Томографические методы анализа стохастических полей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

1. Общая характеристика работы

2. Краткое содержание диссертации

3. Список публикаций автора

Глава 1. Точность восстановления томографических изображений

1.1 Радоновские образы и задача традиционной томографии

1.2 Формула обращения

1.3 Регуляризация формулы обращения

1.4 Неполные данные, проблема единственности и устойчивости

1.5 Конечный набор проекционных данных. Парадокс компьютерной томографии

1.6 Оценка расстояния между плотностями вероятностных мер, имеющих близкие проекции по конечному числу направлений

Глава 2. Восстановление вероятностных характеристик случайных функций по проекциям

2.1 Особенности стохастической томографии

2.2 Постановка задачи

2.3 Общий случай. Контрпримеры

2.4 Класс Т случайных функций и теорема единственности

2.5 Группировка проекций случайных функций из класса Tf

2.6 Вычислительный алгоритм группировки проекций случайных функций из класса X/

2.7 Вычислительный алгоритм реконструкции состояний случайной функции

2.8 Влияние погрешностей в проекционных данных

2.9 Оценка погрешности в восстанавливаемых состояниях случайной функции

1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫАктуальность темы. Томография — одно из новейших, бурно развивающихся направлений в области получения и обработки информации. Образно говоря, томография позволяет заглянуть внутрь наблюдаемого объекта.

Теоретические основы томографии были заложены в 1917 году Радоном, который вывел формулу реконструкции функции, описывающей внутреннюю структуру объекта, по проекционным данным.

В медицинских и биологических науках результаты Радона начали находить свое применение в 1960-х годах. По оценкам некоторых ученых внедрение метода компьютерной томографии "революционизировало" медицинскую диагностику и электронную микроскопию биологических макромолекул [8,9]. Создание компьютерных томографов (А. Кормак и Г. Н. Ха-унсфилд) и их применение в биохимии (А. Клуг) отмечены Нобелевскими премиями (1979, 1982 гг.).

Сегодня томографические методы применяются в медицине, диагностике плазмы, астрономии, химии, биологии, для оценки многомерных плотностей вероятностных распределений и во многих других областях науки и техники (см. [7], [10-12], [14] и [16]). Более того, по мнению ведущих специалистов, томография проходит еще только начальную стадию своего развития и истинное ее значение можно будет оценить лишь в будущем.

Современная томография для получения информации использует излучение самой различной физической природы. Это ультразвук, радио- и оптические сигналы, рентгеновские и 7-лучи и т. д. Для каждого вида излучения характерны свои специфические особенности, которые проявляются в постановке томографического эксперимента и в его аппаратурной реализации. Однако та информация (проекционные данные), которая получается в процессе этих томографических экспериментов и с которой оперирует исследователь при восстановлении изображения, может быть описана очень похожими математическими зависимостями.

Именно это обстоятельство позволяет говорить о томографии, как о целом направлении в области обработки информации, и, абстрагируясь (на некотором уровне анализа) от конкретного вида излучения, сформулировать основную проблему томографии — как по получаемым в томографическом эксперименте проекционным данным "увидеть" внутреннюю структуру анализируемого объекта.

Решение задачи томографии основано на обращении преобразования Радона, позволяющем восстановить (единственным образом) функцию, описывающую внутреннюю структуру объекта [13]. Однако, единственность гарантирована лишь в том случае, когда известны все (бесконечное число) проекции. На практике можно получить лишь конечное число проекций, восстановить функцию в этом случае невозможно [15].

Кроме того, непосредственное применение математических соотношений интегральной геометрии, используемых при обращении преобразования Радона, в реальном эксперименте часто приводит к очень большим ошибкам, поскольку задача обращения преобразования Радона относится к классу так называемых некорректно поставленных задач. Для преодоления этой трудности используются специальные математические методы, именуемые методами решения некорректно поставленных задач [6].

Часто функция, описывающая внутреннюю структуру объекта, является случайной. Такие ситуации могут возникать, по меньшей мере по двум причинам. Во-первых, изучаемый объект может быть настолько чувствительным к просвечивающим его радиационным лучам, что любой метод сбора данных, основанный на просвечивании одного объекта под разными углами, оказывается неприемлемым. Такая ситуация типична для биологии при исследования структуры макромолекул. Для решения этой проблемы было предложено несколько методов (см., например, [17-20] и [23]), которые основаны на использовании множества однотипных объектов таким образом, что различные проекции получаются при просвечивании различных объектов. Поскольку каждый объект имеет какие-то свои индивидуальные особенности, и, кроме того, просвечивание радиационными лучами может привести к некоторым структурным изменениям в какой-то части объектов, а проекции выбираются случайным образом, то объект должен описываться случайной функцией.

Во-вторых, исследуемый объект может меняться во времени случайным образом, и время, в течение которого регистрируются все проекции, существенно больше, чем время изменения структуры объекта. Такая ситуация может возникнуть в газовой динамике и физике плазмы.

В случае, когда рассматриваются случайные функции, основной особенностью является то обстоятельство, что разным реализациям проекций соответствуют разные реализации случайной функции. Функция может иметь несколько (даже бесконечное множество) состояний, которые меняются случайным образом во время процесса получения проекций. Это приводит к тому, что восстановление даже одной реализации многомерной случайной функции обычными томографическими методами невозможно. В этом случае, наибольший интерес представляют собой вероятностные характеристики случайной функции, описывающей объект. (Подробнее об особенностях этой задачи и ее приложений см. [17-22].)Таким образом, возникает следующий вопрос. Можно ли восстановить вероятностные характеристики случайной функции, зная вероятностные характеристики ее проекций?Оказывается, что в общем случае восстановить все вероятностные характеристики случайной функции, зная вероятностные характеристики ее проекций, не удается. Но можно выделить довольно широкий класс случайных функций (достаточный, в частности, для биологических приложений), когда вероятностные характеристики случайной функции могут быть полностью восстановлены, если известны вероятностные характеристики некоторого множества ее проекций.

Цель работы. Оценить величину искажений в восстановленном томографическом изображении при наличии конечного числа проекций, зарегистрированных с некоторой погрешностью. Изучить задачу восстановления вероятностных характеристик случайной функции по вероятностным характеристикам проекций. Разработать алгоритмы восстановления вероятностных характеристик случайной функции для класса функций с не более чем счетным множеством состояний. Оценить погрешность в работе алгоритма при наличии искажений в проекционных данных.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:1. Получен ряд оценок точности изображений, восстановленных при наличии конечного числа проекций, зарегистрированных с искажениями. В частности получены оценки близости между функционалами от вероятностных мер, имеющих компактный носитель, при наложении различных условий на допустимые классы мер.

2. Доказано, что в общем случае не всегда возможно восстановить вероятностные характеристики случайной функции, зная вероятностные характеристики ее проекций. Описан класс двумерных случайных полей, для которого нельзя однозначно восстановить ковариационную функцию случайного поля, если известны ковариационные функции всех его одномерных проекций.

3. Для класса случайных функций, имеющих не более чем счетное число структурных состояний, для которых восстановление вероятностных характеристик возможно, разработан алгоритм восстановления распределения случайной функции по распределениям ее проекций. Получены оценки погрешности в работе алгоритма, возникающие вследствие наличия искажений в проекционных данных.

Большинство результатов работы остаются верными для пространств любого конечного измерения, но для простоты изложения рассматривается только 2-мерный случай.

Методы исследования. В работе используется теория преобразования Радона, теория аналитических функций, идеи и методы Фур ье-анализа, методы решения некорректных задач, численные методы интерполирования функций, а также ряд свойств вероятностных мер с компактным носителем.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты диссертации носят теоретический характер и могут быть использованы в различных вопросах вычислительной и стохастической томографии и их приложений.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на научно-исследовательских семинарах "Стохастическая томография" и " Некоторые вопросы теории характеристических функций" под руководством профессора Ушакова В. Г., профессора Ушакова Н. Г. и доцента Прохорова А.В., на рабочем семинаре по проекту INTAS 97-31864 (Финляндия, Ювясаюля, май 2001), на конференции "Новые материалы и технологии. Инновации XXI века" (Черноголовка, октябрь 2001), на конференции "Коммуникационные технологии и сети" (МТУСИ, ноябрь 2001) и на "Международной Петрозаводской конференции, посвященной В.В. Калашникову" (Петрозаводск, сентябрь 2002).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 3 работах автора, список которых приводится в конце введения.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых на параграфы, и списка литературы, содержащего 44 наименования. Общий объем работы 71 страница.

1. Khalfin L. A. and Klebanov L. В. A solution of the computer tomography paradox and estimating the distances between the densities of measures with the same marginals//Ann. Prob., 22, 2235-2241 (1994)

2. Ушаков В. Г., Ушаков Н. Г. Восстановление вероятностных характеристик многомерных случайных функций по проекциям//Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 2001. N 4. С. 32-39.

3. Keinert F. Inversion of &-plane transforms and applications in computer tomography//SIAM Review, 31 (1989), pp. 273-298.

4. Троицкий И.Н. Статистическая теория томографии. М.: Радио и связь, 1989.

5. Луитт Р. М. Алгоритмы реконструкции с использованием интегральных преобразований//ТИИЭР, 1983, том 71, стр. 125-147

6. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1974.

7. Бейтс P. X. Т., Гарден К. Г., Питере Т. М., Реконструктивная вычислительная томография: Современные достижения и перспективы раз-вития//ТИИЭР, 1983, том 71, стр. 84-104.

8. Введение в современную томографию. Под ред. Терновского К. С., Синь-кова М. В. Киев: Наук, думка, 1983.

9. Хер мен Г. Восстановление изображения по проекциям. Основы реконструктивной томографии. М.: Мир, 1983.

10. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я., Тимонов А. А. Математические задачи компьютерной томографии. М.: Наука, 1987.

11. Cormack А. М. Representation of a function by its line integrals, with some radiological applications//J. Appl. Phys., 34 (1968), pp. 2522-2727.

12. Shepp L. A., Kruskal J. B. Computerized Tomography: the new medical X-ray technology//Amer. Math. Monthly 85 (1978), 420-439.

13. Луис А. К., Наттерер Ф. Математические проблемы реконструктивной вычислительной томографии//ТИИЭР, 1983, том 71, стр. 111-125

14. O'Sullivan F., Pawitan Y. Multidimensional density estimation by Tomogra-phy//J. R. Statist. Soc. В 55 (1993), No. 2, pp. 509-521

15. Smith K., Solmon D., Wagner S. Practical and mathematical aspects of the problem of reconstructing objects from radiographs//Amer. Math. Soc. 83 (1977), No. 6, pp. 1227-1270.

16. Klebanov L. В., Rachev S. T. On a special case of the basic problem in diffraction tomography//Commun. Statist. — Stochastic models, 12(2), 181-197 (1996)

17. Liu W., Frank J. Estimation of variance distribution in three-dimensional reconstruction. I. Theory//J. Opt. Soc. Am. A, 1995, 12, 2615-2627.

18. Liu W., Boisset N., Frank J. Estimation of variance distribution in three-dimensional reconstruction. II. Applications//J. Opt. Soc. Am. A, 1995, 12, 2628-2635.

19. Radermacher M. (1988) Three-dimensional reconstruction of single particles from random and non-random tilt series//J. Electron Microscopy Technique, 1988, 9, 359-394.

20. Radermacher M., Wagenknecht Т., Verschoor A., Frank J. 3-dimensional reconstruction from a single-exposure random conical tilt series applied to the 50S ribosomal subunit of Escherichia coli//J. Microsc. (Oxford), 1987, 146, 131-136.

21. Ushakov N. G., Ushakova A. P. 3-D reconstruction from projections for stochastic objects (stochastic tomography)//Electronics Letters, 1998, 34, No. 6, 512-514.

22. Аристов В.В., Ушаков Н.Г., Ушакова А.П. Стохастическая томогра-фия//Доклады РАН, 1998, 359, N 4, С. 464-466.

23. Хелгасон С. Преобразование Радона. М.: Мир, 1983.

24. Leahy R. М., Qi J. Statistical approaches in quantitative positron emission tomography//Statistics and Computing (2000) 10, 147-165

25. Нолл Г. Ф. Однофотонная эмиссионная реконструктивная вычислительная томография//ТИИЭР, 1983, том 71, стр. 43-53.

26. Гринфилд Д. Ф. Ультразвуковая реконструктивная томография//ТИИЭР, 1983, том 71, стр. 54-63.

27. Хиншо У. С., Лент А. X. Основы ЯМР-визуализадии: От уравнения Блоха к уравнению визуализации//ТИИЭР, 1983, том 71, стр. 54-63.

28. Klebanov L. В., Rachev S. Т. Computer Tomography And Quantum Mechanics//Adv. Appl. Prob. (SGSA) 29, 595-606 (1997)

29. Gnttmann S., Kemperman J. H. В., Reeds J. A., Shepp L. A. Existence of probability measures with given marginals//Ann. Prob, 19, 1781-1791 (1991)

30. Belisle C., Masse J. C., Ransford T. When is a probability measure determined by infinitely many projections?//Ann. Prob, 25, 767-786 (1997)

31. Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы. M.: Наука, 1989.

32. Интегральные уравнения. СМБ, М.: Наука, 1968.

33. Ценсор Я. Алгоритмы реконструкции изображений, основанные на разложении в конечные ряды//ТИИЭР, 1983, том 71, стр. 148-160.

34. Привалов А. А. Теория интерполирования функций. Саратов: Изд-во Саратов, ун-та, 1990.

35. Herman G. Т. Image reconstruction from projections: The fundamentals of computerized tomography. New York: Academic Press, 1980.

36. Свешников А. Г., Тихонов A. H. Теория функций комплексной переменной. М.: Наука, 1974.

37. Louis А. К. Incomplete data problems in £-ray computerized tomography I. Singular value decomposition of the limited angle transform//Numer. Math. 48(1986), pp. 251-262.

38. Leahy J. V., Smith К. Т., Solomon D. C. (1979) Uniqueness, non-uniqueness and inversion in the a;-ray and Radon problems//Preceedings of the international symposium on ill-posed problems. Newark.

39. Katz M. B. Questions of uniqueness and resolution in reconstruction from projections (Lect. Notes Biomath.), vol. 26, Springer, 1978.

40. GrunbaumF. A. (1981) Reconstruction with arbitrary directions: dimension two and three//Mathematical aspects of computerized tomography (G. T. Herman and F. Natterer, edc.). Springer, Berlin.

41. Вероятность и математическая статистика. М.: Большая Российская Энциклопедия. 1999.

42. Гантмахер Ф. Р. Теория Матриц. М.: Наука, 1988.

43. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М: Наука, 1973.