭКГ. Описан метод построения ритмограммы по ЭКГ с использованием непрерывного вейвлет-преобразованпя. Решена задача отсева паразитных импульсов из ритмограммы.

ЭКГ является важнейшим инструментом диагностики различных сердечнососудистых заболеваний. ЭКГ представляет собой график изменения разности потенциалов, возникающих на поверхности тела в результате работы сердца. В структуре ЭКГ выделяют несколько волн: Р, Д, в, Т-волны (рисунок

3.1). По временам появления й-пи ко в строится производный кардиосигнал -ритмограмма, - спектральные характеристики которого также важны при выявлении сердечных патологий. При построении ритмограммы по оси абсцисс откладывают времена появления Д-пиков, а по оси ординат - разности между временами появления соседних Д-пиков (т. н. ДД-интервалы) (см. рисунок

3.2).

3.6 3.4 3.2 3 2.8

26.6 26.8 27 27.2 27.4 27.6 27.8 28 28.2

Рис. 3.1. Фрагмент ЭКГ с помеченными Р, <2, Д. Б, Т-волнами. По оси абсцисс отложено время (в секундах), по оси ординат - напряжение

К задачам обработки кардиосигналов относятся: задача удаление шума из ЭКГ; построение ритмограммы (поиск Д-пиков); отсев эктопических (паразитных) выбросов (рисунок 3.2) из ритмограммы для повышения точности спектрального анализа.

К предварительно очищенной от шума реальной ЭКГ был добавлен смоделированный гауссовский шум с известной дисперсией. Для решения задачи удаления шума к зашумленной ЭКГ применено ДВП, а к полученным коэффициентам - мягкая пороговая обработка с универсальным порогом. Т. к. в данном случае исходный чистый сигнал и параметры шума известны, возможно сравнить оценку риска пороговой обработки и сам риск. При оценивании дисперсии шума по коэффициентам на самом мелком масштабе с помощью

х Ю

х 104

3.6 3.4 3.2 3 2.8 2.6

80 85 90 95 100 105 110 115 120 125

1.2 1 0.8 0.6 0.4

Рис. 3.2. Фрагмент ЭКГ (вверху) и ритмограмма (внизу). По осям абсцисс отложено время в секундах. Ось ординат на верхнем графике - напряжение, на нижнем - длина ЯЯ-интервала (в секуедах). Участок ритмограммы, соответствующий фрагменту ЭКГ, отделен пунктирными линиями. Около 84-й и 119-й секунды появляются пары эктопических импульсов

МАО имеем

По теореме 1.8 это отношение асимптотически нормально с нулевым средним и дисперсией « 1.36. Полученное значение отклоняется от нуля несколько сильнее, чем это характерно для предельного распределения. Это связано главным образом с тем, что оценка с помощью МАП заметно недооценивает а. Заметим, что значение Г£ отличается от г^ менее, чем на 4.4%.

Для построения ритмограммы к ЭКГ применено НВП на определенном масштабе, непосредственно Я-пики находятся с помощью алгоритма поиска локальных максимумов вейвлет-коэффициентов.

Отсев эктопических импульсов из ритмограммы производится с помощью доверительных интервалов для разностей ритмограммы. В качестве модели ритмограммы принята следующая модель:

ЯЯ(4) = А\ 8ш(2тга>1< + фх) + А2 ап (2тгш2* + Фг) + Ф) + С, (3.1)

где í = íb • • • > íjv, 0.04 Гц < < 0.15 Гц, 0.15 Гц < ш2 < 0.4 Гц, e(t) - некоррелированный гауссовский шум, С - константа. Доверительные интервалы для разностей ритмограммы выглядят так:

(-А? + VÍctF-1 , Л* + V2VF'1 (l - I)) , (3.3)

где

fe? = 4Ai sin (--I + 4Л2 sin I---1 ,

a F(x) - функция распределения стандартной нормальной случайной величины.

Параметры модели (3.1) вычисляются методом робастной регрессии, в котором квадратичная функция остатков заменена менее быстро растущей функцией Эндрюса

P(X) = (C(1~C0S(")) п?и1*1<ст' с = 0.85. 1 2с при ^ аг,

В качестве факторов регрессии выступают тригонометрические векторы

Х2 = (cos(27ro;íi),cos(27rtjí2)., ■ • • ,cos(27rwíjv)), (3.10)

Х3 = (sin(27rwfi), sm(27rc¿¿2),. ■., sin(2jra;tjv)) (3-11)

и единичный вектор Xj = (1,1,..., 1), к которым применена процедура ор-тогонализации Грама-Шмпдта. Для набора частот и>1, 0.04 Гц ^ и1 ^ 0.4 Гц (¿ - индекс, а не степень) вычисляются робастные оценки соответствующих амплитуд и. находятся максимумы в двух диапазонах:

Ai = шах {Жш'Н. М = max {A(w!H.

Соответствующие им wi, u¡2, Фи Ф2 считаются искомыми для модели (3.1). Результат работы метода на реальных данных приведен tía рисунке 3.10. Результаты третьей главы опубликованы в работах [3, 6J. В заключении сделаны общие выводы по диссертации, сформулированы все основные результаты, выносимые на защиту, и предложен ряд перспективных направлений исследований и задач, которые могут решаться с использованием результатов данной работы.

1.2 1 0.8 0.6 0.4

50 100 150 200 250 300

0.4 0.2 0 -0.2

Рис. 3.10. Исходная ритмограмма (вверху), разности длин Яй-интервалов и доверительные интервалы для этих разностей (внизу). По всем осям отложено время в секундах. Звездочками помечены импульсы, которые определены как эктопические. Границы доверительных интервалов изображены пунктирными линиями

Результаты, выносимые на защиту

В диссертационной работе получены свойства состоятельности и асимптотической нормальности оценки риска пороговой обработки вейвлет-коэффици-ентов.

1. Обоснование состоятельности оценки риска в случае использования оценки дисперсии шума при прямом наблюдении объекта.

2. Обоснование асимптотической нормальности оценки риска при оценивании дисперсии шума по независимой выборке и по коэффициентам исследуемого сигнала.

3. Обоснование асимптотических свойств оценки риска пороговой обработки при использовании оценки дисперсии шума в задаче томографии.

4. Применение полученных результатов для оценки рисков при решении задачи очистки ЭКГ от шума. Метод отсева выбросов из ритмограмм на

7 ' " ..... - v а^члдц -

1 -

50 100 150 200 250 300

основе робастных процедур и компенсированного преобразования Фурье.

Список публикаций по теме диссертации

1. Маркин А. В. Предельное распределение оценки риска при пороговой обработке вейвлет-коэффициентов // Информатика и ее применения. — 2009. — Т. 3, № 4. - С. 57-63.

2. Маркин А. В. Состоятельность оценки риска при пороговой обработке вейвлет-коэффициентов // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2009. - Т. 16, № 6. - С. 1094-1095.

3. Маркин А. В., Шесгаков О. В. Отсев эктопических импульсов из ритмограм-мы с использованием робастных оценок // Информатика и ее применения. — 2008. — Т. 2, № 2.-С. 47-54.

4. Маркин А. В., Шестаков О. В. Асимптотики оценки риска при пороговой обработке вейвлет-вейглет коэффициентов в задаче томографии // Информатика и ее применения. — 2010. — Т. 4, № 2. — С. 2-11.

5. Маркин А. В., Шестаков О. В. О состоятельности оценки риска при пороговой обработке вейвлет-коэффициентов // Вестник Московского университета, серия 15, вычислительная математика и кибернетика. — 2010.— № 1.— С. 26-33.

6. Markin А. V., Shestakov О. V. Elimination of cctopic beats from heart tachogram using robust estimates // XXVIII International Seminar on Stability Problems for Stochastic Models. - 2009. - P. 54.

Подписано в печать:

13.04.2010

Заказ № 3532 Тираж -100 экз. Печать трафаретная. Типография «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 115230, Москва, Варшавское ш., 36 (499) 788-78-56 www.autoreferat.ru

Сокращения.

Обозначения

Введение.

Глава 1. Асимптотические свойства оценки риска при пороговой обработке вейвлет-коэффициентов.

1.1. Вводные сведения.

1.1.1. Вейв лет-преобразование.

1.1.2. Связь вейвлет-коэффициентов и регулярности функции.

1.1.3. Обработка дискретных данных.

1.1.4. Пороговая обработка.

1.2. Свойства оценки риска при известной дисперсии шума.

1.3. Сходимость по вероятности оценки риска при оцениваемой дисперсии шума

1.4. Сходимость по распределению оценки риска при оцениваемой дисперсии шума.

1.5. Примеры оценок дисперсии шума.

Глава 2. Асимптотики оценки риска при пороговой обработке вейвлет-вейглет коэффициентов в задаче томографии

2.1. Вводные сведения.

2.1.1. Компьютерная томография.

2.1.2. Вейвлет-вейглет разложение (WVD).

2.1.3. Дискретизация и модель шума.

2.1.4. Пороговая обработка.

2.2. Асимптотика оценки риска при известной дисперсии шума.

2.3. Свойства оценки риска при использовании оценки дисперсии шума.

Глава 3. Обработка кардиосигналов.

3.1. Вводные сведения.

3.1.1. Электрокардиограмма и ритмограмма

3.1.2. Построение ритмограммы.

3.1.3. Эктопические импульсы.

3.1.4. Математические модели ритмограммы.

3.2. Удаление шума из ЭКГ

3.3. Доверительные интервалы для разностей ритмограммы.

3.4. Метод робастной регрессии.

3.5. Алгоритм отсева эктопических импульсов.

3.6. Результаты работы метода отсева.

Актуальность работы. Теория вейвлет-преобразования является одним из молодых и активно развивающихся направлений современной математики. Термин «вейвлет» (wavelet) можно перевести, как «маленькая волна», он был введен А. Гроссманом и Ж. Морле [73], которые занимались изучением сейсмических сигналов. Название отражает главное отличие вейвлетов от тригонометрических функций, используемых в классическом преобразовании Фурье - их локальность по времени. Поэтому если преобразование Фурье вычисляется с помощью растяжений единственной функции, то вейвлет-преобра-зование использует растяжения и сдвиги базового вейвлета. Поначалу в отечественной литературе не было единства терминологии, наравне с «вейвлетами» употреблялся термин «всплески» (см. работы Н. М. Астафьевой [1] и И. Я. Новикова и С. Б. Стечкина [20]). Но можно утверждать, что сейчас термин «вейвлеты» является общепринятым.

Фундаментальные теоретические результаты были получены в 80-90-х годах прошлого столетия. Тогда же были разработаны основные численные алгоритмы вейвлет-преобразования. Эти результаты связаны с именами И. Мейера, И. Добеши, С. Малла, Р. Койф-мана, А. Коэна и других ученых. На сегодняшний день вейвлет-анализ является мощным математическим аппаратом. Одной из первых монографий, посвященной теории вейвлетов и построения вейвлет-базисов, является книга И. Мейера «Ondelettes et Operateurs», вышедшая в 1990 году на французском языке (ее английский перевод [102] был издан два года спустя). И. Добеши предложила метод построения вейвлетов с компактным носителем [5, 53]. С. Малла разработал алгоритм вейвлет-преобразования асимптотически более быстрый, чем быстрое преобразование Фурье [13]. Ряд вероятностных аспектов теории вейвлет-разложения рассмотрен в уже упомянутой книге С. Малла [13], а также в монографиях Б. Видаковича [114], В. Хардла и др. [75] и книге А. А. Короновского и А. Е. Храмова [10].

Основные задачи, решаемые с помощью вейвлетов, заключаются в сжатии сигналов, удалении шумов (случайных и неслучайных), получении временной и частотной информации о сигнале. Например, ФБР использует вейвлеты для анализа и хранения отпечатков пальцев; вейв лет-разложение составляет основу стандарта сжатия изображений JPEG2000.

Главным инструментом сжатия сигналов и удаления шума является пороговая обработка вейвлет-коэффициентов. Основополагающие результаты в этой области получены американскими математиками Д. Донохо и И. Джонстоном, а также Р. Койфманом, Д. Пикардом, Дж. Керкячарианом, В. Хардлом, А. Цыбаковым [54, 58, 60-62, 65, 75]. Было предложено несколько стратегий выбора порога, в том числе, обладающих хорошими асимптотическими свойствами. Позднее эти идеи были развиты в работах Р. Аверкампа, К. Удре, Й. Элдар, X. Гао, Т. Цай, J1. Брауна, Г. Нэйсона, Я. Ванга и других [35, 43, 66, 71, 72, 103, 104, 115].

При теоретическом обосновании того или иного порога внимание уделялось свойствам ошибки (или риска в моделях со случайным шумом) пороговой обработки с исследуемым порогом. Сам риск неизвестен, т. к. на практике неизвестен чистый исходный сигнал. Но это не мешает получить асимптотические свойства риска и показать, что теоретически результат обработки в среднем должен быть близок к оригинальному незашум-ленному сигналу.

По наблюдаемым данным возможно построить оценку риска. Для вычисления одного из порогов (SureShrink) используется минимизация этой оценки, которая при определенных условиях является несмещенной. Представляют теоретический и практический интерес асимптотические свойства этой оценки риска, ее способность оценивать неизвестный теоретический риск как меру ошибки пороговой обработки. Ранее при изучении оценки риска дисперсия шума полагалась известной, что, во-первых, заметно упрощает выкладки, а во-вторых, влияет на структуру оцеики (см. работы Д. Донохо и И. Джонстона [61, 78], а также упомянутые выше монографии [13, 75, 114]). В практических же задачах дисперсия шума всегда оценивается, причем зачастую по самому исследуемому сигналу. Поэтому необходимо учитывать и асимптотику оценки дисперсии шума, и характер зависимости этой оценки от наблюдаемого сигнала. Изучение свойств оценки риска пороговой обработки при оцениваемой дисперсии шума является основной задачей данной диссертации.

Вейвлет-анализ нашел успешное применение, в том числе в медицине. Например, в обработке кардиосигналов - электрокардиограмм (ЭКГ) и ритмограмм. Существует ряд количественных и качественных методик для диагностики различных сердечных заболеваний по этим сигналам. Т. к. типичная ЭКГ содержит от нескольких сотен тысяч до нескольких миллионов значений, то вычислительный аспект при обработке ЭКГ является весьма важным. Аппарат вейвлетов предоставляет сверхбыстрые алгоритмы прямого и обратного преобразования и при этом обеспечивает весьма высокое визуальное качество обработки.

С помощью пороговой обработки коэффициентов разложения можно эффективно удалять шум из ЭКГ, упрощая качественный анализ. Риск пороговой обработки неизвестен, но можно построить и вычислить его оценку. Используя масштабное свойство вей-влетов, возможно организовать автоматический поиск различных волн в ЭКГ (см., например, работы [33, 83, 86, 90]). По ЭКГ строится производный кардиосигнал - ритмограмма, основная задача обработки которой заключается в оценке спектральных характеристик. При этом в ритмограмме обычно присутствуют паразитные импульсы, и для правильной оценки спектра необходимо либо удалить эти импульсы, либо использовать методы, устойчивые к выбросам.

Вейвлеты находят применение и в задачах обращения ряда линейных однородных операторов, когда по косвенным наблюдениям требуется восстановить исходную функцию. Например, в задаче обращения оператора Радона (называемой также задачей томографии или задачей восстановления томографических изображений). Задача обращения этого оператора относится к т. н. некорректным задачам, и как следствие, для решения требует специальных подходов, получивших название методов регуляризации. Д. Донохо [59] предложил решать задачу томографии с использованием вейвлетов и специальных функций - вейглетов (vaguelettes). При этом регуляризация производится с помощью пороговой обработки коэффициентов разложения. Такой подход зарекомендовал себя как эффективный метод восстановления томографических изображений и впоследствии был развит в работах Э. Колашика, Н. Ли, Б. Люсьера, Ф. Абрамовича, Б. Сильвермана, Дж. Калифа, С. Малла, И. Джонстона и других [31, 78, 80, 81, 84, 85, 88, 89]. Здесь тоже возникает задача нахождения ошибки пороговой обработки с помощью оценки риска. Кроме того, стоит выяснить, как влияют на свойства оценки риска асимптотические свойства оценки дисперсии шума и некорректность задачи томографии.

Объектом исследований являются нелинейные вейвлет-оценки сигналов и изображений в моделях со случайными шумами.

Целью диссертационной работы является изучение асимптотических свойств оценки риска пороговой обработки вейвлет-коэффициентов при прямом и косвенном наблюдении объекта.

Задачи диссертационной работы.

1. Выяснить, обладает ли оценка риска свойством состоятельности и асимптотической нормальности.

2. Проанализировать, как влияют свойства оценки дисперсии шума на асимптотику оценки риска.

3. Исследовать асимптотики оценки риска пороговой обработки в задаче томографии.

4. Применить полученные результаты для решения прикладных задач в области обработки кардиосигналов.

Методы исследования. В работе использованы аналитические методы математического анализа, неравенства и предельные теоремы теории вероятностей, аппарат математической статистики. Кроме того, использована теория преобразования Радона и метод преобразования Фурье, адаптированный для неравномерной временной сетки.

Научная новизна и основные результаты. Все основные результаты диссертации являются новыми и заключаются в следующем.

1. Обоснованы свойства состоятельности и асимптотической нормальности оценки риска при пороговой обработке вейвлет-коэффициентов в случае прямого наблюдения одномерного объекта.

2. Изучено влияние на свойства оценки риска использование оценки дисперсии шума. Рассмотрен случай оценивания дисперсии шума как по независимой выборке, так и по коэффициентам исследуемого сигнала.

3. Получены асимптотические свойства оценки риска при оцениваемой дисперсии шума в задаче обращения оператора Радона.

4. В задаче обработки кардиосигналов вычислены значения оценок риска, проведено сравнение полученных результатов с теоретическими значениями. Предложен метод очистки кардиосигналов от нежелательных выбросов.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты диссертации носят как теоретический, так и практический характер. Они могут быть использованы при решении таких практических задач, как сжатие и очистка от шума и паразитных импульсов сигналов и изображений.

Личный вклад автора. Все основные результаты диссертации получены лично автором или при его непосредственном участии.

Структура и объем диссертации. В работе принята двойная нумерация формул, определений, теорем и рисунков. Первое число указывает на номер главы, а второе - на порядковый номер соответствующего объекта в главе.

Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на разделы, заключения и списка литературы, включающего в себя 115 наименований. Общий объем работы составляет 104 страницы.

3.6. Результаты работы метода отсева

Выясним, как робастная регрессия оценивает параметры модельной функции. В качестве таковой использовалась функция y(t) = 0.08 sin(0.23 • 27rt + 1.0) + 0.03 sin(0.1 • 2тгt + 2.0) + e(t) + 0.8, (3.13) где e(t) ~ Л/"(0,0.012), t = 1,2, .,300. Коэффициенты выбраны близкими к тем, что получаются при анализе реальных данных. К этой функции добавлено 15 паразитных импульсов. Функция и амплитуда частотных компонент, оцененная методом робастной регрессии, приведена на рисунке 3.8. Пики выборочного спектра имеют абсциссы 0.1 Гц и 0.23 Гц, погрешности оценок соответствующих амплитуд равны 1.6% и 0.3%.

Теперь рассмотрим результаты оценки спектральных характеристик реальных данных. На рисунке 3.9 приведена ритмограмма с рисунков 3.2 и 3.5, но предварительного ручного удаления эктопических импульсов, как на рисунке 3.5, не проводилось. Рассмотрим, как паразитные импульсы повлияли на оценку методом робастной регрессии. Погрешности оценки амплитуд низкочастотного и высокочастотного пиков составляют соответственно 4.0% и 11.6%. Абсциссы пиков отличаются соответственно на 0% и 1.3% (абсцисса низкочастотного пика равна 0.069 Гц; абсцисса высокочастотного пика равна 0.31 Гц в случае предварительной очистки ритмограммы и 0.306 Гц в случае использования применения робастной процедуры). В принципе, робастная оценка спектра позволяет достаточно точно

1.5 1

0.5

50 100 150 200 250 300

0.08

0.06

0.04

0.02 0 4

Рис. 3.8. Модельная функция (вверху) и график амплитуды частотных компонент (внизу). На верхнем графике по оси абсцисс отложено время в секундах, по оси ординат отложена длина ДД-интервала в секундах. На нижнем графике ось абсцисс - частота в герцах

1.2 1

0.8 0.6 0.4

50 100 150 200 250 300 хЮ"3

4 2 0

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4

Рис. 3.9. Исходная ритмограмма (вверху) и робастная оценка амплитуды частотных компонент (внизу). На верхнем графике по оси абсцисс отложено время в секундах, по оси ординат отложена длина ДД-интервала в секундах. На нижнем графике ось абсцисс - частота в герцах оценить отношение максимальных амплитуд в НЧ и ВЧ областях и без отсева эктопических импульсов. Но отсеяв эктопические импульсы, можно оценить это отношение ещё более точно, причем без использования робастных процедур.

Используя полученные значения частот и амплитуд, проводилась фильтрация ритмограммы путем построения доверительных интервалов для разностей. Доверительный уровень был выбран равным 95%, т.е. 7 = 0.05. Результаты представлены на рисунке 3.10. Отметим, что хотя границы доверительных интервалов объединены пунктирной линией, эта линия не является границей доверительной области с уровнем доверия не ниже 1 — 7 для кривой разностей ритмограммы. Как видим, все эктопические импульсы успешно

1.2 1

0.8 0.6 0.4

0.4 0.2 0 -0.2

Рис. 3.10. Исходная ритмограмма (вверху), разности длин ДД-интервалов и доверительные интервалы для этих разностей (внизу). По всем осям отложено время в секундах. Звездочками помечены импульсы, которые определены как эктопические. Границы доверительных интервалов изображены пунктирными линиями удалены. Кроме того, были удалены три точки (56.58 сек, 114.7 сек и 201.2 сек), которые давали разности, немного выходящие за границы доверительного интервала. Такого эффекта можно избежать, уменьшив 7, т. е. повысив доверительный уровень. Результаты третьей главы опубликованы в работах [16, 96].

Заключение

В диссертационной работе получены свойства состоятельности и асимптотической нормальности оценки риска пороговой обработки вейвлет-коэффициентов. На защиту выносятся следующие результаты.

1. Обоснование состоятельности оценки риска в случае использования оценки дисперсии шума при прямом наблюдении объекта.

2. Обоснование асимптотической нормальности оценки риска при оценивании дисперсии шума по независимой выборке и по коэффициентам исследуемого сигнала.

3. Обоснование асимптотических свойств оценки риска пороговой обработки при использовании оценки дисперсии шума в задаче томографии.

4. Применение полученных результатов для оценки рисков при решении задачи очистки ЭКГ от шума. Метод отсева выбросов из ритмограмм на основе робастных процедур и компенсированного преобразования Фурье.

Полученные результаты составляют основу для дальнейшей работы в данной области. Во-первых, для практического применения нормальной аппроксимации одного факта асимптотической нормальности оценки, вообще говоря, недостаточно. Необходимо выяснить скорость сходимости к предельному закону, т. е. выяснить порядок скорости и найти или оценить константы, входящие в остаточные члены.

Во-вторых, представляет интерес случай негауссовского шума. Нередко на практике ошибки имеют распределение с более тяжелыми, чем у нормального распределения, хвостами, например, распределение Лапласа. Практический интерес представляет и случай зависимых случайных ошибок.

В-третьих, асимптотические свойства оценки риска могут быть исследованы для задач обращения других линейных операторов, не обладающих непрерывными обратными.

Все обозначенные выше задачи являются практически важными и требуют дальнейшего изучения.

1. Астафьева Н. М. Вейвлет-анализ: основы теории и примеры применения // Успехи физических наук. — 1996. - Т. 166, № И. - С. 1145-1170.

2. Бакушинский А. Б., Гончарский А. В. Некорректные задачи. Численные методы и приложения. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1989.

3. Бокс Д., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. Выпуск 1. — М.: Мир, 1974.

4. Боровков А. А. Математическая статистика. — М.: Наука, 1984.

5. Добеши И. Десять лекций по вейв летам. — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001.

6. Ивченко Г. И., Медведев Ю. И. Математическая статистика.— М.: Высшая школа, 1984.

7. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра. — М.: Наука, 1984.

8. Кендалл М. Д., Стьюарт А. Теория распределений.— М.: Наука, 1966.

9. Королёв В. Ю. ЕМ-алгоритм, его модификации и их применение к задаче разделения смесей вероятностных распределений. Теоретический обзор, — М.: Изд-во ИПИРАН, 2007.

10. Короновский А. А., Храмов А. Е. Непрерывный вейвлетный анализ и его приложения. — М.: Физматлит, 2003.

11. Лидбеттер М., Линдгрен Г., Ротсен X. Экстремумы случайных последовательностей и процессов. — М.: Мир, 1989.

12. Луитт Р. М. Алгоритмы реконструкции с использованием интегральных преобразований // ТИИЭР. 1983. - Т. 71, № 3. - С. 125-147.

13. Малла С. Вейвлеты в обработке сигналов.— М.: Мир, 2005.

14. Маркин А. В. Предельное распределение оценки риска при пороговой обработке вейвлет-коэффициентов // Информатика и ее применения.— 2009.— Т. 3, № 4.— С. 57-63.

15. Маркин А. В. Состоятельность оценки риска при пороговой обработке вейвлет-коэффициентов // Обозрение прикладной и промышленной математики. — 2009. — Т. 16, № 6. С. 1094-1095.

16. Маркин А. В., Шестаков О. В. Отсев эктопических импульсов из ритмограммы с использованием робастных оценок // Информатика и ее применения. — 2008. — Т. 2, № 2. С. 47-54.

17. Маркин А. В., Шестаков О. В. Асимптотики оценки риска при пороговой обработке вейвлет-вейглет коэффициентов в задаче томографии // Информатика и ее применения. 2010. - Т. 4, № 2. — С. 2-11.

18. Маркин А. В., Шестаков О. В. О состоятельности оценки риска при пороговой обработке вейвлет-коэффициентов // Вестник Московского университета, серия 15, вычислительная математика и кибернетика. — 2010. — № 1. — С. 26-33.

19. Наттерер Ф. Математические аспекты компьютерной томографии.— М.: Мир, 1990.

20. Новиков И. Я., Стечкин С. Б. Основы теории всплесков // Успехи математических наук. 1998. - Т. 53, № 6. - С. 53-128.

21. Струтынский А. В. Электрокардиограмма: анализ и интерпретация. — М.: МЕДпресс-информ, 2007.

22. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач.— М.: Наука, 1979.

23. Троицкий И. Н. Статистическая теория томографии. — М.: Радио и связь, 1989.

24. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. — М.: Мир, 1967. — Т. 1.

25. Хермен Г. Восстановление изображений по проекциям: основы реконструктивной томографии. — М.: Наука, 1983.

26. Хьюбер П. Робастность в статистике. — М.: Мир, 1984.

27. Чуй Ч. Введение в вейвлеты. — М.: Мир, 2001.

28. Ширяев А. Н. Вероятность. — М.: МЦНМО, 2004.

29. Abramovich F., Benjamini У. Adaptive thresholding of wavelet coefficients // Computational statistics & data analysis. — 1996. — Vol. 22, no. 4. — Pp. 351-361.

30. Abramovich F., Sapatinas Т., Silverman B. W. Wavelet thresholding via a Bayesian approach // Journal of the Royal Statistical Society, series В. — 1998.— Vol. 60, no. 4.— Pp. 725-749.

31. Abramovich F., Silverman B. W. Wavelet decomposition approaches to statistical inverse problems // Biometrika.— 1998. — Vol. 85. — Pp. 115-129.

32. Albrecht P., Cohen R. J. Estimation of heart rate power spectrum bands from real world data: dealing with ectopic beats and noisy data // Computers in cardiology, proceedings. — 1988. Pp. 311-314.

33. Alexandridi A., Panagopoulos I., Manis G., Papakonstantinou G. R-peak detection with alternative Haar wavelet filter // Proceedings of the 3rd IEEE International Symposium on signal processing and information technology. — 2003. — Pp. 219-222.

34. Andrews D. F. A robust method for multiple linear regression // Technometrics. — 1974. — Vol. 16, no. 4.- Pp. 523-531.

35. Averkamp R., Houdre C. Wavelet thresholding for non-necessarily Gaussian noise: idealism // The Annals of Statistics. — 2003. — Vol. 31, no. 1. — Pp. 110-151.

36. Azuaje F., Clifford G. D., McSharry P. E. Advanced methods and tools for ECG data analysis. — Artech House Publishers, 2005.

37. Bahadur R. R. A note on quantiles in large samples // The Annals of Mathematical Statistics. — 1966. — Vol. 37, no. 3. — Pp. 577-580.

38. Benjamini Y., Hochberg Y. Controlling the false discovery rate: a practical and powerful approach to multiple testing // Journal of the Royal Statistical Society, series B. — 1995. — Vol. 57, no. 1. Pp. 289-300.

39. Berger J. O. Statistical decision theory and Bayesian analysis. — Springer-Verlag, 1985.

40. Bickel P. J. Some contributions to the theory of order statistics // Proceedings of the fifth Berkeley Symposium on mathematical statistics and probability. — 1967. — Vol. 1. — Pp. 575-591.

41. Birkett C. L., Kienzle M. G., Mayers G. A. Interpolation over ectopic beats increases low frequency power in heart rate variablity spectra // Computers in cardiology, proceedings. 1991. - Pp. 257-259.

42. Bultheel A. — Wavelets with applications in signal and image processing. — 2003.

43. Cai Т. Т., Brown L. D. Wavelet shrinkage for nonequispaced samples // Statistics & Probability Letters. — 1999. — Vol. 42, no. 3. — Pp. 313-321.

44. Chang S. G., Yu В., Vetterli M. Adaptive wavelet thresholding for image denoising and compression // IEEE transactions on image processing. — 2000. — Vol. 9, no. 9. — Pp. 1532-1546.

45. Chipman Ii. A., Kolaczyk E. D., McCulloch R. E. Adaptive Bayesian wavelet shrinkage // Journal of the American Statistical Association. — 1997. — Vol. 92, no. 440. — Pp. 1413-1421.

46. Clayton R. H., Lord S. W., McComb J. M., Murray A. Comparison of autoregressive and Fourier transform based techniques for estimating RR interval spectra // Computers in cardiology. 1997. — Pp. 379-382.

47. Clifford G. D. Signal processing methods for heart rate variability: PhD dissertation / University of Oxford. — Department of engineering science, 2002.

48. Clifford G. D., McSharry P. E. Method to filter ECGs and evaluate clinical parameter distortion using realistic ECG model parameter fitting // Computers in Cardiology.— 2005.- Pp. 715-718.

49. Clifford G. D., Tarassenko L. Quantifying errors in spectral estimates of HRV due to beat replacement and resampling // IEEE transactions on biomedical engineering. — 2005.— Vol. 52, no. 4. Pp. 630-638.

50. Clyde M., George E. I. Flexible empirical Bayes estimation for wavelets // Journal of the Royal Statistical Society, series B. — 2000. — Vol. 62, no. 4. — Pp. 681-698.

51. Clyde M., Parmigiani G., Vidakovic B. Multiple shrinkage and subset selection in wavelets // Biometrika. — 1998. — Vol. 85, no. 2, — Pp. 391-401.

52. Cohen A., Daubechies I., Vial P. Wavelets on the interval and fast wavelet transforms // Applied and computational harmonic analysis.— 1993. — Vol. 1, no. 1. — Pp. 54-81.

53. Coifman R. R., Donoho D. L. Translation-invariant de-noising // Lecture notes in statistics. — 1995. — Vol. 103. — Pp. 125-150.

54. DasGupta A. Asymptotic values and expansions for the correlation between different measures of spread // Journal of statistical planning and inference. — 2006. — Vol. 136, no. 7. — Pp. 2197-2212.

55. David H. A., Nagaraja H. N. Order statistics. — John Wiley & Sons, 2003.

56. Donoho D. L. Interpolating wavelet transforms. — 1992.

57. Donoho D. L. De-noising by soft-thresholding // IEEE transactions on information theory. — 1995. — Vol. 41, no. 3. Pp. 613-627.

58. Donoho D. L. Nonlinear solution of linear inverse problems by wavelet-vaguelette decomposition // Applied and computational harmonic analysis. — 1995. — Vol. 2. — Pp. 101-126.

59. Donoho D. L., Johnstone I. M. Ideal spatial adaptation via wavelet shrinkage // Biometrika. 1994. - Vol. 81, no. 3. - Pp. 425-455.

60. Donoho D. L., Johnstone I. M. Adapting to unknown smoothness via wavelet shrinkage // Journal of the American Statistical Association. — 1995. — Vol. 90. — Pp. 1200-1224.

61. Donoho D. L., Johnstone I. M. Neo-classical minimax problems, thresholding and adaptive function estimation // Bernoulli. — 1996. — Vol. 2, no. 1. — Pp. 39-62.

62. Donoho D. L., Johnstone I. M. Minimax estimation via wavelet shrinkage // The Annals of Statistics. 1998. — Vol. 26, no. 3. — Pp. 879-921.

63. Donoho D. L., Johnstone I. M. Asymptotic minimaxity of wavelet estimators with sampled data // Statistica Sinica. — 1999. — Vol. 9, no. 1. — Pp. 1-32.

64. Donoho D. L., Johnstone I. M., Kerkyacharian G., Picard D. Wavelet shrinkage: asymp-topia? // Journal of the Royal Statistical Society, series В. — 1995.— Vol. 57, no. 2.— Pp. 301-369.

65. Eldar Y. C. Generalized SURE for exponential families: applications to regularization // IEEE transactions on signal processing. — 2009. — Vol. 57, no. 2. — Pp. 471-481.

66. Ferraz-Mello S. Estimation of periods from unequally spaced observations // The Astronomical Journal. — 1981. — Vol. 86, no. 4. — Pp. 619-624.

67. Foster G. The cleanest Fourier spectrum // The Astronomical Journal.— 1995.— Vol. 109, no. 4. Pp. 1889-1902.

68. Foster G. Time series analysis by projection. I. Statistical properties of Fourier analysis // The Astronomical Journal. — 1996. — Vol. Ill, no. 1. — Pp. 541-554.

69. Foster G. Time series analysis by projection. II. Tensor methods for time series analysis // The Astronomical Journal. — 1996. — Vol. Ill, no. 1. — Pp. 555-566.

70. Gao H.-Y. Wavelet shrinkage denoising using the non-negative garrote // Journal of computational and graphical statistics. — 1998. — Vol. 7, no. 4. — Pp. 469-488.

71. Gao H.-Y., Bruce A. G. Waveshrink with firm shrinkage // Statistica Sinica. — 1997.— Vol. 7, no. 4. Pp. 855-874.

72. Grossmann A., Morlet J. Decomposition of Hardy functions into square integrable wavelets of constant shape // Society for Industrial and Applied Mathematics. — 1984. — Vol. 15, no. 4. Pp. 723-736.

73. Hall P., Welsh A. H. Limits theorems for median deviation // Annals of the Institute of Statistical Mathematics. — 1985. —Vol. 37, no. 1, — Pp. 27-36.

74. Hardle W., Kerkyacharian G., Picard D., Tsybakov A. Wavelets, approximation and statistical applications // Lecture notes in statistics. — 2000. — Vol. 129.

75. Horowitz L. L. The effects of spline interpolation on power spectral density // IEEE transactions on acoustics, speech and signal processing. — 1974. — Vol. 22, no. 1. — Pp. 22-27.

76. Hossjer 0., Rousseeuw P. J., Croux C. Asymptotic of the repeated median slope estimator // The Annals of Statistics. — 1994. Vol. 22, no. 3. — Pp. 1478-1501.

77. Johnstone I. M. Wavelet shrinkage for correlated data and inverse problems: adaptivity results // Statistica Sinica. — 1999. — Vol. 9, no. 1. — Pp. 51-83.

78. Johnstone I. M., Siverman B. W. Empirical Bayes selection of wavelet thresholds // The Annals of Statistics. — 2005. — Vol. 33, no. 4. — Pp. 1700-1752.

79. Kalifa J., Laine A., Esser P. D. Tomographic reconstruction with non-linear diagonal estimators // Proceedings of SPIE, the International Society for Optical Engineering. — 2000. — Vol. 4119. — Pp. 576-586.

80. Kalifa J., Mallat S. Thresholding estimators for linear inverse problems and deconvolu-tions // The Annals of Statistics. — 2003. — Vol. 31, no. 1. — Pp. 58-109.

81. Kiefer J. On Bahadur's representation of sample quantiles // The Annals of Mathematical Statistics. — 1967. — Vol. 38, no. 5. — Pp. 1323-1342.

82. Kohler B. U., Henning C., Orglmeister R. The principles of software QRS detection // IEEE engineering in medicine and biology magazine. — 2002. — Vol. 21, no. 1. — Pp. 42-57.

83. Kolaczyk E. D. Wavelet methods for the inversion of certain homogeneous linear operators in the presence of noisy data: PhD dissertation / Stanford University. — Department of statistics, 1994.

84. Kolaczyk E. D. A wavelet shrinkage approach to tomographic image reconstruction // Journal of the American Statistical Association.— 1996.— Vol. 91, no. 435.— Pp. 1079-1090.

85. Kozakevicius A. J., Rodrigues C. R., Nunes R. C., Filho R. G. Adaptive ECG filtering and QRS detection using orthogonal wavelet transform // BioMed 2005 — Biomedical Engineering / Ed. by K. P. Adlassnig, M. Bracale. — 2005. — P. 731.

86. Lavrik I., Jung Y. Y., Ruggeri F., Vidakovic B. Bayesian false discovery rate wavelet shrinkage: theory and applications // Communications in statistics: simulation and computation. — 2008. — Vol. 37, no. 6. — Pp. 1086-1100.

87. Lee N. Wavelet-vaguelette decompositions and homogenous equations: PhD dissertation / Purdue University. — 1997.

88. Lee N., Lucier B. J. Wavelet methods for inverting the Radon transform with noisy data // IEEE transactions on image processing. — 2000. — Vol. 10. — Pp. 79-94.

89. Li C., Zheng C., Tai C. Detection of ECG characteristic points using wavelet transforms // IEEE transactions on biomedical engineering. — 1995. — Vol. 42, no. 1. — Pp. 21-28.

90. Lomb N. R. Least-squares frequency analysis of unequally spaced data // Astrophysics and Space Science. 1976. — Vol. 39. — Pp. 447-462.

91. Luisier F., Blu Т., Unser M. A new SURE approach to Image denoising: interscale or-thonormal wavelet thresholding // IEEE transactions on image processing. — 2007. — Vol. 38, no. 5. Pp. 1323-1342.

92. Malik M. Heart rate variability // European Heart Journal. — 1996. — Vol. 17, no. 3. — Pp. 354-381.

93. Mallat S. Multiresolution approximations and wavelet orthonormal bases of L2(R) // Transactions of the American Mathematical Society.— 1989.— Vol. 315, no. 1,— Pp. 69-87.

94. Mallat S., Hwang W. L. Singularity detection and processing with wavelets // IEEE transactions on information theory. — 1992. — Vol. 38, no. 2. — Pp. 617-643.

95. Markin A. V., Shestakov О. V. Elimination of ectopic beats from heart tachogram using robust estimates // XXVIII International Seminar on Stability Problems for Stochastic Models. 2009. - P. 54.

96. Mateo J., Laguna P. Improved heart rate variability signal analysis from the beat occurrence iimes according to the IPFM model // IEEE transactions on biomedical engineering. 2000. - Vol. 47, no. 8. — Pp. 985-996.

97. Mateo J., Laguna P. Analysis of heart rate variability in the presence of ectopic beats using the heart timing signal / / IEEE transactions on biomedical engineering. — 2003. — Vol. 50, no. 3. Pp. 334-343.

98. Mazumder S., Serfling R. Bahadur representations for the median absolute deviation and its modifications // Statistics & Probability Letters. — 2009. — Vol. 79, no. 16. — Pp. 1774-1783.

99. McSharry P. E., Clifford G. D., Tarassenko L., Smith L. A. A dynamical model for generating synthetic electrocardiogram signals // IEEE transactions on biomedical engineering. — 2003. — Vol. 50, no. 3. — Pp. 289-294.

100. McSharry P. E., McGuinness M. J., Fowler A. C. Confronting a cardiovascular system model with heart rate and blood pressure data // Computers in Cardiology. — 2005. — Pp. 587-590.

101. Meyer Y. Wavelets and operators. — Cambridge University Press, 1992.

102. Nason G. P. Wavelet shrinkage using cross-validation // Journal of the Royal Statistical Society, series В. — 1996. — Vol. 58, no. 2. — Pp. 463-479.

103. Nason G. P. Choice of the threshold parameter in wavelet function estimation // Lecture notes in statistics. — 1998. — Vol. 103. — Pp. 261-280.

104. Rousseeuw P. J., Croux C. Alternatives to the median absolute deviation // Journal of the American Statistical Association. — 1993. — Vol. 88, no. 424. — Pp. 1273-1283.

105. Scargle J. D. Studies in astronomical time series analysis. II Statistical aspects of spectral analysis of unevenly spaced data // Astrophysical Journal. — 1982. — Vol. 263. — Pp. 835-853.

106. Serfling R., Mazumder S. Exponential probability inequality and convergence results for the median absolute deviation and its modifications // Statistics & Probability Letters. — 2009. —Vol. 79, no. 16.-Pp. 1767-1773.

107. Serfling R. J. Approximation theorems of mathematical statistics. — John Wiley & Sons, 1980.

108. Solem К., Laguna P., Sornmo L. An efficient method for handling ectopic beats using the heart timing signal // IEEE transactions on biomedical engineering. — 2006. — Vol. 53, no. l.-Pp. 13-20.

109. Spangl В., Dutter R. On robust estimation of power spectra // Austrian journal of statistics. 2005. - Vol. 34, no. 2. - Pp. 199-210.

110. Stein С. M. Estimation of the mean of a multivariate normal distribution // The Annals of Statistics. — 1981. — Vol. 9, no. 6. — Pp. 1135-1151.112. van der Vaart A. W. Asymptotic statistics. — Cambridge University Press, 2000.

111. Vidakovic B. Nonlinear wavelet shrinkage with Bayes rules and Bayes factors // Journal of the American Statistical Association. — 1998. — Vol. 93, no. 441. — Pp. 173-179.

112. Vidakovic B. Statistical modeling by wavelets.— John Wiley & Sons, 1999.

113. Wang Y. Function estimation via wavelet shrinkage for long-memory data // The Annals of Statistics. — 1996. — Vol. 24, no. 2. — Pp. 466-484.