Вероятностно-статистические методы анализа и обработки сигналов при обращении интегральных преобразований радоновского типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова Факультет вычислительной математики и кибернетики

С

На правах рукописи

ииои48172

Шестаков Олег Владимирович

ВЕРОЯТНОСТНО-СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА И ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ ПРИ ОБРАЩЕНИИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ РАДОНОВСКОГО ТИПА

01.01.05 - теория вероятностей и математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

1 и янв т

Москва - 2012 г.

I, ,

005048172

Работа выполнена на кафедре математической статистики факультета ВМК МГУ имени М.В. Ломоносова

Научный консультант: доктор физико-математических наук,

профессор Ушаков Владимир Георгиевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Ушаков Николай Георгиевич

доктор физико-математических наук, профессор Федоткин Михаил Андреевич

доктор физико-математических наук, профессор Кюркчан Александр Гаврилович

Ведущая организация: Российский университет дружбы народов

Защита диссертации состоится 15 февраля 2013 г. в 11.00 на заседании диссертационного совета Д 501.001.44 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, МГУ, 2-й учебный корпус, факультет ВМК, аудитория 685. ^

С диссертацией можно ознакомиться в Фундаментальной библиотеке МГУ имени М.В. Ломоносова.

Автореферат разослан «¿2» декабря 2012 г.

Председатель диссертационного совета, член-корреспондент РАН, профессор

Л.Н. Королев

Общая характеристика работы

Актуальность темы. За последние 40 лет томографические методы рекон-трукции характеристик поглощающих, излучающих и отражающих объектов и ред получили широкое распространение в самых разнообразных областях, вклю-[ая медицину, биологию, физику плазмы, газовую динамику, геофизику, астро-юмию и радиолокацию. Среди этих моделей наиболее распространенными явля-этся классическое преобразования Радона, используемое в трансмиссионной (в гастности, рентгеновской) томографии, экспоненциальное преобразование Радо-1а, используемое для описания эмиссионного томографического эксперимента в >днородной поглощающей среде, преобразование Радона с поглощением, являю-цееся обобщением экспоненциального преобразования Радона на случай неодно-юдной поглощающей среды, сферическое преобразование Радона, используемое ! теормоакустических и фотоакустических томографических экспериментах, интегральное сферическое среднее, используемое в радиолокации, и дифракционное феобразование, используемое в ультразвуковой и оптической томографии.

В реальных экспериментах данные всегда регистрируются с некоторой случай-юй погрешностью. Эти погрешности необходимо учитывать при построении и анализе статистической модели наблюдаемых данных. И поскольку задачи обращения интегральных преобразований радоновского типа при наличии случайного шума относятся к классу некорректно поставленных статистических задач, непосредственное применение формул обращения может привести к очень большим ошибкам. Для решения статистических задач такого рода применяются методы регуляризации часто в сочетании с сингулярным разложением. Сингулярное разложение представляет собой весьма популярный инструмент. Более того, оконное сингулярное разложение при надлежащем выборе окна позволяет строить асимптотически наилучшие в минимаксном смысле оценки. Однако сингулярное разложение обладает некоторыми недостатками, которые налагают ограничения на его использование при анализе и обработке пространственно неоднородных функций. В последние десятилетия значительно возросла популярность нелинейных

методов подавления шума с помощью аппарата вейвлет-анализа. Объясняется это тем, что вейвлет-анализ позволяет гораздо более эффективно исследовать нестационарные сигналы и изображения, чем традиционный Фурье-анализ. В частности, чтобы обойти ограничения, присущие сингулярному разложению, Д. Донохо предложил метод так называемого вейвлет-вейглет разложения, а Ф. Абрамович и Б. Сильверман - альтернативный метод вейглет-вейвлет разложения. Указанные методы вейвлет-анализа применяются для обращения линейных однородных операторов, к которым относится преобразование Абеля, лежащее в основе математической модели томографического анализа объектов, обладающих круговой симметрией. Кроме того, оказывается, что классическое преобразование Радона обладает многими свойствами линейных однородных операторов, позволяющими применять методы вейвлет-анализа для его обращения.

В сочетании с методами вейвлет-разложений для подавления шума широко применяются нелинейные процедуры пороговой обработки коэффициентов разложения. Их привлекательность заключается, во-первых, в быстроте алгоритмов построения оценок, а во-вторых, в возможности лучшей, чем линейные методы, адаптации к функциям, имеющим на разных участках различную степень регулярности. Пороговая обработка коэффициентов вейвлет-разложений применяется не только в томографических приложениях, но и во многих других прикладных и теоретических областях, например, при анализе и обработке радиосигналов, изображений и видеопотоков, анализе сейсмических данных, квантовой механике, компьютерной графике, при построении оценок в задачах непараметрической регрессии, построении оценок плотностей вероятностных распределений и т.д. Помимо подавления шума пороговая обработка также позволяет решать задачу «сжатия», т.е. экономного представления данных, что может играть критическую роль при передаче данных по каналам с ограниченной пропускной способностью. Основной проблемой в процедурах пороговой обработки является стратегия выбора порога. Проблема выбора порога и обоснования его оптимальности при решении конкретных практических задач рассматривалась в работах Д. Донохо, Й. Джонстона, Г.

[еркьячаряна, Д. Пикарда, М. Янсена, А. Балтхила, Г. Нэйсона, Н. Ли, А, Ан-ониадиса, Дж. Маррона, Р. Аверкампа, С. Айята, Т. Кая, Л. Брауна и других, [ри обосновании выбора порога главным критерием является величина риска ороговой обработки, т.е. погрешности, к которой приводит использование дан-ого метода. Сам риск вычислить нельзя, так как неизвестны незашумленные анные, однако можно изучить его асимптотические свойства. Кроме того, мож-о построить оценку риска непосредственно по наблюдаемым данным. Изучение войств оценки риска также представляет важную задачу, поскольку эта оценка ,ает возможность количественно оценить погрешность метода подавления шума, сновываясь только на наблюдаемых данных. Однако, если свойства теоретиче-кого риска достаточно хорошо изучены, свойствам его оценок до сих пор уделя-ось мало внимания (в частности, в работах Д. Донохо и Й. Джонстона доказаны ишь свойства несмещенности и состоятельности). Одной из задач диссертации вляется восполнение этого пробела и изучение свойств оценок риска пороговой бработки при различных стратегиях выбора порога.

Помимо наличия случайных погрешностей при обращении интегральных преобразований радоновского типа следует учитывать еще тот факт, что в реальных ■биографических экспериментах можно зарегистрировать лишь конечное число [роекционных данных. Это обстоятельство усиливает некорректность задачи обучения. Известны примеры неединственности решения задачи обращения клас-:ического преобразования Радона, приводящие к так называемому парадоксу вы-шслительной томографии: с одной стороны, теоретически задачу реконструкции [зображений по конечному числу проекций решить нельзя, с другой стороны, томографы реконструируют приемлемые для практических целей изображения. В работах Л.Б. Клебанова, С.Т. Рачева и Л.А. Халфина приводится решение этого парадокса, основанное на оценках близости в равномерной метрике между функционалами от изображений, имеющих конечное число совпадающих или близких проекций. В диссертации решается задача получения количественных оценок точности реконструкции функции по конечному числу проекционных данных радо-

новского типа.

Кроме случайности, обусловленной наличием шума, в томографических экспериментах может возникать случайность, связанная с особенностями самого объекта изучения. В таких ситуациях строится вероятностная модель объекта, и основной интерес представляют собой вероятностные характеристики случайной функции, описывающей объект. Проблема восстановления вероятностных характеристик случайной функции по вероятностным характеристикам ее интегральных преобразования радоновского типа возникает в ряде задач микробиологии, газовой динамики и физики плазмы. При этом основной особенностью является то обстоятельство, что разным проекциям (точнее, реализациям проекций) соответствуют разные реализации случайной функции, т.е. от каждой отдельной реализации случайной функции регистрируется, вообще говоря, только одна проекция. Функция может иметь несколько (даже бесконечное множество) состояний, которые меняются случайным образом во время процесса получения проекций. Это приводит к тому, что восстановление даже одного состояния случайной функции обычными методами обращения невозможно. Впервые такая постановка задачи встречается в работах В. Лью, Н. Боссета, М. Радемахера и Дж. Фрэнка. Для классического преобразования Радона первые содержательные результаты были получены В.Г. Ушаковым и Н.Г. Ушаковым. Также подобные задачи рассматривались в работах М.Г. Каримова, К. Чампли и X. Пиккарайнен с привлечением параметрических стохастических моделей.

В диссертации рассматривается вопрос о возможности восстановления вероятностных характеристик случайной функции при наличии информации о вероятностных характеристиках ее интегральных преобразований радоновского типа без использования какой-либо параметрической модели для описания изображений. Рассмотрены все основные типы интегральных преобразований, используемые в томографических и радиолокационных приложениях.

Объект исследования. Диссертация посвящена исследованию интегральных преобразований радоновского типа от случайных функций и количественным оцен-

ам точности методов их обращения.

Цель работы: Разработка методов вероятностного анализа характеристик слу-айных функций при наличии информации о вероятностных характеристиках нтегральных преобразований радоновского типа и изучение свойств статисти-еских оценок погрешностей методов подавления шума в проекционных данных.

Задачи диссертационной работы, решаемые для достижения поставленной ,ели:

1. Доказательство предельных теорем для оценок среднеквадратичного риска ороговой обработки вейвлет-коэффициентов функции, описывающей наблюда-мые данные (сигнал), при различных стратегиях выбора порога и получение ценок скорости сходимости в этих теоремах.

2. Доказательство предельных теорем для оценок среднеквадратичного риска юроговой обработки при обращении линейных однородных операторов и преоб-»азования Радона и получение оценок скорости сходимости в этих теоремах.

3. Получение количественных оценок точности реконструкции функции по коечному числу проекционных данных радоновского типа при наличии погрешно-:тей.

4. Разработка методов реконструкции вероятностных характеристик случай-1ых функций по вероятностным характеристикам интегральных преобразований радоновского типа.

Методы исследования. В работе используются современные методы теории вероятностей и математической статистики, теория случайных процессов, методы анализа Фурье и вейвлет-анализа, теория аналитических функций, теория интегральных преобразований, методы решения обратных задач, теория интегральной геометрии, методы математического и функционального анализа, а также теория интерполирования функций алгебраическими и тригонометрическими многочленами.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Доказана асимптотическая нормальность оценок среднеквадратичного риска пороговой обработки вейвлет-коэффициентов оценки функции в задаче непараметрической регрессии при различных стратегиях выбора порога.

2. Доказана асимптотическая нормальность оценок среднеквадратичного риска пороговой обработки коэффициентов разложения функции в задаче обращения линейных однородных операторов и преобразования Радона.

3. Получены оценки скорости сходимости в предельных теоремах для оценок среднеквадратичного риска.

4. Получены количественные оценки точности реконструкции функции по конечному числу проекционных данных радоновского типа при использовании линейного метода регуляризации с функцией окна.

5. Разработаны методы реконструкции вероятностных характеристик случайных функций по вероятностным характеристикам интегральных преобразований радоновского типа.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты диссертации носят теоретический характер, однако они могут быть использованы для решения различных практических задач анализа и обработки сигналов и изображений, в частности, вычислительной и стохастической томографии и их приложений.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на научно-исследовательских семинарах «Современные методы обработки сигналов и изображений» (факультет ВМК МГУ), «Теория риска и смежные вопросы» (факультет ВМК МГУ), «Математическое моделирование волновых процессов» (Рос-НОУ), большом семинаре кафедры теории вероятностей (механико-математический факультет МГУ), 5-м всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (2004 г.), международных семинарах по проблемам устойчивости стохастических моделей (2003, 2004, 2005, 2007, 2011, 2012 гг.), 2-м международном конгрессе «Ультрасовременные телекоммуникации и системы управления 1С1ШТ-2010» (2010 г.), 2-й школе молодых ученых ИПИ РАН (2011 г.) и научной конференции «Ломоносовские чтения» (ВМК МГУ, 2012 г.).

Работа поддержана грантами РФФИ (11-01-00515-а и 11-01-12026-офи-м), а так-<е министерством образования и науки РФ (гос. контракт № 14.740.11.0996).

Публикации по теме. Основные результаты диссертации получены лично втором и представлены в 34 печатных работах [1]-[34]: статьях, тезисах докла-,ов и трудах конференций, причем 23 из них - [1]-[7], [Э]—[12], [14]-[19], [21]-[26] опубликованы в журналах, входящих в список ВАК «Перечень ведущих рецен-ируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы |Сновные научные результаты диссертации на соискание ученой степени доктора [ кандидата наук».

Структура и объем работы. Диссертация состоит из оглавления, перечня 1Сновных обозначений, введения, четырех глав, разбитых на параграфы, и спис-:а литературы, включающего в себя 208 наименований. Используется тройная [умерация формул: через точку указывается номер главы, номер параграфа и юрядковый номер в этом параграфе. Также используется двойная нумерация шределений, теорем, лемм, утверждений, следствий и замечаний: через точку сказывается номер главы и порядковый номер в этой главе. Основной текст за-шмает 234 страницы.

Содержание работы

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, ставятся цели диссертационного исследования, а также кратко излагается содержание диссертации.

В первой главе изучены асимптотические свойства оценок среднеквадратичного риска при использовании методов пороговой обработки в задаче оценивания функции сигнала по зашумленным наблюдениям.

В первом и втором параграфах приводятся необходимые сведения из теории вейвлет-анализа, описывается метод пороговой обработки вейвлет-коэффициентов разложения функции сигнала и определяется оценка среднеквадратичного риска.

Объектом изучения является функция сигнала/, заданная на отрезке [0,1], которая предполагается равномерно регулярной по Липшицу с показателем 7^0.

Вейвлет-разложение представляет функцию / в виде ряда из сдвигов и растяжений допустимой вейвлет-функции ф:

f=

где ipjik(x) = - к). Семейство {4>j,k}jMz образует ортонормированный

базис в L2(K). В диссертации предполагается, что допустимая вейвлет-функция ■ф(х) непрерывно дифференцируема M раз (M ^ 7). имеет M нулевых моментов и существует такая константа С а > 0> чт0

оо —00

В этом случае найдется такая константа А > 0, что (/, ipj,k) ^

На практике функции сигнала всегда заданы в дискретных отсчетах, и наблюдения регистрируются с некоторой погрешностью (шумом). Не ограничивая общности будем считать, что функция / задана в точках i/N (г = 1,..., N, где N = 2J для некоторого J): fi = f(i/N). В диссертации принята аддитивная модель шума:

Yi = fi + ei, i = l,...,N,

где £i - независимые случайные величины, имеющие нормальное распределение с нулевым средним и дисперсией а2. Дискретное вейвлет-преобразование представляет собой умножение вектора наблюдений на ортогональную матрицу W, определяемую вейвлет-базисом {ф^}. В силу ортогональности матрицы W для дискретных вейвлет-коэффициентов принимается следующая модель:

Xi = oi + e]v, i = I,..., N,

где ef также независимы и нормально распределены с нулевым средним и дисперсией а2, а а{ равны соответствующим непрерывным вейвлет-коэффициентам, умноженным на

VN.

Для подавления шума к вейвлет-коэффициентам применяется пороговая обработка с пороговой функцией рт{х), смысл которой заключается в удалении

;остаточно маленьких коэффициентов, которые считаются шумом. Самыми рас-ространенными видами пороговых функций являются функция жесткой поро-овой обработки: prix) — xl{\x\ > Т), и мягкой пороговой обработки рт(х) = gn(x) (|х| - Т)+. В диссертации рассматривается в основном функция мягкой :ороговой обработки, поскольку в большинстве случаев именно она используется ;ля подавления шума.

Среднеквадратичная погрешность (или риск) пороговой обработки определятся следующим образом:

JV ¿=1

1оскольку в этом выражении присутствуют неизвестные величины щ, вычислить начение риска Rn(/,(J,T) нельзя. Однако его можно оценить непосредственно ю наблюдаемым данным:

¡=1

где F[x,cr,T] — (х — ст2)1(|:г| < Т2) + (а2 + Т2)1(|г| > Т2).

I. Донохо и И. Джонстон показали, что при мягкой пороговой обработке функция 4N(f,a,T) является несмещенной оценкой для RN(f,a,T).

Далее в первой главе доказываются предельные теоремы для оценки средне-¡вадратичного риска пороговой обработки при различных способах оценивания щсперсии шума и разных стратегиях выбора порога. Также получены оценки жорости сходимости в этих теоремах.

Одним из первых порогов был «универсальный» порог Tu = oV2 ln N, пред-гоженный Д. Донохо, И. Джонстоном и Г. Керкячаряном. Этот порог зависит от сигнала только через дисперсию шума и в некотором смысле является максимальным среди разумных в том смысле, что он эффективно удаляет почти весь шум, однако при этом может удалить и важные компоненты полезного сигнала. Описанию свойств «универсального» порога посвящен третий параграф первой главы.

il

Зачастую дисперсия er2 неизвестна, и ее также необходимо оценивать, при этом оценка риска принимает вид

»=i

а вместо универсального порога Tu используется порог Tu = 3V21n N.

Обычно дисперсия а2 (или среднеквадратичное отклонение а) оценивается по выборке сигнала по половине всех вейвлет-коэффициентов для j = J — 1 (напомним, что N = 2J), поскольку если функция / удовлетворяет требуемым условиям регулярности, то эти коэффициенты фактически содержат только шум. В качестве оценки а2 (или а) в диссертации рассматривается выборочная дисперсия:

* = £ X?-*8. гдех = 1 £ Хи (1.1)

i=N/ 2+1 i—N/2+l

а также соответствующим образом нормированный выборочный интерквартиль-

ный размах и выборочное абсолютное медианное отклонение от медианы дм- _ xn(2£/4 ~ 2,1/4 q 21) ¿53/4

med I Xi - med

л N/2+KKN N/2+l<j<N J ,

ом =-;-.

s3/4

где Хдг/2д/4 и Хдг/2,3/4 _ выборочные квантили порядка 1/4 и 3/4, построенные по выборке из половины всех вейвлет коэффициентов на уровне J - 1 (N = 2J), £з/4 - теоретическая квантиль порядка 3/4 стандартного нормального распределения (£3/4 и 0.6745), а med обозначает выборочную медиану. Выборочная дисперсия является самой популярной оценкой величины а2, и в случае отсутствия выбросов она наиболее предпочтительна. Однако в случае, когда оценка дисперсии строится по выборке сигнала, естественно ожидать, что выборка не будет однородной. Преимущество использования последних двух оценок заключается в их робастности, т.е. нечувствительности к выбросам. Нормированный выборочный интерквартильный размах, как частный случай g-квантилыюго размаха, является одной из самых популярных робастных оценок а. Интерквартильный размах

^пользуется во многих прикладных задачах медицины, социологии, экономики i других областей. Однако практически во всех работах, посвященных вейвлет-шализу сигналов и изображений, в качестве робастной оценки а предлагается кпользовать выборочное абсолютное медианное отклонение от медианы.

В четвертом параграфе получены оценки скорости сходимости в предельных георемах для величины RN(f,a,T), доказанных в работах A.B. Маркина.

Георема 1.3. 1 Пусть f задана на отрезке [0,1] и является равномерно регулярной по Липшицу с показателем 7 >1/4 и пусть оценка а2 задана соотношением (1.1), тогда существуют такие константы Со и С\, что

sup

zeR

1 • 1

№->-1/2'

а2уЛШ

Теорема 1.4. Пусть / задана на отрезке [0,1] и является равномерно регулярной по Липшицу с показателем 7 >1/2 и пусть оценка ст2 задана соотношением (1.2) или соотношением (1.3), тогда существуют такие константы Со и С\, что

sup

Х€К

р / \ _

\ a2V2N }

JV7-1/2

+

CipnlniV)3/4 дг1/4

sup zeR

< X - Фт(ж)

<

Со

N->~ l/2

+

Ci(lniV)3/4

iVl/4

если Э = <?д и

(RN(f,d,fu)- RN(f,a,Tu) ^ o*>/2N

если а = дм- Здесь Фу(х) - функция распределения нормального закона с нулевым средним и дисперсией Y2 = [2^3/4^(^3/4)]- 1.

В пятом параграфе исследуются асимптотические свойства оценки риска в методе SureShrink. Суть метода SureShrink заключается в минимизации оценки риска (1) на множестве Т 6 [0, Tu], т.е. порог выбирается следующим образом:

Rn(I, о", Tsure) = min RN(f, а, Т).

те[0,ги]

1 Нумерация теорем и лемм соответствует их нумерации в диссертации.

Этот порог имитирует теоретический «идеальный» порогТмт, минимизирующий риск:

Я»(/, <?, Тмгп) = ^ а, Т). В диссертации доказывается асимптотическая нормальность оценки риска при выборе порога ТзияЕ-

Теорема 1.6. Пусть / задана на отрезке [0,1] и является равномерно регулярной по Липшицу с показателем 7 > 1/2, тогда имеет место сходимость по распределению

р (Тшп) < Л => Ф(®) при АГ -»■ оо. ^ а2л/2Ш )

Теорема 1.8. Пусть / задана на отрезке [0,1] и является равномерно регулярной по Липшицу с показателем 7 >1/2, и пусть оценка и2 задана соотношением (1.1), (1.2) или (1.3). Тогда имеет место сходимость по распределению

Р

%(/, ТЗУНЕ) , <г, ТМщ) < Л ^ ф (х) ^

<т2у/2Ы )

где Фе(х) - функция распределения нормального закона с нулевым средним и дисперсией £2 равной единице, если а определяется соотношением (1.1), и равной [2£з/4<к£з/4)]~2 _ 1> если определяется соотношением (1.2) или (1.3).

Теоремы 1.6 и 1.8 позволяют строить асимптотические доверительные интервалы для риска пороговой обработки. Однако для того чтобы оценить отклонение вероятности попадания в доверительный интервал от доверительного уровня, необходимы оценки скорости сходимости к нормальному закону в этих теоремах. В диссертации эти оценки также получены.

Теорема 1.9. Пусть выполнены, условия теоремы 1.8, тогда существуют кие константы Со, С\, Сг и Съ> что

та-

эир

хек

( ДаК/.о^е/яе) - Дл'(/,СТ,ТМгп) х\ _ ф / л

I )

1__1_

N2 2-Т+1

при 1/2 < 7 ^ 3/2,

вир хеК

р ( ТвиНЕ) - Длг(/| ^ ^^ х

ФеСе)

если 7 > 3/2 и а определяется соотношением (1.1),

эир

хек

р [ КмЦ, о, ТвинЕ) - ЯШ,а,ТМ{а) ^ ^ сг2у/Ш )

Фе(сс)

С*х(1пАГ)

дг1/4

-1/2

С2(1п1пТУ)3/4

ЛР/4

если 7 > 3/2 и? определяется соотношением (1.2) и

вир

хеК

Р | Тзцяе) - RN(f,<7,Tмin) < х \ _ ф , ч

I <г2\/2ЛГ )

Сз^пДГ)3/4 ЛГ1/4 •

если 7 > 3/2 и а определяется соотношением (1.3).

Следствие 1.1. Пусть / задана па отрезке [0,1] и является равномерно регулярной по Липшицу с показателем 7 > 1/2, тогда существуют такие константы Со и ¿1, что

вир

хеЕ

I cг2^/2iV 1

СЬ(1пЛГ)

1+5

N2 г7+1

если 1/2 < 7 ^ 3/2, и

вир

хеК

Р . ДлК/| - Ду(/, У,Тмт) < х

дг1/4

-1/2

если 7 > 3/2.

Замечание 1.1. Оказывается, что в классе оценок а, построенных на основе ц-квантильных размахов, величина дя не является оптимальной в смысле предельной дисперсии. Дисперсия предельного нормального закона в теоремах 1.4 и 1.8 при использовании в качестве оценки а величины = (Хц/2Л — *лг/2,1-«/)/[2£?] равна Т2 = - 1)(2 - - 1. Минимум этого выра-

жения достигается при д « 0.931 (£ч « 1.4821,). При использовании в качестве оценки а величины оценки скорости сходимости с точностью до мультипликативных констант останутся такими же, как в теоремах 1.4 и 1.9.

Теорема 1.9 и следствие 1.1 дают возможность оценить отклонение от доверительного уровня вероятности попадания значения теоретического риска в доверительный интервал. Этой же цели служат теоремы 1.3 и 1.4 при использовании «универсального» порога.

В шестом параграфе рассматривается ситуация, когда дисперсия шума оценивается по независимой выборке.

Теорема 1.10. Пусть / задана на отрезке [0,1] и является кусочно регулярной по Липшицу с показетелем 7 > 0 и пусть а2 - не зависящая от Х{ оценка дисперсии а2, для которой выполнено

Р - а2) < х) Фе(х) при N оо,

где Фе(х) - функция распределения нормального закона с нулевым средним и

дисперсией Е2. Тогда

р <^Фт(х) *^

где где Фт(я) - функция распределения нормального закона с нулевым средним и дисперсией

Теорема 1.11. Пусть / задана на отрезке [0,1] и является кусочно регулярной по Липшицу с показетелем 7 > 0 и пусть д2 - не зависящая от оценка дисперсии а2, для которой выполнено

Р (уМ{Э2 - с2) Фе(х) при N ^ оо,

где Фе(:е) - функция распределения нормального закона с нулевым средним и дисперсией Е2. Тогда

Р /ЛлК/.^яд) < \ ф {х)

У <т2у/М )

где где Ф-г(х) - функция распределения нормального закона с нулевым средним и дисперсией

Т2 = 1 + —

Из приведенных теорем следует, что асимптотическое поведение оценки риска ;ависит от способа оценивания дисперсии шума. В седьмом и восьмом параграфах усматриваются свойства оценки риска в методе обобщенной кросс-валидации, >азработанного М. Янсеном, М. Малфэйтом и А. Балтхилом. Суть этого метода ¡аключается в выборе порога без использования значения дисперсии шума. Стройся следующая функция обобщенной кросс-валидации, которая зависит только >т наблюдаемых данных и порога Т:

n

= --2-. где № =

гТ г=1

Затем выбирается порог, минимизирующий Сдг(/, Т) на некотором множестве Т е [Т0,Ти]:

где Т0 - достаточно большое, но не зависящее от N число. Порог Тссу имитирует теоретический порог Т*:

Ед„(/,п = тгшптиъ

Известно, что

при ДГ^оо.

Это утверждение служит некоторым теоретическим обоснованием для выбора порога Тссу (особенно в случаях, когда дисперсия шума неизвестна), и экспериментальные данные показывают, что ТСсу представляет собой довольно хорошую аппроксимацию оптимального порога. В диссертации доказана асимптотическая нормальность функции дх(/,ТаСу), что является дополнительным теоретическим доводом для выбора такого порога. Также получены оценки скорости сходимости к нормальному закону.

Теорема 1.16. Пусть / е Ь2(К) задана на отрезке [0,1] и является равномерно регулярной по Липшицу с показателем-у > 1/2, тогда имеет место сходимость

по распределению

р (дЩ,Тссу) - Мо>-Е„и,<г,ТШп) < ^ ^ ф(х)

Следствие 1.2. При выполнении условий теоремы 1.16 справедливо р Яу(1,о,ТССУ)-Ы1,О,ТШп) \ ф ^ ^

\ о2^/Ш )

Теорема 1.17. Пусть выполнены условия теоремы 1.16, тогда существуют такие константы Со и С\, что

вир

те®

(Трсу) - Ио2 - а, Тмы) , _ ф, , V о*у/2N 1 ^ '

СоОпАГ)14^

^ .,1__1_

дгз 37п

если 1/2 < 7 ^ 3/2, и

эир

(Грсу) - ТУа2 - Яу(/, <Г, \ _ , ,

\ о2\РШ ) К '

^ л/-1/4 '

если 7 > 3/2.

В следствии 1.2 справедливы такие же оценки скорости сходимости к нормальному закону с точностью до мультипликативных констант.

Во второй главе рассматривается задача обращения линейных однородных операторов в условиях наличия шума. В частности, рассматриваются интегральные операторы, используемые в математических моделях томографических экспериментов. Изучаются асимптотические свойства оценок среднеквадратичного риска при использовании методов пороговой обработки.

В первом параграфе описываются основные подходы к решению обратных статистических задач и обосновывается выбор метода вейглет-вейвлет разложения. Рассматривается следующую модель:

Xi = (Kf)i + £i, г = 1,... ,2^,

где Х{ - наблюдаемые данные, К - некоторый линейный оператор, / - истинная (незашумленная) функция, которую необходимо оценить, а г, - случайные

югрешности измерения. Предполагается, что все е* независимы и имеют одина-совое нормальное распределение с нулевым средним и дисперсией а2.

Также предполагается, что оператор К является однородным с показателем а, ?.е.

К[/(а(х - ®о))] = а~а(К/)[а(х - х0)] ;ля любого хо и любого а > 0. Примерами однородных линейных операторов яв-1яются оператор интегрирования, преобразование Абеля, лежащее в основе математической модели томографического анализа объектов, обладающих круговой симметрией, и некоторые виды операторов свертки.

При построении оценки функции / используется нелинейный метод вейглет-вейвлет разложения, разработанный Ф. Абрамовичем и Б. Сильверманом. В этом методе К/ раскладывается в ряд по вейвлет-базису:

При этом .функция / представляется в виде ряда

где иАк = а = ЦК-^лН^ = 2^'/30,о- Функции и,,* называются

«вейглетами». Последовательность {и^} не образует ортонормированную систему, однако если выполнены некоторые условия гладкости на К* ф и то последовательность {и^} образует устойчивый базис.

Лемма 2.1. Пусть существуют такие константы А{ > 0, а* > 0 и Ь{ > 1, г = 1,2, что

< ¿1 (1 + М2Г№+°1)/2 и \к^(ы)\ < |ыр (1 + м2)-№)/2

для всех ш € К, тогда последовательность {и^к} образует устойчивый базис в Ь2(К).

Во втором параграфе рассматриваются особенности оценивания среднеквадратичного риска при обращении линейных однородных операторов. При практиче-

ской реализации вейвлет-преобразования дискретные вейвлет-коэффициенты получаются умножением вектора значений функции К/ на ортогональную матрицу ИЛ определяемую вейвлет-базисом {ф^к}- Таким образом, в силу ортогональности матрицы преобразования, дискретные вейвлет-коэффициенты наблюдаемых данных, которые мы обозначим через описываются следующей моделью:

где = а случайные погрешности е]^. независимы и имеют оди-

наковое нормальное распределение с нулевым средним и дисперсией а2.

Как и в первой главе для подавления шума рассматривается процедура мягкой пороговой обработки. К каждому зашумленному вейвлет-коэффициенту У^ применяется функция рт^х). Риск пороговой обработки в методе вейглет-вейвлет разложения определяется как

г л/, = - рт^))2-

¿=0 к—О

где Т = (То,... - вектор порогов. В отличие от первой главы, в которой

порог выбирался единым для всех масштабов з — 0,..., 3 — 1, здесь для каждого масштаба з выбирается, вообще говоря, свой порог. Это связано с тем обстоятельством, что вклады в риск слагаемых не равноправны на разных масштабах из-за наличия множителей которые возникают в результате обращения оператора К.

В качестве оценки риска используется следующая величина:

.7-1

оСДсг, =

¿=0 к~0

где Р[х,а,ТА = (х - <т2)1(|х| ^ Г?) + (а2 + Т?)1(\х\ > Т/).

?]{}, а, Т) является несмещенной оценкой для гД/, а, Т).

В третьем, четвертом и пятом параграфах доказывается асимптотическая нормальность оценки риска при различных способах оценивания дисперсии шума и

разных стратегиях выбора порога. Также получены оценки скорости сходимости к нормальному закону.

Третий параграф посвящен аналогу «универального» порога. Введем вектор «универсальных» порогов Ту = .. ■ где Тщ = сгV21п 2^. Введем

)бозначения: 4

В2 = 2а Ам> и в =

2<4а+1 _ ^

Теорема 2.1. Пусть преобразование К однородно с показателема > 0, вейвлет-функция ф удовлетворяет условиям леммы 2.1, а функция К/ € Ь2(К) задана на отрезке [0,1] и равномерно регулярна по Липшицу с показателем7 > 0, тогда р (гЛ1,<т,Ту) -гД/,<т,Ту) < Ф(х) пры

Если дисперсия шума неизвестна, и ее также необходимо оценивать, то вместо порогов Тц^ используются пороги Тц,] = а\/21п 23 (обозначим вектор этих порогов через Ту).

Теорема 2.2. Пусть преобразование К однородно с показателема > 0, вейв лет-функция ф удовлетворяет условиям леммы 2.1, а функция К/ задана на отрезке [0,1] и равномерно регулярна по Липшицу с показателем 7 > 0. Пусть а2 - не зависящая от оценка дисперсии а2, для которой выполнено

Р (2'/2(52 - а2) < х) где Фг(я) - функция распределения нормального закона с нулевым средним и дисперсией Е2. Тогда

Р ^Д/^Т^-гД/^Ту) < ^ ^ Фт(а;) при

где Фт(г) - функция распределения нормального закона с нулевым средним и дисперсией

24а+1 -1 Е2

Т2 = 1 ч___

2(22а+1 - I)2 а*

Если дисперсия оценивается по выборке сигнала и функция К/ удовлетворяет требуемым условиям регулярности, то ее оценивают по половине всех вейвлет-коэффициентов на уровне ] = 3 - 1, так как эти коэффициенты фактически

содержат только шум. Во второй главе рассматриваются те же виды оценки а2, которые были рассмотрены в первой главе: выборочная дисперсия и нормированные выборочный интерквартильный размах и выборочное абсолютное медианное отклонение от медианы:

^¿Е - 2^1 Е ^ - (2-1)

к=о \ к=о )

= ^-1,(3/4) - ^-1,(1/4) ^ £2.2)

2£з/4

те<1 | У/-1 к - тес! У>_1,г ом =-

(2-3)

43/4

где 1,(1/4) и У}_1>(з/4) - выборочные квантили порядка 1/4 и 3/4, построенные по набору вейвлет-коэффициентов на уровне] = J — I.

Теорема 2.3. Пусть преобразование К однородно с показателем а > 0, вейвлет-функция ф удовлетворяет условиям леммы 2.1, а функция К/ задана на отрезке [0,1] и равномерно регулярна по Липшицу с показателем7 > 1/4. Пусть оценка

дисперсии а2 определяется по выборке сигнала выражением (2.1). Тогда р|при

где Фт(£) _ функция распределения нормального закона с нулевым средним и дисперсией

1 24ог+1 - 1 пр___1__

24а+1 24а+1 (22а+1 — I)2' Теорема 2.4. Пусть преобразование К однородно с показателем а > 0, вейвлет-функция ф удовлетворяет условиям леммы 2.1, а функция К/ задана на отрезке [0,1] и равномерно регулярна по Липшицу с показателем 7 > 1/2. Пусть оценка дисперсии и2 определяется по выборке сигнала выражением (2.2). Тогда

По

< х Фт(аО при ■/ -»• оо,

где Фт(а;) - функция распределения нормального закона с нулевым средним и дисперсией

24а+1 _ 1 24а+1 — 1

т = 1 + 4(22а+1 - \)Ч1,Шт))2 ~ 22а~1(22а+1 — 1)' Теорема 2.5. Пусть выполнены условия теоремы 2.4 и оценка дисперсии а2 определяется по выборке сигнала выражением (2.3). Тогда

р < ^ ^ фт(х) ^ J ^ 00)

где Фт(х) ~ функция распределения нормального закона с нулевым средним и дисперсией

24а+1 _ ^ 24а+1 _ 1

Т = 1 + 4(22а+1 _ 1)2^2/4(^(ез/4))2 - 22а-1(22а+1 _ '

Сформулируем теперь утверждение о скорости сходимости к нормальному закону.

Теорема 2.6. Пусть выполнены условия теоремы 2.3, тогда существуют такие константы Со, С\ и Сг, что

вир

хем

р (ЩЗМ-гЛ^ТиЛ _фгЛх)

С0(\п2^+^ Сг С2

где ФГ1(х) - функция распределения нормального закона с нулевым средним и дисперсией

1 24а+1 - 1 чГ — _ _[_ _____

1 ~ 24а+1 24а+Х (22а+1 — I)2 Пусть выполнены условия теоремы 2.4, тогда существуют такие константы С3 и Сц, что

вир

хе®

Сг С4(Ы П2-7)3/4

^ ^ П.. 1 /1\ + '

2^(7-1/2) 1 2-v4

где ФТ2 (г) - функция распределения нормального закона с нулевым средним и дисперсией

24а+1 _ ^ 24а+1 _ ^

Т2 = 1 +

4(22а+1 _ Щ2 22-!(22а+1 - 1) '

53/4

Пусть выполнены условия теоремы 2.5, тогда существуют такие константы Сь и Св, что

sup

хек

Съ + CG(ln2J)3/4

2Л7-1/2) ^ 2J/4

В четвертом параграфе результаты первой главы, касающиеся свойств оценки риска пороговой обработки в методе SureShrink, переносятся на случай обращения линейного однородного оператора с помощью вейглет-вейвлет разложения. Вектор порогов Tsure = №f, .. . ,Т/_Х) выбирается следующим образом:

где Та = <ту/2(2а + 1) ln2J. Этот вектор имитирует теоретический «идеальный» порог ТШп = (TMin, ■•■, TMm), одинаковый для всех масштабов j:

j-1

rj(f, а, ТШп) = min J2 £ ßlk^M " Рт(ВД2-1 j=0 fc=0

Теорема 2.8. Пусть преобразование К однородно с показателем а > 0, и оценка а2 задана соотношением (2.1), (2.2) или (2.3). Пусть вейвлет-функция ф удовлетворяет условиям леммы 2.1, а функция Kf задана на отрезке [0,1] и равномерно регулярна по Липшицу с показателем 7 > тах{(8а + 2)_1,1/4}, если а определяется соотношением (2.1), и^> 1/2, если д определяется соотношением (2.2) или (2.3). Тогда

р (rj(f,Z,TSURE)-rj(f,<7,TMin) Ых) при

где Фе(:с) - функция распределения нормального закона с нулевым средним и дисперсией

£2 = —l— +

1 24q+1 - 1

24a+l ^ 24q+1 (22a+1 — l)2'

если а определяется соотношением (2.1), и

24a+i_ ^ 24a+1 — 1

Е2 = 1 +

' 4(22a+1 - 1)2£2/4№/4))2 2^-1(2^+1 - 1)' если а определяется соотношением (2.2) или (2.3).

Теорема 2.9. Пусть выполнены условия теоремы 2.8, тогда существуют такие константы Со, С\, (?2 и Сз> что

С0(1п2'/)1+^м

sup

жен

р ( Т-этдд) - гj{f,cr, Tum) < ^

) - Фе(1)

если тах{(8а + 2) 1/4} < 7 ^ 3/(16а + 2) и а определяется соотношением (2.1), и 1/2 < 7 ^ 3/(16а + 2) и а определяется соотношением (2.2) или (2.3),

sup

геК

Р | rj(f, Э, Tsure) - rj(f, а, Тмгп) < х

s£

Сх(1 П2-7)-1/2

2j/4

если 7 > 3/(16а + 2) и ст определяется соотношением (2.1),

sup

xeR

rjjf, <?, Tgc/дд) - rj(f,<T,TMin) Dj

< x ) - Фе(я)

£

C2(lnln2J)3/4

2^/4

если 7 > 3/(16cc + 2) и Э определяется соотношением (2.2), и

sup zeR

'rj(f, а, Tsure) - rj{f, a, TMin) Dj

<

- ФЕ(х)

C3(ln2J)3/4

2j/4

если 7 > 3/(16а + 2) и а определяется соотношением (2.3).

Замечание 2.1. Дисперсия предельного нормального закона в теоремах 2.4 и 2.8 при использовании в качестве оценки а величины ач равна

Т2 = 1 +

(24a+i -\){2q~l)(2-2q) 24q+1 — 1

(22а+1 _ 22а~х{22а+1 - 1) •

Минимум этого выражения достигается прид и 0.931 и 1.4821, см. замечание 1.1). При использовании в качестве оценки а величины Эч оценки скорости сходимости с точностью до мультипликативных констант останутся такими же, как в теоремах 2.6 и 2.9.

Приведенные теоремы позволяют строить асимптотические доверительные интервалы для риска пороговой обработки и оценивать отклонение вероятности попадания в доверительный интервал от доверительного уровня.

В пятом параграфе рассматривается порог, выбираемый на основе процедуры обобщенной кросс-валидации. На каждом масштабе] строится функция обобщенной кросс-валидации, которая зависит только от наблюдаемых данных и порога

Т}-

£ {У^-РТ^к)) . 2-1

§.(т.) = ^о---> где = <ъ).

^ к=0 Выбор вектора порогов ТаСу = ■ ■ -,^-1), основанных на процедуре обобщенной кросс-валидации, заключается в минимизации функции Gj(Tj) на некотором множестве 2} € [?о, Та}:

где Т0 - достаточно большое, но не зависящее от j число.

Теорема 2.10. Пусть преобразование К однородно с показателем а > 0, вейв-лет-функция ф удовлетворяет условиям леммы 2.1, а функция К/ задана на отрезке [0,1] и равномерно регулярна по Липшицу с показателем7 > (8а + 2)-1. Тогда

р а, Тссу)~ гЛ/, тмт) < ^ ^ при J_+00.

Теорема 2.11. Пусть выполнены условия теоремы 2.10, тогда существуют такие константы Со и С\, что

-д; <х) ф[х) ^ '

если тах{(8а + 2)"\ 1/4} < 7 < 3/(16а + 2), и

а, Тасу) ~ гЛ/, ^ ^мы) < ^ _

если 7 > 3/(16а + 2).

В шестом параграфе рассматривается задача обращения преобразования Радона в модели с аддитивным шумом. Предлагается метод разложения функции, описывающей проекционные данные, в ортогональный ряд по Фурье-вейвлет базису и доказывается устойчивость базиса, по которому раскладывается функция изображения. Приводятся условия, при которых имеет место асимптотическая нормальность оценки среднеквадратичного риска в предложенном методе.

вир

Х5К

Р

СхОпг')-1/2

Преобразование Радона определяется следующим образом:

00

Д/(</?, в) = У /(а:,у)<И= У /(зсозу? — Ьвтуз, ввту> + Ьсов 1р)сИ, К,'

в 6 К, <р € [0,2тг).

При обращении преобразования Радона в диссертации рассматривается подход, заключающийся в разложении функции Д/(<^, я) в ряд Фурье по переменной (р и в вейвлет-ряд по переменной в:

2л

оо *

«) = ЕЕ ^ФМЯпМ, где Д/П(з) = / в)2,„(¥>)<^,

п=0 О

а ~ вещественный базис Фурье. После применения обратного оператора

Д-1, получаем представление для функции /, которое является аналогом вейглет-вейвлет разложения:

оо

/(я, 2/) = Е

п=о ¿кег

где

Д ||Е>-1Г7,/, III

ипЛ,к(х>У) = -д -' = \\Я [2пЩк\\\&-

Лемма 2.3. Пусть существуют такие константы А > 0, а > 1/2 и Ъ > 3/2, что

< лмв(1 + ма)-<ь+в>/2

для всех ш £ К, тогда последовательность образует устойчивый базис

в Ь2(К).

Для преобразования Радона справедливы аналоги всех утверждений, приведенных для однородных операторов, с а = 1/2 и заменой 3 на 23.

В третьей главе рассматриваются интегральные методы обращения преобразований радоновского типа в условиях неполноты данных и линейные методы регуляризации с помощью гауссовой функции окна. Исследуются преобразование

Радона в веерной схеме сканирования, экспоненциальное преобразование Радона, преобразование Радона с поглощением, сферическое преобразование Радона, интегральное сферическое среднее и дифракционное преобразование. Получены количественные оценки точности реконструкции функции изображения при наличии конечного числа ее проекций радоновского типа. Всюду в третьей главе предполагается, что носителем функции f(x,y), описывающей томографическое изображение, является круг

г7 = {(х,2/)еМ2:х2 + у2<1}.

Кроме того, предполагается, что функция, описывающая объект, неотрицательна и нормирована, т.е.

J J f{x,y)dxdy = 1.

и

Класс всех таких функций обозначен через Fи- Через f„{x, у) обозначается функция изображения, восстановленная по проекционным данным и использованием гауссовой функции окна.

В первом параграфе описываются основные особенности задачи обращения преобразования Радона при наличии конечного числа проекционных данных. Приведены оценки точности реконструкции по конечному числу проекций, полученные Л. Клебановым и Л. Халфиным, a такж; оценки точности в случае наличия погрешностей в проекционных данных.

Во втором, третьем, четвертом, пятом, шестом и седьмом параграфах получены оценки точности реконструкции по конечному числу проекций в моделях с использованием других интегральных преобразований радоновского типа.

В веерной схеме сканирования источник излучения движется по окружности с центром в начале координат и радиусом Т, а носитель объекта, описываемого функцией f(x,y), содержится внутри этой окружности. Пусть /3 6 [0,2ir) - угловая координата источника пучка лучей, a a <Е [-§, §] описывает положение луча внутри пучка. В такой схеме сканирования проекционные данные описываются

ледующим выражением: 00

3/(/3,а) = J f{T sin a cos(/3+a)—ysm(/3+a),Tsina sin(/3+a)+y cos(/3+a))dy.

—oo

Теорема 3.4. Пусть f(x, y),g(x, y) € Fу непрерывно дифференцируемы всюду за включением конечного числа кусочно-гладких кривых, вдоль которых они могут шеть разрывы первого рода. Пусть

sup \\Vf(x,y)\\p ^С, и sup ||Vg(z,2/)||p < С.

(x,y)eU\L (x,y)€U\L

Пели

Df(/3k,a) = Dg(pk,a), a £ [-am,am}, k = l,...N, de Pk = 2ixk/N, тогда

Al/a(x'у) + +1 + T2+T •

Георема 3.5. Пусть f{x, y),g(x, у) e Fи непрерывно дифференцируемы всюду за включением конечного числа кусочно-гладких кривых, вдоль которых они могут шеть разрывы первого рода. Пусть

sup \\Vf{.x,y)\\p^C, и sup \\Vg(x,y)\\P^C.

(x,y)sU\L {x,y)e.U\L

Пели для некоторого фиксированного £ > О

iDf(pk,a) - Dg{pk,a)\ ae[-on,4 fc = 1,... JV, где pk = 2nk/N, тогда

>,, ^ , Те V2i 2C T2 + Тч/Г+Т2 sup |/„(r, 9) - ga(r, 9)| ^ a2^T2 + l + ^v + ¿¡fi-П^-•

Экспоненциальным преобразованием Радона, которое возникает в задачах од-нофотонной эмиссионной томографии в ситуации, когда поглощающая излучение среда однородна (с коэффициента поглощения ц > 0), называется преобразование вида

оо.

Дд/(у,в)= J e"7(s cos у - i sin у, s sin v + i cos <p)dt, s e R, <p € [0,2тг).

Теорема 3.6. Пусть f{x,y),g{x,y) G Fy. Если

R»f(<Pj, s) = RtfiVj, в), s € R, j = 1, • • •, N, где <pj = 2nj/N, тогда

e2ft ( V2tt e~^

sup +

(x,!/)6K2 \za a )

Теорема 3.7. Пусть f(x,y),g(x,y) G Fy. Пусть для некоторого фиксированного £ > О

|R^ffa, S) - Rtffrj, S e R, j = 1, • ■ • iV,

где = 2nj/N, тогда

e>> e2» (УДтг

(-pr2У)"^^+ 7F ^ + J ■

Определим преобразование Радона с поглощением. Пусть а(х, у) - известная

функция, которая имеет смысл коэффициента поглощения в данной точке (х,у).

Будем предполагать, что а(х, у) неотрицательна и ее носителем является круг U

единичного радиуса с центром в начале координат. Также будем предполагать, что

а(х, у) непрерывно дифференцируема, sup а{х,у) < ¡л для некоторой константы

(i ,y)su

ц, a sup || Vo(x, у)\\р = Ga. Класс всех функций а(х, у), удовлетворяющих этим Gr,i,)eR»

условиям, будем обозначать через А у. Положим

оо

Da(ip,x,y) = J а(х +1cosу + i sintp)dt, уе[0,27г). о

Для (р € [0, 27г) и s G R преобразование Радона с поглощением определяется выражением

оо

Raf(<p,s) = J e-Da(f+nf2'scos^~tsinv>ssinif'+tcos'f'^ f{s cos i sin ip, s sin уз+i cos ip)dt.

—оо

Теорема 3.8. Пусть а(х,у) G А у, f(x,y),g{x,y) G Fy. Если Rafiw, s) = Ragifs, «)> S G M, j = 1, ■ • •, iV,

где ipj — 2irj/N, тогда

sup \fa(x, у) - 9r(x,y)I < ^ (4Ga + ^ + +

Теорема 3.9. Пусть a(x,y) 6 Ац, f(x,y),g(x,y) e Fy. Если для некоторого фиксированного е > О

\Raf(<Pj, в) - Ragfaj, я)| < Е, Я € R, j = 1,..., TV, где ipj = 2irj/N, тогда

sup |Мх, у) - да(х, г/Ж 7—j 4Ga + + +

+

2ee3/i

ОУДП

Сферическое преобразование Радона на плоскости, используемое в математических моделях термоакустичекой и фотоакустической томографии определяется следующим образом:

2тг

Sf(ip,r) = — I /(cos ¡^ + г cos в, sin ¡¿> + г sin 6)dff, <р G [0,2тг), г S (0, оо).

27г j

о

Теорема 3.10. Пусть f(x,y),g(x,y) £ Fu бесконечно дифференцируемы,

sup ||V/(x,i/)||p < С и sup \\Vg(x,y)\\p < С. (х,у) 6r2 (i,y)sr2

Пусть <pj — 2-xj/N и

Sf(Vj,r) = Sg(<pj,r), г 6 К, j = 1,... ,N,

тогда

( sup^\fa(x, у) - ga{x, у)| ^ ^4\/3 + у^ .

Теорема 3.11. Пусть f(x,y),g{x,y) € Fи бесконечно дифференцируемы, sup HV/MH^Cu sup HVflii.j/Jllp^a

(x,y)6R2 (x,y)€R2

Пусть tpj = 2nj/N и

sup\Sf(ipJt r) - r)| < e, j = l,...,N,

, ( г Ц/й 4C\ ¿upy |/„(х, у) - + +

Интегральное сферическое среднее используется при формировании изображений из сигналов, получаемых радиолокационными станциями с синтезированной апертурой. Пусть функция f(x, у) G Fv четна по второй переменной. Определим интегральное сферическое среднее функции f(x,y), как интеграл по окружности радиуса г с центром в точке (t, 0):

2ж

Mf(t,r) = j fit + г cos в, г sin 9)rd9.

о

Теорема 3.12. Пусть натуральные числа Nun выбираются так, что при п-> оо выполнено N/n оо и N/n2 0. Обозначим

ti = -, i = -N,...,N.

п

Если f{x,y),g{x,y) 6 Fy - четные по второй переменной и Мf [U, г) ==Mg{U,r)

для всех tu i = -N, ...,N, тогда

, N1 2\/2 (N 1\ 2 2N

sup !/„(«, „) - y)| < -^-j ^ + - j + arcctg —.

Теорема 3.13. Я?/стг> г = -AT,..., JV, me же, что в предыдущей теореме, f{x,y),g(x,y) SFи - четные по второй переменной, и

sup\Mf(tur)-Mg{ti,r)\^£ rsR

для всех tj, г = -N,..., N, тогда

е 2%/2 /ЛГ 1\ , 2 '

sup |Л(х, у) - + + ^'

(г,!

2JV гг

В дифракционной томографии аппроксимация Рытова приводит к следующему интегральному преобразованию, названному дифракционным преобразованием:

ОО J ОО 00

Of^s)=l2íe-ikr J J J х

-ОО —00 —ОО

х/(г' cos ip — s sin 95, г' sin ip + s' cos Lp)dr'ds'dbJ.

Здесь к - частота волны, облучающей объект, г - радиус окружности, на которой расположены приемники, а(и) = у/к2 — ш2. Пусть hj(u) = f(uicos(pj,LJsmipj), и) е R, j — 1 ,...,N. Разложим hj(cj) в ряд Тейлора в точках к и —к до члена порядка т—1:

hi{w) = P£M+ 3 ^-Н > к,

где f+ € (к,ш), Г е (и,-к) и

1=0

Определим функции Vj,m(w) = V'j.mM = ftj(w)l(|w| < fc) + P¿m(w)l(w > к) + prm(w)l(u < -к). Пусть ii>N<m[tp,uj) = для всех ы е R и всех <р 6

[ifij - ir/N,tpj + tt/N], j = 1, ...,N. Запишем il>ifim{<p,w) в декартовых координатах: 4>N,m(u 1,W2). Функция 1,^2) приближает /(ыь^г) в круге радиуса к. На этапе обращения преобразования Фурье воспользуемся гауссовым регуля-ризурующим окном Wa(u>i,LJ2) = e_cr2(wi Обозначим через fa(x,y) обратное преобразование Фурье от произведения /(ыь Ш2)Ж,(и>1,ш2). В качестве аппроксимации для fa(x,y) будем использовать модуль обратного преобразования Фурье от произведения

(wi,w2)W(T(wi,w2), который обозначим через \}х,тАх>У)\-

Теорема 3,14. Пусть f(x,y) € Fy и пусть функция \fN,m,c{xi j/)| получена по описанному выше методу. Тогда

sup Ifa(x,y) - \fN,mAx>y)\\ ^ V2Í е~°чг ( 1 k \

^ тЧт7 + Т. ~ñr ^/о ^п +

4(тЗN 2^ \2т/2ат+2Г (ш±1) т 2(т+1)/2стт+1Г

Если дополнительно предположить, что /(ж, у) непрерывно дифференцируема, тогда

вир |/(х,у) - \/ы,т,Ах,у)\\ ^ + Т^ТТ +

/ 1 к + „„л, -^/^iv +

20F \^2т/2ат+2Г (Ш±1) 2{т¥1)/2ат+1Г (т±2) J '

гдеС/= sup |V/(x, г/)|. (®,и)е R2

В четвертой главе исследуется задача стохастической томографии, заключающаяся в реконструкции вероятностных характеристик случайных функций по вероятностным характеристикам проекций радоновского типа. Описываются особенности этой задачи, приводятся примеры отсутствия единственности ее решения. Для всех преобразований радоновского типа, рассмотренных в третьей главе в классе дискретных случайных функций разрабатываются методы реконструкции вероятностных распределений случайных функций по распределениям проекций. Приводятся количественные оценки устойчивости предложенных методов.

Формально постановка задачи следующая. Имеется двумерная случайная функция £(х,у), реализации которой предполагаются с вероятностью 1 интегрируемыми. Также будем считать, что носителем у) является единичный круг: U = {{х,у) € К2 : х2 + у2 < 1}. Функции, совпадающие всюду за исключением множеств нулевой Лебеговой меры, будем считать эквивалентными. Предполагается, что имеется некоторая информация о вероятностных характеристиках проекционных данных (всех или некоторого множества). Задача состоит в нахождении определенных вероятностных характеристик случайной функции £(х, у).

В общем случае эта задача не имеет единственного решения. В диссертации приведены некоторые примеры неединственности, построенные в работах В.Г. Ушакова, Н.Г. Ушакова и работах автора.

Определим также более узкий класс случайных функций, который в дальнейшем будет использоваться в качестве основной модели. Этот класс, с одной сто-

юны, достаточен для многих приложений, с другой стороны, - позволяет един-твенным образом восстановить вероятностные характеристики стохастических 'бъектов по характеристикам интегральных преобразований радоновского типа. 1усть <3 - множество всех случайных функций £(х, у) вида

£(х,у) = Мх,у),

де Л(а;,у),/г(х,у), ... - последовательность различных (неэквивалентных) ин-'егрируемых функций, определенных в единичном круге!/, а V - случайная вели-[ина, принимающая целые положительные значения. Кроме того, не ограничивая •бщности, будем считать, что функции /¡(х, у), /г(х, у), ... принадлежат классу 'и-

Случайные функции из класса <5 есть ни что иное, как дискретные случай-[ые элементы в пространстве Ьх(и), и их вероятностная структура полностью щределяется набором

Ых,у), ■ ■ ■ \Р1,Р2, ■ ■ ■),

оо

пер{ = Р(£(я,у) - и{х,у)), г = 1,2,..., 2>г = 1. Распределение у) 6 <3

<=1

>удем обозначать через

Теорема о взаимооднозначном соответствии между распределением случайной функции из класса и распределениями ее проекций, доказанная В.Г. Ушаковым и Н.Г. Ушаковым, формулируется следующим образом:

Теорема 4.1. Пусть £(х,у) <Е <2, 1]{х,у) 6 <2, и Рд^ = Ря„„ для всех ¡р 6 Л С [О, 2тт), где Л - бесконечное множество. Тогда Р^ = Р^.

Метод восстановления распределений случайных функций разработан автором и основан на следующем свойстве согласованности проекционных данных:

00

J Н/{1р,з)зтс1з =рт(</0,

—оо

где рт{<р) - тригонометрический многочлен степени т.

В диссертации доказаны теоремы единственности, аналогичные теореме 4.1, для преобразований радоновского типа, введенных в третьей главе, и разработаны методы восстановления распределений случайных функций по распределениям проекционных данных.

Теорема 4.2. Пусть £(х,у) € Я, Ф,у) еС,« Рае, = для всех £ € Л С [0,2тг), где Л - бесконечное множество, тогда Р^ = Р,,.

Метод восстановления распределений случайных функций для веерной схемы сканирования основан на аппроксимации функции

„(й _РЖ*)_Ла

У \аш(р + а)соз<р-соз(Р + а)втч)\

п 2

алгебраическим многочленом.

Теорема 4.3. Пусть £{х,у) 6 Я, ф,у) еЯ,и = Рл„„, для всех у 6 Л С [0,2тг), где Л - бесконечное множество, тогда Р{ = Рч.

Метод восстановления распределений случайных функций для экспоненциального преобразования Радона основан на аппроксимации функции

оо

^п){ч>)= I ЯЛ<Р,з)зтй8.

тригонометрическим многочленом.

Теорема 4.4. Пусть £(х,у) £ Я, ф,у) € Я, реализации случайных функций £(х,у) и ф,у) непрерывны и РДа£„ = для всех Ч> е Л> где А ~ подмноже-

ство [0,2-я), имеющее положительную меру Лебега. ТогдаР$ = Рч.

Метод восстановления распределений случайных функций для преобразования Радона с поглощением основан на аппроксимации множителя е-Оа(р+п/2л,у) в определении функции

°г г г

= / Ф™^ =11 {х^ + у^Те-^^^Пх^йхйу.

-оо и

ригонометрическим многочленом. В результате получается приближение триго-ометрическим многочленом для функции J^ (<р).

'еорема 4.5. Пусть £(х,у) 6 Q, r¡{x,y) 6 Q, реализации случайных функций (х, у) и r¡(x, у) непрерывны и Р= Рsr¡v для всех <р 6 Л, где А - подмножество >,2тг), имеющее положительную меру Лебега, тогда Р^ = Р,,.

Метод восстановления распределений случайных функций для сферического реобразования Радона основан на следующем свойстве согласованности проек-ионных данных:

00

jW(<p) = J r2kSf{¡p, r)rdr = Pfc(y), 0

це Pkif) ~ тригонометрический многочлен степени k.

'еорема 4.6. Пусть £(х,у) б Q, r¡(x,y) € Q бесконечно дифференцируемы и етны по второй переменной. Пусть ~ ^Мщ для всех t € А, где А - под-тожество R положительной меры Лебега, тогда Pj = Р,,.

Метод восстановления распределений случайных функций для интегрального ферического среднего основан на следующем свойстве согласованности проекци-нных данных:

оо

jW(t) = J r2kMf(t, r)dr = P2k(t), 0

де P2k{t) - алгебраический многочлен степени 2k,

Георема 4.7. Пусть £(х,у) € Q, ц{х,у) € Q и PGív, = для всех у е А С ), 2тт), где А - бесконечное множество, тогда = Р^.

Метод восстановления распределений случайных функций для дифракцион-:ого преобразования основан на следствии из дифракционной теоремы, которая станавливает следующее соотношение:

— /7Г\1/2 е'г(а{и)-к)

Gf{<P,u) = (2)

xf ((a(w) - k) eos <p - ui sin ip, (а(ш) - k) sin ip + w eos <p).

Обозначим

= G/^W) |и-о-

Из дифракционной теоремы следует, что J{m\<p) представляет собой тригонометрический многочлен степени т.

В Заключении приведены основные результаты, выносимые на защиту.

Благодарности. Автор выражает глубокую признательность академику РАН Ю.В. Прохорову и профессорам В.Г. Ушакову и В.Ю. Королеву за разностороннюю помощь, оказанную во время исследований и работы над диссертацией.

Список публикаций автора по теме диссертации

[1] Кудрявцев A.A., Шестаков О.В. Асимптотика оценки риска при вейглет-вейвлет разложении наблюдаемого сигнала // Т-Сошш — Телекоммуникации и Транспорт, 2011. № 2. С. 54-57.

[2] Кудрявцев A.A., Шестаков О.В. Асимптотическое распределение оценки риска пороговой обработки вейглет-коэффициентов сигнала при неизвестном уровне шума // T-Comm — Телекоммуникации и Транспорт, 2011. № 5. С. 2430.

[3] Кудрявцев A.A., Шестаков О.В. Реконструкция томографических изображений с помощью пороговой обработки коэффициентов разложения проекционных данных по ортогональному базису // T-Comm — Телекоммуникации и Транспорт, 2012. № 3. С. 63-68.

[4] Ушаков В.Г., Шестаков О.В. Экспоненциальное преобразование Радона случайных функций // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн., 2005. № 1. С. 49-55.

[5] Ушаков В.Г., Шестаков О.В. Восстановление вероятностных характеристик случайных функций в задачах однофотонной эмиссионной томографии // Информатика и ее применения, 2009. Т. 3. № 1. С. 20-24.

[6] Ушаков В.Г., Шестаков О.В. Реконструкция распределений случайных функций в задачах однофотонной эмиссионной томографии при помощи аппрок-

симации экспоненциального множителя тригонометрическими многочленами // Информатика и ее применения, 2011. Т. 5. № 3. С. 17-21.

[7] Шестаков О.В. Алгебраические методы восстановления вероятностных характеристик многомерных случайных функций // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн., 2004. № 3. С. 32-36.

[8] Шестаков О.В. Алгебраические методы восстановления вероятностных характеристик многомерных случайных функций // Обозрение прикладной и промышленной математики, 2004. № 2. С. 428.

[9] Шестаков О.В. Оценка точности восстановления функции по ее экспоненциальному преобразованию Радона при использовании конечного числа проекций // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн., 2006. № 4. С. 22-25.

0] Шестаков О.В. Об устойчивости метода восстановления распределений многомерных случайных функций по распределениям проекций // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн., 2007. № 3. С. 25-30.

1] Шестаков О.В. Точность реконструкции томографических изображений при использовании веерной схемы сканирования // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн., 2008. № 3. С. 20-23.

2] Шестаков О.В. Об устойчивости реконструкции изображений в задачах эмиссионной томографии // Информатика и ее применения, 2009. Т. 3. № 3. С. 4751.

3] Шестаков О.В. О проблеме восстановления коэффициента преломления в задачах дифракционной томографии // Сборник статей молодых ученых факультета ВМК МГУ, 2009. № 6. С. 158-162.

4] Шестаков О.В. Реконструкция распределений случайных функций в задачах стохастической дифракционной томографии // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн., 2009. № 3. С. 36-39.

.5] Шестаков О.В. Аппроксимация распределения оценки риска пороговой обработки вейвлет-коэффициентов нормальным распределением при использова-

НИИ выборочной дисперсии // Информатика и ее применения, 2010. Т. 4. № 4. С. 73-81.

[16] Шестаков О.В. Восстановление вероятностных распределений стохастических радиолокационных изображений // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. ма-тем. и киберн., 2010. № 3. С. 23-29.

[17] Шестаков О.В. О скорости сходимости распределения выборочного абсолютного медианного отклонения к нормальному закону // Информатика и ее применения, 2011. Т. 5. № 3. С. 74-80.

[18] Шестаков О.В. Оценки погрешности при реконструкции радиолокационных изображений // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн., 2011. № 2. С. 8-13.

[19] Шестаков О.В. О единственности восстановления вероятностных характеристик стохастических изображений, формируемых радаром с синтезированной апертурой // Т-Сотт - Телекоммуникации и транспорт, 2011. № 4. С. 32-34.

[20] Шестаков О.В. Минимизация функции обобщенной кросс-валидации для выбора порога при мягкой пороговой обработке коэффициентов вейвлет-разложения сигнала // Вторая школа молодых ученых ИПИ РАН. Сборник докладов. - М.: ИПИ РАН, 2011. С. 31-36.

[21] Шестаков О.В. Асимптотическая нормальность оценки риска пороговой обработки вейвлет-коэффициентов при выборе адаптивного порога // Доклады РАН, 2012. Т. 445. № 5. С. 513-515.

[22] Шестаков О.В. О точности приближения распределения оценки риска пороговой обработки вейвлет-коэффициентов сигнала нормальным законом при неизвестном уровне шума // Системы и средства информатики, 2012. Т. 22. № 1. С. 142-152.

[23] Шестаков О.В. О скорости сходимости оценки риска пороговой обработки вейвлет-коэффициентов к нормальному закону при использовании робастных оценок дисперсии // Информатика и ее применения, 2012. Т. 6. № 2. С. 122128.

4] Шестаков О.В. Регуляризация метода реконструкции функции по ее сферическому преобразованию Радона // Вести. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн., 2012. № 1. С. 23-27.

5] Шестаков О.В. Зависимость предельного распределения оценки риска пороговой обработки вейвлет-коэффициентов сигнала от вида оценки дисперсии шума при выборе адаптивного порога // T-Comm - Телекоммуникации и Транспорт, 2012. № 1 С. 46-51.

6] Шестаков О.В. О свойствах оценки среднеквадратичного риска при регуляризации обращения линейного однородного оператора с помощью адаптивной пороговой обработки коэффициентов вейглет-вейвлет разложения // Вестн. Тверск. ун-та. Сер. Прикладная математика, 2012. № 8. С. 117-130.

7] Kudryavtsev A. Shestakov О. Central limit theorem for risk estimate of vaguelette-wavelet signal decomposition // Transactions of XXIX International Seminar on Stability Problems for Stochastic Models. 2011. P. 33-34.

8] Kudryavtsev A. Shestakov O. Reconstruction of tomographic images using Fourier-wavelet decomposition // TYansactions of XXX International Seminar on Stability Problems for Stochastic Models. 2012. P. 51-53.

9] Shestakov O.V. Fan-beam stochastic tomography // Systems and Means of Informatics. Special Issue. Mathematical and Computer Modeling in Applied Problems., 2008. P. 62-78.

0] Shestakov O.V. Reconstruction of probability distributions of stochastic SAR images // Transactions of International Congress on Ultra Modern Telecommunications and Control Systems and Workshops (ICUMT). Moscow. 2010. P. 1062-1064.

1] Shestakov O.V., Ushakov V.G. Reconstruction of Probabilistic Distributions of Multivariate Random Functions from Distributions of Their Projections // Proceedings of the XXIII Seminar on Stability Problems for Stochastic Models. 2003. Spain. P. 60.

2] Shestakov O.V., Ushakov V.G. Approximating projections with orthogonal polynomials to reconstruct distributions of multivariate random functions //

Transactions of the XXIV Seminar on Stability Problems for Stochastic Models. 2004. Latvia. P. 60.

[33] Shestakov O.V., Ushakov V.G. Inversion of exponential Radon transform of random functions // Transactions of XXV Seminar on Stability Problems for Stochastic Models. 2005. Italy. P. 264-269.

[34] Shestakov O.V., Ushakov V.G. Stability of reconstruction in stochastic tomography settings // Transactions of XXVI International Seminar on Stability Problems for Stochastic Models. 2007. Israel. P. 185-191.

Напечатано с готового оригинал-макета

Подписано в печать 14.12.2012 г. Формат 60x90 1/16. Усл.печл. 2,0. Тираж 100 экз. Заказ 503.

Издательство ООО "МАКС Пресс" Лицензия ИД N 00510 от 01.12.99 г. 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ им. М.В. Ломоносова, 2-й учебный корпус, 527 к. Тел. 8(495)939-3890/91. Тел./факс 8(495)939-3891.

Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова Факультет вычислительной математики и кибернетики

На правах рукописи

05201350353

Шестаков Олег Владимирович

ВЕРОЯТНОСТНО-СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА И ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ ПРИ ОБРАЩЕНИИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ РАДОНОВСКОГО ТИПА

01.01.05 - теория вероятностей и математическая статистика

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор В.Г. Ушаков

Москва - 2012 г.

Оглавление

Обозначения 5

Введение 7

1 Предельные теоремы для оценок риска при пороговой обработке вейвлет-коэффициентов 16

1.1 Вейвлет-разложение функции............................................................16

1.2 Пороговая обработка вейвлет-коэффициентов и оценка среднеквадратичного риска 22

1.3 Универсальный порог и метод У^иЭЬппк ..............................................26

1.4 Оценки скорости сходимости в предельных теоремах для оценки риска пороговой обработки в методе УхвиЗЬппк............................................................28

1.5 Предельные теоремы для оценки риска пороговой обработки в методе ЗигеЭЬппк 35

1.6 Оценивание дисперсии по независимой выборке........................................53

1.7 Обобщенная кросс-валидация............................................................61

1.8 Асимптотическая нормальность функции обобщенной кросс-валидации при выборе адаптивного порога..................................................................62

2 Предельные теоремы для оценок риска при обращении линейных однородных преобразований 73

2.1 Подходы к решению обратных статистических задач..................................73

2.2 Особенности оценивания среднеквадратичного риска при обращении линейных однородных преобразований..............................................................81

2.3 Асимптотическая нормальность оценки риска при использовании универсального порога........................................................................................83

2.4 Асимптотическая нормальность оценки риска в методе SureShrink..................96

2.5 Асимптотическая нормальность оценки риска при выборе порога на основе обобщенной кросс-валидации.................................106

2.6 Применение пороговой обработки при обращении преобразования Радона.....111

3 Оценки точности реконструкции функции по конечному числу интегральных

преобразований радоновского типа 124

3.1 Задача обращения классического преобразования Радона..............124

3.2 Оценки точности реконструкции функции по конечному числу проекций в веерной схеме сканирования..................................128

3.3 Оценки точности реконструкции функции при обращении экспоненциального преобразования Радона....................................133

3.4 Точность реконструкции функции при обращении преобразования Радона с поглощением .........................................137

3.5 Оценки точности реконструкции функции при обращении сферического преобразования Радона.......................................146

3.6 Точность реконструкции функции при наличии информации о значениях интегрального сферического среднего на конечном отрезке................151

3.7 Оценки точности реконструкции функции, описывающей коэффициент преломления в задачах дифракционной томографии.....................157

4 Реконструкция вероятностных характеристик случайных функций по вероятностным характеристикам интегральных преобразований радоновского типа 163

4.1 Особенности задачи обращения интегральных преобразований радоновского типа

от случайных функций..................................163

4.2 Реконструкция вероятностных характеристик случайной функции при обращении преобразования Радона ...............................168

4.3 Разложение случайной функции по конечному базису................171

4.4 Реконструкция вероятностных характеристик случайной функции в веерной схеме сканирования ...................................... 178

4.5 Случай счетного числа состояний............................185

4.6 Стохастическая эмиссионная томография: однородная поглощающая среда .... 188

4.7 Стохастическая эмиссионная томография: неоднородная поглощающая среда . . 193

4.8 Реконструкция вероятностных характеристик случайной функции при обращении сферического преобразования Радона.......................199

4.9 Реконструкция вероятностных характеристик случайной функции при обращении интегрального сферического среднего.......................205

4.10 Стохастическая дифракционная томография .....................212

Заключение 216

Литература 217

Обозначения

Р(Л) вероятность события Л;

1(Л) индикатор события А;

ЕХ математическое ожидание случайной величины Х\

ОХ дисперсия случайной величины X;

Ф(ж) функция распределения стандартной нормальной случайной величины;

ф(х) плотность стандартной нормальной случайной величины; сходимость по распределению;

р

—> сходимость по вероятности;

2 множество целых чисел;

К множество действительных чисел;

С множество комплексных чисел;

г число, комплексно сопряженное к

(■>•) скалярное произведение;

|| • ||х2 ГЛнорма;

|| • № ¿2-норма;

|| • ||хг(р) Ь2(Р)-норма: Н^Н^р) = (ЕХ2)1^2 для случайной величины Х\

Ь2(Р) множество случайных величин с конечной Ь2(Р)-нормой;

[а] наибольшее целое т такое, что т ^ а;

[а] наименьшее целое т такое, что т > а;

п.в. почти всюду;

V/ градиент функции /;

К* оператор, сопряженный к оператору К\

/(ж) = д(х) функции /(х) и д(х) совпадают всюду за исключением множеств

нулевой лебеговой меры;

Хм ~ Ум последовательности случайных величин Хм и Ум имеют одинаковый предел

в смысле сходимости по распределению при N —> оо;

ам х Ьм Ит = 1;

оо

= I е^х2'1 йх - гамма-функция Эйлера; 1(и>\,... ,ик) к-мерное преобразование Фурье,

■7-, ОО ОО

/(«!,... ,Шк) = ../(Жь ... , хк)е-^+-^к)(Ь1 ... ¿Хк>

ОО оо ^

V / —оо —со

б

Введение

Актуальность темы. За последние 40 лет томографические методы реконструкции характеристик поглощающих, излучающих и отражающих объектов и сред получили широкое распространение в самых разнообразных областях, включая медицину, биологию, физику плазмы, газовую динамику, геофизику, астрономию и радиолокацию (см., например, [5], [18], [29], [39], [40], [41], [146], [181] и [196]). Все основные виды томографических экспериментов по свойствам изучаемых объектов можно разделить на два класса: трансмиссионную томографию и эмиссионную томографию. В трансмиссионной томографии внешнее излучение проходит через неизлучающий объект, частично поглощаясь им. В эмиссионной томографии изучаемый объект представляет собой излучающую среду. Современная томография для получения информации использует излучение самой различной физической природы. Это ультразвук, радио- и оптические сигналы, рентгеновские и 7-лучи, явление ядерного магнитного резонанса и т.д. Для каждого вида излучения характерны свои специфические особенности, которые проявляются в постановке томографического эксперимента и в его аппаратурной реализации. Наличие этих особенностей приводит к необходимости использования различных математических моделей для описания томографических экспериментов. Среди этих моделей наиболее распространенными являются классическое преобразования Радона, используемое в трансмиссионной (в частности, рентгеновской) томографии (см. [39]), экспоненциальное преобразование Радона, используемое для описания эмиссионного томографического эксперимента в однородной поглощающей среде (см. [41]), преобразование Радона с поглощением, являющееся обобщением экспоненциального преобразования Радона на случай неоднородной поглощающей среды (см. [175]), сферическое преобразование Радона, используемое в теормоакустических и фотоакустических томографических экспериментах (см. [156] и [206]), интегральное сферическое среднее, используемое в радиолокации (см. [196]), и дифракционное преобразование, используемое в ультразвуковой и оптической томографии (см. [146]).

В реальных экспериментах данные всегда регистрируются с некоторой случайной погрешностью, которая возникает из-за дискретизации исходной информации, несовершенства оборудования, характеристик используемого излучения (например, его полихроматичности), случай-

ного характера процессов, сопровождающих прохождение излучения через вещество анализируемого объекта, случайного характера регистрации прошедшего излучения, наличия фонового излучения и внутренних шумов приемника и т.д. Эти погрешности необходимо учитывать при построении и анализе статистической модели наблюдаемых данных. И поскольку задачи обращения интегральных преобразований радоновского типа при наличии случайного шума относятся к классу некорректно поставленных статистических задач, непосредственное применение формул обращения может привести к очень большим ошибкам. Для решения статистических задач такого рода применяются методы регуляризации (см. [38]) часто в сочетании с сингулярным разложением (см., например, [91] и [92]). Сингулярное разложение представляет собой весьма популярный инструмент. Более того, в работах [144] и [145] показано, что оконное сингулярное разложение при надлежащем выборе окна позволяет строить асимптотически наилучшие в минимаксном смысле оценки. Однако сингулярное разложение обладает некоторыми недостатками, которые налагают ограничения на его использование при анализе и обработке пространственно неоднородных функций (см. [73] и [110]). В последние десятилетия значительно возросла популярность нелинейных методов подавления шума с помощью аппарата вейвлет-анализа. Объясняется это тем, что вейвлет-анализ позволяет гораздо более эффективно исследовать нестационарные сигналы и изображения, чем традиционный Фурье-анализ. В частности, чтобы обойти ограничения, присущие сингулярному разложению, в работе [112] предложен метод так называемого вейвлет-вейглет разложения, а в работе [73] - альтернативный метод вейглет-вейвлет разложения. Указанные методы вейвлет-анализа применяются для обращения линейных однородных преобразований, к которым относится преобразование Абеля, лежащее в основе математической модели томографического анализа объектов, обладающих круговой симметрией (см. [41]). Кроме того, оказывается, что классическое преобразование Радона обладает многими свойствами линейных однородных преобразований, позволяющими применять методы вейвлет-анализа для его обращения.

В сочетании с методами вейвлет-разложений для подавления шума широко применяются нелинейные процедуры пороговой обработки коэффициентов разложения (см., например, [79] и [168]). Их привлекательность заключается, во-первых, в быстроте алгоритмов построения оценок, а во-вторых, в возможности лучшей, чем линейные методы, адаптации к функциям, имеющим на разных участках различную степень регулярности. Практическая ценность последнего свойства заключается в том, что такие методы хорошо приспособлены для работы с

нестационарными сигналами и изображениями. Пороговая обработка коэффициентов вейвлет-разложений применяется не только в томографических приложениях, но и во многих других прикладных и теоретических областях, например, при анализе и обработке радиосигналов, изображений и видеопотоков, анализе сейсмических данных, квантовой механике, компьютерной графике, при построении оценок в задачах непараметрической регрессии, построении оценок плотностей вероятностных распределений и т.д. Помимо подавления шума пороговая обработка также позволяет решать задачу «сжатия», т.е. экономного представления данных, что может играть критическую роль при передаче данных по каналам с ограниченной пропускной способностью. Основной проблемой в процедурах пороговой обработки является стратегия выбора порога (см. [26], [83], [84], [99], [103], [111], [113], [114], [115], [116], [117], [127], [128], [135], [141], [142], [174] и [205]). При обосновании выбора порога главным критерием является величина риска пороговой обработки, т.е. погрешности, к которой приводит использование данного метода. Сам риск вычислить нельзя, так как неизвестны незашумленные данные, однако молено изучить его асимптотические свойства. Кроме того, можно построить оценку риска непосредственно по наблюдаемым данным (см. [114], [118] и [142]). Изучение свойств оценки риска также представляет важную задачу, поскольку эта оценка дает возможность количественно оценить погрешность метода подавления шума, основываясь только на наблюдаемых данных. Однако, если свойства теоретического риска достаточно хорошо изучены, свойствам его оценок до сих пор уделялось мало внимания (см. [22], [114], [143] и [142]). Одной из задач данной диссертации является восполнение этого пробела и изучение свойств оценок риска пороговой обработки при различных стратегиях выбора порога.

Помимо наличия случайных погрешностей при обращении интегральных преобразований радоновского типа следует учитывать еще тот факт, что в реальных томографических экспериментах можно зарегистрировать лишь конечное число проекционных данных. Это обстоятельство усиливает некорректность задачи обращения. В работах [130], [147], [149], [160] и [194] приведены примеры неединственности решения задачи обращения преобразования Радона, приводящие к так называемому парадоксу вычислительной томографии: с одной стороны, теоретически задачу реконструкции изображений по конечному числу проекций решить нельзя, с другой стороны, томографы реконструируют приемлемые для практических целей изображения. В работах [149] и [71] приводится решение этого парадокса, основанное на оценках близости в равномерной метрике между функционалами от изображений, имеющих конечное

число совпадающих или близких проекций. Для классического преобразования Радона проблема реконструкции функции по конечному набору проекций рассматривалась также работах [100], [153] и [164]. В [100] рассматривается сингулярное разложение и исследуется вопрос о влиянии количества проекций на разрешение томографических изображений. В [153] получены оценки точности реконструкции по конечному числу проекций в метрике Золотарева, а в [164] - в метрике Ь2. Также практические аспекты влияния количества проекций на качество реконструируемых изображений исследуются в работах [137], [195] и [203]. В данной диссертации решается задача получения количественных оценок точности реконструкции функции по конечному числу проекционных данных радоновского типа.

Кроме случайности, обусловленной наличием шума, в томографических экспериментах может возникать случайность, связанная с особенностями самого объекта изучения. В таких ситуациях строится вероятностная модель объекта, и основной интерес представляют собой вероятностные характеристики случайной функции, описывающей объект. Проблема восстановления вероятностных характеристик случайной функции по вероятностным характеристикам ее интегральных преобразования радоновского типа возникает в ряде задач микробиологии, газовой динамики и физики плазмы (см. [2], [162], [163], [179] и [201]). При этом основной особенностью является то обстоятельство, что разным проекциям (точнее, реализациям проекций) соответствуют разные реализации случайной функции, т.е. от каждой отдельной реализации случайной функции регистрируется, вообще говоря, только одна проекция. Функция может иметь несколько (даже бесконечное множество) состояний, которые меняются случайным образом во время процесса получения проекций. Это приводит к тому, что восстановление даже одного состояния случайной функции обычными методами обращения невозможно.

На практике такие ситуации могут возникать по нескольким причинам. Во-первых, исследуемый объект может меняться во времени случайным образом, и время, в течение которого регистрируются все проекции, существенно больше, чем время изменения структуры объекта. Такая ситуация может возникнуть в эмиссионной томографии, газовой динамике и физике плазмы, а также при формировании радиолокационных изображений, например, в случаях, когда в процессе получения сигналов радара объекты на местности перемещаются случайным образом. В работах [11], [101], [179], [208] рассматриваются параметрические модели томографических изображений, оцениваемые с помощью метода максимального правдоподобия и его модификаций. Например, в эмиссионной томографии излучение моделируется пуассоновским

процессом (см. [101]) или процессом Эрлаига (см. [11]), а в газовой динамике, электромагнитной томографии или физике плазмы поток моделируется с помощью стохастического уравнения конвекции-диффузии (см. [179]).

Во-вторых, в томографическом эксперименте изучаемый объект может быть настолько чувствительным к просвечивающим его радиационным лучам, что любой метод сбора данных, основанный на просвечивании одного объекта под разными углами, оказывается неприемлемым. Такая ситуация типична для биологии при исследования структуры макромолекул. Для решения этой проблемы было предложено несколько методов (см., например, [163] и [180]), которые основаны на использовании множества однотипных объектов таким образом, что различные проекции получаются при просвечивании различных объектов. Поскольку каждый объект имеет какие-то свои индивидуальные особенности, �