Статистические задачи оценивания вероятностей линейных неравенств тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М. В. ЛОМОНОСОВА ФАКУЛЬТЕТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИ

РГБ ОД

На правах рукописи

УДК 519.2

Ившин Валерий Всеволодович

СТАТИСТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ОЦЕНИВАНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ

01.01.05 — теория вероятностей и математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва —■ 1995

Работа выполнена на кафедре теории вероятностей и математической статистики механико-математического факультета Пермского государственного университета.

Научный руководитель — доктор физико-математических наук, профессор Я. П. ЛУМЕЛЬСКИЙ.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, доцент Московского государственного университета В. Ю. КОРОЛЕВ,

доктор технических наук, профессор МГТУ им. Баумана О.И.ТЕСКИН. ®

Ведущая организация — Центральный экономико-математический институт Российской Академии наук.

Защита состоится "_" _ . 1995 года в "_" часов на

заседании специализированного совета Д 053.05.38 при Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова (119899, ГСП-3, Москва В-234, Воробьевы горы, МГУ, факультет ВМпК, ауд. 685).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета.

Автореферат разослан " а&гчс-ьус 1995 г.

Ученый секретарь специализированного совета, профессор

Н. П. ТРИФОНОВ

Общая характеристика работы

Задачи построения несмещенных оценок и оценок максимального правдоподобия для различных функций, зависящих от неизвестных параметров в случае различных параметрических семейств распределений занимают важное место в математической статистике. В частности, большой интерес в теории оценивания надежности и ошибок измерений представляют оценки вероятностей линейных неравенств. Решению данной проблемы для различных частных случаев были посвящены работы Воинова, Лумельского, Пенской. Те-скина, а также более ста работ зарубежных авторов (Бег, Рейзер. ГУтман, Бхаттачария, Джонсон, Чао и др.). В настоящей работе на основе единого подхода удалось доказать большое количество неизвестных ранее теоретических результатов, а также более просто вывести известные утверждения.

Цель данной работы — систематическое рассмотрение задач оценивания вероятностей линейных неравенств для непрорывных распределений. В частности, для широкого класса таких распределений решена задача нахождения оценок вероятностей безотказной работы в моделях "нагрузка-прочность'', применяющихся в приложениях. Для некоторых распределении данная модель существенно обобщена.

Особенности настоящей работы состоят в том. что в ней для параметрических семейств распределений реализован универсальный .метод нахождения несмещенных оценок для вероятностен линейных неравенств. Этот метод сводит сложную статистическую задачу опенки данных вероятностен в случае непрерывных случайных величин к нескольким задачам, каждая из которых решается стандартными способами. Эти задачи следующие.

1. Построение на основе результатов испытании несмещенных оценок для плотностей распределений случайных величин, зависящих от неизвестных параметров. При нахождении на основе достаточных статистик несмещенных оценок реализуется байесовский метод построения несмещенных оценок, описанный и работах Абусева. Лумельского. Патнла. Сапожникова и других авторов. Байесовский метод существенно упрощает решение задачи нахождения несмещенной оценки плотности распределения.

2. С помощью выражений для несмещенных оценок плотностей

распределений находятся несмещенные оценки линейных функционалов, зависящих от данных плотностей, в частности, вероятностей различных линейных неравенств и дисперсий несмещенных оценок вероятностей.

Данный метод позволил упростить доказательство многих известных ранее фактов, а также получить новые результаты.

В случаях равномерного, двухпараметрического экспоненциального, нормального распределений полученные алгоритмы для нахождения несмещенных оценок и оценок максимального правдоподобия были реализованы на ЭВМ. При этом выборки из соответствующих распределений были получены методом статистического моделирования. Сравнивались относительные погрешности несмещенных оценок и оценок максимального правдоподобия при известных вероятностях линейных неравенств.

Методы исследования. В диссертации используются методы теории вероятностей и математической статистики, элементы линейной алгебры и теории функций комплексного переменного. Практическая реализация ряда построенных математических моделей проводилась с использованием ЭВМ.

Научная новизна и теоретическая значимость. Настоящая работа посвящена систематическому решению задач статистического оценивания вероятностей линейных неравенств. Получены следующие неизвестные ранее результаты.

1. Впервые получены несмещенные оценки дисперсий несмещенных оценок вероятностей линейных неравенств для одномерного нормального распределения. Найдено смещение оценки максимального правдоподобия при известной дисперсии и неизвестном математическом ожидании.

2. Найдены несмещенные оценки и оценки максимального правдоподобия для вероятности безотказной работы в модели "нагрузка-прочность" в случае равномерного распределения с одним и двумя неизвестными параметрами. Получена несмещенная оценка дисперсии несмещенной оценки вероятности. Построены оценки вероятности попадания в случайный интервал (двойное неравенство).

3. В случае двухпараметрического экспоненциального распределения с известным параметром масштаба и неизвестным параметром сдвига впервые найдены несмещенные оценки вероятности

безотказной работы в модели "нагрузка-прочность". Получены оценки вероятности попадания в случайный интервал. Найдена несмещенная оценка дисперсии несмещенной оценки вероятности линейного неравенства.

4. Построены несмещенные оценки вероятностей линейных неравенств для распределения Вейбулла и гамма-распредеяения, распределений Бэрра н Рэлея.

5. В случае многомерного нормального распределения модель "нагрузка-прочность" была существенно обобщена. Введено понятие "линейного воздействия", когда "нагруэха" и "прочность" линейно складываются из многих воздействий и найдены несмещенные оценки положительного линейного воздех!-ствия и его характеристической функции. Приведены выражения для несмещенных оценок дисперсий несмещенных оценок вероятностей положительного линейного воздействия.

Полученные теоретические результаты могут быть практически использованы при оценивании вероятности безотказной работы сложных технических систем, нахождении вероятностей ошибок в измерениях, а также при решении ряда социально-экономических задач и задач, связанных со случайным цензурированием данных.

Теоретические результаты диссертащш были использованы при чтении спецкурса по статистическим методам контроля качества и надежности в Пермском государственном университете, будут полезны в научной работе студентов и аспирантов в Пермском государственном университете и Московском государственном техническом университете им. Баумана.

Основная часть исследований диссертации опубликована в работах В. В. Ившина [1-5], а также совместно с Я. П. Лумельским [6]. Вклад В. В. Ившина в совместной работе указан в диссертации.

Апробация работы. Теоретические и прикладные результаты докладывались на следующих научных и научно-технических конференциях: всесоюзный семинар с международным участием стран-членов СЭВ "Применение статистических методов в производстве и управлении", Пермь, 1990; межреспубликанская конференция творческой молодежи "Актуальные проблемы информатики. Математическое, программное и информационное обеспечение.", Минск, 1992; шестая международная Вильнюсская конференция по теории вероятностей и математической статистике, Вильнюс, 1993; межрегионалъ-

с

пая научно-техническая конференция "Математическое моделирование систем п явлений", Пермь, 1993. Были также сделаны доклады на научных семинарах в Московском п Пермском государственных университетах.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Каждая глава подразделяется на параграфы, у которых первая цифра определяет номер главы. Нумерация формул, теорем, следствий и т.п. тройная: первая цифра означает номер главы, вторая — номер параграфа этой главы, третья — нумерацию внутри параграфа. Объем диссертации — 120 страниц.

Основное содержание диссертации

Первая глава посвящена решению статистических задач оценивания вероятностей линейных неравенств в случае одномерного нормального закона.

В §1.1 приводятся элементы статистической теории оценивания и некоторые вспомогательные результаты. Теоремы 1.1.1 и 1.1.2 дают метод построения несмещенных оценок плотностей распределений и линейных функционалов, зависящих от плотностег распределений, выраженных через достаточную статистику (байесовский метод). В случае, когда достаточная статистика является полной, данные несмещенные оценки единственны.

В §1.2 приведены постановки задач оценивания вероятностей линейных неравенств в случае одномерного нормального распределения.

Пусть А' — случайная величина, характеризующая "нагрузку", а Y — случайная величина, характеризующая "прочность", причем Л" и Y независимые нормально распределенные случайные величины с параметрами и /¿2>ст2 соответственно. Результаты контроль-

ных испытаний над случайными величинами X и У представляют собой независимые повторные выборки Л'ь ..., А"Т1 и , } •>. — YT. Система нормально функционирует, когда

а,\Х + a2Y + b > 0,

где ai,a.2,b — заданные числа. В частности, при ai = -1,«2 — 1,6 = 0 получаем, что система надежна, если "прочность" Y превышает "нагрузку" X. При этом неравенство принимает вид Y > X.

Требуется оценить вероятность безотказного функционирования системы Р = Р(а1Л' + a-¿Y + b > 0), a также дисперсию несмещенной оценки данной вероятности DP.

В §1.2 впервые найдены несмещенные оценки дисперсий несмещенных оценок вероятностей линейных неравенств в случае нормального распределения с неизвестными параметрами.

Пусть случайная величина X имеет одномерное нормальное распределение, А' ~ЛГ(ц,а2) с плотностью

f(x/n,a'2) = п(х//г, а2) = -~-ехр ,

выборка Ai, А'2, ..., Хп получена в результате наблюдений над случайной величиной а' ~ .V(/í,<72) с неизвестными параметрами. в этом случае полной достаточной статистикой является (X. *'{,). где * = ¿¿"=1Л-Ь si = I П=. № - ЛТ- .

Теорема 1.2.3. Пусть в результате наблюдений над независимыми случайными величинами А ~ .\г(/1,гт'2) и Y ~ .\r{¡i.a2) с неизвестными параметрами получены независимые повторные выборки А'], Х'2, Л',1 и V'j. Y-¿.....У, соответственно. Тогда единственная несмещенная оценка дисперсии несмещенной оценки вероятности Р = P(íí| А' + л^У + в > 0). выраженная череп полные достаточные статистики Л. «?,. У, я'} имеет вид

DP = [Р]2 - Р2.

Здесь несмещенная оценка Р(г/|А" + "¿V +'' > 0) определяется соотношением

Р = С', [J (1 - ^ (1 - г2) ^ ,1ч ,1г. 'л.

||l/| < 1.||'| < l.V«-l"|-v„i/ + + \¡r^\a-lsrv + ,цХ + ч-¿Y + h ¿ ()|. Несмещенная оценка квадрата вероятности имеет вид

= (íL-3^-3) jfjj (i _ ,,, уГ (1 _ ¿Pl dP2 dn,

■•i s

где

С, = .4, =

о

где

Л2 = | 0 < Р1 < 1, О < р2 < 1, О < <рх < 27г, О < <р2 < 2-гг,

а1—+] ^РТ + +

(л/г (г - 2) вш^ , СОв^Л , т> , > п

+а2 ( + а2 + 6 >

а]\/п - 1б,,,/рГсо5 ¡р1 +01X4-+а2\/г - 92 + а2? + Ь> О

Теоремы 1.3.3 и 1.4.2 дают несмещейные оценки дисперсий несмещенных оценок вероятностей линейных неравенств а^+а^У+Ь > О для нормального распределения, когда один иа параметров известен, а другой неизвестен.

В §1.3 получено смещение оценки максимального правдоподобия для вероятности линейных неравенств.

Теорема 1.3.2. Пусть в результате наблюдений над независимыми случайными величинами А' ~ а2) и У ~ Лг(р, с2) с неизвестными математическими ожиданиями и известными дисперсиями получены независимые повторные выборки Л^, АГ2, ..., Хп и У1; У2, ..., Уг соответственно. Тогда смещение оценки максимального правдоподобна для вероятности Р = Р^А + а2У + Ь > 0) определяется выражением

_И)ь

МР-Р

л/5г£, (2Л + 1)Ы(2а%а% + 2а^сг|)'1+1/2 Л х(а-1М1 + 02М2 + Ь)2'+1.

Здесь

1 2-

■ 3 •... • т, т = 2к -1,

■ 4-... т, т = 2к, к = 1,2,... .

Вторая глава посвящена нахождению оценок вероятностей линейных неравенств в модели "нагрузка-прочность" и ее обобщениях для одномерных непрерывных распределений, использующихся при оценивании надежности и ошибок измерений.

§2.1 содержит решение задач оценивания вероятностей линейных неравенств в случае одно и двухпараметрического равномерного распределения. Найдены истинная вероятность выполнения неравенства

У" > X, а также несмещенная оценка и оценка максимального правдоподобия для данной вероятности.

Случайная величина X имеет равномерное распределение на отрезке [а, 6], X ~ и[а, Ь], если ее плотность имеет вид

1

/(г /а,Ь) = 5-^

а <х <Ь.

В случае неизвестных концов.интервала полной достаточной статистикой является (и„, Т„), где 11„ = = тт {X,}, Тп == Х(„) = тах{Х,}.

1<»<П

Если один по концов интервала известен, например, а = 0, то

/(*/&) = £, 0 < х < Ь.

В этом случае полной достаточной статистикой является Тп =

Теорема 2.1.2. Пусть X ~ ЦО,^], У ~ Н[О,02], параметры ^ и 02 неизвестны и независимые повторные выборки Х\, X?, ..., Х„, Уь Уг, ..., Уг получены в результате наблюдений над случайными величинами X и У соответственно. Тогда единственная несмещенная оценка для вероятности Р(У > .V), выраженная через полные достаточные статистики Х(п), У(г), выражается соотношением

Х(п) ^ У(Г),

Если X ~ и\а\, Ь]], У ~ г/[а2, Ьг]•> причем все параметры распределений неизвестны, то единственная несмещенная оценка вероятности Р(У > X), выраженная через полные достаточные статистики Х^), Х(„), ^(1). имеет вид

1, О,

а(п,г,Х(1),Х(п),У(1),У(г)), /3(п,г,Х(1),Х(п),У(1),У(г)), 1 - а(г,п,У(1),У(г),^(1),Х(п)), 1-/3(г,п,У(1),У(г),А'(1),Х(п)),

Р(У > X) :

хт - гм>

5 У(1) < Х(п) < У(г),

< ^(1) < Г(г) < Х{п), у(1) < х(1) < У(г) < х(п), У(1) < Х(1) < Х(п) < У(г).

Здесь

(и - 2)(г - 2)(2БР - Д2 - 2С£> + С2) 2пг(В - А){Б - С)

г+1 (п-2)(С-Л) (п-2)(В-С) (г-2)(Р-В) пг + п{В-А) пг(В-А) ^ пт(р-С) '

п тг(В-А) пг(В-А)

+

(п - 2)(г - 2)(Р - С) 2пг{В - А)

Оценена вероятность Р(Х < Z < У) попадания случайной величины 2 в случайный интервал (Х,У), когда X У ~г/[0,$2]> ^ ~ причем параметры 01, 02, неизвестны. В этом случае единственная несмещенная оценка вероятности Р = Р(А'" < 2 < У), выраженная через полные достаточные статистики Х\ = Х(П1), Т2 =

У,

С"- )

р =

(Пз), дается выражением (пз-цду-т,) , (п1-1)С^-1)(п3-1)[7^-(та-т1)31 .

. (,,г-|)(Пз-1)(Г?гГ|)2 . (п|-1)(пз- 1)(27г-Т[) (И|-1)(п3-1)Т,- , (»,-!)(,,г-1)(пз-1)7|

Г, < Т2 < Тз, Т2 < шш^.Г)).

,,г-|)(Г2-Г3) , ("■-П(иг-1)("з-1)|7|-(7:1-Г,)3] 11211;)^ 2 ыТТтГт^ТТУТ^Тз

+

(,.,-" 1)(,Г3 -1) [(Тз -Т, у -(7з

+

+

, (и,-1)(„г1)(„з-|)(Т2-Г3)'

(мцичнэТ^Т:» 1

Т\ <Т3<Г2, Т3<шт(ГьГ2).

Впервые найдена несмещенная оценка дисперсии несмещенной оценки вероятности Р(У > Л") в случае равномерного распределения.

Теорема 2.1.3. В условиях теоремы 2.1.2 несмещенная оценка дисперсии несмещенной оценки Р(У > Л") имеет вид

ОР(У > X) =

[»(»-2Жг+[)-']);;, ■1н'-г2Л7„,

В 52.2 задача оценивания вероятностей Р(У > X) решена для двухпараметрнчегкого экспоненциального распределения с двумя неизвестными параметрами, когда известен параметр масштаба и неизвестен параметр сдвига.

Случайная величина X имеет данное распределение с параметрами сдвига ¡1 и масштаба п. X ~ гхр(//.<7). если ее плотность задается выражением

/(■'• /li.tr) = ^ ехр | - - ^

Если параметр масштаба а известен, а параметр сдвига ц неизвестен, то полной достаточной статистикой, найденной по независимой повторной выборке Х\, Л'2, ..., Л',,, полученной в результате наблюдений над случайной величиной Л", является Т„ = Л'^).

Еслн оба параметра распределения неизвестны, то полной достаточной статистикой является (Г,,, £>„), где Тп определено выш'ч а 5п = ^ Е™=1 А; - А'^).

Пусть независимые случайные величины А* ~ ехр(/<1.(Г1) п У ~ ехр(^2,о"2) имеют неизвестные параметры сдвига //[. /(2 и известные параметры масштаба а\, а-1\ независимые повторные выборки А']. А'з, ..., А'п и У-2, ..., Уг получены в результате наблюдений над случайными величинами X и У" соответственно. Тогда единственная несмещенная оценка вероятности Р(}' > А"), выраженная через полные достаточные статистики, имеет вид

Впервые найдена несмещенная оценка днсперсип ОР(У" > А).

Теорема 2.2.4. Единственная несмещенная оценка днсперсип несмещенной оценки Р(}' ^ А"). выраженная через полные достаточные статистики, дается формулой

Теорема 2.2.5 дает единственную несмещенную оценку вероятности > А"), когда все параметры распределений неизвестно.

В §2.3 исследовались некоторые другие непрорывные одномерные распределения, используемые в теории надежности. Оценки для вероятности Р(У > А) впервые получены для гамма-распределения, распределении Вейбулла, Бэрра п Рэлея.

Случайная величина А' имеет гамма-распределение. А" ~ Г(р. в). если ее плотность имеет вид

Пусть независимая повторная выборка А'], А'ч.....А"„ получена в

результате наблюдений над случайной величиной А" ~Г(р,0). Тогда полной достаточной статистикой, если параметр р иавестен. является 5„ = Е"=1 А";.

Теорема 2.3.1. Пусть А1, Хч, ■ ■Х„ п Уь У2, • •У- — независимые повторные выборки, полученные в результате наблюдений над случайными величинами X ~ Г(р,в\), У ~ соответственно,

параметры р,д — известные натуральные числа, а параметры в у, 02 неизвестны. Тогда единственная несмещенная оценка вероятности Р(У > X), выраженная через полные достаточные статистики 5„ и 5Г, определяется выражением

Р(У>Х):

1 - [В(д, гд - д)]-1 Е^'1 <=£(«Т')» х 157/1 [р+1]«+'+1 > ^ - г'г'

9+Цр+4 + 1 I

г<

где

В(а Ь) = ГМШ„

[ '0> Т(а + Ь)

бета-функция, [а]т = а(а + 1)...(а + т -1), то > 0, [а]0 = 1.

Плотность случайной величины X, имеющей распределение Вей-булпа, X ~ V (р, й), задается формулой

= р{-(|)Р}, х>0, 9> 0, р>0.

Полной достаточной статистикой, найденной по независимой повторной выборке Х\, А'2, ..., А'п, имеющей распределение Вейбулла, если параметр р известен, является 5„ — X''.

Теорема 2.3.2. Пусть А* ~ У(р,в 1), У ~ У(5,#2)> параметры р,д — известные натуральные числа, параметры — неизвестны. Тогда единственная несмещенная оценка вероятности Р(У > А), выраженная через полные достаточные статистики, и 5Г, полученные по независимым повторным выборкам А*|, Аг, ..., Х„ и У]. У2, ..., Уг, являющимися результатами наблюдений над случайными величинами X и У соответственно, имеет вид

Р(У > Х) =

^ П11о(-тг-к1)31к/рВ(1 + -1), 5> < 5'/?,

1 - ^1:гЛ(~тп~к1)зргк/яв(1 + 1), 5,1/" > яУ".

Пусть случайная величина X имеет распределение Бэрра, А Вг(а,0), с плотностью

1

/{х/а,в) = — . ,, ж > 0, в > 0, а > 0.

Еслп параметр а известен, то полной достаточной статистикой, полученной по независимой повторной выборке АГ2, ..., Х„, полученной в результате наблюдений над случайной величиной X ~ Вг(а,0), является 5„ = Е"=11п(1 + А',").

Теорема 2.3.4. Пусть Хи Хъ ..., Хп и Уь У2, ..., Уг — независимые повторные выборки, полученные в результате наблюдений над независимыми случайными величинами X ~ В^а,^) и У ~ Вг(а, £>2) соответственно, параметр а известен, а параметры в1 и 62 неизвестны. Тогда единственная несмещенная оценка вероятности Р(У > X), выраженная через полные достаточные статистики, дается выражением

Р(у >а:) =

1 - д^гЕьо ~ Зг)п~к~1, 5П > Я-

Случайная величина X имеет распределение Рэлея, X ~ 75.(0), если ее плотность определяется выражением

ж > 0, 0>О.

Пусть независимая повторная выборка А'ь Х2,..., Х„ получена в результате наблюдений над случайной величиной X ~ параметр в — неизвестен. Тогда полной достаточной статистикой является

зп = е"=1 x}.

Теорема 2.3.6. Пусть Аь А2, ..., Хп и Уь У2, ..., Уг — независимые повторные выборки, полученные в результате наблюдений над независимыми случайными величинам и X ~ Я(9{) и У ~ 71(02), параметры в\ и 0-2 неизвестны. Тогда единственная несмещенная оценка вероятности Р(У > А'), выраженная через полные достаточные статистики, дается выражением

Третья глава посвящена решению статистических задач оценивания в модели линейного воздействия для многомерного нормального закона.

В §3.1 приведено определение модели линейного воздействия для многомерного нормального4распределения.

Случайный вектор X =(А'ь А2, ..., А'*.)' имеет невырожденное многомерное нормальное распределение, X ~ 2), если его плот-

ность имеет вид

/(*/,!.Е) = n(xf^) = —^l^exp {_!(* - /О'Е-Ч* - /«)} .

Здесь ц =(/¡1, /¿2, ..., ЦьУ — ¿-мерный вектор-столбец математических ожиданий, a S = Цст^-[|, г — 1 ,к, j = 1 ,к — квадратная симметрическая положительно определенная матрица ковариаций, |D|, D' и D"1 соответственно определитель, транспонированная матрица и матрица, обратная матрице D.

Полной достаточной статистикой в случае неизвестных параметров распределения, найденной по независимой повторной выборке Х|, Х2, ..., Х„, где Х,=(Хп,Хд,..Xit)', i — 1 ,п, является пара (A',S„), где Л' — выборочный вектор математического ожидания,

Л'=4£хь (0.1)

а 5„ выбо]>очная матрица ковариаций.

^ = ^Ё(Х,-Л')(Х,-Л7. (0.2)

" 1= 1

Пусть A'i, Л'2, ..., А'г — независимые ¿^-мерные нормально распределенные случайные вектора, X(l = (X/,i,XM,...,Xim j — независимые повторные выборки из ЛГ(/гЛ,S/,), ah — заданные Амперные вектора-столбцы. h -- 1,7', b — известная скалярная величина. Назовем линейным воздействием ;/ линейную комбинацию '/ = £/1=1 + Ь. На основе полных достаточных статистик А'л, 5Л, /1 = 1,г требуется оценить вероятность положительного линейного воздействия Р(»/ > 0).

Поставленная статистическая задача оценивания решена для случая многомерных нормальных распределений с двумя неизвестными параметрами.

Теорема 3.1.5. Пусть A'i, Х2.....А,-.....независимые À7,-мерные

случайные вектора, нормально распределенные с неизвестными параметрами ///,, Ï/,; п/, заданные к/г мерные вектора, h — l.r; b известная константа; X/,,, Х/,2. ..., Х/,,|; - независимые повторные выборки, полученные в результате наблюдении над случайными векторами A"/,, h = l.c соответственно. Тогда единственная несмещенная оценка вероятности Р(// > 0. выраженная через полные достаточные статистики Â/,, S/,, /1 — 1,г, определяется выражением

Р(,, > 0) = 7Г-5 П /('•) / П (1 - ul)"^ <'«1 ■ ■ ■ <///.-

/,=1 i \ -т-> .Ir J /.=1

Здесь

Ль = [у1 < 1, л = 17г,

£ («а - 1 К$Аал + £ «'/А +'' > <>}•

/1=1 Л=1

Теорема 3.1.С дает несмещенную оценку характеристической функции линейного воздействия, выраженную через полные достаточные статистики 5/,, /; = 1./;.

л=1 \ - / X- ехр |г; и^Л",, + 6

В §3.2 исследование модели линейного воздействия продолжено дм случая, когда один из параметров многомерного нормального распределения известен, а другой неизвестен. Теоремы 3.2.5 и 3.2.7 дают несмещенную оценку вероятности положительного линейного воздействия, а в теоремах 3.2.0 п 3.2.8 найдены несмещенные оценки характеристической функции линейного воздействия.

Литература

1. Ившпн В. В. Несмещенные оценкп для Р(Х < У) и дисперсии этой оценкп в случае усеченного экспоненциального распределения с известным параметром масштаба.// Тезисы доклада на межреспубликанской конференции творческой молодежи "Актуальные проблемы информатики. Математическое, программное и информационное обеспечение. Минск, 1992. с.45-40.

2. Ившпн В. В. Несмещенная оценка для плотности распределения Юла-Фаррп. // Тезисы доклада на всесоюзном семинаре с международным участием стран-членов СЭВ "Применение статист, методов в производстве и управлении". Пермский ун-т. Пермь. 1990. ч.1, с.34.

3. Ившпн В. В. Точечные оценки вероятности /'(А' < У) в случае ¡Равномерного распределения с двумя неизвестными параметрами. // Тезисы доклада на межрегиональной научно-технической конференции "Математическое моделирование систем и явлений". Пермь, ПГТУ, 1993, с.43-45.

(„{Дяй)--2 " " X

4. Ившин В. В. Точечные оценки вероятности P(Y > X) и дисперсии этой оценки для двухпараметрического экспоненциального и равномерного распределений. // Статист, методы оценивания и проверки гипотез. Пермский ун-т, Пермь, 1993, с. 58-63.

5. Ившин В. В. Статистические задачи оценивания надежности в модели "нагрузка-прочность" в случаях гамма-распределения и распределения Вейбулла. // Математическое моделирование систем и процессов. ПГТУ, Пермь, 1994, Ml, с. 43-49.

6. Ivshin V. V., Lumel'skii Ya. P. Unbiased estimators for linear influence in the case of multivariate normal distribution.// Thesys of report on Sixth international Vilnius conference on probability theory and mathematical statistics. Vilnius, 1993, v.l, p.152-153.

Подписано p печать 23.0j.9j. Формат 60x84Vie. Печать офсетная. Усл. печ. л. 0,93. Тираж 100 экз. Заказ IjO.

614600, г.Перкъ, ул. Букиреса 13. Т'.июгрчфия :1ГУ